# 超選択セクターと荷電状態：DHR の統計・Doplicher–Roberts・Gauss の法則と赤外粒子
> 局所化された自己準同型の交換作用素が電荷の運び方によらないことを因果的補集合の連結性から示し、置換群の表現と統計パラメタの量子化 λ∈{0,±1/d} を証明する。Doplicher–Roberts の再構成定理を述べ、Gauss の法則が電荷の局所化と Lorentz 対称性を壊すことを示す。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/axiomatic-qft/superselection-charged-sectors
## 0. この記事の要点
電子のような同じ種類の粒子を二つ入れ替えたとき、状態がそのままか、符号だけ変わるか、という問いが「粒子の統計」です。この記事では、粒子そのものではなく、粒子が運ぶ電荷が局所的な測定にどう現れるかだけを手がかりに、入れ替えの規則がどんな形に限られるかを調べます。読み終えると、統計が「符号が変わるか変わらないか」のほかに、整数 $d$ を使った $\pm1/d$ という離散的な値（または無限統計）にしかならない理由と、電荷をもつ粒子が QED で特別扱いされる理由の見取り図がもてます。
- 空間が 3 次元なら、[二重錐](/physics/axiomatic-qft/haag-kastler#def-causal-regions)の因果的補集合は連結です。このことから、局所化された自己準同型 $\rho,\sigma$ の**交換作用素** $\varepsilon(\rho,\sigma)$（二つの電荷の入れ替えを表すユニタリ作用素）は電荷を遠くへ運ぶ道筋によらず、$\varepsilon(\sigma,\rho)\varepsilon(\rho,\sigma)=1$ を満たします。とくに[統計作用素](/physics/axiomatic-qft/haag-kastler#def-statistics-operator)は $\varepsilon_\rho^2=1$ を満たし、$\rho^{k-1}(\varepsilon_\rho)$ が対称群 $S_n$ の表現を生成します。
- 左逆元 $\phi$（$\rho$ を左から打ち消す正値な写像。§5 で定義します）をもつ既約な $\rho$ では $\phi(\varepsilon_\rho)=\lambda_\rho1$ となり、統計パラメタは $\lambda_\rho\in\{0\}\cup\{\pm1/d:d\in\mathbb{N}\}$ に量子化されます。証明は、$\phi^n$ が対称群の群環に定める Markov 型の正値汎関数を、反対称化子と対称化子に当てるだけで済みます。
- Doplicher–Roberts の再構成定理（主張）: 有限統計のセクター全体から、コンパクト群 $G$ と、Bose・Fermi 型の交換関係をもつ場のネットが復元されます。セクターは $G$ の既約表現に、統計次元は表現の次元に対応します。
- Gauss の法則 $\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu$ があると、電荷は遠方の電場の流束で測れます。そのため、ある二重錐の因果的補集合で真空と一致する状態の電荷は $0$ で、電荷 $q\ne0$ のセクターは DHR の選択基準を満たしません。
- 既約な荷電表現では漸近流束が定数になり、Lorentz 変換と両立しません（Fröhlich–Morchio–Strocchi）。電荷をもつ粒子は鋭い質量をもてない、という Buchholz の赤外粒子の定理（主張）も同じ根から来ます。
## 1. 動機
[Haag–Kastler 公理と局所ネット](/physics/axiomatic-qft/haag-kastler) の最後の節で、電荷をもつ状態の表現（超選択セクター）を DHR 選択基準で定式化し、それが局所化された自己準同型 $\rho$ で表されることを示しました（