# 準自由状態の準同値：Powers–Størmer 不等式・Uhlmann の忠実度・Bures の定理
> Powers–Størmer 不等式と Uhlmann の忠実度を証明し、忠実度の単調極限から無限テンソル積状態の準同値を判定する Bures の定理を導く。同時対角化できる準自由状態について Powers–Størmer と Araki–Yamagami の判定を証明し、一般形と Feldman–Hájek の二分法を述べる。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/operator-algebras/quasi-free-equivalence
## 0. この記事の要点
2 つの量子状態が「同じ世界の住人」なのか「まったく別の世界の住人」なのかを、数値ひとつで見分ける話です。有限個の粒子なら 2 つの状態はいつでも比べられますが、無限個の粒子（たとえば無限に広い系）では、状態によっては何をしても互いに行き来できません。そこで 2 つの状態がどれくらい重なっているかを測る量を作り、粒子 1 個あたりの重なりの積が 0 になるかどうかで、2 つが同じ世界に属するかを判定します。読み終えると、熱平衡状態の温度を変えたときに世界が変わるかどうかを、計算で決められるようになります。
- **Powers–Størmer 不等式**：正のトレースクラス作用素 $\rho,\sigma$ について $\|\rho^{1/2}-\sigma^{1/2}\|_2^2\le\|\rho-\sigma\|_1$。平方根の Hilbert–Schmidt 距離は、状態のノルム距離で抑えられます。
- 2 つの状態 $\varphi,\psi$ の **忠実度** $F(\varphi,\psi)$ を、共通の表現の中の代表ベクトルの重なり $|\langle\xi,\eta\rangle|$ の上限で定めます。これは表現の可換子の単位球の上の上限として計算でき、密度行列では **Uhlmann の公式** $F=\|\rho^{1/2}\sigma^{1/2}\|_1$ になります。$d_B=(2-2F)^{1/2}$ が **Bures 距離**です。
- 忠実度は部分環への制限で増え、部分環の増大列について単調に減少して全体の忠実度に収束します。[互いに素](/mathematics/operator-algebras/quasi-equivalence#def-quasi-equivalence)な状態の忠実度は $0$ です。
- これらから **Bures の定理**を証明します。無限テンソル積の積状態 $\bigotimes\varphi_j$ と $\bigotimes\psi_j$ は、$\sum_j(1-F(\varphi_j,\psi_j))<\infty$ なら[準同値](/mathematics/operator-algebras/quasi-equivalence#def-quasi-equivalence)、そうでなければ互いに素です。Kakutani の定理の非可換版です。
- 応用として、1 粒子作用素が同時対角化できる場合に、ゲージ不変な CAR 準自由状態の **Powers–Størmer の判定**と CCR 準自由状態の **Araki–Yamagami の判定**（平方根の差が Hilbert–Schmidt）を完全に証明します。一般の場合の判定と、Gauss 測度の **Feldman–Hájek の二分法**はその延長として述べます。
## 1. 動機
[表現の準同値と準自由状態の判定](/mathematics/operator-algebras/quasi-equivalence) では、準同値を「正規状態の集合（フォリウム）が一致すること」として特徴づけ、可換な場合には Kakutani の定理で、純粋な積状態では内積の無限積で判定しました。その最後に、準自由状態の準同値が「2 点関数の平方根の差が Hilbert–Schmidt」という条件で決まることを、証明の筋道だけ述べました（