# 状態の凸分解：Krein–Milman・Choquet 理論と KMS 状態の単体
> コンパクト凸集合の端点と重心から Milman の逆定理と Choquet の表現定理を証明し、Bauer 単体を特徴づける。KMS 状態の面と中心の対応を冨田–竹崎理論で示し、端点が因子状態であること、中心分解・エルゴード分解を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/operator-algebras/convex-decomposition
## 0. この記事の要点
コップ 1 杯の水が、氷と水のどちらの状態にもなりうる温度があります。そのとき全体の状態は「氷の状態」と「水の状態」の混ぜ合わせですが、混ぜ方が 1 通りに決まるとは限りません。この記事は、混ざった状態を、これ以上分けられない純粋な状態の混ぜ合わせとして書けるか、書けるなら書き方は 1 通りか、を数学の言葉で調べます。読み終えると、熱平衡状態の混ぜ合わせが 1 通りに決まる理由（中心という可換な部分に問題が帰着されること）を説明できるようになります。
- [コンパクト](/mathematics/topology/compactness#def-compact)凸集合 $K$ の点 $x$ を「端点の上の確率測度の重心」として表すのが凸分解です。Krein–Milman の定理は $K$ が端点の閉凸包であることを言い、**Milman の逆定理**は、$K$ を閉凸包として生成する閉集合は必ず端点を含むことを言います。
- **Choquet の定理**：$K$ が距離化可能なら、各点 $x\in K$ は、端点の集合 $\mathrm{ext}\,K$（$G_\delta$ 集合）に集中した確率測度 $\mu$ の重心として書けます。証明は狭義凸関数の上包絡を使い、Hahn–Banach と Riesz–Markov だけで完結します。
- 表現測度が一意な $K$ を**単体**、さらに端点が閉集合をなすものを **Bauer 単体**といいます。単体であることは、$K$ の生成する錐が束であることと同値です（**Choquet–Meyer の定理**。凸関数の上包絡がアフィンになることを経由して証明します）。Bauer 単体はコンパクト空間上の確率測度全体 $M_1(X)$ と同じもので、可換 $C^*$ 環の状態空間がその典型です。非可換な状態空間（Bloch 球）は単体ではありません。
- [KMS 状態](/mathematics/operator-algebras/kms-states#def-kms-state) $\omega$ について、$\omega$ 以下の KMS 汎関数と、GNS 表現の [von Neumann 環](/mathematics/operator-algebras/von-neumann-algebras#def-von-neumann-algebra)の**中心**の元 $0\le Z\le1$ が 1 対 1 に順序同型で対応します。証明は KMS 条件を $\pi_\omega(\mathfrak{A})''$ に延ばし、竹崎の一意性定理（KMS 条件がモジュラー群を決めるという定理）でモジュラー群と時間発展を同一視し、モジュラー共役 $J$（左右を入れ替える反ユニタリ作用素）との可換性を示すことで行います。
- その帰結として、端点の KMS 状態は因子状態（中心が自明な状態）であり、異なる端点は互いに素で、KMS 汎関数の錐は束になります（したがって $K_\beta$ は Choquet 単体）。KMS 状態の端点分解は**中心分解**にほかならず（中心が原子的な場合に証明し、一般の場合は筋道を述べます）、群作用で不変な状態の端点分解は**エルゴード分解**です。
## 1. 動機
有限次元の量子系の熱平衡状態は Gibbs 状態ただ 1 つで（[KMS 状態と熱平衡](/mathematics/operator-algebras/kms-states) の