# 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件
> 表現と状態の準同値を正規状態の集合で特徴づけ、Kakutani の無限直積測度の定理、無限テンソル積状態の判定、準自由状態の Hilbert–Schmidt 条件（Shale・Powers–Størmer・Araki–Yamagami）を述べ、van Hove 模型の赤外問題を読み直す。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/operator-algebras/quasi-equivalence
## 0. この記事の要点
無限個の粒子やスピンを扱う理論では、同じ系を記述する数学的な枠組み（表現）が何通りもあります。その中で、見た目は違っても物理としては同じことを言っているものと、本当に別の世界を記述しているものをどう区別するか、というのがこの記事の問いです。有限個の硬貨なら表の確率が少し違っても区別がつきませんが、無限回投げ続けると区別がつきます。その区別の仕方を、硬貨の場合から出発して、スピンの鎖やボソンの熱平衡状態へと広げていきます。読み終えると、2 つの状態が「同じ相」か「別の相」かを、具体的な数列や作用素の和・ノルムの有限性で判定できるようになります。
- $C^*$ 環 $\mathfrak{A}$ の 2 つの[表現](/mathematics/operator-algebras/states-and-gns#def-representation)が**準同値**であるとは、生成する [von Neumann 環](/mathematics/operator-algebras/von-neumann-algebras#def-von-neumann-algebra)の間に生成元を生成元に移す $*$-同型があることです。これは「密度行列で書ける状態（[正規状態](/mathematics/operator-algebras/von-neumann-algebras#def-normal-state)）の集合が一致する」ことと同値で、物理的には「同じ物理を記述する」ことの正確な定式化です。
- 因子表現（とくに既約表現）どうしは、準同値か互いに素かのどちらかです。既約表現では準同値はユニタリ同値と一致します。
- 可換な場合、確率測度の状態の準同値は測度の相互絶対連続性です。**Kakutani の定理**は、無限直積測度が「同値か互いに特異か」のどちらかで、Hellinger 親和度の無限積が正かどうかで決まることを述べます。非可換版として、純粋な積状態 $\bigotimes\xi_j$ と $\bigotimes\eta_j$ がユニタリ同値であることは $\sum_j(1-|\langle\xi_j,\eta_j\rangle|)<\infty$ と同値で、そうでなければ互いに素です。
- 準自由状態の準同値は「共分散の差が Hilbert–Schmidt」という形の条件で判定されます。純粋なボソン準自由状態では Shale の定理、ゲージ不変な CAR 準自由状態では Powers–Størmer の定理、一般の CCR 準自由状態では Araki–Yamagami の定理がこれを与えます。
- van Hove 模型の赤外発散で現れた「切断を外した基底状態」は、Fock 状態と互いに素な状態です。切断つきの基底状態はどれも Fock 表現の正規状態なのに、極限は正規状態の集合の外に出ます。正規状態の集合は弱 $*$ 位相で閉じていないからです。
## 1. 動機
フォック空間テーマの [CCR の表現](/physics/fock-space/ccr-representations) と [Bogoliubov 変換と Shale の定理](/physics/fock-space/bogoliubov-transformations) では、Weyl 関係の既約表現が無限自由度ではたくさんあり、ユニタリ同値かどうかが Hilbert–Schmidt 条件で判定されることを見ました。しかし物理で現れる表現の多くは既約ではありません。有限温度の熱平衡状態の GNS 表現は既約でなく（