# Bessel・Airy・Whittaker 関数：積分表示・漸化式・合流型超幾何関数と Debye 漸近形

> Bessel 関数の漸化式と Bessel・Poisson の積分表示、Airy 関数の複素積分表示、Kummer・Tricomi の合流型超幾何関数と Whittaker 関数を証明つきで導き、Debye の大次数漸近形と Olver 型の誤差評価まで進む。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/special-functions/bessel-airy-whittaker

## 0. この記事の要点

太鼓の膜の振動、円い穴を通った光の回折、水素原子の中の電子の波は、どれも「普通の関数の式では書けないが、よく現れる関数」で表されます。この記事は、その代表である Bessel 関数・Airy 関数・Whittaker 関数を、積分の形に書き直して調べる話です。積分の形にすると、式の性質が計算で確かめやすくなり、変数が大きいときにどんな値になるかも見積もれるようになります。読み終えると、これらの関数が満たす関係式と、大きな変数での近似式の根拠を、自分で追えるようになります。

- Bessel 関数 $J_\nu$ は、級数から直接 $(x^{\nu}J_\nu)'=x^{\nu}J_{\nu-1}$ などの**漸化式**が出ます。整数次では母関数 $e^{(x/2)(t-1/t)}=\sum_nJ_n(x)t^n$ と **Bessel の積分** $J_n(x)=\frac1\pi\int_0^\pi\cos(n\theta-x\sin\theta)\,d\theta$、一般の $\nu$ では **Poisson の積分**が成り立ちます。
- 変形 Bessel 関数 $K_\nu(x)=\int_0^\infty e^{-x\cosh t}\cosh\nu t\,dt$ は、積分のままで微分方程式・小さい $x$ と大きい $x$ での振る舞いがすべて読めます。
- **Airy 関数**を複素積分 $\frac1{2\pi i}\int_Le^{t^3/3-xt}dt$ で定義すると、Airy 方程式 $y''=xy$ は部分積分一回で、$K_{1/3}$ との関係は積分路の取り替えで出ます。
- **合流型超幾何関数** $M(a,b,z)$（Kummer）と $U(a,b,z)$（Tricomi）は Beta 型・Laplace 型の積分表示をもち、1 階微分の項を消す変換で **Whittaker 方程式**の解になります。Bessel 関数や Laguerre 多項式はその特別な場合です。
- 大次数の **Debye 漸近形** $K_\nu(\nu z)\sim\sqrt{\pi/(2\nu)}\,e^{-\nu\eta(z)}(1+z^2)^{-1/4}$ を Laplace 型の議論（被積分関数が最大になる点の近くに積分が集中することを使う評価）で示し、指数を 2 次式にする変数変換で $1/\nu$ の補正項 $-u_1(t)/\nu$（$t=(1+z^2)^{-1/2}$、$u_1=(3t-5t^3)/24$）まで証明します。振動解の漸近形 $\sqrt x\,J_\nu(x)=A\cos(x-\varphi)+r(x)$ を **Olver 型の誤差評価** $|r(x)|\le A\bigl(e^{|\nu^2-1/4|/x}-1\bigr)$ つきで証明します。

- 虚数次数の $K_{i\tau}(x)$ を核とする **Kontorovich–Lebedev 変換**は、$L^2((0,\infty),dx/x)$ から重み $\frac{2}{\pi^2}\tau\sinh(\pi\tau)\,d\tau$ の $L^2$ へのユニタリ変換です。積分路を $i\pi/2$ だけ回転した表示で $K_{i\tau}$ を Fourier 変換に直し、Plancherel の定理、反転公式、完全性（$x^{n+1/2}e^{-x}$ の像の多項式性）を 7 節で証明します。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **Frobenius 法の級数解**: 微分方程式の解を $x^{s}\sum a_kx^k$ の形の級数で求める方法。→ [級数解と確定特異点](/mathematics/ode/series-solutions)
- **Bessel 方程式**: $x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0$ という 2 階の微分方程式。この記事の主役 $J_\nu$ はその級数解です。→ [Bessel 方程式](/mathematics/ode/series-solutions#def-bessel-eq)
- **ガンマ関数**: 階乗を実数や複素数に広げた関数で、$\Gamma(n+1)=n!$ をみたします。→ [ガンマ関数](/mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#def-gamma)
- **ベータ関数**: $\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt$ で定まり、ガンマ関数の比で書けます。→ [ベータ関数](/mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#def-beta)
- **整関数**: 複素平面全体で微分できる関数。→ [整関数](/mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#def-entire)

</Aside>

## 1. 動機

円筒座標で Laplace 方程式や Helmholtz 方程式を変数分離すると [Bessel 方程式](/mathematics/ode/series-solutions#def-bessel-eq)が、一様な力の場の Schrödinger 方程式（ポテンシャルが位置の 1 次式）からは Airy 方程式が、Coulomb ポテンシャルからは Whittaker 方程式が出てきます。これらの解は初等関数では書けず、級数で定義するのが最も素朴な方法です。[級数解と確定特異点](/mathematics/ode/series-solutions)で、Bessel 方程式の Frobenius 級数は既に得ています。

たとえば半径 $1$ の円形の膜（太鼓）の振動では、角度方向に $e^{in\theta}$ の振る舞いをする固有振動の動径部分が $J_n(kr)$ で、膜の縁で振幅が $0$ という条件から固有振動数が $J_n$ の零点で決まります。円筒の導波管、円形開口の回折像（Airy の円盤）、拡散方程式の円柱座標での解など、円対称な問題にはほぼ必ず Bessel 関数が現れます。

しかし級数は、$x$ が大きいところの振る舞いや、次数 $\nu$ が大きいときの振る舞いを読むには向きません。たとえば $J_{100}(50)$ を級数で計算すると、大きな項が打ち消し合って桁落ちします。そこで**積分表示**が要になります。積分表示があると、漸化式・微分方程式は部分積分で、漸近形は「被積分関数がどこに集中するか」を見る Laplace 型の議論で導けます。この章ではまず積分表示を整え、次章の漸近解析の一般論に先立って、特殊関数の漸近形を二通り（積分の集中と、微分方程式の誤差評価）で証明します。

## 2. 準備

[ガンマ関数](/mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#def-gamma) $\Gamma$（<Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#def-gamma" />）は $\mathbb{C}$ 上の有理型関数で零点をもたず、$1/\Gamma$ は[整関数](/mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#def-entire)です（<Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#thm-gamma-product" />）。ベータ関数 $B(a,b)=\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$（$a,b>0$）を使います（<Ref to="mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#thm-beta-gamma" />）。Pochhammer 記号を $(a)_k=a(a+1)\cdots(a+k-1)=\Gamma(a+k)/\Gamma(a)$、$(a)_0=1$ とします。

<Lemma id="lem-duplication" title="Legendre の倍数公式">
$\nu>-\tfrac12$ について $\Gamma(2\nu+1)=\dfrac{4^{\nu}}{\sqrt\pi}\,\Gamma\bigl(\nu+\tfrac12\bigr)\Gamma(\nu+1)$。とくに $\Gamma\bigl(m+\tfrac12\bigr)=\dfrac{(2m)!}{4^mm!}\sqrt\pi$（$m=0,1,2,\dots$）。
</Lemma>

<Proof of="lem-duplication">
$B(\nu+\tfrac12,\nu+\tfrac12)=\int_0^1(t(1-t))^{\nu-1/2}dt$ で $t=(1+s)/2$ とおくと $t(1-t)=(1-s^2)/4$ なので
$$
B\bigl(\nu+\tfrac12,\nu+\tfrac12\bigr)=4^{-\nu}\cdot2\int_0^1(1-s^2)^{\nu-1/2}ds=4^{-\nu}\int_0^1v^{-1/2}(1-v)^{\nu-1/2}dv=4^{-\nu}B\bigl(\tfrac12,\nu+\tfrac12\bigr)
$$
です（$v=s^2$）。両辺を Gamma で書くと $\dfrac{\Gamma(\nu+\frac12)^2}{\Gamma(2\nu+1)}=4^{-\nu}\dfrac{\Gamma(\frac12)\Gamma(\nu+\frac12)}{\Gamma(\nu+1)}$ で、$\Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi$（<Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#thm-gamma-reflection" />）から主張が出ます。後半は $\nu=m$ とおいて $\Gamma(2m+1)=(2m)!$、$\Gamma(m+1)=m!$ を代入したものです。
</Proof>

2 階線形方程式の 1 階微分の項は、未知関数に掛ける因子で消せます。この章では何度もこの変換を使います。

<Lemma id="lem-normal-form" title="1 階微分の項の消去">
$P,Q$ を区間 $I$ 上の関数（$P$ は $C^1$ 級）とし、$g$ を $g'/g=-P/2$ をみたす $0$ にならない関数とする。$y=gw$ とおくと、$y''+Py'+Qy=0$ は
$$
w''+\Bigl(Q-\frac{P^2}4-\frac{P'}2\Bigr)w=0
$$
と同値である。
</Lemma>

<Proof of="lem-normal-form">
$y'=g'w+gw'$、$y''=g''w+2g'w'+gw''$ を代入すると $gw''+(2g'+Pg)w'+(g''+Pg'+Qg)w=0$。$g'=-Pg/2$ から $w'$ の係数は $0$、$g''=(-P'/2+P^2/4)g$ なので $w$ の係数は $g\bigl(Q-P^2/4-P'/2\bigr)$ です。
</Proof>

## 3. Bessel 関数

### 3.1. 定義と漸化式

Bessel 方程式 $x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0$（<Ref to="mathematics/ode/series-solutions#def-bessel-eq" />）の Frobenius 解を、実数 $\nu$ と $x>0$ について
$$
J_\nu(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)}\Bigl(\frac x2\Bigr)^{2m+\nu}
$$
と書きます。$1/\Gamma$ は整関数なので、$\nu$ が負の整数でも係数は意味をもちます（そのとき $m\lt -\nu$ の項は $0$）。級数は任意の $x>0$ で絶対収束し、$x^{-\nu}J_\nu(x)$ は $x^2$ の整級数です。

<Proposition id="prop-bessel-recurrence" title="Bessel 関数の漸化式">
すべての実数 $\nu$ と $x>0$ について
$$
\bigl(x^{\nu}J_\nu(x)\bigr)'=x^{\nu}J_{\nu-1}(x),\qquad\bigl(x^{-\nu}J_\nu(x)\bigr)'=-x^{-\nu}J_{\nu+1}(x).
$$
したがって $J_{\nu-1}+J_{\nu+1}=\dfrac{2\nu}xJ_\nu$、$J_{\nu-1}-J_{\nu+1}=2J_\nu'$。また整数 $n$ について $J_{-n}=(-1)^nJ_n$。
</Proposition>

<Proof of="prop-bessel-recurrence">
$x^\nu J_\nu=\sum_m\frac{(-1)^mx^{2m+2\nu}}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)2^{2m+\nu}}$ を項別微分します（整級数の項別微分）。$(2m+2\nu)/\Gamma(m+\nu+1)=2/\Gamma(m+\nu)$ なので
$$
\bigl(x^\nu J_\nu\bigr)'=\sum_m\frac{(-1)^mx^{2m+2\nu-1}}{m!\,\Gamma(m+\nu)2^{2m+\nu-1}}=x^\nu\sum_m\frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m+\nu)}\Bigl(\frac x2\Bigr)^{2m+\nu-1}=x^\nu J_{\nu-1}.
$$
同様に $x^{-\nu}J_\nu=\sum_m\frac{(-1)^mx^{2m}}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)2^{2m+\nu}}$ を微分すると $m=0$ の項が消え、$m=k+1$ と付け替えて
$$
\bigl(x^{-\nu}J_\nu\bigr)'=\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^{k+1}x^{2k+1}}{k!\,\Gamma(k+\nu+2)2^{2k+\nu+1}}=-x^{-\nu}J_{\nu+1}.
$$
二つの式を展開すると $J_\nu'+\frac\nu xJ_\nu=J_{\nu-1}$、$J_\nu'-\frac\nu xJ_\nu=-J_{\nu+1}$ で、和と差が後半の二式です。最後に $\nu=-n$ では $m\lt n$ の項が $0$ なので、$m=k+n$ として $J_{-n}=\sum_k\frac{(-1)^{k+n}}{(k+n)!\,k!}(x/2)^{2k+n}=(-1)^nJ_n$ です。
</Proof>

### 3.2. 積分表示

<Theorem id="thm-bessel-generating" title="母関数と Bessel の積分">
$x>0$ と $t\neq0$ について
$$
\exp\Bigl(\frac x2\Bigl(t-\frac1t\Bigr)\Bigr)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(x)\,t^n .
$$
とくに整数 $n$ について
$$
J_n(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(x\sin\theta-n\theta)}d\theta=\frac1\pi\int_0^\pi\cos(n\theta-x\sin\theta)\,d\theta .
$$
</Theorem>

<Proof of="thm-bessel-generating">
$e^{xt/2}e^{-x/(2t)}=\sum_{j\ge0}\frac{(x/2)^jt^j}{j!}\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^k(x/2)^kt^{-k}}{k!}$ は絶対収束する二重級数なので、$t^n$ の係数ごとにまとめられます（<Ref to="mathematics/calculus/series-and-convergence#thm-double-series" /> の 2 で、添字 $(j,k)$ を $j-k=n$ ごとの集合に分ける）。$n\ge0$ では $j=n+k$ の項を集めて $\sum_k\frac{(-1)^k(x/2)^{n+2k}}{k!\,(n+k)!}=J_n(x)$。$n\lt0$ では $k=j+|n|$ の項を集めて $(-1)^{|n|}J_{|n|}(x)=J_n(x)$ です（<Ref to="prop-bessel-recurrence" /> の最後の主張）。

$t=e^{i\theta}$ とおくと $\frac x2(t-1/t)=ix\sin\theta$ で、$e^{ix\sin\theta}=\sum_nJ_n(x)e^{in\theta}$ は $\theta$ について一様収束します（係数が $\sum_n|J_n(x)|\le\sum_{j,k}\frac{(x/2)^{j+k}}{j!k!}=e^x$ で抑えられる）。両辺に $e^{-in\theta}$ を掛けて $[-\pi,\pi]$ で積分すれば前半の式です。$x\sin\theta-n\theta$ は $\theta$ の奇関数なので、$e^{i(\cdots)}$ の虚部の積分は $0$、実部は偶関数で $[0,\pi]$ の 2 倍になります。
</Proof>

Bessel の積分は、天文学で Kepler 方程式 $M=E-e\sin E$（平均近点角 $M$ と離心近点角 $E$）を Fourier 級数で解く問題から生まれました。$e^{ix\sin\theta}=\sum_nJ_n(x)e^{in\theta}$ は「位相が正弦的に揺れる波を、等間隔の周波数成分に分解する」式で、周波数変調の信号のスペクトルが Bessel 関数で書けるのも同じ理由です。

<Example id="ex-bessel-parseval" title="整数次 Bessel 関数の 2 乗和">
$e^{ix\sin\theta}$ の絶対値は $1$ なので、Parseval の等式（Fourier 係数の 2 乗和が関数の 2 乗平均に等しい）から $\sum_{n\in\mathbb{Z}}J_n(x)^2=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi|e^{ix\sin\theta}|^2d\theta=1$ です。直接にも、母関数の積 $e^{\frac x2(t-1/t)}e^{\frac x2(1/t-t)}=1$ の $t^0$ の係数を比べれば $\sum_nJ_n(x)^2=1$ が出ます。$J_{-n}=(-1)^nJ_n$ から
$$
J_0(x)^2+2\sum_{n\ge1}J_n(x)^2=1,
$$
したがってすべての実数 $x$ で $|J_0(x)|\le1$、$n\ge1$ で $|J_n(x)|\le1/\sqrt2$ です。級数の定義からはすぐには見えない一様な有界性が、積分表示からは一行で出ます。
</Example>

<Theorem id="thm-poisson-integral" title="Poisson の積分表示">
$\nu>-\tfrac12$、$x>0$ について
$$
J_\nu(x)=\frac{(x/2)^\nu}{\Gamma(\nu+\frac12)\sqrt\pi}\int_{-1}^{1}(1-t^2)^{\nu-1/2}\cos(xt)\,dt .
$$
</Theorem>

<Proof of="thm-poisson-integral">
$\cos(xt)=\sum_m(-1)^m(xt)^{2m}/(2m)!$ を代入します。$\sum_m\frac{(x|t|)^{2m}}{(2m)!}(1-t^2)^{\nu-1/2}\le e^x(1-t^2)^{\nu-1/2}$ は $[-1,1]$ で可積分（$\nu-\tfrac12>-1$）なので、優収束定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-dct" />）により項別積分できます。$s=t^2$ とおくと
$$
\int_{-1}^1t^{2m}(1-t^2)^{\nu-1/2}dt=\int_0^1s^{m-1/2}(1-s)^{\nu-1/2}ds=\frac{\Gamma(m+\frac12)\Gamma(\nu+\frac12)}{\Gamma(m+\nu+1)} .
$$
<Ref to="lem-duplication" /> の $\Gamma(m+\frac12)=\frac{(2m)!}{4^mm!}\sqrt\pi$ を使うと、右辺の第 $m$ 項は
$$
\frac{(x/2)^\nu}{\Gamma(\nu+\frac12)\sqrt\pi}\cdot\frac{(-1)^mx^{2m}}{(2m)!}\cdot\frac{(2m)!\sqrt\pi\,\Gamma(\nu+\frac12)}{4^mm!\,\Gamma(m+\nu+1)}=\frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)}\Bigl(\frac x2\Bigr)^{2m+\nu}
$$
で、$J_\nu$ の級数の第 $m$ 項に一致します。
</Proof>

$\nu=l+\tfrac12$ では $(1-t^2)^{l}$ が多項式になり、[球面調和関数](/mathematics/special-functions/spherical-harmonics) の[球 Bessel 関数](/mathematics/special-functions/spherical-harmonics#def-spherical-bessel)の Poisson 表示（<Ref to="mathematics/special-functions/spherical-harmonics#prop-spherical-bessel" />）と $j_l(x)=\sqrt{\pi/(2x)}\,J_{l+1/2}(x)$ で結びつきます。$\nu=\frac12$ では $J_{1/2}(x)=\sqrt{2/(\pi x)}\sin x$ です（<Ref to="mathematics/ode/series-solutions#ex-bessel-half" />）。

### 3.3. Wronskian と第 2 種 Bessel 関数

<Proposition id="prop-bessel-wronskian" title="J_ν と J_{−ν} の Wronskian">
$\nu\notin\mathbb{Z}$ のとき
$$
W(J_\nu,J_{-\nu})(x):=J_\nu J_{-\nu}'-J_\nu'J_{-\nu}=-\frac{2\sin\nu\pi}{\pi x}.
$$
とくに $J_\nu$ と $J_{-\nu}$ は一次独立である。
</Proposition>

<Proof of="prop-bessel-wronskian">
Bessel 方程式を $y''+\frac1xy'+(1-\frac{\nu^2}{x^2})y=0$ と書き、1 階の連立系に直して Liouville の公式（<Ref to="mathematics/ode/linear-systems#thm-liouville" />）を当てると、$W(x)=W(x_0)\exp\bigl(-\int_{x_0}^x\frac{ds}s\bigr)$、すなわち $xW(x)$ は定数です。$x\to0$ での値を求めます。級数から $J_{\pm\nu}(x)=\frac{(x/2)^{\pm\nu}}{\Gamma(1\pm\nu)}(1+O(x^2))$、$J_{\pm\nu}'(x)=\pm\frac{\nu}{x}\frac{(x/2)^{\pm\nu}}{\Gamma(1\pm\nu)}(1+O(x^2))$ なので
$$
xW=\frac{-\nu-\nu}{\Gamma(1+\nu)\Gamma(1-\nu)}+O(x^2)=-\frac{2}{\Gamma(\nu)\Gamma(1-\nu)}+O(x^2).
$$
$xW$ は定数なので $O(x^2)$ の項は $0$ で、相反公式（<Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#thm-gamma-reflection" />）から $xW=-\frac{2\sin\nu\pi}{\pi}$ です。$W\neq0$ なので一次独立です。
</Proof>

整数次では $J_{-n}=(-1)^nJ_n$ で、$J_{-\nu}$ は第 2 の解になりません。そこで $\nu\notin\mathbb{Z}$ について
$$
Y_\nu=\frac{J_\nu\cos\nu\pi-J_{-\nu}}{\sin\nu\pi}
$$
とおきます（**第 2 種 Bessel 関数**）。<Ref to="prop-bessel-wronskian" /> から $W(J_\nu,Y_\nu)=-\frac{1}{\sin\nu\pi}W(J_\nu,J_{-\nu})=\frac2{\pi x}$ で、右辺は $\nu$ によりません。整数 $n$ では $Y_n=\lim_{\nu\to n}Y_\nu$ と定め、その級数には $\ln x$ の項が現れます。これは [級数解と確定特異点](/mathematics/ode/series-solutions) の Frobenius の定理で、決定方程式の根の差が整数になる場合に対応します。以下では $Y_\nu$ は使いません。

### 3.4. 変形 Bessel 関数

$y''+\frac1xy'-(1+\frac{\nu^2}{x^2})y=0$（**変形 Bessel 方程式**、Bessel 方程式で $x\mapsto ix$ としたもの）を考えます。級数解は
$$
I_\nu(x)=\sum_{m\ge0}\frac{1}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)}\Bigl(\frac x2\Bigr)^{2m+\nu}
$$
で、<Ref to="thm-poisson-integral" /> と同じ計算（$\cos$ を $\cosh$ に替える）で、$\nu>-\frac12$ のとき $I_\nu(x)=\frac{(x/2)^\nu}{\Gamma(\nu+1/2)\sqrt\pi}\int_{-1}^1(1-t^2)^{\nu-1/2}\cosh(xt)\,dt$ です。$I_\nu$ は正で、$x\to\infty$ で指数的に増えます。指数的に減る解は積分で定義するのが便利です。

<Definition id="def-bessel-k" title="変形 Bessel 関数 K_ν">
実数 $\nu$ と $x>0$ について
$$
K_\nu(x)=\int_0^\infty e^{-x\cosh t}\cosh(\nu t)\,dt=\frac12\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x\cosh t+\nu t}\,dt .
$$
</Definition>

$\cosh t\ge1+t^2/2$ と $\cosh\nu t\le e^{|\nu|t}$ から積分は絶対収束し、$K_{-\nu}=K_\nu$、$K_\nu(x)>0$ です。

<Proposition id="prop-bessel-k" title="K_ν の基本性質">
1. $K_\nu$ は変形 Bessel 方程式 $x^2y''+xy'-(x^2+\nu^2)y=0$ をみたす。
2. $\nu>0$ のとき $x\to+0$ で $K_\nu(x)\sim\frac12\Gamma(\nu)\bigl(\frac2x\bigr)^\nu$。
3. $x\to\infty$ で $K_\nu(x)\sim\sqrt{\dfrac{\pi}{2x}}\,e^{-x}$、$K_\nu'(x)\sim-\sqrt{\dfrac{\pi}{2x}}\,e^{-x}$。
</Proposition>

<Proof of="prop-bessel-k">
1: $f(x,t)=e^{-x\cosh t}$ とおきます。$x$ が正の閉区間を動くとき、$x$ についての導関数 $(-\cosh t)^kf\cosh\nu t$ は可積分関数で一様に抑えられるので、積分記号下で微分できます（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#cor-diff-under-integral" />）。すると
$$
x^2K''+xK'-x^2K=\int_0^\infty\bigl(x^2\cosh^2t-x\cosh t-x^2\bigr)f\cosh\nu t\,dt=\int_0^\infty\partial_t^2f\cdot\cosh\nu t\,dt
$$
です。ここで $\partial_t^2f=(x^2\sinh^2t-x\cosh t)f$ を使いました。右辺を 2 回部分積分します。境界項は $t=0$ で $\partial_tf=-x\sinh t\,f=0$ と $(\cosh\nu t)'=\nu\sinh\nu t=0$ により消え、$t\to\infty$ では $f$ が二重指数的に減るので消えます。よって右辺は $\int_0^\infty f\,(\cosh\nu t)''dt=\nu^2K$ です。

2: 第 2 の表示で $e^t=2s/x$ とおくと $x\cosh t=s+x^2/(4s)$、$dt=ds/s$ なので
$$
K_\nu(x)=\frac12\Bigl(\frac2x\Bigr)^\nu\int_0^\infty e^{-s-x^2/(4s)}s^{\nu-1}ds .
$$
$x\downarrow0$ で被積分関数は単調に増えて $e^{-s}s^{\nu-1}$ に近づくので、単調収束定理により積分は $\Gamma(\nu)$ に収束します。

3: $t=\sigma/\sqrt x$ とおくと
$$
\sqrt{\frac{2x}{\pi}}\,e^{x}K_\nu(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\exp\Bigl(-x\bigl(\cosh\tfrac{\sigma}{\sqrt x}-1\bigr)+\frac{\nu\sigma}{\sqrt x}\Bigr)d\sigma .
$$
$\cosh h-1\ge h^2/2$ から、$x\ge1$ で被積分関数は $e^{-\sigma^2/2+|\nu\sigma|}$ で抑えられ、各 $\sigma$ で $e^{-\sigma^2/2}$ に収束します。優収束定理とガウス積分（<Ref to="mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#thm-gauss-integral" />）から右辺は $1$ に収束します。$-K_\nu'(x)=\int_0^\infty e^{-x\cosh t}\cosh t\cosh\nu t\,dt$ も、被積分関数に $\cosh(\sigma/\sqrt x)\le e^{|\sigma|}$ が掛かるだけで同様です。
</Proof>

2 と 3 から、$K_\nu$ は $0$ の近くで発散し、無限遠で指数的に減る解です。一方 $I_\nu$ は $0$ で有界、無限遠で増える解なので、両者は一次独立です。

## 4. Airy 関数

Airy 方程式 $y''=xy$ は、[級数解と確定特異点](/mathematics/ode/series-solutions) で見たとおり $\mathbb{R}$ 全体で収束する冪級数解をもちます（<Ref to="mathematics/ode/series-solutions#ex-airy" />）。その中から $x\to+\infty$ で減衰する解を選び出すには、複素積分による定義が適しています。

$L$ を、無限遠 $\infty e^{-i\pi/3}$ から半直線 $t=re^{-i\pi/3}$ に沿って原点へ来て、半直線 $t=re^{i\pi/3}$ に沿って $\infty e^{i\pi/3}$ へ出ていく道とします。$L$ 上では $t^3=-r^3$ なので $|e^{t^3/3-xt}|=e^{-r^3/3-xr/2}\le e^{-r^3/3+|x|r}$ です。

この道の形をつかむには、複素平面で図を見るのが早道です。$t$ の偏角が $\pi/3$ のとき $t^3$ は負の実数になり、$e^{t^3/3}$ は急激に $0$ へ減ります。$e^{t^3/3}$ が急に減るのは、偏角が $\pi/6$ から $\pi/2$ までの扇形（と、その鏡像の $-\pi/6$ から $-\pi/2$ まで）の中です。$L$ は無限遠の両端をこの扇形の中に置いた道なので、無限遠まで積分しても収束します。

<Figure caption="Airy 関数の積分路 L。原点で折れ曲がる 2 本の半直線（偏角 -π/3 と π/3）で、どちらも e^{t³/3} が急減衰する扇形（薄く塗った領域、偏角が π/6 から π/2、および -π/6 から -π/2）の中にある">
<svg viewBox="0 0 320 220" width="100%" role="img" aria-label="複素 t 平面の積分路 L と急減衰する扇形">
  <path d="M150,110 L227.9,65 A90,90 0 0 0 150,20 Z" fill="var(--sl-color-accent)" opacity="0.18" />
  <path d="M150,110 L227.9,155 A90,90 0 0 1 150,200 Z" fill="var(--sl-color-accent)" opacity="0.18" />
  <line x1="40" y1="110" x2="300" y2="110" stroke="currentColor" stroke-width="1" opacity="0.5" />
  <line x1="150" y1="10" x2="150" y2="210" stroke="currentColor" stroke-width="1" opacity="0.5" />
  <line x1="195" y1="188" x2="150" y2="110" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2.5" />
  <line x1="150" y1="110" x2="195" y2="32" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2.5" />
  <polygon points="-5,-4 5,0 -5,4" transform="translate(172.5,149) rotate(-120)" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <polygon points="-5,-4 5,0 -5,4" transform="translate(172.5,71) rotate(-60)" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <text x="204" y="30" font-size="12" fill="currentColor">L</text>
  <text x="296" y="104" text-anchor="end" font-size="12" fill="currentColor">Re t</text>
  <text x="156" y="18" font-size="12" fill="currentColor">Im t</text>
  <text x="236" y="62" font-size="11" fill="currentColor">偏角 π/6</text>
  <text x="236" y="168" font-size="11" fill="currentColor">偏角 -π/6</text>
</svg>
</Figure>

<Definition id="def-airy" title="Airy 関数">
実数 $x$ について
$$
\operatorname{Ai}(x)=\frac1{2\pi i}\int_Le^{t^3/3-xt}\,dt .
$$
</Definition>

<Proposition id="prop-airy" title="Airy 関数の基本性質">
1. $\operatorname{Ai}$ は $\mathbb{R}$ 上 $C^\infty$ 級で、$\operatorname{Ai}''(x)=x\operatorname{Ai}(x)$。
2. $\operatorname{Ai}(0)=\dfrac{1}{3^{2/3}\,\Gamma(2/3)}$。
3. $x>0$ では、$\zeta=\frac23x^{3/2}$ として $\operatorname{Ai}(x)=\dfrac1\pi\sqrt{\dfrac x3}\,K_{1/3}(\zeta)$。とくに $\operatorname{Ai}(x)>0$。
4. $x\to+\infty$ で $\operatorname{Ai}(x)\sim\dfrac{e^{-\zeta}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}}$。
</Proposition>

次の証明のうち 1 は微分方程式の確認、2 は $x=0$ の値の計算です。3 は $L$ を、$x>0$ のときに指数が実数になる別の道 $\Lambda$ に取り替えて、$K_{1/3}$ の積分表示に一致させる部分です。道を取り替えてよいのは、円弧上の積分が $0$ に近づくためで、$\Lambda$ の形は、結果の指数が $-\zeta\cosh3s$ になるようにあらかじめ選んであります。

<Proof of="prop-airy">
1: $|x|\le R$ では、$x$ についての $k$ 階導関数 $(-t)^ke^{t^3/3-xt}$ が $L$ 上で可積分な $r^ke^{-r^3/3+Rr}$ で抑えられるので、積分記号下で何回でも微分できます（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#cor-diff-under-integral" />）。すると
$$
\operatorname{Ai}''(x)-x\operatorname{Ai}(x)=\frac1{2\pi i}\int_L(t^2-x)e^{t^3/3-xt}dt=\frac1{2\pi i}\Bigl[e^{t^3/3-xt}\Bigr]_{\infty e^{-i\pi/3}}^{\infty e^{i\pi/3}}=0
$$
です。$(t^2-x)e^{t^3/3-xt}$ は $e^{t^3/3-xt}$ の導関数なので、有限の区間で微積分の基本定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/cauchy-integral-theorem#thm-ftc" />）を使い、両端を無限遠へ送りました。

2: $x=0$ では、$L$ の二つの半直線の寄与を合わせて
$$
\int_Le^{t^3/3}dt=\bigl(e^{i\pi/3}-e^{-i\pi/3}\bigr)\int_0^\infty e^{-r^3/3}dr=2i\sin\frac\pi3\cdot3^{-2/3}\Gamma\bigl(\tfrac13\bigr)
$$
です（$v=r^3/3$ と置換）。よって $\operatorname{Ai}(0)=\frac{\sqrt3}{2\pi}3^{-2/3}\Gamma(\frac13)$ で、相反公式 $\Gamma(\frac13)\Gamma(\frac23)=\pi/\sin\frac\pi3=2\pi/\sqrt3$ を使うと主張の形になります。

3: $x>0$ を固定し、曲線 $\Lambda:\ t(s)=\sqrt x\cdot2\cosh\bigl(s+\tfrac{i\pi}3\bigr)$（$s\in\mathbb{R}$）を考えます。$\operatorname{Re}t=\sqrt x\cosh s>0$、$\operatorname{Im}t=\sqrt{3x}\sinh s$ なので $|\arg t|\lt\pi/3$ で、$\Lambda$ は二つの半直線の間を通る単純な曲線であり、$s\to\pm\infty$ で $\arg t\to\pm\pi/3$ です。$L$ と $\Lambda$ を半径 $R$ で切り、円弧でつないだ閉曲線にコーシーの積分定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/cauchy-integral-theorem#thm-cauchy-green" />）を当てます。円弧は偏角が $\pm\pi/3$ にいくらでも近い範囲にあるので、そこで $\operatorname{Re}t^3\le-R^3/2$（$R$ が大きいとき）、$\operatorname{Re}(-xt)\le0$ で、円弧上の積分は $\pi R\,e^{-R^3/6}\to0$ で抑えられます。よって $\operatorname{Ai}(x)=\frac1{2\pi i}\int_\Lambda e^{t^3/3-xt}dt$ です。

$\Lambda$ 上では、$u=2\cosh\theta$ について $\cosh3\theta=4\cosh^3\theta-3\cosh\theta$ から $\frac{u^3}3-u=\frac23\cosh3\theta$ で、$\theta=s+\frac{i\pi}3$ では $\cosh3\theta=\cosh(3s+i\pi)=-\cosh3s$ です。よって $\frac{t^3}3-xt=x^{3/2}\bigl(\frac{u^3}3-u\bigr)=-\zeta\cosh3s$、$dt=2\sqrt x\sinh(s+\frac{i\pi}3)ds$ で、
$$
\operatorname{Ai}(x)=\frac{\sqrt x}{\pi i}\int_{-\infty}^\infty e^{-\zeta\cosh3s}\Bigl(\frac12\sinh s+\frac{\sqrt3}2i\cosh s\Bigr)ds=\frac{\sqrt{3x}}{\pi}\int_0^\infty e^{-\zeta\cosh3s}\cosh s\,ds
$$
です（$\sinh s$ の項は奇関数なので消える）。$r=3s$ とおけば $\int_0^\infty e^{-\zeta\cosh r}\cosh\frac r3\,\frac{dr}3=\frac13K_{1/3}(\zeta)$ なので主張が出ます。$K_{1/3}>0$ から $\operatorname{Ai}(x)>0$ です。

4: 3 と <Ref to="prop-bessel-k" /> の 3 から $\operatorname{Ai}(x)\sim\frac1\pi\sqrt{\frac x3}\sqrt{\frac{\pi}{2\zeta}}e^{-\zeta}$ で、$\zeta=\frac23x^{3/2}$ を代入すると $\frac{x^{1/2}}{\sqrt3\pi}\cdot\frac{\sqrt{3\pi}}{2}x^{-3/4}=\frac{x^{-1/4}}{2\sqrt\pi}$ です。
</Proof>

<Figure caption="Airy 関数 Ai(x)（実線）。x > 0 では漸近形 $e^{-\zeta}/(2\sqrt{\pi}\,x^{1/4})$（破線）に沿って減衰し、x < 0 では包絡線 $\pm 1/(\sqrt{\pi}\,|x|^{1/4})$（点線）の間で振動する">
<svg viewBox="0 0 500 220" width="100%" role="img" aria-label="Airy 関数のグラフと漸近形">
  <line x1="40" y1="100" x2="484" y2="100" stroke="currentColor" stroke-width="1" opacity="0.5" />
  <line x1="370" y1="8" x2="370" y2="200" stroke="currentColor" stroke-width="1" opacity="0.5" />
  <text x="76" y="214" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">-8</text>
  <text x="150" y="214" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">-6</text>
  <text x="223" y="214" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">-4</text>
  <text x="297" y="214" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">-2</text>
  <text x="370" y="214" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">0</text>
  <text x="443" y="214" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">2</text>
  <polyline points="40.0,44.6 54.9,44.0 69.7,43.3 84.6,42.6 99.4,41.8 114.3,41.0 129.2,40.1 144.0,39.1 158.9,38.1 173.7,36.9 188.6,35.7 203.5,34.3 218.3,32.7 233.2,31.0 248.0,29.0 262.9,26.6 277.8,23.8 292.6,20.4 307.5,16.1 322.3,10.2" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="2 3" />
  <polyline points="40.0,155.4 54.9,156.0 69.7,156.7 84.6,157.4 99.4,158.2 114.3,159.0 129.2,159.9 144.0,160.9 158.9,161.9 173.7,163.1 188.6,164.3 203.5,165.7 218.3,167.3 233.2,169.0 248.0,171.0 262.9,173.4 277.8,176.2 292.6,179.6 307.5,183.9 322.3,189.8" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="2 3" />
  <polyline points="392.0,60.0 397.9,67.0 403.7,72.8 409.6,77.7 415.5,81.9 421.3,85.4 427.2,88.3 433.1,90.7 438.9,92.7 444.8,94.2 450.7,95.5 456.5,96.5 462.4,97.4 468.3,98.0 474.1,98.5 480.0,98.9" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="6 3" />
  <polyline points="40.0,103.8 43.7,119.9 47.3,134.3 51.0,145.8 54.7,153.2 58.3,156.1 62.0,154.3 65.7,148.0 69.3,137.7 73.0,124.3 76.7,109.0 80.3,92.9 84.0,77.4 87.7,63.7 91.3,52.7 95.0,45.3 98.7,42.0 102.3,42.9 106.0,48.0 109.7,56.8 113.3,68.7 117.0,82.7 120.7,97.9 124.3,113.3 128.0,127.8 131.7,140.5 135.3,150.5 139.0,157.3 142.7,160.6 146.3,160.1 150.0,156.0 153.7,148.5 157.3,138.1 161.0,125.6 164.7,111.6 168.3,97.0 172.0,82.5 175.7,69.0 179.3,57.1 183.0,47.4 186.7,40.4 190.3,36.3 194.0,35.4 197.7,37.5 201.3,42.6 205.0,50.3 208.7,60.3 212.3,72.0 216.0,84.8 219.7,98.4 223.3,111.9 227.0,125.1 230.7,137.2 234.3,147.9 238.0,156.9 241.7,163.8 245.3,168.5 249.0,170.9 252.7,171.0 256.3,168.7 260.0,164.4 263.7,158.1 267.3,150.2 271.0,140.8 274.7,130.3 278.3,119.1 282.0,107.4 285.7,95.5 289.3,83.7 293.0,72.2 296.7,61.3 300.3,51.2 304.0,42.1 307.7,33.9 311.3,26.9 315.0,21.1 318.7,16.4 322.3,12.9 326.0,10.5 329.7,9.3 333.3,9.0 337.0,9.6 340.7,11.0 344.3,13.1 348.0,15.9 351.7,19.1 355.3,22.8 359.0,26.7 362.7,30.9 366.3,35.3 370.0,39.6 373.7,44.0 377.3,48.4 381.0,52.6 384.7,56.7 388.3,60.6 392.0,64.3 395.7,67.8 399.3,71.1 403.0,74.2 406.7,77.0 410.3,79.6 414.0,82.0 417.7,84.1 421.3,86.1 425.0,87.8 428.7,89.4 432.3,90.8 436.0,92.0 439.7,93.1 443.3,94.1 447.0,94.9 450.7,95.6 454.3,96.3 458.0,96.8 461.7,97.3 465.3,97.7 469.0,98.1 472.7,98.4 476.3,98.7 480.0,98.9" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2" />
  <text x="478" y="92" text-anchor="end" font-size="12" fill="currentColor">x</text>
</svg>
</Figure>

Airy 方程式 $y''=xy$ は、$x>0$ では「$y''$ と $y$ が同符号」で解が指数的に増えるか減るかし、$x\lt0$ では「逆符号」で解が振動します。量子力学でいえば、ポテンシャルが位置の 1 次式 $V(x)=Fx$ の Schrödinger 方程式で、$x>0$ が古典的に到達できない領域、$x\lt0$ が到達できる領域にあたり、境目 $x=0$ が**[転回点](/mathematics/special-functions/wkb-liouville-green#def-turning-point)**です。どんなに滑らかなポテンシャルでも転回点の近くでは 1 次式で近似できるので、Airy 関数は転回点の普遍的な局所模型になります。$\operatorname{Ai}$ は、到達できない側で減衰する解として選ばれています。$y''=xy$ には 1 階微分の項がないので二つの解の Wronskian は定数で、$y,y'\to0$（$x\to+\infty$）となる解が二つあれば Wronskian は $0$、すなわち一次従属です。よってそのような解は $\operatorname{Ai}$ の定数倍に限ります（$\operatorname{Ai}'$ の減衰は 3 の表示を微分すればわかります）。

$x\lt0$ の側の振動の漸近形 $\operatorname{Ai}(-x)\sim\pi^{-1/2}x^{-1/4}\sin\bigl(\frac23x^{3/2}+\frac\pi4\bigr)$ は、積分路を二つの鞍点を通るように取り直す鞍点法で得られます。これは [漸近解析](/mathematics/special-functions/asymptotic-methods) の <Ref to="mathematics/special-functions/asymptotic-methods#thm-airy-oscillatory" /> で証明し、[WKB 近似と Liouville–Green 理論](/mathematics/special-functions/wkb-liouville-green) で転回点の接続公式に使います。

## 5. 合流型超幾何関数と Whittaker 関数

<Definition id="def-kummer" title="Kummer の関数">
$b\notin\{0,-1,-2,\dots\}$ について
$$
M(a,b,z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k}{(b)_k}\frac{z^k}{k!}
$$
と定める。隣り合う項の比が $\frac{(a+k)z}{(b+k)(k+1)}\to0$ なので、$M$ は $z$ の整関数である。
</Definition>

<Proposition id="prop-kummer-eq" title="Kummer の方程式">
$w=M(a,b,z)$ は $zw''+(b-z)w'-aw=0$ をみたす。
</Proposition>

<Proof of="prop-kummer-eq">
$c_k=\frac{(a)_k}{(b)_kk!}$ とおくと $c_{k+1}(k+1)(b+k)=c_k(a+k)$ です。項別微分して $z^k$ の係数を集めると、$zw''+bw'$ からは $c_{k+1}(k+1)k+bc_{k+1}(k+1)=c_{k+1}(k+1)(k+b)$、$-zw'-aw$ からは $-c_k(k+a)$ が出て、和は $0$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-kummer-integral" title="Kummer の関数の積分表示">
実数 $b>a>0$ と $z\in\mathbb{C}$ について
$$
M(a,b,z)=\frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)\Gamma(b-a)}\int_0^1e^{zt}t^{a-1}(1-t)^{b-a-1}dt .
$$
</Theorem>

<Proof of="thm-kummer-integral">
$e^{zt}=\sum_kz^kt^k/k!$ を代入します。$\sum_k|z|^kt^k/k!\le e^{|z|}$ なので項別積分でき（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-dct" />）、
$$
\int_0^1t^{a+k-1}(1-t)^{b-a-1}dt=B(a+k,b-a)=\frac{\Gamma(a+k)\Gamma(b-a)}{\Gamma(b+k)} .
$$
右辺の第 $k$ 項は $\frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)}\frac{\Gamma(a+k)}{\Gamma(b+k)}\frac{z^k}{k!}=\frac{(a)_k}{(b)_k}\frac{z^k}{k!}$ です。
</Proof>

<Corollary id="cor-kummer-transformation" title="Kummer 変換">
$b>0$、$a,z\in\mathbb{C}$ について $M(a,b,z)=e^zM(b-a,b,-z)$。
</Corollary>

<Proof of="cor-kummer-transformation">
$b>a>0$ のときは、<Ref to="thm-kummer-integral" /> で $t\mapsto1-t$ と置換し、$e^{zt}=e^ze^{-z(1-t)}$ とすれば、$a$ と $b-a$ の役割が入れ替わった積分になります。一般の $a$ へは解析接続で延ばします。$b,z$ を固定すると、$|a|\le R$ で $\bigl|\frac{(a)_k}{(b)_k}\frac{z^k}{k!}\bigr|\le\frac{(R)_k}{(b)_k}\frac{|z|^k}{k!}$ で、右辺の和 $M(R,b,|z|)$ は収束するので、$a$ の多項式の級数 $M(a,b,z)$ は $a$ について局所一様収束し、ワイエルシュトラスの収束定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/argument-principle-rouche#thm-weierstrass-convergence" />）により $a$ の整関数です。右辺も同様です。両辺は区間 $0\lt a\lt b$ で一致するので、一致の定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-identity" />）によりすべての $a$ で一致します。
</Proof>

Kummer 変換は、$z\to+\infty$ と $z\to-\infty$ の振る舞いを入れ替える式です。たとえば $a=-n$ が負の整数なら $M(-n,b,z)$ は多項式ですが、$M(b+n,b,-z)=e^{-z}M(-n,b,z)$ は多項式に指数関数を掛けた形になり、級数の形からは見えない減衰がわかります。

Kummer の方程式は $z=0$ に確定特異点、$z=\infty$ に不確定特異点をもちます。$M$ は $z=0$ で正則な解です。$z\to+\infty$ で多項式的にしか増えない解は、Laplace 型の積分で作ります。

<Definition id="def-tricomi" title="Tricomi の関数">
$a>0$、$b\in\mathbb{R}$、$x>0$ について
$$
U(a,b,x)=\frac1{\Gamma(a)}\int_0^\infty e^{-xt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}dt .
$$
</Definition>

<Proposition id="prop-tricomi" title="Tricomi の関数の性質">
1. $w=U(a,b,x)$ は Kummer の方程式 $xw''+(b-x)w'-aw=0$ をみたす。
2. $c=b-a-1$ とし、$C=\frac{|c|}{\Gamma(a)}\int_0^\infty e^{-s}s^a(1+s)^{|c|}ds$ とおくと、$x\ge1$ で $\bigl|x^aU(a,b,x)-1\bigr|\le C/x$。
</Proposition>

<Proof of="prop-tricomi">
1: 積分記号下で微分すると（$x$ が正の閉区間を動くとき優関数が取れる）、$xU''+(b-x)U'-aU$ の被積分関数は $e^{-xt}t^{a-1}(1+t)^{c}$ に $xt^2-(b-x)t-a$ を掛けたものです。一方
$$
\frac{d}{dt}\Bigl[e^{-xt}t^a(1+t)^{b-a}\Bigr]=e^{-xt}t^{a-1}(1+t)^{c}\bigl(-xt(1+t)+a(1+t)+(b-a)t\bigr)
$$
で、括弧の中は $-(xt^2-(b-x)t-a)$ です。$t=0$ では $t^a\to0$（$a>0$）、$t\to\infty$ では $e^{-xt}$ により境界項は消えるので、積分は $0$ です。

2: $t=s/x$ と置換すると $x^aU(a,b,x)=\frac1{\Gamma(a)}\int_0^\infty e^{-s}s^{a-1}(1+s/x)^{c}ds$ で、$\frac1{\Gamma(a)}\int_0^\infty e^{-s}s^{a-1}ds=1$ です。$y\ge0$ について平均値の定理から $|(1+y)^c-1|\le|c|\,y\,(1+y)^{|c|}$ で、$y=s/x\le s$ を代入すれば主張です。
</Proof>

<Definition id="def-whittaker" title="Whittaker 関数">
$x>0$ について
$$
M_{\kappa,\mu}(x)=e^{-x/2}x^{\mu+1/2}M\bigl(\mu-\kappa+\tfrac12,1+2\mu,x\bigr),\qquad W_{\kappa,\mu}(x)=e^{-x/2}x^{\mu+1/2}U\bigl(\mu-\kappa+\tfrac12,1+2\mu,x\bigr)
$$
と定める（$M_{\kappa,\mu}$ は $2\mu\notin\{-1,-2,\dots\}$、$W_{\kappa,\mu}$ は $\mu-\kappa+\frac12>0$ のとき）。
</Definition>

<Theorem id="thm-whittaker-eq" title="Whittaker 方程式">
$M_{\kappa,\mu}$ と $W_{\kappa,\mu}$ は
$$
w''+\Bigl(-\frac14+\frac\kappa x+\frac{1/4-\mu^2}{x^2}\Bigr)w=0
$$
をみたす。さらに $x\to\infty$ で $W_{\kappa,\mu}(x)=e^{-x/2}x^{\kappa}\bigl(1+O(1/x)\bigr)$。
</Theorem>

<Proof of="thm-whittaker-eq">
Kummer の方程式を $y''+Py'+Qy=0$、$P=\frac bx-1$、$Q=-\frac ax$ と書きます。$g'/g=-P/2=\frac12-\frac b{2x}$ の解は $g=e^{x/2}x^{-b/2}$ なので、<Ref to="lem-normal-form" /> により $w=y/g=e^{-x/2}x^{b/2}y$ は
$$
w''+\Bigl(Q-\frac{P^2}4-\frac{P'}2\Bigr)w=0,\qquad Q-\frac{P^2}4-\frac{P'}2=-\frac14+\frac{b/2-a}{x}+\frac{b/2-b^2/4}{x^2}
$$
をみたします（$P^2/4=\frac{b^2}{4x^2}-\frac b{2x}+\frac14$、$P'/2=-\frac b{2x^2}$）。$b=1+2\mu$、$a=\mu-\kappa+\frac12$ とすると $b/2-a=\kappa$、$\frac b2(1-\frac b2)=\frac14-\mu^2$ です。$y=M$ と $y=U$ はどちらも Kummer の方程式の解なので（<Ref to="prop-kummer-eq" />、<Ref to="prop-tricomi" />）、主張の前半が従います。後半は <Ref to="prop-tricomi" /> の 2 から $x^{\mu+1/2}U=x^{\mu+1/2-a}(1+O(1/x))=x^\kappa(1+O(1/x))$ です。
</Proof>

Whittaker 方程式は、Coulomb ポテンシャルの動径 Schrödinger 方程式そのものです。実際、[水素原子](/physics/quantum-mechanics/hydrogen-atom) の動径方程式を無次元化すると $u''+\bigl(-\frac14+\frac\kappa\rho-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\bigr)u=0$ で、$\mu=l+\frac12$ の Whittaker 方程式です。原点で正則な解は $M_{\kappa,l+1/2}(\rho)=e^{-\rho/2}\rho^{l+1}M(l+1-\kappa,2l+2,\rho)$ で、$l+1-\kappa=-n_r$（$n_r=0,1,2,\dots$）のとき $M$ は $n_r$ 次の多項式（Laguerre 多項式の定数倍）になり、解は無限遠で減衰します。$\kappa=n_r+l+1$ が主量子数です。

<Example id="ex-bessel-as-kummer" title="Bessel 関数は Kummer の関数の特別な場合">
$\nu>-\frac12$、$x>0$ について
$$
I_\nu(x)=\frac{(x/2)^\nu e^{-x}}{\Gamma(\nu+1)}M\bigl(\nu+\tfrac12,2\nu+1,2x\bigr).
$$
<Ref to="thm-kummer-integral" />（$a=\nu+\frac12$、$b=2\nu+1$、$b-a=\nu+\frac12$）で $t=(1+s)/2$ と置換すると、$e^{2xt}=e^xe^{xs}$、$(t(1-t))^{\nu-1/2}=4^{-\nu+1/2}(1-s^2)^{\nu-1/2}$、$dt=ds/2$ なので
$$
M\bigl(\nu+\tfrac12,2\nu+1,2x\bigr)=\frac{\Gamma(2\nu+1)\,4^{-\nu}e^x}{\Gamma(\nu+\frac12)^2}\int_{-1}^1e^{xs}(1-s^2)^{\nu-1/2}ds .
$$
倍数公式（<Ref to="lem-duplication" />）から $\frac{\Gamma(2\nu+1)4^{-\nu}}{\Gamma(\nu+1)\Gamma(\nu+\frac12)}=\frac1{\sqrt\pi}$ で、$\int e^{xs}(\cdots)=\int\cosh(xs)(\cdots)$（奇関数部分は消える）なので、右辺は 3.4 節の $I_\nu$ の Poisson 型の積分表示に一致します。Kummer 変換（<Ref to="cor-kummer-transformation" />）を使うと、右辺の $e^{-x}M(\nu+\frac12,2\nu+1,2x)=e^{x}M(\nu+\frac12,2\nu+1,-2x)$ で、$x\mapsto-x$ に対する対称性が見えます。
</Example>

## 6. 漸近形と誤差評価

### 6.1. Debye の大次数漸近形

次数 $\nu$ と変数がともに大きいとき、$K_\nu(\nu z)$ の振る舞いを求めます。$\nu$ だけを大きくすると被積分関数 $e^{-\nu(z\cosh t-t)}$ は、指数 $z\cosh t-t$ が最小になる点 $t_0$ の近くに集中します。

<Theorem id="thm-debye-k" title="Debye の漸近形（K_ν）">
$z>0$ を固定し、$p=\sqrt{1+z^2}$、
$$
\eta(z)=\sqrt{1+z^2}+\ln\frac{z}{1+\sqrt{1+z^2}}
$$
とおく。$\nu\to+\infty$ のとき
$$
K_\nu(\nu z)=\sqrt{\frac{\pi}{2\nu}}\,\frac{e^{-\nu\eta(z)}}{(1+z^2)^{1/4}}\bigl(1+o(1)\bigr).
$$
</Theorem>

<Proof of="thm-debye-k">
<Ref to="def-bessel-k" /> の第 2 の表示から $K_\nu(\nu z)=\frac12\int_{-\infty}^\infty e^{-\nu\phi(t)}dt$、$\phi(t)=z\cosh t-t$ です。$\phi'(t)=z\sinh t-1$ は単調増加で、$\sinh t_0=1/z$ の一点で $0$ になります。このとき $z\cosh t_0=p$、$t_0=\ln\frac{1+p}{z}$ で、$\phi(t_0)=p-t_0=\eta(z)$ です。加法定理と $z\sinh t_0=1$ から
$$
\psi(\tau):=\phi(t_0+\tau)-\phi(t_0)=p(\cosh\tau-1)+(\sinh\tau-\tau)
$$
です。$(\cosh\tau-1)+(\sinh\tau-\tau)=e^\tau-1-\tau\ge0$ なので、すべての実数 $\tau$ で
$$
\psi(\tau)\ge(p-1)(\cosh\tau-1)\ge\frac{(p-1)\tau^2}{2}
$$
が成り立ち、$p>1$ です。$\tau=\sigma/\sqrt\nu$ と置換すると
$$
2\sqrt\nu\,e^{\nu\eta}K_\nu(\nu z)=\int_{-\infty}^\infty e^{-\nu\psi(\sigma/\sqrt\nu)}d\sigma .
$$
各 $\sigma$ で $\nu\psi(\sigma/\sqrt\nu)=\nu p(\cosh\frac\sigma{\sqrt\nu}-1)+\nu(\sinh\frac\sigma{\sqrt\nu}-\frac\sigma{\sqrt\nu})\to\frac{p\sigma^2}2$（第 2 項は $\nu\cdot O(\nu^{-3/2})$）で、被積分関数は $\nu$ によらない可積分関数 $e^{-(p-1)\sigma^2/2}$ で抑えられます。優収束定理により右辺は $\int e^{-p\sigma^2/2}d\sigma=\sqrt{2\pi/p}$ に収束し、$\frac12\sqrt{2\pi/(\nu p)}=\sqrt{\pi/(2\nu)}\,p^{-1/2}$ が主張の係数です。
</Proof>

数値で確かめると、$z=0.8$ のとき $K_\nu(\nu z)$ と右辺の主要項の比は、$\nu=10$ で約 $0.99986$、$\nu=40$ で約 $1.00002$ です。$\nu=10$ でも相対誤差は $10^{-4}$ 程度で、$K_{10}(8)\approx0.0341$、$K_{40}(32)\approx1.57\times10^{-5}$ といった値を、級数の打ち消し合いなしに精度よく与えます。主要項との比の $1/\nu$ の項は、6.2 節の <Ref to="thm-debye-k-correction" /> で求めます。

$\nu\to\infty$ で $\nu z=x$ を固定すると $z\to0$ で、指数は $-\nu\eta\approx-\nu\ln(z/2)-\nu=\nu\ln\frac{2\nu}{ex}$ となり、<Ref to="prop-bessel-k" /> の 2 と Stirling の公式から得られる $\frac12\Gamma(\nu)(2/x)^\nu$ の指数部分と一致します。逆に $z\to\infty$ では $\eta\approx z$ で、<Ref to="prop-bessel-k" /> の 3 につながります。Debye の漸近形は、この二つの極限を一様につなぐ式です。

### 6.2. Debye 展開の 1/ν の補正項

主要項の次の項を求めます。次の 2 つの補題は準備で、ガウス積分のモーメントの値と、変数変換 $\tau(w)$ の Taylor 係数を求めるものです。後者の計算は長いですが、使うのは最後の $c_1,c_2,c_3$ の 3 つの値だけです。方針は、指数 $\psi$ を変数変換でちょうど 2 次式 $w^2/2$ にし、残りをヤコビアン $d\tau/dw$ の Taylor 展開に押し込むことです。こうすると、ガウス積分のモーメントだけで係数が読めます。

<Lemma id="lem-gauss-moments" title="ガウス積分のモーメント">
$\nu>0$ のとき
$$
\int_{-\infty}^\infty e^{-\nu w^2/2}dw=\sqrt{\frac{2\pi}\nu},\qquad\int_{-\infty}^\infty w^2e^{-\nu w^2/2}dw=\frac1\nu\sqrt{\frac{2\pi}\nu},\qquad\int_{-\infty}^\infty w^4e^{-\nu w^2/2}dw=\frac3{\nu^2}\sqrt{\frac{2\pi}\nu}
$$
で、奇数次のモーメント $\int w^{2k+1}e^{-\nu w^2/2}dw$ は $0$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-gauss-moments">
第 1 式は $w=\sqrt{2/\nu}\,x$ と置換してガウス積分（<Ref to="mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#thm-gauss-integral" />）に帰着します。$k\ge1$ について、$w^{2k}e^{-\nu w^2/2}=w^{2k-1}\cdot we^{-\nu w^2/2}$ と見て部分積分すると、境界項は消えて
$$
\int w^{2k}e^{-\nu w^2/2}dw=\frac{2k-1}\nu\int w^{2k-2}e^{-\nu w^2/2}dw
$$
となり、$k=1,2$ で第 2 式・第 3 式が出ます。奇数次は被積分関数が奇関数で絶対可積分なので $0$ です。
</Proof>

<Lemma id="lem-debye-substitution" title="指数を 2 次式にする変数変換">
$z>0$、$p=\sqrt{1+z^2}$ とし、$\psi(\tau)=p(\cosh\tau-1)+(\sinh\tau-\tau)$（<Ref to="thm-debye-k" /> の証明の関数）とする。狭義単調増加で $C^\infty$ の全単射 $\tau:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ で、$\tau(0)=0$、$\psi(\tau(w))=w^2/2$ をみたすものがあり、$w\to0$ で
$$
\tau(w)=\frac{w}{\sqrt p}-\frac{w^2}{6p^2}+\frac1{p^{3/2}}\Bigl(\frac5{72p^2}-\frac1{24}\Bigr)w^3+O(w^4)
$$
である。
</Lemma>

<Proof of="lem-debye-substitution">
**変換の構成。** $\psi(0)=\psi'(0)=0$ なので、積分形の剰余で $\psi(\tau)=\tau^2q(\tau)$、$q(\tau)=\int_0^1(1-s)\psi''(s\tau)\,ds$ と書け、$q$ は $C^\infty$ で $q(0)=\psi''(0)/2=p/2$ です。<Ref to="thm-debye-k" /> の証明で示した $\psi(\tau)\ge(p-1)\tau^2/2$（$p\gt1$）から、$\tau\neq0$ でも $q(\tau)\gt0$ です。そこで $W(\tau)=\tau\sqrt{2q(\tau)}$ とおくと、$W$ は $C^\infty$ で $W^2=2\psi$、$W$ の符号は $\tau$ の符号と同じです。$\psi'(\tau)=z\sinh(t_0+\tau)-1$（$t_0$ は同じ証明の $\sinh t_0=1/z$ となる点）は狭義増加で $\tau=0$ でだけ $0$ になるので、$\tau\neq0$ では $W'=\psi'/W\gt0$、また $W'(0)=\sqrt{2q(0)}=\sqrt p\gt0$ です。$W^2\ge(p-1)\tau^2$ から $W(\tau)\to\pm\infty$（$\tau\to\pm\infty$）なので、$W$ は $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への全単射です。逆関数 $\tau=W^{-1}$ は逆関数の微分法（<Ref to="mathematics/calculus/derivatives#prop-inverse" />）で $\tau'=1/W'(\tau)$ をみたし、右辺が $C^k$ なら $\tau$ は $C^{k+1}$ なので、帰納的に $C^\infty$ です。

**Taylor 係数。** $\cosh$ と $\sinh$ の級数から $\psi(\tau)=\frac p2\tau^2+\frac16\tau^3+\frac p{24}\tau^4+O(\tau^5)$、すなわち $2q(\tau)=p\bigl(1+\frac{\tau}{3p}+\frac{\tau^2}{12}+O(\tau^3)\bigr)$ です。$\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}8+O(x^3)$ を使うと
$$
W(\tau)=\sqrt p\,\bigl(\tau+a_2\tau^2+a_3\tau^3+O(\tau^4)\bigr),\qquad a_2=\frac1{6p},\quad a_3=\frac1{24}-\frac1{72p^2}
$$
です。$\tau(w)$ の 3 次の Taylor 多項式を $c_1w+c_2w^2+c_3w^3$ とすると（<Ref to="mathematics/calculus/mean-value-and-taylor#thm-taylor" />、$\tau(0)=0$）、$\tau(w)=O(w)$ なので $W(\tau(w))=w$ に代入して $w^3$ の項まで比べると
$$
\sqrt p\,c_1=1,\qquad c_2+a_2c_1^2=0,\qquad c_3+2a_2c_1c_2+a_3c_1^3=0
$$
です。これを解いて $c_1=p^{-1/2}$、$c_2=-a_2/p=-1/(6p^2)$、$c_3=(2a_2^2-a_3)p^{-3/2}=p^{-3/2}\bigl(\frac5{72p^2}-\frac1{24}\bigr)$ を得ます。
</Proof>

<Theorem id="thm-debye-k-correction" title="Debye 展開の 1/ν の項（K_ν）">
$z>0$ を固定し、$t=1/\sqrt{1+z^2}$、$u_1(t)=\dfrac{3t-5t^3}{24}$ とおく。$\nu\to+\infty$ のとき
$$
K_\nu(\nu z)=\sqrt{\frac{\pi}{2\nu}}\,\frac{e^{-\nu\eta(z)}}{(1+z^2)^{1/4}}\Bigl(1-\frac{u_1(t)}{\nu}+O\bigl(\nu^{-2}\bigr)\Bigr).
$$
</Theorem>

<Proof of="thm-debye-k-correction">
<Ref to="thm-debye-k" /> の証明のとおり $K_\nu(\nu z)=\frac12e^{-\nu\eta}I(\nu)$、$I(\nu)=\int_{-\infty}^\infty e^{-\nu\psi(\tau)}d\tau$ です。<Ref to="lem-debye-substitution" /> の $\tau(w)$ で置換し、$g=\tau'\gt0$ とおくと
$$
I(\nu)=\int_{-\infty}^\infty e^{-\nu w^2/2}g(w)\,dw .
$$
**Taylor 展開。** $\tau$ は $C^\infty$ なので $g^{(k)}(0)=\tau^{(k+1)}(0)$ で、<Ref to="lem-debye-substitution" /> の展開の係数を $c_1=p^{-1/2}$、$c_2$、$c_3=p^{-3/2}\bigl(\frac5{72p^2}-\frac1{24}\bigr)$、$\tau$ の 4 次の Taylor 係数を $c_4$（値は使わない）とすると、$g(w)=c_1+2c_2w+3c_3w^2+4c_4w^3+R(w)$ と書け、Taylor の定理（<Ref to="mathematics/calculus/mean-value-and-taylor#thm-taylor" />）から $|w|\le1$ で $|R(w)|\le Cw^4$ となる定数 $C$ があります（$C=\max_{|w|\le1}|g^{(4)}|/24$）。

**$|w|\le1$ の部分。** 多項式部分をこの範囲で積分したものは、全直線での積分との差が、$\nu\ge1$ のとき
$$
\int_{|w|\gt1}|w|^ke^{-\nu w^2/2}dw\le e^{-(\nu-1)/2}\int_{-\infty}^{\infty}|w|^ke^{-w^2/2}dw
$$
（$|w|\gt1$ では $e^{-\nu w^2/2}=e^{-(\nu-1)w^2/2}e^{-w^2/2}\le e^{-(\nu-1)/2}e^{-w^2/2}$）で抑えられ、指数的に小さくなります。全直線での積分は <Ref to="lem-gauss-moments" /> から $\sqrt{2\pi/\nu}\,(c_1+3c_3/\nu)$ です（奇数次は消える）。剰余は $\int_{|w|\le1}|R|e^{-\nu w^2/2}dw\le C\int w^4e^{-\nu w^2/2}dw=3C\nu^{-2}\sqrt{2\pi/\nu}$ です。

**$|w|\gt1$ の部分。** $g\gt0$ なので、$\nu\ge1$ で
$$
\int_{|w|\gt1}g(w)e^{-\nu w^2/2}dw\le e^{-(\nu-1)/2}\int_{-\infty}^\infty g(w)e^{-w^2/2}dw=e^{-(\nu-1)/2}I(1)
$$
で、これも指数的に小さくなります。

**まとめ。** 以上より $I(\nu)=\sqrt{2\pi/\nu}\,\bigl(c_1+3c_3/\nu+O(\nu^{-2})\bigr)$ です。$c_1=p^{-1/2}$ と
$$
\frac{3c_3}{c_1}=\frac3p\Bigl(\frac5{72p^2}-\frac1{24}\Bigr)=\frac{5t^3}{24}-\frac t8=-\frac{3t-5t^3}{24}=-u_1(t)
$$
（$t=1/p$）から $I(\nu)=\sqrt{2\pi/(\nu p)}\,\bigl(1-u_1(t)/\nu+O(\nu^{-2})\bigr)$ で、$\frac12\sqrt{2\pi/(\nu p)}=\sqrt{\pi/(2\nu)}(1+z^2)^{-1/4}$ を掛ければ主張になります。
</Proof>

奇数次のモーメントが消えるので、$\nu^{-3/2}$ の項は現れず、誤差は $\nu^{-2}$ の程度です。同じ計算を Taylor 展開の次数を上げて続けると、$\nu^{-2},\nu^{-3},\dots$ の係数 $u_2(t),u_3(t),\dots$ が順に決まります（<Ref to="rem-debye-full" />）。

<Example id="ex-debye-correction-numeric" title="補正項の数値での確認">
$z=0.3$ では $t=1/\sqrt{1.09}\approx0.9578$、$u_1(t)\approx-0.06334$ で、補正 $-u_1/\nu$ は正です。$K_\nu(\nu z)$ と主要項の比は、$\nu=10$ で約 $1.00617$、$\nu=40$ で約 $1.00157$ で、$1-u_1/\nu$ はそれぞれ $1.00633$、$1.00158$ です。差に $\nu^2$ を掛けると $\nu=10$ で約 $-0.017$、$\nu=40$ で約 $-0.015$ とほぼ一定で、残りが $\nu^{-2}$ の程度であることが確かめられます。一方 $z=0.8$ では $u_1(t)\approx-0.0016$ と非常に小さく、主要項の比 $0.99986$（$\nu=10$）からのずれは $\nu^{-2}$ の項が主になります。
</Example>

<Remark id="rem-debye-full">
Debye の漸近形には $1+\sum_{k\ge1}(-1)^ku_k(1/p)/\nu^k$（$u_k$ は多項式）という完全な漸近展開があり（$k=1$ の項は <Ref to="thm-debye-k-correction" /> で証明した）、同じ形の $I_\nu(\nu z)\sim\frac{e^{\nu\eta}}{\sqrt{2\pi\nu}(1+z^2)^{1/4}}$ や、$J_\nu(\nu\operatorname{sech}\alpha)$ に対する式もあります。これらを**明示的な誤差の上界つき**で証明したのが Olver で、その方法は Bessel 方程式を $w''=(\nu^2f(z)+g(z))w$ の形に書き、Liouville–Green 近似の誤差を Volterra 型積分方程式で評価するというものです。一般論は [WKB 近似と Liouville–Green 理論](/mathematics/special-functions/wkb-liouville-green) の <Ref to="mathematics/special-functions/wkb-liouville-green#thm-lg-bounds" /> で扱います。次の 6.3 節は、その最も簡単な場合です。
</Remark>

### 6.3. 振動解の Olver 型誤差評価

<Ref to="lem-normal-form" /> を Bessel 方程式（$P=\frac1x$、$Q=1-\frac{\nu^2}{x^2}$）に当てると、$g=x^{-1/2}$ で、$u=\sqrt x\,J_\nu$ は
$$
u''+u=\frac{\nu^2-1/4}{x^2}\,u
$$
をみたします。右辺を摂動とみて、解が $\cos$ と $\sin$ の一次結合にどれだけ近いかを評価します。次の定理の証明の方針は、方程式を「求める解 $=$ $\cos,\sin$ の一次結合 $+$ 積分」の形に書き直し、一次結合から出発して代入をくり返すことです。1 回くり返すごとに差が $Q(x)$ の冪の分だけ小さくなり、全部足すと $e^{Q}-1$ の形の上界になります。

<Theorem id="thm-oscillatory-bound" title="振動型方程式の誤差評価">
$q$ を $[a,\infty)$ 上の連続な実数値関数で、$Q(x):=\int_x^\infty|q(y)|\,dy\lt\infty$ とする。実数 $c_1,c_2$ に対し $u_0(x)=c_1\cos x+c_2\sin x$、$A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}$ とおく。

1. $u''+u=qu$ の解 $u$ で、$x\ge a$ において
$$
|u(x)-u_0(x)|\le A\bigl(e^{Q(x)}-1\bigr),\qquad|u'(x)-u_0'(x)|\le A\bigl(e^{Q(x)}-1\bigr)
$$
をみたすものがただ一つ存在する。
2. 逆に $u''+u=qu$ のすべての解は、ただ一組の $(c_1,c_2)$ について 1 の形で得られる。
</Theorem>

<Proof of="thm-oscillatory-bound">
**積分方程式。** $f$ が連続で $\int^\infty|f|\lt\infty$ のとき、$v(x)=\int_x^\infty\sin(y-x)f(y)\,dy$ は $v'=-\int_x^\infty\cos(y-x)f(y)\,dy$、$v''=f-v$ をみたします（積分の上端が動かないので、下端の微分と積分記号下の微分だけで計算できる）。そこで
$$
u(x)=u_0(x)+\int_x^\infty\sin(y-x)\,q(y)\,u(y)\,dy
$$
の連続で有界な解は $u''+u=qu$ の解です。

**存在と評価（1）。** $u^{(0)}=u_0$、$u^{(k+1)}=u_0+\int_x^\infty\sin(y-x)q(y)u^{(k)}(y)dy$ と反復します。$|u_0|\le A$ なので、帰納法で
$$
|u^{(k+1)}(x)-u^{(k)}(x)|\le\int_x^\infty|q(y)|\,A\frac{Q(y)^{k}}{k!}dy=A\frac{Q(x)^{k+1}}{(k+1)!}
$$
です（$dQ=-|q|\,dy$）。よって $u^{(k)}$ は一様収束し、極限 $u$ は積分方程式の解で $|u-u_0|\le\sum_{k\ge1}AQ^k/k!=A(e^Q-1)$、特に $|u|\le Ae^{Q}$ です。微分すると $|u'-u_0'|\le\int_x^\infty|q|\,|u|\,dy\le A\int_x^\infty|q(y)|e^{Q(y)}dy=A(e^{Q(x)}-1)$ です。

**一意性。** 1 の評価をみたす解が二つあれば、差 $d$ は $d''+d=qd$ の解で、$x\to\infty$ で $d,d'\to0$ です。$d-\int_x^\infty\sin(y-x)q\,d\,dy$ は $u''+u=0$ の解で $0$ に収束するので恒等的に $0$、すなわち $d(x)=\int_x^\infty\sin(y-x)q(y)d(y)\,dy$ です。$m(x)=\sup_{y\ge x}|d(y)|$ とおくと $m(x)\le Q(x)m(x)$ で、$Q(x)\lt1$ となる $x\ge x_1$ では $m(x)=0$ です。初期値問題の解の一意性（<Ref to="mathematics/ode/linear-systems#thm-solution-space" />）から $d\equiv0$ です。

**すべての解（2）。** 一意性から、$(c_1,c_2)$ に 1 の解を対応させる写像は線形です。$x\to\infty$ で $u-u_0\to0$、$u'-u_0'\to0$ なので $c_1=\lim(u\cos x-u'\sin x)$、$c_2=\lim(u\sin x+u'\cos x)$ と $(c_1,c_2)$ が復元でき、写像は単射です。解空間は 2 次元なので（<Ref to="mathematics/ode/linear-systems#thm-solution-space" />）、像は解空間全体です。
</Proof>

誤差の上界 $A(e^{Q(x)}-1)$ は**計算可能な量**で、「$O(1/x)$」のような定数の分からない評価ではありません。これが Olver の誤差評価の考え方です。

<Corollary id="cor-bessel-large-x" title="大きい x での Bessel 関数">
実数 $\nu$ について、$A_\nu>0$ と $\varphi_\nu$ が存在して、すべての $x>0$ で
$$
\sqrt x\,J_\nu(x)=A_\nu\cos(x-\varphi_\nu)+r_\nu(x),\qquad|r_\nu(x)|\le A_\nu\bigl(e^{|\nu^2-1/4|/x}-1\bigr).
$$
$\nu=l-\frac12$（$l=0,1,2,\dots$）では $A_\nu=\sqrt{2/\pi}$、$\varphi_\nu=\frac{\nu\pi}2+\frac\pi4$ である。
</Corollary>

<Proof of="cor-bessel-large-x">
$u=\sqrt xJ_\nu$ に <Ref to="thm-oscillatory-bound" /> を $q=(\nu^2-\frac14)/x^2$、任意の $a>0$ で当てます。$Q(x)=|\nu^2-\frac14|/x$ で、$(c_1,c_2)=A_\nu(\cos\varphi_\nu,\sin\varphi_\nu)$ と書けば前半です。$J_\nu\not\equiv0$ なので $A_\nu>0$ です。

$\nu=\pm\frac12$ では $q=0$ で、$\sqrt xJ_{1/2}=\sqrt{2/\pi}\sin x$、$\sqrt xJ_{-1/2}=\sqrt{2/\pi}\cos x$（<Ref to="mathematics/ode/series-solutions#prop-bessel-half" />）なので主張が成り立ちます。<Ref to="prop-bessel-recurrence" /> の $J_{\nu+1}=\frac\nu xJ_\nu-J_\nu'$ を $u$ で書くと $\sqrt xJ_{\nu+1}=-u'+\frac{\nu+1/2}{x}u$ です。$u=A_\nu\cos(x-\varphi_\nu)+r_\nu$ で $r_\nu,r_\nu'\to0$ なので、$\sqrt xJ_{\nu+1}=A_\nu\cos(x-\varphi_\nu-\frac\pi2)+o(1)$ です。<Ref to="thm-oscillatory-bound" /> の 2 の $(c_1,c_2)$ の一意性から $A_{\nu+1}=A_\nu$、$\varphi_{\nu+1}\equiv\varphi_\nu+\frac\pi2\pmod{2\pi}$ で、$\nu=-\frac12$ から帰納すれば後半です。
</Proof>

数値で見てみます。$\nu=0$ では誤差の上界は $\sqrt{2/\pi}\,(e^{1/(4x)}-1)$ で、$x=5,10,20$ でそれぞれ約 $0.041,\ 0.020,\ 0.010$ です。一般の $\nu$ に対する定数（下で述べる値）を使って実際の誤差 $|\sqrt xJ_0(x)-\sqrt{2/\pi}\cos(x-\frac\pi4)|$ を計算すると、約 $0.016,\ 0.0026,\ 0.0016$ で、確かに上界の内側にあります。上界は数倍ほど甘いものの、$x$ についての減り方（$1/x$）は正しく捉えています。上界が甘いのは、証明で $|\sin(y-x)|\le1$ と評価して振動による打ち消し合いを捨てているからです。

一般の $\nu$ でも $A_\nu=\sqrt{2/\pi}$、$\varphi_\nu=\frac{\nu\pi}2+\frac\pi4$ です。これは <Ref to="thm-poisson-integral" /> の積分の端点からの寄与を Watson の補題で評価して得られます（[漸近解析](/mathematics/special-functions/asymptotic-methods) の <Ref to="mathematics/special-functions/asymptotic-methods#thm-bessel-hankel-asymptotic" />）。系から、$J_\nu$ の大きな零点の間隔が $\pi$ に近づくこともわかります。

## 7. Kontorovich–Lebedev 変換

[Fourier 変換](/mathematics/fourier-analysis/fourier-transform#def-fourier-transform)が $e^{ix\xi}$ を、Hankel 変換が $J_\nu(x\xi)$ を固有関数として関数を展開するように、**次数の方を動かして** $K_{i\tau}(x)$（$\tau>0$）で展開するのが Kontorovich–Lebedev 変換です。$K_{i\tau}$ は $x\to0$ で振動し、$x\to\infty$ で指数的に減ります。これは $x=e^u$ とおくと Schrödinger 型作用素 $-\frac{d^2}{du^2}+e^{2u}$ の固有関数（固有値 $\tau^2$）になるので、変換は「指数的な壁のあるポテンシャル」の固有関数展開です。ここでは固有関数展開の一般論を使わず、$K_{i\tau}$ の積分表示を 1 回「回転」して Fourier 変換の Plancherel の定理に帰着させます。

### 7.1. 虚数次数の $K$ と回転した積分表示

<Definition id="def-ki" title="K_{iτ}">
$\tau\in\mathbb{R}$、$x>0$ について、<Ref to="def-bessel-k" /> の式で $\nu=i\tau$ とおいた
$$
K_{i\tau}(x)=\int_0^\infty e^{-x\cosh t}\cos(\tau t)\,dt=\frac12\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x\cosh t+i\tau t}\,dt
$$
を $K_{i\tau}$ と書く。
</Definition>

$K_{i\tau}(x)$ は実数値で、$\tau$ について偶関数です。$|\cos|\le1$ から $|K_{i\tau}(x)|\le K_0(x)$ で、$K_0(x)=\int_0^\infty e^{-x\cosh t}dt\le\int_0^\infty e^{-xe^t/2}dt=\int_{x/2}^\infty e^{-v}\frac{dv}{v}$ です。これは $x\ge2$ なら $e^{-x/2}$ 以下、$x<2$ なら $1+\ln(2/x)$ 以下です。つまり $K_0$ は $x\to0$ で対数的にしか発散せず、$dx/x$ に関して $x^{\varepsilon}$ を掛ければ可積分です。<Ref to="prop-bessel-k" /> の 1 の証明で $\cosh\nu t$ の代わりに $\cos\tau t$ を使うと（$\partial_t^2\cos\tau t=-\tau^2\cos\tau t$）、$K_{i\tau}$ は $x^2y''+xy'-(x^2-\tau^2)y=0$ をみたします。以下ではこの方程式は使いません。

$K_{i\tau}(x)$ の $\tau\to\infty$ での大きさを知るのが最初の課題です。被積分関数 $e^{-x\cosh t+i\tau t}$ は整関数なので、積分路を $t=s+i\pi/2$ へ平行移動できます。そこでは $\cosh(s+i\pi/2)=i\sinh s$ で、指数部分が純虚数になります。

<Lemma id="lem-ki-rotated" title="回転した積分表示">
$x>0$、$\tau\in\mathbb{R}$、$R>0$ について
$$
I_R(x,\tau)=\int_{-R}^{R}e^{-ix\sinh s+i\tau s}\,ds
$$
とおく。

1. $R\ge1$ のとき $\bigl|I_R(x,\tau)-2e^{\pi\tau/2}K_{i\tau}(x)\bigr|\le\dfrac{7\,e^{\pi\tau/2}e^{\pi|\tau|/2}}{x\cosh R}$。とくに $R\to\infty$ で $I_R(x,\tau)\to2e^{\pi\tau/2}K_{i\tau}(x)$。
2. $|I_R(x,\tau)|\le2+\dfrac{8(1+|\tau|)}{x}$。したがって $|K_{i\tau}(x)|\le e^{-\pi|\tau|/2}\Bigl(1+\dfrac{4(1+|\tau|)}{x}\Bigr)$。
</Lemma>

<Proof of="lem-ki-rotated">
1: $G(t)=e^{-x\cosh t+i\tau t}$ は整関数です。長方形 $[-R,R]\times[0,\pi/2]$ の周に Cauchy の積分定理を使うと
$$
e^{-\pi\tau/2}I_R=\int_{-R}^RG(s)\,ds+i\int_0^{\pi/2}\bigl(G(R+ib)-G(-R+ib)\bigr)db
$$
です（$G(s+i\pi/2)=e^{-ix\sinh s}e^{i\tau s}e^{-\pi\tau/2}$）。$\operatorname{Re}\cosh(\pm R+ib)=\cosh R\cos b$ なので $|G(\pm R+ib)|=e^{-x\cosh R\cos b}e^{-\tau b}\le e^{\pi|\tau|/2}e^{-x\cosh R\cos b}$ で、$\cos b\ge\frac2\pi(\frac\pi2-b)$ から
$$
\int_0^{\pi/2}e^{-x\cosh R\cos b}db\le\int_0^\infty e^{-\frac{2}{\pi}x\cosh R\,c}\,dc=\frac{\pi}{2x\cosh R}.
$$
縦の辺の寄与は合わせて $\dfrac{\pi e^{\pi|\tau|/2}}{x\cosh R}$ 以下です。右辺第 1 項と $2K_{i\tau}(x)=\int_{\mathbb{R}}G$ の差は、$\cosh t\ge\cosh R+(t-R)\sinh R$（$t\ge R$）から
$$
2\int_R^\infty e^{-x\cosh t}dt\le\frac{2e^{-x\cosh R}}{x\sinh R}\le\frac{3}{x\cosh R}\qquad(R\ge1)
$$
です（$\sinh R\ge\tanh1\cdot\cosh R>0.76\cosh R$ と $e^{-y}\le1$）。両者を足して $\bigl|e^{-\pi\tau/2}I_R-2K_{i\tau}(x)\bigr|\le\dfrac{(3+\pi)e^{\pi|\tau|/2}}{x\cosh R}$ です。$3+\pi<7$ なので、$e^{\pi\tau/2}$ を掛けると主張が出ます。

2: $|s|\le1$ の部分は $2$ 以下です。$s\ge1$ では $\varphi(s)=e^{-ix\sinh s}$ が $\varphi'=-ix\cosh s\,\varphi$ をみたすので、$\varphi=\varphi'/(-ix\cosh s)$ として部分積分すると
$$
\int_1^Re^{i\tau s}\varphi\,ds=\Bigl[\frac{e^{i\tau s}\varphi}{-ix\cosh s}\Bigr]_1^R-\int_1^R\varphi\Bigl(\frac{e^{i\tau s}}{-ix\cosh s}\Bigr)'ds .
$$
境界項は $2/x$ 以下、被積分関数の微分は $\bigl|(e^{i\tau s}/\cosh s)'\bigr|\le(|\tau|+1)/\cosh s$ で、$\int_0^\infty ds/\cosh s=\pi/2$ なので積分項は $\frac{\pi(1+|\tau|)}{2x}$ 以下です。$s\le-1$ も同じです。よって $|I_R|\le2+\frac{4+\pi(1+|\tau|)}{x}\le2+\frac{8(1+|\tau|)}{x}$。これと 1 の極限から $2e^{\pi\tau/2}|K_{i\tau}(x)|\le2+8(1+|\tau|)/x$。$K_{i\tau}$ は $\tau$ の偶関数なので $\tau$ を $|\tau|$ に替えて後半を得ます。
</Proof>

### 7.2. 変換の定義と Plancherel の等式

$L^2\bigl((0,\infty),dx/x\bigr)$ のノルムを $\|f\|^2=\int_0^\infty|f(x)|^2\frac{dx}{x}$ と書きます。$x=e^u$ とおくと $L^2(\mathbb{R},du)$ と等長になります。$\mathcal{C}=C_c^\infty(0,\infty)$ はこの空間で稠密です（$L^2(\mathbb{R})$ での $C_c^\infty$ の稠密性、<Ref to="mathematics/fourier-analysis/tempered-distributions#lem-mollify" />）。

<Definition id="def-kl" title="Kontorovich–Lebedev 変換">
$f\in\mathcal{C}$ に対して
$$
(\mathcal{K}f)(\tau)=\int_0^\infty f(x)\,K_{i\tau}(x)\,\frac{dx}{x}\qquad(\tau\in\mathbb{R})
$$
とおく。$(0,\infty)$ 上の測度を $\rho(d\tau)=\dfrac{2}{\pi^2}\,\tau\sinh(\pi\tau)\,d\tau$ とし、$H=L^2\bigl((0,\infty),\rho\bigr)$ とする。
</Definition>

$f$ が $\operatorname{supp}f\subset[a,b]$ のとき $|\mathcal{K}f(\tau)|\le\int|f|K_0\,dx/x<\infty$ で、$\mathcal{K}f$ は $\tau$ について実解析的かつ偶関数です。測度 $\rho$ は $\tau\to\infty$ で $\tau e^{\pi\tau}$ のように増えるので、$\mathcal{K}f$ が $H$ に入るには $e^{-\pi\tau/2}$ ほど減る必要があります。これは $K_{i\tau}$ が $\tau\to\infty$ で $e^{-\pi\tau/2}$ のオーダーなこと（<Ref to="lem-ki-rotated" /> の 2）と整合します。

次の補題は、$\mathrm{sech}$ のべきの Fourier 変換です。後の完全性の証明で使います。

<Lemma id="lem-sech" title="sech のべきの Fourier 変換">
$m\ge1$ に対し $S_m(\kappa)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\kappa u}\,\mathrm{sech}^m u\,du$ とおくと、$S_1(\kappa)=\dfrac{\pi}{\cosh(\pi\kappa/2)}$ で、$S_{m+2}(\kappa)=\dfrac{m^2+\kappa^2}{m(m+1)}\,S_m(\kappa)$ が成り立つ。
</Lemma>

<Proof of="lem-sech">
$S_1$: $F(u)=e^{i\kappa u}/\cosh u$ を長方形 $[-R,R]\times[0,\pi]$ で積分します。$\cosh(s+i\pi)=-\cosh s$ なので上辺の積分は $-e^{-\pi\kappa}S_1$ に近づき、縦の辺は $R\to\infty$ で消えます。長方形の内部の極は $u=i\pi/2$ だけで、$\cosh$ の導関数 $\sinh(i\pi/2)=i$ から留数は $e^{-\pi\kappa/2}/i$ です。留数定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/residue-theorem#thm-residue" />）から $(1+e^{-\pi\kappa})S_1=2\pi i\cdot e^{-\pi\kappa/2}/i$、すなわち $S_1=2\pi/(e^{\pi\kappa/2}+e^{-\pi\kappa/2})$ です。

漸化式: $(\mathrm{sech}^m)'=-m\,\mathrm{sech}^m\tanh$ をもう一度微分すると
$$
(\mathrm{sech}^m)''=m^2\,\mathrm{sech}^m\tanh^2-m\,\mathrm{sech}^{m+2}=m^2\,\mathrm{sech}^m-m(m+1)\,\mathrm{sech}^{m+2}
$$
です（$\tanh^2=1-\mathrm{sech}^2$）。$\mathrm{sech}^m$ とその導関数は $e^{-m|u|}$ のオーダーで減るので、2 回部分積分して $\int e^{i\kappa u}(\mathrm{sech}^m)''du=-\kappa^2S_m$ です。よって $-\kappa^2S_m=m^2S_m-m(m+1)S_{m+2}$ で、主張を得ます。
</Proof>

次が、回転した積分表示から出る鍵の公式です。$\mathcal{K}f$ が、$f/x$ の Fourier 変換 $h$ を $\xi=\sinh s$ で変数変換したものの Fourier 変換になります。

<Lemma id="lem-kl-fourier" title="K を Fourier 変換で書く">
$f\in\mathcal{C}$ とし、$h(\xi)=\displaystyle\int_0^\infty\frac{f(x)}{x}\,e^{-ix\xi}\,dx$（$f/x$ の Fourier 変換。<Ref to="mathematics/fourier-analysis/fourier-transform#def-fourier-transform" />）、$a(s)=h(\sinh s)$、$\hat a(\tau)=\displaystyle\int_{\mathbb{R}}a(s)e^{i\tau s}ds$ とおく。このとき

1. $a$ は Schwartz 関数で、したがって $\hat a$ も Schwartz 関数である。
2. すべての $\tau\in\mathbb{R}$ で $(\mathcal{K}f)(\tau)=\dfrac12e^{-\pi\tau/2}\,\hat a(\tau)$。
</Lemma>

<Proof of="lem-kl-fourier">
1: $f/x\in C_c^\infty(0,\infty)$ なので $h$ は Schwartz 関数です。$a^{(k)}(s)$ は $\cosh s,\sinh s$ の多項式と $h^{(j)}(\sinh s)$ の積の有限和で、$\cosh s\le1+|\xi|$（$\xi=\sinh s$）です。$|h^{(j)}(\xi)|\le C_N(1+|\xi|)^{-N}$ と $1+|\sinh s|\ge e^{|s|}/2$ から、$a^{(k)}$ は $e^{-N|s|}$ のオーダーで減ります。したがって $a\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ で、$\hat a$ もそうです。

2: $\operatorname{supp}f\subset[x_0,x_1]$ とします。<Ref to="lem-ki-rotated" /> の 1 から、各 $x$ で $I_R(x,\tau)\to2e^{\pi\tau/2}K_{i\tau}(x)$ で、2 から $x\ge x_0$ で $|I_R|\le2+8(1+|\tau|)/x_0$ と $R$ によらず抑えられます。優収束定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-dct" />）と有限区間での Fubini から
$$
2e^{\pi\tau/2}\mathcal{K}f(\tau)=\lim_{R\to\infty}\int_0^\infty\frac{f(x)}{x}I_R(x,\tau)\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^Re^{i\tau s}\Bigl(\int_0^\infty\frac{f(x)}{x}e^{-ix\sinh s}dx\Bigr)ds=\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^Re^{i\tau s}a(s)\,ds .
$$
$a\in L^1$ なので最後の極限は $\hat a(\tau)$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-kl-plancherel" title="Kontorovich–Lebedev 変換の Plancherel の等式">
任意の $f\in\mathcal{C}$ について
$$
\int_0^\infty|f(x)|^2\frac{dx}{x}=\frac{2}{\pi^2}\int_0^\infty\bigl|(\mathcal{K}f)(\tau)\bigr|^2\,\tau\sinh(\pi\tau)\,d\tau .
$$
すなわち $\|\mathcal{K}f\|_H=\|f\|$ で、$\mathcal{K}$ は $L^2(dx/x)$ から $H$ への等長作用素に一意に拡張される。
</Theorem>

<Proof of="thm-kl-plancherel">
$a,\hat a,h$ を <Ref to="lem-kl-fourier" /> のものとし、$b(s)=a(-s)$ とおきます（$\hat b(\tau)=\hat a(-\tau)$）。<Ref to="lem-kl-fourier" /> の 2 と $\mathcal{K}f$ の偶性から
$$
|\mathcal{K}f(\tau)|^2=\tfrac14e^{-\pi\tau}|\hat a(\tau)|^2,\qquad |\mathcal{K}f(\tau)|^2=|\mathcal{K}f(-\tau)|^2=\tfrac14e^{\pi\tau}|\hat a(-\tau)|^2=\tfrac14e^{\pi\tau}|\hat b(\tau)|^2
$$
です。ひとつ目に $e^{\pi\tau}$、ふたつ目に $e^{-\pi\tau}$ を掛けると、指数がすべて消えて
$$
\sinh(\pi\tau)\,|\mathcal{K}f(\tau)|^2=\frac12\Bigl(\frac14|\hat a(\tau)|^2-\frac14|\hat b(\tau)|^2\Bigr)=\frac18\bigl(|\hat a(\tau)|^2-|\hat b(\tau)|^2\bigr)
$$
です。$\tau\sinh(\pi\tau)|\mathcal{K}f|^2$ は偶関数なので、
$$
\int_0^\infty\tau\sinh(\pi\tau)|\mathcal{K}f|^2d\tau=\frac1{16}\int_{\mathbb{R}}\tau\bigl(|\hat a|^2-|\hat b|^2\bigr)d\tau\tag{$*$}
$$
です（$\hat a,\hat b$ が Schwartz 関数なので右辺は絶対収束します）。

$a$ の導関数について $\widehat{a'}(\tau)=-i\tau\hat a(\tau)$ なので、Plancherel の定理（<Ref to="mathematics/fourier-analysis/fourier-transform#thm-plancherel" /> の偏極形 $\int\overline{\hat u}\,\hat v\,d\tau=2\pi\int\bar u\,v\,ds$）から
$$
\int_{\mathbb{R}}\tau|\hat a|^2d\tau=i\int\overline{\hat a}\,\widehat{a'}\,d\tau=2\pi i\int_{\mathbb{R}}\bar a\,a'\,ds=-2\pi\operatorname{Im}\int_{\mathbb{R}}\bar a\,a'\,ds
$$
です。最後の等号は $\operatorname{Re}(\bar aa')=\frac12(|a|^2)'$ の積分が $0$ であることによります。$b'(s)=-a'(-s)$ から $\int\bar b\,b'=-\int\bar a\,a'$ なので、$\int\tau|\hat b|^2d\tau=+2\pi\operatorname{Im}\int\bar aa'ds$ です。よって
$$
\int_{\mathbb{R}}\tau\bigl(|\hat a|^2-|\hat b|^2\bigr)d\tau=-4\pi\operatorname{Im}\int_{\mathbb{R}}\bar a\,a'\,ds=-4\pi\operatorname{Im}\int_{\mathbb{R}}\overline{h(\xi)}\,h'(\xi)\,d\xi
$$
です（$\xi=\sinh s$ と変数変換すると $a'(s)ds=h'(\xi)d\xi$）。

ここで $h$ の定義から $h'(\xi)=\int_0^\infty f(x)(-i)e^{-ix\xi}dx=-i\hat f(\xi)$（$f$ を $0$ で延長した Fourier 変換）です。$h=\widehat{f/x}$ なので、もう一度 Plancherel の定理の偏極形から
$$
\int_{\mathbb{R}}\bar h\,h'\,d\xi=-i\int\overline{\widehat{f/x}}\,\hat f\,d\xi=-2\pi i\int_0^\infty\frac{\overline{f(x)}}{x}f(x)\,dx=-2\pi i\,\|f\|^2
$$
で、虚部は $-2\pi\|f\|^2$ です。したがって $\int\tau(|\hat a|^2-|\hat b|^2)d\tau=8\pi^2\|f\|^2$ で、$(*)$ から $\int_0^\infty\tau\sinh(\pi\tau)|\mathcal{K}f|^2d\tau=\frac{\pi^2}{2}\|f\|^2$ を得ます。両辺に $2/\pi^2$ を掛けたものが主張です。

$\mathcal{C}$ は $L^2(dx/x)$ で稠密で、$\mathcal{K}$ は線形かつノルムを保つので、$\mathcal{K}$ は等長作用素に一意に拡張されます。
</Proof>

### 7.3. 反転公式とユニタリ性

等長なだけでは「展開できる」ことの半分で、逆向き（$H$ のどの元も $K_{i\tau}$ の重ね合わせで書けること）が残っています。これは次の一族で示します。

<Lemma id="lem-kl-moments" title="x^{n+1/2}e^{-x} の変換">
$n=0,1,2,\dots$ について $f_n(x)=x^{n+1/2}e^{-x}\in L^2(dx/x)$ とすると、$\mathcal{K}f_n\in H$ で（$\mathcal{K}$ は拡張後のもの）ほとんどすべての $\tau$ で
$$
(\mathcal{K}f_n)(\tau)=\int_0^\infty x^{n-1/2}e^{-x}K_{i\tau}(x)\,dx=c_n\,\frac{Q_n(\tau)}{\cosh(\pi\tau)},\qquad Q_n(\tau)=\prod_{j=0}^{n-1}\Bigl(\bigl(j+\tfrac12\bigr)^2+\tau^2\Bigr)
$$
となる。ここで $c_n>0$ は $\tau$ によらない定数である（$c_0=\pi^{3/2}/\sqrt2$）。
</Lemma>

<Proof of="lem-kl-moments">
$\int|f_n|^2dx/x=\int x^{2n}e^{-2x}dx<\infty$ です。まず右辺の積分が $\mathcal{K}f_n$ であることを示します。滑らかな切り落とし $\chi_m\in\mathcal{C}$（$0\le\chi_m\le1$、$[1/m,m]$ 上で $1$）で $f_n\chi_m\to f_n$ が $L^2(dx/x)$ で成り立ち、$\mathcal{K}$ の連続性から $\mathcal{K}(f_n\chi_m)\to\mathcal{K}f_n$ が $H$ で成り立つので、部分列でほとんどすべての $\tau$ で収束します。一方 $|K_{i\tau}|\le K_0$ で $|f_n|K_0/x$ は可積分なので、優収束定理から $\mathcal{K}(f_n\chi_m)(\tau)\to\int f_nK_{i\tau}dx/x$ が各 $\tau$ で成り立ちます。極限の一致から前半の等号を得ます。

次に積分を計算します。$K_{i\tau}$ の定義の積分と $dx$ の積分を入れ替えます（$\int\!\!\int x^{n-1/2}e^{-x(1+\cosh t)}dt\,dx=\Gamma(n+\tfrac12)\int_0^\infty(1+\cosh t)^{-n-1/2}dt<\infty$ なので Fubini が使えます）。$\int_0^\infty x^{n-1/2}e^{-x(1+\cosh t)}dx=\Gamma(n+\frac12)(1+\cosh t)^{-n-1/2}$、$1+\cosh t=2\cosh^2(t/2)$ から、$t=2u$ として
$$
\int_0^\infty x^{n-1/2}e^{-x}K_{i\tau}(x)\,dx=\Gamma\bigl(n+\tfrac12\bigr)2^{-n-1/2}\cdot2\int_0^\infty\frac{\cos(2\tau u)}{\cosh^{2n+1}u}du=\Gamma\bigl(n+\tfrac12\bigr)2^{-n-1/2}\,S_{2n+1}(2\tau)
$$
です。<Ref to="lem-sech" /> を $m=1,3,\dots,2n-1$ に順に使うと
$$
S_{2n+1}(\kappa)=\frac{\pi}{\cosh(\pi\kappa/2)}\prod_{j=0}^{n-1}\frac{(2j+1)^2+\kappa^2}{(2j+1)(2j+2)}
$$
で、$\kappa=2\tau$ のとき $(2j+1)^2+4\tau^2=4\bigl((j+\frac12)^2+\tau^2\bigr)$ です。係数をまとめたものが $c_n>0$ で、$n=0$ では $\Gamma(\frac12)2^{-1/2}\pi=\pi^{3/2}/\sqrt2$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-kl" title="Kontorovich–Lebedev の反転公式とユニタリ性">
1. $\mathcal{K}:L^2\bigl((0,\infty),dx/x\bigr)\to H$ は**ユニタリ**である。すなわち $H$ の任意の元 $g$ に対し $\mathcal{K}f=g$ となる $f$ がただ一つ存在し、$\|f\|=\|g\|_H$。
2. $f=\mathcal{K}^{-1}g$ は
$$
f=\lim_{N\to\infty}\frac{2}{\pi^2}\int_0^N g(\tau)\,K_{i\tau}(\cdot)\,\tau\sinh(\pi\tau)\,d\tau\quad(L^2(dx/x)\text{ の意味})
$$
で与えられる。
3. （各点での反転）さらに $\displaystyle\int_0^\infty|g(\tau)|\,\tau\sinh(\pi\tau)\,(1+\tau)e^{-\pi\tau/2}\,d\tau<\infty$ ならば、$f$ は連続な関数と一致し、すべての $x>0$ で
$$
f(x)=\frac{2}{\pi^2}\int_0^\infty g(\tau)\,K_{i\tau}(x)\,\tau\sinh(\pi\tau)\,d\tau
$$
が絶対収束する。とくに $f\in\mathcal{C}$ なら $g=\mathcal{K}f$ はこの条件をみたす。
</Theorem>

<Proof of="thm-kl">
**値域が稠密であること。** $g\in H$ が $\mathcal{K}$ の値域に直交するとします。とくに <Ref to="lem-kl-moments" /> の $\mathcal{K}f_n$（実数値）と直交するので
$$
0=\int_0^\infty\frac{c_nQ_n(\tau)}{\cosh\pi\tau}\,\overline{g(\tau)}\,\frac{2}{\pi^2}\tau\sinh(\pi\tau)\,d\tau\ \Longrightarrow\ \int_0^\infty w(\tau)Q_n(\tau)\,d\tau=0\quad(n\ge0),\qquad w(\tau)=\overline{g(\tau)}\,\tau\tanh(\pi\tau)
$$
です。$Q_n$ は $\tau^2$ について最高次の係数が $1$ の $n$ 次多項式なので、$Q_0,\dots,Q_n$ は $\tau^2$ の $n$ 次以下の多項式全体を張ります。よって $\int_0^\infty w(\tau)\tau^{2k}d\tau=0$（$k\ge0$）です。ただし $c<\pi/2$ について、Cauchy–Schwarz の不等式で
$$
\int_0^\infty|w|e^{c\tau}d\tau\le\Bigl(\int_0^\infty|g|^2\tau\sinh(\pi\tau)d\tau\Bigr)^{1/2}\Bigl(\int_0^\infty\tau\frac{\sinh\pi\tau}{\cosh^2\pi\tau}e^{2c\tau}d\tau\Bigr)^{1/2}<\infty
$$
です（右の積分は $\tau\to\infty$ で $\tau e^{(2c-\pi)\tau}$ のオーダー、$\tau\to0$ で有界）。$w$ を偶関数として $\mathbb{R}$ に延長した $\tilde w$ に対し、$E(z)=\int_{\mathbb{R}}\tilde w(\tau)e^{iz\tau}d\tau$ は帯 $|\operatorname{Im}z|<\pi/2$ で正則（積分記号下の微分）で、$E^{(m)}(0)=i^m\int\tilde w\,\tau^m\,d\tau$ です。$m$ が奇数なら $\tilde w$ の偶性から、偶数なら上の式から $0$ です。一致の定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-identity" />）から $E\equiv0$、特に $\tilde w\in L^1(\mathbb{R})$ の Fourier 変換が $0$ なので、反転公式（<Ref to="mathematics/fourier-analysis/fourier-transform#thm-inversion" />）から $\tilde w=0$ ほとんどすべてです。$\tau\tanh\pi\tau>0$ なので $g=0$ です。したがって値域は稠密で、<Ref to="thm-kl-plancherel" /> の等長性から値域は閉じているので、値域は $H$ 全体です。これで 1 が示されました。

**2 と 3。** 等長なので $\mathcal{K}^*\mathcal{K}=1$、ユニタリなので $\mathcal{K}^{-1}=\mathcal{K}^*$ です。$g_N=g\mathbf{1}_{[0,N]}$ とおくと $g_N\to g$ が $H$ で成り立つので $\mathcal{K}^*g_N\to f$ です。$\varphi\in\mathcal{C}$ に対し
$$
\langle\mathcal{K}^*g_N,\varphi\rangle=\langle g_N,\mathcal{K}\varphi\rangle_H=\int_0^N g(\tau)\,\overline{\int\varphi(x)K_{i\tau}(x)\frac{dx}{x}}\,\rho(d\tau)=\int_0^\infty\Bigl(\int_0^Ng(\tau)K_{i\tau}(x)\rho(d\tau)\Bigr)\overline{\varphi(x)}\frac{dx}{x}
$$
です。最後の変形は Fubini の定理で、$\operatorname{supp}\varphi$ 上で $|K_{i\tau}|\le K_0$ は有界、$g\in L^2(\rho)\subset L^1([0,N],\rho)$ だから許されます。これは $\mathcal{K}^*g_N(x)=\int_0^Ng(\tau)K_{i\tau}(x)\rho(d\tau)$ を意味し、2 が出ます。

3 の条件のもとで、$x\ge a>0$ 上で <Ref to="lem-ki-rotated" /> の 2 から $|g||K_{i\tau}(x)|\tau\sinh(\pi\tau)\le(1+4/a)|g|\tau\sinh(\pi\tau)(1+\tau)e^{-\pi\tau/2}$ は可積分関数で抑えられます。したがって $N\to\infty$ で $\int_0^N$ は $[a,\infty)$ 上一様に連続関数 $F(x)=\int_0^\infty gK_{i\tau}(x)\rho(d\tau)$ に収束します。$L^2$ の極限 $f$ と各点の極限 $F$ はほとんどすべての $x$ で一致するので 3 が従います。最後に $g=\mathcal{K}f$（$f\in\mathcal{C}$）のとき、<Ref to="lem-kl-fourier" /> の 2 から $|g(\tau)|=\frac12e^{-\pi\tau/2}|\hat a(\tau)|$ で、$\sinh\pi\tau\le\frac12e^{\pi\tau}$ なので
$$
|g|\,\tau\sinh(\pi\tau)(1+\tau)e^{-\pi\tau/2}\le\frac14\,\tau(1+\tau)\,|\hat a(\tau)|
$$
です。$\hat a$ は Schwartz 関数なので右辺は可積分です。
</Proof>

古典的な形にするには、$\varphi(x)=f(x)/x$ とおきます。$g(\tau)=\int_0^\infty\varphi(x)K_{i\tau}(x)\,dx$ に対して
$$
\varphi(x)=\frac{2}{\pi^2x}\int_0^\infty g(\tau)\,\tau\sinh(\pi\tau)\,K_{i\tau}(x)\,d\tau,\qquad\int_0^\infty|\varphi(x)|^2x\,dx=\frac{2}{\pi^2}\int_0^\infty|g(\tau)|^2\tau\sinh(\pi\tau)\,d\tau
$$
です。これが Kontorovich–Lebedev の反転公式と、その Plancherel 型の等式です。

<Example id="ex-kl-sqrt-exp" title="x^{1/2}e^{-x} の展開">
$f_0(x)=x^{1/2}e^{-x}$ のとき <Ref to="lem-kl-moments" /> から $\mathcal{K}f_0(\tau)=\pi^{3/2}/(\sqrt2\cosh\pi\tau)$ で、<Ref to="thm-kl" /> の 3 の条件は $\tau\tanh(\pi\tau)(1+\tau)e^{-\pi\tau/2}$ の可積分性に帰着して成り立ちます。反転公式から
$$
\int_0^\infty\tau\tanh(\pi\tau)\,K_{i\tau}(x)\,d\tau=\sqrt{\frac{\pi x}{2}}\,e^{-x}\qquad(x>0)
$$
が得られます。Plancherel の等式は $\|f_0\|^2=\int_0^\infty e^{-2x}dx=\frac12$ と、$\frac{2}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^3}{2}\int_0^\infty\frac{\tau\sinh\pi\tau}{\cosh^2\pi\tau}d\tau=\pi\cdot\frac{1}{2\pi}=\frac12$ の一致を意味します（積分は部分積分で $\frac1\pi\int_0^\infty\frac{d\tau}{\cosh\pi\tau}=\frac1{2\pi}$）。数値積分でも、たとえば $x=1.3$ で両辺が $0.38945$ と一致します。
</Example>

<Remark id="rem-kl-spectral">
$K_{i\tau}(e^u)$ は $\bigl(-\frac{d^2}{du^2}+e^{2u}\bigr)y=\tau^2y$ をみたし、$x\to0$ では $K_{i\tau}(x)\approx\frac12\bigl(\Gamma(i\tau)(x/2)^{-i\tau}+\Gamma(-i\tau)(x/2)^{i\tau}\bigr)$、すなわち $u\to-\infty$ で平面波 $e^{\mp i\tau u}$ の重ね合わせになります。反転公式の重み $\frac{2}{\pi^2}\tau\sinh(\pi\tau)$ は、定数倍 $\frac2\pi$ を除いて、この係数の絶対値の 2 乗の逆数 $|\Gamma(i\tau)|^{-2}$ に一致します（$|\Gamma(i\tau)|^2=\pi/(\tau\sinh\pi\tau)$）。<Ref to="thm-kl" /> は、$-\frac{d^2}{du^2}+e^{2u}$ の固有関数展開（スペクトルは純連続で $[0,\infty)$、重複度 $1$）をこの場合に明示したものと読めます。ただしこの読みは説明であり、$x\to0$ の漸近形も、一般の特異 Sturm–Liouville 作用素の固有関数展開（Weyl–Titchmarsh–Kodaira 理論）も、この節の証明では使っていません。
</Remark>

## 8. 演習

<Exercise id="exr-j-three-halves" difficulty="易">
<Ref to="prop-bessel-recurrence" /> を使って $J_{3/2}(x)=\sqrt{\dfrac2{\pi x}}\Bigl(\dfrac{\sin x}x-\cos x\Bigr)$ を示せ。
<Solution>
$J_{\nu+1}=\frac\nu xJ_\nu-J_\nu'$ で $\nu=\frac12$、$J_{1/2}=\sqrt{2/\pi}\,x^{-1/2}\sin x$ とします。$J_{1/2}'=\sqrt{2/\pi}\bigl(-\frac12x^{-3/2}\sin x+x^{-1/2}\cos x\bigr)$ なので
$$
J_{3/2}=\sqrt{\tfrac2\pi}\Bigl(\tfrac12x^{-3/2}\sin x+\tfrac12x^{-3/2}\sin x-x^{-1/2}\cos x\Bigr)=\sqrt{\tfrac{2}{\pi x}}\Bigl(\frac{\sin x}x-\cos x\Bigr).
$$
<Ref to="cor-bessel-large-x" /> の $\varphi_{3/2}=\pi$ とも合っています（$-\cos x=\cos(x-\pi)$）。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-airy-prime-zero" difficulty="標準">
<Ref to="def-airy" /> から $\operatorname{Ai}'(0)=-\dfrac1{3^{1/3}\Gamma(1/3)}$ を示せ。
<Solution>
積分記号下の微分で $\operatorname{Ai}'(0)=-\frac1{2\pi i}\int_Lte^{t^3/3}dt$ です。半直線 $t=re^{\pm i\pi/3}$ では $t\,dt=r e^{\pm2i\pi/3}dr$ なので
$$
\int_Lte^{t^3/3}dt=\bigl(e^{2i\pi/3}-e^{-2i\pi/3}\bigr)\int_0^\infty re^{-r^3/3}dr=2i\sin\frac{2\pi}3\cdot3^{-1/3}\Gamma\bigl(\tfrac23\bigr)
$$
（$v=r^3/3$ で $r\,dr=3^{-1/3}v^{-1/3}dv$）。よって $\operatorname{Ai}'(0)=-\frac{\sqrt3}{2\pi}3^{-1/3}\Gamma(\frac23)$ で、$\Gamma(\frac23)=\frac{2\pi}{\sqrt3\,\Gamma(1/3)}$ を代入すると主張です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-kummer-laguerre" difficulty="標準">
$n$ を非負整数とすると $M(-n,b,x)$ は $n$ 次多項式であることを示し、$M(-2,1,x)$ を求めて Kummer の方程式をみたすことを直接確かめよ。
<Solution>
$(-n)_k=(-n)(-n+1)\cdots(-n+k-1)$ は $k\ge n+1$ で因子 $0$ を含むので、級数は $k\le n$ で切れ、$(-n)_n=(-1)^nn!\neq0$ から次数はちょうど $n$ です。$(-2)_1=-2$、$(-2)_2=2$、$(1)_k=k!$ より
$$
M(-2,1,x)=1-2x+\frac{2x^2}{2!\cdot2!}=1-2x+\frac{x^2}2 .
$$
$w'=-2+x$、$w''=1$ を $xw''+(1-x)w'+2w$ に代入すると $x+(-2+3x-x^2)+(2-4x+x^2)=0$ です。これは Laguerre 多項式 $L_2(x)$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-k-tricomi" difficulty="難">
$\nu>-\frac12$、$x>0$ について $K_\nu(x)=\sqrt\pi\,(2x)^\nu e^{-x}\,U\bigl(\nu+\tfrac12,2\nu+1,2x\bigr)$ を示せ。（ヒント: 右辺が変形 Bessel 方程式をみたすこと、両辺の $x\to\infty$ での振る舞い、Wronskian を使う。）
<Solution>
右辺を $F(x)$ とします。$a=\nu+\frac12$、$b=2\nu+1$ とすると <Ref to="def-whittaker" /> で $\kappa=0$、$\mu=\nu$ の場合にあたり、$F(x)=\sqrt{\pi}\,(2x)^{-1/2}W_{0,\nu}(2x)$ です。<Ref to="thm-whittaker-eq" /> から $w(\xi)=W_{0,\nu}(\xi)$ は $w''+(-\frac14+\frac{1/4-\nu^2}{\xi^2})w=0$ をみたし、$\xi=2x$ と変数変換して <Ref to="lem-normal-form" />（$g=x^{-1/2}$）を逆にたどると、$F$ は変形 Bessel 方程式をみたします。

$x\to\infty$ では、<Ref to="prop-tricomi" /> の 2 から $F(x)=\sqrt\pi(2x)^\nu e^{-x}(2x)^{-\nu-1/2}(1+O(1/x))=\sqrt{\pi/(2x)}\,e^{-x}(1+O(1/x))$ です。また $U'(a,b,\xi)=-\frac1{\Gamma(a)}\int_0^\infty te^{-\xi t}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}dt$ で $|U'|\le C\xi^{-a-1}$ なので、$F'(x)=O(x^{-1/2}e^{-x})$ です。<Ref to="prop-bessel-k" /> の 3 から $K_\nu$ も同じ形です。

変形 Bessel 方程式の二つの解の Wronskian は、<Ref to="prop-bessel-wronskian" /> の証明と同じく Liouville の公式から $W(x)=c/x$ です。$W(K_\nu,F)=K_\nu F'-K_\nu'F=O(x^{-1}e^{-2x})$ なので $xW\to0$、すなわち $c=0$ で、$K_\nu$ と $F$ は一次従属です。比は $x\to\infty$ で $1$ に近づくので $F=K_\nu$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-kl-sech" difficulty="易">
$\tau\in\mathbb{R}$ について $\displaystyle\int_0^\infty K_{i\tau}(x)\,dx=\frac{\pi}{2\cosh(\pi\tau/2)}$ を示せ。
<Solution>
$K_{i\tau}$ の定義の積分と $dx$ の積分を入れ替えます（$\int\!\!\int e^{-x\cosh t}dx\,dt=\int\mathrm{sech}\,t\,dt<\infty$ なので正当）。$\int_0^\infty e^{-x\cosh t}dx=\mathrm{sech}\,t$ なので、与式は $\int_0^\infty\cos(\tau t)\,\mathrm{sech}\,t\,dt=\frac12S_1(\tau)$ です。<Ref to="lem-sech" /> から $S_1(\tau)=\pi/\cosh(\pi\tau/2)$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-kl-n1" difficulty="標準">
<Ref to="lem-kl-moments" /> の $n=1$ の場合を計算して $\mathcal{K}f_1$ を求め、<Ref to="thm-kl" /> の反転公式から
$$
\int_0^\infty\tau\Bigl(\tau^2+\frac14\Bigr)\tanh(\pi\tau)\,K_{i\tau}(x)\,d\tau=\sqrt{2\pi}\,x^{3/2}e^{-x}\qquad(x>0)
$$
を導け。
<Solution>
<Ref to="lem-sech" /> で $m=1$ として $S_3(\kappa)=\frac{1+\kappa^2}{2}S_1(\kappa)$ です。$\kappa=2\tau$ とおくと $S_3(2\tau)=\frac{1+4\tau^2}{2}\cdot\frac{\pi}{\cosh\pi\tau}=\frac{2\pi(\tau^2+1/4)}{\cosh\pi\tau}$ です。<Ref to="lem-kl-moments" /> の証明の計算から $\mathcal{K}f_1(\tau)=\Gamma(\frac32)2^{-3/2}S_3(2\tau)=\dfrac{\pi^{3/2}}{2^{3/2}}\cdot\dfrac{\tau^2+1/4}{\cosh\pi\tau}$ です（$\Gamma(\frac32)=\frac{\sqrt\pi}{2}$）。<Ref to="thm-kl" /> の 3 の条件は $\tau(\tau^2+\frac14)\tanh(\pi\tau)(1+\tau)e^{-\pi\tau/2}$ の可積分性で成り立つので
$$
x^{3/2}e^{-x}=\frac2{\pi^2}\cdot\frac{\pi^{3/2}}{2^{3/2}}\int_0^\infty\frac{\tau^2+1/4}{\cosh\pi\tau}\,\tau\sinh(\pi\tau)K_{i\tau}(x)\,d\tau=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty\tau\Bigl(\tau^2+\frac14\Bigr)\tanh(\pi\tau)K_{i\tau}(x)\,d\tau
$$
です。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- G. N. Watson, *A Treatise on the Theory of Bessel Functions*, 2nd ed., Cambridge University Press, 1944.
- E. T. Whittaker, G. N. Watson, *A Course of Modern Analysis*, 4th ed., Cambridge University Press, 1927 — 第 16 章（合流型超幾何関数）、第 17 章（Bessel 関数）。
- F. W. J. Olver, *Asymptotics and Special Functions*, Academic Press, 1974（A K Peters 再版 1997）。
- N. N. Lebedev, *Special Functions and Their Applications*, Dover, 1972.
- S. B. Yakubovich, *Index Transforms*, World Scientific, 1996 — Kontorovich–Lebedev 変換の章。
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, [https://dlmf.nist.gov/](https://dlmf.nist.gov/) — 第 9 章（Airy 関数）、第 10 章（Bessel 関数）、第 13 章（合流型超幾何関数）。