## 2. 準備：記号と半群のグロタンディーク群化
以下、$X$ はコンパクトハウスドルフ空間、$A$ は $C^*$-代数を表します。$C(X)$ は $X$ 上の複素数値連続関数のなす $C^*$-代数、$M_n(A)$ は $A$ 成分の $n$ 次正方行列のなす $C^*$-代数、$M_{m,n}(A)$ は $m \times n$ 行列の全体です。$A$ の射影の全体を $\mathcal{P}(A) = \{p \in A : p = p^{*} = p^{2}\}$、$A$ が単位的なときそのユニタリ群を $U(A)$ と書き、$U_n(A) = U(M_n(A))$ とします。$\mathcal{K} = \mathcal{K}(\ell^2)$ はコンパクト作用素の $C^*$-代数、$\varepsilon^n = X \times \mathbb{C}^n$ は階数 $n$ の自明束です。$\mathbb{N} = \{1, 2, \ldots\}$、$\mathbb{N}_0 = \mathbb{N} \cup \{0\}$ とします。
K-理論の出発点は、半群を群に変える普遍的な手続きです。整数を自然数から作るときの構成をそのまま一般化したものにあたります。
$(M, +)$ を単位元 $0$ を持つ可換半群（可換モノイド）とする。$M \times M$ 上の関係を
$$
(a, b) \sim (c, d) \iff \exists e \in M,\quad a + d + e = b + c + e
$$
で定め、商集合を $G(M) = (M \times M)/{\sim}$ と書く。$G(M)$ を $M$ の**グロタンディーク群**と呼び、$\gamma_M : M \to G(M),\ a \mapsto [(a, 0)]$ を標準写像と呼ぶ。
余分な元 $e$ を許すのが要点です。$e$ を落として $a + d = b + c$ とすると、$M$ が消約律を持たない場合に推移律が壊れます。実際、後で見るように K-理論に現れる半群は消約律を持ちません（
）。
$(M, +)$ を可換モノイドとする。
1.
## 3. 位相的 K-理論
$X$ 上の複素ベクトル束の同型類の全体を $\mathrm{Vect}(X)$ と書きます。ホイットニー和 $E \oplus F$ は同型類のレベルで定まり、$\mathrm{Vect}(X)$ は零束を単位元とする可換モノイドになります。
コンパクトハウスドルフ空間 $X$ に対し、
$$
K^0(X) := G(\mathrm{Vect}(X))
$$
と定め、$X$ の（複素）位相的 K-群と呼ぶ。$E$ の定める $K^0(X)$ の元を $[E]$ と書く。
$K^0(X)$ には束のテンソル積から誘導される積が入り、可換環になります。単位元は $[\varepsilon^1]$ です。
コンパクト性はここで本質的に効きます。任意のベクトル束が自明束の直和因子になる、という次の補題が、以後のすべての議論の土台です。
$X$ をコンパクトハウスドルフ空間、$E \to X$ を複素ベクトル束とする。このとき、ある $N \in \mathbb{N}$ と $X$ 上のベクトル束 $F$ が存在して $E \oplus F \cong \varepsilon^N$ となる。
局所自明性により、各点 $x \in X$ に対して開近傍 $U$ と束同型 $\phi_U : E|_U \to U \times \mathbb{C}^{n_U}$ が存在します。$X$ はコンパクトなので、有限個 $U_1, \ldots, U_k$ で $X$ を覆えます（[コンパクト性](/mathematics/topology/compactness)、
同型ではなく安定同型しか読み取れないことは K-理論の弱点であり、同時に強みでもあります。安定同型は同型より扱いやすく、群構造という強い代数的構造を許すからです。
$S^1$ 上の階数 $n$ の複素ベクトル束は、$S^1$ を 2 つの弧に分けて貼り合わせ関数 $S^0 \to U(n)$ を考えることで分類されます。$U(n)$ は弧状連結なので貼り合わせ関数は定値写像にホモトピックであり、束はすべて自明です。よって $\mathrm{Vect}(S^1) \cong \mathbb{N}_0$（階数）で、消約律が成り立つので $K^0(S^1) \cong \mathbb{Z}$ です。
$S^2$ の場合、貼り合わせ関数は $S^1 \to U(n)$ であり、そのホモトピー類は $\pi_1(U(n)) \cong \mathbb{Z}$（$n \ge 1$）で与えられます。この整数は第 1 チャーン類 $c_1$ にほかなりません。階数 $n$ の束は $c_1 \in \mathbb{Z}$ で完全に分類されるので、$\mathrm{Vect}(S^2) \cong \mathbb{N}_0 \times \mathbb{Z}$（階数と $c_1$）となり、
$$
K^0(S^2) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}
$$
です。生成元としてホップ束（$c_1 = 1$ の直線束）$H$ をとると、$H \otimes H \oplus \varepsilon^1$ と $H \oplus H$ はともに階数 $2$、$c_1 = 2$ なので同型であり、$K^0(S^2)$ の中で
$$
[H]^2 + 1 = 2[H], \qquad \text{すなわち} \quad ([H] - 1)^2 = 0
$$
が成り立ちます。$K^0(S^2) \cong \mathbb{Z}[t]/(t^2)$（$t = [H] - 1$）です。
$H$ に対応する射影を書き下しておきます。$S^2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2 = 1\}$ 上で
$$
p_{\mathrm{B}}(x,y,z) = \frac{1}{2}\bigl(1 + x\sigma_1 + y\sigma_2 + z\sigma_3\bigr) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+z & x-iy \\ x+iy & 1-z \end{pmatrix} \in M_2(C(S^2))
$$
とおきます（$\sigma_j$ はパウリ行列）。$\sigma_j$ が自己共役なので $p_{\mathrm{B}}^{*} = p_{\mathrm{B}}$ であり、$(x\sigma_1+y\sigma_2+z\sigma_3)^2 = (x^2+y^2+z^2)\cdot 1 = 1$ を使うと
$$
p_{\mathrm{B}}^2 = \tfrac{1}{4}\bigl(1 + 2(x\sigma_1+y\sigma_2+z\sigma_3) + 1\bigr) = p_{\mathrm{B}}
$$
となり、$p_{\mathrm{B}}$ は射影です。各点で $\mathrm{Tr}\,p_{\mathrm{B}} = 1$ なので階数 $1$ の直線束を定め、これがホップ束です。この $p_{\mathrm{B}}$ を**ボット射影**と呼びます。
## 4. セール–スワン定理：束から射影加群へ
は、代数的には「$\Gamma(E)$ は自由加群の直和因子である」と読めます。これを正確に述べたのがセール–スワンの定理です。
$X$ をコンパクトハウスドルフ空間とする。$X$ 上の複素ベクトル束 $E$ に連続切断のなす $C(X)$-加群
$$
\Gamma(E) = \{s : X \to E \ \text{連続} \mid \pi \circ s = \mathrm{id}_X\}
$$
を対応させる関手 $\Gamma$ は、$X$ 上の複素ベクトル束と束射のなす圏から、有限生成射影 $C(X)$-加群と加群準同型のなす圏への圏同値を与える。とくに、束の直和が加群の直和に対応するので、可換モノイドの同型 $\mathrm{Vect}(X) \cong \{\text{有限生成射影 } C(X)\text{-加群の同型類}\}$ が成り立ち、したがって
$$
K^0(X) \cong K_0(C(X))
$$
が成り立つ（右辺は
この定理により、K-理論の定義は完全に代数的な形に書き換えられます。$C(X)$ を任意の $C^*$-代数 $A$ に置き換えても、この形の定義はそのまま意味を持ちます。
|"ゲルファント–ナイマルク"| CX["可換 C*-代数 C(X)"]
X -.-> E["X 上の複素ベクトル束 E"]
CX -.-> M["C(X) 上の有限生成射影加群"]
E -->|"セール–スワン"| M
M --> P["射影 p ∈ M_n(C(X))"]
P -->|"C(X) を非可換な A に置き換える"| Q["射影 p ∈ M_n(A)"]
Q --> K["K0(A)：非可換空間の位相不変量"]`} />
## 5. 射影が定める K-理論
### 5.1. マレー–フォン・ノイマン同値
ベクトル束の同型に対応する、射影の間の同値関係を導入します。
$A$ を $C^*$-代数とする。$p, q \in \mathcal{P}(A)$ が**マレー–フォン・ノイマン同値**であるとは、ある $v \in A$ が存在して
$$
v^{*}v = p, \qquad vv^{*} = q
$$
となることをいい、$p \sim q$ と書く。さらに
$$
\mathcal{P}_\infty(A) := \coprod_{n \ge 1} \mathcal{P}(M_n(A))
$$
とおき、$p \in \mathcal{P}(M_n(A))$、$q \in \mathcal{P}(M_m(A))$ に対して、ある $v \in M_{m,n}(A)$ が $v^{*}v = p$、$vv^{*} = q$ を満たすとき $p \sim_0 q$ と書く。また $p \oplus q := \begin{pmatrix} p & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix} \in \mathcal{P}(M_{n+m}(A))$ と定める。
$v^{*}v = p$ が射影なら $vv^{*}$ も自動的に射影です。実際 $\|v - vp\|^2 = \|(1-p)v^{*}v(1-p)\| = \|(1-p)p(1-p)\| = 0$ なので $v = vp$ となり（ここでは $A$ に単位元を付け加えて計算しています）、
$$
(vv^{*})^2 = v(v^{*}v)v^{*} = vpv^{*} = vv^{*}, \qquad (vv^{*})^{*} = vv^{*}
$$
がしたがいます。$\sim_0$ が同値関係であることも直接確かめられます。$v^{*}v = p,\ vv^{*} = q,\ w^{*}w = q,\ ww^{*} = r$ のとき
$$
(wv)^{*}(wv) = v^{*}qv = v^{*}vv^{*}v = p^2 = p, \qquad (wv)(wv)^{*} = wqw^{*} = ww^{*}ww^{*} = r
$$
なので推移律が成り立ちます。
$\mathcal{P}_\infty(A)/{\sim_0}$ を $\mathcal{D}(A)$ と書きます。$\oplus$ は $\sim_0$ と両立し（$v \oplus w$ をとればよい）、$p \oplus q \sim_0 q \oplus p$（成分を入れ替える部分等距離をとればよい）なので、$\mathcal{D}(A)$ は $[0]$ を単位元とする可換モノイドです。
より強い同値関係として、$A$ が単位的なとき $p \sim_u q$（あるユニタリ $u \in U(A)$ で $upu^{*} = q$）と $p \sim_h q$（$\mathcal{P}(A)$ 内の連続な道で結ばれる）があります。次の補題は、これらの関係が「近さ」から自動的に生じることを示すもので、K-理論の連続性・ホモトピー不変性の源です。
$A$ を単位的 $C^*$-代数、$p, q \in \mathcal{P}(A)$ とし、$\|p - q\| < 1$ が成り立つとする。このとき $u \in U(A)$ で $u$ が単位元と連続な道で結ばれ（すなわち $u \in U(A)_0$）、かつ $upu^{*} = q$ となるものが存在する。とくに $p \sim_h q$、したがって $p \sim q$ である。
$z := qp + (1-q)(1-p) \in A$ とおきます。$2q - 1$ は自己共役ユニタリ（$(2q-1)^2 = 4q^2 - 4q + 1 = 1$）であり、
$$
(2q-1)(p - q) = 2qp - 2q - p + q = -\bigl(p + q - 2qp\bigr) = -(1 - z)
$$
が成り立ちます（最後の等号は $1 - z = 1 - qp - (1 - q - p + qp) = p + q - 2qp$ から）。ユニタリを掛けてもノルムは変わらないので
$$
\|1 - z\| = \|(2q-1)(p-q)\| = \|p - q\| < 1
$$
です。よって $z$ は可逆で、さらに $t \in [0,1]$ に対し $z_t := (1-t)\cdot 1 + tz$ は $\|1 - z_t\| = t\|1-z\| < 1$ より可逆なので、$z$ は可逆元の群の単位成分 $GL(A)_0$ に属します。
次に $zp = (qp + (1-q)(1-p))p = qp$（$(1-p)p = 0$ より）と $qz = q(qp + (1-q)(1-p)) = qp$（$q(1-q) = 0$ より）から $zp = qz$ を得ます。両辺の共役をとると $pz^{*} = z^{*}q$ なので
$$
(z^{*}z)p = z^{*}(zp) = z^{*}qz = (pz^{*})z = p(z^{*}z)
$$
となり、$p$ は $z^{*}z$ と可換です。したがって $p$ は $z^{*}z$ の多項式すべてと可換で、
### 5.2. K₀ 群の定義
$A$ を**単位的** $C^*$-代数とするとき、
$$
K_0(A) := G(\mathcal{D}(A))
$$
と定める。$p \in \mathcal{P}_\infty(A)$ の定める $K_0(A)$ の元を $[p]_0$ と書く。
一般の（単位的とは限らない）$C^*$-代数 $A$ に対しては、単位化（
$\mathcal{D}(A) \to K_0(A)$ が単射とは限らないことに注意してください。次の例はその典型で、非可換性が本質的に効いています。
$\mathcal{O}_2$ を、2 つの等距離作用素 $s_1, s_2$（$s_i^{*}s_i = 1$）で生成され、関係式 $s_1s_1^{*} + s_2s_2^{*} = 1$ を満たす単位的 $C^*$-代数とする（キュンツ代数）。この関係から $s_1^{*}s_2 = 0$ がしたがいます。実際
$$
s_1^{*}s_2 = s_1^{*}(s_1s_1^{*} + s_2s_2^{*})s_2 = (s_1^{*}s_1)s_1^{*}s_2 + s_1^{*}s_2(s_2^{*}s_2) = s_1^{*}s_2 + s_1^{*}s_2
$$
なので $s_1^{*}s_2 = 0$ です。そこで $v := (s_1\ \ s_2) \in M_{1,2}(\mathcal{O}_2)$ とおくと
$$
vv^{*} = s_1s_1^{*} + s_2s_2^{*} = 1, \qquad v^{*}v = \begin{pmatrix} s_1^{*}s_1 & s_1^{*}s_2 \\ s_2^{*}s_1 & s_2^{*}s_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1_2
$$
となり、$1_2 \sim_0 1$、すなわち $\mathcal{D}(\mathcal{O}_2)$ の中で $[1] + [1] = [1]$ です。したがって $K_0(\mathcal{O}_2)$ では $2[1]_0 = [1]_0$ より $[1]_0 = 0$ となります。
一方 $\mathcal{D}(\mathcal{O}_2)$ では $[1] \ne [0]$ です（$p \sim_0 0$ なら $p = v^{*}v$ かつ $vv^{*} = 0$ より $\|v\|^2 = \|vv^{*}\| = 0$ なので $p = 0$）。つまり $[1] + [1] = [1] + [0]$ でありながら $[1] \ne [0]$ であり、$\mathcal{D}(\mathcal{O}_2)$ は消約律を満たしません。
### 5.3. K₀ の基本性質
$A, B$ を $C^*$-代数とする。
1. （関手性）$*$-準同型 $\varphi : A \to B$ は群準同型 $K_0(\varphi) : K_0(A) \to K_0(B)$、$[p]_0 \mapsto [\varphi(p)]_0$ を誘導し、$K_0(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}$、$K_0(\psi \circ \varphi) = K_0(\psi) \circ K_0(\varphi)$ が成り立つ。
2. （ホモトピー不変性）$*$-準同型の族 $\varphi_t : A \to B$（$t \in [0,1]$）が各 $a \in A$ について $t \mapsto \varphi_t(a)$ をノルム連続にするならば、$K_0(\varphi_0) = K_0(\varphi_1)$ である。とくに、ホモトピー同値な $C^*$-代数どうしは同じ $K_0$ を持ち、可縮な $C^*$-代数の $K_0$ は $0$ である。
3. （安定性）$n \in \mathbb{N}$ に対し $K_0(M_n(A)) \cong K_0(A)$、また $K_0(A \otimes \mathcal{K}) \cong K_0(A)$ である。
4. （加法性）$K_0(A \oplus B) \cong K_0(A) \oplus K_0(B)$ である。
5. （連続性）$A = \varinjlim A_i$ が $C^*$-代数の帰納極限ならば $K_0(A) \cong \varinjlim K_0(A_i)$ である。
6. （半分完全性）$0 \to I \xrightarrow{\iota} A \xrightarrow{\pi} A/I \to 0$ を $C^*$-代数の短完全列とすると、$K_0(I) \xrightarrow{K_0(\iota)} K_0(A) \xrightarrow{K_0(\pi)} K_0(A/I)$ は中央で完全である。
同じ主張が
## 6. ユニタリが定める K-理論
$K_0$ が射影を数えるのに対し、$K_1$ はユニタリ元を数えます。位相的には $K^1(X) = [X, U(\infty)]$ に対応する量です。
$A$ を単位的 $C^*$-代数とする。埋め込み $U_n(A) \hookrightarrow U_{n+1}(A)$、$u \mapsto \mathrm{diag}(u, 1)$ による帰納極限を $U_\infty(A) = \varinjlim U_n(A)$ とし、$U_\infty(A)_0$ でその中の単位元の連結成分（各 $U_n(A)_0$ の合併）を表す。このとき
$$
K_1(A) := U_\infty(A)/U_\infty(A)_0
$$
と定め、$u \in U_n(A)$ の定める類を $[u]_1$ と書く。単位的とは限らない $C^*$-代数 $A$ に対しては $K_1(A) := K_1(\tilde{A})$ と定める。
$A$ が単位的なとき $\tilde{A} \cong A \oplus \mathbb{C}$ で $K_1(\mathbb{C}) = 0$（$U(n)$ は連結）なので、2 つの定義は矛盾しません。
$A$ を単位的 $C^*$-代数、$u, v \in U_n(A)$ とする。
1. $\mathrm{diag}(u, v)$ と $\mathrm{diag}(v, u)$ は $U_{2n}(A)$ の中で連続な道で結ばれる。
2. $\mathrm{diag}(uv, 1_n)$ と $\mathrm{diag}(u, v)$ は $U_{2n}(A)$ の中で連続な道で結ばれる。
3. したがって $[u]_1 \cdot [v]_1 := [\mathrm{diag}(u,v)]_1 = [uv]_1$ は well-defined であり、$K_1(A)$ はこの演算に関してアーベル群になる。単位元は $[1]_1$、逆元は $[u]_1^{-1} = [u^{*}]_1$ である。
$t \in [0,1]$ に対し
$$
R_t := \begin{pmatrix} \cos(\pi t/2)\,1_n & -\sin(\pi t/2)\,1_n \\ \sin(\pi t/2)\,1_n & \cos(\pi t/2)\,1_n \end{pmatrix} \in U_{2n}(A)
$$
とおきます。$R_t^{*}R_t = 1_{2n}$ は三角関数の加法定理から直ちに確かめられ、$R_0 = 1_{2n}$、$R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1_n \\ 1_n & 0\end{pmatrix}$ です。
**(1)** $t \mapsto R_t\,\mathrm{diag}(u,v)\,R_t^{*}$ は $U_{2n}(A)$ 内の連続な道であり、$t = 0$ では $\mathrm{diag}(u,v)$、$t = 1$ では
$$
\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & v\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -v \\ u & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v & 0 \\ 0 & u \end{pmatrix}
$$
となります。
**(2)** まず
$$
w_t := \mathrm{diag}(v^{*}, 1_n)\, R_t\, \mathrm{diag}(v, 1_n)\, R_t^{*}
$$
とおくと、$w_t \in U_{2n}(A)$ の連続な道で、$w_0 = \mathrm{diag}(v^{*},1_n)\mathrm{diag}(v,1_n) = 1_{2n}$ です。また (1) と同じ計算で $R_1\,\mathrm{diag}(v,1_n)\,R_1^{*} = \mathrm{diag}(1_n, v)$ なので
$$
w_1 = \mathrm{diag}(v^{*}, 1_n)\,\mathrm{diag}(1_n, v) = \mathrm{diag}(v^{*}, v)
$$
です。よって $\mathrm{diag}(v^{*}, v) \in U_{2n}(A)_0$ です。一方
$$
\mathrm{diag}(uv, 1_n)\,\mathrm{diag}(v^{*}, v) = \mathrm{diag}(uvv^{*}, v) = \mathrm{diag}(u, v)
$$
なので、$t \mapsto \mathrm{diag}(uv,1_n)\,w_t$ が $\mathrm{diag}(uv,1_n)$ から $\mathrm{diag}(u,v)$ への道を与えます。
**(3)** (2) より $[\mathrm{diag}(u,v)]_1 = [\mathrm{diag}(uv, 1_n)]_1 = [uv]_1$（最後は $U_\infty$ における同一視）なので演算は $[u]_1[v]_1 = [uv]_1$ と一致し、群の演算から誘導されるものとして well-defined です。$U_\infty(A)_0$ は正規部分群なので商は群になります。可換性は (1) と (2) から
$$
[u]_1[v]_1 = [\mathrm{diag}(u,v)]_1 = [\mathrm{diag}(v,u)]_1 = [v]_1[u]_1
$$
としてしたがいます。逆元は $[u]_1[u^{*}]_1 = [uu^{*}]_1 = [1]_1$ からわかります。
$A = C(S^1)$ とします。$K^0(S^1) \cong \mathbb{Z}$ は
## 7. 完全系列とボット周期性
(6) の半分完全性だけでは計算に足りません。左右の端をつなぐ境界写像が必要です。それを可能にするのがボット周期性です。
$C^*$-代数 $A$ に対し、**懸垂**を
$$
SA := C_0((0,1)) \otimes A \cong \{f \in C([0,1], A) : f(0) = f(1) = 0\}
$$
で定めます。$K_1(A) \cong K_0(SA)$ が成り立ち（この同型を $K_1$ の定義に採用する流儀もあります）、逆向きの同型が次の定理です。
$A$ を $C^*$-代数とする。$SA$ を上の懸垂とし、$SA \cong \{f \in C(S^1, A) : f(1) = 0\}$ と同一視する。射影 $p \in \mathcal{P}(M_n(\tilde{A}))$ に対して
$$
\beta_A([p]_0) := \bigl[\,z \mapsto z\,p + (1_n - p)\,\bigr]_1
$$
と定めると、$\beta_A : K_0(A) \to K_1(SA)$ は well-defined な群同型である。したがって $K_1(A) \cong K_0(SA)$ と合わせて、すべての $n \ge 0$ について
$$
K_n(A) \cong K_{n+2}(A)
$$
が成り立つ。
## 8. 不変量としての K-理論
K-理論が代数の同型不変量として実際にどれくらい働くかを見ます。まず代表的な計算をまとめます。
| 代数 | $K_0$ | $K_1$ | 補足 |
|---|---|---|---|
| $\mathbb{C}$ | $\mathbb{Z}$ | $0$ | $[1]_0 = 1$ |
| $M_k(\mathbb{C})$ | $\mathbb{Z}$ | $0$ | $[1]_0 = k$ |
| $\mathcal{K}$ | $\mathbb{Z}$ | $0$ | 単位元なし |
| $C(S^1)$ | $\mathbb{Z}$ | $\mathbb{Z}$ | $K_1$ は巻き数 |
| $C_0(\mathbb{R}) = S\mathbb{C}$ | $0$ | $\mathbb{Z}$ | ボット周期性から |
| $C(S^2)$ | $\mathbb{Z}^2$ | $0$ | ボット射影が生成 |
| $\mathcal{T}$ | $\mathbb{Z}$ | $0$ | 六項完全系列から |
| $\mathcal{O}_n$ | $\mathbb{Z}/(n-1)\mathbb{Z}$ | $0$ | $[1]_0$ が生成 |
| $C(\mathbb{T}^2)$ | $\mathbb{Z}^2$ | $\mathbb{Z}^2$ | $\tau_{*}(K_0) = \mathbb{Z}$ |
| $A_\theta$（$\theta$ は無理数） | $\mathbb{Z}^2$ | $\mathbb{Z}^2$ | $\tau_{*}(K_0) = \mathbb{Z} + \theta\mathbb{Z}$ |
表からわかるとおり、群としての $K_0$ だけでは情報が足りません。$\mathbb{C}$ と $M_k(\mathbb{C})$ はどちらも $K_0 \cong \mathbb{Z}$ です。実際の分類では、$K_0(A)$ に射影の類がなす正錐 $K_0(A)^{+} = \{[p]_0 : p \in \mathcal{P}_\infty(A)\}$ による順序を入れ、単位元の類 $[1_A]_0$ を目印として付けた**目盛り付き順序群** $(K_0(A), K_0(A)^{+}, [1_A]_0)$ を用います。この不変量で $\mathbb{C}$ の $([1]_0 = 1)$ と $M_k(\mathbb{C})$ の $([1]_0 = k)$ は区別されます。エリオットの定理は、AF 代数（有限次元 $C^*$-代数の帰納極限）がこの目盛り付き順序群（次元群）によって完全に分類されることを主張します。この路線は現在、単純・可分・核型・$\mathcal{Z}$-安定で普遍係数定理を満たす $C^*$-代数の分類定理へと結実しています。
$\theta \in \mathbb{R}$ に対し、非可換トーラス $A_\theta$ を 2 つのユニタリ $u, v$ で生成され関係式
$$
vu = e^{2\pi i \theta}\,uv
$$
を満たす普遍 $C^*$-代数とします。$\theta = 0$ なら $A_0 \cong C(\mathbb{T}^2)$ です。ピムスナー–ヴォイクレスクの完全系列を用いた計算により、すべての $\theta$ について
$$
K_0(A_\theta) \cong \mathbb{Z}^2, \qquad K_1(A_\theta) \cong \mathbb{Z}^2
$$
が成り立ちます（
K-理論はここで終わりません。
で見たように境界写像は指数を計算します。楕円型作用素の指数を一般の非可換な状況で扱うには、代数・ヒルベルト空間・ディラック型作用素の組を用意する必要があり、それが[スペクトル三つ組](/mathematics/noncommutative-geometry/spectral-triples)（
）です。スペクトル三つ組は $K$-ホモロジー類を定め、$K$-理論との対（指数対）を通じて[指数定理](/mathematics/noncommutative-geometry/index-theorem)へつながります。
## 9. 演習
$M = \mathbb{N}_0 \cup \{\infty\}$ に、通常の和と $\infty + m = m + \infty = \infty$（$m \in M$）で定まる可換モノイド構造を入れます。$G(M)$ を決定してください。
$G(M) = 0$（自明群）であることを示します。
まず $[(1, 0)] = [(0,0)]$ を確かめます。
## 参考文献
1. M. Rørdam, F. Larsen, N. J. Laustsen, *An Introduction to K-Theory for C\*-Algebras*, London Mathematical Society Student Texts 49, Cambridge University Press, 2000 — 第 3・4 章（$K_0$ の構成と関手性）、第 8 章（$K_1$）、第 9 章（指数写像）、第 11 章（ボット周期性）、第 12 章（六項完全系列）。この記事の構成はおおむねこの本に沿っています。
2. B. Blackadar, *K-Theory for Operator Algebras*, 2nd edition, MSRI Publications 5, Cambridge University Press, 1998 — 作用素環の K-理論の百科事典的な標準文献。安定性・順序構造・分類理論まで含みます。
3. M. F. Atiyah, *K-Theory*, W. A. Benjamin, 1967（Addison-Wesley より復刊）— 位相的 K-理論とボット周期性の古典的な教科書。
4. R. G. Swan, "Vector bundles and projective modules", *Transactions of the American Mathematical Society* 105 (1962), 264–277 —
の原論文。
5. A. Connes, *Noncommutative Geometry*, Academic Press, 1994 — 第 II 章に $C^*$-代数の K-理論、第 III・IV 章に巡回コホモロジーと指数定理。
6. M. A. Rieffel, "C\*-algebras associated with irrational rotations", *Pacific Journal of Mathematics* 93 (1981), 415–429 — 非可換トーラスのリーフェル射影の構成。
## Appendix: 境界写像の構成
で存在を主張した 2 つの境界写像を、明示的な公式の形で与えます。以下 $0 \to I \xrightarrow{\iota} A \xrightarrow{\pi} A/I \to 0$ を短完全列とし、記号を簡単にするため $A$ は単位的、$\pi$ は単位元を保つとします（一般の場合は単位化を経由します）。
**指数写像 $\partial_1 : K_1(A/I) \to K_0(I)$。** $u \in U_n(A/I)$ をとります。
(2) の証明で見たように $\mathrm{diag}(u, u^{*}) \in U_{2n}(A/I)_0$ であり、$U_{2n}(A) \to U_{2n}(A/I)_0$ は全射です（
により $U_{2n}(A/I)_0$ の元は指数関数の積で書け、各指数関数は自己共役元の持ち上げを使って持ち上がります）。そこで $w \in U_{2n}(A)$ を $\pi(w) = \mathrm{diag}(u, u^{*})$ となるようにとり、$q_n := \mathrm{diag}(1_n, 0_n) \in \mathcal{P}(M_{2n}(A))$ とおいて（$n = 1$ なら $q_1 = \mathrm{diag}(1,0)$ です）
$$
\partial_1([u]_1) := [\,w q_n w^{*}\,]_0 - [\,q_n\,]_0
$$
と定めます。この差が $K_0(I)$ に属することは次のようにわかります。
$$
\pi(w q_n w^{*}) = \begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & u^{*}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1_n & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u^{*} & 0 \\ 0 & u \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} uu^{*} & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = \pi(q_n)
$$
なので $w q_n w^{*} - q_n \in M_{2n}(I)$ であり、2 つの射影はともに $M_{2n}(\tilde{I})$ の元と見なせて、その類の差は $K_0(\pi_{\tilde{I}})$ の核、すなわち $K_0(I)$ に入ります。$w$ の取り方によらないことは、2 つの持ち上げの比が $\pi$ で $1$ に写ることと
を使って示されます。
はこの公式をそのまま計算したものです。
**指数関数写像 $\partial_0 : K_0(A/I) \to K_1(I)$。** $p \in \mathcal{P}(M_n(A/I))$ をとります。$\pi : M_n(A) \to M_n(A/I)$ は全射なので $\pi(b) = p$ となる $b$ があり、$a := (b + b^{*})/2$ とおけば $a$ は自己共役で $\pi(a) = (p + p^{*})/2 = p$ です。このとき
$$
\partial_0([p]_0) := [\,e^{2\pi i a}\,]_1
$$
と定めます。これが $K_1(I)$ の元であることは、$p^2 = p$ から
$$
e^{2\pi i p} = 1 + \sum_{k \ge 1} \frac{(2\pi i)^k}{k!}p^k = 1 + p\sum_{k\ge1}\frac{(2\pi i)^k}{k!} = 1 + p\,(e^{2\pi i} - 1) = 1
$$
となるので $\pi(e^{2\pi i a}) = e^{2\pi i p} = 1_n$、すなわち $e^{2\pi i a} - 1_n \in M_n(I)$ となることからしたがいます。自己共役な持ち上げ $a$ の選び方によらないこと、および群準同型であることは、2 つの持ち上げを結ぶ線分に沿ったホモトピーを使って確かめられます。