# Abdesselam–Rivasseau『An explicit large versus small field multiscale cluster expansion』(1997) 部 3：大場領域の大偏差評価・低運動量場の支配・ポリマー評価の証明
> Abdesselam–Rivasseau の多尺度クラスター展開の §3.4–3.8 を精読し、大場領域が稀で小さいこと、低運動量場の支配、局所階乗の処理、手続きと形の和を証明する。原論文の定理 2 の反例と修正版も示す。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/constructive-papers/abdesselam-rivasseau-1997-part-3
## 0. この記事の要点
この章は、場が大きくなる稀な領域と、粗い尺度の場の寄与を、確率的な評価で抑える章です。展開の各項が小さいことを示す最後の部品で、読み終えると「なぜ大きな場の領域が全体に影響しないのか」が分かります。
- Abdesselam–Rivasseau (1997) の §3.4–3.8 を読み、部 2 で述べた[ポリマー](/physics/constructive-qft/cluster-expansion#def-polymer-system)評価（原論文の Theorem 2）を支える評価をすべて証明します。中心は、大場領域についての大偏差評価（Proposition 2）、低運動量場を平均と揺らぎに分けて抑える「支配」、[Gauss 測度](/physics/constructive-qft/gaussian-free-field#def-gaussian-measure-covariance)の積分から出る局所階乗の処理の 3 つです。
- Proposition 2 は「大場領域は稀で小さい」という主張です。頂上の立方体（上に $Y$ の立方体を含まない部分立方体 $\tilde\Delta$ をもつ立方体）が $Y$ の立方体の一定割合を占めること（Lemma 20）と、頂上の立方体ごとに 5 種類の場合分けをして小因子を取り出すことで示します。
- 個別寄与は、明示頂点・大場条件の頂点・相互作用の頂点・外部源のそれぞれについて評価します。大場条件の段関数 $\chi$ が何回も微分されるので、$\chi^{(n)}$ の Gevrey 型評価 $\lvert\chi^{(n)}\rvert\le K_{15}^{n+1}(n!)^2$ が要ります。生じる階乗は、局所階乗の移送（部 2 の Lemma 17）と体積論法（Lemma 22）で、立方体あたりの定数に変わります。
- 原論文を精査すると、いくつかの誤りが見つかります。とくに Theorem 2 は文字どおりには成り立ちません（1 個の立方体だけのポリマーの活動度は $g\to0$ で 1 に近づくため）。本章では、正しい形（立方体が 2 個以上のポリマーについての評価、外部源があるときは $g^{-\#S/32}$ の因子つき）を述べて証明します。
- 研究で使う形は、真空のポリマー（外部源なし、立方体 2 個以上）の活動度が [Kotecký–Preiss の判定条件](/physics/constructive-qft/cluster-expansion#thm-kotecky-preiss)を満たすことです（系として述べます）。
## 1. 動機
部 1 では、補間の補題を大場・小場の 1 の分割と組み合わせて、Schwinger 関数を「4 頂点既約（4-VI）なポリマー」の活動度で書く展開（原論文の Theorem 1）を作りました。部 2 では、展開を収束させるための評価、すなわち固定した立方体 $\Delta_{\mathrm{org}}$ を含むポリマーについての活動度の和の評価（原論文の Theorem 2）を述べ、ポリマーの位置についての和（Proposition 1）と、Gauss 積分・局所階乗・平均と揺らぎについての道具（Lemma 15–19）を準備しました。
論文全体の位置づけを確認しておきます。Feldman–Magnen–Rivasseau–Sénéor の赤外 $\phi^4_4$ の構成（1987）は、水平方向（空間）と垂直方向（周波数）に別々の補間を使い、尺度ごとに Mayer 展開を挟む帰納的な位相空間展開でした。Abdesselam–Rivasseau は、Brydges–Kennedy の森公式（同じ著者らの 1994 年の「木・森・ジャングル」の論文で整理された形）を一般化する線形の順序付き補間で両方向を同じ足場に載せ、展開の出力を明示的な式で書きました。赤外 $\phi^4_4$ そのものには大場・小場展開は不要ですが、Bałaban の Yang–Mills の解析のようにゲージ理論や境界的な理論（$\mathrm{QED}_4$ など）では避けられず、本論文はそれを多尺度の位相空間展開の中で細部まで書き下した試験台という位置にあります。
残っているのは、1 つのポリマー $Y$ の活動度そのものを抑えることです。ここには、構成的場の理論の多尺度解析で繰り返し現れる 3 つの難しさが集まっています。
1. **大場領域は小因子を生まない。** 小場の立方体では、明示的に微分された頂点の結合定数 $g$ が小因子を与えます。ところが大場領域は展開の組合せの上では 1 つの立方体のように振る舞うので、頂点の数が立方体の数に比例しません。小因子は確率的な評価、つまり「場が大きい」という事象がまれであることから取り出す必要があります。これが Proposition 2 です。
2. **低運動量場は Gauss 測度だけでは抑えられない。** 頂点を局所化した立方体 $\tilde\Delta$ よりずっと粗い尺度 $j$ の場 $\phi_j$ を、Gauss 測度で抑えると $M^{-j}$ しか得られず、$\tilde\Delta$ の体積 $M^{4i(\tilde\Delta)}$ を払えません。そこで場を中間の尺度の立方体での平均と揺らぎに分け、平均は小場条件（相互作用の正値性の間接的な帰結）で、揺らぎは 2 階微分の Gauss 評価で抑えます。これが Feldman–Magnen–Rivasseau–Sénéor 以来の「支配」（domination）です。
3. **階乗。** 同じ立方体に多くの場が集まると、Gauss 積分は局所階乗 $\prod_\Delta(n(\Delta)!)^{1/2}$ を生みます。大場条件の滑らかな段関数を $n$ 回微分すると $(n!)^2$ が出ます。これらを、尺度方向の減衰を少しずつ削って「別の立方体に移す」こと（局所階乗の移送）と、同じ尺度の立方体は体積の分だけしか近くにないこと（体積論法）で、立方体あたりの定数に変えます。
原論文は数値定数を $O(1)$ で済ませずに追跡しており、本章もそれに倣います。ただし精査の結果、いくつかの箇所で原論文の議論をそのままは使えないことが分かりました。主なものを先に挙げておきます（詳しくは各所の注意で述べます）。
- 大場条件の段関数の式 (25) は $t=1/2$ で $C^1$ ですらありません。部 1 と同じく標準的な $C^\infty$ 段関数に置き換え、その Gevrey 評価を本章で証明します。
- Proposition 2 の関数 $U$ の定義の指数が逆向きです。また型 II.1 の評価で積分領域を $\hat\Delta$ から $\tilde\Delta$ に取り替える段は正しくなく、型 II.2.2b の閾値の指数も合っていません。いずれも定数を変えれば直ります。
- 平均化立方体 $\Delta_\varphi$ が $Y$ に属するという主張は一般には成り立ちません（使いません）。Lemma 21 の証明の不等式 (336) は平均化立方体の定義の $\lfloor\cdot/4\rfloor$ を落としています。Lemma 22 を原論文のとおり $Y$ のすべての立方体に使うと、各リンクの減衰を両端で 2 回消費するので、伝播関数の減衰の冪 $r$ は原論文の値の約 2 倍にとっておく必要があります。
- 最も重要なのは、Theorem 2 がそのままでは偽であることです。外部源のないポリマーで立方体が 1 個のもの（$Y=\{\Delta_{\mathrm{org}}\}$）の活動度は $g\to0$ で 1 に近づき、$\eta$ 以下にはなりません（演習 3）。原論文の (301) の「孤立した立方体はどれも明示頂点か 2-リンクの端に属し、そこから小因子をもらう」という議論が、立方体 1 個のポリマーと、2-リンクの端が外部源とだけ縮約される立方体で破れているのが原因です。本章の