# Wick 積と Nelson の評価：d=2 の :φ⁴: の存在と exp(−V) の可積分性、d=3 で破れる理由
> ガウス測度に関する Wick 積を Hermite 多項式と生成関数で定義し、Wick の定理（図形公式）を証明する。d=2 で紫外切断を外した :φⁿ:(f) が全 L^p に属することを示し、超縮小性による Nelson の評価で exp(−V) の可積分性を証明し、d=3 で破れる理由を説明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/constructive-qft/wick-products-nelson
## 0. この記事の要点
ランダムな場の「ある点での値」を 2 乗や 4 乗しようとすると、素朴にはその期待値が無限大になってしまいます。この記事は、期待値にあたる部分をあらかじめ引き去るという処方（Wick 積）で、2 次元ではこの無限大がきれいに消えて意味のある確率変数が得られること、そしてそれを指数の肩に載せた $e^{-V}$ もきちんと積分できることを示し、3 次元ではなぜ同じ手が通じないのかを説明します。
- ガウス測度 $\mu_C$ に関する **Wick 積** $:\!\phi(g_1)\cdots\phi(g_n)\!:$ は、Wick 指数関数 $:\!e^{\phi(g)}\!:\;=e^{\phi(g)-\frac12\langle g,Cg\rangle}$ の多重微分係数として定義され、1 変数では確率論の Hermite 多項式 $\sigma^n\mathrm{He}_n(\phi(g)/\sigma)$ です。Wick 積は共分散の取り方に依存し、共分散を替えると低次の Wick 積が有限個足されます。
- **Wick の定理**: Wick 積の積の期待値は、同じ Wick 積の中の対を結ばない完全対合（自己ループのない Feynman 図形）についての共分散の積の和です。Wick 順序付けとは、自己ループ（tadpole）を取り除くことにほかなりません。
- $d=2$ では、紫外切断 $\kappa$ をつけた場の分散 $c_\kappa$ は $\frac{1}{2\pi}\log\kappa$ で発散しますが、Wick 冪 $:\!\phi_\kappa^n\!:(f)$ は $\kappa\to\infty$ で $L^2$ 収束し、極限 $:\!\phi^n\!:(f)$ の 2 次モーメントは $n!\iint f(x)C(x-y)^nf(y)$ です。対数特異性のどの冪も 2 次元で可積分だからです。超縮小性によりすべての $L^p$ で収束します。
- **Nelson の評価**: $P$ が偶数次で最高次係数が正、$g\ge0$ なら、$V=\;:\!P(\phi)\!:(g)$ について $e^{-V}\in L^p(\mu_C)$（$p<\infty$）。切断した $V_\kappa$ の下界 $-B(\log\kappa)^n$ と、$L^p$ ノルムの差 $\|V-V_\kappa\|_p\lesssim(p-1)^n\kappa^{-1/4}$ を、$p$ と $\kappa$ を連動させて組み合わせると、裾の確率が二重指数的に小さくなります。
- $d=3$ では $C(x)\sim|x|^{-1}$ なので $C^n$ は $n\ge3$ で局所可積分でなく、$:\!\phi^4\!:(f)$ は確率変数として存在しません。真空エネルギー（1 次発散）と質量（対数発散）のくりこみが必要になり、Nelson の論法は使えません。
## 1. 動機
$P(\phi)_2$ 模型の Euclid 測度は、形式的には
$$
d\nu(\phi)=\frac1Z\,e^{-\lambda\int_\Lambda\phi(x)^4dx}\,d\mu_C(\phi)
$$
です。ところが [前章](/physics/constructive-qft/gaussian-free-field) の