## 2. 準備：射影平面と無限遠点
曲線上の二点を結ぶ直線が「もう一点で交わる」と言うためには、平行線が交わる場所を用意しておく必要があります。そのための舞台が射影平面です。
体 $K$ 上の射影平面 $\mathbb{P}^2(K)$ とは、$(X, Y, Z) \in K^3 \setminus \{(0,0,0)\}$ を、$0$ でないスカラー倍で同一視した集合です。同値類を $[X : Y : Z]$ と書きます。$Z \ne 0$ の点は $[x : y : 1]$（ただし $x = X/Z$、$y = Y/Z$）と正規化でき、通常の平面 $K^2$ と対応します。$Z = 0$ の点が「無限遠直線」上の点です。
曲線 $y^2 = x^3 + ax + b$ を斉次化すると
$$
Y^2 Z = X^3 + a X Z^2 + b Z^3
$$
です。ここで $Z = 0$ とおくと $X^3 = 0$、すなわち $X = 0$。$(X,Y,Z) \ne (0,0,0)$ なので $Y \ne 0$ となり、無限遠点はただ一つ $O = [0 : 1 : 0]$ に定まります。しかもこの点における接線は無限遠直線 $Z = 0$ であり、交点数は $3$（$X^3 = 0$ の三重根）です。つまり $O$ は変曲点です。この事実は後で群の単位元を $O$ に取る根拠になります。
$K$ を標数 $2, 3$ でない体とし、$a, b \in K$ が
$$
\Delta := -16\,(4a^3 + 27b^2) \ne 0
$$
を満たすとする。このとき射影平面 $\mathbb{P}^2$ 内の曲線
$$
E : Y^2 Z = X^3 + a X Z^2 + b Z^3
$$
を $K$ 上の**楕円曲線**という。$L \supseteq K$ を体の拡大とするとき、$E$ の $L$ 有理点の集合を
$$
E(L) = \{(x, y) \in L^2 \mid y^2 = x^3 + ax + b\} \cup \{O\}, \qquad O = [0:1:0]
$$
と書く。$\Delta$ を $E$ の**判別式**と呼ぶ。
判別式の条件は、曲線が特異点（尖点や結節点）をもたないことと同値です。これを確かめておきます。
$K$ を標数 $2, 3$ でない体、$\bar{K}$ をその代数閉包とし、$F(x,y) = y^2 - x^3 - ax - b$ とおく。曲線 $F = 0$ が $\bar{K}$ 上で特異点（$F = \partial F/\partial x = \partial F/\partial y = 0$ を同時に満たす点）をもたないことと、$4a^3 + 27b^2 \ne 0$ とは同値である。
偏微分は $\partial F/\partial x = -(3x^2 + a)$、$\partial F/\partial y = 2y$ です。標数が $2$ でないので $\partial F/\partial y = 0$ は $y = 0$ と同値です。したがって特異点 $(x_0, y_0)$ が存在することは、
$$
y_0 = 0, \qquad x_0^3 + a x_0 + b = 0, \qquad 3x_0^2 + a = 0
$$
を満たす $x_0 \in \bar{K}$ が存在することと同値です。後の二式は、$g(x) = x^3 + ax + b$ が $g(x_0) = g'(x_0) = 0$ を満たすこと、すなわち $x_0$ が $g$ の重根であることを意味します。
そこで $g$ が重根をもつ条件を計算します。$g$ の根を $e_1, e_2, e_3 \in \bar{K}$ とすると、根と係数の関係から $e_1 + e_2 + e_3 = 0$、$e_1e_2 + e_2e_3 + e_3e_1 = a$、$e_1e_2e_3 = -b$ です。三次多項式の判別式は
$$
D = (e_1 - e_2)^2 (e_2 - e_3)^2 (e_3 - e_1)^2
$$
で、これを基本対称式で表すと $D = -4a^3 - 27b^2$ となります（$e_1+e_2+e_3 = 0$ の場合の標準的な計算です）。$g$ が重根をもつことと $D = 0$、すなわち $4a^3 + 27b^2 = 0$ とは同値です。標数が $2$ でないので $\Delta = -16(4a^3+27b^2)$ と $4a^3+27b^2$ は同時にしか消えません。
なお無限遠点 $O$ は常に非特異です。$Z = 0$ 近くでは $u = X/Y$、$w = Z/Y$ を座標に取ると曲線は $w = u^3 + a u w^2 + b w^3$ となり、原点 $(u,w) = (0,0)$ での $w$ に関する偏微分は $-1 \ne 0$ だからです。
## 3. 点のなす群
三次曲線と直線の交わりを使って、点の「足し算」を定義します。
言葉で言えば、「$P$ と $Q$ を結ぶ直線が曲線と再び交わる点を取り、それを $x$ 軸に関して折り返す」操作です。折り返しに当たるのが $O$ との $*$ 演算であることは、次のように確かめられます。点 $(x_0, y_0)$ と $O = [0:1:0]$ を通る直線は、射影座標で $X = x_0 Z$、つまりアフィン座標では垂直線 $x = x_0$ です。これを曲線の式に代入すると $y^2 = x_0^3 + a x_0 + b$、すなわち $y = \pm y_0$ の二解を得ます。第三の交点は $O$ 自身（垂直線は無限遠点を通ります）なので、$O * (x_0, y_0) = (x_0, -y_0)$ です。
図の計算を実際に追ってみます。$P = (0,1)$ と $Q = (-1,0)$ を通る直線は $y = x + 1$ です。これを $y^2 = x^3 + 1$ に代入すると $(x+1)^2 = x^3 + 1$、整理して $x^3 - x^2 - 2x = 0$、すなわち $x(x-2)(x+1) = 0$。根は $x = 0, 2, -1$ で、$x = 0$ が $P$、$x = -1$ が $Q$ に対応しますから第三の交点は $x = 2$、$y = 3$、つまり $R = (2,3)$ です。これを折り返して $P + Q = (2,-3)$ を得ます。検算すると $(-3)^2 = 9 = 2^3 + 1$ で、確かに曲線上にあります。
この計算を一般化すると加法公式が出ます。
## 4. 有理点と有限体上の点
群構造が入ると、「$E(\mathbb{Q})$ はどんな群か」という問いが立ちます。答えの骨格を与えるのが次の定理です。
$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線とする。アーベル群 $E(\mathbb{Q})$ は有限生成である。したがってある整数 $r \ge 0$ と有限アーベル群 $E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}}$（有限位数の点全体）により
$$
E(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}^{r} \oplus E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}}
$$
と書ける。$r$ を $E$ の**階数（ランク）**という。同じことが任意の代数体 $K$ 上の楕円曲線 $E/K$ と $E(K)$ について成り立つ。
証明は二段構えです。まず弱モーデル・ヴェイユの定理「$E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ は有限」をガロアコホモロジー（クンマー理論）で示し、次に点の「大きさ」を測る標準高さ $\hat{h}$ を導入して降下法を回します。詳しくは Silverman『The Arithmetic of Elliptic Curves』第 VIII 章を参照してください。捩れ部分 $E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}}$ については、マズールの定理（1977）により起こりうる群は $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$（$1 \le n \le 10$ または $n = 12$）と $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}$（$1 \le m \le 4$）の $15$ 種類に限ることが分かっています。一方、階数 $r$ を計算する一般的なアルゴリズムは知られていません。
$E : y^2 = x^3 - x$ は $a = -1$、$b = 0$ で $\Delta = -16 \cdot 4 \cdot (-1)^3 = 64 \ne 0$ です。$x^3 - x = x(x-1)(x+1)$ が $\mathbb{Q}$ 上で完全に分解するので、$y = 0$ となる有理点が $(0,0)$、$(1,0)$、$(-1,0)$ の三つあります。
有理点は捉えにくいので、各素数 $p$ で法 $p$ に還元して点の個数を数える、という戦略が有効です。$\mathbb{F}_p$ は有限集合なので個数は必ず有限で、しかも計算できます。
$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線とし、素数 $p$ が $E$ の**良い還元**の素数である（適当に座標変換した整数係数の方程式の判別式が $p$ で割り切れない）とする。このとき $E$ を法 $p$ で還元して得られる $\mathbb{F}_p$ 上の楕円曲線 $\tilde{E}$ に対し
$$
a_p := p + 1 - \#\tilde{E}(\mathbb{F}_p)
$$
とおく。
$p + 1$ という基準値は、射影直線 $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_p)$ の点の個数です。$x$ を $\mathbb{F}_p$ 全体で動かすと $y^2 = f(x)$ の解の個数は平均して $1$ 個ずつなので、素朴には $p$ 個の $x$ に対して $p$ 個ほどの点があり、無限遠点を足して $p+1$。$a_p$ はその平均からのずれです。ずれの大きさを支配するのがハッセの定理です。
$q$ を素数冪、$E$ を有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の楕円曲線とする。このとき
$$
\left| \#E(\mathbb{F}_q) - (q+1) \right| \le 2\sqrt{q}
$$
が成り立つ。とくに $q = p$ が素数のとき $|a_p| \le 2\sqrt{p}$ である。
ハッセ（1933）による証明の核心は、フロベニウス自己準同型 $\phi : (x,y) \mapsto (x^q, y^q)$ が $\mathrm{End}(E)$ の中で $\phi^2 - a_q \phi + q = 0$ を満たすこと、そして自己準同型の次数が正定値二次形式を与えることです。$\phi$ の固有値 $\alpha, \bar{\alpha}$ は $|\alpha| = \sqrt{q}$ を満たす複素共役の対で、$a_q = \alpha + \bar{\alpha}$ より $|a_q| \le 2\sqrt{q}$ が従います。これは曲線に対するリーマン予想の類似であり、後にヴェイユが一般の代数多様体へ、ドリーニュがヴェイユ予想全体へと拡張しました。臨界線 $\mathrm{Re}(s) = 1/2$ という条件との関係については [リーマン予想とは何か](/mathematics/number-theory/riemann-hypothesis) の
数列 $(a_p)$ をまとめたものが $E$ の**ハッセ・ヴェイユ $L$ 関数**です。良い還元の素数 $p$ に対して局所因子 $(1 - a_p p^{-s} + p^{1-2s})^{-1}$ を、悪い還元の素数に対しては $(1 - a_p p^{-s})^{-1}$（$a_p \in \{0, \pm 1\}$）を掛け合わせ、
$$
L(E, s) = \prod_{p \mid N} \left(1 - a_p p^{-s}\right)^{-1} \prod_{p \nmid N} \left(1 - a_p p^{-s} + p^{1-2s}\right)^{-1}
$$
と定めます（$N$ は導手）。
から、この無限積は $\mathrm{Re}(s) > 3/2$ で絶対収束します。問題は、これが $s = 1$ の近くまで解析接続されるかどうかでした。オイラー積だけからは分かりません。ここでモジュラー形式が登場します。
## 5. モジュラー形式
上半平面を $\mathbb{H} = \{\tau \in \mathbb{C} \mid \mathrm{Im}\,\tau > 0\}$ とする。行列 $g = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$（すなわち $\alpha,\beta,\gamma,\delta \in \mathbb{Z}$、$\alpha\delta - \beta\gamma = 1$）は
$$
g \cdot \tau = \frac{\alpha \tau + \beta}{\gamma\tau + \delta}
$$
により $\mathbb{H}$ に作用する（$\mathrm{Im}(g\cdot\tau) = \mathrm{Im}(\tau)/|\gamma\tau+\delta|^2 > 0$ なので確かに $\mathbb{H}$ に写る）。整数 $k$ に対し、関数 $f : \mathbb{H} \to \mathbb{C}$ が**重さ $k$ のモジュラー形式**であるとは、次の三条件を満たすことをいう。
1. $f$ は $\mathbb{H}$ 上正則である。
2. 任意の $g = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ と $\tau \in \mathbb{H}$ に対し
$$
f\!\left(\frac{\alpha\tau+\beta}{\gamma\tau+\delta}\right) = (\gamma\tau + \delta)^k f(\tau).
$$
3. $f$ は無限遠（尖点）で正則である。すなわち条件 2 で $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ を取ると $f(\tau + 1) = f(\tau)$ が従うので $q = e^{2\pi i \tau}$ のべき級数に展開できるが、その展開が $f(\tau) = \sum_{n \ge 0} a_n q^n$ と負べきを含まない形になる。
重さ $k$ のモジュラー形式全体を $M_k(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}))$ と書く。さらに $a_0 = 0$ のとき $f$ を**尖点形式**といい、その全体を $S_k(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}))$ と書く。
条件 2 の意味を噛みくだきます。$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ は $T : \tau \mapsto \tau+1$ と $S : \tau \mapsto -1/\tau$ で生成されるので、条件 2 は本質的に
$$
f(\tau + 1) = f(\tau), \qquad f(-1/\tau) = \tau^k f(\tau)
$$
の二つと同値です。前者は周期性、後者は $\tau$ と $-1/\tau$ という一見無関係な二点での値を結びつける、きわめて強い条件です。この二つを同時に満たす正則関数はほとんど存在しません。実際、次に見るように空間の次元は有限で、しかも小さいのです。「モジュラー形式は稀少である」——だからこそ、二つの対象が同じモジュラー形式を与えれば、それは深い一致を意味します。
具体例を作りましょう。格子上の和として定義するのがもっとも自然です。
偶数 $k \ge 4$ に対し
$$
G_k(\tau) = \sum_{(m,n) \in \mathbb{Z}^2 \setminus \{(0,0)\}} \frac{1}{(m\tau + n)^k}
$$
とおきます。$k \ge 3$ で絶対収束するので $\mathbb{H}$ 上正則で、和の取り方から $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ の作用は格子 $\mathbb{Z}\tau + \mathbb{Z}$ の基底の取り替えに対応し、
モジュラー形式の空間の次元は、次の位数公式によって完全に決まります。これがモジュラー形式論の出発点です。
$k$ を整数、$f \in M_k(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}))$、$f \ne 0$ とする。$\rho = e^{2\pi i/3}$、$i = \sqrt{-1}$ とおき、点 $P \in \mathbb{H}$ における $f$ の零点の位数を $\mathrm{ord}_P(f)$、$q$ 展開 $f = \sum_{n \ge n_0} a_n q^n$（$a_{n_0} \ne 0$）における $n_0$ を $\mathrm{ord}_\infty(f)$ と書く。このとき
$$
\mathrm{ord}_\infty(f) + \frac{1}{2}\mathrm{ord}_i(f) + \frac{1}{3}\mathrm{ord}_\rho(f) + \sum_{P} \mathrm{ord}_P(f) = \frac{k}{12}
$$
が成り立つ。ここで最後の和は基本領域の中の $i$、$\rho$ と $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 同値でない点すべてを走る（有限和である）。
証明は、基本領域の境界に沿った $\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{f'}{f}\,d\tau$ の計算です。左右の縦線は $T$ で、円弧の左右は $S$ で対応づけられ、$S$ による対応から $k/12$ が出ます。$i$ と $\rho$ が特別扱いされるのは、この二点だけが $\pm I$ より大きな固定部分群（それぞれ位数 $4$ と $6$）をもつからです。Serre『A Course in Arithmetic』第 VII 章に完全な証明があります。
$k$ を整数とする。
1. $k$ が奇数、または $k < 0$、または $k = 2$ ならば $M_k(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})) = 0$。
2. $M_0(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})) = \mathbb{C}$（定数関数のみ）。
3. $k < 12$ ならば $S_k(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})) = 0$。したがって偶数 $k$ が $4 \le k \le 10$ を満たすとき $\dim M_k(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})) = 1$ で、$E_k$ が基底である。
以下 $f \in M_k$、$f \ne 0$ とし、
この $1$ 次元性は、思いがけない恒等式を生みます。演習
でその一例を確かめてください。
楕円曲線と結びつくのは、レベル $1$ ではなく合同部分群に対するモジュラー形式です。
正整数 $N$ に対し
$$
\Gamma_0(N) = \left\{ \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \ \middle|\ \gamma \equiv 0 \pmod N \right\}
$$
とおく。これは $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ の指数有限の部分群である。
新形式に対しても $L$ 関数 $L(f,s) = \sum_{n\ge1} a_n n^{-s}$ が定義でき、こちらはヘッケの理論により**全複素平面に解析接続され、関数等式を満たすことが証明済み**です。$\Gamma_0(N)$ の作用による $\mathbb{H}$ の商をコンパクト化した曲線 $X_0(N)$（モジュラー曲線）を考えると、$S_2(\Gamma_0(N))$ は $X_0(N)$ 上の正則微分形式の空間と同一視され、その次元は $X_0(N)$ の種数に等しくなります。$f(\tau)\,d\tau$ が $\Gamma_0(N)$ 不変になるのが、ちょうど重さ $2$ のときだからです。
## 6. 谷山・志村予想
ここまでで、$\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線からは数列 $(a_p)$ が、重さ $2$ の新形式からも数列 $(a_p)$ が得られました。前者は点を数えて得た整数列、後者は正則関数のフーリエ係数です。谷山・志村予想は、この二つが一致すると主張します。
$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線とし、$N$ をその導手とする。このとき次を満たす新形式 $f = \sum_{n \ge 1} a_n(f) q^n \in S_2(\Gamma_0(N))$ が（ただ一つ）存在する。
- すべてのフーリエ係数 $a_n(f)$ は有理整数である。
- $N$ を割らないすべての素数 $p$ に対し
$$
a_p(f) = a_p(E) = p + 1 - \#\tilde{E}(\mathbb{F}_p).
$$
これは次の条件と同値である。
1. $L(E,s) = L(f,s)$。とくに $L(E,s)$ は全複素平面に解析接続され、関数等式を満たす。
2. $\mathbb{Q}$ 上定義された全射な射 $X_0(N) \to E$ が存在する（$E$ はモジュラー曲線の商である）。
3. $E$ に付随する $\ell$ 進ガロア表現 $\rho_{E,\ell} : \mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}_\ell)$ が、あるモジュラー形式から来る表現と同型である。
1955 年の日光の国際シンポジウムで谷山豊が提出した問題を志村五郎が精密化し、ヴェイユが導手の一致を含む形に整理しました。1986 年にフライとセールとリベットの仕事によりこの予想からフェルマーの最終定理が従うことが判明し、1994 年から 1995 年にかけてワイルズとテイラーが**半安定な**楕円曲線について証明しました（Wiles, *Annals of Mathematics* 141 (1995); Taylor–Wiles, 同巻）。一般の場合はブルイユ、コンラッド、ダイアモンド、テイラーによって 2001 年に完成しました。証明の手法は、変形理論によってガロア表現の族を制御し、「普遍変形環とヘッケ環が同型である（$R = T$）」を示すというものです。
$E : y^2 + y = x^3 - x^2$ を考えます。これは一般ヴァイエルシュトラス形で、判別式は $-11$、導手は $N = 11$ です。$X_0(11)$ の種数は $1$ なので $\dim S_2(\Gamma_0(11)) = 1$ であり、新形式はただ一つ、
$$
f(\tau) = \eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2 = q\prod_{n\ge1}(1-q^n)^2(1-q^{11n})^2 = q - 2q^2 - q^3 + 2q^4 + q^5 + 2q^6 - 2q^7 + \cdots
$$
です（$\eta$ はデデキントのイータ関数）。
一方 $E$ の点を素朴に数えます。$\mathbb{F}_2$ では $x = 0$ のとき右辺は $0$、$y^2+y = y(y+1) = 0$ の解は $y = 0, 1$ の $2$ 個。$x = 1$ のとき右辺は $1 - 1 = 0$ で同じく $2$ 個。アフィン点 $4$ 個に $O$ を加えて $\#E(\mathbb{F}_2) = 5$、よって $a_2(E) = 2+1-5 = -2$。同様に数えると次の表を得ます。
| $p$ | $\#\tilde{E}(\mathbb{F}_p)$ | $a_p(E) = p+1-\#\tilde{E}(\mathbb{F}_p)$ | $f$ の $q^p$ の係数 |
|---|---|---|---|
| $2$ | $5$ | $-2$ | $-2$ |
| $3$ | $5$ | $-1$ | $-1$ |
| $5$ | $5$ | $1$ | $1$ |
| $7$ | $10$ | $-2$ | $-2$ |
四つとも一致します。左の列は有限体上で解を数えた整数、右の列は無限積を展開して得た係数で、計算の出自はまったく異なります。それが一致するというのがモジュラー性定理の内容です。合成数の係数もヘッケの関係式で決まり、たとえば $a_4 = a_2^2 - 2 = 2$、$a_6 = a_2 a_3 = 2$ となり、実際 $f$ の展開と合っています。
### 6.1. フェルマーの最終定理への道
$n \ge 3$ を整数とする。$x^n + y^n = z^n$ を満たす整数 $x, y, z$ で $xyz \ne 0$ となるものは存在しない。
$n \ge 3$ なら $n$ は $4$ または奇素数 $p \ge 3$ で割り切れるので、$n = 4$ の場合（フェルマー自身が無限降下法で証明）と $n = p$ が素数の場合に帰着します。$p = 3$ はオイラーが処理したので $p \ge 5$ とします。
$a^p + b^p = c^p$、$abc \ne 0$、$\gcd(a,b,c)=1$ とし、$b$ を偶数、$a \equiv 3 \pmod 4$ となるよう符号と順序を調整します。ここで
この筋道の詳細と歴史的背景は [フェルマーの最終定理](/mathematics/number-theory/fermats-last-theorem) で扱います。また、フライ曲線の判別式が $p$ 乗になるという「べきの異常な集中」を一般化した形の予想が [ABC予想](/mathematics/number-theory/abc-conjecture) で、こちらは
という形で、フェルマーの最終定理の（十分大きい $n$ に対する）別証明を与えます。
## 7. 演習
$E : y^2 = x^3 - 2$ 上の点 $P = (3,5)$ と $Q = (129/100, -383/1000)$（
## 参考文献
- J. H. Silverman, *The Arithmetic of Elliptic Curves*, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 106, Springer, 2009 — 第 III 章（群構造とヴァイエルシュトラス方程式）、第 V 章（有限体上の楕円曲線とハッセの定理）、第 VIII 章（モーデル・ヴェイユの定理）。
- J.-P. Serre, *A Course in Arithmetic*, Graduate Texts in Mathematics 7, Springer, 1973 — 第 VII 章にモジュラー形式の定義、位数公式、空間の次元計算。
- F. Diamond and J. Shurman, *A First Course in Modular Forms*, Graduate Texts in Mathematics 228, Springer, 2005 — 合同部分群、ヘッケ作用素、新形式、モジュラー性定理の各定式化。
- J. H. Silverman and J. Tate, *Rational Points on Elliptic Curves*, 2nd ed., Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2015 — 学部生向け。群法則と降下法を計算中心に扱う。
- A. Wiles, "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem", *Annals of Mathematics* 141 (1995), 443–551. [DOI:10.2307/2118559](https://doi.org/10.2307/2118559)
- K. A. Ribet, "On modular representations of $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})$ arising from modular forms", *Inventiones Mathematicae* 100 (1990), 431–476. [DOI:10.1007/BF01231195](https://doi.org/10.1007/BF01231195)
- LMFDB（L-functions and modular forms database）: [https://www.lmfdb.org/](https://www.lmfdb.org/) — 楕円曲線の導手・階数・$a_p$ 表と、対応する新形式を検索できる。
## Appendix: 結合律の証明について
**因子（divisor）による定式化。**
の (4) だけが幾何的な定義から直接には出ませんでした。標準的な解決は、曲線上の点の形式的な整数結合（因子）を考えることです。$K$ を代数閉体とし、$E$ 上の因子とは有限個の点の形式和 $D = \sum_P n_P [P]$（$n_P \in \mathbb{Z}$）のことです。次数を $\deg D = \sum_P n_P$ と定め、$E$ 上の有理関数 $g$ に対して $\mathrm{div}(g) = \sum_P \mathrm{ord}_P(g)[P]$ を主因子と呼びます。射影曲線上では有理関数の零点と極の個数は重複度込みで等しいので、主因子の次数は $0$ です。次数 $0$ の因子群を主因子で割った商が $\mathrm{Pic}^0(E)$ です。これはアーベル群の商なのでアーベル群であり、結合律は自動的に成り立ちます。
**曲線と群の同一視。** 写像 $\kappa : E(K) \to \mathrm{Pic}^0(E)$、$\kappa(P) = [\,[P] - [O]\,]$ を考えます。リーマン・ロッホの定理を種数 $1$ の曲線に適用すると、$\deg D = 0$ の任意の因子 $D$ に対し $D \sim [P] - [O]$ を満たす点 $P$ がただ一つ存在することが分かります（$\dim L(D + [O]) = 1$ から従います）。これは $\kappa$ が全単射であることを意味します。
**加法が対応すること。** $P, Q \in E(K)$ を取り、$\ell_{PQ}$ の定義方程式を（斉次一次式として）$h$、$P*Q$ と $O$ を通る垂直線の方程式を $v$ とします。斉次座標で見ると $h/v$ は $E$ 上の有理関数で、その因子は
$$
\mathrm{div}(h/v) = \big([P] + [Q] + [P*Q]\big) - \big([P*Q] + [P+Q] + [O]\big) = [P] + [Q] - [P+Q] - [O]
$$
です。左辺は主因子ですから $\mathrm{Pic}^0(E)$ では $0$ に等しく、移項して
$$
\big([P] - [O]\big) + \big([Q] - [O]\big) \sim [P+Q] - [O],
$$
すなわち $\kappa(P) + \kappa(Q) = \kappa(P+Q)$ です。$\kappa$ は全単射で加法を保つので、$\mathrm{Pic}^0(E)$ の結合律が $E(K)$ に移り、
の (4) が従います。
**代数的な確認。** 幾何を経由せず、
の公式を三重に代入して $(P+Q)+R$ と $P+(Q+R)$ の座標が有理式として一致することを確かめる証明もあります。$y_i^2 = x_i^3 + ax_i + b$（$i=1,2,3$）を関係式として、分母を払った多項式の等式に帰着させる計算で、計算機代数システムなら数秒で終わります。ただし退化する場合（$x$ 座標が一致する、$y = 0$ になる、$O$ が現れるなど）を個別に処理する必要があり、場合分けは十数通りに及びます。概念的な見通しの良さでは因子による証明が優ります。