# 解の存在と一意性：Picard–Lindelöf・Peano・Gronwall と初期値への依存

> 初期値問題の局所解の存在をBanachの不動点定理とEuler折れ線とArzelà–Ascoliで、一意性と連続・微分可能依存性をGronwallの不等式で証明し、解の延長とVolterra積分方程式までを扱う。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/ode/existence-uniqueness

## 0. この記事の要点

「今この瞬間の状態から、変化の速さが決まる」という規則だけを与えて、その先の動きを追うのが微分方程式です。ところで、その規則に従う動きは本当に存在するのか、存在するとして 1 通りに決まるのか、出発点を少しずらしても行き先は少ししか変わらないのか、という素朴な疑問があります。この記事は、これらに「条件がよければ、はい」と答える理由を示します。読み終えると、数値計算や「出発点から決まる動き」という言い方がなぜ意味を持つのかが説明できるようになります。

- 初期値問題 $y'=f(x,y)$、$y(x_0)=y_0$ は、積分方程式 $y=y_0+\int f(s,y(s))\,ds$ と同値で、右辺は連続関数の空間上の写像です。$f$ が $y$ について Lipschitz 連続（変数 $y$ の差に比例する程度にしか値が変わらない）なら、これは（重みつきノルムで）[縮小写像](/mathematics/real-analysis/metric-spaces#def-contraction)（2 点の距離を一定の割合で縮める写像）で、Banach の不動点定理が**局所解の存在と一意性**を与えます（Picard–Lindelöf）。
- Gronwall の不等式は、微分方程式の解の差を評価する基本道具です。一意性、連続依存性、微分可能依存性、解の大域存在がすべてこの 1 本の不等式から出ます。
- Lipschitz 条件がなく $f$ が連続なだけでも、Euler 折れ線と Arzelà–Ascoli の議論で解の**存在**は言えます（Peano）。ただし一意性は一般に失われます。
- 解は延ばせるだけ延ばせ、最大解（これ以上延ばせない解）の端点では、グラフがどんなコンパクト集合からも脱出します。線形増大条件の下では解は大域的に存在します。
- 解は初期値と初期時刻に連続に依存し、$f$ が $C^1$ ならば初期値に $C^1$ 級に依存して、その微分は変分方程式（初期値を動かしたときの解の変化率が満たす線形方程式）を満たします。変分方程式を連立した拡大系に同じ結果を使う帰納法で、$f$ が $C^k$ 級なら解も $(x,x_0,y_0)$ について $C^k$ 級（$C^\infty$ なら $C^\infty$ 級）になります。自励系ではこれが**流れ**（各点を出発点とする解を、時間ごとに並べた写像）を定め、半群・多様体上のベクトル場の理論の出発点になります。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **前章の初期値問題と解**: 微分方程式と初期条件を満たす関数を「解」とよぶ、という約束です。→ [常微分方程式の初等解法](/mathematics/ode/elementary-methods)
- **完備性**: 距離空間でコーシー列が必ず収束する、という性質です。→ [完備性](/mathematics/real-analysis/metric-spaces#def-convergent-complete)
- **縮小写像**: どの 2 点の距離も、一定の割合（1 未満）に縮める写像です。→ [縮小写像](/mathematics/real-analysis/metric-spaces#def-contraction)
- **一様収束**: 関数列が定義域全体で同じ速さで極限に近づく収束です。→ [一様収束](/mathematics/real-analysis/uniform-convergence#def-uniform)
- **同程度連続**: 関数の族が、すべて共通の $\delta$ で連続性の条件を満たすことです。→ [同程度連続](/mathematics/real-analysis/arzela-ascoli-stone-weierstrass#def-equicontinuous)
- **コンパクト**: 距離空間では、どの点列も収束する部分列をもつ集合のことです。→ [コンパクト](/mathematics/real-analysis/metric-spaces#def-compactness-metric)

</Aside>

## 1. 動機

[前の章](/mathematics/ode/elementary-methods) では、公式で書ける方程式を解きました。しかし、実際に現れる微分方程式のほとんどは公式で解けません。それでも私たちは「$x_0$ で $y_0$ を出発した解」を語り、数値計算でそれを近似し、その初期値依存性を調べます。それが意味を持つ前提は、次の 3 つの問いに答えることです。

1. **存在**：解は少なくとも 1 つ存在するか。
2. **一意性**：存在するとして、ただ 1 つか。
3. **安定性（依存性）**：初期値を少し変えると、解は少ししか変わらないか。

どれも自明ではなく、前の章で見たとおり、一意性は $y'=3y^{2/3}$ で壊れます。そして 1 と 2 に 3 を加えた 3 条件が揃うことを、数学では**適切性**（well-posedness、Hadamard）といいます。この記事では、$f$ が $y$ について Lipschitz 連続という条件のもとで適切性を証明します。

証明の方法も、この記事の見どころです。解を「方程式の解」としてではなく、積分作用素の**不動点**として捉えるため、関数の空間の[完備性](/mathematics/real-analysis/metric-spaces#def-convergent-complete)が主役になります。微分方程式の問題が関数解析の問題に変わる。この見方が、後の章（Green 関数、半群、偏微分方程式）にそのままつながります。

## 2. 準備：積分方程式と Lipschitz 条件

この章では $D\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n$ を開集合、$f:D\to\mathbb{R}^n$ を連続とし、$|\cdot|$ をユークリッドノルムとします。ベクトル値関数の積分は成分ごとに行います。

<Lemma id="lem-norm-integral" title="積分のノルム">
$v:[a,b]\to\mathbb{R}^n$ が連続なら $\left|\int_a^bv\,ds\right|\le\int_a^b|v|\,ds$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-norm-integral">
$w=\int_a^bv\,ds$ とおくと、$|w|^2=\int_a^b\langle w,v(s)\rangle\,ds\le|w|\int_a^b|v|\,ds$ です（Cauchy–Schwarz）。$w\ne0$ なら $|w|$ で割ります。
</Proof>

<Lemma id="lem-integral-equation" title="初期値問題と積分方程式">
区間 $I\ni x_0$ 上の連続関数 $\varphi$ で $(x,\varphi(x))\in D$ を満たすものについて、次は同値である。
1. $\varphi$ は $C^1$ 級で $\varphi'=f(x,\varphi)$、$\varphi(x_0)=y_0$ を満たす。
2. $\varphi(x)=y_0+\displaystyle\int_{x_0}^{x}f(s,\varphi(s))\,ds$（$x\in I$）。
</Lemma>

<Proof of="lem-integral-equation">
(1)⇒(2) は微分積分学の基本定理（<Ref to="mathematics/calculus/integration-and-ftc#thm-ftc2" />）を各成分に適用します。(2)⇒(1) は、右辺の被積分関数が連続なので、<Ref to="mathematics/calculus/integration-and-ftc#thm-ftc1" /> により右辺が $C^1$ 級で、その微分が $f(x,\varphi(x))$ になります。
</Proof>

<Definition id="def-lipschitz-y" title="y について局所 Lipschitz">
$f$ が $D$ で **$y$ について局所 Lipschitz 連続**であるとは、任意の[コンパクト](/mathematics/real-analysis/metric-spaces#def-compactness-metric)集合 $K\subset D$ に対し定数 $L=L_K$ が存在して
$$
|f(x,y)-f(x,z)|\le L|y-z|\qquad((x,y),(x,z)\in K)
$$
が成り立つことをいう。
</Definition>

<Proposition id="prop-c1-lipschitz" title="C¹ 級なら局所 Lipschitz">
$f$ と Jacobi 行列 $f_y=\partial f/\partial y$ が $D$ 上で連続なら、$f$ は $y$ について局所 Lipschitz 連続である。
</Proposition>

<Proof of="prop-c1-lipschitz">
$K\subset D$ をコンパクトとします。$D$ が開集合なので、$r>0$ を、$K_r=\{p:\operatorname{dist}(p,K)\le r\}\subset D$ となるようにとれます（$K_r$ は有界閉集合）。$M=\max_{K_r}|f|$、$N=\max_{K_r}\|f_y\|$ とします。$(x,y),(x,z)\in K$ とします。$|y-z|\ge r$ なら $|f(x,y)-f(x,z)|\le2M\le(2M/r)|y-z|$ です。$|y-z|<r$ なら、線分 $\{(x,y+\theta(z-y))\}$ は $K_r$ に含まれ、ベクトル値の平均値不等式（<Ref to="mathematics/calculus/inverse-implicit-functions#lem-mean-value-ineq" />）により $|f(x,y)-f(x,z)|\le N|y-z|$ です。$L=\max(2M/r,N)$ とすればよいです。
</Proof>

## 3. Gronwall の不等式と一意性

<Lemma id="lem-gronwall" title="Gronwall の不等式">
$u,\beta:[a,b]\to[0,\infty)$ を連続、$\alpha\ge0$ を定数とし、すべての $x\in[a,b]$ で
$$
u(x)\le\alpha+\int_a^x\beta(s)u(s)\,ds
$$
が成り立つとする。このとき $u(x)\le\alpha\exp\left(\int_a^x\beta(s)\,ds\right)$ である。とくに $\alpha=0$ なら $u\equiv0$。
</Lemma>

<Proof of="lem-gronwall">
$U(x)=\alpha+\int_a^x\beta u\,ds$ とおくと、$U$ は $C^1$ 級で $U'=\beta u\le\beta U$、$u\le U$ です。$B(x)=\int_a^x\beta$ とすると $(Ue^{-B})'=(U'-\beta U)e^{-B}\le0$ なので $Ue^{-B}$ は単調非増加（<Ref to="mathematics/calculus/mean-value-and-taylor#cor-monotonicity" />）で、$U(x)e^{-B(x)}\le U(a)=\alpha$ です。よって $u\le U\le\alpha e^{B}$ です。
</Proof>

基点より左側（$x<x_0$）の評価は、$x\mapsto2x_0-x$ で反転すれば同じ形になるので、以下では $|x-x_0|$ を使って区別せず述べます。

<Theorem id="thm-uniqueness" title="解の一意性">
$f$ が $D$ で $y$ について局所 Lipschitz 連続であるとする。$(\varphi,I)$ と $(\psi,J)$ を $y'=f(x,y)$ の解とし、ある $x_0\in I\cap J$ で $\varphi(x_0)=\psi(x_0)$ なら、$I\cap J$ 全体で $\varphi=\psi$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-uniqueness">
$[a,b]\subset I\cap J$ を $x_0$ を含むコンパクト区間とします。$K=\{(x,\varphi(x)),(x,\psi(x)):x\in[a,b]\}$ はコンパクトで、Lipschitz 定数 $L$ をとれます。<Ref to="lem-integral-equation" /> と <Ref to="lem-norm-integral" /> から、$u=|\varphi-\psi|$ は
$$
u(x)\le\left|\int_{x_0}^{x}|f(s,\varphi)-f(s,\psi)|\,ds\right|\le L\left|\int_{x_0}^{x}u(s)\,ds\right|
$$
を満たします。<Ref to="lem-gronwall" />（$\alpha=0$）から $u\equiv0$ です。$[a,b]$ は任意なので結論が従います。
</Proof>

## 4. Picard–Lindelöf の定理

<Theorem id="thm-picard-lindelof" title="Picard–Lindelöf の定理">
$R=[x_0-a,x_0+a]\times\bar B(y_0,b)\subset D$ とし、$M=\max_R|f|$、$L$ を $R$ 上の $y$ に関する Lipschitz 定数とする。$h=\min(a,b/M)$（$M=0$ なら $h=a$）とおく。このとき初期値問題 $y'=f(x,y)$、$y(x_0)=y_0$ は $[x_0-h,x_0+h]$ 上で解をただ 1 つ持つ。この解は、$\varphi_0\equiv y_0$、$\varphi_{k+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(s,\varphi_k(s))\,ds$ の一様極限である。
</Theorem>

証明の方針は、積分方程式の右辺を写像 $T$ とみて、その不動点を縮小写像の原理で見つけることです。素朴な距離のままでは積分のたびに $L$ 倍が出て縮小になるとは限らないので、指数関数 $e^{-2L|x-x_0|}$ を重みとして掛けた距離を使います。この重みは、積分で出る $L$ 倍を打ち消して、縮小率をちょうど $1/2$ にするための工夫です。最後の一意性は、解のグラフが箱の外に出る最初の時刻を考えます。そこまでは傾きが $M$ 以下なので、$b$ だけ進めずに矛盾が出る、という背理法です。

<Proof of="thm-picard-lindelof">
$I=[x_0-h,x_0+h]$、$X=\{\varphi\in C(I;\mathbb{R}^n):|\varphi(x)-y_0|\le b\}$ とし、$L>0$ としてよい（$L=0$ ならどの数に取り直してもよい）。$X$ に重みつき距離
$$
d(\varphi,\psi)=\max_{x\in I}e^{-2L|x-x_0|}|\varphi(x)-\psi(x)|
$$
を入れます。$e^{-2Lh}\max|\varphi-\psi|\le d(\varphi,\psi)\le\max|\varphi-\psi|$ なので、$d$ に関するコーシー列は一様コーシー列で、一様収束極限は連続（<Ref to="mathematics/real-analysis/uniform-convergence#thm-uniform-cauchy" />、<Ref to="mathematics/real-analysis/uniform-convergence#thm-continuity" />）かつ条件 $|\varphi-y_0|\le b$ を保ちます。よって $(X,d)$ は完備です。

$(T\varphi)(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(s,\varphi(s))\,ds$ とします。$|T\varphi(x)-y_0|\le M|x-x_0|\le Mh\le b$ なので $T\varphi\in X$ です。さらに
$$
|T\varphi(x)-T\psi(x)|\le L\left|\int_{x_0}^{x}|\varphi-\psi|\,ds\right|\le L\,d(\varphi,\psi)\left|\int_{x_0}^{x}e^{2L|s-x_0|}ds\right|\le\frac{1}{2}e^{2L|x-x_0|}d(\varphi,\psi)
$$
ですから $d(T\varphi,T\psi)\le\frac12d(\varphi,\psi)$ で、$T$ は縮小写像です。Banach の不動点定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/metric-spaces#thm-banach-fixed-point" />）により不動点がただ 1 つ存在し、その点は任意の出発点からの反復の極限です（出発点を $\varphi_0\equiv y_0\in X$ にとる）。不動点は <Ref to="lem-integral-equation" /> により解です。一意性：$I$ 上の任意の解 $\varphi$ について、グラフが $\bar B(y_0,b)$ から出ることはありません。出るとすると、$t_1=\sup\{t\in[x_0,x_0+h]:|\varphi-y_0|\le b\ \text{on}\ [x_0,t]\}$ は $x_0+h$ より小さく、$|\varphi(t_1)-y_0|=b$ ですが、$[x_0,t_1]$ ではグラフが $R$ に入って $|\varphi'|\le M$ なので $b=|\varphi(t_1)-y_0|\le M(t_1-x_0)<b$ となり矛盾します（$t_1-x_0<h\le b/M$。$M=0$ なら中央が $0$ で $b>0$ に反します）（左側も同じ）。したがって解は $X$ の元で、不動点の一意性から 1 つに限られます。
</Proof>

スカラーの場合の局所版は [距離空間](/mathematics/real-analysis/metric-spaces) の <Ref to="mathematics/real-analysis/metric-spaces#thm-picard-lindelof" /> にもあります。そこでは通常の一様距離を使うため存在区間が $1/(2L)$ で制限されますが、ここでは重みつき距離でこの制限を外しています。

重みつき距離 $d$ を使うのが技巧です。素朴な一様距離では $L h<1$ を要求し、$h$ を小さく取り直す必要がありますが、$d$ では縮小率が $1/2$ に固定でき、解の存在区間 $h$ が $L$ によりません。この性質は §6 で本質的に効きます。

<Corollary id="cor-maximal" title="最大解の存在と一意性">
$f$ が $D$ で連続かつ $y$ について局所 Lipschitz 連続なら、任意の $(x_0,y_0)\in D$ に対し $y(x_0)=y_0$ の最大解がただ 1 つ存在し、その区間は開区間 $(\alpha,\beta)$ である。
</Corollary>

<Proof of="cor-maximal">
<Ref to="mathematics/ode/elementary-methods#def-maximal" text="前章" /> で導入した性質のうち、(E)（各点を通る解の存在）を <Ref to="thm-picard-lindelof" /> が、(U)（解の一意性）を <Ref to="thm-uniqueness" /> が与えます。あとは <Ref to="mathematics/ode/elementary-methods#thm-maximal-solution" /> です（前章は $n=1$ で述べましたが、証明は未知関数の次元によりません）。
</Proof>

<Example id="ex-guaranteed-interval" title="定理が保証する区間の大きさ">
$y'=y^2$、$y(0)=1$ に <Ref to="thm-picard-lindelof" /> を適用します。$R=[-a,a]\times[1-b,1+b]$ では $M=(1+b)^2$ で、$a$ はいくらでも大きくとれるので $h=b/(1+b)^2$ です。これは $b=1$ で最大値 $1/4$ をとります。実際の最大解 $1/(1-x)$ は $(-\infty,1)$ 上で存在するので、定理が保証する $[-1/4,1/4]$ は控えめですが、「解が発散するまでの時間」のオーダー（$1$）は正しく捉えています。この見積もりを繰り返し使って解を延ばしていくのが §6 の議論です。
</Example>

<Example id="ex-picard-exp" title="Picard 反復は Taylor 多項式">
$y'=y$、$y(0)=1$ では、$\varphi_0=1$、$\varphi_1=1+x$、$\varphi_2=1+x+x^2/2$、と反復が $\varphi_k=\sum_{j\le k}x^j/j!$ になり、$e^x$ に[一様収束](/mathematics/real-analysis/uniform-convergence#def-uniform)します。
</Example>

反復を重ねるごとに $\varphi_k$ が $e^x$ に重なっていく様子を見てください。

<Figure caption="図. y'=y、y(0)=1 の Picard 反復 φ₀, φ₁, …, φ₇（赤）。薄い青は前の反復。原点から遠い所ほど収束が遅いが、反復とともに一様に e^x（灰）へ近づく。">
<img src="/figures/picard-exp-iterates.gif" alt="y'=y、y(0)=1 の Picard 反復 φ_k が k=0 の定数関数 1 から始まり、k=7 までに指数関数 e^x のグラフにほぼ重なるまで近づいていく動画。" loading="lazy" />
</Figure>

## 5. Peano の定理

$f$ が連続なだけで Lipschitz 条件がないとき、解の一意性は失われますが（前章の $3y^{2/3}$）、存在は残ります。この存在を示すにはもはや縮小写像は使えません。かわりに**コンパクト性**を使います。

<Lemma id="lem-ascoli" title="Arzelà–Ascoli の補題">
$\varphi_k:[a,b]\to\mathbb{R}^n$（$k\in\mathbb{N}$）が連続で、(i) [一様有界](/mathematics/real-analysis/arzela-ascoli-stone-weierstrass#def-equicontinuous)：$|\varphi_k(x)|\le C$、(ii) [同程度連続](/mathematics/real-analysis/arzela-ascoli-stone-weierstrass#def-equicontinuous)：任意の $\varepsilon>0$ に対し $\delta>0$ が存在して、すべての $k$ と $|x-x'|<\delta$ で $|\varphi_k(x)-\varphi_k(x')|<\varepsilon$ とする。このとき、一様収束する部分列が存在する。
</Lemma>

<Proof of="lem-ascoli">
実数値関数の場合は、コンパクト距離空間 $[a,b]$ 上の Arzelà–Ascoli の定理の点列版（<Ref to="mathematics/real-analysis/arzela-ascoli-stone-weierstrass#cor-arzela-ascoli-sequence" />）そのものです。$\mathbb{R}^n$ 値のときは、成分ごとに適用します。第 1 成分の列 $(\varphi_k^{(1)})$ は一様有界かつ同程度連続（$|\varphi_k^{(1)}|\le|\varphi_k|$、$|\varphi_k^{(1)}(x)-\varphi_k^{(1)}(x')|\le|\varphi_k(x)-\varphi_k(x')|$）なので一様収束する部分列を持ちます。その部分列の第 2 成分にもう一度適用して部分列を取り、これを第 $n$ 成分まで繰り返せば、全成分が一様収束する、すなわち $|\cdot|$ に関して一様収束する部分列が得られます。
</Proof>

<Theorem id="thm-peano" title="Peano の存在定理">
<Ref to="thm-picard-lindelof" /> の記号で、$f$ が $R$ 上で連続（Lipschitz 条件は不要）とする。このとき初期値問題 $y'=f(x,y)$、$y(x_0)=y_0$ は $[x_0-h,x_0+h]$ 上で解を持つ。
</Theorem>

証明の方針は、Euler 折れ線（各小区間で傾きを左端の値に固定してつないだ折れ線）を細かく刻んだ列を作り、Arzelà–Ascoli の補題で一様収束する部分列を取り出して、その極限が解になることを示すことです。折れ線を階段関数 $\tau_N$ を使った積分の形に書き直すのは、極限をとった式を積分方程式と見比べるためです。

<Proof of="thm-peano">
右側 $[x_0,x_0+h]$ を示します（左側は $\tilde f(x,y)=-f(2x_0-x,y)$ に右側の結果を適用して、$x\mapsto2x_0-x$ で反転すれば得られます）。

**Euler 折れ線。** 自然数 $N$ に対し $\delta=h/N$、$x_j=x_0+j\delta$ とし、$\varphi_N(x_0)=y_0$、$x\in[x_j,x_{j+1}]$ では
$$
\varphi_N(x)=\varphi_N(x_j)+(x-x_j)f(x_j,\varphi_N(x_j))
$$
と順に定めます。帰納的に $|\varphi_N(x)-y_0|\le M(x-x_0)\le b$ なので $f$ の引数は常に $R$ の中にあり、折れ線 $\varphi_N$ は定義できます。傾きの大きさは $M$ 以下なので $|\varphi_N(x)-\varphi_N(x')|\le M|x-x'|$ です。よって $(\varphi_N)$ は一様有界かつ同程度連続で、<Ref to="lem-ascoli" /> により一様収束する部分列 $\varphi_{N_k}\to\varphi$ があります。

**極限が解であること。** $\tau_N(s)=x_j$（$s\in[x_j,x_{j+1})$）とおくと、$\varphi_N(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(\tau_N(s),\varphi_N(\tau_N(s)))\,ds$ です。$f$ は $R$ 上で一様連続（<Ref to="mathematics/ode/elementary-methods#lem-uniform-compact" />）なので、$\varepsilon>0$ に対し、$|s-\tau_N(s)|\le\delta$、$|\varphi_N(s)-\varphi_N(\tau_N(s))|\le M\delta$ から、$N$ が十分大きいとき
$$
\bigl|f(\tau_N(s),\varphi_N(\tau_N(s)))-f(s,\varphi_N(s))\bigr|<\varepsilon
$$
が全 $s$ で成り立ちます。したがって $\left|\varphi_N(x)-y_0-\int_{x_0}^xf(s,\varphi_N(s))\,ds\right|\le\varepsilon h$ です。$N=N_k\to\infty$ のとき、$\varphi_{N_k}\to\varphi$ は一様で $f$ は一様連続なので $f(s,\varphi_{N_k}(s))\to f(s,\varphi(s))$ も一様です。よって $\left|\varphi(x)-y_0-\int_{x_0}^xf(s,\varphi(s))\,ds\right|\le\varepsilon h$ で、$\varepsilon$ は任意なので積分方程式が成り立ち、<Ref to="lem-integral-equation" /> から解です。
</Proof>

この証明が与えるのは「ある解」であって、「Euler 折れ線の極限として決まる解」ではないことに注意してください。たとえば $y'=3y^{2/3}$、$y(0)=0$ では $f(0)=0$ なので Euler 折れ線は恒等的に $0$ で、解 $y=x^3$ は折れ線法からは出てきません。一意性がない問題では、近似法が拾う解は近似の仕方に依存します。

## 6. 解の延長と大域存在

解がどこまで延びるかを調べます。次の定理は、有限の端点 $\beta$ で解が止まるなら、その直前でグラフはどんなコンパクト集合の中にもいられない、つまり端に近づくにつれて、領域の端か無限遠に向かって出ていく、ということを述べています。たとえば $y'=y^2$、$y(0)=1$ の解 $1/(1-x)$ は $x\to1$ で発散し、図のようにどの箱からも外に出ます。

<Figure caption="図. y'=y²、y(0)=1 の解 y=1/(1−x)。x=1 に近づくと、コンパクト集合 K（長方形）の外に出る。">
<svg viewBox="0 0 480 220" width="100%" role="img" aria-label="y=1/(1-x) のグラフが x=1 の直前で長方形の箱の上へ出ていく図">
  <rect x="60" y="100" width="280" height="90" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5 4" opacity="0.6" />
  <line x1="40" y1="190" x2="450" y2="190" stroke="currentColor" stroke-width="1" opacity="0.5" />
  <line x1="380" y1="10" x2="380" y2="190" stroke="currentColor" stroke-width="1" stroke-dasharray="3 3" opacity="0.5" />
  <polyline points="60,175 140,170 220,160 252,152.5 300,130 316,115 340,70 348,40 353,10" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2.2" />
  <circle cx="60" cy="175" r="3.5" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <text x="56" y="208" font-size="12" fill="currentColor">x=0</text>
  <text x="362" y="208" font-size="12" fill="currentColor">x=1（β）</text>
  <text x="68" y="118" font-size="12" fill="currentColor">K</text>
  <text x="262" y="60" font-size="12" fill="var(--sl-color-accent)">解 y=1/(1−x)</text>
</svg>
</Figure>

<Theorem id="thm-exit" title="最大解は端点でコンパクト集合から脱出する">
$f$ は $D$ で連続かつ $y$ について局所 Lipschitz 連続とし、$(\varphi,(\alpha,\beta))$ を最大解とする。$\beta<\infty$ なら、任意のコンパクト集合 $K\subset D$ に対し $\delta>0$ が存在して、$x\in(\beta-\delta,\beta)$ で $(x,\varphi(x))\notin K$ である。$\alpha>-\infty$ の側も同様である。
</Theorem>

<Proof of="thm-exit">
<Ref to="prop-c1-lipschitz" /> の証明のように $r>0$ をとり、$K_r\subset D$ とします。$M=\max_{K_r}|f|$、$h=\min(r/2,\,r/(2M))$ とします。$(\xi,\eta)\in K$ なら、$[\xi-r/2,\xi+r/2]\times\bar B(\eta,r/2)\subset K_r$ で、<Ref to="thm-picard-lindelof" /> は $(\xi,\eta)$ を通る解を $[\xi-h,\xi+h]$ 上で与えます。ここで $h$ は点 $(\xi,\eta)$ によらず、$K$ だけで決まります。

$\delta=h$ とします。$x_1\in(\beta-h,\beta)$ で $(x_1,\varphi(x_1))\in K$ とすると、$(x_1,\varphi(x_1))$ を通る解 $\psi$ が $[x_1-h,x_1+h]\ni\beta$ 上で存在し、<Ref to="thm-uniqueness" /> により共通部分で $\varphi=\psi$ です。貼り合わせると $\beta$ を越える $\varphi$ の延長ができ、最大性に反します。
</Proof>

<Corollary id="cor-global-existence" title="線形増大なら大域的に存在する">
$I$ を開区間とし、$f:I\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ は連続かつ $y$ について局所 Lipschitz 連続で、連続関数 $A,B\ge0$ により $|f(x,y)|\le A(x)|y|+B(x)$ を満たすとする。このとき、任意の $(x_0,y_0)\in I\times\mathbb{R}^n$ に対し、最大解は $I$ 全体で定義される。
</Corollary>

<Proof of="cor-global-existence">
最大解の区間 $(\alpha,\beta)$ の右端が $\beta<\sup I$ と仮定します。$[x_0,\beta]\subset I$ 上で $A\le A_0$、$B\le B_0$ としてよく、$x\in[x_0,\beta)$ で
$$
|\varphi(x)|\le|y_0|+\int_{x_0}^x(A_0|\varphi|+B_0)\,ds=\alpha_0+A_0\int_{x_0}^x|\varphi|\,ds,\quad\alpha_0=|y_0|+B_0(\beta-x_0)
$$
です。<Ref to="lem-gronwall" /> から $|\varphi|\le\alpha_0e^{A_0(\beta-x_0)}=:R_0$ で、グラフはコンパクト集合 $[x_0,\beta]\times\bar B(0,R_0)\subset D$ に留まります。これは <Ref to="thm-exit" /> に反します。左端も同様です。
</Proof>

<Example id="ex-global-nonlinear" title="線形増大条件の例">
$y'=x^2+\cos y$（スカラー）では $|f|\le x^2+1$ で、$A=0$、$B=x^2+1$ ととれます。最大解は $\mathbb{R}$ 全体で存在します。一方 $y'=y^2$ は線形増大でなく、解は有限の $x$ で発散します（前章）。
</Example>

## 7. 初期値への連続依存性

証明の筋は図 1 のとおりです。基準の解 $\varphi$ のまわりに、半径 $r$ の管（$\Gamma_r$）を考えます。近い初期値から出た解 $\psi$ は、Gronwall の不等式で差の上限が $C\varepsilon$ に抑えられるため管の中に留まり、したがって（管はコンパクトなので）区間の右端 $\xi+\delta_0$ まで延びます。

<Figure caption="図 1. 連続依存性の証明。基準の解 φ（太線）のまわりの管の中に、近い初期値の解 ψ（細線）が留まる。">
<svg viewBox="0 0 480 220" width="100%" role="img" aria-label="基準の解の曲線と、そのまわりの管、および管の中を通る近い初期値の解を描いた図">
  <path d="M 40 150 C 140 150 180 70 260 80 C 340 90 380 60 440 50" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 4" opacity="0.4" transform="translate(0,-34)" />
  <path d="M 40 150 C 140 150 180 70 260 80 C 340 90 380 60 440 50" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 4" opacity="0.4" transform="translate(0,34)" />
  <path d="M 40 150 C 140 150 180 70 260 80 C 340 90 380 60 440 50" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="2.6" />
  <path d="M 46 164 C 146 160 186 88 262 92 C 340 98 382 72 440 62" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="1.8" />
  <line x1="40" y1="200" x2="450" y2="200" stroke="currentColor" stroke-width="1" opacity="0.5" />
  <line x1="40" y1="196" x2="40" y2="204" stroke="currentColor" stroke-width="1" />
  <line x1="440" y1="196" x2="440" y2="204" stroke="currentColor" stroke-width="1" />
  <circle cx="40" cy="150" r="3.5" fill="currentColor" />
  <circle cx="46" cy="164" r="3.5" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <text x="33" y="216" font-size="12" fill="currentColor">x₀</text>
  <text x="418" y="216" font-size="12" fill="currentColor">ξ + δ₀</text>
  <text x="268" y="32" font-size="12" fill="currentColor">管（半径 r）</text>
  <text x="352" y="102" font-size="12" fill="var(--sl-color-accent)">ψ</text>
  <text x="146" y="96" font-size="12" fill="currentColor">φ</text>
</svg>
</Figure>

解を初期条件の関数と見て、$\varphi(x;x_0,y_0)$ と書きます。定義域 $\Omega=\{(x,x_0,y_0):(x_0,y_0)\in D,\ x\in(\alpha(x_0,y_0),\beta(x_0,y_0))\}$ です。

<Theorem id="thm-continuous-dependence" title="初期値・初期時刻への連続依存性">
$f$ が $D$ で連続かつ $y$ について局所 Lipschitz 連続なら、$\Omega$ は開集合で、$\varphi$ は $\Omega$ 上連続である。
</Theorem>

<Proof of="thm-continuous-dependence">
$(\xi,x_0,y_0)\in\Omega$ とし、$\xi\ge x_0$ のとき示します（$\xi<x_0$ は反転で同じです）。$\varphi=\varphi(\cdot;x_0,y_0)$ の定義域は開区間なので、$\delta_0>0$ で $J'=[x_0-\delta_0,\xi+\delta_0]$ が定義域に含まれるものがあります。グラフ $\Gamma=\{(x,\varphi(x)):x\in J'\}$ はコンパクトです。$r>0$ を $\Gamma_r\subset D$ となるようにとり、$M=\max_{\Gamma_r}|f|$、$L$ を $\Gamma_r$ 上の Lipschitz 定数、$\ell$ を $J'$ の長さ、$C=(1+M)e^{L\ell}$ とします。

$\varepsilon>0$ を $C\varepsilon<r/2$、$\varepsilon<\delta_0$ とし、$|x_0'-x_0|<\varepsilon$、$|y_0'-y_0|<\varepsilon$ とします。$\psi=\varphi(\cdot;x_0',y_0')$ の最大区間を $(\alpha',\beta')$ とし、
$$
t^*=\sup\{t\in[x_0',\min(\beta',\xi+\delta_0)):|\psi-\varphi|\le r\ \text{on}\ [x_0',t]\}
$$
とします。$[x_0',t^*)$ 上では、グラフが $\Gamma_r$ に入るので <Ref to="lem-integral-equation" /> と Lipschitz 条件から
$$
|\psi(x)-\varphi(x)|\le|y_0'-\varphi(x_0')|+L\int_{x_0'}^x|\psi-\varphi|\,ds,\qquad|y_0'-\varphi(x_0')|\le|y_0'-y_0|+|\varphi(x_0)-\varphi(x_0')|\le(1+M)\varepsilon
$$
で、<Ref to="lem-gronwall" /> から $|\psi-\varphi|\le(1+M)\varepsilon e^{L\ell}=C\varepsilon<r/2$ です。したがって連続性により $t^*$ は $\min(\beta',\xi+\delta_0)$ と一致します。$\beta'\le\xi+\delta_0$ なら、$[x_0',\beta')$ で $\psi$ のグラフはコンパクト集合 $\Gamma_r$ に留まり、<Ref to="thm-exit" /> に反します。ゆえに $\beta'>\xi+\delta_0$ で、$[x_0',\xi+\delta_0]$ 上で $|\psi-\varphi|\le C\varepsilon$ です。$x_0'$ より左の $[x_0-\delta_0,x_0']$ でも、時間を反転して同じ議論をすれば $\alpha'<x_0-\delta_0$ かつ $|\psi-\varphi|\le C\varepsilon$ が言えます。これで、$(x,x_0',y_0')$（$x$ は $\xi$ の近傍、$(x_0',y_0')$ は $(x_0,y_0)$ の近傍）が $\Omega$ に入ること、すなわち $\Omega$ が開であることが分かり、
$$
|\varphi(x;x_0',y_0')-\varphi(\xi;x_0,y_0)|\le C\varepsilon+M|x-\xi|
$$
から連続性も従います。
</Proof>

自励系（右辺が $x$ に直接よらない方程式）$y'=f(y)$ では、$\psi(x)=\varphi(x+s)$ もまた解なので、<Ref to="thm-uniqueness" /> から $\varphi(x;x_0,y_0)=\Phi_{x-x_0}(y_0)$ と書けます（$\Phi_t(y_0)=\varphi(t;0,y_0)$）。さらに次が成り立ちます。

<Proposition id="prop-flow" title="流れの群性">
自励系 $y'=f(y)$（$f$ は開集合 $U\subset\mathbb{R}^n$ 上で連続かつ局所 Lipschitz 連続）の流れ $\Phi_t$ は、$\Phi_0=\mathrm{id}$、$\Phi_{t+s}=\Phi_t\circ\Phi_s$（右辺が定義される範囲で）を満たし、$(t,y)\mapsto\Phi_t(y)$ は開集合上で連続である。$f$ のすべての最大解が $\mathbb{R}$ 上で定義されるなら、$\{\Phi_t\}_{t\in\mathbb{R}}$ は $U$ の[同相写像](/mathematics/topology/continuous-maps#def-homeomorphism)の 1 径数群になる。
</Proposition>

<Proof of="prop-flow">
$\Phi_{t+s}(y)$ と $\Phi_t(\Phi_s(y))$ は、ともに $t$ の関数として解であり $t=0$ で $\Phi_s(y)$ に一致するので、<Ref to="thm-uniqueness" /> から一致します。連続性は <Ref to="thm-continuous-dependence" /> です。$\Phi_{-t}\circ\Phi_t=\mathrm{id}$ から $\Phi_t$ は連続な逆写像を持ちます。
</Proof>

この命題が、関数解析の章（<Ref to="mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups#def-c0-semigroup" text="強連続半群" /> など）の「1 径数群」を、ベクトル場から作る方法を与えています。

## 8. 初期値への微分可能依存性

<Theorem id="thm-differentiable-dependence" title="初期値への微分可能依存性">
$f$ と $f_y$ が $D$ 上で連続とする。$\varphi(x;x_0,y_0)$ は $y_0$ について $C^1$ 級であり、$Y(x)=\partial\varphi/\partial y_0(x;x_0,y_0)$ は**変分方程式**
$$
Y'=f_y\bigl(x,\varphi(x;x_0,y_0)\bigr)\,Y,\qquad Y(x_0)=I
$$
の解である。
</Theorem>

<Proof of="thm-differentiable-dependence">
$f_y$ が連続なので <Ref to="prop-c1-lipschitz" /> から局所 Lipschitz です。<Ref to="thm-continuous-dependence" /> の記号 $J=[x_0,\xi]$、$\Gamma_r$、$L$ を用います（$\xi<x_0$ は反転）。$A(x)=f_y(x,\varphi(x))$ は連続です。変分方程式は $Y$ の各列について $Y'=A(x)Y$ という線形方程式で、右辺は $|A(x)Y|\le\|A(x)\|\,|Y|$ を満たすので、<Ref to="cor-global-existence" /> により解 $Y$ は $J$ 全体で存在します。

$\eta\in\mathbb{R}^n$ を小さくとり、$u_\eta(x)=\varphi(x;x_0,y_0+\eta)-\varphi(x)$ とおきます。<Ref to="thm-continuous-dependence" /> の証明より $J$ 上 $|u_\eta|\le C|\eta|$ です。$w_\eta=u_\eta-Y\eta$ は、積分形の平均値の定理 $f(x,\varphi+u)-f(x,\varphi)=\int_0^1f_y(x,\varphi+\theta u)\,d\theta\,u$ により
$$
w_\eta'=A\,w_\eta+R_\eta,\qquad R_\eta=\int_0^1\bigl(f_y(x,\varphi+\theta u_\eta)-f_y(x,\varphi)\bigr)d\theta\;u_\eta,\qquad w_\eta(x_0)=0
$$
を満たします。$f_y$ は $\Gamma_r$ 上で一様連続（<Ref to="mathematics/ode/elementary-methods#lem-uniform-compact" />）なので、任意の $\varepsilon>0$ に対し $|\eta|$ が十分小さければ $|R_\eta|\le\varepsilon C|\eta|$ です。<Ref to="lem-gronwall" /> から $|w_\eta|\le\varepsilon C|\eta|\ell e^{\|A\|_\infty\ell}$、すなわち $w_\eta=o(|\eta|)$ で、$\varphi$ は $y_0$ で微分可能、微分は $Y(\xi)$ です。

微分の連続性：$\tilde y_0$ が $y_0$ に近いとき、$\tilde A(x)=f_y(x,\varphi(x;x_0,\tilde y_0))$ は $\sup_J\|\tilde A-A\|\to0$（$f_y$ の一様連続性と <Ref to="thm-continuous-dependence" />）です。$\tilde y_0$ に対応する変分方程式の解を $\tilde Y$ とし、$\Delta=\tilde Y-Y$ とおくと、$\Delta'=\tilde A\Delta+(\tilde A-A)Y$、$\Delta(x_0)=0$ で、Gronwall から $\sup_J|\Delta|\to0$ です。
</Proof>

<Corollary id="cor-initial-time-derivative" title="初期時刻での微分">
同じ仮定のもとで、$\varphi$ は $x_0$ についても $C^1$ 級で $\dfrac{\partial\varphi}{\partial x_0}(x;x_0,y_0)=-Y(x)\,f(x_0,y_0)$ である。
</Corollary>

<Proof of="cor-initial-time-derivative">
$\varphi(x_0;x_0,y_0)=y_0$ なので、$x_0$ を $x_0+s$ に変えた解 $\varphi(x;x_0+s,y_0)$ は、時刻 $x_0$ には値
$$
z(s):=\varphi(x_0;x_0+s,y_0)=y_0-\int_{x_0}^{x_0+s}f\bigl(\sigma,\varphi(\sigma;x_0+s,y_0)\bigr)d\sigma=y_0-s\,f(x_0,y_0)+o(s)
$$
を持ちます（被積分関数は <Ref to="thm-continuous-dependence" /> により連続）。解の一意性より $\varphi(x;x_0+s,y_0)=\varphi(x;x_0,\varphi(x_0;x_0+s,y_0))$ なので、<Ref to="thm-differentiable-dependence" /> の連鎖律により $s$ で微分して主張が従います。偏導関数 $-Y(x;x_0,y_0)f(x_0,y_0)$ の連続性には、$Y$ が $(x,x_0,y_0)$ について連続であることが要ります。これは <Ref to="thm-differentiable-dependence" /> の連続性の議論と同じです。$(x_0',y_0')$ に対応する $\tilde A$、$\tilde Y$（$\tilde Y(x_0')=I$）をとると、$\Delta=\tilde Y-Y$ は $\Delta'=\tilde A\Delta+(\tilde A-A)Y$ を満たし、初期値 $|\Delta(x_0')|=|I-Y(x_0')|=|Y(x_0)-Y(x_0')|\le\|A\|_\infty\,\sup|Y|\,|x_0-x_0'|$ は $x_0'\to x_0$ で $0$ に向かうので、Gronwall から $\sup|\Delta|\to0$ です。
</Proof>

<Example id="ex-variational" title="変分方程式の確認">
$y'=y-y^2$、$y(0)=y_0\in(0,1)$ の解は $\varphi=\dfrac{y_0e^x}{1-y_0+y_0e^x}$（前章のロジスティック方程式と同じ）で、$\partial\varphi/\partial y_0=\dfrac{e^x}{(1-y_0+y_0e^x)^2}$ です。変分方程式は $Y'=(1-2\varphi)Y$、$Y(0)=1$ です。実際、$D=1-y_0+y_0e^x$ とおくと $Y=e^xD^{-2}$ は $Y(0)=1$ を満たし、$Y'/Y=1-2y_0e^x/D=1-2\varphi$ となって変分方程式と一致します。
</Example>

パラメータ $\lambda$ を含む方程式 $y'=f(x,y,\lambda)$ は、$\lambda'=0$ を連立すれば同じ枠組みに入ります。$f,f_y,f_\lambda$ が連続なら、解は $\lambda$ について $C^1$ 級です。Sturm–Liouville 問題の固有値の単調性（第 5 章）で使います。

$f$ がもっと滑らかなら、解も同じだけ滑らかです。多様体上のベクトル場の流れが滑らかであることは、この事実に基づきます。以下、$f\in C^k(D)$ とは、$f$ の $(x,y)$ についての $k$ 階までのすべての偏導関数が存在して $D$ 上で連続であることとし、$\Omega$ は <Ref to="thm-continuous-dependence" /> の前で定めた集合です。

次の定理の証明の発想は、$Y=\partial\varphi/\partial y_0$ 自身が線形の微分方程式の解であることを使うことです。$y$ と $Y$ をまとめて 1 つの大きな連立方程式（拡大系）と見れば、滑らかさの段数を 1 つ上げる議論を、同じ定理の使い回しで進められます。

<Theorem id="thm-smooth-dependence" title="初期値への C^k 依存性">
$k\ge1$ とし、$f\in C^k(D)$ とする。このとき $\varphi(x;x_0,y_0)$ は開集合 $\Omega$ 上で $(x,x_0,y_0)$ について $C^k$ 級である。特に $f\in C^\infty(D)$ なら $\varphi$ は $\Omega$ 上で $C^\infty$ 級である。
</Theorem>

<Proof of="thm-smooth-dependence">
$k$ についての帰納法で、「どの次元 $n$、どの開集合 $D\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n$、どの $f\in C^k(D)$ についても $\varphi\in C^k(\Omega)$」を示します。

**$k=1$。** $\Omega$ は開集合です（<Ref to="thm-continuous-dependence" />）。$\varphi$ の 1 階偏導関数は
$$
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=f(x,\varphi),\qquad\frac{\partial\varphi}{\partial y_0}=Y(x;x_0,y_0),\qquad\frac{\partial\varphi}{\partial x_0}=-Y(x;x_0,y_0)\,f(x_0,y_0)
$$
で（<Ref to="thm-differentiable-dependence" />、<Ref to="cor-initial-time-derivative" />）、どれも $\Omega$ 上で $(x,x_0,y_0)$ について連続です（第 1 式は $\varphi$ の連続性 <Ref to="thm-continuous-dependence" />、第 2・3 式は <Ref to="cor-initial-time-derivative" /> の証明で示した $Y$ の連続性による）。偏導関数がすべて存在して連続なので、定義により $\varphi$ は $C^1$ 級です。

**$k$ から $k+1$ へ。** $f\in C^{k+1}(D)$ とします。$C^{k+1}\subset C^k$ なので、帰納法の仮定から $\varphi\in C^k(\Omega)$ です。$\mathbb{R}^{n\times n}$ を $\mathbb{R}^{n^2}$ と同一視して、拡大した系
$$
y'=f(x,y),\qquad Z'=f_y(x,y)\,Z\qquad\bigl((x,y,Z)\in\tilde D=D\times\mathbb{R}^{n\times n}\bigr)
$$
を考えます。右辺 $F(x,y,Z)=(f(x,y),f_y(x,y)Z)$ は、$f_y\in C^k$ と $Z$ についての 1 次式の積なので $F\in C^k(\tilde D)$ です。初期値 $(x_0,y_0,Z_0)$ の解は $(\varphi(x;x_0,y_0),\,Y(x;x_0,y_0)Z_0)$ です。実際これは拡大系を満たし（$Y$ は変分方程式の解）、拡大系の解は一意です（<Ref to="prop-c1-lipschitz" /> と <Ref to="thm-uniqueness" />）。さらに、第 2 成分は線形方程式なので $\varphi$ の最大区間全体で存在し（<Ref to="cor-global-existence" />）、第 1 成分は $\varphi$ の最大区間より先には延びないので、拡大系の最大区間は $\varphi$ のそれと一致します。したがって拡大系の $\tilde\Omega$ は $\{(x,x_0,y_0,Z_0):(x,x_0,y_0)\in\Omega\}$ で、帰納法の仮定を拡大系（次元 $n+n^2$）に使うと、$(x,x_0,y_0,Z_0)\mapsto Y(x;x_0,y_0)Z_0$ は $C^k$ 級です。$Z_0=I$ と置いて、$Y=\partial\varphi/\partial y_0$ は $\Omega$ 上 $C^k$ 級です。

すると $k=1$ の場合の 3 つの式の右辺は、$C^k$ 級の関数の合成と積なので $C^k$ 級です（$f\in C^{k+1}\subset C^k$、$\varphi\in C^k$。$C^k$ 級写像の合成が $C^k$ 級であることは、$C^1$ 級の写像が全微分可能であること（<Ref to="mathematics/calculus/multivariable-differentiation#thm-c1-implies-differentiable" />）と連鎖律（<Ref to="mathematics/calculus/multivariable-differentiation#thm-chain-rule" />）から $\partial_i(g\circ h)=\sum_j(\partial_jg\circ h)\,\partial_ih_j$ を得て、右辺に $k$ についての帰納法を使えばわかる。参照先は 2 変数で述べているが、証明は変数の個数によらない）。1 階偏導関数がすべて $C^k$ 級なので $\varphi\in C^{k+1}(\Omega)$ です。
</Proof>

<Corollary id="cor-smooth-parameter" title="パラメータへの C^k 依存性と滑らかな流れ">
1. $P\subset\mathbb{R}^m$ を開集合とし、$f(x,y,\lambda)$ が開集合 $D\times P$ 上で $(x,y,\lambda)$ について $C^k$ 級（$k\ge1$）なら、$y'=f(x,y,\lambda)$、$y(x_0)=y_0$ の解 $\varphi(x;x_0,y_0,\lambda)$ は、定義される開集合の上で $(x,x_0,y_0,\lambda)$ について $C^k$ 級である。
2. 自励系 $y'=f(y)$ で $f\in C^\infty(U)$ なら、<Ref to="prop-flow" /> の流れ $(t,y)\mapsto\Phi_t(y)$ はその定義域（開集合）上で $C^\infty$ 級で、$\Phi_t$ はその定義域から値域への $C^\infty$ 級の微分同相（逆は $\Phi_{-t}$）である。
</Corollary>

<Proof of="cor-smooth-parameter">
1. 未知関数を $z=(y,\lambda)\in\mathbb{R}^{n+m}$ とし、$z'=(f(x,y,\lambda),0)$ を考えると、右辺は $D\times P$ 上で $C^k$ 級で、初期値 $(y_0,\lambda)$ の解は $(\varphi(x;x_0,y_0,\lambda),\lambda)$ です（$\lambda'=0$ なので $\lambda$ は定数）。<Ref to="thm-smooth-dependence" /> をこの系に使えばよい。
2. $\Phi_t(y)=\varphi(t;0,y)$ なので、<Ref to="thm-smooth-dependence" />（$f(x,y)=f(y)$ は $(x,y)$ について $C^\infty$）から $(t,y)\mapsto\Phi_t(y)$ は $C^\infty$ 級です。<Ref to="prop-flow" /> の群性から、$\Phi_t$ の値域の上で $\Phi_{-t}$ が定義されて $\Phi_t$ の逆写像になり、それも $C^\infty$ 級です。
</Proof>

## 9. Volterra 積分方程式

<Theorem id="thm-volterra" title="線形 Volterra 方程式">
$K:\{(x,s):a\le s\le x\le b\}\to\mathbb{R}$ と $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ が連続なら、
$$
u(x)=g(x)+\int_a^xK(x,s)\,u(s)\,ds
$$
は $[a,b]$ 上でただ 1 つの連続な解を持ち、解は Neumann 級数 $u=\sum_{k\ge0}T^kg$（$Tu(x)=\int_a^xK(x,s)u(s)\,ds$）の一様極限である。
</Theorem>

<Proof of="thm-volterra">
$m=\max|K|$、$d(u,v)=\max_xe^{-2m(x-a)}|u(x)-v(x)|$ とします（$m>0$）。これは $C[a,b]$ の完備距離で、$Su=g+Tu$ は
$$
|Su(x)-Sv(x)|\le m\int_a^xe^{2m(s-a)}ds\;d(u,v)\le\tfrac12e^{2m(x-a)}d(u,v)
$$
より縮小率 $\tfrac12$ の縮小写像です。Banach の不動点定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/metric-spaces#thm-banach-fixed-point" />）が存在と一意性を与え、$u_0=g$ から始めた反復 $u_{k+1}=g+Tu_k$ は $\sum_{j\le k}T^jg$ です。
</Proof>

積分範囲が固定の Fredholm 方程式 $u=g+\lambda\int_a^bK(x,s)u(s)\,ds$ では、$\lambda$ が特別な値（離散集合）のとき解の存在や一意性が壊れます（<Ref to="mathematics/functional-analysis/compact-operators#thm-fredholm-alternative" text="Fredholm の択一定理" />）。Volterra 方程式では積分の上限 $x$ が動くため、$k$ 回の反復積分が $(m(x-a))^k/k!$ 程度に小さくなり（帰納法で確かめられます）、$K$ に $\lambda$ を掛けた方程式が**どの** $\lambda$ に対しても一意に解けます。

<Example id="ex-second-order-volterra" title="2 階線形方程式の Volterra 型">
$y''+q(x)y=f(x)$、$y(a)=c_0$、$y'(a)=c_1$（$q,f$ 連続）は、
$$
y(x)=c_0+c_1(x-a)+\int_a^x(x-s)f(s)\,ds-\int_a^x(x-s)q(s)y(s)\,ds
$$
と同値です。右辺を 2 回微分すれば元の方程式と初期条件が出ます（$\frac{d}{dx}\int_a^x(x-s)h(s)\,ds=\int_a^xh(s)\,ds$）。逆に $y''+qy=f$ を 2 回積分すると右辺が得られます。これは <Ref to="thm-volterra" /> の形（$K(x,s)=-(x-s)q(s)$）で、解が $[a,b]$ 全体で存在することを直接与えます。
</Example>

## 10. 演習

<Exercise id="exr-picard" difficulty="易">
$y'=x+y$、$y(0)=0$ の Picard 反復 $\varphi_0=0,\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3$ を求め、極限を推測せよ。
<Solution>
$\varphi_1=\int_0^xs\,ds=x^2/2$、$\varphi_2=\int_0^x(s+s^2/2)\,ds=x^2/2+x^3/6$、$\varphi_3=x^2/2+x^3/6+x^4/24$ です。一般に $\varphi_k=\sum_{j=2}^{k+1}x^j/j!$ で、極限は $e^x-1-x$ です。これは $y'=x+y$、$y(0)=0$ の解（1 階線形の公式）に一致します。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-gronwall-sharp" difficulty="標準">
$u\ge0$ が連続で、$u(x)\le\alpha+\int_0^x\bigl(\beta_0u(s)+\gamma\bigr)ds$（$\alpha,\gamma\ge0$、$\beta_0>0$ は定数）を $[0,b]$ で満たすなら、$u(x)\le\alpha e^{\beta_0x}+\dfrac{\gamma}{\beta_0}(e^{\beta_0x}-1)$ であることを示せ。
<Solution>
右辺の定数項を $\alpha_1(x)=\alpha+\gamma x$ とすると $u\le\alpha_1(x)+\beta_0\int_0^xu\,ds$ ですが、$\alpha_1$ は一定ではないので直接は <Ref to="lem-gronwall" /> を使えません。$U(x)=\alpha+\int_0^x(\beta_0u+\gamma)\,ds$ とおくと $u\le U$ で $U'=\beta_0u+\gamma\le\beta_0U+\gamma$ です。$(Ue^{-\beta_0x})'\le\gamma e^{-\beta_0x}$ を $0$ から $x$ まで積分して $U(x)e^{-\beta_0x}\le\alpha+\dfrac\gamma{\beta_0}(1-e^{-\beta_0x})$ を得ます。両辺に $e^{\beta_0x}$ を掛ければ結論です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-non-lipschitz" difficulty="標準">
$y'=\sqrt{|y|}$、$y(0)=0$ には、$y\equiv0$ 以外の解があることを示し、Picard 反復 $\varphi_0\equiv0$ がどうなるか述べよ。この例で <Ref to="thm-picard-lindelof" /> のどの仮定が壊れているか。
<Solution>
$y=x|x|/4$ は $C^1$ 級で $y'=|x|/2=\sqrt{|y|}$ です。ですから 0 以外の解があります。Picard 反復は $\varphi_0\equiv0$ から $\varphi_1=\int_0^x\sqrt{0}\,ds=0$ となり、すべての $\varphi_k\equiv0$ で、$y\equiv0$ に収束します。もう 1 つの解は反復で見つかりません。壊れているのは Lipschitz 条件です。$|\sqrt{|y|}-\sqrt{|0|}|/|y|=|y|^{-1/2}$ は $y\to0$ で有界でないからです。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- 高橋陽一郎『微分方程式入門』東京大学出版会、1988 — 存在・一意性の定理。
- 笠原晧司『微分方程式の基礎』朝倉書店、1982 — 第 2 章（解の存在と一意性、初期値依存性）。
- P. Hartman, *Ordinary Differential Equations*, SIAM, 2002 — Chapters II, V（存在・延長・微分可能依存性）。
- E. A. Coddington and N. Levinson, *Theory of Ordinary Differential Equations*, McGraw-Hill, 1955 — Chapters 1–2.
- V. I. Arnold, *Ordinary Differential Equations*, Springer, 1992 — Chapter 4（縮小写像による存在定理、変分方程式）。