# 宇宙の果てと年齢：138 億年と 465 億光年はどこから来た数字か
> ハッブル定数の逆数がなぜ宇宙の年齢の目安になるのかを式で追い、138 億年を導く。さらに観測可能な宇宙の半径が 465 億光年になる理由と、宇宙そのものに端があるのかを解説する。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/cosmology/age-and-size-of-the-universe
## 0. この記事の要点
- 宇宙の年齢 138 億年は、地層のようにどこかから掘り出した数字ではありません。**膨張の速さから逆算した**数字です。いちばん粗い見積もりは「今の膨張の速さで割り算する」こと、つまりハッブル定数の逆数 $1/H_0$ です。
- $H_0 = 67.4\ \mathrm{km/s/Mpc}$ を年に直すと $1/H_0 = 145$ 億年になります。実際の 138 億年はこれに $0.951$ を掛けた値で、この $0.951$ の中身に物質とダークエネルギーの綱引きが入っています。この記事ではその係数を手計算で出します。
- 観測可能な宇宙の半径は 138 億光年**ではなく**、約 465 億光年です。光が飛んでいた 138 億年のあいだに、光の出発点そのものが遠ざかったからです。
- いま光が届いている天体の大半は、現在、光速より速く私たちから遠ざかっています。これは相対性理論に反しません。
- 「宇宙そのものの果て」は「見える範囲の果て」とはまったく別の話です。空間は無限かもしれませんし、有限でも「端」が存在しない可能性があります。観測は、少なくとも半径 2300 億光年程度までは平坦だと告げています。
## 1. 動機：宇宙に誕生日はあるのか
「宇宙は何歳ですか」と聞かれて「138 億歳です」と即答できる時代になりました。しかしこの数字、どうやって測ったのでしょうか。宇宙に年輪はありませんし、生まれた瞬間に立ち会った目撃者もいません。
手がかりはひとつだけあります。**宇宙は膨張している**という事実です。1929 年、エドウィン・ハッブルは遠くの銀河ほど速く遠ざかっていることを報告しました。遠ざかる速さ $v$ と距離 $d$ が比例する、という関係です。ならば話は簡単そうに見えます。すべての銀河がいまの速さのまま遠ざかってきたのなら、映像を巻き戻せば、いつか全員が一点に集まるはずです。その「巻き戻し時間」が宇宙の年齢の目安になります。
ところが、この素朴な計算はいきなり困ったことになりました。ハッブルが求めた比例定数は約 $500\ \mathrm{km/s/Mpc}$ で、巻き戻し時間はおよそ **20 億年**。当時すでに放射性元素による年代測定で、地球の岩石が少なくとも 20 億年前のものだと分かっていました。宇宙が地球より若いという、なかなか気まずい結論です。
この矛盾の犯人は「距離」でした。ハッブルはセファイド変光星という「ものさし」を使って銀河までの距離を測っていましたが、そのものさしの目盛りが間違っていたのです。1952 年にヴァルター・バーデがセファイドに 2 種類あることを見抜き、距離は一気に倍以上に修正され、比例定数は半分以下になりました（この「目盛りの取り違え」については
観測者を中心とする球面"]
A1 --> A2["確実に存在する
ただし人によって場所が違う"]
B --> B1["空間が無限なら 端はない"]
B --> B2["有限でも 3次元球面やトーラスなら端はない"]
B --> B3["端があるなら「外」が必要"]
B3 --> B4["そんな証拠は見つかっていない"]
B1 --> C["観測: 曲率はほぼゼロ
少なくとも半径2300億光年まで平坦"]
B2 --> C`} />
### 5.1. 有限でも端がない、という選択肢
「有限なら端がある」というのは、実は直感の勇み足です。地球の表面を考えてください。面積は有限（約 $5.1\times10^{8}\ \mathrm{km^2}$）ですが、どこまで歩いても崖はありません。2 次元の生き物が球面の上を暮らしていたら、「私たちの世界は有限だが端はない」と言うでしょう。
同じことが 3 次元でも起こります。空間が 3 次元球面（4 次元的に見たときの球の表面にあたるもの）なら、体積は有限で、しかも端はありません。まっすぐ飛び続ければ、いつか元の場所に帰ってきます。ドーナツ状のトーラスでも同様で、こちらは曲率が $0$ のまま有限になります。ゲームの画面で右端から出たキャラクターが左端から現れるあの構造です。
「じゃあ宇宙は何かの中に入っているの？」という疑問が湧きますが、必要ありません。球面や 3 次元球面は、外の空間なしに、それ自体として数学的に定義できます。私たちが球面を紙に描くとき 3 次元の紙面を使うのは、単に描く側の都合です。
### 5.2. 観測は何を言っているか
空間が閉じているか無限かは、**曲率**を測れば分かります。曲率のある宇宙では、フリードマン方程式に
$$
H(a)^2 = H_0^2\left(\frac{\Omega_m}{a^3} + \Omega_\Lambda + \frac{\Omega_K}{a^2}\right)
$$
という項が加わり、$\Omega_K$ の符号が空間の形を決めます。$\Omega_K < 0$ なら閉じた（有限の）宇宙、$\Omega_K > 0$ なら開いた宇宙、$\Omega_K = 0$ なら平坦です。そして $\Omega_K \neq 0$ のとき、曲率半径 $R_c$ は
$$
R_c = \frac{c/H_0}{\sqrt{|\Omega_K|}}
$$
で与えられます。Planck 衛星のデータと銀河分布の観測を合わせると
$$
\Omega_K = 0.0007 \pm 0.0019
$$
です。$0$ と誤差の範囲で一致しており、宇宙は平坦に見えます。ここから、宇宙が仮に閉じていたとしてもどれだけ大きいかが言えます。
$|\Omega_K| \le 0.004$（上の測定値の $2\sigma$ 上限に相当）ならば、空間の曲率半径は
$$
R_c \ge 2290\ \text{億光年}
$$
を満たす。これは観測可能な宇宙の半径のおよそ $4.9$ 倍であり、体積にすればおよそ 120 倍である。
$R_c = (c/H_0)/\sqrt{|\Omega_K|}$ は $|\Omega_K|$ の減少関数ですから、$|\Omega_K|$ が上限値を取るときに $R_c$ は最小になります。