# アフィン Lie 代数と WZW 模型：Kac–Moody 代数・菅原 VOA・可積分表現・Polyakov–Wiegmann 恒等式 > 単純 Lie 代数からアフィン Kac–Moody 代数を作ってルート系と Chevalley 生成元を定め、普遍アフィン頂点代数に菅原ベクトルで VOA の構造を入れる。可積分最高ウェイト表現を支配的整ウェイトで特徴づけ、WZW 作用の Polyakov–Wiegmann 恒等式と運動方程式を導く。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/vertex-algebras/affine-sugawara-wzw ## 0. この記事の要点 この記事は、「無限個の対称性をもつ物理の模型を、どんな代数の言葉で扱うか」という話です。回転のような有限個の対称性は Lie 代数で表せますが、2 次元の場の理論では、場を表す関数の各点ごとに対称性が働き、その生成元が無限個並びます。この記事では、そうした無限個の生成元をもつ代数（アフィン Lie 代数）の構造を調べ、どんな表現が「整数の条件」で選ばれるのかを見て、最後にそれが物理の作用（WZW 作用）の計算からどう現れるかを確かめます。 - 単純 Lie 代数 $\mathfrak{g}$ のループ代数を中心拡大し、次数作用素 $d$ を加えたものが **アフィン Kac–Moody 代数** $\hat{\mathfrak{g}}$ です。そのルートは実ルート $\alpha+n\delta$ と虚ルート $n\delta$ からなり、単純ルート $\alpha_0=\delta-\theta,\alpha_1,\dots,\alpha_\ell$ と Chevalley 生成元 $e_i,f_i,h_i$（$0\le i\le\ell$）が定まります。 - レベル $k$ の **普遍アフィン頂点代数** $V^k(\mathfrak{g})$ を再構成定理で構成し、$k\ne-h^\vee$ なら **菅原ベクトル** $\omega=\frac1{2(k+h^\vee)}\sum_aJ^a_{-1}J^a_{-1}|0\rangle$ によって中心電荷 $\frac{k\dim\mathfrak{g}}{k+h^\vee}$ の VOA になることを示します。最高ウェイト $\lambda$ の最低次部分の共形重みは $\frac{(\lambda|\lambda+2\rho)}{2(k+h^\vee)}$ です。 - 既約最高ウェイト加群 $L(\Lambda)$ が **可積分**（$e_i,f_i$ が局所冪零）であることと、$\Lambda(h_i)\in\mathbb{Z}_{\ge0}$（$0\le i\le\ell$）は同値です。このときレベルは非負整数です。ユニタリな最高ウェイト加群は可積分であることも示します。 - **WZW 作用** $S_k(g)$ について、Polyakov–Wiegmann 恒等式 $S_k(gh)=S_k(g)+S_k(h)-\frac k\pi\int\operatorname{tr}(g^{-1}\partial_{\bar z}g\,\partial_zh\,h^{-1})\,d^2x$ を、Maurer–Cartan 形式の計算と Stokes の定理から証明します。そこから運動方程式 $\partial_{\bar z}(\partial_zg\,g^{-1})=0$ が従い、正則なカレントがアフィン Lie 代数の対称性を担います。 ## 1. 動機 [coset 構成と極小模型](/mathematics/vertex-algebras/coset-minimal-models) では、$\hat{\mathfrak{g}}$ を「ループ代数の中心拡大」として扱い、菅原構成をモードの計算で証明しました。そこでは $\mathfrak{sl}(2)$ の場合に、ユニタリな表現が $k\in\mathbb{Z}_{\ge0}$、$0\le2j\le k$ に限られることを予告していました。この条件の本当の意味は、$\hat{\mathfrak{g}}$ を **Kac–Moody 代数**（Cartan 行列から定まる Lie 代数）として見たときに現れる、$\ell+1$ 個の $\mathfrak{sl}(2)$ の部分代数の有限次元性です。有限次元の単純 Lie 代数で「有限次元表現 $=$ 支配的整ウェイト」（[最高ウェイト理論](/mathematics/lie-theory/highest-weight-theory)）だったものが、アフィン代数では「可積分表現 $=$ アフィンの支配的整ウェイト」に置き換わります。 他方、物理ではこの代数は **Wess–Zumino–Witten（WZW）模型** の対称性として現れます。Lie 群に値をとる 2 次元の場 $g(z,\bar z)$ の作用に、位相的な Wess–Zumino 項をちょうどよい係数で加えると、保存カレントが正則・反正則に分離し、その Laurent モードがレベル $k$ のアフィン Lie 代数をなします。Polyakov–Wiegmann 恒等式はこの分離を作用のレベルで表す等式で、WZW 模型の解析（ゲージ化 WZW 模型による coset の実現など）の基本道具です。 この記事では、§2 でアフィン Kac–Moody 代数の構造、§3 で [頂点作用素代数](/mathematics/vertex-algebras/vertex-operator-algebras) の枠組みでの菅原構成、§4 で可積分表現、§5 で WZW 作用を扱います。 （この章の続きは購入者向けです。）