# coset 構成と極小模型：菅原構成・GKO によるユニタリ表現・BPZ の融合則・bc ゴースト > アフィン Lie 代数の菅原構成を任意の滑らかな加群で証明し、自由フェルミオンで sl(2) のユニタリ表現を作る。GKO の coset から離散系列 c_m のユニタリ表現を構成し、BPZ の退化条件から融合則を導き、bc ゴースト系の中心電荷を計算する。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/vertex-algebras/coset-minimal-models ## 0. この記事の要点 量子系の「エネルギー」を表す Virasoro 代数は、別の対称性の代数（アフィン Lie 代数）からも作れます。この記事では、そうして作った 2 つのエネルギーの「差」をとると、内積が正定値になる（確率として意味の通る）特別な系列 $c_m$ が現れることを、具体的なベクトルを書き下して示します。あわせて、その系列で場どうしの「合体の規則」（融合則）がどう決まるか、弦理論に現れるゴースト系の量（中心電荷）がなぜ $-26$ になるかを計算します。 - **菅原構成**: 単純 Lie 代数 $\mathfrak{g}$ のアフィン化 $\hat{\mathfrak{g}}$ の滑らかな表現（レベル $k$、$k+h^\vee\ne0$）では、カレントの 2 次式 $L_n=\frac1{2(k+h^\vee)}\sum_a\sum_j:J^a_jJ^a_{n-j}:$ が中心電荷 $c=\frac{k\dim\mathfrak{g}}{k+h^\vee}$ の Virasoro 代数を与え、$[L_n,x_m]=-m\,x_{m+n}$ を満たします。これを Schwinger 項まで含めて有限和の計算で証明します。 - 2 成分の複素フェルミオンの Fock 空間は $\widehat{\mathfrak{sl}}(2)$ のレベル 1 のユニタリ表現で、その $k$ 個のテンソル積から、$0\le2j\le k$ のすべての既約最高ウェイト表現 $L(j,k)$ がユニタリであることが従います。 - **GKO の coset 構成**: $K_n=L^{(k)}_n+L^{(1)}_n-L^{(k+1)}_n$ は対角カレントと可換な Virasoro 代数で、中心電荷は $c_m=1-\frac6{m(m+1)}$（$m=k+2$）です。$L(j,k)\otimes L(\varepsilon,1)$ の中に $K_n$ の最高ウェイトベクトルを具体的に作り、$L(c_m,h_{r,s})$ が $-2\le s-r\le3$ の範囲で（とくに $m=3,4$ ではすべて）ユニタリであることを証明します。残りの $(r,s)$ は GKO の分岐則（主張）から従います。 - **BPZ**: レベル 2 の退化条件 $(L_{-2}-\frac{3}{2(2\Delta+1)}L_{-1}^2)\varphi=0$ を満たす主場の 3 点関数から、融合則 $\varphi_{(2,1)}\times\varphi_{(r,s)}\subset\varphi_{(r-1,s)}+\varphi_{(r+1,s)}$ を導きます。 - **bc ゴースト**: 重み $(\lambda,1-\lambda)$ のフェルミオン対は $c=-2(6\lambda^2-6\lambda+1)$ の Virasoro 表現を与え、$\lambda=2$ で $c=-26$ です。 ## 1. 動機 [前章](/mathematics/vertex-algebras/virasoro-representations) で、$c\lt1$ のユニタリな最高ウェイト表現は離散系列 $(c_m,h_{r,s})$ に限られる（FQS）と述べました。逆に、それらが実際にユニタリであることを示すには、正定値な内積をもつ空間の上に Virasoro 代数を **具体的に実現** するのが最も確実です。Goddard–Kent–Olive（GKO）の発想は、ユニタリ性の分かっているアフィン Lie 代数の表現から、2 つの Virasoro 代数の「差」をとることでした。2 つの Virasoro の中心電荷の差は 1 より小さくなり、ちょうど $c_m$ が現れます。 この記事の前半はその準備で、アフィン Lie 代数のカレントから Virasoro 代数を作る菅原構成と、自由フェルミオンによるユニタリ表現の構成を行います。後半では、こうして得られた極小模型の場が満たす BPZ の微分方程式の最も簡単な帰結（融合則）と、弦理論の BRST 量子化に現れる bc ゴースト系を扱います。アフィン Lie 代数の構造そのもの（ルート系・Weyl 群・可積分表現）は [アフィン Lie 代数と WZW 模型](/mathematics/vertex-algebras/affine-sugawara-wzw) で扱います。 （この章の続きは購入者向けです。）