# エルゴード定理：測度保存系・混合・von Neumann と Birkhoff の定理

> 測度保存系とエルゴード性・混合を定義し、無理数回転・2 倍写像・Bernoulli シフトで確かめる。von Neumann の平均エルゴード定理、最大エルゴード補題と Birkhoff の各点エルゴード定理を証明し、大数の強法則を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/probability/ergodic-theorems

## 0. この記事の要点

ある規則で点を動かし続けたとき、1 つの点の動きを長く平均したものと、空間全体の平均とは、いつ同じになるでしょうか。この記事は、その問いに答える 2 つの定理（時間平均が収束する、その極限が空間平均になる）を、例を確かめながら証明します。読み終えると、サイコロを何度も振った平均が期待値に近づく大数の強法則が、この一般論の特別な場合として出てくることが分かります。以下の要点は全体の見取り図なので、用語が分からなくても先へ進んでかまいません。

- 確率空間 $(X,\mathcal{B},\mu)$ 上の可測写像 $T$ が $\mu(T^{-1}A)=\mu(A)$ を満たすとき**測度保存系**といいます。$T$ で動かしても消えない集合が自明なものだけのとき**エルゴード的**といい、これは「$T$ 不変な関数は定数だけ」と同値です。
- 円の無理数回転はエルゴード的ですが混合的ではありません。2 倍写像と Bernoulli シフトは混合的です。どれも Fourier 展開か「柱集合による近似」（座標を有限個だけ指定して決まる集合で、全体を近似すること）で示せます。
- **von Neumann の平均エルゴード定理**: [Hilbert 空間](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-hilbert-space)の縮小作用素（ノルムを増やさない線形作用素）$V$ について、$\frac1n\sum_{k<n}V^kx$ は不動点空間への[直交射影](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-orthogonal-projection) $Px$ にノルム収束します。証明は $\mathcal{H}=\ker(I-V)\oplus\overline{\mathrm{Ran}(I-V)}$ という分解だけです。
- **Birkhoff の各点エルゴード定理**: $f\in L^1(\mu)$ の時間平均 $\frac1n\sum_{k<n}f(T^kx)$ はほとんどすべての $x$ で収束し、極限は不変 σ-加法族への[条件付き期待値](/mathematics/probability/conditional-expectation#def-cond-exp) $E[f\mid\mathcal{I}]$ です。エルゴード的なら極限は空間平均 $\int f\,d\mu$ です。鍵は**最大エルゴード補題**（Garsia の 3 行の証明）です。
- 応用として、独立同分布の確率変数列の大数の強法則が Bernoulli シフトのエルゴード性から従います。次章では、この定理を劣加法的な列に拡張して Lyapunov 指数を扱います。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **Hilbert 空間**: 内積をもち、そこから決まる距離で完備な線形空間。→ [Hilbert 空間](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-hilbert-space)
- **直交射影**: 閉部分空間への、最も近い点を対応させる写像。→ [直交射影](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-orthogonal-projection)
- **正規直交基底**: 長さ 1 で互いに直交するベクトルの組で、すべてのベクトルをその線形結合の極限で表せるもの。→ [正規直交基底](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-orthonormal-system)
- **条件付き期待値**: 部分 σ-加法族に属する集合の上では、元の関数と同じ積分をもつ、部分 σ-加法族に関して可測な関数。→ [条件付き期待値](/mathematics/probability/conditional-expectation#def-cond-exp)
- **直積 σ-加法族**: 座標写像がすべて可測になる最小の σ-加法族。→ [直積 σ-加法族](/mathematics/real-analysis/product-measures-fubini#def-product-sigma)
- **概収束**: ほとんどすべての点で値が収束すること。→ [概収束](/mathematics/probability/limit-theorems#def-convergence-ae)

</Aside>

## 1. 動機

気体の分子を 1 つ追いかけ、ある量（たとえば運動エネルギー）を長い時間にわたって平均したもの（**時間平均**）と、ある瞬間にすべての分子について平均したもの（**空間平均**、相平均）は一致するでしょうか。Boltzmann は統計力学の基礎づけにこの一致を仮定しました（エルゴード仮説）。これを数学の問題にしたのが 1931〜32 年の von Neumann と Birkhoff の定理で、「軌道がほとんどすべての点で空間全体をまんべんなく訪れる」ための条件として**エルゴード性**を取り出しました。

確率論から見ると、エルゴード定理は大数の強法則の一般化です。独立同分布の列 $X_1,X_2,\dots$ は、列全体の空間 $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ の上で「1 つずらす」写像（シフト）の軌道とみなせます。独立性は使わず、ずらしても分布が変わらない（定常性）ことと、不変な事象が自明であること（エルゴード性）だけで、標本平均の概収束が言えます。

この章の結果は、準周期的な Schrödinger 作用素（[Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素](/mathematics/spectral-scattering/harper-almost-mathieu)）で、位相 $\theta$ を $\theta+\alpha$ に動かす無理数回転の上の「転送行列の積」を調べるときの土台になります。

## 2. 測度保存系

以下 $(X,\mathcal{B},\mu)$ は確率空間（$\mu(X)=1$）です。

<Definition id="def-mps" title="測度保存系">
可測写像 $T:X\to X$ がすべての $A\in\mathcal{B}$ について $\mu(T^{-1}A)=\mu(A)$ を満たすとき、$T$ は $\mu$ を**保存する**といい、$(X,\mathcal{B},\mu,T)$ を**測度保存系**という。$T^0=\mathrm{id}$、$T^{n}=T\circ T^{n-1}$ とし、可測関数 $f$ について
$$
S_nf=\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^k,\qquad A_nf=\frac1nS_nf\quad(n\ge1),\qquad S_0f=0
$$
を **Birkhoff 和**、**Birkhoff 平均**（時間平均）という。
</Definition>

$T$ が可逆である必要はありません。条件は逆像 $T^{-1}A$ について書かれていて、これは「$T$ で 1 歩進んだ後に $A$ にいる点の集合」です。

<Lemma id="lem-integral-invariance" title="積分の不変性と Koopman 作用素">
$(X,\mathcal{B},\mu,T)$ を測度保存系とする。

1. 可測関数 $f:X\to[0,\infty]$ について $\int f\circ T\,d\mu=\int f\,d\mu$。
2. $f\in L^1(\mu)$ なら $f\circ T\in L^1(\mu)$ で $\int f\circ T\,d\mu=\int f\,d\mu$。
3. $1\le p<\infty$ について $U_Tf=f\circ T$ は $L^p(\mu)$ 上の well-defined な線形等長作用素である。特に $\|A_nf\|_p\le\|f\|_p$。
</Lemma>

<Proof of="lem-integral-invariance">
1。$f=\mathbf{1}_A$ なら $\mathbf{1}_A\circ T=\mathbf{1}_{T^{-1}A}$ で、両辺は $\mu(T^{-1}A)=\mu(A)$ です。非負単関数については線形性から従います。一般の $f$ には単関数近似定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-simple-approx" />）で $0\le s_k\uparrow f$ を取ると $s_k\circ T\uparrow f\circ T$ なので、単調収束定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-mct" />）で両辺の極限を取れます。

2。$f=f^+-f^-$ に分けて 1 を使います。

3。$f=g$ a.e. なら $\{f\circ T\ne g\circ T\}=T^{-1}\{f\ne g\}$ は測度 $0$ なので、$U_T$ は同値類の上で定まります。1 を $|f|^p$ に使うと $\|f\circ T\|_p=\|f\|_p$ です。$A_nf$ については Minkowski の不等式（<Ref to="mathematics/real-analysis/lp-spaces#thm-minkowski" />）から $\|A_nf\|_p\le\frac1n\sum_{k<n}\|f\circ T^k\|_p=\|f\|_p$ です。
</Proof>

$U_T$ を **Koopman 作用素**といいます。非線形な写像 $T$ を、関数空間の上の線形作用素に置き換えるのがエルゴード理論の基本的な発想です。

<Example id="ex-rotation" title="円の回転">
$\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ を $[0,1)$ と同一視し、Lebesgue 測度 $m$ を入れます。$\alpha\in\mathbb{R}$ について $R_\alpha x=x+\alpha\pmod 1$ とすると、$R_\alpha^{-1}A$ は $A$ を $-\alpha$ だけ平行移動して $[0,1)$ に折り返した集合で、Lebesgue 測度の平行移動不変性から $m(R_\alpha^{-1}A)=m(A)$ です。
</Example>

<Example id="ex-doubling" title="2 倍写像">
$D x=2x\pmod1$ を $[0,1)$ 上で考えます。区間について $D^{-1}[a,b)=[\tfrac a2,\tfrac b2)\cup[\tfrac{a+1}2,\tfrac{b+1}2)$ なので $m(D^{-1}[a,b))=b-a$ です。区間 $[a,b)$（と空集合）は π-系で Borel 集合族を生成するので、測度の一意性（<Ref to="mathematics/real-analysis/abstract-measures#thm-uniqueness-measures" />）から $m\circ D^{-1}=m$ です。$D$ は 2 対 1 で可逆ではありません。$x$ の 2 進展開 $x=0.x_1x_2x_3\dots$ に対して $Dx=0.x_2x_3\dots$ なので、$D$ は「2 進展開の桁を 1 つずらす」写像です。
</Example>

次の補題は、コインを無限回投げる試行のように、無限個の座標をもつ空間に測度を入れる話です。座標を最初の $m$ 個だけ指定した集合（柱集合）の測度を $\nu^{\otimes m}$ で決めておき、それを全体へ延ばすのが Kolmogorov の拡張定理の役目です。

<Lemma id="lem-bernoulli-shift" title="Bernoulli シフトの構成">
$\nu$ を $\mathbb{R}$ 上の確率測度、$\Omega=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$、$\mathcal{F}$ を座標写像 $x\mapsto x_k$ で生成される直積 σ-加法族とする。$\mathcal{F}$ 上の確率測度 $P$ で、任意の $m$ と Borel 集合 $B\subset\mathbb{R}^m$ について $P(\{(x_1,\dots,x_m)\in B\})=\nu^{\otimes m}(B)$ を満たすもの $P=\nu^{\otimes\mathbb{N}}$ がただ 1 つ存在する。さらに**シフト** $\sigma(x)_k=x_{k+1}$ は可測で $P\circ\sigma^{-1}=P$ を満たす。
</Lemma>

<Proof of="lem-bernoulli-shift">
有限集合 $J\subset\mathbb{N}$ ごとの積測度 $\mu_J=\nu^{\otimes J}$（<Ref to="mathematics/real-analysis/product-measures-fubini#thm-product-measure" />）は、$J\subset J'$ のとき $\mu_{J'}$ の $\mathbb{R}^J$ への周辺分布が $\mu_J$ になる（余分な座標で全空間 $\mathbb{R}$ を取れば $\nu(\mathbb{R})=1$ が掛かるだけ）ので整合的です。Kolmogorov の拡張定理（<Ref to="mathematics/probability/kolmogorov-extension#thm-kolmogorov-extension" />）から、柱集合の上で $\mu_J$ と一致する確率測度 $P$ が $\mathcal{F}$ 上にただ 1 つあります。

$\sigma$ の可測性は、$x_k\circ\sigma=x_{k+1}$ が各 $k$ で可測であることから従います。柱集合 $C=\{(x_1,\dots,x_m)\in B\}$ について $\sigma^{-1}C=\{(x_2,\dots,x_{m+1})\in B\}$ で、$P$ の下での座標 $(x_2,\dots,x_{m+1})$ の分布は $\mu_{\{2,\dots,m+1\}}=\nu^{\otimes m}$ なので $P(\sigma^{-1}C)=\nu^{\otimes m}(B)=P(C)$ です。柱集合の全体は代数（特に π-系）で $\mathcal{F}$ を生成するので、測度の一意性（<Ref to="mathematics/real-analysis/abstract-measures#thm-uniqueness-measures" />）から $P\circ\sigma^{-1}=P$ です。
</Proof>

<Example id="ex-bernoulli" title="Bernoulli シフト">
<Ref to="lem-bernoulli-shift" /> の $(\mathbb{R}^{\mathbb{N}},\mathcal{F},\nu^{\otimes\mathbb{N}},\sigma)$ を **Bernoulli シフト**とよびます。座標 $x_1,x_2,\dots$ は $P$ の下で独立で、各々の分布は $\nu$ です。シフトは「1 回分の試行を忘れて次から数え直す」操作で、測度保存系の最も基本的な例です。$\nu$ が 2 点 $\{0,1\}$ に重み $\frac12$ ずつ乗る場合は、2 倍写像と（零集合を除いて）同じものです。
</Example>

測度保存性だけから、すでに次の定性的な結論が出ます。

<Theorem id="thm-poincare" title="Poincaré の回帰定理">
$(X,\mathcal{B},\mu,T)$ を測度保存系、$A\in\mathcal{B}$ とする。ほとんどすべての $x\in A$ について、$T^nx\in A$ となる $n\ge1$ が無限個ある。
</Theorem>

<Proof of="thm-poincare">
$B=A\setminus\bigcup_{n\ge1}T^{-n}A$（$A$ から出て二度と戻らない点）とおきます。$0\le n<m$ で $x\in T^{-n}B\cap T^{-m}B$ なら、$y=T^nx\in B$ かつ $T^{m-n}y\in B\subset A$ で、$y\in B$ に反します。よって $B,T^{-1}B,T^{-2}B,\dots$ は互いに素で、どれも測度 $\mu(B)$ です。和の測度は $1$ 以下なので $\mu(B)=0$ です。

$x\in A$ が有限回しか戻らないとし、最後に $A$ にいた時刻を $m\ge0$ とすると、$T^mx\in B$ です。したがってそのような $x$ は $\bigcup_{m\ge0}T^{-m}B$ に入り、これは零集合の可算和で零集合です。
</Proof>

有限測度が本質的です。$\mathbb{R}$ 上の平行移動 $x\mapsto x+1$ は Lebesgue 測度を保ちますが、$[0,1)$ の点は二度と戻りません。

## 3. エルゴード性と混合

<Definition id="def-ergodic" title="不変集合とエルゴード性">
$(X,\mathcal{B},\mu,T)$ を測度保存系とする。$T^{-1}A=A$ を満たす $A\in\mathcal{B}$ を**不変集合**といい、その全体を $\mathcal{I}$ と書く（逆像は集合演算と可換なので $\mathcal{I}$ は σ-加法族である）。すべての $A\in\mathcal{I}$ が $\mu(A)\in\{0,1\}$ を満たすとき、$T$（または $\mu$）は**エルゴード的**であるという。
</Definition>

不変集合が測度 $0$ と $1$ の中間にあれば、$X$ は互いに行き来しない 2 つの部分に分かれ、その両方で別々に時間平均を取ることになります。エルゴード性はそれが起きないという条件です。実際に使うときは「ほとんど不変」な集合や関数で十分なことを、次の補題で保証しておきます。

この補題のねらいは、測度 $0$ の違いを無視してよい「ほとんど不変」な集合を、本当に不変な集合に取り替えられると示すことです。そうすると、エルゴード性を確かめるときに、厳密な不変性まで要求しなくてすみます。

<Lemma id="lem-mod-zero" title="ほとんど不変な集合">
$A\in\mathcal{B}$ が $\mu(T^{-1}A\,\triangle\,A)=0$ を満たすなら、$A_\infty=\bigcap_{N\ge1}\bigcup_{n\ge N}T^{-n}A$ は不変集合で、$\mu(A\,\triangle\,A_\infty)=0$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-mod-zero">
$T^{-k}$ は対称差と可換なので、測度保存性から $\mu(T^{-(k+1)}A\,\triangle\,T^{-k}A)=\mu(T^{-k}(T^{-1}A\,\triangle\,A))=0$ です。三角不等式 $C\,\triangle\,E\subset(C\,\triangle\,D)\cup(D\,\triangle\,E)$ を繰り返して $\mu(T^{-n}A\,\triangle\,A)\le\sum_{k<n}\mu(T^{-(k+1)}A\,\triangle\,T^{-k}A)=0$ です。$x\in A_\infty\setminus A$ なら $x\in T^{-n}A\setminus A$ となる $n$ があり、$x\in A\setminus A_\infty$ なら十分大きいすべての $n$ で $x\in A\setminus T^{-n}A$ です。どちらも $\bigcup_n(T^{-n}A\,\triangle\,A)$ に入るので、$\mu(A\,\triangle\,A_\infty)=0$ です。最後に $T^{-1}A_\infty=\bigcap_N\bigcup_{n\ge N}T^{-(n+1)}A=A_\infty$ です。
</Proof>

<Proposition id="prop-ergodic-equivalent" title="エルゴード性の言い換え">
測度保存系について次は同値である。

1. $T$ はエルゴード的である。
2. $\mu(T^{-1}A\,\triangle\,A)=0$ なる $A\in\mathcal{B}$ はすべて $\mu(A)\in\{0,1\}$ を満たす。
3. 可測関数 $f:X\to\mathbb{R}$ が $f\circ T=f$ a.e. を満たせば、$f$ は a.e. で定数である。
4. $f\in L^2(\mu)$（複素数値）が $U_Tf=f$ を満たせば、$f$ は a.e. で定数である。
</Proposition>

<Proof of="prop-ergodic-equivalent">
1 ⇒ 2：<Ref to="lem-mod-zero" /> の $A_\infty$ は不変集合なので $\mu(A)=\mu(A_\infty)\in\{0,1\}$ です。

2 ⇒ 3：$c\in\mathbb{R}$ について $T^{-1}\{f>c\}=\{f\circ T>c\}$ は $\{f>c\}$ と零集合しか違わないので、$\mu(f>c)\in\{0,1\}$ です。$\varphi(c)=\mu(f>c)$ は単調減少で、$f$ が実数値なので測度の連続性から $c\to-\infty$ で $1$、$c\to+\infty$ で $0$ に近づきます。$c_0=\sup\{c:\varphi(c)=1\}$ は有限で、各 $k$ について $\mu(f>c_0+\frac1k)=0$、$\mu(f>c_0-\frac1k)=1$ です。$k$ について可算個の和・共通部分を取って $\mu(f\ne c_0)=0$ です。

3 ⇒ 4：$U_Tf=f$ は $f\circ T=f$ a.e. のことで、実部と虚部が別々に同じ等式を満たします。

4 ⇒ 1：$A\in\mathcal{I}$ なら $\mathbf{1}_A\circ T=\mathbf{1}_{T^{-1}A}=\mathbf{1}_A$ なので $\mathbf{1}_A$ は a.e. 定数、すなわち $\mu(A)\in\{0,1\}$ です。
</Proof>

<Definition id="def-mixing" title="混合">
測度保存系が**混合的**（強混合）であるとは、すべての $A,B\in\mathcal{B}$ について
$$
\lim_{n\to\infty}\mu(T^{-n}A\cap B)=\mu(A)\mu(B)
$$
が成り立つことをいう。
</Definition>

$T^{-n}A$ は「$n$ 歩後に $A$ にいる」事象で、混合性は「十分時間がたつと、現在の事象 $B$ と未来の事象が独立になる」ことを意味します。

<Proposition id="prop-mixing-ergodic" title="混合ならエルゴード的">
混合的な測度保存系はエルゴード的である。
</Proposition>

<Proof of="prop-mixing-ergodic">
$A\in\mathcal{I}$ なら $T^{-n}A=A$ なので、$A=B$ として定義の式は $\mu(A)=\mu(A)^2$、すなわち $\mu(A)\in\{0,1\}$ です。
</Proof>

混合性を確かめるには、関数の言葉に直して稠密な部分集合で調べるのが便利です。以下 $L^2(\mu)$ の内積を $\langle g,f\rangle=\int\bar gf\,d\mu$（第 2 変数について線形）とします。

<Lemma id="lem-mixing-dense" title="稠密な集合での混合">
$\mathcal{D}\subset L^2(\mu)$ を稠密な部分集合とし、すべての $f,g\in\mathcal{D}$ について $\langle g,U_T^nf\rangle\to\langle g,1\rangle\langle1,f\rangle$（$n\to\infty$）とする。このとき同じことがすべての $f,g\in L^2(\mu)$ で成り立ち、特に $T$ は混合的である。
</Lemma>

<Proof of="lem-mixing-dense">
$f,g\in L^2$ と $\varepsilon>0$ について $f',g'\in\mathcal{D}$ を $\|f-f'\|_2,\|g-g'\|_2<\varepsilon$ と取ります。$U_T^n$ は等長（<Ref to="lem-integral-invariance" /> の 3）なので Cauchy–Schwarz の不等式から
$$
|\langle g,U_T^nf\rangle-\langle g',U_T^nf'\rangle|\le\|g-g'\|_2\|f\|_2+\|g'\|_2\|f-f'\|_2\le\varepsilon(\|f\|_2+\|g\|_2+\varepsilon),
$$
右辺の $\langle g,1\rangle\langle1,f\rangle$ も同じ程度しか変わりません。したがって $\limsup_n|\langle g,U_T^nf\rangle-\langle g,1\rangle\langle1,f\rangle|$ は $\varepsilon$ の定数倍以下で、$\varepsilon\to0$ とすれば $0$ です。$f=\mathbf{1}_A$、$g=\mathbf{1}_B$ とすると $\langle g,U_T^nf\rangle=\mu(B\cap T^{-n}A)$、$\langle g,1\rangle\langle1,f\rangle=\mu(B)\mu(A)$ です。
</Proof>

### 3.1. 例：回転・2 倍写像・Bernoulli シフト

$\mathbb{T}=[0,1)$ 上で $e_k(x)=e^{2\pi ikx}$（$k\in\mathbb{Z}$）とおきます。Parseval の等式（<Ref to="mathematics/fourier-analysis/fourier-series#thm-parseval-torus" />）を変数変換 $\theta=2\pi x$ で移すと、$\{e_k\}$ は $L^2(\mathbb{T},m)$ の正規直交基底で、$f$ は Fourier 係数 $\hat f(k)=\langle e_k,f\rangle$ で決まり、三角多項式（有限個の $e_k$ の線形結合）は $L^2$ で稠密です。

1 と 2 は「無理数のときだけ、不変な関数が定数に限られる」ことを Fourier 係数で確かめます。3 の証明の方針は、重なりの測度 $\mu(R_\alpha^{-n}A\cap A)$ が、ある $n$ では $\mu(A)^2=\frac14$ から遠いままであることを示すことです。そのために、$n\alpha$ が整数にとても近くなる $n$ を鳩の巣原理で見つけます。

<Theorem id="thm-rotation-ergodic" title="円の回転のエルゴード性">
$R_\alpha$ を <Ref to="ex-rotation" /> の回転とする。

1. $\alpha\notin\mathbb{Q}$ なら $R_\alpha$ はエルゴード的である。
2. $\alpha\in\mathbb{Q}$ なら $R_\alpha$ はエルゴード的でない。
3. どの $\alpha$ についても $R_\alpha$ は混合的でない。
</Theorem>

<Proof of="thm-rotation-ergodic">
1。<Ref to="prop-ergodic-equivalent" /> の 4 を確かめます。$f\in L^2$ が $f(x+\alpha)=f(x)$ a.e. を満たすとすると、平行移動 $y=x+\alpha$ で積分変数を変えて（Lebesgue 測度の平行移動不変性）
$$
\hat f(k)=\int_0^1f(x+\alpha)e^{-2\pi ikx}\,dx=\int_0^1f(y)e^{-2\pi ik(y-\alpha)}\,dy=e^{2\pi ik\alpha}\hat f(k)
$$
です。$k\ne0$ なら $k\alpha\notin\mathbb{Z}$ なので $e^{2\pi ik\alpha}\ne1$、よって $\hat f(k)=0$ です。Parseval の等式から $\|f-\hat f(0)\|_2^2=\sum_{k\ne0}|\hat f(k)|^2=0$ で、$f$ は a.e. で定数です。

2。$\alpha=p/q$（$q\ge1$）なら $e_q(x+\alpha)=e^{2\pi ip}e_q(x)=e_q(x)$ で、$e_q$ は定数でない不変関数です。

3。$A=[0,\frac12)$ とすると、$R_\alpha^{-n}A=A-n\alpha$（mod 1）と $A$ の共通部分の測度は、$t=n\alpha$ から最も近い整数までの距離を $\|t\|$ として $\frac12-\|n\alpha\|$ です（長さ $\frac12$ の 2 つの弧を $\|t\|$ だけずらした重なり）。$\alpha=p/q$ なら $n=q,2q,\dots$ でこれは $\frac12$ です。$\alpha$ が無理数でも、$N$ を固定して $0,\alpha,2\alpha,\dots,N\alpha$ を mod 1 で考えると、$[0,1)$ を長さ $\frac1N$ の $N$ 個の区間に分けたとき、鳩の巣原理で 2 つが同じ区間に入り、その差から $1\le q\le N$ で $\|q\alpha\|\le\frac1N$ となる $q$ が得られます。$N\to\infty$ で $\|q_j\alpha\|\to0$、かつ $\alpha$ が無理数なので $q_j\to\infty$ と取れます（有界な $q$ では $\|q\alpha\|$ は正の最小値をもつ）。この部分列で重なりは $\frac12$ に近づき、$\mu(A)^2=\frac14$ に収束しません。
</Proof>

[Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素](/mathematics/spectral-scattering/harper-almost-mathieu) の <Ref to="mathematics/spectral-scattering/harper-almost-mathieu#lem-rotation-ergodic" /> は、すべての点で不変な有界関数についての同じ主張で、1 の特別な場合です。

<Figure caption="円の回転の軌道。左：α = (√5−1)/2（無理数）の 0〜29 歩。最初の 8 点を大きく描いた。点は円周上に一様に散らばっていく。右：α = 2/5 では 5 点を周期的にめぐるだけで、たとえば 5 点の小さな近傍の和は測度が 0 と 1 の中間の不変集合になる。">
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<circle cx="166.4" cy="58.3" r="2.2" fill="currentColor" />
<circle cx="30.1" cy="118.7" r="2.2" fill="currentColor" />
<circle cx="171.4" cy="166.3" r="2.2" fill="currentColor" />
<circle cx="99.3" cy="35.7" r="2.2" fill="currentColor" />
<circle cx="64.3" cy="180.7" r="2.2" fill="currentColor" />
<circle cx="188.0" cy="97.4" r="2.2" fill="currentColor" />
<circle cx="40.6" cy="75.2" r="2.2" fill="currentColor" />
<circle cx="134.3" cy="191.2" r="2.2" fill="currentColor" />
<circle cx="143.6" cy="42.4" r="2.2" fill="currentColor" />
<circle cx="36.2" cy="145.9" r="2.2" fill="currentColor" />
<circle cx="185.3" cy="142.1" r="2.2" fill="currentColor" />
<circle cx="72.8" cy="44.2" r="2.2" fill="currentColor" />
<text x="110" y="24" font-size="11" text-anchor="middle" fill="currentColor">0</text>
<text x="44" y="192" font-size="11" text-anchor="middle" fill="currentColor">1</text>
<text x="205" y="112" font-size="11" text-anchor="middle" fill="currentColor">2</text>
<text x="33" y="60" font-size="11" text-anchor="middle" fill="currentColor">3</text>
<circle cx="330.0" cy="35.0" r="3.5" fill="var(--sl-color-accent)" />
<circle cx="377.0" cy="179.7" r="3.5" fill="var(--sl-color-accent)" />
<circle cx="253.9" cy="90.3" r="3.5" fill="var(--sl-color-accent)" />
<circle cx="406.1" cy="90.3" r="3.5" fill="var(--sl-color-accent)" />
<circle cx="283.0" cy="179.7" r="3.5" fill="var(--sl-color-accent)" />
<text x="330" y="24" font-size="11" text-anchor="middle" fill="currentColor">0, 5, 10, …</text>
<text x="110" y="222" font-size="12" text-anchor="middle" fill="currentColor">α = (√5−1)/2</text>
<text x="330" y="222" font-size="12" text-anchor="middle" fill="currentColor">α = 2/5</text>
</svg>
</Figure>

<Proposition id="prop-doubling-mixing" title="2 倍写像は混合的">
<Ref to="ex-doubling" /> の 2 倍写像 $D$ は Lebesgue 測度について混合的であり、特にエルゴード的である。
</Proposition>

<Proof of="prop-doubling-mixing">
$e_k\circ D(x)=e^{2\pi ik(2x)}=e_{2k}(x)$（$2x$ と $2x\bmod1$ は整数だけ違う）なので $U_D^ne_k=e_{2^nk}$ です。$k\ne0$ と任意の $l$ について、$2^n|k|>|l|$ となる $n$ 以降は $\langle e_l,U_D^ne_k\rangle=\langle e_l,e_{2^nk}\rangle=0$ で、これは $\langle e_l,1\rangle\langle1,e_k\rangle=0$ に一致します。$k=0$ なら両辺とも $\delta_{l0}$ です。双線形性から、三角多項式 $f,g$ について十分大きい $n$ で $\langle g,U_D^nf\rangle=\langle g,1\rangle\langle1,f\rangle$ が成り立ちます。三角多項式は稠密なので <Ref to="lem-mixing-dense" /> から混合性が従い、<Ref to="prop-mixing-ergodic" /> からエルゴード性が従います。
</Proof>

Bernoulli シフトでは Fourier 展開の代わりに、柱集合で一般の事象を近似します。

<Lemma id="lem-approx-algebra" title="代数による近似">
$\mathcal{A}$ を集合の代数、$\mu$ を $\sigma(\mathcal{A})$ 上の確率測度とする。任意の $B\in\sigma(\mathcal{A})$ と $\varepsilon>0$ について、$\mu(A\,\triangle\,B)<\varepsilon$ となる $A\in\mathcal{A}$ が存在する。
</Lemma>

<Proof of="lem-approx-algebra">
主張が成り立つ $B$ の全体を $\mathcal{G}$ とします。$\mathcal{A}\subset\mathcal{G}$ です。$A^c\,\triangle\,B^c=A\,\triangle\,B$ なので $\mathcal{G}$ は補集合で閉じています。$B_1,B_2,\dots\in\mathcal{G}$、$B=\bigcup_iB_i$ とします。測度の連続性から $\mu(B\setminus\bigcup_{i\le N}B_i)<\varepsilon/2$ となる $N$ があり、$A_i\in\mathcal{A}$ を $\mu(A_i\,\triangle\,B_i)<\varepsilon/2^{i+1}$ と取って $A=\bigcup_{i\le N}A_i\in\mathcal{A}$ とすると
$$
A\,\triangle\,B\subset\Bigl(B\setminus\bigcup_{i\le N}B_i\Bigr)\cup\bigcup_{i\le N}(A_i\,\triangle\,B_i)
$$
なので $\mu(A\,\triangle\,B)<\varepsilon$ です。よって $\mathcal{G}$ は $\mathcal{A}$ を含む σ-加法族で、$\sigma(\mathcal{A})\subset\mathcal{G}$ です。
</Proof>

<Proposition id="prop-bernoulli-mixing" title="Bernoulli シフトは混合的">
<Ref to="lem-bernoulli-shift" /> の Bernoulli シフト $(\mathbb{R}^{\mathbb{N}},\mathcal{F},\nu^{\otimes\mathbb{N}},\sigma)$ は混合的であり、特にエルゴード的である。
</Proposition>

<Proof of="prop-bernoulli-mixing">
$A,B$ が座標 $1,\dots,m$ で決まる柱集合、$A=\{(x_1,\dots,x_m)\in A'\}$、$B=\{(x_1,\dots,x_m)\in B'\}$ のとき、$n\ge m$ なら $\sigma^{-n}A=\{(x_{n+1},\dots,x_{n+m})\in A'\}$ は $B$ と重ならない座標で決まるので、座標 $1,\dots,n+m$ の分布が $\nu^{\otimes(n+m)}$ であること（<Ref to="lem-bernoulli-shift" />）から $P(\sigma^{-n}A\cap B)=\nu^{\otimes m}(A')\nu^{\otimes m}(B')=P(A)P(B)$ です。一般の $A,B\in\mathcal{F}$ と $\varepsilon>0$ について、<Ref to="lem-approx-algebra" /> で柱集合 $A_0,B_0$ を $P(A\,\triangle\,A_0),P(B\,\triangle\,B_0)<\varepsilon$ と取ります（座標の個数は大きい方にそろえる）。$P(\sigma^{-n}(A\,\triangle\,A_0))=P(A\,\triangle\,A_0)$ なので
$$
|P(\sigma^{-n}A\cap B)-P(\sigma^{-n}A_0\cap B_0)|\le2\varepsilon,\qquad|P(A)P(B)-P(A_0)P(B_0)|\le2\varepsilon
$$
で、$\limsup_n|P(\sigma^{-n}A\cap B)-P(A)P(B)|\le4\varepsilon$ です。
</Proof>

## 4. von Neumann の平均エルゴード定理

まず $L^2$ での収束を、Hilbert 空間の一般論として示します。$V$ を Hilbert 空間 $\mathcal{H}$ 上の有界作用素で $\|V\|\le1$ を満たすもの（**縮小作用素**）とします。Koopman 作用素 $U_T$ は等長なので縮小作用素です。

この補題は、次の定理の証明の準備です。空間を「動かない部分」と「$x-Vx$ の形のベクトルで張られる部分」に直交分解し、前者では平均が変わらず、後者では平均が打ち消し合って $0$ に近づく、という見通しを与えます。

<Lemma id="lem-contraction-fixed" title="縮小作用素の不動点">
$\|V\|\le1$ なら、$Vx=x$ と $V^*x=x$ は同値である。さらに
$$
\mathcal{H}=\ker(I-V)\oplus\overline{\mathrm{Ran}(I-V)}\qquad\text{（直交直和）}
$$
が成り立つ。
</Lemma>

<Proof of="lem-contraction-fixed">
$Vx=x$ とします。$\|V^*\|=\|V\|\le1$（<Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#prop-adjoint-properties" />）と $\langle x,V^*x\rangle=\langle Vx,x\rangle=\|x\|^2$ から
$$
\|V^*x-x\|^2=\|V^*x\|^2-2\,\mathrm{Re}\langle x,V^*x\rangle+\|x\|^2\le\|x\|^2-2\|x\|^2+\|x\|^2=0
$$
です。$V^{**}=V$ なので逆も同じです。次に、$y\perp\mathrm{Ran}(I-V)$ はすべての $x$ で $\langle(I-V^*)y,x\rangle=\langle y,(I-V)x\rangle=0$ となること、すなわち $y\in\ker(I-V^*)=\ker(I-V)$ と同値です。$M=\overline{\mathrm{Ran}(I-V)}$ は閉部分空間で $M^\perp=\mathrm{Ran}(I-V)^\perp=\ker(I-V)$ なので、射影定理（<Ref to="mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#thm-projection" /> の 2）から主張の分解が得られます。
</Proof>

<Theorem id="thm-von-neumann" title="von Neumann の平均エルゴード定理">
$V$ を Hilbert 空間 $\mathcal{H}$ 上の縮小作用素、$P$ を閉部分空間 $\ker(I-V)$ への直交射影（<Ref to="mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-orthogonal-projection" />）とする。すべての $x\in\mathcal{H}$ について
$$
\Bigl\|\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}V^kx-Px\Bigr\|\to0\qquad(n\to\infty).
$$
</Theorem>

<Proof of="thm-von-neumann">
$M_n=\frac1n\sum_{k<n}V^k$ とおくと $\|M_n\|\le1$ です。<Ref to="lem-contraction-fixed" /> の分解で $x=Px+(x-Px)$、$x-Px\in\overline{\mathrm{Ran}(I-V)}$ と書きます。$Px$ は $V$ で動かないので $M_nPx=Px$ です。$z=y-Vy\in\mathrm{Ran}(I-V)$ なら和が打ち消し合って
$$
M_nz=\frac1n(y-V^ny),\qquad\|M_nz\|\le\frac{2\|y\|}n\to0
$$
です。$w\in\overline{\mathrm{Ran}(I-V)}$ と $\varepsilon>0$ について $\|w-z\|<\varepsilon$ となる $z\in\mathrm{Ran}(I-V)$ を取れば、$\|M_nw\|\le\|M_n(w-z)\|+\|M_nz\|\le\varepsilon+\|M_nz\|$ で、$\limsup_n\|M_nw\|\le\varepsilon$ です。$w=x-Px$ として $M_nx-Px=M_n(x-Px)\to0$ を得ます。
</Proof>

<Corollary id="cor-mean-ergodic-mps" title="測度保存系での平均エルゴード定理">
測度保存系と $f\in L^2(\mu)$ について、$A_nf$ は $L^2(\mu)$ で $U_T$ の不動点空間への射影 $Pf$ に収束する。$T$ がエルゴード的なら $Pf=\int f\,d\mu$（定数関数）である。
</Corollary>

<Proof of="cor-mean-ergodic-mps">
$A_nf=\frac1n\sum_{k<n}U_T^kf$ なので、前半は <Ref to="thm-von-neumann" /> を $V=U_T$ に使ったものです。エルゴード的なら <Ref to="prop-ergodic-equivalent" /> の 4 から $\ker(I-U_T)$ は定数関数の空間 $\mathbb{C}1$ で、$\|1\|_2=1$ なので射影は $Pf=\langle1,f\rangle1=\int f\,d\mu$ です。
</Proof>

<Example id="ex-mean-rotation" title="回転での平均の計算">
$\alpha\notin\mathbb{Q}$、$k\ne0$ とすると、$U_{R_\alpha}e_k=e^{2\pi ik\alpha}e_k$ なので、等比級数の和から
$$
A_ne_k=\frac1n\sum_{j=0}^{n-1}e^{2\pi ijk\alpha}e_k=\frac{1-e^{2\pi ink\alpha}}{n(1-e^{2\pi ik\alpha})}e_k,\qquad\|A_ne_k\|_\infty\le\frac{2}{n|1-e^{2\pi ik\alpha}|}
$$
です。収束は一様ですが、その速さ $1/(n|1-e^{2\pi ik\alpha}|)$ は $k\alpha$ が整数にどれだけ近いかで決まり、$k$ について一様ではありません。平均エルゴード定理は収束を保証しますが、一般には速さについて何も言いません。
</Example>

## 5. Birkhoff の各点エルゴード定理

平均エルゴード定理は $L^2$ の収束で、個々の点 $x$ での時間平均については何も言いません。各点の収束には、時間平均の「最大値」を制御する不等式が要ります。以下 $f$ は実数値とします（複素数値なら実部と虚部に分けます）。

<Lemma id="lem-maximal-ergodic" title="最大エルゴード補題">
$(X,\mathcal{B},\mu,T)$ を測度保存系、$f\in L^1(\mu)$ を実数値とし、$N\ge1$ について $M_N=\max_{0\le n\le N}S_nf$（$S_0f=0$ を含むので $M_N\ge0$）とおく。このとき
$$
\int_{\{M_N>0\}}f\,d\mu\ge0,\qquad\int_{\{\sup_{n\ge1}S_nf>0\}}f\,d\mu\ge0 .
$$
</Lemma>

<Proof of="lem-maximal-ergodic">
（Garsia の証明）$0\le n\le N$ について $M_N\circ T\ge S_nf\circ T$ なので、$f+M_N\circ T\ge f+S_nf\circ T=S_{n+1}f$ です。$n$ について最大を取ると
$$
f+M_N\circ T\ge\max_{1\le n\le N+1}S_nf\ge\max_{1\le n\le N}S_nf .
$$
$\{M_N>0\}$ の上では最大値は $n=0$ の項 $0$ ではないので $M_N=\max_{1\le n\le N}S_nf$ で、したがって $f\ge M_N-M_N\circ T$ です。$|M_N|\le\sum_{k<N}|f|\circ T^k$ は可積分（<Ref to="lem-integral-invariance" /> の 2）で、$\{M_N>0\}$ の外では $M_N=0$、また $M_N\circ T\ge0$ なので
$$
\int_{\{M_N>0\}}f\,d\mu\ge\int_{\{M_N>0\}}(M_N-M_N\circ T)\,d\mu\ge\int_XM_N\,d\mu-\int_XM_N\circ T\,d\mu=0
$$
です（最後は <Ref to="lem-integral-invariance" /> の 2）。$N\to\infty$ で $\{M_N>0\}$ は $\{\sup_{n\ge1}S_nf>0\}$ に増加し、$|f\mathbf{1}_{\{M_N>0\}}|\le|f|$ なので、優収束定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-dct" />）で 2 つ目の不等式を得ます。
</Proof>

この補題の気持ちは「時間平均がどこかで正になる点の集合の上では、$f$ の平均は非負」ということです。次の定理ではこれを $f-b$ や $a-f$ に使い、時間平均の上極限と下極限が食い違う集合の測度を $0$ に押さえ込みます。

証明の方針は次のとおりです。時間平均の上極限 $f^*$ と下極限 $f_*$ が食い違う点の集合は不変集合になります。その上で $f$ から定数 $b$ を引く（または $a$ から $f$ を引く）と、その集合の上では時間平均が正になる点がある状況をつくれるので、最大エルゴード補題から積分の符号が決まります。2 つを足すと、食い違う集合の測度が $0$ だと分かります。

<Theorem id="thm-birkhoff" title="Birkhoff の各点エルゴード定理">
$(X,\mathcal{B},\mu,T)$ を測度保存系、$\mathcal{I}$ を不変 σ-加法族、$f\in L^1(\mu)$ とする。$\mathcal{I}$-可測な $\bar f\in L^1(\mu)$ が存在して次が成り立つ。

1. ほとんどすべての $x$ で $A_nf(x)=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f(T^kx)\to\bar f(x)$。
2. $\|A_nf-\bar f\|_1\to0$、$\|\bar f\|_1\le\|f\|_1$。
3. すべての $B\in\mathcal{I}$ で $\int_B\bar f\,d\mu=\int_Bf\,d\mu$。すなわち $\bar f=E[f\mid\mathcal{I}]$ である。
4. $T$ がエルゴード的なら、$\bar f=\int f\,d\mu$ a.e. である。
</Theorem>

<Proof of="thm-birkhoff">
$f$ は実数値とし、代表元をすべての点で有限な値をとるように選びます。

**不変性。** $f^*=\limsup_nA_nf$、$f_*=\liminf_nA_nf$（値は $[-\infty,\infty]$）とおきます。$(n+1)A_{n+1}f(x)=f(x)+nA_nf(Tx)$ から
$$
A_{n+1}f(x)=\frac{f(x)}{n+1}+\frac n{n+1}A_nf(Tx)
$$
で、$f(x)$ は有限なので、すべての $x$ で $f^*(Tx)=f^*(x)$、$f_*(Tx)=f_*(x)$ です。したがって $\{f^*>c\}$ などは不変集合で、$f^*,f_*$ は $\mathcal{I}$-可測です。

**上極限と下極限の一致。** 有理数 $a<b$ について $E=\{f_*<a\}\cap\{f^*>b\}\in\mathcal{I}$ とおきます。$g=(f-b)\mathbf{1}_E$ とすると、$\mathbf{1}_E\circ T^k=\mathbf{1}_{T^{-k}E}=\mathbf{1}_E$ なので $S_ng=\mathbf{1}_E\,(S_nf-nb)=n\mathbf{1}_E(A_nf-b)$ です。$E$ の上では $\limsup A_nf>b$ なので $\sup_{n\ge1}S_ng>0$、$E$ の外では $S_ng=0$ です。よって $\{\sup_{n\ge1}S_ng>0\}=E$ で、<Ref to="lem-maximal-ergodic" /> から $\int_E(f-b)\,d\mu\ge0$ です。同様に $h=(a-f)\mathbf{1}_E$ について、$E$ の上では $\liminf A_nf<a$ なので $\{\sup_{n\ge1}S_nh>0\}=E$ で、$\int_E(a-f)\,d\mu\ge0$ です。足すと $(a-b)\mu(E)\ge0$、すなわち $\mu(E)=0$ です。$a<b$ を有理数全体で動かした可算和も零集合なので、ほとんどすべての点で $f_*=f^*$、すなわち $A_nf$ は $[-\infty,\infty]$ の中で収束します。

**可積分性。** $|A_nf|\le A_n|f|$ と <Ref to="lem-integral-invariance" /> から $\int|A_nf|\,d\mu\le\|f\|_1$ です。Fatou の補題（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#lem-fatou" />）で $\int|f^*|\,d\mu\le\liminf_n\int|A_nf|\,d\mu\le\|f\|_1$ なので、$f^*$ は a.e. で有限です。$\bar f=f^*\mathbf{1}_{\{|f^*|<\infty\}}$ とおくと（$\{|f^*|<\infty\}\in\mathcal{I}$）、$\bar f$ は $\mathcal{I}$-可測、可積分で、1 と $\|\bar f\|_1\le\|f\|_1$ が成り立ちます。

**$L^1$ 収束。** $|f|\le K$ なら $|A_nf|\le K$ なので、優収束定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-dct" />）で $\|A_nf-\bar f\|_1\to0$ です。一般の $f$ では $f_K=\max(-K,\min(f,K))$ とおくと、優収束定理で $\|f-f_K\|_1\to0$（$K\to\infty$）です。$A_n$ は線形なので a.e. で $\bar f-\overline{f_K}=\lim_nA_n(f-f_K)$ で、上の可積分性の議論を $f-f_K$ に使えば $\|\bar f-\overline{f_K}\|_1\le\|f-f_K\|_1$ です。したがって
$$
\|A_nf-\bar f\|_1\le\|A_n(f-f_K)\|_1+\|A_nf_K-\overline{f_K}\|_1+\|\overline{f_K}-\bar f\|_1\le2\|f-f_K\|_1+\|A_nf_K-\overline{f_K}\|_1
$$
で、$K$ を大きく取ってから $n\to\infty$ とすれば $0$ に近づきます。

**条件付き期待値。** $B\in\mathcal{I}$ なら $\mathbf{1}_B=\mathbf{1}_B\circ T^k$ なので、<Ref to="lem-integral-invariance" /> から $\int_Bf\circ T^k\,d\mu=\int(\mathbf{1}_Bf)\circ T^k\,d\mu=\int_Bf\,d\mu$、よって $\int_BA_nf\,d\mu=\int_Bf\,d\mu$ です。$L^1$ 収束から $\int_B\bar f\,d\mu=\int_Bf\,d\mu$ です。$\bar f$ は $\mathcal{I}$-可測で可積分なので、これは条件付き期待値の定義（<Ref to="mathematics/probability/conditional-expectation#def-cond-exp" />）の 3 条件で、一意性（<Ref to="mathematics/probability/conditional-expectation#thm-existence" />）から $\bar f=E[f\mid\mathcal{I}]$ です。

**エルゴード的な場合。** $\bar f$ は $\mathcal{I}$-可測なので $\bar f\circ T=\bar f$ で、<Ref to="prop-ergodic-equivalent" /> の 3 から a.e. で定数 $c$ です。3 で $B=X$ として $c=\int f\,d\mu$ です。
</Proof>

$f\in L^2$ なら、<Ref to="cor-mean-ergodic-mps" /> の $L^2$ 極限 $Pf$ と $\bar f$ は一致します。確率空間では $\|\cdot\|_1\le\|\cdot\|_2$（Cauchy–Schwarz）なので $A_nf$ は $L^1$ で $Pf$ にも $\bar f$ にも収束し、$L^1$ の極限は一意だからです。特に $P$ は $L^2$ 上の条件付き期待値 $E[\cdot\mid\mathcal{I}]$ で、これは <Ref to="mathematics/probability/conditional-expectation#thm-l2-projection" /> と整合します。

<Remark id="rem-birkhoff-assumptions" title="仮定について">
- 測度の有限性は落とせません。$\mathbb{R}$ 上の $x\mapsto x+1$ と Lebesgue 測度、$f=\mathbf{1}_{[0,1)}$ では、すべての $x$ で $A_nf(x)\to0$ ですが、空間平均は意味をもちません（エルゴード定理の 4 にあたる主張が無い）。$\sigma$-有限な無限測度でも 1 の a.e. 収束そのものは成り立ちますが、この記事では扱いません。
- 「ほとんどすべての $x$」は「すべての $x$」にできません。2 倍写像の周期点 $x=\frac13=0.0101\ldots_{(2)}$ では $\mathbf{1}_{[\frac12,1)}$ の時間平均は $\frac12$ ですが、$x=\frac17=0.001001\ldots_{(2)}$ では $\frac13$ です（<Ref to="exr-doubling-periodic" />）。
</Remark>

### 5.1. 応用：大数の強法則と正規数

<Corollary id="cor-slln" title="大数の強法則（エルゴード定理による証明）">
$X_1,X_2,\dots$ を確率空間 $(\Omega',\mathcal{F}',P')$ 上の独立同分布な確率変数列で $E[|X_1|]<\infty$ とする。このとき $P'$-a.s. で $\frac1n\sum_{k=1}^nX_k\to E[X_1]$ である。
</Corollary>

<Proof of="cor-slln">
$\nu$ を $X_1$ の分布、$(\mathbb{R}^{\mathbb{N}},\mathcal{F},P,\sigma)$ を <Ref to="lem-bernoulli-shift" /> の Bernoulli シフトとします。$\Phi(\omega)=(X_1(\omega),X_2(\omega),\dots)$ は各座標が可測なので、座標写像で生成される直積 σ-加法族 $\mathcal{F}$ について可測です。独立性から $(X_1,\dots,X_m)$ の分布は直方体の上で $\nu^{\otimes m}$ と一致し、直方体は π-系なので測度の一意性（<Ref to="mathematics/real-analysis/abstract-measures#thm-uniqueness-measures" />）から分布は $\nu^{\otimes m}$ です。よって $Q=P'\circ\Phi^{-1}$ は柱集合の上で $P$ と一致し、同じ一意性から $Q=P$ です。

$f(x)=x_1$ は $\int|f|\,dP=E[|X_1|]<\infty$ を満たし、$f\circ\sigma^k(x)=x_{k+1}$ なので $A_nf(x)=\frac1n\sum_{k=1}^nx_k$ です。<Ref to="prop-bernoulli-mixing" /> からシフトはエルゴード的なので、<Ref to="thm-birkhoff" /> の 4 により、集合 $G=\{x:\frac1n\sum_{k=1}^nx_k\to\int x_1\,dP\}$（各点の上極限・下極限が可測なので $G\in\mathcal{F}$）は $P(G)=1$ です。$\int x_1\,dP=E[X_1]$ で、$P'(\Phi^{-1}G)=Q(G)=P(G)=1$ です。
</Proof>

[大数の法則と中心極限定理](/mathematics/probability/limit-theorems) の <Ref to="mathematics/probability/limit-theorems#thm-slln" /> の証明は独立性を分散の計算に使いますが、上の証明は「シフト不変な事象が自明である」ことしか使っていません。そのため、独立でなくても定常でエルゴード的な列（たとえば既約で非周期的な有限 Markov 連鎖の定常列）に同じ結論が成り立ちます。

<Example id="ex-normal-numbers" title="Borel の正規数定理（2 進）">
$x\in[0,1)$ の 2 進展開 $x=0.x_1x_2\ldots$（1 が無限に続く展開は使わない）について、ほとんどすべての $x$ で
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\#\{k\le n:x_k=1\}}n=\frac12
$$
です。実際、<Ref to="ex-doubling" /> の 2 倍写像について $D^{k-1}x$ の第 1 桁が $x_k$ で、$x_k=\mathbf{1}_{[\frac12,1)}(D^{k-1}x)$ です。<Ref to="prop-doubling-mixing" /> から $D$ はエルゴード的なので、<Ref to="thm-birkhoff" /> の 4 から時間平均は $m([\frac12,1))=\frac12$ に収束します。同じ議論を $\mathbf{1}_{[j/2^\ell,(j+1)/2^\ell)}$ に使えば、長さ $\ell$ のどの 0-1 列も頻度 $2^{-\ell}$ で現れることが分かります。
</Example>

<Remark id="rem-ergodic-decomposition" title="エルゴード分解（主張のみ）">
エルゴード的でない系は、エルゴード的な系の「重ね合わせ」に分解できます。$X$ がコンパクト距離空間で $T$ が同相写像のとき、$T$ 不変な確率測度の全体は凸集合で、その端点はちょうどエルゴード的な測度であり、各不変測度はエルゴード測度の上の確率測度の重心としてただ 1 通りに書けます（[状態の凸分解](/mathematics/operator-algebras/convex-decomposition) の <Ref to="mathematics/operator-algebras/convex-decomposition#prop-invariant-measures-simplex" />）。より一般に $X$ が標準 Borel 空間なら、$\mu=\int\mu_x\,d\mu(x)$ と、不変 σ-加法族 $\mathcal{I}$ に関する条件付き分布 $\mu_x$ がほとんどすべての $x$ でエルゴード的になるように分解できます。Birkhoff の極限 $\bar f(x)=E[f\mid\mathcal{I}](x)$ は、$x$ が属する「エルゴード成分」$\mu_x$ での空間平均 $\int f\,d\mu_x$ です。証明には条件付き分布の存在が要るので、この記事では扱いません（Einsiedler–Ward 第 6 章）。
</Remark>

## 6. 演習

<Exercise id="exr-doubling-periodic" difficulty="易">
2 倍写像 $D$ と $f=\mathbf{1}_{[\frac12,1)}$ について、$x=\frac13$ と $x=\frac17$ での時間平均 $\lim_nA_nf(x)$ を求めてください。結果が <Ref to="ex-normal-numbers" /> と矛盾しない理由を述べてください。
<Solution>
$\frac13=0.010101\ldots_{(2)}$ で、$D(\frac13)=\frac23$、$D(\frac23)=\frac13$ と周期 2 で回ります。$f(\frac13)=0$、$f(\frac23)=1$ なので $A_nf(\frac13)\to\frac12$ です。$\frac17=0.001001\ldots_{(2)}$ で、軌道は $\frac17\to\frac27\to\frac47\to\frac17$、$f$ の値は $0,0,1$ なので $A_nf(\frac17)\to\frac13$ です。有理数（さらに一般に周期点や最終的に周期的な点）は可算個で Lebesgue 測度 $0$ なので、「ほとんどすべての $x$ で $\frac12$」という主張とは矛盾しません。エルゴード定理の例外集合は空でないことがあり、しかも稠密になりえます。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-ergodic-cesaro" difficulty="標準">
測度保存系がエルゴード的であるための必要十分条件は、すべての $A,B\in\mathcal{B}$ について
$$
\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\mu(T^{-k}A\cap B)=\mu(A)\mu(B)
$$
が成り立つことであることを示してください。混合性（<Ref to="def-mixing" />）との違いも述べてください。
<Solution>
（必要性）$\frac1n\sum_{k<n}\mu(T^{-k}A\cap B)=\langle\mathbf{1}_B,A_n\mathbf{1}_A\rangle$ です。<Ref to="cor-mean-ergodic-mps" /> からエルゴード的なら $A_n\mathbf{1}_A\to\mu(A)$ が $L^2$ で成り立ち、内積の連続性から左辺は $\langle\mathbf{1}_B,\mu(A)1\rangle=\mu(A)\mu(B)$ に収束します。

（十分性）$A\in\mathcal{I}$ を取り $B=A$ とすると $T^{-k}A=A$ なので左辺は $\mu(A)$、右辺は $\mu(A)^2$ で、$\mu(A)\in\{0,1\}$ です。

混合性は数列 $\mu(T^{-k}A\cap B)$ そのものの収束、エルゴード性はその Cesàro 平均の収束です。無理数回転（<Ref to="thm-rotation-ergodic" />）は後者だけを満たす例です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-weyl-equidistribution" difficulty="難">
$\alpha\notin\mathbb{Q}$ とします。$\mathbb{T}$ 上のすべての連続関数 $f$ と**すべての** $x\in\mathbb{T}$ について
$$
\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f(x+k\alpha)\to\int_0^1f\,dm
$$
が成り立つこと（Weyl の一様分布定理）を示してください。不連続な $f$ では「すべての $x$」が成り立たない例も挙げてください。
<Solution>
$f=e_k$（$k\ne0$）なら <Ref to="ex-mean-rotation" /> の計算で $\sup_x|A_ne_k(x)|\le2/(n|1-e^{2\pi ik\alpha}|)\to0=\int e_k\,dm$、$f=e_0$ なら両辺 $1$ です。線形性から三角多項式 $p$ について $A_np\to\int p\,dm$ が $x$ について一様に成り立ちます。連続な $f$ と $\varepsilon>0$ について、Fejér の定理（<Ref to="mathematics/fourier-analysis/fourier-series#thm-fejer" /> の 1 を $\theta=2\pi x$ で移したもの）から $\sup|f-p|<\varepsilon$ となる三角多項式 $p$ があります。$|A_nf-A_np|\le\varepsilon$、$|\int f-\int p|\le\varepsilon$ なので $\limsup_n\sup_x|A_nf(x)-\int f|\le2\varepsilon$ です。

不連続な例：$f=\mathbf{1}_{\{k\alpha\bmod1:k\ge0\}}$（$0$ の軌道の指示関数）は可算集合の指示関数なので $\int f=0$ ですが、$x=0$ ではすべての項が $1$ で時間平均は $1$ です。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- P. Walters, *An Introduction to Ergodic Theory*, Springer, 1982（Graduate Texts in Mathematics 79）— 第 1 章（測度保存系、エルゴード性、混合）。
- M. Einsiedler, T. Ward, *Ergodic Theory with a view towards Number Theory*, Springer, 2011（Graduate Texts in Mathematics 259）— 第 2 章（平均・各点エルゴード定理）、第 6 章（エルゴード分解）。
- K. Petersen, *Ergodic Theory*, Cambridge University Press, 1983 — 第 2 章。
- A. M. Garsia, "A simple proof of E. Hopf's maximal ergodic theorem", *J. Math. Mech.* 14 (1965), 381–382.
- G. D. Birkhoff, "Proof of the ergodic theorem", *Proc. Natl. Acad. Sci. USA* 17 (1931), 656–660.
- J. von Neumann, "Proof of the quasi-ergodic hypothesis", *Proc. Natl. Acad. Sci. USA* 18 (1932), 70–82.