## 2. 準備：部分空間と分離
以下、$X, Y$ は位相空間（
）を表します。部分集合 $A \subseteq X$ を空間として扱うときは、つねに**相対位相**（部分空間位相）
$$
\mathcal{O}_A = \{\, U \cap A \;:\; U \text{ は } X \text{ の開集合} \,\}
$$
を入れます。「$A$ が連結である」という言明は、この $A$ 自身の位相空間としての性質を指します。$X$ の中でどう置かれているかではなく、$A$ の中の開集合だけで決まる性質だという点が重要です。相対位相の基本的な性質、とくに $B \subseteq A \subseteq X$ のとき「$B$ に $A$ から入る相対位相」と「$B$ に $X$ から直接入る相対位相」が一致すること（相対位相の推移性）は、[位相空間の定義と基本概念](/mathematics/topology/topological-spaces)で確認したとおりです。以下ではこれを断りなく使います。
$\{0,1\}$ には**離散位相**（すべての部分集合が開）を入れ、これを $\mathbf{2}$ と書きます。$\mathbf{2}$ は「分離しきった 2 点」の標準的なモデルであり、この記事の主役です。
位相空間 $X$ に対し、$X$ の開集合の組 $(U, V)$ が
$$
U \ne \varnothing,\quad V \ne \varnothing,\quad U \cap V = \varnothing,\quad U \cup V = X
$$
をすべて満たすとき、$(U,V)$ を $X$ の**分離**（separation）といいます。$X$ が分離をもたないとき、$X$ は**連結**（connected）であるといい、分離をもつとき**非連結**であるといいます。
部分集合 $A \subseteq X$ が連結であるとは、$A$ が相対位相に関して連結な位相空間であることをいいます。
空集合と 1 点集合は連結です。空集合については、$U \cup V = \varnothing$ と $U \ne \varnothing$ が両立しないので分離は存在しません。1 点集合 $\{x\}$ については、$U, V$ が空でなく交わらないなら合わせて 2 点以上必要になるので、やはり分離は存在しません。なお $\varnothing$ を連結とするかは流儀が分かれます。本記事では連結として扱いますが、「連結成分」を語る場面では空でない集合しか現れないので、実害はありません。
$U, V$ がともに開で、互いに素で、合併が $X$ であることから、$V = X \setminus U$ となり、$U$ も $V$ も**閉集合**でもあります。この観察が次の言い換えを生みます。
## 3. 連結性の 3 つの顔
位相空間 $X$ について、次の 4 条件は同値です。
1. $X$ は連結である（$X$ は分離をもたない）。
2. $X$ の部分集合で開かつ閉であるものは $\varnothing$ と $X$ に限る。
3. $X$ から離散空間 $\mathbf{2} = \{0,1\}$ への連続な全射は存在しない。
4. $X$ から $\mathbf{2}$ への連続写像はすべて定数写像である。
$(1) \Rightarrow (2)$ を対偶で示します。$A \subseteq X$ が開かつ閉で、$A \ne \varnothing$ かつ $A \ne X$ とします。$U = A$、$V = X \setminus A$ と置くと、$U$ は仮定より開、$V$ は $A$ が閉であることから開です。$A \ne X$ より $V \ne \varnothing$、$A \ne \varnothing$ より $U \ne \varnothing$、また明らかに $U \cap V = \varnothing$、$U \cup V = X$。よって $(U,V)$ は分離であり、$X$ は非連結です。
$(2) \Rightarrow (4)$。$f : X \to \mathbf{2}$ を連続写像とし、$A = f^{-1}(\{0\})$ と置きます。$\mathbf{2}$ は離散位相なので $\{0\}$ は開かつ閉です。$f$ の連続性より $A = f^{-1}(\{0\})$ は開であり、また $X \setminus A = f^{-1}(\{1\})$ も同じ理由で開なので $A$ は閉です。仮定 $(2)$ より $A = \varnothing$ または $A = X$、すなわち $f \equiv 1$ または $f \equiv 0$ です。
$(4) \Rightarrow (3)$。$f : X \to \mathbf{2}$ が全射なら、$f$ は値 $0$ と $1$ の両方を取るので定数ではありません。$(4)$ に反するので、そのような $f$ は存在しません。
$(3) \Rightarrow (1)$ を対偶で示します。$(U,V)$ を $X$ の分離とし、
$$
f(x) = \begin{cases} 0 & (x \in U) \\ 1 & (x \in V) \end{cases}
$$
と定めます。$U \cup V = X$ かつ $U \cap V = \varnothing$ なので $f$ は $X$ 上の写像として矛盾なく定まります。$\mathbf{2}$ の部分集合は $\varnothing, \{0\}, \{1\}, \{0,1\}$ の 4 つで、その逆像はそれぞれ $\varnothing, U, V, X$ となり、すべて $X$ の開集合です。よって $f$ は連続で、$U \ne \varnothing$、$V \ne \varnothing$ より全射です。ゆえに $(3)$ が破れます。
以上で $(1) \Rightarrow (2) \Rightarrow (4) \Rightarrow (3) \Rightarrow (1)$ が閉じ、4 条件は同値です。
条件 $(4)$ は「$X$ の上には $0$ と $1$ の 2 値をとる連続な旗を立てられない」と読めます。以後の証明の大半はこの形を使います。というのも、連続写像の合成は連続なので、$(4)$ は写像の言葉に翻訳しやすいからです。
$\mathbb{Q}$ に $\mathbb{R}$ からの相対位相を入れます。$A \subseteq \mathbb{Q}$ が 2 点 $p < q$ を含むとしましょう。ここで
$$
\alpha = p + \frac{q-p}{\sqrt{2}}
$$
と置くと、$0 < 1/\sqrt{2} < 1$ より $p < \alpha < q$ であり、$p, q \in \mathbb{Q}$ かつ $q - p \ne 0$ なので $\alpha$ が有理数だとすると $\sqrt{2} = (q-p)/(\alpha - p) \in \mathbb{Q}$ となって、
## 4. 直線の連結部分集合は区間に限る
$A \subseteq \mathbb{R}$ とします。$A$ が連結であることと、$A$ が**区間**であること、すなわち
$$
x, y \in A,\ x < z < y \implies z \in A
$$
が成り立つことは同値です。
**（連結 $\Rightarrow$ 区間）** 対偶を示します。$A$ が区間でないとすると、$x, y \in A$ と $z \notin A$ で $x < z < y$ なるものが取れます。
$$
U = A \cap (-\infty, z), \qquad V = A \cap (z, \infty)
$$
と置くと、$(-\infty,z)$ と $(z,\infty)$ は $\mathbb{R}$ の開集合なので $U, V$ は $A$ の相対開集合です。$x \in U$、$y \in V$ より両方空でなく、$U \cap V = \varnothing$ は明らか、そして $z \notin A$ なので $A$ の点はすべて $z$ より小さいか大きいかのどちらかで $U \cup V = A$。よって $(U,V)$ は $A$ の分離であり、$A$ は非連結です。
**（区間 $\Rightarrow$ 連結）** $A$ を区間とし、$A$ が非連結だと仮定して矛盾を導きます。$(U,V)$ を $A$ の分離とし、$a \in U$、$b \in V$ を取ります。$U \cap V = \varnothing$ より $a \ne b$ で、必要なら $U$ と $V$ の役割を入れ替えて $a < b$ としてよい。$A$ は区間なので $[a,b] \subseteq A$ です。
集合 $S = U \cap [a,b]$ は $a$ を含むので空でなく、$b$ で上に有界です。実数の**完備性**（[実数の完備性とコーシー列](/mathematics/real-analysis/completeness-and-cauchy)で扱った上限公理、
## 5. 連結性は連続写像で保たれる
$f : X \to Y$ を連続写像、$X$ を連結な位相空間とします。このとき像 $f(X) \subseteq Y$ は（相対位相に関して）連結です。
$g : f(X) \to \mathbf{2}$ を任意の連続写像とします。$f$ を終域 $f(X)$ に制限した写像 $\tilde f : X \to f(X)$ は連続です（相対位相の定義から、$f(X)$ の相対開集合 $W \cap f(X)$ の $\tilde f$ による逆像は $f^{-1}(W)$ に等しく、$f$ の連続性より開）。したがって合成 $g \circ \tilde f : X \to \mathbf{2}$ は連続です。$X$ は連結なので
次の 2 つは、連結な部品から大きな連結集合を組み立てるための道具です。どちらも
の $(4)$ を使うと一瞬で片づきます。
$X$ を位相空間、$\{A_i\}_{i \in I}$ を $X$ の連結部分集合の族とし、ある点 $p$ がすべての $A_i$ に属するとします（$I \ne \varnothing$）。このとき $A = \bigcup_{i \in I} A_i$ は連結です。
$f : A \to \mathbf{2}$ を連続写像とします。各 $i$ について、制限 $f|_{A_i} : A_i \to \mathbf{2}$ は連続です（$A_i$ に $A$ から入る相対位相は $X$ から入る相対位相と一致し、制限写像は包含写像との合成だから連続）。$A_i$ は連結なので
## 6. 中間値の定理は連結性の帰結である
ここまでの 2 つの定理を並べるだけで、解析学の出発点にある定理が出ます。
B["閉区間は連結（定理・区間の特徴づけ）"]
B --> C["連続写像 f の像は連結（定理・連続像）"]
C --> D["像は R の連結部分集合"]
D --> E["像は区間（定理・区間の特徴づけ・逆向き）"]
E --> F["中間値の定理"]`} />
$a < b$ を実数、$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ を連続写像とします。$\gamma$ が $f(a)$ と $f(b)$ の間の値、すなわち
$$
\min\{f(a), f(b)\} < \gamma < \max\{f(a), f(b)\}
$$
を満たすならば、$f(c) = \gamma$ となる $c \in (a,b)$ が存在します。
$[a,b]$ は $\mathbb{R}$ の区間なので、
## 7. 弧状連結性
冒頭で保留した「曲線で結べる」という定義を、ここで正式に導入します。
$X$ を位相空間、$x, y \in X$ とします。連続写像 $\gamma : [0,1] \to X$ で $\gamma(0) = x$、$\gamma(1) = y$ を満たすものを、$x$ から $y$ への**道**（path）といいます。ここで $[0,1]$ には $\mathbb{R}$ からの相対位相を入れます。
$X$ の任意の 2 点に対して、一方から他方への道が存在するとき、$X$ は**弧状連結**（path-connected）であるといいます。部分集合 $A \subseteq X$ が弧状連結であるとは、$A$ が相対位相に関して弧状連結であること、すなわち道の像が $A$ に含まれるように取れることをいいます。
道の存在は「$x$ と $y$ を結べる」という関係を定めますが、これが同値関係になることを確かめるには、道をつなぐ操作が連続写像になることを言う必要があります。それが次の補題です。
位相空間 $X$ が $X = A \cup B$ と書け、$A, B$ がともに $X$ の閉集合であるとします。連続写像 $f : A \to Y$、$g : B \to Y$ が $A \cap B$ 上で一致するならば、
$$
h(x) = \begin{cases} f(x) & (x \in A) \\ g(x) & (x \in B) \end{cases}
$$
で定まる写像 $h : X \to Y$ は連続です。
$A \cap B$ 上で $f = g$ なので $h$ は矛盾なく定まります。$C \subseteq Y$ を任意の閉集合とすると
$$
h^{-1}(C) = f^{-1}(C) \cup g^{-1}(C)
$$
です（$x \in h^{-1}(C)$ なら $x \in A$ か $x \in B$ で、それぞれ $f^{-1}(C)$、$g^{-1}(C)$ に入る。逆も同様）。$f$ が連続なので $f^{-1}(C)$ は $A$ の相対位相で閉集合であり、$A$ 自身が $X$ の閉集合なので $f^{-1}(C)$ は $X$ の閉集合です。同様に $g^{-1}(C)$ も $X$ の閉集合。有限個の閉集合の合併は閉なので $h^{-1}(C)$ は $X$ の閉集合です。閉集合の逆像がつねに閉であることは連続性と同値なので（
この補題により、$x$ から $y$ への道 $\gamma_1$ と $y$ から $z$ への道 $\gamma_2$ に対し
$$
\gamma(t) = \begin{cases} \gamma_1(2t) & (0 \le t \le 1/2) \\ \gamma_2(2t-1) & (1/2 \le t \le 1) \end{cases}
$$
は $[0,1] = [0,1/2] \cup [1/2,1]$（ともに閉）への貼り合わせとして連続になり、$x$ から $z$ への道を与えます。$t = 1/2$ では両式とも $\gamma_1(1) = y = \gamma_2(0)$ で一致しています。
空でない弧状連結な位相空間 $X$ は連結です。
$p \in X$ を 1 つ固定します。各 $x \in X$ に対し、$p$ から $x$ への道 $\gamma_x : [0,1] \to X$ を取り、その像を $A_x = \gamma_x([0,1])$ と置きます。
$[0,1]$ は $\mathbb{R}$ の区間なので
## 8. トポロジストの正弦曲線：逆は成り立たない
の逆は偽です。反例は次の図形で、位相空間論のいたるところで登場します。
$\mathbb{R}^2$ の部分集合
$$
S = \left\{ \left(x, \sin \tfrac{1}{x}\right) : 0 < x \le 1 \right\}, \qquad J = \{0\} \times [-1,1], \qquad T = S \cup J
$$
を考えます。$T$ に $\mathbb{R}^2$ からの相対位相を入れたものを**トポロジストの正弦曲線**といいます。
上の $T$ について次が成り立ちます。
1. $T$ は連結である。
2. $T$ は弧状連結でない。
**(1)** まず $S$ が連結であることを見ます。写像 $\sigma : (0,1] \to \mathbb{R}^2$、$\sigma(x) = (x, \sin(1/x))$ は各成分が連続なので連続であり、$S = \sigma((0,1])$ です。$(0,1]$ は区間なので
## 9. 連結成分と、$\mathbb{R}^n$ の開集合での一致
非連結な空間も、連結な部分に分解して理解できます。
位相空間 $X$ の点 $x, y$ に対し、$x$ と $y$ をともに含む連結部分集合が存在するとき $x \sim y$ と書きます。$\sim$ は同値関係であり（下の
## 10. 演習
$A, B$ を位相空間 $X$ の連結部分集合とし、$\overline{A} \cap B \ne \varnothing$ とします。$A \cup B$ が連結であることを示してください（$A \cap B = \varnothing$ でもよいことに注意）。
$p \in \overline{A} \cap B$ を取ります。$A \subseteq A \cup \{p\} \subseteq \overline{A}$ なので、
## 参考文献
- J. R. Munkres, *Topology*, 2nd ed., Prentice Hall, 2000 — 第 3 章（Connectedness and Compactness）。連結性・弧状連結性・局所連結性・成分の扱いが標準的で、トポロジストの正弦曲線も例として詳しく論じられています。
- 松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968 — 第 6 章。日本語で書かれた位相入門の定番で、連結性の定義と基本性質が丁寧です。
- 内田伏一『集合と位相』裳華房、1986 — 連結性の章。証明の細部が省略されておらず、独習に向きます。
- J. L. Kelley, *General Topology*, Springer (GTM 27), 1975 — 連結性の章。一般位相空間における連結性の理論を、積空間や商空間との関係まで含めて扱っています。
- L. A. Steen and J. A. Seebach Jr., *Counterexamples in Topology*, 2nd ed., Dover, 1995 — 連結性に関する反例のカタログ。トポロジストの正弦曲線とその変種が番号付きで整理されています。
## Appendix: 定理「$\mathbb{R}^n$ の連結開集合は折れ線連結」の証明
**証明の方針。**
の $(1) \Rightarrow (3)$ を示します。使うのは
の条件 $(2)$、すなわち「連結空間の開かつ閉な部分集合は自明なものだけ」です。$U$ の中で「基準点と折れ線で結べる点の集合」を $V$ と置き、$V$ が $U$ の中で開かつ閉であることを示せば、$V \ne \varnothing$ から $V = U$ が従います。この「開かつ閉を示して全体だと結論する」型の議論は連結性の最も典型的な使い方で、微分方程式の解の一意性や被覆空間の持ち上げの一意性でも同じ形が現れます。
**設定。** $U \subseteq \mathbb{R}^n$ を空でない連結開集合とし、$p \in U$ を固定します。
$$
V = \{\, x \in U : p \text{ と } x \text{ は } U \text{ に含まれる折れ線で結べる} \,\}
$$
と置きます。$p$ 自身は長さ $0$ の折れ線（定値写像）で $p$ と結べるので $p \in V$、したがって $V \ne \varnothing$ です。
**$V$ は開である。** $x \in V$ とします。$U$ は開なので $r > 0$ があって開球 $B(x,r) \subseteq U$ となります。$z \in B(x,r)$ を任意に取ると、開球は凸なので線分 $[x,z]$ は $B(x,r) \subseteq U$ に含まれます。$x \in V$ より $p$ から $x$ への $U$ 内の折れ線が存在するので、その末尾にこの線分をつなげば $p$ から $z$ への $U$ 内の折れ線が得られます。よって $z \in V$、すなわち $B(x,r) \subseteq V$。$x$ は任意だったので $V$ は開集合です。
**$U \setminus V$ も開である。** $y \in U \setminus V$ とします。ふたたび $U$ が開なので $r > 0$ があって $B(y,r) \subseteq U$。もし $z \in B(y,r) \cap V$ なる点が存在したとすると、$p$ から $z$ への $U$ 内の折れ線に線分 $[z,y] \subseteq B(y,r) \subseteq U$ をつないで $p$ から $y$ への折れ線が作れてしまい、$y \in V$ となって仮定に反します。よって $B(y,r) \cap V = \varnothing$、すなわち $B(y,r) \subseteq U \setminus V$。したがって $U \setminus V$ は開集合です。
**結論。** $U \setminus V$ が $U$ の開集合であることから $V$ は $U$ の閉集合でもあります。つまり $V$ は $U$ の中で開かつ閉であり、$V \ne \varnothing$。$U$ は連結なので
の $(2)$ より $V = U$ です。すなわち $U$ の任意の点は $p$ と $U$ 内の折れ線で結べます。
任意の $x, y \in U$ に対しては、$p$ から $x$ への折れ線を逆にたどってから $p$ から $y$ への折れ線をつなげば（
により連続）、$x$ から $y$ への $U$ 内の折れ線が得られます。これで $(3)$ が示されました。
**開集合という仮定の必要性。** この定理で $U$ が開であることは落とせません。
の $T$ は連結ですが弧状連結ではなく、$T$ は $\mathbb{R}^2$ の開集合ではないからです。「開」という仮定は、各点のまわりに凸な近傍（球）が取れることを保証するために使われました。これは局所弧状連結性という条件の特別な場合であり、証明を読み返すと球の凸性しか使っていないことが分かります。