## 2. 準備：フィルトレーションと適合性
以降、確率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ を固定し、時間区間を $[0, T]$（$T < \infty$）とします。
$(\mathcal{F}_t)_{t \in [0,T]}$ が $\mathcal{F}$ の部分 $\sigma$-加法族の増大族、すなわち $s \le t$ のとき $\mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t \subset \mathcal{F}$ であるとき、これを**フィルトレーション**と呼びます。確率過程 $X = (X_t)_{t \in [0,T]}$ が、各 $t$ について $X_t$ が $\mathcal{F}_t$-可測であるとき、$X$ は $(\mathcal{F}_t)$ に**適合している**（adapted）といいます。
さらに $X$ が**発展的可測**（progressively measurable）であるとは、各 $t$ について写像 $[0,t] \times \Omega \to \mathbb{R}$, $(s, \omega) \mapsto X_s(\omega)$ が $\mathcal{B}([0,t]) \otimes \mathcal{F}_t$-可測であることをいいます。
$\mathcal{F}_t$ は「時刻 $t$ までに観測できた情報」を表します。適合性は「$X_t$ の値を知るのに未来の情報を要しない」という条件です。発展的可測性は、これに加えて時間方向の可測性を要求する技術的な強化で、$\int_0^t X_s\,ds$ が $\mathcal{F}_t$-可測になることを保証します。連続な道をもつ適合過程は必ず発展的可測ですから、実用上この区別が問題になることはほとんどありません。
ブラウン運動については次を仮定します。$(B_t)_{t \ge 0}$ は $(\mathcal{F}_t)$-**ブラウン運動**である、すなわち
1. $B_0 = 0$ で、道 $t \mapsto B_t(\omega)$ はすべての $\omega$ について連続、
2. $B$ は $(\mathcal{F}_t)$ に適合、
3. $s < t$ のとき増分 $B_t - B_s$ は $\mathcal{F}_s$ と独立で、$N(0, t-s)$ に従う。
条件 3 が本質的です。「増分が過去の情報と独立」という性質だけを、以下では繰り返し使います。
記号として、区間 $[0,T]$ の分割を $\Pi = \{0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = T\}$、その幅を $\|\Pi\| = \max_i (t_{i+1} - t_i)$、増分を $\Delta_i B = B_{t_{i+1}} - B_{t_i}$、$\Delta_i t = t_{i+1} - t_i$ と書きます。期待値は $\mathbb{E}$ で表します。
## 3. 破綻の正体：二次変分と有界変動でないこと
ここでは「なぜ古典的な積分が使えないのか」を定量的に示します。鍵は、ブラウン運動の増分の二乗和が消えないことです。
$(B_t)$ を標準ブラウン運動、$\Pi$ を $[0,T]$ の分割とし、
$$
S_\Pi = \sum_{i=0}^{n-1} (\Delta_i B)^2
$$
とおきます。このとき
$$
\mathbb{E}\left[(S_\Pi - T)^2\right] \le 2 \|\Pi\|\, T
$$
が成り立ちます。特に $\|\Pi_n\| \to 0$ なる分割列に対して $S_{\Pi_n} \to T$ が $L^2(\Omega)$ で成り立ちます。
増分 $\Delta_i B$ は互いに独立で $\Delta_i B \sim N(0, \Delta_i t)$ です（準備の条件 3）。よって標準正規変数 $Z_i \sim N(0,1)$ を用いて $\Delta_i B \stackrel{d}{=} \sqrt{\Delta_i t}\, Z_i$ と書け、$Z_0, \ldots, Z_{n-1}$ は独立です。
まず期待値を計算します。
$$
\mathbb{E}[S_\Pi] = \sum_{i=0}^{n-1} \Delta_i t \cdot \mathbb{E}[Z_i^2] = \sum_{i=0}^{n-1} \Delta_i t = T.
$$
ここで $\mathbb{E}[Z^2] = 1$ と、分割の定義から増分の総和が $T$ になることを使いました。
次に分散です。$(\Delta_i B)^2$ たちは独立ですから分散は加法的で、
$$
\operatorname{Var}(S_\Pi) = \sum_{i=0}^{n-1} (\Delta_i t)^2 \operatorname{Var}(Z_i^2).
$$
標準正規分布の 4 次モーメントは $\mathbb{E}[Z^4] = 3$ ですから
$$
\operatorname{Var}(Z^2) = \mathbb{E}[Z^4] - (\mathbb{E}[Z^2])^2 = 3 - 1 = 2.
$$
したがって
$$
\mathbb{E}\left[(S_\Pi - T)^2\right] = \operatorname{Var}(S_\Pi) = 2 \sum_{i=0}^{n-1} (\Delta_i t)^2 \le 2 \|\Pi\| \sum_{i=0}^{n-1} \Delta_i t = 2\|\Pi\|\,T.
$$
不等式では $\Delta_i t \le \|\Pi\|$ を各項に使いました。$\|\Pi_n\| \to 0$ なら右辺は $0$ に収束します。
この定理が言っているのは、滑らかな関数との決定的な違いです。$g$ が $C^1$ 級なら $\sum (\Delta_i g)^2 \le \max_i |\Delta_i g| \cdot \sum_i |\Delta_i g| \le \|g'\|_\infty \|\Pi\| \cdot \|g'\|_\infty T \to 0$ となり、二次変分は消えます。ブラウン運動では消えません。この「消え残り」が確率解析のすべての特徴を生みます。
標準ブラウン運動 $(B_t)$ について、任意の $T > 0$ に対し、ほとんどすべての $\omega$ で道 $s \mapsto B_s(\omega)$ は $[0,T]$ 上で有界変動ではありません。
$\Pi_n$ を $[0,T]$ の $2^n$ 等分割とします。$\|\Pi_n\| = T 2^{-n}$ なので、
### 3.1. 評価点の選び方で答えが変わる
有界変動でない積分子に対しては、リーマン和の「評価点」をどこに取るかで極限が変わります。ブラウン運動自身を被積分過程として、この現象を明示的に計算してみます。
$[0,T]$ の分割 $\Pi$ に対し、左端評価と右端評価のリーマン和を
$$
L_\Pi = \sum_{i} B_{t_i} \Delta_i B, \qquad R_\Pi = \sum_{i} B_{t_{i+1}} \Delta_i B
$$
とします。差は
$$
R_\Pi - L_\Pi = \sum_i (B_{t_{i+1}} - B_{t_i}) \Delta_i B = \sum_i (\Delta_i B)^2 = S_\Pi
$$
なので、
三つの候補のうち、伊藤が選んだのは左端です。理由は期待値を計算すればわかります。$B_{t_i}$ は $\mathcal{F}_{t_i}$-可測で、$\Delta_i B$ は $\mathcal{F}_{t_i}$ と独立ですから
$$
\mathbb{E}[B_{t_i} \Delta_i B] = \mathbb{E}[B_{t_i}] \cdot \mathbb{E}[\Delta_i B] = 0
$$
となり、$\mathbb{E}[L_\Pi] = 0$ です。一方 $\mathbb{E}[R_\Pi] = \mathbb{E}[L_\Pi] + \mathbb{E}[S_\Pi] = T \ne 0$ です。左端を取ると、和がマルチンゲール差分の和になり、期待値が消える。この構造こそが伊藤積分を扱いやすくしています。金融の文脈でいえば「時刻 $t_i$ に持っているポジションは、$t_i$ から $t_{i+1}$ への価格変動を知らずに決めなければならない」という当然の要請にも対応します。
## 4. 伊藤積分の構成
構成は関数解析の定型手続きです。まず単純な対象で定義し、そこで等長性を示し、稠密性と完備性を使って一意に拡張します。
B["和 Σ ξ_i ΔB_i として直接定義"]
B --> C["伊藤等長性: L2(Ω) ノルムと L2(dP×dt) ノルムが一致"]
C --> D["単純過程は L2(dP×dt) で稠密"]
D --> E["等長線形写像を一意に連続拡張（L2 の完備性）"]
E --> F["一般の発展的可測過程に対する伊藤積分"]`} />
$\mathcal{L}^2[0,T]$ を、発展的可測な過程 $X = (X_t)_{t \in [0,T]}$ であって
$$
\|X\|_{\mathcal{L}^2}^2 := \mathbb{E}\left[\int_0^T X_t^2\,dt\right] < \infty
$$
を満たすもの全体（$dt \otimes d\mathbb{P}$-a.e. で一致するものを同一視）とします。これは積測度空間上の $L^2$ 空間の閉部分空間なので、ヒルベルト空間です。
$X \in \mathcal{L}^2[0,T]$ が**単純過程**であるとは、分割 $0 = t_0 < \cdots < t_n = T$ と、$\mathcal{F}_{t_i}$-可測かつ $\mathbb{E}[\xi_i^2] < \infty$ なる確率変数 $\xi_i$ が存在して
$$
X_t(\omega) = \sum_{i=0}^{n-1} \xi_i(\omega)\, \mathbf{1}_{(t_i,\, t_{i+1}]}(t)
$$
と書けることをいいます。単純過程全体を $\mathcal{S}$ と書きます。
$\xi_i$ が $\mathcal{F}_{t_i}$-可測であること、つまり左端の情報だけで決まることが、単純過程の定義に組み込まれています。ここが「未来を見ない」という要請の入り口です。
$X \in \mathcal{S}$ が上の表示をもつとき、
$$
I(X) := \sum_{i=0}^{n-1} \xi_i \left(B_{t_{i+1}} - B_{t_i}\right)
$$
と定めます。より一般に $t \in [0,T]$ に対し $I_t(X) := I(X \mathbf{1}_{[0,t]})$ とおき、$\int_0^t X_s\,dB_s$ と書きます。
$X \in \mathcal{S}$ に対し $\mathbb{E}[I(X)] = 0$ かつ
$$
\mathbb{E}\left[I(X)^2\right] = \mathbb{E}\left[\int_0^T X_t^2\,dt\right]
$$
が成り立ちます。すなわち $I : \mathcal{S} \to L^2(\Omega)$ はノルムを保つ線形写像です。
まず各項が可積分であることを確かめます。$\xi_i \in L^2(\Omega)$ は $\mathcal{F}_{t_i}$-可測、$\Delta_i B$ は $\mathcal{F}_{t_i}$ と独立で $L^2$ に属するので、独立性から $\mathbb{E}[\xi_i^2 (\Delta_i B)^2] = \mathbb{E}[\xi_i^2]\,\Delta_i t < \infty$、すなわち $\xi_i \Delta_i B \in L^2(\Omega)$ です。したがって有限和 $I(X)$ も $L^2(\Omega)$ に属し、以下の計算はすべて意味をもちます。
期待値については、条件付き期待値のタワー則と、$\Delta_i B$ が $\mathcal{F}_{t_i}$ と独立であること（準備の条件 3）から
$$
\mathbb{E}[\xi_i \Delta_i B] = \mathbb{E}\left[\xi_i\, \mathbb{E}[\Delta_i B \mid \mathcal{F}_{t_i}]\right] = \mathbb{E}[\xi_i \cdot 0] = 0
$$
となり、和を取って $\mathbb{E}[I(X)] = 0$ を得ます。ここで $\xi_i$ が $\mathcal{F}_{t_i}$-可測なので条件付き期待値の外に出せること（
## 5. 伊藤の公式：確率過程の連鎖律
積分を作っただけでは計算はできません。普通の微積分で威力を発揮するのは連鎖律 $\frac{d}{dt} f(g(t)) = f'(g(t)) g'(t)$ です。確率解析における対応物が伊藤の公式で、二次変分のぶんだけ余分な項が現れます。
$\mu = (\mu_t)$ と $\sigma = (\sigma_t)$ を発展的可測な過程で、ほとんど確実に
$$
\int_0^T |\mu_s|\,ds < \infty, \qquad \int_0^T \sigma_s^2\,ds < \infty
$$
を満たすものとします。$X_0$ を $\mathcal{F}_0$-可測な確率変数として
$$
X_t = X_0 + \int_0^t \mu_s\,ds + \int_0^t \sigma_s\,dB_s, \qquad t \in [0,T]
$$
で定まる連続適合過程 $X$ を**伊藤過程**と呼び、微分形式で $dX_t = \mu_t\,dt + \sigma_t\,dB_t$ と書きます。$\mu$ をドリフト、$\sigma$ を拡散係数といいます。
（$\sigma$ が $\mathcal{L}^2[0,T]$ に入らない場合も、停止時刻による局所化で伊藤積分は局所マルチンゲールとして定義できます。以下ではこの一般化を断りなく使います。）
$X$ を $dX_t = \mu_t\,dt + \sigma_t\,dB_t$ なる伊藤過程、$f : [0,T] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $C^{1,2}$ 級（$t$ について 1 回、$x$ について 2 回連続微分可能）とします。このとき $(f(t, X_t))$ も伊藤過程であり、ほとんど確実にすべての $t \in [0,T]$ について
$$
f(t, X_t) = f(0, X_0) + \int_0^t \left(\frac{\partial f}{\partial s} + \mu_s \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma_s^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)(s, X_s)\,ds + \int_0^t \sigma_s \frac{\partial f}{\partial x}(s, X_s)\,dB_s
$$
が成り立ちます。微分形式で書けば
$$
df(t, X_t) = \left(\partial_t f + \mu_t \partial_x f + \tfrac12 \sigma_t^2 \partial_{xx} f\right)dt + \sigma_t \partial_x f\, dB_t.
$$
本質は $f$ が時間に依らず $X = B$ の場合に尽きているので、この場合を完全に証明します。$f \in C^2(\mathbb{R})$ で $f'$ と $f''$ が有界と仮定します（一般の $f$ へは停止時刻で局所化して移ります。詳細は Appendix）。示すべきは
$$
f(B_T) - f(B_0) = \int_0^T f'(B_s)\,dB_s + \frac{1}{2}\int_0^T f''(B_s)\,ds.
$$
分割 $\Pi$ を取り、望遠鏡和とテイラーの定理（剰余項はラグランジュ形）により、$B_{t_i}$ と $B_{t_{i+1}}$ の間のある点 $\eta_i$ が存在して
$$
f(B_T) - f(B_0) = \sum_i \left[f(B_{t_{i+1}}) - f(B_{t_i})\right] = \underbrace{\sum_i f'(B_{t_i}) \Delta_i B}_{=: A_\Pi} + \underbrace{\frac{1}{2}\sum_i f''(\eta_i) (\Delta_i B)^2}_{=: C_\Pi}.
$$
**第 1 項 $A_\Pi$。** 過程 $Y^\Pi_s := \sum_i f'(B_{t_i}) \mathbf{1}_{(t_i, t_{i+1}]}(s)$ は単純過程で、$A_\Pi = I(Y^\Pi)$ です。$f'$ が有界連続で $B$ の道が一様連続なので $Y^\Pi_s \to f'(B_s)$ が各 $(s,\omega)$ で成り立ち、有界収束定理より $\|Y^\Pi - f'(B)\|_{\mathcal{L}^2} \to 0$ です。
覚え方としては、形式的な計算規則
$$
(dt)^2 = 0, \qquad dt \cdot dB_t = 0, \qquad (dB_t)^2 = dt
$$
のもとで $f$ を 2 次までテイラー展開する、と思えばよいです。$(dB_t)^2 = dt$ が
の言い換えです。
$f(x) = x^2/2$ に
## 6. 確率微分方程式の解の存在と一意性
道具が揃ったので、方程式そのものを扱います。
可測関数 $b, \sigma : [0,T] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と $\mathcal{F}_0$-可測な確率変数 $\xi$ が与えられたとき、確率微分方程式
$$
dX_t = b(t, X_t)\,dt + \sigma(t, X_t)\,dB_t, \qquad X_0 = \xi
$$
の**強解**とは、連続な道をもつ $(\mathcal{F}_t)$-適合過程 $X$ であって、ほとんど確実にすべての $t \in [0,T]$ で
$$
X_t = \xi + \int_0^t b(s, X_s)\,ds + \int_0^t \sigma(s, X_s)\,dB_s
$$
が成り立ち、かつ二つの積分が定義される（$\int_0^T |b(s,X_s)|\,ds < \infty$ かつ $\int_0^T \sigma(s,X_s)^2\,ds < \infty$ が a.s.）ものをいいます。
「強」とはブラウン運動 $B$ とフィルトレーションが先に与えられていて、その上で解を作ることを指します。証明にはグロンウォールの不等式を使うので、先に用意します。
$u : [0,T] \to [0,\infty)$ を有界可測関数、$a \ge 0$, $C \ge 0$ を定数とし、すべての $t \in [0,T]$ で
$$
u(t) \le a + C\int_0^t u(s)\,ds
$$
が成り立つとします。このとき $u(t) \le a e^{Ct}$ がすべての $t \in [0,T]$ で成り立ちます。
仮定の不等式を自分自身に代入する操作を繰り返します。$M := \sup_{[0,T]} u < \infty$ とおきます。まず $u(s) \le a + C\int_0^s u$ を右辺に入れると
$$
u(t) \le a + C\int_0^t \left(a + C\int_0^{s} u(r)\,dr\right)ds = a + aCt + C^2 \int_0^t \int_0^s u(r)\,dr\,ds.
$$
これを $n$ 回繰り返すと、帰納法により
$$
u(t) \le a\sum_{k=0}^{n} \frac{(Ct)^k}{k!} + C^{n+1} \int_0^t \int_0^{s_1}\cdots\int_0^{s_n} u(s_{n+1})\,ds_{n+1}\cdots ds_1.
$$
最後の項は $u \le M$ より $M \frac{(Ct)^{n+1}}{(n+1)!}$ で抑えられ（$n+1$ 重の単体の体積が $t^{n+1}/(n+1)!$）、$n \to \infty$ で $0$ に収束します。第 1 項は $a e^{Ct}$ に収束します。よって $u(t) \le a e^{Ct}$ です。
$b, \sigma : [0,T] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を可測とし、ある定数 $K > 0$ が存在して、すべての $t \in [0,T]$, $x, y \in \mathbb{R}$ について
$$
|b(t,x) - b(t,y)| + |\sigma(t,x) - \sigma(t,y)| \le K|x - y| \quad \text{(リプシッツ条件)},
$$
$$
|b(t,x)| + |\sigma(t,x)| \le K(1 + |x|) \quad \text{(線形増大条件)}
$$
が成り立つとします。さらに $\xi$ は $\mathcal{F}_0$-可測で $\mathbb{E}[\xi^2] < \infty$ とします。このとき
## 7. 応用：ブラック・ショールズ方程式
伊藤の公式が実務に与えた最も有名な帰結を見ます。1973 年のブラック・ショールズ・マートンの議論です。
市場に二つの資産があるとします。安全資産（銀行預金）$\beta_t = e^{rt}$（$r$ は定数の無リスク金利）と、危険資産（株）$S_t$ で、$S$ は
の幾何ブラウン運動 $dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dB_t$ に従うとします。満期 $T$、行使価格 $K$ のヨーロピアン・コールオプションは、時刻 $T$ に $(S_T - K)^+$ を受け取る権利です。この権利の時刻 $t$ における適正価格を求めたい、というのが問題です。
オプション価格が $C^{1,2}$ 級の関数 $V(t, S_t)$ の形に書け、株と預金の連続的な売買で複製ポートフォリオが組め、無裁定であると仮定します。このとき $V$ は $(t, S) \in [0,T) \times (0,\infty)$ 上で
$$
\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0
$$
を満たし、終端条件は $V(T, S) = (S - K)^+$ です。
まず
注目すべきは、方程式に $\mu$（株の期待収益率）が現れないことです。オプションの価格は「株がどれくらい儲かると思うか」に依らず、ボラティリティ $\sigma$ と金利 $r$ だけで決まります。相殺の理由は上の計算に明示されていて、$\Delta_t = \partial V/\partial S$ と置いた瞬間に $\mu S_t (\partial V/\partial S - \Delta_t)$ が消えたからです。
## 8. 演習
$\int_0^t s\,dB_s$ の分布を求めてください。また $\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t s\,dB_s\right)^2\right]$ を計算してください。
被積分関数 $f(s) = s$ は決定的で、$\int_0^t s^2\,ds = t^3/3 < \infty$ なので $f \in \mathcal{L}^2[0,t]$ です。
## 参考文献
- 伊藤清『確率論』岩波書店、1991 — 確率積分と確率微分方程式の章。創始者自身による記述です。
- B. Øksendal, *Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications*, 6th ed., Springer, 2003 — 第 3 章（伊藤積分）、第 4 章（伊藤の公式）、第 5 章（存在と一意性）。学部から読める標準的な入門書です。
- I. Karatzas, S. E. Shreve, *Brownian Motion and Stochastic Calculus*, 2nd ed., Springer, 1991 — 第 3 章（確率積分）、第 5 章（確率微分方程式）。厳密さを求めるならこれです。
- S. E. Shreve, *Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models*, Springer, 2004 — 第 4 章（伊藤積分と伊藤の公式）、第 5 章（リスク中立価格付け）。金融への応用が丁寧です。
- F. Black, M. Scholes, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", *Journal of Political Economy* 81 (1973), 637–654. [DOI: 10.1086/260062](https://doi.org/10.1086/260062)
- 舟木直久『確率微分方程式』岩波書店、2005 — 日本語で書かれた確率解析の標準的な教科書です。
## Appendix: 稠密性補題の証明の筋道
の証明は 3 段階に分かれます。以下 $X \in \mathcal{L}^2[0,T]$ とし、収束はすべて $\|\cdot\|_{\mathcal{L}^2}$ に関するものです。
**第 1 段階：有界な過程への帰着。** $X^{(N)}_t := (X_t \wedge N) \vee (-N)$ とおくと、$X^{(N)}$ は発展的可測で $|X^{(N)}| \le N$、かつ $|X^{(N)} - X|^2 \le |X|^2 \cdot \mathbf{1}_{\{|X| > N\}}$ です。右辺は $N \to \infty$ で $0$ に各点収束し $|X|^2$ で支配されるので、優収束定理（
）から $\|X^{(N)} - X\|_{\mathcal{L}^2} \to 0$ となります。よって $X$ は有界としてよいです。
**第 2 段階：連続な道をもつ過程への帰着。** $X$ を有界（$|X| \le N$）とし、$X_t = 0$（$t < 0$）と延長した上で
$$
X^{(m)}_t := m\int_{(t - 1/m) \vee 0}^{t} X_s\,ds
$$
とおきます。これは過去の値だけを平均しているので適合性を保ち、道は連続で、$|X^{(m)}| \le N$ です。ルベーグの微分定理により、ほとんどすべての $(t,\omega)$ で $X^{(m)}_t(\omega) \to X_t(\omega)$ が成り立ちます。有界収束定理から $\|X^{(m)} - X\|_{\mathcal{L}^2} \to 0$ です。
**第 3 段階：連続な過程の左端離散化。** $X$ が有界で連続な道をもつとし、$[0,T]$ の $n$ 等分割 $t^n_i = iT/n$ に対して
$$
X^{[n]}_t := \sum_{i=0}^{n-1} X_{t^n_i}\,\mathbf{1}_{(t^n_i,\, t^n_{i+1}]}(t)
$$
とおきます。$X_{t^n_i}$ は $\mathcal{F}_{t^n_i}$-可測なので $X^{[n]}$ は単純過程です。道の連続性から各 $(t,\omega)$ で $X^{[n]}_t(\omega) \to X_t(\omega)$ が成り立ち、一様有界なので有界収束定理より $\|X^{[n]} - X\|_{\mathcal{L}^2} \to 0$ です。**ここで左端 $t^n_i$ を評価点に選べることが決定的です。** 右端 $t^n_{i+1}$ を取ると $X_{t^n_{i+1}}$ は $\mathcal{F}_{t^n_i}$-可測にならず、単純過程にならないため、伊藤等長性の証明（
）が崩れます。
三段階を合成すれば、任意の $X \in \mathcal{L}^2[0,T]$ が単純過程で近似できます。なお第 2 段階の平均化は「未来を見ない」平滑化になっている点が肝で、両側平均 $\frac{m}{2}\int_{t-1/m}^{t+1/m}$ では適合性が失われて構成全体が破綻します。
**一般の伊藤の公式について。**
の証明では $f'$, $f''$ の有界性を仮定しました。一般の $C^{1,2}$ 級 $f$ には停止時刻
$$
\tau_n := \inf\{t \ge 0 : |X_t| \ge n\} \wedge T
$$
を導入し、$[0, \tau_n]$ 上では $X$ が有界なので $f$ を $[-n-1, n+1]$ の外で滑らかに切り落として有界導関数の場合に帰着させます。道の連続性から $\tau_n \to T$（a.s.）なので、$n \to \infty$ とすれば全区間での公式が得られます。この「局所化」は確率解析のいたるところで現れる標準的な手続きです。