# 反例の空間：Sorgenfrey 平面・Moore 平面・長い直線・櫛空間・ハワイの耳輪 > 正規性や点列コンパクト性が積や逆向きの含意で成り立たないことを、Sorgenfrey 平面・Moore 平面・長い半直線・長い直線・櫛空間・ハワイの耳輪の性質を命題として証明しながら確かめ、含意の一覧を作る。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/topology/counterexample-spaces ## 0. この記事の要点 ある定理を学んだとき、その仮定を 1 つ外したら結論はどうなるのか、と考えたことはないでしょうか。この記事は、仮定を外すと結論が成り立たなくなることを、具体的な空間を作って確かめます。数直線を少し変えた空間どうしを掛け合わせると性質が壊れる例や、数直線を非可算個の区間で長く伸ばした空間を扱います。読み終えると、各定理の仮定がなぜ必要かを、例を挙げて説明できるようになります。 - 位相空間論の定理は、多くの仮定のもとで成り立ちます。仮定を 1 つ落とすと何が壊れるかを示すのが反例の空間で、定理の仮定が過剰でないことの証拠になります。この記事は、前の章までの定理の仮定が落とせないことを確かめます。 - **Sorgenfrey 直線**は、[正則](/mathematics/topology/separation-axioms#def-regular-normal)・[Lindelöf](/mathematics/topology/products-quotients-tychonoff#def-countability)・[パラコンパクト](/mathematics/topology/paracompactness)・正規ですが、距離化可能でなく、その平方（**Sorgenfrey 平面**）は正規でありません。したがって、正規性・パラコンパクト性・Lindelöf 性は積で保たれません。鍵は、可分な正規空間の閉離散集合の濃度に関する Jones の補題です。 - **Moore 平面**（接円板位相の上半平面）は [Tychonoff 空間](/mathematics/topology/tychonoff-spaces-and-embeddings#def-tychonoff-space)ですが正規でありません。完全正則性は正規性より真に弱い性質です。 - **長い半直線・長い直線**は、局所的には $\mathbb{R}$ と同相な[ハウスドルフ空間](/mathematics/topology/compactness#def-hausdorff)で、連結かつ[点列コンパクト](/mathematics/topology/countability-and-sequences#def-countably-compact)ですが、コンパクトでなく、距離化可能でもパラコンパクトでもありません。多様体の定義に第二可算性（あるいはパラコンパクト性）を入れる理由です。 - **櫛空間**は弧状連結で[可縮](/mathematics/algebraic-topology/fundamental-group-coverings#def-contractible)ですが[局所連結](/mathematics/topology/connectedness#def-locally-connected)でなく、**ハワイの耳輪**はコンパクト距離空間で弧状連結ですが、普遍被覆（単連結な被覆空間）をもちません。被覆空間論の仮定（局所弧状連結かつ半局所単連結。半局所単連結とは、各点の近傍の中のループが、空間全体の中では零ホモトピックになること）が落とせないことを示します。 - 最後に、分離公理・可算公理・コンパクト性・連結性の含意の一覧を作り、各矢印の逆が偽であることを示す空間を、命題への参照とともに並べます。 ## 1. 動機 「$A$ ならば $B$」型の定理を学んだら、次に考えるべきは逆と、仮定の必要性です。たとえば距離空間は正規で、正規空間の積は……と考えたくなりますが、正規性は積で保たれません。コンパクト性の同値条件を学ぶと「点列コンパクトならコンパクトか」が気になり、連結性と弧状連結性の違いを学ぶと「局所的にも同じか」が気になります。こうした問いへの答えは、ほとんどの場合、具体的な空間を 1 つ見せることです。 反例の空間の性質は、多くの場合、人から人へ「知られている」として伝わります。この記事では、それを Example でなく命題として扱い、証明つきで確認します。定理の根拠として使うのは、前の章までで証明した定理（Jones の補題の道具となる濃度の議論、パラコンパクトと正規性の関係、ネットや可算性の定理など）です。また、長い直線のように「作ること」自体に整列可能定理（[選択公理](/mathematics/foundations/axiom-of-choice-zorn#ax-choice)）が必要な空間もあります。 この記事は代数的位相幾何学の基本群と被覆空間（ハワイの耳輪の節）を使います。学習順としては位相空間論が先ですが、使う定理の証明が位相空間論の新しい結果に依存していないので、論理に循環はありません。 ## 2. 最初の非可算順序（$\omega_1$） 長い直線は、$\mathbb{R}$ の「長さ」を可算でなく非可算にするために、区間 $[0,1)$ を $\omega_1$ 個並べて作ります。まず並べる添字の集合を用意します。ここで使う[整列集合](/mathematics/foundations/axiom-of-choice-zorn#def-wellorder)とは、空でないどの部分集合にも最小元がある全順序集合のことで、0, 1, 2, … のように「次」を順に数えていける並びです。$\omega_1$ は、[非可算](/mathematics/foundations/cardinality-and-infinity#def-countable)になる最初の長さの整列集合、つまり、どの元より前も高々可算個しかないのに、全体は数え切れない並びです。 整列集合（）$(W,\le)$ が**非可算**で、すべての $a\in W$ について $W_{ そのような整列集合は存在します。整列可能定理（）で $\mathbb{R}$ に整列順序を入れ、$I=\{a:\ W_{\alpha\}$ が存在します。$\alpha$ が $\gamma+1$ の形でも最小元でもないとき、$\alpha$ は**極限**であるといいます。 $C\subseteq\omega_1$ が高々可算ならば、すべての $c\in C$ について $c<\beta$ となる $\beta\in\omega_1$ が存在する。 各 $c\in C$ について $\{x:x\le c\}=\{x:x）。$\omega_1$ は非可算なので、この合併に属さない $\beta$ がある。全順序なので、すべての $c\in C$ について $\beta\not\le c$、すなわち $c<\beta$。 ## 3. Sorgenfrey 直線・Sorgenfrey 平面 $\mathbb{R}$ に、半開区間 $[a,b)$（$a の (B1)(B2) は、$[a,b)\cap[c,d)=[\max\{a,c\},\min\{b,d\})$ から従う）を入れたものを **Sorgenfrey 直線** $S$ といいます。積位相を入れた $S\times S$ を **Sorgenfrey 平面**といいます。 Sorgenfrey 直線 $S$ について、次が成り立つ。 1. $S$ は通常の位相より細かく、ハウスドルフである。各 $[a,b)$ は開かつ閉であり、$S$ は $T_1$ かつ正則である。 2. $S$ は第一可算かつ可分だが、第二可算でない。特に距離化可能でない。 3. $S$ は Lindelöf であり、したがってパラコンパクトで正規である。 (3) の証明の方針：開被覆を、通常の開集合 $W$ でおおえる部分と、おおい残し $N$ に分けます。$W$ は第二可算なので可算個で足り、$N$ は高々可算個の点しかないので、両方あわせて可算個で $S$ をおおえます。 **(1)** 通常の開区間 $(a,b)=\bigcup_n[a+\frac{b-a}{n+2},b)$ は $S$ で開なので、通常の位相より細かい。したがって通常の位相のハウスドルフ性から、$S$ はハウスドルフ（交わらない通常の開集合は $S$ の開集合）である。$[a,b)$ の補集合 $(-\infty,a)\cup[b,\infty)$ は $\bigcup_n[a-n,a)\cup\bigcup_n[b,b+n)$ なので開で、$[a,b)$ は閉である。点 $x$ の補集合 $(-\infty,x)\cup(x,\infty)$ も開なので $T_1$。正則性：$F$ を閉集合、$x\notin F$ とする。$S\setminus F$ は開なので $[x,b)\subseteq S\setminus F$ なる $b$ があり、$[x,b)$ と $S\setminus[x,b)$ は $x$ と $F$ を分ける開集合である。 **(2)** $\{[x,x+1/n)\}_n$ は $x$ の近傍基で第一可算。$\mathbb{Q}$ は稠密（空でない開集合は $[a,b)$ を含み有理数を含む）で可分。第二可算なら可算開基 $\mathcal{B}$ があるが、各 $x$ について $x\in B_x\subseteq[x,x+1)$ なる $B_x\in\mathcal{B}$ をとると、$B_x$ の最小元は $x$（$B_x\subseteq[x,\infty)$ かつ $x\in B_x$）なので、$x\mapsto B_x$ は単射で $\mathcal{B}$ は非可算（）、矛盾。距離化可能で可分なら第二可算（ の 2）なので、距離化可能でない。 **(3)** $\mathcal{U}$ を $S$ の開被覆とする。各 $x$ に $U_x\in\mathcal{U}$ と $b_x>x$ で $[x,b_x)\subseteq U_x$ なるものをとる。$W=\bigcup_x(x,b_x)$（通常の開集合）、$N=\mathbb{R}\setminus W$ とおく。$y\in N$ に対し $(y,b_y)\subseteq W$ なので、$y）。一方 $W$ は $\mathbb{R}$ の部分空間として第二可算なので Lindelöf（ の 1）で、開被覆 $\{(x,b_x)\}$ の可算部分被覆 $\{(x_k,b_{x_k})\}$ がとれる。したがって $\{U_{x_k}\}_k\cup\{U_y\}_{y\in N}$ は $\mathcal{U}$ の可算部分被覆。よって $S$ は Lindelöf である。(1) の正則性と からパラコンパクト、ハウスドルフなので から正規。 次の補題は、可分な正規空間では閉離散集合が大きくなれないことを述べます。反対角線（直線 $y=-x$）の濃度を[連続体濃度](/mathematics/foundations/cardinality-and-infinity#def-continuum)にとれば、Sorgenfrey 平面の正規性が破れます。証明の発想は次のとおりです。閉離散集合 $D$ の部分集合 $A$ ごとに、正規性で $A$ と $D\setminus A$ を開集合で分け、可算稠密集合の点のうち $A$ 側に入るものを記録します。すると異なる $A$ には異なる記録が対応し、$D$ の部分集合の全体が $\mathbb{N}$ の部分集合の全体の中に入ってしまいます。 $X$ を可分な正規空間、$D\subseteq X$ を閉集合で、部分空間として離散であるものとする。このとき $\mathcal{P}(D)$ から $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ への単射が存在する。特に $D$ は $\mathbb{R}$ と対等でない。 $Q\subseteq X$ を可算稠密集合とする。$A\subseteq D$ とする。$D$ は離散なので $A$ は $D$ で閉、$D$ が $X$ で閉なので $A$ は $X$ で閉。同様に $D\setminus A$ も $X$ で閉で、$A\cap(D\setminus A)=\emptyset$。$X$ は正規なので、互いに交わらない開集合 $U_A\supseteq A$、$V_A\supseteq D\setminus A$ を（各 $A$ について 1 組ずつ選んで）とる。$\varphi(A)=U_A\cap Q$ とおく。$A\ne B$ なら $\varphi(A)\ne\varphi(B)$：たとえば $a\in A\setminus B$ とする（$B\setminus A$ に点があるときは役割を入れ替える）。$a\in D\setminus B\subseteq V_B$ かつ $a\in A\subseteq U_A$ なので、$U_A\cap V_B$ は空でない開集合で、$Q$ の点 $q$ を含む。$q\in U_A$ より $q\in\varphi(A)$、$q\in V_B$ と $U_B\cap V_B=\emptyset$ より $q\notin U_B$、すなわち $q\notin\varphi(B)$。よって $\varphi:\mathcal{P}(D)\to\mathcal{P}(Q)$ は単射で、$Q$ は可算なので $\mathcal{P}(Q)$ と $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ の間に全単射がある。 $D$ が $\mathbb{R}$ と対等とすると、$\mathcal{P}(\mathbb{R})$ から $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ への単射があり、$|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=|\mathbb{R}|$（）なので $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ から $\mathbb{R}$ への単射がある。一方 $\mathbb{R}$ から $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ への単射 $x\mapsto\{x\}$ があるので、Cantor–Bernstein の定理（）から全単射 $\mathbb{R}\to\mathcal{P}(\mathbb{R})$ があり、これは に反する。 Sorgenfrey 平面 $S\times S$ は正則でハウスドルフ、可分であるが、正規でない。したがって Lindelöf でもパラコンパクトでもない。すなわち、正規性・パラコンパクト性・Lindelöf 性は積で保たれない（$S$ 自身は 3 つとも満たす、）。 **正則・ハウスドルフ・可分。** $S\times S$ の開基 $[a,b)\times[c,d)$ は、各因子が開かつ閉なので、補集合が $\bigl((S\setminus[a,b))\times S\bigr)\cup\bigl(S\times(S\setminus[c,d))\bigr)$ として開で、開かつ閉である。したがって の (1) と同様に、正則かつ $T_1$（各点は閉）である。通常の平面の位相より細かいのでハウスドルフ。$\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ は稠密で可分。 **反対角線。** $L=\{(x,-x):x\in\mathbb{R}\}$ とおく。$L$ の点 $(x,-x)$ について $[x,x+1)\times[-x,-x+1)\cap L=\{(x,-x)\}$（$(y,-y)$ が属すると $y\ge x$ かつ $-y\ge-x$ で $y=x$）なので、$L$ は部分空間として離散である。$L$ は閉：$(p,q)\notin L$、すなわち $p+q\ne0$ とする。$p+q>0$ なら $0<\varepsilon<(p+q)/2$、$p+q<0$ なら $0<\varepsilon<-(p+q)/2$ をとり、$[p,p+\varepsilon)\times[q,q+\varepsilon)$ の点 $(u,v)$ は $u+v\in[p+q,p+q+2\varepsilon)$ で $0$ を含まない。よって $L$ と交わらない近傍がある。$L$ は $\mathbb{R}$ と対等。 **正規でない。** $S\times S$ が正規なら、 により閉離散集合 $L$ は $\mathbb{R}$ と対等でなく矛盾。したがって正規でない。パラコンパクトなハウスドルフ空間は正規（）なので、パラコンパクトでない。正則かつ Lindelöf な空間はパラコンパクト（）なので、Lindelöf でもない。 ## 4. Moore 平面 $\Gamma=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:y\ge0\}$ とし、$A=\{(x,0)\}$（$x$ 軸）とします。$\Gamma$ の部分集合の族 $\mathcal{B}$ を、次の 2 種類の集合からなる族とします。 - $y>0$ に含まれる通常の開円板（ユークリッド距離）。 - $x\in\mathbb{R}$、$r>0$ に対し、$T(x,r)=\{(x,0)\}\cup D\bigl((x,r),r\bigr)$。ここで $D(c,r)$ は中心 $c$ 半径 $r$ の開円板で、$D((x,r),r)$ は $x$ 軸に点 $(x,0)$ で接する円板。 $\mathcal{B}$ は (B1)(B2) を満たし（次の命題の (1)）、$\mathcal{B}$ を開基とする位相が定まります。これを **Moore 平面**（接円板位相の上半平面）といいます。 Moore 平面 $\Gamma$ について、次が成り立つ。 1. $\mathcal{B}$ は (B1)(B2) を満たす。$\Gamma$ の位相は $\Gamma$ 上の通常の位相より細かく、ハウスドルフである。 2. $\Gamma$ は Tychonoff 空間（）である。 3. $\Gamma$ は可分であるが正規でない。 証明の (2) では、軸上の点 $(x_0,0)$ に向かって値が $0$ に下がる連続関数を作ります。そのために、上半平面の点 $z$ に、$(x_0,0)$ で軸に接して $z$ を通る円の半径 $\tau(z)$ を対応させます。$z$ が接円板 $T(x_0,r)$ に入ることは $\tau(z) **(1)** (B1)：$y>0$ の点は小さい円板に、$(x,0)$ は $T(x,1)$ に含まれる。(B2)：$B,B'\in\mathcal{B}$ とし、$z\in B\cap B'$ とする。$z=(x,0)$ なら、軸の点を含む $\mathcal{B}$ の元は $T(x,\cdot)$ だけなので、$B=T(x,r)$、$B'=T(x,r')$（$r\le r'$ とする）。$w\in D((x,r),r)$ なら $|w-(x,r')|\le|w-(x,r)|+|r'-r|0$ の点 $z$ については、$B\cap\{y>0\}$、$B'\cap\{y>0\}$ はどちらも通常の開集合なので、$z$ を中心とする小さい通常の開円板 $D\subseteq\{y>0\}$ で $D\subseteq B\cap B'$ となるものがあり、$D\in\mathcal{B}$。 通常の位相より細かいこと：$G$ を $\mathbb{R}^2$ の開集合、$p\in G\cap\Gamma$ とする。$p$ が $y>0$ なら小さい円板が、$p=(x,0)$ なら $D((x,r),r)\subseteq D((x,0),2r)$ なので、十分小さい $r$ で $T(x,r)\subseteq G\cap\Gamma$ となる。よって $G\cap\Gamma$ は $\Gamma$ で開。したがって、通常の位相のハウスドルフ性から $\Gamma$ はハウスドルフ。 **(2)** $\Gamma$ は $T_1$ なので、完全正則性を示す。$F$ を閉集合、$p\notin F$ とする。$p$ を含む基本開集合 $B\subseteq\Gamma\setminus F$ がある。*(i) $p=(u_0,v_0)$、$v_0>0$ の場合。* $B$ は通常の円板としてよく（$y>0$ の小さい円板をとり直す）、半径 $\varepsilon$ の $D(p,\varepsilon)\subseteq\Gamma\setminus F$ とする。$g(z)=\min\{1,|z-p|/\varepsilon\}$ は通常の位相で連続なので、細かい位相の $\Gamma$ でも連続で、$g(p)=0$、$F$ 上で $g=1$。*(ii) $p=(x_0,0)$ の場合。* $T(x_0,r)\subseteq\Gamma\setminus F$ とする。$y>0$ の点 $z=(u,v)$ に対し $\tau(z)=\dfrac{(u-x_0)^2+v^2}{2v}$ とおく。$z\in D((x_0,\rho),\rho)$ すなわち $(u-x_0)^2+(v-\rho)^2<\rho^2$ は $\tau(z)<\rho$ と同値である（展開して整理する）。$f(z)=\min\{1,\tau(z)/r\}$（$y>0$）、$f(p)=0$、$f=1$（軸上の $p$ 以外の点）と定める。$f$ が $\Gamma$ で連続であることを示す。$y>0$ の点では、$\tau$ は通常の位相で連続で、基本近傍は通常の円板なので $f$ は連続。$p$ では、$0<\varepsilon\le1$ に対し $T(x_0,\varepsilon r)$ 上で $f<\varepsilon$ なので連続。軸上の $q=(x',0)\ne p$ では、$\delta=|x'-x_0|$ とし、$r'\le\min\{\delta/2,\ \delta^2/(16r)\}$ をとると、$z=(u,v)\in D((x',r'),r')$ について $v<2r'$、$|u-x'|0$ ならば $z\notin D((x_0,r),r)$、すなわち $\tau(z)\ge r$ で $f(z)=1$。軸上なら $z\ne p$ で $f(z)=1$。よって $f(p)=0$、$F$ 上 $f=1$。 **(3)** $y>0$ の有理点全体 $\Gamma_0$ は可算で、基本開集合（円板 $T(x,r)$ は $D((x,r),r)$ を含む）はすべて $\Gamma_0$ の点を含むので稠密、$\Gamma$ は可分である。$A$ は閉：$y>0$ の点は $A$ と交わらない円板をもつ。$A$ は部分空間として離散：$T(x,r)\cap A=\{(x,0)\}$。$A$ は $\mathbb{R}$ と対等。$\Gamma$ が正規なら に反するので、$\Gamma$ は正規でない。 Moore 平面は、完全正則性が正規性より真に弱いこと（Tychonoff だが $T_4$ でない）を示す標準的な空間です。 ## 5. 長い半直線と長い直線 $\omega_1$ の元ごとに区間 $[0,1)$ を 1 つずつ置き、辞書式順序で並べます。 集合 $L=\omega_1\times[0,1)$ に、辞書式順序 $(\alpha,s)<(\beta,t)\iff\alpha<\beta$ または（$\alpha=\beta$ かつ $s）を与えたものを**長い半直線**（閉じた長い半直線）といい、最小元 $(\alpha_0,0)$（$\alpha_0=\min\omega_1$）を $0$ と書きます。**長い直線** $\ell$ は、$L$ の $0$ 以外の点 $x$ ごとに記号 $x^-$ を用意して $L^-=\{x^-\}$ とし、$L\cup L^-$ に、$L$ では上の順序、$x^- 順序位相の部分空間について、次の補題を使います。全順序集合 $X$ の部分集合 $Y$ が**凸**であるとは、$a,b\in Y$、$a 全順序集合 $X$ の凸部分集合 $Y$ について、$X$ の順序位相から $Y$ に入る部分空間位相は、$Y$ 自身の順序（の制限）による順序位相に一致する。特に、順序同型な凸部分集合は互いに同相である。 $X$ に $-\inftyY$ なら空集合として）、同様に $\beta$ について処理すると、$I_Y(\alpha',\beta')$ の形か空集合になる。よって部分空間位相の開基の元は $Y$ の順序位相で開で、部分空間位相は順序位相に含まれる。逆に $I_Y(a,b)$（$a,b\in Y\cup\{\pm\infty\}$）は $I_X(a,b)\cap Y$ に等しいので部分空間位相で開。順序同型は順序位相の同相写像を与える（開基を開基にうつす）ので後半も従う。 また、$[0,1)$ や $[0,1]$ の通常の位相は、$\mathbb{R}$ の順序位相（ により通常の位相）の凸部分集合としての順序位相に一致します（）。次の補題は、$L$ が局所的に区間と同じ構造をもつことの本体です。 $\beta<\alpha$（$\beta,\alpha\in\omega_1$）に対し、$L$ の部分集合 $I(\beta,\alpha)=\{x\in L:(\beta,0)\le x<(\alpha,0)\}$ は $[0,1)$ と順序同型である。 この補題は、長い半直線のどの点の近くも $\mathbb{R}$ と同じに見える理由を与えます。証明の方針は、$\alpha$ より前の部分を超限帰納法で小片に分け、各小片を区間とみなして貼り合わせることです。$\alpha$ が極限のときは、可算個の小片を長さ $1/2, 1/4, \dots$ の区間に押し込むと、全体が $[0,1)$ に収まります。 $\alpha$ に関する超限帰納法（）で、「すべての $\beta<\alpha$ について $I(\beta,\alpha)\cong[0,1)$」を示す。$\alpha$ より小さい元について成り立つとする。 *$\alpha=\gamma+1$ の場合。* $\beta=\gamma$ なら $I(\beta,\alpha)=\{\gamma\}\times[0,1)\cong[0,1)$。$\beta<\gamma$ なら $I(\beta,\alpha)=I(\beta,\gamma)\sqcup(\{\gamma\}\times[0,1))$（前者が後者より小さい）で、帰納法の仮定から前者は $[0,1)$ と順序同型。前者を $[0,\tfrac12)$ に（$x\mapsto x/2$ との合成で）、後者を $[\tfrac12,1)$ に（$s\mapsto(1+s)/2$ で）うつして、$[0,1)$ との順序同型を得る。 *$\alpha$ が極限の場合。* 開区間 $\{\xi:\beta<\xi<\alpha\}$ は $\omega_{1<\alpha}$ の部分集合として高々可算で、無限である（有限なら、$\beta$ とこの集合の元のうち最大のもの $\mu$ について $\mu<\xi<\alpha$ なる $\xi$ がなく、$\alpha=\mu+1$ となって、$\alpha$ が極限であることに反する）。その元を $\xi_0,\xi_1,\dots$ と並べる。$\gamma_0=\beta$、$\gamma_{n+1}=m_n+1$（$m_n=\max\{\gamma_n,\xi_n\}<\alpha$。$\alpha$ は極限なので $m_n+1<\alpha$）とする。$\gamma_n$ は狭義増加で、すべての $\xi_k$ は $\gamma_{k+1}$ より小さい。したがって $I(\beta,\alpha)=\bigsqcup_{n\ge0}I(\gamma_n,\gamma_{n+1})$（第 1 座標が $\xi<\alpha$ の点は、ある $n$ で $\gamma_n\le\xi<\gamma_{n+1}$ となる）。各 $I(\gamma_n,\gamma_{n+1})$ は帰納法の仮定から $[0,1)$ と順序同型で、$n$ 番目を区間 $[1-2^{-n},1-2^{-n-1})$ にうつすと、全体が $[0,1)$ と順序同型になる。 次の補題は、長い半直線がコンパクトでないことの帰結（パラコンパクトでないこと）を導くために使います。[可算コンパクト](/mathematics/topology/countability-and-sequences#def-countably-compact)とは、可算な開被覆からは有限個を選んで覆える、という性質です。 位相空間 $X$ がパラコンパクトかつ可算コンパクト（）ならば、$X$ はコンパクトである。 $\mathcal{U}$ を開被覆とし、局所有限な開細分 $\mathcal{V}$（空集合は除く）をとる。$\mathcal{V}$ が無限なら、相異なる $V_1,V_2,\dots\in\mathcal{V}$ と点 $x_n\in V_n$ がとれる。可算コンパクト性（ の (c)）から点列 $(x_n)$ は集積点 $x$ をもつ。$\mathcal{V}$ の局所有限性から、$x$ の開近傍 $N$ は有限個の $V\in\mathcal{V}$ としか交わらないが、$x$ が集積点なので $N$ は無限個の $n$ について $x_n\in V_n$ を含み、相異なる無限個の $V_n$ と交わる。矛盾。よって $\mathcal{V}$ は有限で、各 $V$ を含む $U_V\in\mathcal{U}$ をとれば有限部分被覆が得られる。 長い半直線 $L$ と長い直線 $\ell$ について、次が成り立つ。 1. $L$ はハウスドルフである。$L$ の各点は、$[0,1)$ または $\mathbb{R}$ に同相な開近傍をもつ。 2. $L$ は連結である。 3. $L$ は点列コンパクトであるが、コンパクトでない。 4. $L$ は距離化可能でなく、パラコンパクトでもない。 5. $\ell$ はハウスドルフで、各点が $\mathbb{R}$ に同相な開近傍をもち（1 次元の位相多様体の局所条件）、連結である。$\ell$ は点列コンパクトで、コンパクトでなく、距離化可能でなく、パラコンパクトでもない。 以下 $\alpha_0=\min\omega_1$ とする（$0=(\alpha_0,0)$）。 **(1)** ハウスドルフ性は 。$p=(\alpha,s)\ne0$ とする。$(\alpha_0,0) により $(0,1)$ と順序同型である。$p=0$ の場合、$(\leftarrow,(\alpha_0+1,0))=I(\alpha_0,\alpha_0+1)$ は開区間で $[0,1)$ と順序同型。これらの区間は凸なので、 により、部分空間位相が順序位相に一致し、順序同型により $(0,1)$ や $[0,1)$ の順序位相、すなわち通常の位相（ と ）をもつ空間と同相である。 **(2)** $\alpha>\alpha_0$ について $K_\alpha=\{x:0\le x\le(\alpha,0)\}$ は、$I(\alpha_0,\alpha)$ に最大元 $(\alpha,0)$ を付けたもので、 により $[0,1]$ と順序同型。$K_\alpha$ は凸なので、 により $[0,1]$ と同相、 と により連結である。$(\gamma,s)\in L$ は $(\gamma,s)<(\gamma+1,0)$ なので $K_{\gamma+1}$ に属し（$\gamma+1>\alpha_0$）、$L=\bigcup_\alpha K_\alpha$。すべての $K_\alpha$ が $0$ を含むので、 から $L$ は連結。 **(3)** $(x_n)$ を $L$ の点列、$x_n=(\gamma_n,s_n)$ とする。$\{\gamma_n\}$ は高々可算なので、 により $\alpha$ で $\gamma_n<\alpha$ なるものがある。$x_n\in K_\alpha\cong[0,1]$（コンパクト距離空間）なので、$K_\alpha$ で収束する部分列がある（）。$K_\alpha\to L$ の包含は連続（）なので、部分列は $L$ でも収束する。コンパクトでないこと：$\{(\leftarrow,(\alpha,0))\}_{\alpha\in\omega_1}$ は $L$ の開被覆（$(\gamma,s)<(\gamma+1,0)$）だが、有限個の合併は最大の $\alpha$ の区間で、$(\alpha,0)$ を含まない。 **(4)** $L$ が距離化可能とすると、(3) の点列コンパクト性と からコンパクトとなり矛盾。点列コンパクトなら可算コンパクト（ の 2）で、$L$ がパラコンパクトなら からコンパクトとなり矛盾。 **(5)** 凸部分集合 $L\subseteq\ell$ は、順序位相が $L$ の順序位相と一致する（）。$L^-\cup\{0\}$ も凸で、順序反転の写像 $x^-\mapsto x$ により $L$ と順序同型（反転）、同相。ハウスドルフ性は 。局所条件：$p\in L\setminus\{0\}$ の $L$ での開近傍（(1)、下端が $L$ の点なので $\ell$ の開区間でもある）は $\ell$ で開で $(0,1)$ に同相。$L^-$ の点も反転して同様。$p=0$ では、$c=(\alpha_0,1/2)$ として $(c^-,c)$ が $\ell$ の開区間で、$(\alpha_0,t)\mapsto t$、$(\alpha_0,t)^-\mapsto-t$ により $(-1/2,1/2)$ と順序同型、 により同相。連結性：$L$ と $L^-\cup\{0\}$ は連結で $0$ を共有するので、 から $\ell$ は連結。点列コンパクト：$\ell$ の点列は、$L$ か $L^-\cup\{0\}$ に無限個の項をもち、その部分列は (3) により収束する。コンパクトでない：$L$ は $\ell$ の閉集合（補集合 $(\leftarrow,0)$ は開）で、$\ell$ がコンパクトなら $L$ もコンパクト（）となり (3) に反する。距離化可能なら部分空間 $L$ も距離化可能で (4) に反する。パラコンパクトなら閉部分空間 $L$ もパラコンパクト（ の 1）で (4) に反する。 長い直線は、各点のまわりで $\mathbb{R}$ と同じに見えるハウスドルフ空間ですが、第二可算でもパラコンパクトでもありません。位相多様体の定義に「第二可算」（または「パラコンパクト」）を入れるのは、このような空間を除くためです（）。 ## 6. 櫛空間 $K=\{0\}\cup\{1/n:n\ge1\}$ とし、$\mathbb{R}^2$ の部分空間 $$ C=\bigl([0,1]\times\{0\}\bigr)\cup\bigl(K\times[0,1]\bigr) $$ を**櫛空間**といいます。底辺 $[0,1]\times\{0\}$ に、$x\in K$ ごとに高さ $1$ の歯 $\{x\}\times[0,1]$ が立った形です。 櫛空間 $C$ について、次が成り立つ。 1. $C$ は可縮（）で、したがって弧状連結である。 2. $C$ は点 $(0,1)$ で局所連結でない。特に $C$ は局所連結でなく、局所弧状連結でもない。 **(1)** $H:C\times[0,1]\to C$ を $$ H\bigl((x,y),t\bigr)=\begin{cases}(x,\,(1-2t)\,y)&(0\le t\le\tfrac12)\\ ((2-2t)\,x,\,0)&(\tfrac12\le t\le1)\end{cases} $$ と定める。値が $C$ に入ること：$y>0$ なら $x\in K$ で、$(x,(1-2t)y)$ は歯 $\{x\}\times[0,1]$ の点、$y=0$ なら底辺の点。第 2 式の値は底辺の点。$t=\tfrac12$ で両式とも $(x,0)$ に一致し、2 つの場合分けの領域 $C\times[0,\tfrac12]$、$C\times[\tfrac12,1]$ は閉で、各式は連続（多項式）なので、貼り合わせ補題（）から $H$ は連続。$H(\cdot,0)=\mathrm{id}$、$H(\cdot,1)\equiv(0,0)$ なので可縮。可縮な空間は弧状連結（ の 2）。 **(2)** $p=(0,1)$、$V=C\cap B(p,1/2)$ とし、$p$ の連結な開近傍 $W\subseteq V$ が存在すると仮定する。$W\subseteq B(p,1/2)$ の点の第 2 座標は $1/2$ より大きいので、$W\subseteq K\times(1/2,1]$ である（底辺の点は第 2 座標 $0$）。$W$ は $C$ で開で、$p\in W$ であり、$(1/n,1)\to p$ なので、十分大きい $n$ で $(1/n,1)\in W$。第 1 座標への射影 $h(x,y)=x$ は連続で、$W$ は連結なので、$h(W)$ は連結（）、すなわち区間である（）。$h(W)\ni0,1/n$ から $[0,1/n]\subseteq h(W)\subseteq K$ となるが、$t=2/(2n+1)\in(1/(n+1),1/n)$ は $K$ に属さない。矛盾。したがって局所連結でない（局所連結性の定義、）。弧状連結な開集合は連結（）なので、局所弧状連結なら局所連結で、局所弧状連結でもない。 可縮な空間は単連結（基本群が自明）なので、被覆空間論の観点からは「良い」空間ですが、局所連結でないため、位相的には「悪い」ところをもちます。局所可縮であれば局所弧状連結（ の 3）なので、櫛空間は局所可縮でもありません。 ## 7. ハワイの耳輪 複素平面 $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ で、$C_n=\{z:|z-1/n|=1/n\}$（$n\ge1$）とし、$\mathbb{H}=\bigcup_{n\ge1}C_n$ を**ハワイの耳輪**といいます。半径 $1/n$ の円が、原点で内側に接しながら入れ子になった図形です。 円 $C_m$ と $C_n$（$m\ne n$）は原点でだけ交わります（$|z|^2=2\operatorname{Re}z/n=2\operatorname{Re}z/m$ から $\operatorname{Re}z=0$、$z=0$）。また $C_n$ の点は $|z|\le2/n$ を満たします。 ハワイの耳輪 $\mathbb{H}$ について、次が成り立つ。 1. $\mathbb{H}$ はコンパクト距離空間で、弧状連結である。 2. 各 $n$ について、$r_n:\mathbb{H}\to C_n$（$z\in C_n$ なら $r_n(z)=z$、そうでなければ $0$）は連続である。 3. 原点の任意の近傍 $U$ に対し、$U$ の中の原点を基点とするループで、$\mathbb{H}$ の中で零ホモトピックでないものがある。特に $\mathbb{H}$ は半局所単連結でない。 4. $\mathbb{H}$ の単連結な被覆空間は存在しない。すなわち普遍被覆をもたない。 (4) の方針：[被覆空間](/mathematics/algebraic-topology/fundamental-group-coverings#def-covering)の被覆写像は、原点のまわりの小さい近傍の上で同相になります。ところが原点の近くには零ホモトピックでないループがあるので、被覆空間が単連結だと、そのループを持ち上げたものが零ホモトピックになってしまい、(3) と矛盾します。 **(1)** $\mathbb{H}\subseteq B(0,2)$ は有界。閉であること：$p\notin\mathbb{H}$ とする。$p=0$ は $\mathbb{H}$ の点なので $p\ne0$。$2/k<|p|/2$ なる $k$ について $C_k\subseteq B(0,|p|/2)$ なので $B(p,|p|/2)$ と交わらない。残りの有限個の $C_k$ は閉集合で $p$ を含まないので、$p$ は十分小さい近傍で $\mathbb{H}$ と交わらない。よって $\mathbb{H}$ は閉で、Heine–Borel（）によりコンパクト、距離空間は $\mathbb{R}^2$ の距離から。各 $C_n$ は $s\mapsto1/n-(1/n)e^{2\pi is}$ の像として、原点と任意の点を道で結ぶ。道の逆と接続（）により、任意の 2 点を原点経由で結べる。 **(2)** $z\in\mathbb{H}$、$z\ne0$ とし、$z\in C_m$ とする。$\delta=|z|/2$ について、$B(z,\delta)$ と交わる $C_k$ は $2/k\ge|z|/2$ なる有限個の $k$ だけで、各 $C_k$ 上で $r_n$ は恒等写像か定値写像で連続である。有限個の閉集合 $\mathbb{H}\cap\overline{B}(z,\delta)\cap C_k$ に貼り合わせ補題（）を使うと、$r_n$ は $z$ の近傍で連続。$z=0$ では $|r_n(w)|\le|w|$ から連続。 **(3)** $\gamma_n(s)=\dfrac1n-\dfrac1ne^{2\pi is}$ は $C_n$ の中の原点を基点とするループで、$h_n(z)=1-nz$ は $C_n$ から $S^1$ への同相写像（$|1-nz|=n|1/n-z|=1$、逆写像も同形）で $h_n(0)=1$、$h_n(\gamma_n(s))=e^{2\pi is}$ である。ループ $\sigma(s)=e^{2\pi is}$（ の記号では $\omega_1$。この記事の $\omega_1$ とは別物）とおく。連続写像 $h_n\circ r_n:\mathbb{H}\to S^1$ が誘導する準同型で $[\gamma_n]$ は $[\sigma]$ にうつり、$[\sigma]\ne1$ である（同定理：$k\mapsto[s\mapsto e^{2\pi iks}]$ は $\mathbb{Z}$ からの同型で、$[\sigma]$ は $1\in\mathbb{Z}$ に対応）。したがって $\gamma_n$ は $\mathbb{H}$ の中で零ホモトピックでない。原点の近傍 $U$ は $B(0,\varepsilon)\cap\mathbb{H}$ を含み、$2/n<\varepsilon$ なる $n$ について $C_n\subseteq U$、$\gamma_n$ は $U$ の中のループである。 **(4)** $p:\tilde{\mathbb{H}}\to\mathbb{H}$ を被覆写像（）とし、$\tilde{\mathbb{H}}$ が単連結（弧状連結で基本群が自明）と仮定する。原点のよく被覆される開近傍 $U$ をとり、原点の逆像の 1 点 $\tilde0$ を含む層 $V$（$p|_V:V\to U$ は同相）をとる。(3) の $n$ を、$C_n\subseteq U$ となるようにとり、$\tilde\gamma=(p|_V)^{-1}\circ\gamma_n$ とおくと、$\tilde\gamma$ は $\tilde0$ を基点とする $V$ のループである（$\gamma_n(0)=\gamma_n(1)=0$ なので $\tilde\gamma(0)=\tilde\gamma(1)=\tilde0$）。$\tilde{\mathbb{H}}$ は単連結なので、$\tilde\gamma$ は端点を固定して零ホモトピックで、$p$ で移すと $p\circ\tilde\gamma=\gamma_n$ が $\mathbb{H}$ で零ホモトピックとなり、(3) に反する。 局所弧状連結かつ半局所単連結な空間は普遍被覆をもつ（）ので、ハワイの耳輪はその仮定のうち半局所単連結性が落とせない例になっています（$\mathbb{H}$ は局所弧状連結ですが、(3) により半局所単連結でありません。局所弧状連結性は、原点の近傍 $B(0,\varepsilon)\cap\mathbb{H}$ が、丸ごと入る小さい円 $C_n$ と、大きい円の原点を含む開弧との合併で、どれも原点を通る弧状連結な集合であることから確かめられます。原点以外の点では $\mathbb{H}$ は局所的に 1 つの円の開弧です）。基本群が非可算で自由群でないことなどの、より精密な性質は研究水準で、この記事では扱いません（Cannon–Conner, Topology and its Applications 106 (2000)）。 ## 8. 含意の一覧 前の章までに現れた性質の間の含意と、その逆が成り立たないことを示す空間をまとめます。逆の否定は、いずれも上で証明した命題（または前の章の命題）が与えます。 **分離公理・可算性・パラコンパクト性** - 距離化可能 $\Rightarrow$ 第一可算。逆は偽：Sorgenfrey 直線（）は第一可算だが距離化可能でない。 - 第二可算 $\Rightarrow$ 可分。逆は偽：Sorgenfrey 直線は可分だが第二可算でない（同命題）。また、Moore 平面は可分だが正規でないので第二可算でない（第二可算な正則空間は正規、）。 - $T_4$（$T_1$ かつ正規）$\Rightarrow$ Tychonoff（ の 4）$\Rightarrow$ $T_3$（$T_1$ かつ正則。同命題の 1）$\Rightarrow$ ハウスドルフ。1 つ目の逆は偽：Moore 平面は Tychonoff だが正規でない（）。$T_0$ だが $T_1$ でない空間の例として Sierpiński 空間がある（）。 - 正則 Lindelöf $\Rightarrow$ パラコンパクト $\Rightarrow$ 正規（ハウスドルフのとき）。**積は保たない**：Sorgenfrey 直線はこれらすべてをもつが、Sorgenfrey 平面は正規でなく、したがってパラコンパクトでも Lindelöf でもない（）。 - ハウスドルフ $\Rightarrow$ 極限の一意性（ネット・フィルター）。補可算位相の $\mathbb{R}$ では点列の極限は一意だがネットの極限は一意でない（）。 **コンパクト性** - コンパクト $\Rightarrow$ 可算コンパクト、点列コンパクト $\Rightarrow$ 可算コンパクト（）。コンパクトだが点列コンパクトでない空間：$\{0,1\}^{[0,1]}$（）。点列コンパクトだがコンパクトでない空間：長い半直線（）。 - 距離空間では、コンパクト・点列コンパクト・可算コンパクトは同値（ の 6）。長い半直線が距離化可能でないのは、この同値の対偶である。 - パラコンパクトな可算コンパクト空間はコンパクト（）。長い半直線・長い直線がパラコンパクトでないのはこの帰結である。 **連結性・局所連結性・被覆空間** - 弧状連結 $\Rightarrow$ 連結。逆は偽：トポロジストの正弦曲線（）。 - 可縮 $\Rightarrow$ 弧状連結（単連結）。可縮だが局所連結でない空間：櫛空間（）。トポロジストの正弦曲線が局所連結でないこと：。 - 局所弧状連結かつ半局所単連結 $\Rightarrow$ 普遍被覆をもつ。半局所単連結性が落とせない例：ハワイの耳輪（）。 **多様体の定義** - 局所的に $\mathbb{R}^n$ と同相なハウスドルフ空間であっても、第二可算でなければ距離化可能とは限らない：長い直線（）。第二可算（またはパラコンパクト）という仮定を入れると距離化可能になる（）。 **反例を作る定石。** この記事の空間は、次の操作の例にもなっています。*細かい位相*：Sorgenfrey 直線（通常の位相より細かくして、正規でない積を作る）、Moore 平面（軸の近傍を細かくして閉離散な軸を作る）。*順序位相*：長い直線（$\mathbb{R}$ の順序を非可算に伸ばす）。*積*：Sorgenfrey 平面。*部分空間の貼り合わせ・列の極限*：櫛空間（歯の列が $x=0$ の歯に近づく）、ハワイの耳輪（円の列が原点に近づく）。商空間を使った反例は [積位相・商位相と Tychonoff の定理](/mathematics/topology/products-quotients-tychonoff) で扱っています。 ## 9. 演習 Sorgenfrey 直線 $S$ で、点列 $x_n=1/n$ と $y_n=-1/n$ は、それぞれ $0$ に収束するか。理由とともに答えてください。 $0$ の近傍基は $[0,\varepsilon)$ で、$x_n=1/n\in[0,\varepsilon)$ は $n>1/\varepsilon$ で成り立つので $x_n\to0$。一方 $y_n<0$ で、$0$ の近傍 $[0,1)$ はどの $y_n$ も含まないので、$y_n$ は $0$ に収束しない（通常の位相ではどちらも $0$ に収束する）。 Moore 平面 $\Gamma$ は第一可算であるが、第二可算でないことを示してください。 $y>0$ の点 $p$ では半径 $1/n$ の円板 $D(p,1/n)$（$n$ が大きいとき）、軸上の点 $(x,0)$ では $T(x,1/n)$ が近傍基で、第一可算。$\Gamma$ が第二可算なら、Tychonoff 空間は正則（ の 1）なので、第二可算な正則空間は正規（）となり、 に反する。 ハワイの耳輪 $\mathbb{H}$ が局所可縮でないことを示してください。 局所可縮な空間は半局所単連結（ の 3）だが、$\mathbb{H}$ は の (3) により半局所単連結でない。 ## 参考文献 - L. A. Steen, J. A. Seebach Jr., *Counterexamples in Topology*, Dover, 1995 — 本記事の反例（Sorgenfrey 直線、Moore 平面、長い直線、櫛空間）の網羅的な目録。 - J. R. Munkres, *Topology* (2nd ed.), Prentice Hall, 2000 — §24（長い直線）・§30–31（Sorgenfrey 直線と正規性）。 - R. Engelking, *General Topology*, Heldermann, 1989 — 第 1 章・第 2 章（Sorgenfrey 直線、Moore 平面）。 - A. Hatcher, *Algebraic Topology*, Cambridge University Press, 2002 — 第 1 章（ハワイの耳輪、普遍被覆）。