# Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理：測度変換でドリフトを消し、確率積分で汎関数を書く

> 確率指数が有界ドリフトと Novikov 条件のもとでマルチンゲールになることを示し、測度変換でドリフトを消す Girsanov の定理、Cameron–Martin の定理、Brown フィルトレーションの L² 汎関数を確率積分で書く伊藤の表現定理を証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/probability/girsanov-martingale-representation

## 0. この記事の要点

ランダムに揺れる動きに、一定の向きへ流れる「偏り」（ドリフト）が加わっているとします。確率の重みを少し付け替えて「この道筋は起こりやすく、あの道筋は起こりにくい」と見方を変えると、この偏りを消して、偏りのない揺れに見せられることがあります。この記事の前半（Girsanov の定理）はその付け替えの方法を、後半（表現定理）は、揺れの結果として決まる量がどんな積分で書けるかを扱います。読み終えると、偏りの付け外しの計算と、その適用条件を確かめられるようになります。

- $\theta$ を発展的可測なドリフトとし、確率指数 $\mathcal{E}(\theta)_t=\exp(\int_0^t\theta\cdot dW-\frac12\int_0^t|\theta|^2du)$ を考えます。$\theta$ が有界なら、$\mathcal{E}(\theta)$ は二乗可積分な[マルチンゲール](/mathematics/probability/martingales-and-brownian-motion#def-martingale)（現在までの情報のもとでの将来の期待値が、現在の値に等しい確率過程）です。複素数値の $\theta$ でも同じことが成り立ち、これが以下の証明の共通の道具になります。
- Novikov 条件 $\mathbb{E}\exp(\frac12\int_0^T|\theta|^2du)<\infty$ のもとでも $\mathcal{E}(\theta)$ はマルチンゲールです。証明は、ドリフトを切り落とした近似と、$\mathcal{E}(a\theta)$（$0<a<1$）に対する Hölder の不等式によります。
- Girsanov の定理: $d\mathbb{Q}=\mathcal{E}(\theta)_T\,d\mathbb{P}$ と測度を取り替えると、$\tilde W_t=W_t-\int_0^t\theta_u\,du$ は $\mathbb{Q}$ のもとで Brown 運動になります。ドリフトは「測度の取り替え」で付け外しできます。
- Cameron–Martin の定理: 決定的な道 $h$（$\dot h\in L^2$）だけずらした Brown 運動 $W+h$ の法則は、元の法則に密度 $\exp(\int\dot h\cdot dW-\frac12\|\dot h\|^2)$ をかけたものです。
- 伊藤の表現定理: Brown 運動が生成するフィルトレーションに関する二乗可積分な確率変数 $F$ は、ただ一つの $H$ によって $F=\mathbb{E}F+\int_0^TH\cdot dW$ と書けます。証明は、$\exp(i\sum\lambda_k\cdot\Delta W_k)$ の形の確率変数が確率積分で表せることと、Fourier 変換の一意性によります。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **マルチンゲール**: 現在までの情報を与えたときの将来の期待値が、現在の値に等しい確率過程。→ [マルチンゲール](/mathematics/probability/martingales-and-brownian-motion#def-martingale)
- **条件付き期待値**: ある時点までに分かっている情報のもとでの、確率変数の平均値。→ [条件付き期待値](/mathematics/probability/conditional-expectation#def-cond-exp)
- **特性関数**: 確率変数 $X$ に対する $\mathbb{E}[e^{iu\cdot X}]$ を $u$ の関数と見たもの。分布を一意に決める。→ [特性関数](/mathematics/probability/characteristic-functions-gaussian#def-cf)
- **確率収束**: 差が $\varepsilon$ より大きくなる確率が $0$ に近づく、という収束。→ [確率収束](/mathematics/probability/limit-theorems#def-convergence-prob)
- **絶対連続**: 一方の測度で確率 $0$ の事象が、他方でも確率 $0$ である、という関係。→ [絶対連続](/mathematics/real-analysis/radon-nikodym#def-ac-singular)
- **伊藤公式と Lévy の特徴付け**: 連続な適合過程が Brown 運動であることの判定法。→ [多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け](/mathematics/probability/multidimensional-ito-formula)

</Aside>

## 1. 動機

[確率微分方程式の章](/mathematics/probability/stochastic-differential-equations) の Black–Scholes の議論では、株価のドリフト $\mu$ を無リスク金利 $r$ に置き換えた「リスク中立測度」のもとで期待値を計算しました。その正当化は注意 <Ref to="mathematics/probability/stochastic-differential-equations#rem-girsanov" /> で予告するだけにとどめていました。この章でそれを証明します。

測度の取り替えは、金融だけの技法ではありません。確率制御では、制御はドリフト $u$ として過程に入り、制御のコストは相対エントロピー $\frac12\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\int|u|^2dt$ として現れます。構成的場の理論で使う Boué–Dupuis の変分公式（[Gauss 解析の章](/physics/constructive-qft/gaussian-analysis)）は、まさにこの対応を自由エネルギーの評価に使います。その証明の上からの評価には Girsanov の定理が、下からの評価にはマルチンゲール表現定理が要ります。

二つの定理は互いに逆向きの問いに答えます。Girsanov の定理は「ドリフトを持つ過程を、測度を変えて Brown 運動に戻せるか」に、表現定理は「Brown 運動の道の汎関数は、どんなドリフト（積分核）で生成されているか」に答えます。どちらの証明も、前章 [多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け](/mathematics/probability/multidimensional-ito-formula) の道具と、Gauss 分布の特性関数の計算でできています。

## 2. 準備

$[0,T]$（$T<\infty$）上で、確率空間 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$、フィルトレーション $(\mathcal{F}_t)$、$d$ 次元 $(\mathcal{F}_t)$-Brown 運動 $W$（<Ref to="mathematics/probability/multidimensional-ito-formula#def-bm-d" />）を固定します。$\mathcal{L}^2_d$ と $\int H\cdot dW$ の記法は <Ref to="mathematics/probability/multidimensional-ito-formula#def-ito-process-d" /> に従います。

**複素数値の積分。** $\varphi=\theta+i\eta$（$\theta,\eta\in\mathcal{L}^2_d$）について $\int\varphi\cdot dW:=\int\theta\cdot dW+i\int\eta\cdot dW$、$\varphi\cdot\varphi:=\sum_a(\varphi^a)^2=|\theta|^2-|\eta|^2+2i\,\theta\cdot\eta$ とおきます（複素共役を取らない双線形形式です）。複素数値の確率変数の条件付き期待値は、実部と虚部ごとに取ります。

複素数まで広げる理由は、4 節の証明で、$e^{iu\cdot(\text{増分})}$ という形の量（[特性関数](/mathematics/probability/characteristic-functions-gaussian#def-cf)の中身）を、確率指数の一種として扱いたいからです。$\varphi\cdot\varphi$ で複素共役を取らないのは、実数の場合の $|\theta|^2=\theta\cdot\theta$ と同じ形の計算を、そのまま複素数に持ち込むためです。

次の三つの収束の事実を何度か使います。

<Lemma id="lem-convergence-tools" title="確率収束から L¹ 収束へ">
確率変数 $X_n,X$ について、$X_n\to X$ が確率収束するとします。

1. 部分列 $X_{n_k}$ で、ほとんど確実に $X$ に収束するものが存在します。
2. ある $q>1$ について $\sup_n\mathbb{E}|X_n|^q<\infty$ ならば、$\mathbb{E}|X_n-X|\to0$ です。
3. $X_n\ge0$、$X\ge0$ で $\mathbb{E}X_n=\mathbb{E}X<\infty$（すべての $n$）ならば、$\mathbb{E}|X_n-X|\to0$ です。
</Lemma>

<Proof of="lem-convergence-tools">
(1) $\mathbb{P}(|X_{n_k}-X|>2^{-k})\le2^{-k}$ となる $n_1<n_2<\cdots$ を取れば、<Ref to="mathematics/probability/limit-theorems#lem-borel-cantelli" /> により、ほとんどすべての $\omega$ で有限個の $k$ を除き $|X_{n_k}-X|\le2^{-k}$ です。

(2) (1) と <Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#lem-fatou" /> から $\mathbb{E}|X|^q\le\sup_n\mathbb{E}|X_n|^q=:c$ です。$\varepsilon>0$ について、Hölder の不等式（<Ref to="mathematics/real-analysis/lp-spaces#thm-holder" />）と Minkowski の不等式から
$$
\mathbb{E}|X_n-X|\le\varepsilon+\mathbb{E}\bigl[|X_n-X|\mathbf{1}_{\{|X_n-X|>\varepsilon\}}\bigr]\le\varepsilon+2c^{1/q}\,\mathbb{P}(|X_n-X|>\varepsilon)^{1-1/q}
$$
で、$n\to\infty$ の後に $\varepsilon\to0$ とします。

(3) $\mathbb{E}|X_n-X|\to0$ でないとすると、$\mathbb{E}|X_{n'}-X|\ge\delta>0$ となる部分列があり、(1) によりさらに部分列を取ってほとんど確実に $X_{n''}\to X$ とできます。$(X-X_{n''})^+\le X$ と優収束定理から $\mathbb{E}(X-X_{n''})^+\to0$ で、$\mathbb{E}(X-X_{n''})=0$ より $\mathbb{E}|X-X_{n''}|=2\,\mathbb{E}(X-X_{n''})^+\to0$ となり矛盾します（<Ref to="mathematics/probability/characteristic-functions-gaussian#lem-scheffe" /> と同じ議論です）。
</Proof>

<Lemma id="lem-complex-gauss-mgf" title="Gauss 分布の複素指数モーメント">
$G\sim N(0,hI_d)$、$c\in\mathbb{C}^d$ ならば $\mathbb{E}[e^{c\cdot G}]=e^{(c\cdot c)h/2}$ です（$c\cdot c=\sum_ac_a^2$）。
</Lemma>

<Proof of="lem-complex-gauss-mgf">
成分は独立なので $d=1$ の場合に帰着します（$|e^{c_aG_a}|=e^{(\operatorname{Re}c_a)G_a}$ は可積分で、独立な可積分変数の積の期待値は期待値の積です。実部と虚部に分けて <Ref to="mathematics/probability/random-variables#prop-independence-product" /> を使います）。$c=a+ib$、$\phi_h$ を $N(0,h)$ の密度とすると、$e^{ax}\phi_h(x)=e^{a^2h/2}\phi_h(x-ah)$ で、右辺の $\phi_h(\cdot-ah)$ は $N(ah,h)$ の密度です。<Ref to="mathematics/probability/characteristic-functions-gaussian#lem-gauss-cf" /> から
$$
\mathbb{E}[e^{(a+ib)G}]=e^{a^2h/2}\int e^{ibx}\phi_h(x-ah)\,dx=e^{a^2h/2}\,e^{iabh-b^2h/2}=e^{(a+ib)^2h/2}.
$$
</Proof>

## 3. 確率指数

<Definition id="def-stochastic-exponential" title="確率指数">
$\theta\in\mathcal{L}^2_d$ について
$$
\mathcal{E}(\theta)_t:=\exp\Bigl(\int_0^t\theta_u\cdot dW_u-\frac12\int_0^t|\theta_u|^2\,du\Bigr)\qquad(t\in[0,T])
$$
を $\theta$ の**確率指数**（Doléans-Dade 指数）と呼びます。$\varphi=\theta+i\eta$ が複素数値のときも、指数の中を $\int\varphi\cdot dW-\frac12\int\varphi\cdot\varphi\,du$ として $\mathcal{E}(\varphi)$ を定めます。
</Definition>

名前の由来は、伊藤公式を形式的に適用すると $d\mathcal{E}(\theta)_t=\mathcal{E}(\theta)_t\,\theta_t\cdot dW_t$ となり、常微分方程式 $dy=y\,dx$ の解 $e^x$ の確率版になっていることです。ドリフト項 $-\frac12\int|\theta|^2$ は、2 次変分による伊藤補正を打ち消すために入っています。この式からは $\mathcal{E}(\theta)$ が（局所）マルチンゲールであることが期待されますが、本当にマルチンゲールかどうかは $\theta$ の大きさによります。

<Theorem id="thm-bounded-exponential" title="有界な指数のマルチンゲール性">
$\varphi=\theta+i\eta$ とし、$\theta,\eta$ は $\mathbb{R}^d$ 値の発展的可測過程で、定数 $C$ について $|\theta|\le C$、$|\eta|\le C$ とします。このとき、すべての $t\in[0,T]$ について
$$
\mathbb{E}\,|\mathcal{E}(\varphi)_t|^2\le e^{2C^2t},
$$
で、$0\le s<t\le T$ について $\mathbb{E}[\mathcal{E}(\varphi)_t\mid\mathcal{F}_s]=\mathcal{E}(\varphi)_s$ が成り立ちます。特に実数値の有界な $\theta$ について $\mathcal{E}(\theta)$ は正のマルチンゲールで、$\mathbb{E}\,\mathcal{E}(\theta)_t=1$ です。
</Theorem>

<Proof of="thm-bounded-exponential">
**第 1 段：単純過程。** $\theta,\eta$ が共通の分割 $0=u_0<\dots<u_m=T$ 上の単純過程で、$(u_l,u_{l+1}]$ 上の値 $\varphi_l=\theta_l+i\eta_l$ が $\mathcal{F}_{u_l}$-可測とします。$s,t$ は分割点としてよいです（分割を細かくしても単純過程のままです）。$\Delta_l=W_{u_{l+1}}-W_{u_l}$、$h_l=u_{l+1}-u_l$ とおくと
$$
\mathcal{E}(\varphi)_{u_{l+1}}=\mathcal{E}(\varphi)_{u_l}\cdot\exp\bigl(\varphi_l\cdot\Delta_l-\tfrac12(\varphi_l\cdot\varphi_l)h_l\bigr).
$$
$\Delta_l$ は $\mathcal{F}_{u_l}$ と独立に $N(0,h_lI_d)$ に従うので、<Ref to="mathematics/probability/markov-processes-feller#lem-freezing" />（実部・虚部の正部分と負部分に分けて適用）と <Ref to="lem-complex-gauss-mgf" /> から
$$
\mathbb{E}\bigl[\exp\bigl(\varphi_l\cdot\Delta_l-\tfrac12(\varphi_l\cdot\varphi_l)h_l\bigr)\bigm|\mathcal{F}_{u_l}\bigr]=1 .
$$
まず実数値の場合（$\eta=0$）を考えます。$\mathcal{E}(\theta)_{u_l}\ge0$ は $\mathcal{F}_{u_l}$-可測なので、非負変数に対する <Ref to="mathematics/probability/conditional-expectation#thm-pullout" /> により $\mathbb{E}[\mathcal{E}(\theta)_{u_{l+1}}\mid\mathcal{F}_{u_l}]=\mathcal{E}(\theta)_{u_l}$ で、帰納的に $\mathbb{E}\,\mathcal{E}(\theta)_{u_l}=1$（可積分性も同時に得られます）。同じ議論は有界な $2\theta$ にも使えます。

次に一般の $\varphi$ です。$|\mathcal{E}(\varphi)_t|^2=\exp\bigl(2\int_0^t\theta\cdot dW-\int_0^t(|\theta|^2-|\eta|^2)du\bigr)=\mathcal{E}(2\theta)_t\exp\bigl(\int_0^t(|\theta|^2+|\eta|^2)du\bigr)\le\mathcal{E}(2\theta)_t\,e^{2C^2t}$ なので、$\mathbb{E}|\mathcal{E}(\varphi)_t|^2\le e^{2C^2t}$ です。よって $\mathcal{E}(\varphi)_{u_l}$ は二乗可積分で、指数因子もすべての次数のモーメントを持つので、<Ref to="mathematics/probability/conditional-expectation#thm-pullout" /> から $\mathbb{E}[\mathcal{E}(\varphi)_{u_{l+1}}\mid\mathcal{F}_{u_l}]=\mathcal{E}(\varphi)_{u_l}$ です。タワー則（<Ref to="mathematics/probability/conditional-expectation#thm-tower" />）でつなげば、分割点 $s<t$ について主張が出ます。

**第 2 段：一般の場合。** <Ref to="mathematics/probability/multidimensional-ito-formula#lem-bounded-simple" /> により、同じ等分割の上の単純過程 $\theta^{(n)},\eta^{(n)}$ で $|\theta^{(n)}|,|\eta^{(n)}|\le C$、$\mathbb{E}\int_0^T(|\theta^{(n)}-\theta|^2+|\eta^{(n)}-\eta|^2)du\to0$ となるものを取ります。$s,t$ は分割点に加えておきます（加えても単純過程のままで、上界も変わりません）。<Ref to="mathematics/probability/multidimensional-ito-formula#lem-cross-isometry" /> から $\int_0^t\varphi^{(n)}\cdot dW\to\int_0^t\varphi\cdot dW$ が $L^2$ で、また
$$
\Bigl|\int_0^t(\varphi^{(n)}\cdot\varphi^{(n)}-\varphi\cdot\varphi)du\Bigr|\le\int_0^t|\varphi^{(n)}-\varphi|\,(|\varphi^{(n)}|+|\varphi|)\,du\le2\sqrt2\,C\int_0^t|\varphi^{(n)}-\varphi|\,du
$$
が $L^1$ で $0$ に収束します。指数関数の連続性から $\mathcal{E}(\varphi^{(n)})_t\to\mathcal{E}(\varphi)_t$ は確率収束し（実部と虚部ごとに考えます）、第 1 段の一様な $L^2$ 評価と <Ref to="lem-convergence-tools" /> (2) から $L^1$ 収束します。$s$ についても同じです。$A\in\mathcal{F}_s$ について第 1 段の等式 $\mathbb{E}[\mathbf{1}_A\mathcal{E}(\varphi^{(n)})_t]=\mathbb{E}[\mathbf{1}_A\mathcal{E}(\varphi^{(n)})_s]$ で極限を取れば、マルチンゲール性が出ます。$L^2$ 評価は <Ref to="lem-convergence-tools" /> (1) とファトゥの補題で極限に受け継がれます。
</Proof>

複素数値の場合を含めたのは、$\varphi=\theta+iu$ と取ると $\mathcal{E}(\varphi)$ が「測度 $\mathcal{E}(\theta)\,d\mathbb{P}$ のもとでの特性関数」を運ぶからです。Girsanov の定理の証明はこの観察だけでできています。

有界性の仮定は、応用では強すぎることがあります。次の Novikov の条件は、$\theta$ が有界でなくても指数的な可積分性さえあればよいことを示します。

<Theorem id="thm-novikov" title="Novikov の条件">
$\theta$ を $\mathbb{R}^d$ 値の発展的可測過程で
$$
\kappa:=\mathbb{E}\exp\Bigl(\frac12\int_0^T|\theta_u|^2\,du\Bigr)<\infty
$$
を満たすものとします。このとき $\theta\in\mathcal{L}^2_d$ で、$\mathcal{E}(\theta)$ は $[0,T]$ 上の正のマルチンゲールであり、$\mathbb{E}\,\mathcal{E}(\theta)_t=1$ です。さらに $\theta^{(n)}:=\theta\mathbf{1}_{\{|\theta|\le n\}}$ について、各 $t$ で $\mathcal{E}(\theta^{(n)})_t\to\mathcal{E}(\theta)_t$ が $L^1$ で成り立ちます。
</Theorem>

証明の方針です。$\theta$ が有界なら 3 節の有界な指数の定理によりマルチンゲールなので、まず $\theta$ を $n$ で切り落とした近似 $\theta^{(n)}$ を考えます。次に、$\mathcal{E}(a\theta^{(n)})$（$0<a<1$）のモーメントを、Hölder の不等式で $n$ によらない定数で抑え、極限でも平均が $1$ に保たれることを確かめます。$a<1$ とするのは、Novikov の条件に余裕を作り、Hölder の指数を適切に選べるようにするためです。最後に $a\uparrow1$ とします。

<Proof of="thm-novikov">
$x\le e^{x}$ から $\frac12\int_0^T|\theta|^2\le\exp(\frac12\int_0^T|\theta|^2)$ なので $\mathbb{E}\int_0^T|\theta|^2\le2\kappa<\infty$、すなわち $\theta\in\mathcal{L}^2_d$ です。$M_t=\int_0^t\theta\cdot dW$、$M^n_t=\int_0^t\theta^{(n)}\cdot dW$、$Q^n_t=\int_0^t|\theta^{(n)}|^2du$、$Q_t=\int_0^t|\theta|^2du$ とおきます。$|\theta^{(n)}-\theta|^2\le|\theta|^2$ と優収束定理から $\mathbb{E}\int|\theta^{(n)}-\theta|^2\to0$ なので、$M^n_t\to M_t$（$L^2$）と $Q^n_t\uparrow Q_t$ が成り立ち、任意の実数 $a$ について $\mathcal{E}(a\theta^{(n)})_t\to\mathcal{E}(a\theta)_t$ が確率収束します。<Ref to="thm-bounded-exponential" /> から $\mathcal{E}(a\theta^{(n)})$ はマルチンゲールで平均 $1$ です。以下 $t=T$ で議論しますが、$\int_0^t|\theta|^2\le\int_0^T|\theta|^2$ なので、Novikov の条件は $[0,t]$ でも成り立ち、すべての $t$ で同じ結論が得られます。

**第 1 段：$\mathbb{E}e^{cM^n_T}\le\kappa^c$（$0<c\le\frac12$）。** $e^{M^n_T/2}=\mathcal{E}(\theta^{(n)})_T^{1/2}\,e^{Q^n_T/4}$ と Cauchy–Schwarz の不等式から
$$
\mathbb{E}e^{M^n_T/2}\le\bigl(\mathbb{E}\,\mathcal{E}(\theta^{(n)})_T\bigr)^{1/2}\bigl(\mathbb{E}e^{Q^n_T/2}\bigr)^{1/2}\le\kappa^{1/2}.
$$
$x\mapsto x^{2c}$ は凹なので、Jensen の不等式から $\mathbb{E}e^{cM^n_T}=\mathbb{E}[(e^{M^n_T/2})^{2c}]\le(\mathbb{E}e^{M^n_T/2})^{2c}\le\kappa^c$ です。<Ref to="lem-convergence-tools" /> (1) とファトゥの補題から、極限でも $\mathbb{E}e^{cM_T}\le\kappa^c$ です。

**第 2 段：$0<a<1$ なら $\mathbb{E}\,\mathcal{E}(a\theta)_T=1$。** 恒等式
$$
\mathcal{E}(a\theta^{(n)})_T^{\,q}=\exp\bigl(qaM^n_T-\tfrac{qa^2}{2}Q^n_T\bigr)=\mathcal{E}(\theta^{(n)})_T^{\,qa^2}\cdot e^{qa(1-a)M^n_T}
$$
に、指数 $p=1/(qa^2)$ と $p'=1/(1-qa^2)$ の Hölder の不等式を使うと（$q>1$ は $qa^2<1$ となるように取ります）
$$
\mathbb{E}\,\mathcal{E}(a\theta^{(n)})_T^{\,q}\le\bigl(\mathbb{E}\,\mathcal{E}(\theta^{(n)})_T\bigr)^{qa^2}\bigl(\mathbb{E}e^{c_qM^n_T}\bigr)^{1-qa^2},\qquad c_q=\frac{qa(1-a)}{1-qa^2}.
$$
$q=1$ のとき $c_1=a/(1+a)<\frac12$ なので、$q>1$ を $1$ に十分近く取れば $c_q\le\frac12$ です。第 1 段から右辺は $n$ によらない定数で抑えられ、<Ref to="lem-convergence-tools" /> (2) により $\mathcal{E}(a\theta^{(n)})_T\to\mathcal{E}(a\theta)_T$ は $L^1$ 収束、よって $\mathbb{E}\,\mathcal{E}(a\theta)_T=1$ です。

**第 3 段：$a\uparrow1$。** ファトゥの補題から $\mathbb{E}\,\mathcal{E}(\theta)_T\le\liminf_n\mathbb{E}\,\mathcal{E}(\theta^{(n)})_T=1$ です。第 2 段の恒等式を $q=1$ で極限の $\theta$ について使い、Hölder の不等式（指数 $1/a^2$ と $1/(1-a^2)$）と第 1 段（$c=a/(1+a)$）を合わせると
$$
1=\mathbb{E}\,\mathcal{E}(a\theta)_T\le\bigl(\mathbb{E}\,\mathcal{E}(\theta)_T\bigr)^{a^2}\bigl(\mathbb{E}e^{aM_T/(1+a)}\bigr)^{1-a^2}\le\bigl(\mathbb{E}\,\mathcal{E}(\theta)_T\bigr)^{a^2}\kappa^{a(1-a)}.
$$
$a\uparrow1$ とすると $1\le\mathbb{E}\,\mathcal{E}(\theta)_T$ です。よって $\mathbb{E}\,\mathcal{E}(\theta)_T=1$ です。

**第 4 段：マルチンゲール性。** 各 $t$ で $\mathcal{E}(\theta^{(n)})_t\to\mathcal{E}(\theta)_t$ は確率収束し、両辺は非負で平均がともに $1$ なので、<Ref to="lem-convergence-tools" /> (3) から $L^1$ 収束します。$s<t$、$A\in\mathcal{F}_s$ について $\mathbb{E}[\mathbf{1}_A\mathcal{E}(\theta^{(n)})_t]=\mathbb{E}[\mathbf{1}_A\mathcal{E}(\theta^{(n)})_s]$ の極限を取れば、$\mathcal{E}(\theta)$ のマルチンゲール性が出ます。
</Proof>

<Remark id="rem-kazamaki">
Novikov の条件は十分条件で、必要条件ではありません。より弱い Kazamaki の条件「$\exp(\frac12M_t)$ が一様可積分な劣マルチンゲール」（$M=\int\theta\cdot dW$）でも $\mathcal{E}(\theta)$ はマルチンゲールになります（N. Kazamaki, *Continuous Exponential Martingales and BMO*, Springer LNM 1579, 1994）。一方、$\mathcal{E}(\theta)$ は非負の局所マルチンゲールなので常に優マルチンゲールで、$\mathbb{E}\,\mathcal{E}(\theta)_T<1$ となる例もあります（Revuz–Yor 第 VIII 章）。そのときは $\mathcal{E}(\theta)_T\,d\mathbb{P}$ が確率測度にならず、次節の測度変換はできません。
</Remark>

## 4. Girsanov の定理

<Theorem id="thm-girsanov" title="Girsanov の定理">
$\theta$ を $\mathbb{R}^d$ 値の発展的可測過程で Novikov の条件（<Ref to="thm-novikov" />）を満たすもの（特に有界なもの）とします。$\mathcal{F}_T$ 上の測度 $\mathbb{Q}$ を
$$
\mathbb{Q}(A):=\mathbb{E}\bigl[\mathbf{1}_A\,\mathcal{E}(\theta)_T\bigr]\qquad(A\in\mathcal{F}_T)
$$
で定めます。このとき $\mathbb{Q}$ は $\mathbb{P}$ と互いに絶対連続な確率測度で、
$$
\tilde W_t:=W_t-\int_0^t\theta_u\,du\qquad(t\in[0,T])
$$
は $(\Omega,\mathcal{F}_T,\mathbb{Q})$ 上の $d$ 次元 $(\mathcal{F}_t)$-Brown 運動です。
</Theorem>

証明の方針です。Brown 運動であることは、[多次元伊藤公式の章](/mathematics/probability/multidimensional-ito-formula)の判定法により、増分の特性関数が $e^{-|u|^2(t-s)/2}$ になることに帰着します。$\mathbb{Q}$ のもとでの期待値は、密度 $\mathcal{E}(\theta)$ をかけた $\mathbb{P}$ のもとでの期待値です。そこで $e^{iu\cdot(\text{増分})}$ を $\mathcal{E}(\theta)$ にかけたものが、複素数値の確率指数 $\mathcal{E}(\theta+iu)$ に定数をかけた形になることを見ます。すると、あとは 3 節のマルチンゲール性を使うだけになります。

<Proof of="thm-girsanov">
$\mathbb{E}\,\mathcal{E}(\theta)_T=1$（<Ref to="thm-novikov" />）なので $\mathbb{Q}$ は確率測度で、$\mathcal{E}(\theta)_T>0$ なので $\mathbb{Q}(A)=0\iff\mathbb{P}(A)=0$ です。$\int_0^T|\theta|\,du\le(T\int_0^T|\theta|^2du)^{1/2}<\infty$ がほとんど確実に成り立つので、$\tilde W$ は連続な適合過程で $\tilde W_0=0$ です。<Ref to="mathematics/probability/multidimensional-ito-formula#def-bm-d" /> の条件 (3) を示せばよく、<Ref to="mathematics/probability/multidimensional-ito-formula#lem-cf-independence" />（確率空間 $(\Omega,\mathcal{F}_T,\mathbb{Q})$ で使います）により、$s<t$、$A\in\mathcal{F}_s$、$u\in\mathbb{R}^d$ について
$$
\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\bigl[\mathbf{1}_A\,e^{iu\cdot(\tilde W_t-\tilde W_s)}\bigr]=\mathbb{Q}(A)\,e^{-|u|^2(t-s)/2}
$$
を示せば十分です。

**$\theta$ が有界な場合（$|\theta|\le C$）。** $\varphi:=\theta+iu\mathbf{1}_{(s,t]}$ は有界な発展的可測過程です。指数を計算すると、$(\theta+iu)\cdot(\theta+iu)=|\theta|^2+2iu\cdot\theta-|u|^2$ から
$$
\mathcal{E}(\varphi)_t=\mathcal{E}(\theta)_t\exp\Bigl(iu\cdot(W_t-W_s)-i\int_s^tu\cdot\theta_r\,dr+\frac{|u|^2(t-s)}{2}\Bigr)=\mathcal{E}(\theta)_t\,e^{iu\cdot(\tilde W_t-\tilde W_s)}\,e^{|u|^2(t-s)/2},
$$
また $[0,s]$ 上では $\varphi=\theta$ なので $\mathcal{E}(\varphi)_s=\mathcal{E}(\theta)_s$ です。$\mathbf{1}_Ae^{iu\cdot(\tilde W_t-\tilde W_s)}$ は有界で $\mathcal{F}_t$-可測なので、$\mathcal{E}(\theta)$ のマルチンゲール性と <Ref to="mathematics/probability/conditional-expectation#thm-pullout" /> から
$$
\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\bigl[\mathbf{1}_Ae^{iu\cdot(\tilde W_t-\tilde W_s)}\bigr]=\mathbb{E}\bigl[\mathbf{1}_Ae^{iu\cdot(\tilde W_t-\tilde W_s)}\mathcal{E}(\theta)_t\bigr]=e^{-|u|^2(t-s)/2}\,\mathbb{E}\bigl[\mathbf{1}_A\mathcal{E}(\varphi)_t\bigr].
$$
<Ref to="thm-bounded-exponential" /> により $\mathbb{E}[\mathbf{1}_A\mathcal{E}(\varphi)_t]=\mathbb{E}[\mathbf{1}_A\mathcal{E}(\varphi)_s]=\mathbb{E}[\mathbf{1}_A\mathcal{E}(\theta)_s]=\mathbb{E}[\mathbf{1}_A\mathcal{E}(\theta)_T]=\mathbb{Q}(A)$ です（3 番目の等号も $\mathcal{E}(\theta)$ のマルチンゲール性）。

**Novikov の条件の場合。** $\theta^{(n)}=\theta\mathbf{1}_{\{|\theta|\le n\}}$ に有界な場合を適用すると、$Z^n:=\mathcal{E}(\theta^{(n)})_T$、$e_n:=e^{iu\cdot(W_t-W_s-\int_s^t\theta^{(n)}dr)}$ について $\mathbb{E}[\mathbf{1}_AZ^ne_n]=e^{-|u|^2(t-s)/2}\,\mathbb{E}[\mathbf{1}_AZ^n]$ です。<Ref to="thm-novikov" /> から $Z^n\to Z:=\mathcal{E}(\theta)_T$ が $L^1$ で成り立ち、$\int_s^t|\theta^{(n)}-\theta|dr\to0$（ほとんど確実）から $e_n\to e:=e^{iu\cdot(\tilde W_t-\tilde W_s)}$ がほとんど確実に成り立ちます。$|e_n|=|e|=1$ なので
$$
\bigl|\mathbb{E}[\mathbf{1}_AZ^ne_n]-\mathbb{E}[\mathbf{1}_AZe]\bigr|\le\mathbb{E}|Z^n-Z|+\mathbb{E}\bigl[Z|e_n-e|\bigr]\longrightarrow0
$$
（第 2 項は優収束定理）。右辺も同様に $\mathbb{E}[\mathbf{1}_AZ^n]\to\mathbb{Q}(A)$ なので、極限で求める等式が出ます。
</Proof>

<Figure caption="Girsanov の定理の 1 次元・定数ドリフト θ = ν の場合。測度を密度 exp(νW_T − ν²T/2) で取り替えると、W_T の分布 N(0, T)（左の曲線）は N(νT, T)（右の曲線）に平行移動する。形が変わらないことが、W − νt が新しい測度で Brown 運動であることの影である">
<svg viewBox="0 0 640 230" width="100%" role="img" aria-label="同じ形の二つの釣鐘曲線が右に平行移動している図">
  <line x1="30" y1="190" x2="610" y2="190" stroke="currentColor" stroke-width="1" />
  <polyline points="40.0,189.7 56.5,189.3 72.9,188.4 89.4,186.8 105.9,183.8 122.3,178.9 138.8,171.1 155.3,159.7 171.8,144.5 188.2,125.9 204.7,105.1 221.2,84.3 237.6,66.5 254.1,54.3 270.6,50.0 287.0,54.3 303.5,66.5 320.0,84.3 336.5,105.1 352.9,125.9 369.4,144.5 385.9,159.7 402.3,171.1 418.8,178.9 435.3,183.8 451.8,186.8 468.2,188.4 484.7,189.3 501.2,189.7 517.6,189.9 534.1,190.0 550.6,190.0 567.0,190.0 583.5,190.0 600.0,190.0" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="2" />
  <polyline points="40.0,190.0 56.5,190.0 72.9,190.0 89.4,190.0 105.9,190.0 122.3,189.9 138.8,189.7 155.3,189.3 171.8,188.4 188.2,186.8 204.7,183.8 221.2,178.9 237.6,171.1 254.1,159.7 270.6,144.5 287.0,125.9 303.5,105.1 320.0,84.3 336.5,66.5 352.9,54.3 369.4,50.0 385.9,54.3 402.3,66.5 418.8,84.3 435.3,105.1 451.8,125.9 468.2,144.5 484.7,159.7 501.2,171.1 517.6,178.9 534.1,183.8 550.6,186.8 567.0,188.4 583.5,189.3 600.0,189.7" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2" stroke-dasharray="7 4" />
  <line x1="270.6" y1="40" x2="270.6" y2="195" stroke="currentColor" stroke-width="0.8" stroke-dasharray="3 3" opacity="0.6" />
  <line x1="369.4" y1="40" x2="369.4" y2="195" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="0.8" stroke-dasharray="3 3" />
  <text x="264" y="212" font-size="13" fill="currentColor">0</text>
  <text x="356" y="212" font-size="13" fill="currentColor">νT</text>
  <text x="150" y="40" font-size="13" fill="currentColor">P のもとの W_T</text>
  <text x="400" y="40" font-size="13" fill="var(--sl-color-accent)">Q のもとの W_T</text>
</svg>
</Figure>

<Example id="ex-constant-drift" title="定数ドリフトの付け外し">
$d=1$、$\theta=\nu$（定数）とします。$\mathcal{E}(\nu)_T=e^{\nu W_T-\nu^2T/2}$ で、$\mathbb{Q}$ のもとで $W_t-\nu t$ は Brown 運動、つまり $W$ は「ドリフト $\nu$ を持つ Brown 運動」になります。逆向きに読めば、ドリフト $\nu$ の Brown 運動 $X_t=\beta_t+\nu t$ についての期待値は、ドリフトのない Brown 運動の期待値に密度をかけて計算できます。$t=T$ の 1 時点だけで確かめると、$f$ を有界可測として
$$
\mathbb{E}\bigl[f(W_T)\,e^{\nu W_T-\nu^2T/2}\bigr]=\int f(x)\,\frac{e^{-x^2/(2T)}e^{\nu x-\nu^2T/2}}{\sqrt{2\pi T}}\,dx=\int f(x)\,\frac{e^{-(x-\nu T)^2/(2T)}}{\sqrt{2\pi T}}\,dx
$$
で、右辺は $N(\nu T,T)$ に関する期待値です。Girsanov の定理は、この 1 次元分布の平方完成を、道全体の法則の等式に格上げしたものです。
</Example>

<Example id="ex-risk-neutral" title="リスク中立測度">
$dS_t=\mu S_t\,dt+\sigma S_t\,dW_t$（$\sigma>0$）を幾何 Brown 運動、$r$ を無リスク金利とします（<Ref to="mathematics/probability/stochastic-differential-equations#ex-gbm" />）。$\theta:=-(\mu-r)/\sigma$ は定数なので Novikov の条件を満たし、<Ref to="thm-girsanov" /> から $\tilde W_t=W_t+\frac{\mu-r}{\sigma}t$ は $\mathbb{Q}$-Brown 運動です。$dW=d\tilde W-\frac{\mu-r}{\sigma}dt$ を代入すると $dS_t=rS_t\,dt+\sigma S_t\,d\tilde W_t$ となり、$\mathbb{Q}$ のもとでは株価のドリフトが $r$ に置き換わります。陽な解から $e^{-rt}S_t=S_0\exp(\sigma\tilde W_t-\sigma^2t/2)$ は $\mathbb{Q}$-マルチンゲールです（<Ref to="thm-bounded-exponential" /> を $\mathbb{Q}$ と $\tilde W$ に適用）。これが確率微分方程式の章の注意 <Ref to="mathematics/probability/stochastic-differential-equations#rem-girsanov" /> で予告した測度の乗り換えの正当化です。
</Example>

<Corollary id="cor-cameron-martin" title="Cameron–Martin の定理">
$\dot h\in L^2([0,T];\mathbb{R}^d)$ を決定的な関数とし、$h(t)=\int_0^t\dot h(u)\,du$ とおきます。$C([0,T];\mathbb{R}^d)$ 上の座標写像が生成する σ-加法族について可測な有界関数 $F$ に対し
$$
\mathbb{E}\bigl[F(W+h)\bigr]=\mathbb{E}\Bigl[F(W)\exp\Bigl(\int_0^T\dot h(u)\cdot dW_u-\frac12\int_0^T|\dot h(u)|^2du\Bigr)\Bigr].
$$
特に、$W+h$ の法則は $W$ の法則（Wiener 測度）と互いに絶対連続です。
</Corollary>

<Proof of="cor-cameron-martin">
$\theta=\dot h$ は決定的なので発展的可測で、$\exp(\frac12\int|\dot h|^2)$ は定数ですから Novikov の条件を満たします。<Ref to="thm-girsanov" /> により、$\mathbb{Q}=\mathcal{E}(\dot h)_T\,\mathbb{P}$ のもとで $\tilde W=W-h$ は Brown 運動です。Brown 運動の有限次元分布は定義（独立な Gauss 増分）だけで決まるので、$\mathbb{Q}$ のもとでの $\tilde W$ と $\mathbb{P}$ のもとでの $W$ は、道の空間 $C([0,T];\mathbb{R}^d)$ 上で同じ有限次元分布を持ちます。有限個の座標で決まる集合（柱集合）は π-系で座標 σ-加法族を生成するので、<Ref to="mathematics/real-analysis/abstract-measures#thm-uniqueness-measures" /> により二つの法則は一致します。したがって
$$
\mathbb{E}\bigl[F(W)\,\mathcal{E}(\dot h)_T\bigr]=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[F(W)]=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[F(\tilde W+h)]=\mathbb{E}[F(W+h)]
$$
です。最後の等号で、$w\mapsto F(w+h)$ が座標 σ-加法族について可測であること（平行移動は各座標を平行移動するだけです）を使いました。互いの絶対連続性は、密度 $\mathcal{E}(\dot h)_T$ が正であることから従います。
</Proof>

<Remark id="rem-cameron-martin-space">
$\dot h\in L^2$ を満たす $h$ の全体を **Cameron–Martin 空間**と呼びます。$h$ がこの空間に入らない場合、たとえば $h$ が連続だが絶対連続でない場合には、$W+h$ と $W$ の法則は互いに特異になります（主張のみ。Gauss 測度の平行移動に関する Feldman–Hájek の二分法の特別な場合です）。Wiener 測度は「平行移動でほとんど変わらない方向」を、道の空間の中の測度 $0$ の部分空間（Cameron–Martin 空間）にしか持たない、ということです。[Gauss 解析の章](/physics/constructive-qft/gaussian-analysis) の <Ref to="physics/constructive-qft/gaussian-analysis#lem-bd-cameron-martin" /> は、ドリフトが区分定数の場合の同じ公式を、Gauss 密度の計算から直接示したものです。
</Remark>

## 5. マルチンゲール表現定理

この節では、フィルトレーションを Brown 運動自身が生成するものに限ります。$W$ を $d$ 次元 Brown 運動（成分は独立な標準 Brown 運動、<Ref to="mathematics/probability/martingales-and-brownian-motion#def-brownian" />）とし、$\mathcal{F}^W_t:=\sigma(W_r:r\le t)$ とおきます。$r_1<\dots<r_k\le s<t$ について $(W_{r_1},\dots,W_{r_k})$ は $[0,s]$ 上の増分の線形関数なので、独立増分性から $W_t-W_s$ と独立です。この形の事象は $\mathcal{F}^W_s$ を生成する π-系をなすので、<Ref to="mathematics/real-analysis/abstract-measures#thm-dynkin" /> により $W_t-W_s$ は $\mathcal{F}^W_s$ と独立で、$W$ は $(\mathcal{F}^W_t)$-Brown 運動です。前章と前節の結果は $(\mathcal{F}_t)=(\mathcal{F}^W_t)$ として使えます。

<Lemma id="lem-exp-representation" title="三角指数関数の確率積分表示">
$0=t_0<t_1<\dots<t_m=T$ を分割、$\lambda_0,\dots,\lambda_{m-1}\in\mathbb{R}^d$ とし、$\lambda(u)=\lambda_k$（$u\in(t_k,t_{k+1}]$）とおきます。
$$
\Psi_t:=\exp\Bigl(i\int_0^t\lambda(u)\cdot dW_u+\frac12\int_0^t|\lambda(u)|^2du\Bigr)
$$
は有界（$|\Psi_t|\le e^{\frac12\int_0^T|\lambda|^2}$）で、ほとんど確実に
$$
\Psi_T=1+\int_0^T\Psi_u\,i\lambda(u)\cdot dW_u
$$
が成り立ちます（右辺は実部と虚部それぞれが $\mathcal{L}^2_d$ の被積分過程による確率積分）。
</Lemma>

<Proof of="lem-exp-representation">
$k$ を固定し、$f(t,x)=\exp(i\lambda_k\cdot x+\frac12|\lambda_k|^2t)$ とおきます。実部 $\cos(\lambda_k\cdot x)e^{|\lambda_k|^2t/2}$ と虚部 $\sin(\lambda_k\cdot x)e^{|\lambda_k|^2t/2}$ は $[0,T]\times\mathbb{R}^d$ 上で $x$ についての 1 階・2 階導関数が有界で、$\partial_tf+\frac12\sum_a\partial_{aa}f=\frac12|\lambda_k|^2f-\frac12|\lambda_k|^2f=0$ です。<Ref to="mathematics/probability/multidimensional-ito-formula#thm-ito-multi" />（$X=W$、$\mu=0$、$\sigma=I_d$）を実部と虚部に適用して差を取ると、$t\in[t_k,t_{k+1}]$ について
$$
f(t,W_t)-f(t_k,W_{t_k})=\int_{t_k}^tf(u,W_u)\,i\lambda_k\cdot dW_u .
$$
$c_k:=\Psi_{t_k}/f(t_k,W_{t_k})$ は $|f|\ge1$ より有界で $\mathcal{F}_{t_k}$-可測、かつ $u\in[t_k,t_{k+1}]$ で $c_kf(u,W_u)=\Psi_u$ です。両辺に $c_k$ をかけて <Ref to="mathematics/probability/multidimensional-ito-formula#lem-integral-pullout" />（実部と虚部ごとに）を使うと $\Psi_{t_{k+1}}-\Psi_{t_k}=\int_{t_k}^{t_{k+1}}\Psi_u\,i\lambda_k\cdot dW_u$ です。$k$ について足せば主張が出ます。
</Proof>

<Theorem id="thm-martingale-representation" title="伊藤のマルチンゲール表現定理">
$F\in L^2(\Omega,\mathcal{F}^W_T,\mathbb{P})$ とします。このとき $(\mathcal{F}^W_t)$ について発展的可測な $H\in\mathcal{L}^2_d$ がただ一つ（$du\otimes d\mathbb{P}$-a.e. の意味で）存在して
$$
F=\mathbb{E}[F]+\int_0^TH_u\cdot dW_u\quad\text{a.s.}
$$
</Theorem>

証明の方針です。確率積分で書ける量全体 $\mathcal{R}$ が $L^2$ の閉部分空間であることを示し、$\mathcal{R}$ と直交するものが $0$ しか無いことを示します。すると $\mathcal{R}$ は $L^2$ 全体に等しくなります。直交するものが $0$ だけであることは、$\exp(i\sum\lambda_k\cdot\Delta_k)$ の形の量が $\mathcal{R}$ に入ることと、特性関数が分布を決める性質（一意性）から出ます。$Y$ を正部分と負部分に分けて測度を作るのは、一意性定理を（符号の付かない）確率測度に当てはめるためです。

<Proof of="thm-martingale-representation">
**表現できるものの全体は閉部分空間。** $\mathcal{R}:=\{c+\int_0^TH\cdot dW:c\in\mathbb{R},\ H\in\mathcal{L}^2_d\}\subset L^2(\Omega,\mathcal{F}^W_T)$ とおきます。確率積分の平均は $0$ なので、<Ref to="mathematics/probability/multidimensional-ito-formula#lem-cross-isometry" /> から
$$
\Bigl\|c+\int_0^TH\cdot dW\Bigr\|_{L^2}^2=c^2+\mathbb{E}\int_0^T|H_u|^2du .
$$
つまり $(c,H)\mapsto c+\int H\cdot dW$ は Hilbert 空間 $\mathbb{R}\oplus\mathcal{L}^2_d$ からの等長線形写像で、その像 $\mathcal{R}$ は完備、したがって閉です。表現の一意性もこの等長性から従います。

**直交補空間は $\{0\}$。** $Y\in L^2(\Omega,\mathcal{F}^W_T)$ が $\mathcal{R}$ と直交するとします。<Ref to="lem-exp-representation" /> により $\Psi_T$ の実部と虚部は $\mathcal{R}$ に属し、$\Psi_T=e^{i\sum_k\lambda_k\cdot\Delta_k}\cdot e^{\frac12\sum_k|\lambda_k|^2(t_{k+1}-t_k)}$（$\Delta_k=W_{t_{k+1}}-W_{t_k}$）なので
$$
\mathbb{E}\Bigl[Y\exp\Bigl(i\sum_{k}\lambda_k\cdot\Delta_k\Bigr)\Bigr]=0\qquad(\lambda_0,\dots,\lambda_{m-1}\in\mathbb{R}^d)
$$
です。$\mathbb{R}^{md}$ 上の有限測度 $\nu_\pm(B):=\mathbb{E}[Y^\pm\mathbf{1}_B(\Delta_0,\dots,\Delta_{m-1})]$ を考えると、上の式は $\nu_+$ と $\nu_-$ の Fourier 変換が一致することを言っています。$\lambda=0$ として総質量も一致し、それが $0$ なら $Y=0$ で終わりです。そうでなければ総質量で割った確率測度に <Ref to="mathematics/probability/characteristic-functions-gaussian#thm-uniqueness" /> を使い、$\nu_+=\nu_-$、すなわち $\mathbb{E}[Y\mathbf{1}_B(\Delta_0,\dots,\Delta_{m-1})]=0$ を得ます。$(W_{t_1},\dots,W_{t_m})$ は増分の可逆な線形関数なので、$\mathbb{E}[Y\mathbf{1}_A]=0$ が $A\in\sigma(W_{t_1},\dots,W_{t_m})$ について成り立ちます。

$T$ を含む有限個の時刻 $\{t_1,\dots,t_m\}\subset(0,T]$ を動かしたこれらの σ-加法族の和集合は π-系で（二つの有限集合の和集合も有限集合です。$T$ を含まない時刻の組は $T$ を足しても σ-加法族が大きくなるだけです）、$\mathcal{F}^W_T$ を生成します。$\{A\in\mathcal{F}^W_T:\mathbb{E}[Y\mathbf{1}_A]=0\}$ は λ-系です（増大列の和には優収束定理を使います）。<Ref to="mathematics/real-analysis/abstract-measures#thm-dynkin" /> によりすべての $A\in\mathcal{F}^W_T$ で $\mathbb{E}[Y\mathbf{1}_A]=0$ で、$A=\{Y>0\}$、$\{Y<0\}$ と取って $Y=0$ a.s. です。

**結論。** 閉部分空間 $\mathcal{R}$ の直交補空間が $\{0\}$ なので、射影定理（<Ref to="mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#thm-projection" />）から $\mathcal{R}=L^2(\Omega,\mathcal{F}^W_T)$ です。$F=c+\int H\cdot dW$ の期待値を取れば $c=\mathbb{E}F$ です。
</Proof>

<Corollary id="cor-martingale-representation" title="Brown フィルトレーションのマルチンゲール">
$(M_t)_{t\in[0,T]}$ を二乗可積分な $(\mathcal{F}^W_t)$-マルチンゲールとします。このとき $H\in\mathcal{L}^2_d$ が存在して、各 $t$ についてほとんど確実に
$$
M_t=\mathbb{E}[M_T]+\int_0^tH_u\cdot dW_u
$$
が成り立ちます。特に $M$ は連続な道を持つバージョンを持ちます。
</Corollary>

<Proof of="cor-martingale-representation">
<Ref to="thm-martingale-representation" /> を $F=M_T$ に適用します。マルチンゲール性と、確率積分のマルチンゲール性（<Ref to="mathematics/probability/stochastic-differential-equations#thm-ito-integral" />、成分ごと）から
$$
M_t=\mathbb{E}[M_T\mid\mathcal{F}^W_t]=\mathbb{E}[M_T]+\mathbb{E}\Bigl[\int_0^TH\cdot dW\Bigm|\mathcal{F}^W_t\Bigr]=\mathbb{E}[M_T]+\int_0^tH\cdot dW .
$$
右辺は連続なバージョンです。
</Proof>

<Example id="ex-representation-cos" title="cos W_T の表現">
$d=1$ とし、$f(t,x)=\cos(x)\,e^{(t-T)/2}$ とおくと $\partial_tf+\frac12\partial_{xx}f=0$ で、$x$ についての導関数は有界です。<Ref to="mathematics/probability/multidimensional-ito-formula#thm-ito-multi" /> から
$$
\cos W_T=e^{-T/2}-\int_0^T\sin(W_u)\,e^{-(T-u)/2}\,dW_u .
$$
被積分過程 $H_u=-\sin(W_u)e^{-(T-u)/2}$ は、時刻 $u$ から先の揺らぎを平均した $\mathbb{E}[\cos W_T\mid\mathcal{F}_u]=\cos(W_u)e^{-(T-u)/2}$ の $W_u$ による微分になっています。一般に $F=g(W_T)$ なら $H_u=\partial_x\mathbb{E}[g(x+W_T-W_u)]|_{x=W_u}$ で、これは Malliavin 解析の Clark–Ocone 公式 $H_u=\mathbb{E}[D_uF\mid\mathcal{F}_u]$ の特別な場合です（主張のみ。Malliavin 微分は [Gauss 解析の章](/physics/constructive-qft/gaussian-analysis) を参照）。
</Example>

<Remark id="rem-representation-filtration">
フィルトレーションが Brown 運動の生成するものであることは本質的です。たとえば $W$ と独立な確率変数を時刻 $0$ から知っているフィルトレーションでは表現は成り立ちません（<Ref to="exr-representation-fails" />）。また、表現定理は存在だけを述べていて、$H$ の計算法は与えません。$H$ を具体的に求めるには、上の例のように伊藤公式を使うか、Clark–Ocone 公式を使います。

[Gauss 解析の章](/physics/constructive-qft/gaussian-analysis) の Boué–Dupuis の変分公式の標準的な証明では、最適な測度の密度マルチンゲール $M_t$ を <Ref to="cor-martingale-representation" /> で $M_t=1+\int_0^t\phi\cdot dW$ と書き、$M>0$ のもとで $M_t=\mathcal{E}(\phi/M)_t$ と書き直して、<Ref to="thm-girsanov" /> でドリフト $\phi/M$ を取り出します（$\phi/M$ は一般に $\mathcal{L}^2_d$ にも Novikov の条件にも収まらないので、実際には停止時刻による局所化を併用します）。二つの定理がここで組み合わさります。
</Remark>

## 6. 演習

<Exercise id="exr-shifted-moment" difficulty="易">
$d=1$、$\nu\in\mathbb{R}$ とします。<Ref to="thm-girsanov" /> を使って $\mathbb{E}\bigl[W_T^2\,e^{\nu W_T-\nu^2T/2}\bigr]=T+\nu^2T^2$ を示し、$W_T\sim N(0,T)$ の密度による直接計算でも確かめてください。
<Solution>
$\mathbb{Q}=\mathcal{E}(\nu)_T\,\mathbb{P}$ のもとで $\tilde W_T=W_T-\nu T\sim N(0,T)$ なので、$\mathbb{E}[W_T^2\,\mathcal{E}(\nu)_T]=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[(\tilde W_T+\nu T)^2]=T+\nu^2T^2$ です（交差項の $\mathbb{Q}$-期待値は $0$）。ここで $W_T^2$ は有界でないので、$W_T^2\wedge N$ に適用して単調収束定理で $N\to\infty$ とします。直接計算では、<Ref to="ex-constant-drift" /> の平方完成により左辺は $N(\nu T,T)$ の 2 次モーメント $T+(\nu T)^2$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-bayes-formula" difficulty="標準">
<Ref to="thm-girsanov" /> の状況で $Z_t=\mathcal{E}(\theta)_t$ とします。$0\le s\le t\le T$、$X$ を $\mathcal{F}_t$-可測で $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}|X|<\infty$ とすると
$$
\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[X\mid\mathcal{F}_s]=\frac{\mathbb{E}[XZ_t\mid\mathcal{F}_s]}{Z_s}\quad\mathbb{Q}\text{-a.s.}
$$
を示してください。これを使って、適合過程 $(Y_t)$ が $\mathbb{Q}$-マルチンゲールであることと $(Y_tZ_t)$ が $\mathbb{P}$-マルチンゲールであることが同値であることを示してください。
<Solution>
$Z$ はマルチンゲールなので $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}|X|=\mathbb{E}[|X|Z_T]=\mathbb{E}[|X|Z_t]$（タワー則）で、$XZ_t$ は $\mathbb{P}$-可積分です。右辺 $R:=\mathbb{E}[XZ_t\mid\mathcal{F}_s]/Z_s$ は $\mathcal{F}_s$-可測です（$Z_s>0$）。$A\in\mathcal{F}_s$ について
$$
\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[\mathbf{1}_AR]=\mathbb{E}[\mathbf{1}_ARZ_T]=\mathbb{E}[\mathbf{1}_ARZ_s]=\mathbb{E}\bigl[\mathbf{1}_A\,\mathbb{E}[XZ_t\mid\mathcal{F}_s]\bigr]=\mathbb{E}[\mathbf{1}_AXZ_t]=\mathbb{E}[\mathbf{1}_AXZ_T]=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[\mathbf{1}_AX]
$$
です（2 番目と 5 番目の等号は $Z$ のマルチンゲール性とタワー則、ただし 2 番目は $R$ が非負でない場合 $R^\pm$ に分けて単調収束定理で近似します）。よって $R=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[X\mid\mathcal{F}_s]$ です。後半: $Y$ が $\mathbb{Q}$-マルチンゲール $\iff$ $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[Y_t\mid\mathcal{F}_s]=Y_s$ $\iff$ $\mathbb{E}[Y_tZ_t\mid\mathcal{F}_s]=Y_sZ_s$ で、可積分性も $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}|Y_t|=\mathbb{E}|Y_tZ_t|$ で対応します。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-representation-fails" difficulty="標準">
$\xi$ を $W$ と独立で $\mathbb{P}(\xi=1)=\mathbb{P}(\xi=-1)=\frac12$ なる確率変数とし、$\mathcal{G}_t:=\sigma(\xi)\vee\mathcal{F}^W_t$ とおきます。$W$ が $(\mathcal{G}_t)$-Brown 運動であることを確かめ、$\xi\in L^2(\mathcal{G}_T)$ は $(\mathcal{G}_t)$ に関して発展的可測なある $H\in\mathcal{L}^2$ によって $\xi=\mathbb{E}\xi+\int_0^TH\,dW$ と書けないことを示してください。
<Solution>
$\sigma(\xi)$ と $\mathcal{F}^W_T$ は独立なので、$W_t-W_s$ は $\sigma(\xi)\vee\mathcal{F}^W_s$ と独立です（$\{\xi=\pm1\}\cap A$, $A\in\mathcal{F}^W_s$ の形の事象の π-系で <Ref to="mathematics/real-analysis/abstract-measures#thm-dynkin" /> を使います）。よって $W$ は $(\mathcal{G}_t)$-Brown 運動で、伊藤積分 $\int H\,dW$ は $(\mathcal{G}_t)$-マルチンゲールです。$\xi=0+\int_0^TH\,dW$ と書けたとすると、$\xi$ は $\mathcal{G}_0$-可測なので
$$
1=\mathbb{E}[\xi^2]=\mathbb{E}\Bigl[\xi\int_0^TH\,dW\Bigr]=\mathbb{E}\Bigl[\xi\,\mathbb{E}\Bigl[\int_0^TH\,dW\Bigm|\mathcal{G}_0\Bigr]\Bigr]=0
$$
となり矛盾します（<Ref to="mathematics/probability/conditional-expectation#thm-pullout" />）。$\mathcal{G}_0$ が自明でないことが、<Ref to="cor-martingale-representation" /> で $M_0$ が定数になる議論を壊しています。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-novikov-gaussian" difficulty="難">
$d=1$ とし、$\theta_u=\alpha W_u$（$\alpha>0$ は定数）とします。$\int_0^T W_u^2\,du\le T\sup_{u\le T}W_u^2$ と、反射原理から従う不等式 $\mathbb{P}(\sup_{u\le T}|W_u|>x)\le4\,\mathbb{P}(W_T>x)$（主張のみ使ってよい）を用いて、$\alpha T<1$ なら Novikov の条件が成り立つことを示してください。そのとき $\tilde W_t=W_t-\alpha\int_0^tW_u\,du$ が $\mathbb{Q}$-Brown 運動になることは、$W$ が $\mathbb{Q}$ のもとでどんな方程式を満たすことを意味しますか。
<Solution>
$S=\sup_{u\le T}|W_u|$ とおくと $\frac12\int_0^T\alpha^2W_u^2du\le\frac12\alpha^2TS^2$ です。$\mathbb{E}e^{bS^2}=1+\int_0^\infty2bx\,e^{bx^2}\mathbb{P}(S>x)\,dx\le1+4\int_0^\infty2bx\,e^{bx^2}\mathbb{P}(W_T>x)\,dx$ です（Fubini の定理による層ごとの積分）。Chernoff の評価 $\mathbb{P}(W_T>x)\le e^{-\lambda x}\,\mathbb{E}e^{\lambda W_T}=e^{-\lambda x+\lambda^2T/2}$ で $\lambda=x/T$ と取ると $\mathbb{P}(W_T>x)\le e^{-x^2/(2T)}$ なので、$b<1/(2T)$ なら右辺は有限です。$b=\frac12\alpha^2T$ とすると条件 $b<1/(2T)$ は $\alpha^2T^2<1$、すなわち $\alpha T<1$ です。（$\sup$ で抑えずに $\int_0^TW_u^2\,du$ の指数モーメントを直接計算すると、$\mathbb{E}\exp(\frac12\alpha^2\int_0^TW_u^2\,du)<\infty$ は $\alpha T<\pi/2$ と同値であることが知られています。）このとき <Ref to="thm-girsanov" /> から $W_t=\tilde W_t+\alpha\int_0^tW_u\,du$、すなわち $\mathbb{Q}$ のもとで $W$ は $dW_t=\alpha W_t\,dt+d\tilde W_t$ を満たす（反発的な）Ornstein–Uhlenbeck 過程です。測度の変換によって、Brown 運動の道に線形のドリフトを持たせることができます。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- I. V. Girsanov, "On transforming a certain class of stochastic processes by absolutely continuous substitution of measures", *Theory of Probability and Its Applications* 5 (1960), 285–301.
- A. A. Novikov, "On an identity for stochastic integrals", *Theory of Probability and Its Applications* 17 (1972), 717–720.
- R. H. Cameron, W. T. Martin, "Transformations of Wiener integrals under translations", *Annals of Mathematics* 45 (1944), 386–396.
- I. Karatzas, S. E. Shreve, *Brownian Motion and Stochastic Calculus*, 2nd ed., Springer, 1991 — 第 3.4 節（マルチンゲール表現）、第 3.5 節（Girsanov の定理と Novikov の条件）。
- D. Revuz, M. Yor, *Continuous Martingales and Brownian Motion*, 3rd ed., Springer, 1999 — 第 V 章（表現定理）、第 VIII 章（Girsanov の定理、Novikov・Kazamaki の条件）。
- J.-F. Le Gall, *Brownian Motion, Martingales, and Stochastic Calculus*, Springer, 2016 — 第 5 章（Girsanov の定理、Cameron–Martin の定理、マルチンゲール表現定理）。