# Wightman 公理と再構成定理：作用素値超関数・Wightman 関数・Reeh–Schlieder の定理
> 場を作用素値緩増加超関数として定式化する Wightman 公理を述べ、Wightman 関数の正値性・スペクトル条件による解析接続・クラスター性を導く。GNS 型の再構成定理、自由場が公理を満たすことの検証、Reeh–Schlieder の定理まで扱う。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/axiomatic-qft/wightman-axioms
## 0. この記事の要点
素粒子の場は「空間の各点に値をもつ波」のように語られますが、一点での値を取り出そうとすると数学的に意味が壊れます。この記事は、場を一点ではなく少し広がりをもたせて測るものとして扱い、相対性理論と量子力学が両立する理論が満たすべき条件を 6 つの要請として書き下します。読み終えると、その要請から真空についてどんな性質が導かれるか（遠く離れた実験の独立性、小さな領域からでも全体に届く性質）と、性質だけから理論を作り直せることがわかります。
- 量子場は時空の点での作用素ではなく、試験関数 $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^4)$ で均した**作用素値緩増加超関数**（試験関数 $f$ に作用素を対応させる、関数の一般化）$\phi(f)$ です。自由場でさえ $\phi(x)\Omega$ はノルム無限大になり、点での値は意味を持ちません。
- **Wightman 公理**は、Poincaré 群のユニタリ表現、スペクトル条件（エネルギー運動量が前方光錐に入る）、真空の一意性、場の定義域と共変性、局所可換性、真空の巡回性の 6 つの要請からなります。[自由スカラー場](/physics/fock-space/free-scalar-field#def-spacetime-field)はこれをすべて満たします。
- 真空期待値 $W_n(x_1,\dots,x_n)=\langle\Omega,\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)\Omega\rangle$（**Wightman 関数**）は、共変性・エルミート性・正値性・局所性を満たし、スペクトル条件から**前方管**（時空座標に、前向きの光錐に入る虚部を足した複素領域）への解析接続を持ちます。真空が一意なら空間的方向への**クラスター性**が成り立ちます。
- **再構成定理**: これらの性質を満たす超関数の列 $\lbrace W_n\rbrace$ が与えられれば、Hilbert 空間・場・真空が[ユニタリ同値](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-unitary)を除いて一意に復元できます。構成は Borchers 代数上の GNS 構成で、真空の一意性はクラスター性と同値です。
- **Reeh–Schlieder の定理**: どんなに小さな開領域 $\mathcal{O}$ でも、そこに局在した場の多項式を真空に作用させたベクトルは $\mathcal{H}$ で稠密です。系として、有界領域に局在した作用素が真空を消せばその作用素は $0$ です。
## 1. 動機
[なぜ場の量子論が必要か](/physics/qft/why-quantum-field-theory) や [スカラー場の正準量子化](/physics/qft/canonical-quantization) で見たように、教科書的な場の量子論は、[Fock 空間](/physics/qft/why-quantum-field-theory#def-fock-space)の上に自由場を作り、相互作用を摂動として足すという手順で進みます。この手順は実験と驚くほどよく合いますが、数学的には二つの問題を抱えています。第一に、摂動級数は項ごとに紫外発散を含み、くりこみで有限にしても級数自体が収束するとは限りません。第二に、相互作用する場が「どの Hilbert 空間の上の、どんな作用素なのか」が手順の中で決まっていません。次章で扱う Haag の定理は、相互作用表示という前提そのものが成り立たないことを示します。
1950 年代に Wightman、Gårding、Jost、Haag らは逆の方向から問題を立てました。個々のモデルを作る前に、**相対論的な量子場の理論であれば満たすべき性質**を公理として書き下し、その公理だけから何が導けるかを調べる、という方針です。この方針から、PCT 定理やスピンと統計の関係のように、Lagrangian の詳細に依らない構造的な定理が得られました。さらに、公理は「理論を構成した」と言うための判定基準にもなります。2 次元・3 次元の構成的場の理論は、この公理（あるいは Euclid 版の Osterwalder–Schrader 公理）を満たす対象を作ることを目標にしました。
本章では、Hermite なスカラー場 1 個の場合に Wightman 公理を定式化し、真空期待値（Wightman 関数）の性質を導き、逆に Wightman 関数から理論全体を再構成できることを示します。最後に、真空と局所性の関係を表す Reeh–Schlieder の定理を述べます。スピノル場を含む場の族への一般化は