# 局所ネットのモジュラー理論：Borchers の定理・くさび領域の Bisognano–Wichmann・相対エントロピー
> 正エネルギーの並進が von Neumann 環を自身に移すときモジュラー群が並進を拡大することを示す Borchers の定理を証明し、くさび領域で冨田–竹崎のモジュラー群が並進にブーストとして働くことを導く。自由場で Bisognano–Wichmann の定理を完全に証明し、Araki の相対エントロピーの単調性と下半連続性を変分公式から示す。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/axiomatic-qft/modular-theory-in-qft
## 0. この記事の要点
真空の中に「ある領域だけを観測する人」を考えると、その人にとって真空は、領域の形を決めるだけで自動的に定まる「時間の流れ」をもつ状態になります。この時間は、状態と観測量の代数だけから抽象的に作られるのですが、くさび形の領域では、なんと Lorentz ブーストという時空の幾何学的な動きに一致します。この記事は、その仕組みを、正エネルギーの並進という素朴な性質から出発して証明し、最後に 2 つの状態の「区別のつきにくさ」を測る量（相対エントロピー）が領域を小さくすると減ることまで示します。
- **Borchers の定理**: von Neumann 環 $\mathcal{M}$ と巡回分離ベクトル $\Omega$、正の生成子をもつユニタリ群 $U(s)$ が $U(s)\Omega=\Omega$, $U(s)\mathcal{M}U(s)^*\subset\mathcal{M}$（$s\ge0$）を満たせば、モジュラー対象は $\Delta^{it}U(s)\Delta^{-it}=U(e^{-2\pi t}s)$, $JU(s)J=U(-s)$ を満たします。証明は 2 変数の解析接続を周期関数にして Liouville の定理で閉じます。
- [くさび領域](/physics/axiomatic-qft/haag-kastler#def-causal-regions) $W_R=\lbrace x^1>|x^0|\rbrace$ の局所環に適用すると、くさびを自身に移す 2 本の光的な並進から、**モジュラー群が並進にブーストとして働き、モジュラー共役が反転 $j$ として働く**ことが、局所ネットの公理だけから従います。Bisognano–Wichmann の定理の「並進の部分」はこれで決まります。
- 自由スカラー場では、1 粒子の波動関数をブーストの複素角 $i\pi$ まで解析接続し、[Weyl 作用素](/physics/fock-space/segal-field-weyl#def-weyl-operator)について [KMS 条件](/mathematics/operator-algebras/tomita-takesaki#def-kms-condition)（熱平衡状態を特徴づける関係式）を確かめ、竹崎の一意性定理を使うことで、**Bisognano–Wichmann の定理** $\Delta^{it}=U(\Lambda_1(-2\pi t))$, $J=\Theta U(R_1(\pi))$ とくさびの双対性を完全に証明します。
- [Araki の相対エントロピー](/mathematics/operator-algebras/tomita-takesaki#def-araki-relative-entropy)は、レゾルベントの 2 次形式の**変分公式** $\langle\xi_\psi,(\Delta_{\varphi,\psi}+t)^{-1}\xi_\psi\rangle=\sup_x[2\mathrm{Re}\,\psi(x)-\varphi(xx^*)-t\psi(x^*x)]$ により状態だけで書けます。ここから**ベクトル代表に依らないこと**、部分環への制限についての**単調性**、弱 * 位相についての**下半連続性**が一度に出ます。
- 局所ネットでは、単調性は「領域を小さくすると状態の区別がつきにくくなる」ことを意味し、量子情報的な場の理論（エンタングルメント、Bekenstein 型の不等式）の出発点になります。
## 1. 動機
[Haag–Kastler 公理と局所ネット](/physics/axiomatic-qft/haag-kastler) では、真空 $\Omega$ が局所 von Neumann 環に対し巡回的かつ分離的であることから冨田–竹崎のモジュラー対象 $\Delta$, $J$ が定まり、くさび領域ではそれが Lorentz ブーストと PCT 反転で書ける、という Bisognano–Wichmann の定理を主張だけ述べました（