# ℝ^d の変数変換公式と極座標：|det A| から球面測度まで

> ルベーグ測度が線形写像で |det A| 倍されることを並進不変測度の一意性から示し、C¹ 微分同相に対する変数変換公式をルベーグ積分の枠で証明する。球面測度を定義して d 次元の極座標分解を導き、球の体積と球面の面積を求める。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/real-analysis/change-of-variables-rd

## 0. この記事の要点

平面の積分は、座標を取り替えると計算しやすくなることがあります。たとえば円板の上の積分は、縦横の座標よりも、原点からの距離と角度で測るほうが楽です。このとき面積や体積が「何倍に伸び縮みするか」を正確に述べるのが変数変換公式です。この記事では、それを一般の次元で厳密に証明し、球の体積や球面の面積を求められるようにします。

- $\mathbb{R}^d$ の[ルベーグ測度](/mathematics/real-analysis/lebesgue-measure#def-lebesgue-measure) $m$ は、正則な線形写像 $T$ によって一律に $|\det T|$ 倍されます：$m(T(E))=|\det T|\,m(E)$。証明の骨格は「並進不変でコンパクト集合で有限なボレル測度はルベーグ測度の定数倍しかない」という一意性で、定数は基本行列ごとに Fubini の定理で計算します。
- $C^1$ 微分同相 $\Phi:U\to V$ について、ルベーグ積分の意味で $\int_Vf\,dm=\int_Uf(\Phi(x))\,|\det D\Phi(x)|\,dx$ が成り立ちます。立方体を細かく分けて $\Phi$ を各小立方体で $D\Phi(x_j)$ に置き換え、誤差を平均値不等式で抑え、外正則性（ボレル集合の測度を、それを含む開集合の測度で上からいくらでも近く近似できる性質）で一般のボレル集合（開集合から補集合と可算和をくり返して作れる集合）に広げます。
- $C^1$ 写像は測度 $0$ の集合を測度 $0$ の集合に写します。これを使うと、測度 $0$ の例外集合の上で単射性やヤコビアンの非退化性が崩れていても公式が使えます。極座標・球座標はこの形で使います。
- 単位球面 $S^{d-1}$ 上の**球面測度**（球面の面積にあたるもの）を $\sigma(A)=d\cdot m(\{r\omega:0<r\le1,\ \omega\in A\})$ で定義すると、$\int_{\mathbb{R}^d}f\,dm=\int_0^\infty\!\int_{S^{d-1}}f(r\omega)\,d\sigma(\omega)\,r^{d-1}dr$ が成り立ちます。$\sigma$ は回転不変で、$d=3$ では $d\sigma=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi$ です。
- ガウス積分を二通りに計算して、$\sigma(S^{d-1})=2\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)$、単位球の体積 $\pi^{d/2}/\Gamma(d/2+1)$ を得ます。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **ルベーグ測度**: $\mathbb{R}^d$ の集合に「長さ・面積・体積」を割り当てる測度。→ [ルベーグ測度](/mathematics/real-analysis/lebesgue-measure#def-lebesgue-measure)
- **ボレル集合・ボレル関数**: 開集合から補集合と可算和をくり返して作れる集合と、その逆像がボレル集合になる関数。この記事の積分は主にこれらについて考えます。
- **行列式**: 正方行列に決まる数で、線形写像が体積を何倍にするかを表すもの。→ [行列式](/mathematics/linear-algebra/determinants#def-determinant)
- **Fubini・Tonelli の定理**: 直積測度での積分を、一つずつの変数の累次積分に分けてよいという定理。→ [直積測度と Fubini–Tonelli の定理](/mathematics/real-analysis/product-measures-fubini)
- **逆関数定理**: ヤコビ行列が正則な点の近くで、$C^1$ 級の逆写像が存在するという定理。→ [逆関数定理・陰関数定理](/mathematics/calculus/inverse-implicit-functions)
- **ガンマ関数**: $\Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-t}t^{s-1}dt$ で定まる、階乗を拡張した関数。→ [ガンマ関数](/mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#def-gamma)

</Aside>

## 1. 動機 — 2 次元のリーマン積分から $d$ 次元のルベーグ積分へ

[重積分とフビニの定理](/mathematics/calculus/multiple-integrals) では、平面の有界閉集合上のリーマン積分について変数変換公式を証明しました。ところが解析学の多くの場面で使う変数変換は、この枠に収まりません。

- 偏微分方程式では、ラプラス方程式の基本解 $|x|^{2-d}$ が原点の近くで可積分であることを、$\mathbb{R}^d$ の極座標で $\int_0^1r^{2-d}r^{d-1}\,dr<\infty$ と確かめます（[ラプラス方程式](/mathematics/pde/laplace-equation)）。被積分関数は非有界で、次元は一般の $d$ です。
- フーリエ解析では、$\langle x\rangle^{-s}=(1+|x|^2)^{-s/2}$ が $\mathbb{R}^d$ 全体で可積分になる条件 $s>d$ を、やはり極座標で判定します。積分範囲は有界ではありません。
- 確率論では、正規分布 $N(\mu,\Sigma)$ の密度を、標準正規分布を線形写像 $x\mapsto\Sigma^{1/2}x+\mu$ で写して求めます。必要なのは「線形写像はルベーグ測度を $|\det|$ 倍する」という事実で、関数は一般の可測関数です。
- 物理では、3 次元の球面上の積分を $\sin\theta\,d\theta\,d\varphi$ で計算します。球面上の「面積測度」とは何か、なぜ回転不変なのかを、一度は確かめておく必要があります。

この記事は、これらをすべてルベーグ積分の枠で一度に正当化します。リーマン積分版との違いは、(i) 次元が一般の $d$、(ii) 被積分関数が一般のボレル関数（非有界・非有界領域でよい）、(iii) 線形写像の場合も含めて証明が測度論の道具（一意性定理・外正則性・単調収束定理）で閉じている、の三点です。

## 2. 準備

### 2.1. 記号

$\mathbb{R}^d$ の点 $x=(x_1,\ldots,x_d)$ に、ユークリッドノルム $|x|=(\sum_ix_i^2)^{1/2}$ と最大値ノルム（各成分の絶対値の最大）$\|x\|_\infty=\max_i|x_i|$ を使い分けます。行列 $A=(a_{ij})\in M_d(\mathbb{R})$ には
$$
\|A\|_\infty=\max_{1\le i\le d}\sum_{j=1}^d|a_{ij}|
$$
を使います。$|(Ax)_i|\le\sum_j|a_{ij}||x_j|\le\|A\|_\infty\|x\|_\infty$ なので $\|Ax\|_\infty\le\|A\|_\infty\|x\|_\infty$、また $\|AB\|_\infty\le\|A\|_\infty\|B\|_\infty$ です。

$a\in\mathbb{R}^d$、$r>0$ に対し、閉立方体を $Q(a,r)=\{x:\|x-a\|_\infty\le r\}$ と書きます（辺の長さ $2r$、中心 $a$）。**箱**とは区間の直積 $I_1\times\cdots\times I_d$ のことです。

### 2.2. $\mathbb{R}^d$ のルベーグ測度

<Definition id="def-lebesgue-rd" title="ℝ^d のルベーグ測度">
$\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ を $\mathbb{R}^d$ のボレル集合族、$m_1$ を $\mathbb{R}$ のルベーグ測度のボレル集合への制限とする。$d\ge2$ について帰納的に
$$
m_d=m_1\times m_{d-1}\qquad\bigl(\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d-1})=\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\text{ 上}\bigr)
$$
と定め、$\mathbb{R}^d$ の**ルベーグ測度**と呼ぶ。次元が明らかなときは $m$ と書く。さらに、ボレル集合 $B$ と、ある $m(Z)=0$ のボレル集合 $Z$ の部分集合 $N$ によって $E=B\cup N$ と書ける集合 $E$ を**ルベーグ可測**といい、その全体を $\mathcal{L}_d$、$m(E):=m(B)$ と定める。
</Definition>

σ-加法族の等式は <Ref to="mathematics/real-analysis/product-measures-fubini#prop-borel-product" /> によります。直積測度は <Ref to="mathematics/real-analysis/product-measures-fubini#thm-product-measure" /> により存在して一意です。$d=1$ のとき $\mathcal{L}_1$ はカラテオドリの条件による可測集合族と一致します（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-measure#prop-measurable-borel-null" />）。[Radon 測度と Riesz–Markov の表現定理](/mathematics/real-analysis/riesz-markov) では $m_d$ を $m_1\times\cdots\times m_1$ と書きましたが、括弧の付け方によらず箱の上で同じ値をとるので、次の補題と測度の一意性（<Ref to="mathematics/real-analysis/abstract-measures#thm-uniqueness-measures" />）により同じ測度です。

<Lemma id="lem-box-measure" title="箱の測度と超平面">
1. 区間 $I_1,\ldots,I_d$（端点を含むかどうかは任意）について $m(I_1\times\cdots\times I_d)=\ell(I_1)\cdots\ell(I_d)$。ここで $\ell$ は区間の長さ。
2. 座標超平面 $H=\{x:x_i=c\}$ は $m(H)=0$ を満たす。とくに閉立方体の境界は測度 $0$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-box-measure">
1. $d$ についての帰納法です。$d=1$ は <Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-measure#prop-interval-length" /> です。$d\ge2$ では、$I_2\times\cdots\times I_d$ がボレル集合であることに注意して <Ref to="mathematics/real-analysis/product-measures-fubini#thm-product-measure" /> の長方形の値の式を使うと、$m_d(I_1\times(I_2\times\cdots\times I_d))=\ell(I_1)\,m_{d-1}(I_2\times\cdots\times I_d)$ で、帰納法の仮定から主張が出ます。

2. $H=\bigcup_{k}H_k$、$H_k=\{x\in H:\|x\|_\infty\le k\}$ と書けます。$H_k$ は第 $i$ 因子が 1 点 $[c,c]$（長さ $0$）の箱なので、1 から $m(H_k)=0$ です。可算劣加法性から $m(H)=0$。閉立方体の境界は $2d$ 枚の座標超平面の和集合に含まれます。
</Proof>

$k\ge0$ について、$\prod_{i=1}^d[j_i2^{-k},(j_i+1)2^{-k})$（$j_i\in\mathbb{Z}$）の形の集合を**第 $k$ 世代の 2 進立方体**と呼びます。同じ世代の 2 進立方体は互いに素で $\mathbb{R}^d$ を覆い、異なる世代の 2 進立方体は「一方が他方を含む」か「互いに素」のどちらかです（各座標で 2 進区間について同じことが成り立つためです）。

次の補題のねらいは、形の複雑な開集合を、扱いやすい 2 進立方体の可算個の貼り合わせに分解することです。立方体について示したことを、開集合へ、さらに外正則性を通じて一般のボレル集合へ広げるために、この後で何度も使います。証明は、開集合の中に入る 2 進立方体のうち、これ以上大きい 2 進立方体に含まれないものを集める、という方針です。

<Lemma id="lem-dyadic-open" title="開集合の 2 進立方体分解">
$W\subseteq\mathbb{R}^d$ を開集合とする。互いに素な 2 進立方体の可算族 $\{D_n\}$ で、各閉包 $\overline{D_n}$ が $W$ に含まれ、$W=\bigcup_nD_n=\bigcup_n\overline{D_n}$ となるものが存在する。とくに $m(W)=\sum_nm(D_n)=\sum_nm(\overline{D_n})$ であり、$W$ は内部が互いに素な閉立方体の可算和である。
</Lemma>

<Proof of="lem-dyadic-open">
$\mathcal{C}$ を、世代 $k\ge0$ の 2 進立方体 $D$ で $\overline D\subseteq W$ となるもの全体とします。$x\in W$ なら、$W$ が開なので $\|y-x\|_\infty\le\delta$ ならば $y\in W$ となる $\delta>0$ があり、$2^{-k}\le\delta$ となる世代 $k$ で $x$ を含む 2 進立方体 $D$ を取ると、$\overline D$ の点 $y$ は $\|y-x\|_\infty\le2^{-k}\le\delta$ を満たすので $D\in\mathcal{C}$ です。よって $W=\bigcup\mathcal{C}$。$D\in\mathcal{C}$ を含む世代 $\ge0$ の 2 進立方体は有限個（各世代に一つ）なので、$\mathcal{C}$ の中で包含に関して極大な元が $D$ を含む形で存在します。極大元どうしは、一方が他方を含めば極大性から一致するので、異なる極大元は互いに素です。2 進立方体全体は可算なので極大元も可算個で、これを $D_n$ とします。$W\subseteq\bigcup D_n\subseteq\bigcup\overline{D_n}\subseteq W$ です。測度の式は可算加法性と、$\overline{D_n}\setminus D_n$ が立方体の境界に含まれ測度 $0$（<Ref to="lem-box-measure" />）であることから従います。
</Proof>

外正則性も使います。<Ref to="mathematics/real-analysis/riesz-markov#prop-lebesgue-radon" /> により、任意のボレル集合 $E$ について $m(E)=\inf\{m(W):W\supseteq E\text{ は開}\}$ です。

## 3. 線形写像によるルベーグ測度の変換

### 3.1. 並進不変性と一意性

この節で使う論法を先に述べておきます。二つの測度が等しいことを示すには、すべてのボレル集合を調べる代わりに、共通部分で閉じた集合族（π-系）の上で値が一致し、有限測度の集合で全体を覆えることを確かめれば十分です（測度の一意性定理）。箱や 2 進立方体の測度は計算できるので、そこから全体へ一致が広がります。

<Lemma id="lem-translation-invariance" title="並進不変性">
$a\in\mathbb{R}^d$ とボレル集合 $E$ について、$E+a=\{x+a:x\in E\}$ はボレル集合で $m(E+a)=m(E)$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-translation-invariance">
$\tau(x)=x-a$ は連続なので、$E+a=\tau^{-1}(E)$ はボレル集合です（連続写像によるボレル集合の逆像はボレル集合：逆像がボレル集合になる集合の全体は σ-加法族で、開集合を含むためです）。$\nu(E)=m(E+a)$ は $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ 上の測度です。半開箱 $P=\prod_i[a_i,b_i)$ の全体に $\emptyset$ を加えた族 $\mathcal{P}$ は共通部分で閉じた π-系で、<Ref to="lem-dyadic-open" /> により開集合はすべて $\sigma(\mathcal{P})$ に入るので $\sigma(\mathcal{P})=\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ です。$P+a$ は同じ辺の長さの半開箱なので、<Ref to="lem-box-measure" /> から $\nu(P)=m(P)$。$[-n,n)^d\in\mathcal{P}$ は増大して $\mathbb{R}^d$ を覆い測度は有限です。<Ref to="mathematics/real-analysis/abstract-measures#thm-uniqueness-measures" /> により $\nu=m$ です。
</Proof>

<Lemma id="lem-translation-unique" title="並進不変測度の一意性">
$\mu$ を $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ 上の測度とし、すべてのボレル集合 $E$ と $a\in\mathbb{R}^d$ について $\mu(E+a)=\mu(E)$、かつ $c:=\mu([0,1)^d)<\infty$ とする。このとき $\mu=c\,m$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-translation-unique">
第 $k$ 世代の 2 進立方体はどれも $[0,2^{-k})^d$ の平行移動で、$[0,1)^d$ はそのうち $2^{kd}$ 個の互いに素な和です。並進不変性と加法性から $c=2^{kd}\mu([0,2^{-k})^d)$、つまり第 $k$ 世代の立方体 $D$ について $\mu(D)=c\,2^{-kd}=c\,m(D)$ です。

$\mathcal{P}_2$ を、端点がすべて 2 進有理数（$j2^{-k}$ の形）の半開箱の全体に $\emptyset$ を加えた族とします。共通部分で閉じているので π-系です。$P\in\mathcal{P}_2$ は、端点の分母を $2^k$ にそろえれば第 $k$ 世代の 2 進立方体の有限個の互いに素な和なので、$\mu(P)=c\,m(P)$ です。<Ref to="lem-dyadic-open" /> により $\sigma(\mathcal{P}_2)=\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ で、$[-n,n)^d\in\mathcal{P}_2$ の測度は有限です。<Ref to="mathematics/real-analysis/abstract-measures#thm-uniqueness-measures" /> により $\mu=c\,m$ です（$c=0$ でも同じ議論が通ります）。
</Proof>

この一意性が、次の定理の証明の中心です。「並進不変」と「単位立方体で有限」だけで測度が決まってしまうので、線形写像で写した測度も $m$ の定数倍になり、残るのは定数の計算だけになります。

### 3.2. 基本行列への分解

<Lemma id="lem-elementary-product" title="正則行列は基本行列の積">
正則行列 $T\in M_d(\mathbb{R})$ は、次の 3 種類の基本行列の有限個の積である：(I) 2 つの座標を入れ替える置換行列、(II) 1 つの座標を $\lambda\ne0$ 倍する対角行列、(III) $I+cE_{pq}$（$p\ne q$、$E_{pq}$ は $(p,q)$ 成分だけが $1$ の行列）。
</Lemma>

<Proof of="lem-elementary-product">
<Ref to="mathematics/linear-algebra/matrices-and-linear-systems#prop-inverse-sweep" /> により $T$ と行同値な簡約階段形は $I$ で、<Ref to="mathematics/linear-algebra/matrices-and-linear-systems#lem-elementary" /> の 1 により基本行列 $E_1,\ldots,E_k$ を使って $E_k\cdots E_1T=I$ と書けます。よって $T=E_1^{-1}\cdots E_k^{-1}$ で、同補題の 2 により各 $E_i^{-1}$ も基本行列です。行変形の 3 つの型に対応する基本行列は、それぞれ (I)(II)(III) の形です。
</Proof>

### 3.3. 主定理

<Theorem id="thm-linear-measure" title="線形写像によるルベーグ測度の変換">
$T\in M_d(\mathbb{R})$ とする。
1. $\det T\ne0$ ならば、任意のボレル集合 $E$ について $T(E)$ はボレル集合で
   $$
   m(T(E))=|\det T|\,m(E).
   $$
2. $\det T=0$ ならば、$T(\mathbb{R}^d)$ は測度 $0$ の閉集合である。したがって任意の $E\subseteq\mathbb{R}^d$ について $T(E)$ は測度 $0$ のボレル集合に含まれ、上の等式は（両辺 $0$ として）成り立つ。
3. 1 の等式はルベーグ可測集合 $E\in\mathcal{L}_d$ についても成り立ち、$T(E)\in\mathcal{L}_d$ である（$\det T\ne0$ のとき）。
</Theorem>

<Proof of="thm-linear-measure">
**1.** $T$ は連続な逆写像 $T^{-1}$ をもつので、$T(E)=(T^{-1})^{-1}(E)$ はボレル集合です。$\mu_T(E)=m(T(E))$ とおくと、$T$ は単射なので互いに素な集合を互いに素な集合に写し、$\mu_T$ は $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ 上の測度です。$T(E+a)=T(E)+Ta$ と <Ref to="lem-translation-invariance" /> から $\mu_T$ は並進不変です。$T([0,1)^d)$ は有界（$\|Tx\|_\infty\le\|T\|_\infty$）なので、ある立方体に含まれ $\mu_T([0,1)^d)<\infty$ です。<Ref to="lem-translation-unique" /> により、定数 $c(T)\ge0$ が存在して
$$
m(T(E))=c(T)\,m(E)\qquad(E\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)).
$$
正則な $S,T$ について $m(ST(E))=c(S)m(T(E))=c(S)c(T)m(E)$ なので $c(ST)=c(S)c(T)$ です。一方 $|\det(ST)|=|\det S||\det T|$（<Ref to="mathematics/linear-algebra/determinants#thm-product" />）です。<Ref to="lem-elementary-product" /> により、基本行列 $T$ について $c(T)=|\det T|$ を示せば十分です。$Q_0=[0,1)^d$ とします。

- (I) 座標の入れ替え：$T(Q_0)=Q_0$ なので $c(T)=1$。行列式は $-1$ です（<Ref to="mathematics/linear-algebra/determinants#prop-elementary" /> の 1）。
- (II) 第 $p$ 座標の $\lambda$ 倍：$T(Q_0)$ は第 $p$ 因子が長さ $|\lambda|$ の区間（$[0,\lambda)$ または $(\lambda,0]$）で他が $[0,1)$ の箱なので、<Ref to="lem-box-measure" /> から $c(T)=|\lambda|=|\det T|$。
- (III) $T=I+cE_{pq}$、つまり $(Tx)_p=x_p+cx_q$ で他の座標は不変。置換行列 $P$ を、$Pe_p=e_1$、$Pe_q=e_2$ となるように選ぶと $PE_{pq}P^{-1}=E_{12}$、つまり $P\,T\,P^{-1}=I+cE_{12}$ です。$P$ と $P^{-1}$ は座標の入れ替え（互換）の積なので、(I) と乗法性から $c(P)=c(P^{-1})=1$ で、 $c(T)=c(I+cE_{12})$ です。$T'=I+cE_{12}$ について $T'(Q_0)=\{y:y'\in[0,1)^{d-1},\ y_1-cy_2\in[0,1)\}$（$y'=(y_2,\ldots,y_d)$）です。$m_d=m_1\times m_{d-1}$ に <Ref to="mathematics/real-analysis/product-measures-fubini#thm-product-measure" /> の切断の式を使うと、$y'\in[0,1)^{d-1}$ での切断は区間 $[cy_2,cy_2+1)$（測度 $1$）、それ以外では空集合なので $m(T'(Q_0))=m_{d-1}([0,1)^{d-1})=1$。行列式は $1$ です（<Ref to="mathematics/linear-algebra/determinants#prop-elementary" /> の 3）。

**2.** $W=T(\mathbb{R}^d)$ は次元 $k<d$ の部分空間です。$W$ の基底 $w_1,\ldots,w_k$ を $\mathbb{R}^d$ の基底 $w_1,\ldots,w_d$ に延長し、$Sw_i=e_i$ で正則な $S$ を定めると、$S(W)=\operatorname{span}(e_1,\ldots,e_k)\subseteq H:=\{x:x_d=0\}$ です。$H$ は閉集合で $m(H)=0$（<Ref to="lem-box-measure" />）、$W=S^{-1}(S(W))$ は閉集合で、1 から $m(W)\le m(S^{-1}(H))=|\det S^{-1}|\,m(H)=0$ です。

**3.** $E=B\cup N$、$N\subseteq Z$（$B,Z$ はボレル集合、$m(Z)=0$）とすると、$T(E)=T(B)\cup T(N)$、$T(N)\subseteq T(Z)$、$m(T(Z))=|\det T|\cdot0=0$ なので $T(E)\in\mathcal{L}_d$ で $m(T(E))=m(T(B))=|\det T|m(B)=|\det T|m(E)$ です。
</Proof>

<Corollary id="cor-rotation-dilation" title="回転不変性と相似">
1. 直交行列 $O$（$O^{\mathsf{T}}O=I$）について $m(O(E))=m(E)$。
2. $t>0$ について $m(tE)=t^dm(E)$。
3. $T$ が正則、$f\ge0$ がボレル関数ならば $\int_{\mathbb{R}^d}f(Tx)\,dx=|\det T|^{-1}\int_{\mathbb{R}^d}f(y)\,dy$。$f\in L^1$ のときも同じ等式が成り立つ。
</Corollary>

<Proof of="cor-rotation-dilation">
1. $1=\det(O^{\mathsf{T}}O)=\det(O^{\mathsf{T}})\det O=(\det O)^2$（<Ref to="mathematics/linear-algebra/determinants#thm-product" /> と <Ref to="mathematics/linear-algebra/determinants#prop-basic" /> の転置不変性）なので $|\det O|=1$ です。2. $\det(tI)=t^d$ です。3. $f=\mathbf{1}_A$ なら $f(Tx)=\mathbf{1}_{T^{-1}(A)}(x)$ で、左辺は $m(T^{-1}(A))=|\det T|^{-1}m(A)$ です。両辺とも $f$ について非負係数の線形性をもつので非負単関数で成り立ち、<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-simple-approx" /> と単調収束定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-mct" />）で一般の $f\ge0$ に移ります。$f\in L^1$ なら $f=f^+-f^-$ に分けて適用します。
</Proof>

<Example id="ex-parallelepiped" title="平行六面体の体積">
ベクトル $v_1,\ldots,v_d$ の張る平行六面体 $\{\sum_it_iv_i:0\le t_i\le1\}$ は、$v_i$ を列とする行列 $T$ による $[0,1]^d$ の像なので、体積は $|\det(v_1\ \cdots\ v_d)|$ です。$d=2$ では [行列式](/mathematics/linear-algebra/determinants) の <Ref to="mathematics/linear-algebra/determinants#prop-volume2" /> の面積公式を、ルベーグ測度の言葉で一般次元に広げたことになります。$v_i$ が一次従属なら体積は $0$ で、これは 2 に対応します。
</Example>

<Example id="ex-gaussian-quadratic" title="正定値 2 次形式のガウス積分">
$A$ を正定値な実対称行列とします。<Ref to="mathematics/linear-algebra/spectral-theorem#cor-real-symmetric" /> により $A=O\Lambda O^{\mathsf{T}}$（$O$ は直交行列、$\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_d)$、$\lambda_i>0$）と書け、$S=\Lambda^{1/2}O^{\mathsf{T}}$ とおくと $\langle Ax,x\rangle=|Sx|^2$、$|\det S|=(\lambda_1\cdots\lambda_d)^{1/2}=(\det A)^{1/2}$ です。<Ref to="cor-rotation-dilation" /> の 3 と、$e^{-|y|^2}=\prod_ie^{-y_i^2}$ に Tonelli の定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/product-measures-fubini#thm-tonelli" />）を $d-1$ 回使い、<Ref to="mathematics/real-analysis/product-measures-fubini#ex-gauss-integral" /> の $\int_{\mathbb{R}}e^{-t^2}dt=\sqrt\pi$ を使うと
$$
\int_{\mathbb{R}^d}e^{-\langle Ax,x\rangle}dx=\frac{1}{|\det S|}\int_{\mathbb{R}^d}e^{-|y|^2}dy=\frac{\pi^{d/2}}{\sqrt{\det A}}.
$$
多変量正規分布の密度の正規化定数 $(2\pi)^{-d/2}(\det\Sigma)^{-1/2}$ は、$A=\frac12\Sigma^{-1}$ としたこの式です。
</Example>

## 4. $C^1$ 微分同相に対する変数変換公式

### 4.1. 定義と二つの補題

<Definition id="def-diffeo" title="C¹ 微分同相">
$U,V\subseteq\mathbb{R}^d$ を開集合とする。全単射 $\Phi:U\to V$ が **$C^1$ 微分同相**であるとは、$\Phi$ と逆写像 $\Phi^{-1}:V\to U$ がともに $C^1$ 級であることをいう。$D\Phi(x)$ は $\Phi$ のヤコビ行列、$\det D\Phi(x)$ をヤコビアンと呼ぶ。
</Definition>

$\Phi^{-1}\circ\Phi=\mathrm{id}_U$ に連鎖律（<Ref to="mathematics/calculus/multivariable-differentiation#thm-chain-rule-n" />）を使うと $D(\Phi^{-1})(\Phi(x))\,D\Phi(x)=I$ なので、$D\Phi(x)$ はつねに正則です。逆に、次の補題により「単射でヤコビアンが消えない」ことを確かめれば微分同相が得られます。

<Lemma id="lem-global-inverse" title="単射な局所微分同相は微分同相">
$U\subseteq\mathbb{R}^d$ を開集合、$\Phi:U\to\mathbb{R}^d$ を単射な $C^1$ 写像で、すべての $x\in U$ で $\det D\Phi(x)\ne0$ とする。このとき $V=\Phi(U)$ は開集合で、$\Phi:U\to V$ は $C^1$ 微分同相である。
</Lemma>

<Proof of="lem-global-inverse">
$x\in U$ に逆関数定理（<Ref to="mathematics/calculus/inverse-implicit-functions#thm-inverse-function" />）を使うと、$x$ の開近傍 $V_x\subseteq U$ と $\Phi(x)$ の開近傍 $W_x$ があって、$\Phi|_{V_x}:V_x\to W_x$ は全単射で逆写像 $G_x$ は $C^1$ 級です。$W_x\subseteq\Phi(U)$ なので $V$ は開集合です。$\Psi:V\to U$ を $\Phi$ の逆写像とすると、$y\in W_x$ について $\Phi(G_x(y))=y=\Phi(\Psi(y))$ で、$\Phi$ の単射性から $\Psi(y)=G_x(y)$ です。よって $\Psi$ は各点の近傍で $C^1$ 級です。
</Proof>

立方体の像を立方体で押さえるために、最大値ノルムでの平均値不等式を用意します。ユークリッドノルムでの形は <Ref to="mathematics/calculus/multivariable-differentiation#thm-mean-value-inequality" /> ですが、そのまま使うとノルムの換算で $\sqrt d$ の因子が出て、下の証明の「$(1+\varepsilon)^d$」が $1$ に近づかなくなります。

<Lemma id="lem-sup-mvi" title="最大値ノルムでの平均値不等式">
$U\subseteq\mathbb{R}^d$ を開集合、$\Phi:U\to\mathbb{R}^d$ を $C^1$ 写像とし、$x,y\in U$ を結ぶ線分 $[x,y]$ が $U$ に含まれるとする。このとき
$$
\|\Phi(x)-\Phi(y)\|_\infty\le\sup_{z\in[x,y]}\|D\Phi(z)\|_\infty\;\|x-y\|_\infty .
$$
</Lemma>

<Proof of="lem-sup-mvi">
成分 $i$ を固定し、$g(t)=\Phi_i(y+t(x-y))$（$0\le t\le1$）とおきます。連鎖律により $g$ は微分可能で $g'(t)=\sum_j\partial_j\Phi_i(z_t)(x_j-y_j)$（$z_t=y+t(x-y)$）です。ラグランジュの平均値の定理（<Ref to="mathematics/calculus/mean-value-and-taylor#thm-mvt" />）から、ある $\theta\in(0,1)$ で
$$
|\Phi_i(x)-\Phi_i(y)|=|g'(\theta)|\le\sum_j|\partial_j\Phi_i(z_\theta)|\,|x_j-y_j|\le\|D\Phi(z_\theta)\|_\infty\|x-y\|_\infty .
$$
$i$ について最大をとれば主張です。
</Proof>

<Lemma id="lem-cube-image" title="立方体の像の測度">
$\Phi:U\to\mathbb{R}^d$ を $C^1$ 写像、$Q=Q(a,r)\subseteq U$ を閉立方体、$T$ を正則行列とする。このとき $\Phi(Q)$ はコンパクトで
$$
m(\Phi(Q))\le|\det T|\Bigl(\sup_{z\in Q}\|T^{-1}D\Phi(z)\|_\infty\Bigr)^d m(Q).
$$
</Lemma>

<Proof of="lem-cube-image">
$\Phi(Q)$ はコンパクト集合の連続像なのでコンパクトで、とくに閉集合なのでボレル集合です。$G=T^{-1}\circ\Phi$ は $C^1$ 級で、連鎖律から $DG=T^{-1}D\Phi$ です。右辺の上限を $M$ とします。$Q$ は凸なので、$x\in Q$ について $[x,a]\subseteq Q$ で、<Ref to="lem-sup-mvi" /> から $\|G(x)-G(a)\|_\infty\le M\|x-a\|_\infty\le Mr$ です。よって $G(Q)\subseteq Q(G(a),Mr)$ で、<Ref to="lem-box-measure" /> から $m(G(Q))\le(2Mr)^d=M^dm(Q)$。$\Phi(Q)=T(G(Q))$ なので、<Ref to="thm-linear-measure" /> から $m(\Phi(Q))=|\det T|\,m(G(Q))$ です。
</Proof>

この補題で $T=D\Phi(x_j)$ と選ぶのが、証明の核心です。$x_j$ の近くでは $T^{-1}D\Phi(z)\approx I$ なので、上限はほぼ $1$ になり、「小さな立方体の像の体積 $\approx|\det D\Phi(x_j)|\times$ 立方体の体積」が誤差 $(1+\varepsilon)^d$ の範囲で正確に言えます。

<Figure caption="変数変換公式の証明の第 1 段。立方体 Q を小立方体 Q_j に分けると、Φ は各 Q_j の上で線形写像 DΦ(x_j) でよく近似され、Φ(Q_j) はほぼ平行六面体になる。その体積は |det DΦ(x_j)| m(Q_j) の (1+ε)^d 倍以下に収まる。">
<svg viewBox="0 0 560 220" width="100%" role="img" aria-label="左に格子で分割された正方形、右にその曲がった像。一つの小正方形とその像のほぼ平行四辺形が強調されている">
  <rect x="30" y="30" width="160" height="160" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <line x1="70" y1="30" x2="70" y2="190" stroke="currentColor" stroke-width="0.6" />
  <line x1="110" y1="30" x2="110" y2="190" stroke="currentColor" stroke-width="0.6" />
  <line x1="150" y1="30" x2="150" y2="190" stroke="currentColor" stroke-width="0.6" />
  <line x1="30" y1="70" x2="190" y2="70" stroke="currentColor" stroke-width="0.6" />
  <line x1="30" y1="110" x2="190" y2="110" stroke="currentColor" stroke-width="0.6" />
  <line x1="30" y1="150" x2="190" y2="150" stroke="currentColor" stroke-width="0.6" />
  <rect x="110" y="70" width="40" height="40" fill="var(--sl-color-accent)" fill-opacity="0.35" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="1.5" />
  <circle cx="130" cy="90" r="2.5" fill="currentColor" />
  <text x="136" y="86" font-size="12" fill="currentColor">x_j</text>
  <text x="100" y="212" text-anchor="middle" font-size="13" fill="currentColor">Q を N^d 個の Q_j に分割</text>
  <line x1="215" y1="110" x2="300" y2="110" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <polygon points="300,110 291,105 291,115" fill="currentColor" />
  <text x="257" y="100" text-anchor="middle" font-size="14" fill="currentColor">Φ</text>
  <path d="M 330 60 Q 420 20 520 50 Q 545 130 500 195 Q 410 210 340 180 Q 315 120 330 60 Z" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <path d="M 425 80 L 470 72 L 478 116 L 432 124 Z" fill="var(--sl-color-accent)" fill-opacity="0.35" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="1.5" />
  <text x="430" y="150" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">Φ(Q_j) ≈ Φ(x_j) + DΦ(x_j)(Q_j − x_j)</text>
  <text x="430" y="212" text-anchor="middle" font-size="13" fill="currentColor">Φ(Q)</text>
</svg>
</Figure>

### 4.2. 主定理

<Theorem id="thm-change-of-variables" title="変数変換公式（ルベーグ積分版）">
$U,V\subseteq\mathbb{R}^d$ を開集合、$\Phi:U\to V$ を $C^1$ 微分同相とする。
1. 任意のボレル集合 $E\subseteq U$ について $\Phi(E)$ はボレル集合で、$m(\Phi(E))=\int_E|\det D\Phi(x)|\,dx$。
2. 任意のボレル関数 $f:V\to[0,\infty]$ について
   $$
   \int_Vf(y)\,dy=\int_Uf(\Phi(x))\,|\det D\Phi(x)|\,dx .
   $$
3. ボレル関数 $f:V\to\mathbb{R}$（または $\mathbb{C}$）について、$f\in L^1(V)$ と $(f\circ\Phi)\,|\det D\Phi|\in L^1(U)$ は同値で、そのとき 2 の等式が成り立つ。
</Theorem>

証明は 5 段で進みます。第 1〜3 段では、立方体、開集合、一般のボレル集合の順に、$J=|\det D\Phi|$ として $m(\Phi(E))\le\int_EJ$ を示します。第 1 段では、小さな立方体の上で $\Phi$ を線形写像 $D\Phi(x_j)$ に置き換え、その誤差が $\varepsilon$ で一様に抑えられるよう、立方体の分け方 $N$ を選びます。第 3 段の $U_k$ は、$U$ の内側にあって有界で、縁から離れた開集合の増加列です。その上では $J$ が最大値 $C_k$ をもつので、誤差を評価できます。第 4 段で関数の不等式にし、第 5 段で逆写像 $\Phi^{-1}$ に同じ不等式を使って逆向きを得て、等号にします。

<Proof of="thm-change-of-variables">
$J(x)=|\det D\Phi(x)|$ とおきます。$J$ は連続（行列式は成分の多項式）です。$E\subseteq U$ がボレル集合なら、$\Phi(E)$ は連続写像 $\Phi^{-1}:V\to U$ による $E$ の逆像なので $V$ の相対ボレル集合で、$V$ が開集合なので $\mathbb{R}^d$ のボレル集合です。

**第 1 段：閉立方体 $Q\subseteq U$ について $m(\Phi(Q))\le\int_QJ$。** $Q=Q(a,r)$ とし、$0<\varepsilon<1$ を固定します。$z\mapsto D\Phi(z)^{-1}=(\det D\Phi(z))^{-1}\operatorname{adj}D\Phi(z)$（<Ref to="mathematics/linear-algebra/determinants#prop-adjugate" />）は連続なので、コンパクト集合 $Q$ 上で $K=\max_{z\in Q}\|D\Phi(z)^{-1}\|_\infty<\infty$ です（<Ref to="mathematics/topology/compactness#cor-extreme-value" />）。$D\Phi$ の各成分と $J$ はコンパクト集合 $Q$ 上で一様連続（<Ref to="mathematics/real-analysis/arzela-ascoli-stone-weierstrass#lem-uniform-continuity-compact" />）なので、$\delta>0$ を、$z,z'\in Q$、$\|z-z'\|_\infty<\delta$ ならば $\|D\Phi(z)-D\Phi(z')\|_\infty\le\varepsilon/K$ かつ $|J(z)-J(z')|\le\varepsilon$ となるように取れます。

$r/N<\delta$ となる自然数 $N$ を取り、$Q$ を辺の長さ $2r/N$ の $N^d$ 個の閉立方体 $Q_j=Q(x_j,r/N)$ に分けます。$z\in Q_j$ なら $\|z-x_j\|_\infty\le r/N<\delta$ なので
$$
\|D\Phi(x_j)^{-1}D\Phi(z)\|_\infty\le\|I\|_\infty+\|D\Phi(x_j)^{-1}\|_\infty\|D\Phi(z)-D\Phi(x_j)\|_\infty\le1+K\cdot\frac{\varepsilon}{K}=1+\varepsilon .
$$
<Ref to="lem-cube-image" /> を $T=D\Phi(x_j)$ で使い、$J(x_j)\le J(z)+\varepsilon$（$z\in Q_j$）を $Q_j$ 上で積分すると
$$
m(\Phi(Q_j))\le(1+\varepsilon)^dJ(x_j)\,m(Q_j)\le(1+\varepsilon)^d\int_{Q_j}(J+\varepsilon)\,dm .
$$
$Q_j$ どうしは境界でしか重ならず、境界は測度 $0$（<Ref to="lem-box-measure" />）なので、$\sum_j\mathbf{1}_{Q_j}=\mathbf{1}_Q$ がほとんど至るところ成り立ち、$\sum_j\int_{Q_j}g=\int_Qg$（$g\ge0$）です。$\Phi(Q)=\bigcup_j\Phi(Q_j)$ と劣加法性から
$$
m(\Phi(Q))\le(1+\varepsilon)^d\Bigl(\int_QJ\,dm+\varepsilon\,m(Q)\Bigr).
$$
$\varepsilon\to0$ として第 1 段の不等式を得ます。

**第 2 段：開集合 $W\subseteq U$ について $m(\Phi(W))\le\int_WJ$。** <Ref to="lem-dyadic-open" /> により $W=\bigcup_n\overline{D_n}$（$D_n$ は互いに素な 2 進立方体、$\overline{D_n}\subseteq W$ は閉立方体）と書けます。第 1 段と、$\overline{D_n}\setminus D_n$ が測度 $0$ であることから
$$
m(\Phi(W))\le\sum_nm(\Phi(\overline{D_n}))\le\sum_n\int_{\overline{D_n}}J=\sum_n\int_{D_n}J=\int_WJ .
$$

**第 3 段：ボレル集合 $E\subseteq U$ について $m(\Phi(E))\le\int_EJ$。** $\operatorname{dist}_\infty(x,U^{c})=\inf\{\|x-y\|_\infty:y\notin U\}$（$U=\mathbb{R}^d$ なら $+\infty$）とし、
$$
U_k=\{x\in U:\|x\|_\infty<k,\ \operatorname{dist}_\infty(x,U^{c})>1/k\}
$$
とおきます。距離関数は連続なので $U_k$ は開集合で、その閉包は有界閉集合 $\{\|x\|_\infty\le k,\ \operatorname{dist}_\infty(x,U^{c})\ge1/k\}\subseteq U$ に含まれます。そこで $J$ の最大値を $C_k$ とします。

まず $E\subseteq U_k$ とします。$m(E)<\infty$ で、外正則性から開集合 $W'\supseteq E$ で $m(W')<m(E)+\eta$ となるものがあります。$W=W'\cap U_k$ は $E\subseteq W\subseteq U_k$ を満たす開集合で $m(W\setminus E)<\eta$ です。第 2 段から
$$
m(\Phi(E))\le m(\Phi(W))\le\int_WJ=\int_EJ+\int_{W\setminus E}J\le\int_EJ+C_k\eta ,
$$
$\eta\to0$ で $m(\Phi(E))\le\int_EJ$。一般の $E$ では $E\cap U_k\uparrow E$ なので、測度の下からの連続性（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#prop-continuity-below" />）と単調収束定理で $k\to\infty$ とします。

**第 4 段：関数の不等式。** ボレル関数 $f\ge0$ について $\int_Vf\le\int_U(f\circ\Phi)J$ を示します。$f=\mathbf{1}_A$（$A\subseteq V$ ボレル）なら、$E=\Phi^{-1}(A)$ に第 3 段を使って $\int_V\mathbf{1}_A=m(\Phi(E))\le\int_EJ=\int_U(\mathbf{1}_A\circ\Phi)J$。非負単関数には線形性で、一般の $f$ には単関数の増加列（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-simple-approx" />）と単調収束定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-mct" />）で移ります。$f\circ\Phi$ は連続写像との合成なのでボレル関数です。

**第 5 段：逆向きの不等式と 1, 2。** 第 4 段は任意の $C^1$ 微分同相について成り立つので、$\Psi=\Phi^{-1}:V\to U$ とボレル関数 $g=(f\circ\Phi)J\ge0$ に使えます。連鎖律から $D\Psi(y)=D\Phi(\Psi(y))^{-1}$、行列式の積の定理から $|\det D\Psi(y)|=J(\Psi(y))^{-1}$ なので
$$
\int_U(f\circ\Phi)J\le\int_Vg(\Psi(y))\,|\det D\Psi(y)|\,dy=\int_Vf(y)\,J(\Psi(y))\,J(\Psi(y))^{-1}\,dy=\int_Vf .
$$
第 4 段と合わせて 2 の等式です。1 は $f=\mathbf{1}_{\Phi(E)}$ の場合です。

**3.** 2 を $|f|$ に使うと $\int_V|f|=\int_U|f\circ\Phi|J$ なので可積分性は同値です。実数値なら $f=f^+-f^-$、複素数値なら実部と虚部に分けて 2 を使えば等式が出ます。
</Proof>

<Corollary id="cor-lebesgue-sets" title="ルベーグ可測集合と零集合の保存">
$\Phi:U\to V$ を $C^1$ 微分同相とする。$E\in\mathcal{L}_d$、$E\subseteq U$ ならば $\Phi(E)\in\mathcal{L}_d$ であり、$m(E)=0$ ならば $m(\Phi(E))=0$ である。<Ref to="thm-change-of-variables" /> の 2, 3 は $\mathcal{L}_d$-可測な関数 $f$ についても成り立つ。
</Corollary>

<Proof of="cor-lebesgue-sets">
$E=B\cup N$、$N\subseteq Z$（$B,Z$ はボレル集合、$m(Z)=0$）とし、$Z\subseteq U$ としてよいとします（$Z\cap U$ に取り替えます）。<Ref to="thm-change-of-variables" /> の 1 から $m(\Phi(Z))=\int_ZJ=0$ なので、$\Phi(E)=\Phi(B)\cup\Phi(N)$、$\Phi(N)\subseteq\Phi(Z)$ により $\Phi(E)\in\mathcal{L}_d$ で、$m(\Phi(E))=m(\Phi(B))=\int_BJ=\int_EJ$ です。$\Phi^{-1}$ にも同じことが言えるので、$\mathcal{L}_d$-可測な $f$ について $\{f\circ\Phi>t\}=\Phi^{-1}(\{f>t\})\in\mathcal{L}_d$ です。あとは第 4 段と同じく、指示関数、単関数、単調収束定理の順に等式を広げます。
</Proof>

<Proposition id="prop-1d-substitution" title="1 次元の置換積分（二乗の場合）">
ボレル関数 $g:(0,\infty)\to[0,\infty]$ について $\displaystyle\int_0^\infty g(t)\,dt=\int_0^\infty g(r^2)\,2r\,dr$ が成り立つ。$g$ が非負連続なら、両辺はそれぞれ広義リーマン積分とも一致する。
</Proposition>

<Proof of="prop-1d-substitution">
$\Phi(r)=r^2$ は $(0,\infty)$ から $(0,\infty)$ への $C^1$ 微分同相（逆写像 $\sqrt t$ は $t>0$ で $C^1$ 級）で、$\Phi'(r)=2r>0$ です。<Ref to="thm-change-of-variables" /> から等式が従います。$g$ が非負連続なら、$[1/n,n]$ 上ではリーマン積分とルベーグ積分が一致し（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-riemann-agrees" />）、$n\to\infty$ で単調収束定理を使えば、ルベーグ積分は広義リーマン積分に等しくなります。右辺の $g(r^2)\,2r$ も非負連続なので同様です。
</Proof>

<Example id="ex-1d-substitution" title="1 次元の置換積分">
$d=1$ で $\Phi(r)=r^2$ は $(0,\infty)$ から $(0,\infty)$ への $C^1$ 微分同相（逆写像 $\sqrt t$ は $t>0$ で $C^1$ 級）で、$\Phi'(r)=2r$ です。<Ref to="thm-change-of-variables" /> から、ボレル関数 $g\ge0$ について
$$
\int_0^\infty g(t)\,dt=\int_0^\infty g(r^2)\,2r\,dr .
$$
被積分関数が非負で連続なら、左右の積分は広義リーマン積分と一致します（$[1/n,n]$ 上ではリーマン積分とルベーグ積分が一致し（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-riemann-agrees" />）、$n\to\infty$ で単調収束定理を使います）。

一方 $\Phi(t)=t^3$ は $(-1,1)$ から $(-1,1)$ への $C^1$ 級の全単射ですが、逆写像 $t^{1/3}$ は $0$ で微分可能でなく、微分同相ではありません。ヤコビアン $3t^2$ が $t=0$ で消えるためです。この場合も公式自体は成り立ちますが、それを保証するのは次節の例外集合を許す形です。
</Example>

## 5. 測度 $0$ の例外集合を許す形

極座標 $(r,\theta)\mapsto(r\cos\theta,r\sin\theta)$ は、$r=0$ ではヤコビアン $r$ が消え、$\theta=0$ と $\theta=2\pi$ で同じ点に行きます。実際の計算では、こうした「悪い集合」が測度 $0$ であることを使って無視します。その根拠が次の補題と系です。

<Lemma id="lem-c1-null" title="C¹ 写像は零集合を零集合に写す">
$U\subseteq\mathbb{R}^d$ を開集合、$\Phi:U\to\mathbb{R}^d$ を $C^1$ 写像、$Z\subseteq U$ をボレル集合で $m(Z)=0$ とする。このとき $\Phi(Z)$ は測度 $0$ のボレル集合に含まれる。$Z$ が $U$ の相対閉集合なら $\Phi(Z)$ 自身がボレル集合で、$m(\Phi(Z))=0$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-c1-null">
<Ref to="lem-dyadic-open" /> により $U=\bigcup_kQ_k$（$Q_k\subseteq U$ は閉立方体）と書けるので、各 $k$ について $\Phi(Z\cap Q_k)$ が測度 $0$ のボレル集合に含まれることを示せば十分です。$M=\max_{Q_k}\|D\Phi\|_\infty$ とし、$\eta>0$ とします。外正則性から開集合 $W\supseteq Z\cap Q_k$ で $m(W)<\eta$ となるものを取り、<Ref to="lem-dyadic-open" /> で $W=\bigcup_iC_i$（$C_i$ は内部が互いに素な閉立方体、辺の長さ $s_i$、$\sum_im(C_i)=m(W)$）と書きます。$C_i\cap Q_k\ne\emptyset$ のとき、$C_i\cap Q_k$ は箱なので凸で $Q_k\subseteq U$ に含まれ、その点 $p_i$ を一つ選ぶと、<Ref to="lem-sup-mvi" /> から $x\in C_i\cap Q_k$ について $\|\Phi(x)-\Phi(p_i)\|_\infty\le Ms_i$ です。したがって
$$
\Phi(Z\cap Q_k)\subseteq\bigcup_iQ(\Phi(p_i),Ms_i)=:B_\eta,\qquad m(B_\eta)\le\sum_i(2Ms_i)^d=(2M)^d\,m(W)<(2M)^d\eta .
$$
$B=\bigcap_nB_{1/n}$ は $\Phi(Z\cap Q_k)$ を含む測度 $0$ のボレル集合です。

$Z$ が $U$ の相対閉集合なら、$Z\cap Q_k$ はコンパクトで、$\Phi(Z)=\bigcup_k\Phi(Z\cap Q_k)$ はコンパクト集合の可算和なのでボレル集合です。
</Proof>

<Corollary id="cor-exceptional" title="例外集合を許す変数変換公式">
$U\subseteq\mathbb{R}^d$ を開集合、$\Phi:U\to\mathbb{R}^d$ を $C^1$ 写像とする。$U$ の相対閉集合 $Z$ で $m(Z)=0$ となるものがあり、$U\setminus Z$ の上で $\Phi$ は単射かつ $\det D\Phi\ne0$ であるとする。このとき $\Phi(U)$ はボレル集合で、任意のボレル関数 $f:\mathbb{R}^d\to[0,\infty]$ について
$$
\int_{\Phi(U)}f(y)\,dy=\int_Uf(\Phi(x))\,|\det D\Phi(x)|\,dx .
$$
$f$ が実数値（複素数値）なら、片方の積分が絶対収束すれば他方も絶対収束して等号が成り立つ。
</Corollary>

<Proof of="cor-exceptional">
$U_0=U\setminus Z$ は開集合です。<Ref to="lem-global-inverse" /> により $V_0=\Phi(U_0)$ は開集合で、$\Phi:U_0\to V_0$ は $C^1$ 微分同相です。<Ref to="thm-change-of-variables" /> から $\int_{V_0}f=\int_{U_0}(f\circ\Phi)|\det D\Phi|$ で、$m(Z)=0$ なので右辺は $\int_U(f\circ\Phi)|\det D\Phi|$ に等しくなります。一方 $\Phi(U)=V_0\cup\Phi(Z)$ で、<Ref to="lem-c1-null" /> により $\Phi(Z)$ は測度 $0$ のボレル集合です。よって $\Phi(U)$ はボレル集合で $\int_{\Phi(U)}f=\int_{V_0}f$ です。後半は $|f|$ に適用してから実部・虚部の正負の部分に分けます。
</Proof>

<Example id="ex-polar-2d" title="平面の極座標">
開集合 $U=(0,\infty)\times(0,2\pi)$ と $\Phi(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ を考えます（$\theta$ の範囲に端点を含めると $U$ は開集合でなくなり、<Ref to="lem-global-inverse" /> が使えません）。$\det D\Phi=r>0$ で、$\Phi$ は $U$ 上で単射です（$r=|\Phi|$ が決まり、$\theta\in(0,2\pi)$ は $(\cos\theta,\sin\theta)$ から一つに決まります）。像は $\mathbb{R}^2\setminus\{(x,0):x\ge0\}$ で、除かれた半直線は直線 $\{y=0\}$ に含まれるので測度 $0$ です（<Ref to="lem-box-measure" />）。<Ref to="cor-exceptional" />（ここでは $Z=\emptyset$）から、ボレル関数 $f\ge0$ について
$$
\int_{\mathbb{R}^2}f\,dm=\int_0^\infty\!\!\int_0^{2\pi}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,d\theta\,dr .
$$
右辺の累次積分への書き換えは Tonelli の定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/product-measures-fubini#thm-tonelli" />）です。積分範囲を閉じた $[0,\infty)\times[0,2\pi]$ と書いても、付け加わった境界は測度 $0$ なので値は変わりません。このように、悪い点を定義域から除いて像の側の測度 $0$ の集合に押し付けるのが、例外集合の典型的な扱い方です。
</Example>

## 6. $\mathbb{R}^d$ の極座標と球面測度

### 6.1. 球面測度の定義

$S^{d-1}=\{x\in\mathbb{R}^d:|x|=1\}$ とし、そのボレル集合族（$\mathbb{R}^d$ からの相対位相に関するもの）を $\mathcal{B}(S^{d-1})$ と書きます。$S^{d-1}$ は閉集合なので、$\mathcal{B}(S^{d-1})$ の元は $\mathbb{R}^d$ のボレル集合です（$\{A\subseteq S^{d-1}:A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\}$ は相対開集合を含む σ-加法族だからです）。写像
$$
\Psi:\mathbb{R}^d\setminus\{0\}\to(0,\infty)\times S^{d-1},\qquad\Psi(x)=\Bigl(|x|,\frac{x}{|x|}\Bigr)
$$
は連続な逆写像 $(r,\omega)\mapsto r\omega$ をもつ同相写像です。$A\in\mathcal{B}(S^{d-1})$ と $t>0$ について、「$A$ の上の錐」を
$$
A_t=\{r\omega:0<r\le t,\ \omega\in A\}=\Psi^{-1}\bigl((0,t]\times A\bigr)
$$
とおきます。これはボレル集合で、$A_t=t\,A_1$ です。

<Definition id="def-sphere-measure" title="球面測度">
$A\in\mathcal{B}(S^{d-1})$ について
$$
\sigma(A)=d\cdot m(A_1)=d\cdot m\bigl(\{r\omega:0<r\le1,\ \omega\in A\}\bigr)
$$
と定める。$\sigma$ を $S^{d-1}$ 上の**球面測度**（面積測度）という。
</Definition>

$A\mapsto A_1$ は互いに素な集合を互いに素な集合に写し、可算和を保つので、$\sigma$ は $\mathcal{B}(S^{d-1})$ 上の測度です。$\sigma(S^{d-1})=d\,m(\{0<|x|\le1\})\le d\,2^d<\infty$ です。係数 $d$ は、半径 $1$ の球の体積を「面積 $\times$ 半径 $\div d$」と見る（錐の体積の公式）ための正規化で、次の定理で $r^{d-1}dr$ と組み合わせたときにちょうど辻褄が合います。

たとえば $d=2$、$A=S^1$ なら、$A_1$ は原点を除いた単位円板で $m(A_1)=\pi$ なので、$\sigma(S^1)=2\pi$ となり、円周の長さと一致します。

<Figure caption="球面測度の定義。球面上の集合 A の上の錐 A_1 の体積に d を掛けたものを σ(A) とする。極座標の定理の証明では、殻状の集合 {rω : a < r ≤ b, ω ∈ A}（A_b から A_a を除いた集合）の体積が (b^d − a^d) m(A_1) であることを使う。">
<svg viewBox="0 0 320 240" width="100%" role="img" aria-label="原点を中心とする円と、その一部の弧 A の上に立つ扇形の錐、その中の殻状の部分">
  <circle cx="120" cy="130" r="95" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.2" />
  <path d="M 120 130 L 199.6 78.2 A 95 95 0 0 0 147.3 39 Z" fill="var(--sl-color-accent)" fill-opacity="0.18" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="1.2" />
  <path d="M 167.8 98.9 L 199.6 78.2 A 95 95 0 0 0 147.3 39 L 136.4 75.4 A 57 57 0 0 1 167.8 98.9 Z" fill="var(--sl-color-accent)" fill-opacity="0.35" stroke="none" />
  <path d="M 199.6 78.2 A 95 95 0 0 0 147.3 39" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="3.5" />
  <circle cx="120" cy="130" r="2.5" fill="currentColor" />
  <text x="108" y="150" font-size="12" fill="currentColor">0</text>
  <text x="185" y="45" font-size="13" fill="currentColor">A ⊂ S^(d−1)</text>
  <text x="150" y="112" font-size="12" fill="currentColor">a</text>
  <text x="225" y="150" font-size="12" fill="currentColor">半径 1</text>
  <text x="225" y="190" font-size="12" fill="currentColor">濃い部分は</text>
  <text x="225" y="206" font-size="12" fill="currentColor">半径 a から 1 の殻</text>
</svg>
</Figure>

### 6.2. 極座標の定理

<Lemma id="lem-polar-borel" title="極座標側のボレル集合族">
$\mathcal{B}\bigl((0,\infty)\times S^{d-1}\bigr)=\mathcal{B}((0,\infty))\otimes\mathcal{B}(S^{d-1})$ であり、この σ-加法族は $\{(a,b]\times A:0<a<b,\ A\in\mathcal{B}(S^{d-1})\}\cup\{\emptyset\}$ という π-系で生成される。
</Lemma>

<Proof of="lem-polar-borel">
($\supseteq$) 射影は連続なので、<Ref to="mathematics/real-analysis/product-measures-fubini#prop-borel-product" /> の証明と同じく、$I\times S^{d-1}$ と $(0,\infty)\times A$ はボレル集合で、その共通部分 $I\times A$ もボレル集合です。($\subseteq$) $(0,\infty)$ は有理数端点の開区間、$S^{d-1}$ は有理数端点の開箱との共通部分という可算な開基をもちます。直積の開集合 $G$ の各点は、開基の元の直積で $G$ に含まれるものの中にあるので、$G$ はそのような直積の可算和で、$\mathcal{B}((0,\infty))\otimes\mathcal{B}(S^{d-1})$ に入ります。生成については、$(a,b]\times A$ の形の集合を含む σ-加法族 $\mathcal{S}$ を考えると、$\{I\subseteq(0,\infty):I\times A\in\mathcal{S}\}$ は σ-加法族で、開区間 $(a,b)=\bigcup_n(a,b-1/n]$ を含むので $(0,\infty)$ のボレル集合をすべて含みます。よって $\mathcal{S}$ は可測長方形をすべて含みます。
</Proof>

次の定理のねらいは、$\mathbb{R}^d$ の点を（原点からの距離，方向）の組に対応させる写像 $\Psi$ で、体積を測る測度 $m$ を移すと、距離の方向の測度 $\rho$ と球面の方向の測度 $\sigma$ の直積測度になる、と言うことです。直積測度になるので、積分は距離と方向で別々に計算できます。

<Theorem id="thm-polar" title="ℝ^d の極座標分解">
$(0,\infty)$ 上の測度 $\rho$ を $\rho(I)=\int_Ir^{d-1}\,dr$ で定める。$\mathcal{B}(\mathbb{R}^d\setminus\{0\})$ 上の $m$ を $\Psi$ で写した測度 $m\circ\Psi^{-1}$ は、直積測度 $\rho\times\sigma$ に等しい。したがって、ボレル関数 $f:\mathbb{R}^d\to[0,\infty]$ について、$r\mapsto\int_{S^{d-1}}f(r\omega)\,d\sigma(\omega)$ はボレル関数で
$$
\int_{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx=\int_0^\infty\Bigl(\int_{S^{d-1}}f(r\omega)\,d\sigma(\omega)\Bigr)r^{d-1}\,dr .
$$
$f\in L^1(\mathbb{R}^d)$ なら、ほとんどすべての $r>0$ で $f(r\,\cdot)\in L^1(\sigma)$ で、同じ等式が成り立つ。
</Theorem>

<Proof of="thm-polar">
**測度の一致。** $0<a<b$、$A\in\mathcal{B}(S^{d-1})$ について、$\Psi^{-1}((a,b]\times A)=A_b\setminus A_a$ で $A_a\subseteq A_b$ です。$A_t=tA_1$ と <Ref to="cor-rotation-dilation" /> の 2 から $m(A_t)=t^dm(A_1)$ なので
$$
m\bigl(\Psi^{-1}((a,b]\times A)\bigr)=(b^d-a^d)\,m(A_1)=\int_a^br^{d-1}dr\cdot d\,m(A_1)=\rho((a,b])\,\sigma(A).
$$
右辺は <Ref to="mathematics/real-analysis/product-measures-fubini#thm-product-measure" /> により $(\rho\times\sigma)((a,b]\times A)$ です（$\rho$ も $\sigma$ も σ-有限）。<Ref to="lem-polar-borel" /> の π-系の上で二つの測度は一致し、$(1/n,n]\times S^{d-1}$ は増大して全体を覆い測度有限です。<Ref to="mathematics/real-analysis/abstract-measures#thm-uniqueness-measures" /> により $m\circ\Psi^{-1}=\rho\times\sigma$ です。

**積分の式。** $m(\{0\})=0$ なので $\int_{\mathbb{R}^d}f=\int_{\mathbb{R}^d\setminus\{0\}}f$ です。$F(r,\omega)=f(r\omega)$ は連続写像 $\Psi^{-1}$ とボレル関数の合成なので、<Ref to="lem-polar-borel" /> により $\mathcal{B}((0,\infty))\otimes\mathcal{B}(S^{d-1})$-可測です。指示関数 $f=\mathbf{1}_B$ については $\int f\,dm=m(\Psi^{-1}(\Psi(B\setminus\{0\})))=(\rho\times\sigma)(\Psi(B\setminus\{0\}))=\int F\,d(\rho\times\sigma)$ で、単関数と単調収束定理により一般の $f\ge0$ で $\int_{\mathbb{R}^d}f\,dm=\int F\,d(\rho\times\sigma)$ です。Tonelli の定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/product-measures-fubini#thm-tonelli" />）で右辺を $\int_0^\infty\bigl(\int F(r,\omega)\,d\sigma\bigr)d\rho(r)$ と書き、最後に $\int g\,d\rho=\int_0^\infty g(r)r^{d-1}dr$（指示関数では $\rho$ の定義そのもの。単関数と単調収束定理で一般の $g\ge0$ へ）を使います。$L^1$ の場合は Fubini の定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/product-measures-fubini#thm-fubini" />）を使います。
</Proof>

この定理は「$\mathbb{R}^d\setminus\{0\}$ は、測度まで込めて、半直線 $(0,\infty)$（密度 $r^{d-1}$）と球面 $S^{d-1}$（測度 $\sigma$）の直積である」と言っています。角度座標を一切使っていないので、どの次元でも同じ形で成り立ちます。

定理はボレル関数について述べましたが、ルベーグ可測な $f$ にも使えます。$f\ge0$ がルベーグ可測なら、ボレル関数 $h$ と測度 $0$ のボレル集合 $Z$ で $f=h$（$Z$ の外）となるものがあります。$\Psi(Z\setminus\{0\})$ は $\rho\times\sigma$-零集合なので（上の測度の一致）、Tonelli の定理により、ほとんどすべての $r$ で $\{\omega:r\omega\in Z\}$ は $\sigma$-零集合です。そのような $r$ では $f(r\,\cdot)=h(r\,\cdot)$ が $\sigma$-ほとんど至るところ成り立つので、$\int f\,dm=\int h\,dm$ と内側の積分の値は、$f$ と $h$ で一致します。$L^1$ の場合も同様です。

### 6.3. 回転不変性と動径関数

<Proposition id="prop-sigma-rotation" title="球面測度の回転不変性">
$O$ を $d$ 次の直交行列とする。$A\in\mathcal{B}(S^{d-1})$ について $O(A)\in\mathcal{B}(S^{d-1})$ かつ $\sigma(O(A))=\sigma(A)$ であり、ボレル関数 $g:S^{d-1}\to[0,\infty]$（または $g\in L^1(\sigma)$）について $\int_{S^{d-1}}g(O\omega)\,d\sigma(\omega)=\int_{S^{d-1}}g\,d\sigma$ である。
</Proposition>

<Proof of="prop-sigma-rotation">
$|Ox|=|x|$ なので $O$ は $S^{d-1}$ をそれ自身に同相に写し、$O(A)$ はボレル集合です。$O(r\omega)=rO\omega$ から $(O(A))_1=O(A_1)$ で、<Ref to="cor-rotation-dilation" /> の 1 により $\sigma(O(A))=d\,m(O(A_1))=d\,m(A_1)=\sigma(A)$ です。関数については、$g=\mathbf{1}_A$ なら $g\circ O=\mathbf{1}_{O^{-1}(A)}$ で、$O^{-1}$ も直交行列なので両辺は等しく、単関数・単調収束定理・正負の部分への分解で一般の $g$ に移ります。
</Proof>

<Corollary id="cor-radial" title="動径関数の積分">
ボレル関数 $g:(0,\infty)\to[0,\infty]$ について
$$
\int_{\mathbb{R}^d}g(|x|)\,dx=\sigma(S^{d-1})\int_0^\infty g(r)\,r^{d-1}\,dr .
$$
</Corollary>

<Proof of="cor-radial">
<Ref to="thm-polar" /> を $f(x)=g(|x|)$（$x\ne0$）に使うと、内側の積分は $\int_{S^{d-1}}g(r)\,d\sigma=g(r)\,\sigma(S^{d-1})$ です。
</Proof>

<Proposition id="prop-power-integrability" title="べき関数の可積分性">
$a\in\mathbb{R}$ とする。
$$
\int_{|x|\le1}|x|^{-a}dx<\infty\iff a<d,\qquad\int_{|x|>1}|x|^{-a}dx<\infty\iff a>d .
$$
</Proposition>

<Proof of="prop-power-integrability">
<Ref to="cor-radial" /> から $\int_{|x|\le1}|x|^{-a}dx=\sigma(S^{d-1})\int_0^1r^{d-1-a}dr$、$\int_{|x|>1}|x|^{-a}dx=\sigma(S^{d-1})\int_1^\infty r^{d-1-a}dr$ です。$\sigma(S^{d-1})\in(0,\infty)$ なので、右辺の積分の有限性を見ればよく、非負連続な被積分関数のルベーグ積分は、区間 $[1/n,1]$ や $[1,n]$ でのリーマン積分（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-riemann-agrees" />）の $n\to\infty$ での極限（単調収束定理）、すなわち広義リーマン積分に等しいので、<Ref to="mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#prop-p-test" /> を $p=a+1-d$ に使えます。$\int_0^1$ が有限なのは $p<1$、すなわち $a<d$ のときに限り、$\int_1^\infty$ が有限なのは $p>1$、すなわち $a>d$ のときに限ります。
</Proof>

<Example id="ex-power-integrability" title="べき関数の可積分性">
$a\in\mathbb{R}$ とします。<Ref to="cor-radial" /> から
$$
\int_{|x|\le1}|x|^{-a}dx=\sigma(S^{d-1})\int_0^1r^{d-1-a}dr<\infty\iff a<d,\qquad\int_{|x|>1}|x|^{-a}dx<\infty\iff a>d .
$$
1 次元の積分 $\int_0^1r^{-p}dr$、$\int_1^\infty r^{-p}dr$ の収束判定（<Ref to="mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#ex-p-test" />）に帰着しました。原点での特異性は「次元 $d$ より弱ければ可積分」、無限遠での減衰は「次元 $d$ より速ければ可積分」です。

- $d\ge3$ のラプラス方程式の基本解 $|x|^{2-d}$ は $a=d-2<d$ なので局所可積分です。
- $\langle x\rangle^{-s}=(1+|x|^2)^{-s/2}$ は、$|x|\le1$ で有界、$|x|\ge1$ で $2^{-s/2}|x|^{-s}\le\langle x\rangle^{-s}\le|x|^{-s}$（$s\ge0$）なので、$\mathbb{R}^d$ 上可積分であることと $s>d$ は同値です。
</Example>

### 6.4. 球の体積と球面の面積

<Theorem id="thm-ball-volume" title="球の体積と球面の面積">
$d\ge1$ について
$$
\sigma(S^{d-1})=\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)},\qquad m(\{|x|<R\})=m(\{|x|\le R\})=\frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2+1)}R^d .
$$
ここで $\Gamma$ はガンマ関数（<Ref to="mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#def-gamma" />）である。
</Theorem>

<Proof of="thm-ball-volume">
**ガウス積分を二通りに計算する。** $e^{-|x|^2}=\prod_{i=1}^de^{-x_i^2}$ に Tonelli の定理を $d-1$ 回使い、$\int_{\mathbb{R}}e^{-t^2}dt=\sqrt\pi$（<Ref to="mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#thm-gauss-integral" />。非負連続関数なので、<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-riemann-agrees" /> と単調収束定理により広義リーマン積分とルベーグ積分は一致します）から $\int_{\mathbb{R}^d}e^{-|x|^2}dx=\pi^{d/2}$ です。他方 <Ref to="cor-radial" /> から
$$
\int_{\mathbb{R}^d}e^{-|x|^2}dx=\sigma(S^{d-1})\int_0^\infty e^{-r^2}r^{d-1}dr .
$$
<Ref to="prop-1d-substitution" /> を $g(t)=\frac12e^{-t}t^{d/2-1}$ に使うと（$g(r^2)\,2r=e^{-r^2}r^{d-1}$）、右辺の積分は $\frac12\int_0^\infty e^{-t}t^{d/2-1}dt=\frac12\Gamma(d/2)$ です（被積分関数は非負連続なので、広義リーマン積分で定義された $\Gamma$ と一致します）。よって $\pi^{d/2}=\sigma(S^{d-1})\Gamma(d/2)/2$。

**体積。** <Ref to="cor-radial" /> を $g=\mathbf{1}_{(0,R)}$ と $g=\mathbf{1}_{(0,R]}$ に使うと、どちらも $m=\sigma(S^{d-1})R^d/d$ です（$m(\{0\})=0$）。関数等式 $\frac d2\Gamma(\frac d2)=\Gamma(\frac d2+1)$（<Ref to="mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#thm-gamma-functional" />）から主張の形になります。
</Proof>

$\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$、$\Gamma(1)=1$、$\Gamma(3/2)=\sqrt\pi/2$、$\Gamma(2)=1$、$\Gamma(5/2)=3\sqrt\pi/4$、$\Gamma(3)=2$ を代入すると次の表になります（体積は $\Gamma(d/2+1)$ なので $d=3$ で $\Gamma(5/2)$、$d=4$ で $\Gamma(3)$ が現れます）。

| $d$ | $\sigma(S^{d-1})$ | 単位球の体積 |
|---|---|---|
| 1 | $2$（2 点 $\pm1$ の数え上げ） | $2$（区間 $[-1,1]$ の長さ） |
| 2 | $2\pi$（円周の長さ） | $\pi$ |
| 3 | $4\pi$ | $4\pi/3$ |
| 4 | $2\pi^2$ | $\pi^2/2$ |

$d=1$ では $S^0=\{\pm1\}$ で、$\sigma(\{1\})=1\cdot m((0,1])=1$ なので $\sigma$ は数え上げ測度です。極座標の式は $\int_{\mathbb{R}}f=\int_0^\infty(f(r)+f(-r))\,dr$ となり、当たり前の式に戻ります。

<Remark id="rem-volume-decay" title="高次元の球はやせる">
単位球の体積 $\pi^{d/2}/\Gamma(d/2+1)$ は $d=5$ で最大（約 $5.26$）になり、その後 $d\to\infty$ で $0$ に収束します。分母の $\Gamma(d/2+1)$ がスターリングの公式（<Ref to="mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#thm-stirling" />）により $(d/2e)^{d/2}$ 程度で増え、分子の $\pi^{d/2}$ を圧倒するからです。単位立方体 $[-1,1]^d$ の体積 $2^d$ との比は急速に $0$ に近づき、「高次元の立方体の体積はほとんど角に集まっている」ことを示しています。
</Remark>

<Figure caption="次元 d と単位球の体積 π^(d/2)/Γ(d/2+1)。d = 5 で最大（約 5.26）になり、その後は 0 に向かって減っていく。">
<svg viewBox="0 0 520 250" width="100%" role="img" aria-label="d が 1 から 10 までの単位球の体積を結んだ折れ線グラフ。d=5 で最大の約 5.26、d=10 で約 2.55">
  <line x1="50" y1="210" x2="500" y2="210" stroke="currentColor" stroke-width="1.2" />
  <line x1="50" y1="25" x2="50" y2="210" stroke="currentColor" stroke-width="1.2" />
  <line x1="46" y1="150" x2="50" y2="150" stroke="currentColor" stroke-width="1" />
  <line x1="46" y1="90" x2="50" y2="90" stroke="currentColor" stroke-width="1" />
  <line x1="46" y1="30" x2="50" y2="30" stroke="currentColor" stroke-width="1" />
  <text x="40" y="214" text-anchor="end" font-size="12" fill="currentColor">0</text>
  <text x="40" y="154" text-anchor="end" font-size="12" fill="currentColor">2</text>
  <text x="40" y="94" text-anchor="end" font-size="12" fill="currentColor">4</text>
  <text x="40" y="34" text-anchor="end" font-size="12" fill="currentColor">6</text>
  <polyline points="50,150 98,115.8 146,84.3 194,62 242,52.1 290,55 338,68.3 386,88.2 434,111 482,133.5" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2" />
  <circle cx="50" cy="150" r="3" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <circle cx="98" cy="115.8" r="3" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <circle cx="146" cy="84.3" r="3" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <circle cx="194" cy="62" r="3" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <circle cx="242" cy="52.1" r="4.5" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <circle cx="290" cy="55" r="3" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <circle cx="338" cy="68.3" r="3" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <circle cx="386" cy="88.2" r="3" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <circle cx="434" cy="111" r="3" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <circle cx="482" cy="133.5" r="3" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <text x="242" y="40" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">d=5（約 5.26）</text>
  <text x="50" y="228" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">1</text>
  <text x="98" y="228" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">2</text>
  <text x="146" y="228" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">3</text>
  <text x="194" y="228" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">4</text>
  <text x="242" y="228" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">5</text>
  <text x="290" y="228" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">6</text>
  <text x="338" y="228" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">7</text>
  <text x="386" y="228" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">8</text>
  <text x="434" y="228" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">9</text>
  <text x="482" y="228" text-anchor="middle" font-size="12" fill="currentColor">10</text>
  <text x="500" y="244" text-anchor="end" font-size="12" fill="currentColor">次元 d</text>
</svg>
</Figure>

### 6.5. 3 次元の球座標と $d\sigma=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi$

<Proposition id="prop-sphere-s2" title="S² の球面測度の球座標表示">
$\omega(\theta,\varphi)=(\sin\theta\cos\varphi,\ \sin\theta\sin\varphi,\ \cos\theta)$ とする。ボレル関数 $g:S^2\to[0,\infty]$ について
$$
\int_{S^2}g\,d\sigma=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi g(\omega(\theta,\varphi))\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi .
$$
とくに $\sigma(S^2)=4\pi$ で、$g\in L^1(\sigma)$ についても同じ等式が成り立つ。
</Proposition>

<Proof of="prop-sphere-s2">
**球座標の変数変換。** $U=(0,\infty)\times(0,\pi)\times(0,2\pi)$ 上で $\Phi(r,\theta,\varphi)=r\,\omega(\theta,\varphi)$ とします。ヤコビ行列の第 3 行 $(\cos\theta,\,-r\sin\theta,\,0)$ に沿って余因子展開（<Ref to="mathematics/linear-algebra/determinants#thm-cofactor" />）すると、$(3,1)$ 余因子は $r^2\sin\theta\cos\theta$、$(3,2)$ 余因子は $-r\sin^2\theta$ なので
$$
\det D\Phi=\cos\theta\cdot r^2\sin\theta\cos\theta+(-r\sin\theta)(-r\sin^2\theta)=r^2\sin\theta>0 .
$$
$\Phi$ は $U$ 上で単射です：$r=|\Phi|$、$\cos\theta=\Phi_3/r$ で $\theta\in(0,\pi)$ が決まり、$\sin\theta>0$ なので $(\cos\varphi,\sin\varphi)$ が決まり $\varphi\in(0,2\pi)$ が決まります。同じ計算から、$\Phi(U)$ は $\mathbb{R}^3$ から半平面 $H=\{(x,0,z):x\ge0\}$ を除いた集合で、$H\subseteq\{y=0\}$ は測度 $0$ です（<Ref to="lem-box-measure" />）。<Ref to="cor-exceptional" />（$Z=\emptyset$）から、ボレル関数 $f\ge0$ について
$$
\int_{\mathbb{R}^3}f\,dm=\int_Uf(r\,\omega(\theta,\varphi))\,r^2\sin\theta\;d(r,\theta,\varphi).
$$

**二つの計算の比較。** $f(x)=g(x/|x|)\,\mathbf{1}_{(0,1]}(|x|)$（$x\ne0$）とします。<Ref to="thm-polar" /> から $\int f\,dm=\int_0^1r^2dr\int_{S^2}g\,d\sigma=\frac13\int_{S^2}g\,d\sigma$。上の式の右辺は、$f(r\omega(\theta,\varphi))=g(\omega(\theta,\varphi))\mathbf{1}_{(0,1]}(r)$ と Tonelli の定理から $\frac13\int_0^{2\pi}\int_0^\pi g(\omega(\theta,\varphi))\sin\theta\,d\theta\,d\varphi$ です。両者を比べて主張を得ます。$g=1$ なら $\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\sin\theta\,d\theta\,d\varphi=4\pi$ で、<Ref to="thm-ball-volume" /> とも一致します。
</Proof>

<Remark id="rem-hyperspherical" title="一般次元の角度座標">
同じ方法で、$\mathbb{R}^d$ の超球座標 $x=r(\cos\theta_1,\ \sin\theta_1\cos\theta_2,\ \ldots)$ のヤコビアン $r^{d-1}\sin^{d-2}\theta_1\sin^{d-3}\theta_2\cdots\sin\theta_{d-2}$ を計算すれば、$d\sigma=\sin^{d-2}\theta_1\cdots\sin\theta_{d-2}\,d\theta_1\cdots d\theta_{d-1}$ が得られます。ただし実際の計算では、<Ref to="thm-polar" />・<Ref to="prop-sigma-rotation" />・<Ref to="cor-radial" /> のように角度座標を使わずに済ませるほうが、見通しがよいことが多いです。また $\sigma$ は、$S^{d-1}$ を $\mathbb{R}^d$ の部分多様体と見たときの誘導計量の体積測度とも一致します（$d=3$ で確かめたのが上の命題です）。
</Remark>

## 7. 演習

<Exercise id="exr-ellipsoid" difficulty="易">
$a_1,\ldots,a_d>0$ とする。楕円体 $\mathcal{E}=\{x:\sum_ix_i^2/a_i^2\le1\}$ の体積を求めよ。
<Solution>
$T=\operatorname{diag}(a_1,\ldots,a_d)$ とすると $\mathcal{E}=T(\{|x|\le1\})$ です（$y=Tx$ なら $\sum_iy_i^2/a_i^2=|x|^2$）。<Ref to="thm-linear-measure" /> と <Ref to="thm-ball-volume" /> から
$$
m(\mathcal{E})=a_1\cdots a_d\cdot\frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2+1)} .
$$
$d=3$ なら $\frac43\pi a_1a_2a_3$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-circle-measure" difficulty="標準">
$d=2$ のとき、ボレル関数 $g:S^1\to[0,\infty]$ について $\int_{S^1}g\,d\sigma=\int_0^{2\pi}g(\cos\varphi,\sin\varphi)\,d\varphi$ を示せ。
<Solution>
$f(x)=g(x/|x|)\mathbf{1}_{(0,1]}(|x|)$ とします。<Ref to="thm-polar" /> から $\int_{\mathbb{R}^2}f=\int_0^1r\,dr\int_{S^1}g\,d\sigma=\frac12\int_{S^1}g\,d\sigma$。一方 <Ref to="ex-polar-2d" /> の式と Tonelli の定理から $\int_{\mathbb{R}^2}f=\int_0^1r\,dr\int_0^{2\pi}g(\cos\varphi,\sin\varphi)\,d\varphi=\frac12\int_0^{2\pi}g(\cos\varphi,\sin\varphi)\,d\varphi$。両者を比べればよいです。$g=1$ で $\sigma(S^1)=2\pi$ となり、<Ref to="thm-ball-volume" /> と一致します。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-second-moment" difficulty="標準">
$\int_{S^{d-1}}\omega_i\omega_j\,d\sigma(\omega)=\dfrac{\sigma(S^{d-1})}{d}\delta_{ij}$ を示せ。また、これを使って単位球 $B=\{|x|\le1\}$ 上の $\int_Bx_ix_j\,dx$ を求めよ。
<Solution>
$i\ne j$ のとき、第 $i$ 座標の符号だけを変える直交行列 $O$ について $(O\omega)_i(O\omega)_j=-\omega_i\omega_j$ なので、<Ref to="prop-sigma-rotation" /> から積分 $I_{ij}$ は $I_{ij}=-I_{ij}$、すなわち $0$ です（$|\omega_i\omega_j|\le1$ で $\sigma$ は有限なので可積分です）。$i=j$ のとき、座標 $1$ と $i$ を入れ替える置換行列も直交行列なので $I_{ii}=I_{11}$ で、$\sum_iI_{ii}=\int|\omega|^2d\sigma=\sigma(S^{d-1})$ から $I_{ii}=\sigma(S^{d-1})/d$ です。

<Ref to="thm-polar" /> により
$$
\int_Bx_ix_j\,dx=\int_0^1r^2\,r^{d-1}dr\cdot I_{ij}=\frac{\sigma(S^{d-1})}{d(d+2)}\delta_{ij}=\frac{m(B)}{d+2}\delta_{ij}.
$$
$d=3$ なら $\int_Bx_1^2\,dx=\frac{4\pi}{15}$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-exp-radial" difficulty="標準">
$\int_{\mathbb{R}^d}e^{-|x|}\,dx$ を求めよ。$d=3$ ではいくつか。
<Solution>
<Ref to="cor-radial" /> と <Ref to="thm-ball-volume" /> から
$$
\int_{\mathbb{R}^d}e^{-|x|}dx=\sigma(S^{d-1})\int_0^\infty e^{-r}r^{d-1}dr=\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}\,\Gamma(d)=\frac{2\pi^{d/2}(d-1)!}{\Gamma(d/2)} .
$$
$r$ の積分は $\Gamma(d)$ の定義（<Ref to="mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#def-gamma" />）そのもので、$\Gamma(d)=(d-1)!$ は <Ref to="mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#thm-gamma-functional" /> によります。$d=3$ では $\Gamma(3/2)=\sqrt\pi/2$ から $\frac{2\pi^{3/2}\cdot2}{\sqrt\pi/2}=8\pi$ です。水素原子の基底状態の波動関数 $e^{-r/a}$ を正規化するときに現れるのが、この種の積分です。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- G. B. Folland, *Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications*, 2nd ed., Wiley, 1999 — §2.6（$\mathbb{R}^n$ のルベーグ測度、線形写像と $C^1$ 微分同相による変換）、§2.7（極座標での積分）。この記事の証明の骨格はここに沿っています。
- W. Rudin, *Real and Complex Analysis*, 3rd ed., McGraw-Hill, 1987 — Chapter 2（$\mathbb{R}^k$ のルベーグ測度と線形変換）、Chapter 7（微分と変数変換定理）。
- E. M. Stein and R. Shakarchi, *Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces*, Princeton University Press, 2005 — Chapter 2（線形変換とルベーグ測度）、Chapter 6（極座標の積分公式）。
- 伊藤清三『ルベーグ積分入門』裳華房、1963 — ユークリッド空間のルベーグ測度と変数変換を扱う章。