# 数値積分 I：Newton–Cotes 則と Gauss 求積の誤差を Peano 核で証明する
> 求積則の精度次数と補間型求積、Peano 核定理による台形則・Simpson 則の誤差公式と複合則の次数、Pólya–Steklov の収束定理、Hermite 補間による Gauss 求積の誤差公式と収束を証明し、Newton–Cotes の負の重みを正確に計算する。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/numerical-analysis/newton-cotes-and-gauss-quadrature
## 0. この記事の要点
関数の値が何か所かでしか分からないとき、グラフの下の面積（積分）をどうやって見積もればよいでしょうか。点を結んだ台形の面積で近似するのが一番素朴な方法で、この記事ではその近似が実際にどれくらい外れるのか、点を増やせば真の値に近づくのか、少ない点で精度よく求めるにはどう点を選べばよいのか、を扱います。読み終えると、台形則や Simpson 則の誤差が刻み幅の何乗で小さくなるかを式で説明でき、Gauss 求積が少ない点数で高い精度を出せる理由を追えるようになります。
- 求積則 $Q(f) = \sum_i w_i f(x_i)$ の良さの第一の目安は**精度次数**（何次までの多項式を正確に積分するか）です。$n+1$ 点の則が $n$ 次まで正確であることと、補間多項式を積分した則（**補間型**）であることは同値です。
- **Peano 核定理**（誤差を、核と呼ぶ重み関数と導関数の積の積分で書く定理）は、精度次数 $k$ の則の誤差を $\int K(t) f^{(k+1)}(t)\,dt$ と表します。核 $K$ が符号を変えなければ誤差は $f^{(k+1)}(\xi)/(k+1)! \cdot E(x^{k+1})$ の形になり、台形則 $-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi)$、Simpson 則 $-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi)$ が出ます。複合則では誤差が $O(h^2)$、$O(h^4)$ です。
- 求積則の列がすべての連続関数で収束するための必要十分条件は、**多項式で収束し、重みの絶対値の和が有界**であることです（Pólya–Steklov）。必要性の証明は一様有界性原理（関数解析の定理で、どの関数でも値が有界な連続線形汎関数の族は、ノルムも有界になるという主張）です。高次の Newton–Cotes 則は $n = 8$ で負の重みが現れ、重みの絶対値の和が増えていきます。
- **Gauss 求積**（直交多項式の零点を節点とする $n$ 点の則）は $2n-1$ 次まで正確で、誤差は $\frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!}\int P_n^2\,d\mu$ です。証明は Hermite 補間（節点で関数の値と 1 階導関数の値の両方を合わせる補間）です。重みが正なので、Pólya–Steklov の定理からすべての連続関数で収束します。
## 1. 動機
$\int_0^1 e^{-x^2}dx$ のように原始関数が初等関数で書けない積分、測定データや数値解として点の値しかわからない関数の積分は、有限個の値の重み付き和で近似するしかありません。研究で使われる数値計算でも、求積（`scipy.integrate.quad`、`numpy.polynomial.legendre.leggauss` など）は固有値計算に次いで多く現れる道具です。
求積則を選ぶとき、知りたいことは次の 3 つです。
1. **誤差の大きさ**。刻み $h$ を半分にすると誤差は何分の 1 になるか。誤差の定数は何で決まるか。
2. **収束するか**。点を増やしていけば、どんな連続関数でも真の値に近づくか。
3. **安定か**。関数値の誤差（丸めや測定誤差）が何倍に増幅されるか。
1 には Peano 核定理が、2 と 3 には重みの絶対値の和 $\sum_i|w_i|$ が答えます。後者は[多項式補間](/mathematics/numerical-analysis/polynomial-interpolation)の章の Lebesgue 定数（補間が関数値の誤差を増幅する倍率）と同じ役割を果たします。重みがすべて正なら $\sum_i|w_i| = \sum_i w_i$ は区間の長さに等しく、安定性の心配はありません。Gauss 求積が「最も精度が高い」だけでなく「最も安心して使える」のはこのためです。
## 2. 求積則と精度次数
以下 $a \lt b$ とし、$I(f) = \int_a^b f(x)\,dx$ と書きます。$\mathcal{P}_n$ は $n$ 次以下の実係数多項式全体です。
$[a,b]$ の相異なる点 $x_0, \ldots, x_n$（**節点**）と実数 $w_0, \ldots, w_n$（**重み**）の組を**求積則**といい、$[a,b]$ 上の関数 $f$ について $Q(f) = \sum_{i=0}^{n} w_i f(x_i)$ と書く。$E(f) = I(f) - Q(f)$ を**誤差**という。
すべての $p \in \mathcal{P}_k$ で $E(p) = 0$ となる最大の整数 $k \ge 0$ を求積則の**精度次数**という（$E(1) \ne 0$ のときは定義しない）。
$E$ は線形なので、精度次数が $k$ であることは $E(1) = E(x) = \cdots = E(x^k) = 0 \ne E(x^{k+1})$ と同値です。さらに $E(x^j)$（$j \le k$）がすべて $0$ なら、任意の $c$ について $E((x - c)^{k+1}) = E(x^{k+1})$ です（展開した低次の項の誤差は $0$）。
$[a,b]$ の相異なる $n+1$ 点 $x_0, \ldots, x_n$ を節点とする求積則について、次は同値である。
1. 精度次数が $n$ 以上である。
2. 重みが $w_i = \int_a^b \ell_i(x)\,dx$ である。ここで $\ell_i$ は Lagrange の基底多項式 $\ell_i(x) = \prod_{j \ne i}(x - x_j)/(x_i - x_j)$。
2 を満たす則を**補間型**という。このとき $Q(f)$ は $f$ の補間多項式 $p_n$ の積分 $I(p_n)$ に等しい。
2 ⇒ 1: $p \in \mathcal{P}_n$ の補間多項式は $p$ 自身なので（