# 共鳴：複素変形・Fermi の黄金律・Friedrichs 模型と崩壊の法則 > 複素スケーリングで本質スペクトルを回転させ共鳴を複素固有値として捉え、Fermi の黄金律と指数崩壊からのずれ（Zeno 効果・べき崩壊）を示す。可解な Friedrichs 模型で自己エネルギー、共鳴極、van Hove 極限を厳密に計算する。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/spectral-scattering/resonances ## 0. この記事の要点 励起した原子は、しばらくそのままでいたあと光を出して落ち着きます。この「しばらくそのまま」の状態は、量子力学の式の上では本当の固有状態ではなく、時間とともに少しずつ崩れていきます。この記事は、そうした寿命のある状態を「複素数のエネルギーをもつ状態」として数学的に扱う方法を学びます。読み終えると、寿命が複素エネルギーの虚部から決まること、そして崩れ方が指数関数にほぼ従うこと（と、厳密にはどうずれるか）を、証明つきで説明できるようになります。 - ディラテーション（空間を $e^\theta$ 倍に拡大・縮小する操作）$(U(\theta)\psi)(x)=e^{d\theta/2}\psi(e^\theta x)$ でハミルトニアンを変換した $H(\theta)=e^{-2\theta}(-\Delta)+V(e^\theta x)$ を、ポテンシャルが許す限り複素数の $\theta$ に解析接続します（**複素スケーリング**）。$H(\theta)$ はもはや自己共役ではありません。 - **Aguilar–Balslev–Combes の定理**: $\mathrm{Im}\,\theta=\beta>0$ なら本質スペクトルは $e^{-2i\beta}[0,\infty)$ に回転し、その「下」から**共鳴**が孤立した複素固有値として現れます。共鳴は $\theta$ によらず、レゾルベントの行列要素 $\langle\varphi,(H-z)^{-1}\psi\rangle$ を実軸を越えて解析接続したときの極に一致します。 - 連続スペクトルに埋め込まれた（連続スペクトルの範囲の中にある）単純固有値 $E_0$ を摂動 $\kappa W$ で崩すと、複素スケーリングのもとで $E_0$ は孤立固有値になり、正則摂動論が使えます。2 次の係数の虚部が **Fermi の黄金律** $\mathrm{Im}\,E(\kappa)=-\pi\kappa^2\langle W\varphi,\delta(H_0-E_0)\bar PW\varphi\rangle+O(\kappa^3)$ を与えます。 - 黄金律の崩壊率 $\Gamma=-2\,\mathrm{Im}\,E(\kappa)$ は、[生存確率](#def-survival-amplitude) $|\langle\varphi,e^{-itH}\varphi\rangle|^2\approx e^{-\Gamma t}$ の指数崩壊の速さです。誤差は時間について一様に $O(\kappa^2)$ です。 - ただし崩壊は厳密な指数関数にはなりません。$\varphi\in D(H)$ なら短時間では $1-(\Delta H)^2t^2$ の 2 次で減り（頻繁な測定で崩壊が止まる **Zeno 効果**）、$H$ が下に有界なら長時間では指数より遅く減ります（Khalfin の定理、典型的には $t^{-3/2}$ のべき崩壊）。 - 可解模型として、離散準位が連続スペクトルと 1 次で結合する **Friedrichs 模型**を扱います。レゾルベントは自己エネルギー $\Sigma(z)$ で $\langle\varphi,(H_\lambda-z)^{-1}\varphi\rangle=1/(E_0-z-\lambda^2\Sigma(z))$ と厳密に書け、埋め込み固有値の消失、第 2 シートの共鳴極、時間尺度 $t\sim\lambda^{-2}$ での指数崩壊（van Hove 極限。結合を弱くしながら、時間を結合の 2 乗に反比例して長くとって見る極限）がすべて手で計算できます。回転波近似の spin-boson 模型の 1 励起部分空間はこの模型そのものです。 ## 1. 動機 原子の励起状態は光子を放出して基底状態へ遷移し、放射性核は崩壊します。どちらもハミルトニアンの固有状態ではなく、有限の寿命をもつ準安定状態です。物理では、この状態に「複素エネルギー」$E-i\Gamma/2$ を割り当て、$e^{-it(E-i\Gamma/2)}$ の絶対値の 2 乗が $e^{-\Gamma t}$ で減ると説明します（Gamow）。また散乱断面積には、幅 $\Gamma$ の Breit–Wigner 型のピークが現れます。 しかし[自己共役作用素](/mathematics/functional-analysis/self-adjoint-extensions#def-self-adjoint)の固有値は実数なので、「複素固有値」は $H$ のスペクトルには現れません。数学的には次の三つの問いがあります。 1. 共鳴をどう定義するか。レゾルベント $\langle\varphi,(H-z)^{-1}\psi\rangle$ は上半平面で解析的ですが、実軸上の連続スペクトルが切れ目になります。その切れ目を越えた解析接続の極が共鳴であるはずです。 2. 埋め込み固有値が摂動でどう変わるか。教科書的な Fermi の黄金律は $\delta$ 関数を含む形式計算ですが、摂動論の主張として正当化できるか。 3. 崩壊は本当に指数関数的か。 複素スケーリング（Aguilar–Balslev–Combes 1971、Simon 1973）は、作用素の側を変形して連続スペクトルを回転させ、隠れていた極を固有値として「露出」させる方法で、三つの問いすべてに答えます。[前章](/mathematics/spectral-scattering/mourre-theory)と同じディラテーション群が主役です。 （この章の続きは購入者向けです。）