# 無限次元のガウス測度と Euclid 自由場：Hermite 展開による構成・標本の正則性・Nelson の Markov 性
> S'(R^d) 上のガウス測度を Hermite 展開と Hilbert–Schmidt 埋め込みで構成し、共分散 (−Δ+m²)⁻¹ の Euclid 自由場の標本が d≥2 で関数にならないこと、Cameron–Martin 空間、Nelson の Markov 性と反射正値性を証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/constructive-qft/gaussian-free-field
## 0. この記事の要点
時空の各点に値をもつ「場」を、サイコロを振るように確率的に選ぶ方法を作る、という話です。変数が有限個なら正規分布の密度を書けば済みますが、無限個の変数では密度の書き方がありません。そこでこの記事では、平均や分散にあたる情報だけを指定して確率の測り方を作り、できた「ランダムな場」がどれほどぎざぎざか、場をどの方向にずらしても確率の測り方が大きくは変わらないのはどんなときか、を順に調べます。読み終えると、無限次元のガウス測度を自分で構成でき、自由場の標本が普通の関数にならない理由を説明できるようになります。
- Schwartz 空間 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ は Hermite 関数の展開係数の重み付き $\ell^2$ ノルムの族で位相が決まり、そのノルムの間の埋め込みは重みの差が $d/2$ を超えれば Hilbert–Schmidt です。これを使うと、連続な共分散をもつガウス測度を $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)$ 上に**具体的に**構成でき、測度がどの負の Sobolev 型空間に集中するかまでわかります。
- 共分散 $C=(-\Delta+m^2)^{-1}$（$m>0$）のガウス測度 $\mu_C$ が [Euclid 自由場](/physics/axiomatic-qft/osterwalder-schrader#def-euclidean-free-field)です。2 点関数 $C(x-y)$ は熱核の積分で書け、$d=2$ で対数、$d\ge3$ で $|x-y|^{2-d}$ の特異性をもち、遠方で指数減衰します。$d=2$ で $m=0$ にすると測度そのものが存在しません。
- $d\ge2$ では $\mu_C$-a.s. に標本 $\phi$ は局所 2 乗可積分な関数ではなく、$\chi\phi\in H^{-s}$ となるのは $s>(d-2)/2$ のときです。$d=1$ では標本は連続関数に取れ、定常 Ornstein–Uhlenbeck 過程になります。
- Cameron–Martin 空間は Sobolev 空間 $H^1(\mathbb{R}^d)$（作用が有限な配位の空間）です。$h\in H^1$ による平行移動は密度 $\exp(\phi((-\Delta+m^2)h)-\frac12\|h\|_{H^1}^2)$ で絶対連続、$h\notin H^1$ なら特異です。典型的な標本の作用は無限大です。
- $C^{-1}=-\Delta+m^2$ が局所的な微分作用素であることから、Nelson の **[Markov 性](/physics/axiomatic-qft/osterwalder-schrader#def-markov-property)**（境界の σ 加法族を与えれば内と外が条件付き独立。つまり境界での場の値が分かれば、内側と外側は互いに影響しない）が $H^{-1}$ の中の[直交射影](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-orthogonal-projection)の台の議論で証明でき、超平面の場が反射で不変であることと合わせて反射正値性がもう一度得られます。
## 1. 動機
自由スカラー場の Euclid 版の経路積分は、形式的には
$$
d\mu_C(\phi)=\frac1Z\exp\Bigl(-\frac12\int_{\mathbb{R}^d}\bigl(|\nabla\phi(x)|^2+m^2\phi(x)^2\bigr)dx\Bigr)\prod_{x\in\mathbb{R}^d}d\phi(x)
$$
と書かれます。無限次元には Lebesgue 測度がないので右辺の各因子は意味をもちませんが、全体は「共分散 $(-\Delta+m^2)^{-1}$ の中心化ガウス測度」として意味をもちます。構成的場の理論はここから出発し、相互作用 $e^{-V(\phi)}$ を掛けた測度を作ります。そのためにはまず、この測度が**どこに乗っているか**（標本がどれほど滑らかでないか）を正確に知る必要があります。次章で扱う Wick 積と紫外発散は、まさに標本が関数でないことの帰結です。
既刊の章との関係を整理しておきます。[ガウス測度と Q 空間表示](/physics/fock-space/gaussian-measures-q-space) では、実 Hilbert 空間上のガウス確率過程と Bochner–Minlos の定理（