# ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件

> ベクトル場の流れの存在と群の性質を示し、Lie 微分がベクトル場では括弧積、微分形式では Cartan の公式で与えられることを証明する。Lie 括弧の可換性から Frobenius の定理を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/manifolds/flows-lie-derivative-frobenius

## 0. この記事の要点

川の水面に浮かべた木の葉は、各地点の流れの向きと速さに従って動いていきます。多様体の上のベクトル場も同じで、各点に「どちらへどの速さで進むか」を指定したものです。この記事では、その指示に従って点を動かしたとき、ほかの量（関数・矢印・微分形式）が動きにつれてどれだけ変わるかを調べます。さらに、各点で「この方向の組に沿って進める」という指定があるとき、それに沿った曲面が実際にあるかどうかを判定する条件（Frobenius の定理）を導きます。

- ベクトル場 $X$ の**流れ** $\theta_t$ は、各点を $X$ に沿って時間 $t$ だけ動かす写像です。局所的な微分同相（滑らかで逆も滑らかな全単射）の 1 パラメータ族であり、$\theta_s\circ\theta_t=\theta_{s+t}$ が成り立ちます（<Ref to="thm-flow" />）。
- 流れに沿って別の対象を微分したものが **Lie 微分** $L_X$ です。ベクトル場 $Y$ に対しては $L_XY=[X,Y]$（Lie 括弧）になります（<Ref to="thm-lie-derivative-bracket" />）。
- 微分形式に対しては **Cartan の公式** $L_X=d\,i_X+i_X\,d$ が成り立ちます（<Ref to="thm-cartan" />）。外微分が $d^2=0$ である以上の情報を、$L_X$ という「流れに沿った変化率」の言葉で書き直した式です。
- 二つのベクトル場の括弧が $0$ であることと、二つの流れが可換であることは同値です（<Ref to="prop-commuting-flows" />）。
- **Frobenius の定理**（<Ref to="thm-frobenius" />）：$k$ 次元の接分布 $E\subset TM$（各点で接空間の $k$ 次元部分空間を一つ選ぶ対応のこと）が、各点のまわりで座標軸 $\partial_1,\dots,\partial_k$ で張られるように[チャート](/mathematics/manifolds/smooth-manifolds#def-chart)を取れる条件は、$E$ の切断どうしの括弧が $E$ の切断になること（involutive）です。
- 条件は微分形式の言葉に書き換えられます（<Ref to="cor-frobenius-forms" />）。$\mathbb{R}^3$ では $\omega\wedge d\omega=0$ という一本の式になります。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **チャート**: 多様体の一部を $\mathbb{R}^n$ の開集合と同一視する座標のこと。→ [チャート](/mathematics/manifolds/smooth-manifolds#def-chart)
- **1 形式**: 各点で接ベクトルに実数を対応させる線形な量（$dx$ など）。→ [1 形式](/mathematics/manifolds/differential-forms#def-cotangent)
- **ウェッジ積**: 微分形式どうしの積で、1 形式どうしでは順序を入れ替えると符号が変わるもの（$dx\wedge dy=-dy\wedge dx$）。→ [ウェッジ積](/mathematics/manifolds/differential-forms#def-wedge)
- **引き戻し**: 写像 $F$ を使って、行き先の微分形式を出発側の微分形式に移す操作（$F^*\omega$）。→ [ベクトル場と微分形式](/mathematics/manifolds/differential-forms)
- **逆関数定理**: 微分が可逆な点の近くで、写像が微分同相になるという定理。→ [部分多様体と正則値定理](/mathematics/manifolds/submanifolds-regular-values)

</Aside>

## 1. 動機

微分方程式 $\dot x=V(x)$ を解くことは、ベクトル場 $V$ の積分曲線を求めることです。多様体の上ではこの見方を保つのが自然で、座標を一つ決めてしまうと、座標変換のたびに方程式の形が変わります。ベクトル場の流れという座標によらない対象に目を向けると、次の問いに自然に答えられます。

1. 流れに沿って関数、ベクトル場、微分形式を動かしたとき、それらはどのような割合で変化するか（Lie 微分）。
2. 各点で $k$ 次元の方向が指定されているとき（分布）、それらを接空間とするような $k$ 次元の曲面は存在するか（Frobenius）。

$k=1$ のとき 2 は積分曲線の存在そのものです。$k\ge2$ のときは、方向が互いに整合する条件（括弧で閉じること）が必要になります。[リー群とリー環](/mathematics/manifolds/lie-groups) で[左不変ベクトル場](/mathematics/manifolds/lie-groups#def-left-invariant)の括弧として[リー環](/mathematics/manifolds/lie-groups#def-lie-algebra)を定義し、1 パラメータ部分群を作りましたが、そのとき暗黙に使った「流れ」と「括弧」の一般論が、この記事の内容です。

## 2. Lie 括弧と流れの存在

滑らかなベクトル場 $X$ は、各点 $p$ で導分 $X_p\colon C^\infty(M)\to\mathbb{R}$ を与え（<Ref to="mathematics/manifolds/tangent-spaces#def-derivation" />）、滑らかな関数 $f$ を滑らかな関数 $Xf=(p\mapsto X_pf)$ に写します。

<Definition id="def-bracket" title="Lie 括弧">
$X,Y$ を滑らかなベクトル場とする。$[X,Y]f=X(Yf)-Y(Xf)$ で定まる写像 $f\mapsto[X,Y]f$ を **Lie 括弧**という。
</Definition>

<Proposition id="prop-bracket" title="Lie 括弧の性質">
1. $[X,Y]$ は滑らかなベクトル場であり、チャート $(x^1,\dots,x^n)$ 上で
$$
[X,Y]=\sum_{j}\Bigl(\sum_iX^i\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}-Y^i\frac{\partial X^j}{\partial x^i}\Bigr)\frac{\partial}{\partial x^j}
$$
と書ける。
2. $[X,Y]=-[Y,X]$、$\mathbb{R}$ 双線形、ヤコビ恒等式 $[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$。
3. $f,g$ を滑らかな関数とすると $[fX,gY]=fg[X,Y]+f(Xg)Y-g(Yf)X$。
</Proposition>

<Proof of="prop-bracket">
**(1)**　$X=\sum X^i\partial_i$、$Y=\sum Y^j\partial_j$ とすると $X(Yf)=\sum_{i,j}X^i\partial_iY^j\partial_jf+\sum_{i,j}X^iY^j\partial_i\partial_jf$ です。$Y(Xf)$ も同様で、2 階の項は偏微分の順序交換（<Ref to="mathematics/calculus/multivariable-differentiation#thm-schwarz-n" />）により打ち消し合います。残りは $f$ の 1 階の偏微分の線形結合で、係数が表の式です。これは $\partial_jf$ に掛かる滑らかな係数を持つ導分なので、滑らかなベクトル場です（<Ref to="mathematics/manifolds/differential-forms#prop-smooth-criterion" />）。

**(2)**　反対称性と双線形性は定義から明らかです。ヤコビ恒等式は展開して確かめます。$[X,[Y,Z]]f=XYZf-XZYf-YZXf+ZYXf$ で、$(X,Y,Z)$ を巡回的に取り替えた 3 式を足すと、$XYZf$、$XZYf$、$YXZf$、$YZXf$、$ZXYf$、$ZYXf$ の 6 種類の項がそれぞれ $+$ と $-$ で 1 回ずつ現れて、和は $0$ です。

**(3)**　$[fX,gY]h=fX(gYh)-gY(fXh)=fg(XYh-YXh)+f(Xg)Yh-g(Yf)Xh$ です。
</Proof>

次に流れを作ります。局所的な常微分方程式の基本定理を用います。

<Theorem id="thm-ode" title="常微分方程式の基本定理">
$U\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、$V\colon U\to\mathbb{R}^n$ を $C^\infty$ 級とする。

1. 各 $x_0\in U$ に対し、$\varepsilon>0$、$x_0$ の開近傍 $U_0\subset U$、$C^\infty$ 級写像 $\Phi\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\times U_0\to U$ で、$\partial_t\Phi(t,x)=V(\Phi(t,x))$、$\Phi(0,x)=x$ を満たすものが存在する。
2. $I$ が区間で、$c_1,c_2\colon I\to U$ が $\dot c=V(c)$ の解で $c_1(t_0)=c_2(t_0)$ となる $t_0\in I$ があれば、$I$ 全体で $c_1=c_2$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-ode">
これらは [常微分方程式の存在と一意性](/mathematics/ode/existence-uniqueness) で証明した事実です。$V$ は $C^1$ 級なので $y$ について局所 Lipschitz 連続です（<Ref to="mathematics/ode/existence-uniqueness#prop-c1-lipschitz" />）。(2) は <Ref to="mathematics/ode/existence-uniqueness#thm-uniqueness" /> です。(1) の存在は <Ref to="mathematics/ode/existence-uniqueness#thm-picard-lindelof" /> で、$x_0$ を中心とする閉球 $\bar B(x_0,b)\subset U$ 上で $M=\max|V|$ をとると、$x\in\bar B(x_0,b/2)$ について $[-1,1]\times\bar B(x,b/2)\subset\mathbb{R}\times U$ に定理を使えるので、存在時間 $h=\min(1,\,b/(2M))$ は $\bar B(x_0,b/2)$ の各点で共通にとれます。$\varepsilon=h$、$U_0=B(x_0,b/2)$、$\Phi(t,x)=\varphi(t;0,x)$（初期時刻 $0$、初期値 $x$ の解）と置けば、$(-\varepsilon,\varepsilon)\times U_0$ は解の定義域に含まれます。$V$ は $C^\infty$ 級なので、初期値への $C^\infty$ 級の依存性（<Ref to="mathematics/ode/existence-uniqueness#thm-smooth-dependence" />、<Ref to="mathematics/ode/existence-uniqueness#cor-smooth-parameter" /> の 2）から $\Phi$ は $(t,x)$ について $C^\infty$ 級です。
</Proof>

常微分方程式の側で証明されている事実を、多様体の言葉に移すのがこの記事の目的です。滑らかさの証明の要点は、$(\Phi,D_x\Phi)$ が $C^\infty$ 級のベクトル場 $(x,Y)\mapsto(V(x),DV(x)Y)$ の流れ（初期値 $(x,I)$）であることで、$C^1$ 級性を拡大系に繰り返し使う帰納法になっています。

<Definition id="def-integral-curve" title="積分曲線">
$X$ を多様体 $M$ の滑らかなベクトル場とする。区間 $J\subset\mathbb{R}$ から $M$ への滑らかな曲線 $\gamma$ が $X$ の**積分曲線**であるとは、すべての $t\in J$ で $\gamma'(t)=X_{\gamma(t)}$ が成り立つことをいう。
</Definition>

<Theorem id="thm-flow" title="流れの基本定理">
$X$ を滑らかなベクトル場とする。このとき $\mathbb{R}\times M$ の開集合 $D\supset\{0\}\times M$ と滑らかな写像 $\theta\colon D\to M$（**流れ**）で、次を満たすものが一意に存在する。

1. 各 $p\in M$ について $D^{(p)}=\{t:(t,p)\in D\}$ は $0$ を含む開区間で、$t\mapsto\theta(t,p)$ は $p$ を始点とする**極大**積分曲線である。
2. $(t,p)\in D$ とする。$(s,\theta(t,p))\in D$ であることと $(s+t,p)\in D$ であることは同値で、このとき $\theta(s,\theta(t,p))=\theta(s+t,p)$。
3. $\theta_t=\theta(t,\cdot)$ の定義域 $M_t=\{p:(t,p)\in D\}$ は開集合で、$\theta_t\colon M_t\to M_{-t}$ は逆写像 $\theta_{-t}$ を持つ微分同相である。
</Theorem>

証明の方針：まず、同じ点から出る積分曲線は重なる部分で一致すること（一意性）を示して、延ばせるだけ延ばした極大な積分曲線を作ります。次に、積分曲線をたどって「どの時刻まで滑らかに流れが定義できるか」の限界を上限 $t_1$ で捉え、それが端まで届かないと仮定すると局所的な流れでさらに先へ延ばせてしまうことから矛盾を導きます。

<Proof of="thm-flow">
**一意性と極大積分曲線。**　二つの積分曲線 $\gamma_1,\gamma_2\colon J\to M$ が $t_0$ で一致するとします。一致する点の集合 $S=\{t:\gamma_1(t)=\gamma_2(t)\}$ は、$M$ が Hausdorff であることから閉集合です（異なる点は互いに交わらない開近傍を持つので、$t\notin S$ なら $t$ の近傍も $S$ の外）。$S$ は開集合でもあります：$t_1\in S$ のとき、$\gamma_1(t_1)$ のチャートで積分曲線は $\dot c=V(c)$ の解になり、<Ref to="thm-ode" /> (2) により一致が $t_1$ の近傍に広がります。$J$ は連結なので $S=J$ です。したがって、$p$ を始点とするすべての積分曲線の定義域の和集合上に、それらを貼り合わせた積分曲線が（一意に）定まります。これが極大積分曲線で、その定義域が開区間 $D^{(p)}$ です。

**群の性質 (2)。**　$(t,p)\in D$ とします。$s\mapsto\theta(s+t,p)$ は $\theta(t,p)$ を始点とする積分曲線なので、それは $\theta(\cdot,\theta(t,p))$ の拡張です。極大性から、$D^{(\theta(t,p))}=D^{(p)}-t$ が従い、$\theta(s,\theta(t,p))=\theta(s+t,p)$ です。

**$D$ が開で $\theta$ が滑らか。**　$(t_0,p_0)\in D$、$t_0>0$ とします（$t_0<0$ も同様、$t_0=0$ は <Ref to="thm-ode" /> (1) による）。$T$ を、$[0,\tau]\times N\subset D$ かつ $\theta$ が $[0,\tau]\times N$ の近傍で滑らかとなる $p_0$ の開近傍 $N$ が存在するような $\tau\in[0,t_0]$ の全体とし、$t_1=\sup T$ とします。<Ref to="thm-ode" /> (1) により $T$ は正の数を含みます。$t_1<t_0$ と仮定して矛盾を導きます。$q=\theta(t_1,p_0)$ のチャートで <Ref to="thm-ode" /> (1) を適用し、$\varepsilon>0$ と近傍 $U_0\ni q$ 上の局所流れ $\Phi$ を得ます。$t_2\in T$ を $t_1-\varepsilon/2<t_2<t_1$ かつ $\theta(t_2,p_0)\in U_0$ となるように取り（$\theta(\cdot,p_0)$ は連続）、$[0,t_2]\times N\subset D$ となる $N$ を $\theta(t_2,N)\subset U_0$ となるまで小さくします。このとき $(t,x)\in[t_2,t_2+\varepsilon)\times N$ に対し $\Phi(t-t_2,\theta(t_2,x))$ は積分曲線で、$\theta(t,x)$ の定義を拡張し滑らかです。これは $\tau=\min(t_2+\varepsilon/2,\,t_0)>t_1$ が $T$ に入ることを意味し、$t_1=\sup T$ に反します。よって $t_1=t_0$ で、$(t_0,p_0)$ の近傍で $\theta$ は定義され滑らかです。

**(3)。**　(2) から $\theta_{-t}\circ\theta_t=\mathrm{id}$（$M_t$ 上）と $\theta_t\circ\theta_{-t}=\mathrm{id}$（$M_{-t}$ 上）が従い、$\theta_t$ は滑らかな全単射で逆写像も滑らかです。$M_t$ は $D$ の開性から開です。
</Proof>

どの $p$ でも $D^{(p)}=\mathbb{R}$ のとき $X$ は**完備**といいます。完備でないベクトル場はいくらでもあります。

<Example id="ex-incomplete" title="有限時間で爆発する流れ">
$M=\mathbb{R}$、$X=x^2\,\partial/\partial x$ のとき、$\dot x=x^2$ の解は $x(t)=x_0/(1-tx_0)$ で、$x_0>0$ なら $t\to1/x_0$ で発散します。極大積分曲線の定義域は $x_0>0$ のとき $(-\infty,1/x_0)$、$x_0<0$ のとき $(1/x_0,\infty)$、$x_0=0$ のとき $\mathbb{R}$ です。
</Example>

<Proposition id="prop-complete" title="コンパクトな台を持つベクトル場は完備">
$X$ の台 $\operatorname{supp}X=\overline{\{X\ne0\}}$ がコンパクトならば、$X$ は完備である。とくにコンパクトな多様体上のベクトル場はすべて完備である。
</Proposition>

<Proof of="prop-complete">
$p\notin\operatorname{supp}X$ なら $X_p=0$ で、定値曲線が極大積分曲線なので $D^{(p)}=\mathbb{R}$ です。$p\in K=\operatorname{supp}X$ とします。極大積分曲線 $\gamma$ は $K$ を出ません：もし $\gamma(t_0)\notin K$ なら、そこで $X=0$ で、定値曲線との一意性により $\gamma$ が定値になり $\gamma(0)=p\in K$ に反します。$K$ はコンパクトなので、<Ref to="thm-ode" /> (1) の局所流れを有限個のチャートで取って、ある $\varepsilon>0$ が存在し、すべての $q\in K$ に対し $(-\varepsilon,\varepsilon)\subset D^{(q)}$ となります。したがって $D^{(p)}=(a,b)$ で $b<\infty$ とすると、$t_0\in(b-\varepsilon/2,b)$ で $q=\gamma(t_0)\in K$ から出発する積分曲線が $t_0+\varepsilon$ まで伸び、$\gamma$ の極大性に反します。$a$ についても同様です。
</Proof>

## 3. Lie 微分

流れ $\theta_t$ は、点だけでなく、関数・ベクトル・微分形式にも作用します。それらを $t$ について微分したものが Lie 微分です。

<Definition id="def-lie-derivative" title="Lie 微分">
$X$ を滑らかなベクトル場、$\theta_t$ をその流れとする。

1. 関数 $f$ に対し $(L_Xf)(p)=\dfrac{d}{dt}\Big|_{t=0}f(\theta_t(p))=X_pf$。
2. ベクトル場 $Y$ に対し $(L_XY)_p=\dfrac{d}{dt}\Big|_{t=0}\,d(\theta_{-t})_{\theta_t(p)}\bigl(Y_{\theta_t(p)}\bigr)\in T_pM$。
3. $k$ 形式 $\omega$ に対し $(L_X\omega)_p=\dfrac{d}{dt}\Big|_{t=0}(\theta_t^*\omega)_p\in\Lambda^kT_p^*M$。
</Definition>

(2)(3) の括弧の中は、$t$ が十分小さいとき定義され、固定された有限次元ベクトル空間 $T_pM$、$\Lambda^kT_p^*M$ の中の滑らかな曲線です（$\theta$ が滑らかだから）。(2) は、点 $\theta_t(p)$ にあるベクトル $Y$ を、流れで $p$ まで引き戻して比べているということです。

直感的には、$p$ から流れに乗って $\theta_t(p)$ まで動いた先に、$Y$ の矢印が立っているところを想像してください。異なる点の接ベクトルは同じ空間に属さないので、そのままでは差が取れません。そこで、流れを逆向き（$\theta_{-t}$）に戻して矢印を $p$ の接空間 $T_pM$ に持ち帰り、$Y_p$ との違いを $t$ で微分します。逆向きの流れを使うのは、動いた先から出発点へ戻すためです。

<Theorem id="thm-lie-derivative-bracket" title="L_X Y は Lie 括弧">
任意の滑らかなベクトル場 $X,Y$ に対して $L_XY=[X,Y]$。
</Theorem>

証明の方針：ベクトルの変化は直接は見えにくいので、関数 $f$ に作用させた値で比べます。時刻 $t$ が二か所（流れで動いた点 $q_t$ と、関数を戻す流れ $H$）に現れるので、これを別々の変数 $t,s$ とみなして偏微分に分け、第 1 項が $X(Yf)$、第 2 項が $-Y(Xf)$ になることを確かめます。

<Proof of="thm-lie-derivative-bracket">
$p\in M$ とし、$f$ を $p$ の近傍で滑らかな関数とします。$q_t=\theta_t(p)$、$H(t,q)=f(\theta_{-t}(q))$ とおくと、$H$ は $(0,p)$ の近傍で滑らかで、$H(0,\cdot)=f$ です。定義から
$$
\Bigl(d(\theta_{-t})(Y_{q_t})\Bigr)f=Y_{q_t}\bigl(H(t,\cdot)\bigr)=:K(t,t),\qquad K(t,s)=\bigl(Y\,H(s,\cdot)\bigr)(q_t)
$$
です。$K$ は $(t,s)$ について滑らか（$H$ が滑らかで $Y$ は $q$ についての 1 階の微分作用素）なので、$\dfrac{d}{dt}K(t,t)\big|_0=\partial_tK(0,0)+\partial_sK(0,0)$ です。

第 1 項：$K(t,0)=(Yf)(\theta_t(p))$ なので $\partial_tK(0,0)=X_p(Yf)$。

第 2 項：$K(0,s)=(Y\,H(s,\cdot))(p)$ で、$H$ の滑らかさにより $s$ についての微分と $q$ についての微分 $Y$ は交換できます。$\partial_sH(s,q)|_{s=0}=\dfrac{d}{ds}f(\theta_{-s}(q))\big|_0=-(Xf)(q)$ より $\partial_sK(0,0)=-Y_p(Xf)$。

したがって $(L_XY)_pf=X_p(Yf)-Y_p(Xf)=[X,Y]_pf$ です。
</Proof>

以下で引き戻しの性質を使います。[ベクトル場と微分形式](/mathematics/manifolds/differential-forms) では述べるだけでしたので、短く証明しておきます。

<Lemma id="lem-pullback" title="引き戻しは ∧ と d を保つ">
$F\colon N\to M$ を滑らかな写像とし、$k$ 形式 $\omega$ に対し $(F^*\omega)_p(v_1,\dots,v_k)=\omega_{F(p)}(dF_pv_1,\dots,dF_pv_k)$ と定める。このとき $F^*(\alpha\wedge\beta)=F^*\alpha\wedge F^*\beta$ と $F^*(d\omega)=d(F^*\omega)$ が成り立つ。
</Lemma>

<Proof of="lem-pullback">
ウェッジ積は <Ref to="mathematics/manifolds/differential-forms#def-wedge" /> のとおり引数を並べ替えた積の和で与えられ、$F^*$ は各引数に $dF_p$ を施すだけなので、前者が従います。後者は、$d$ の局所性（<Ref to="mathematics/manifolds/differential-forms#lem-locality" />）により、$M$ のチャート $(y^1,\dots,y^m)$ 上の $\omega=\sum_If_I\,dy^{i_1}\wedge\cdots\wedge dy^{i_k}$ について示せば足ります。関数 $g$ について $(F^*dg)_p(v)=dg(dF_pv)=v(g\circ F)=d(g\circ F)_p(v)$ なので $F^*dg=d(g\circ F)$ で、
$$
F^*\omega=\sum_I(f_I\circ F)\,d(y^{i_1}\circ F)\wedge\cdots\wedge d(y^{i_k}\circ F)
$$
です。外微分の次数つきライプニッツ則と $d^2=0$（<Ref to="mathematics/manifolds/differential-forms#thm-exterior-derivative" />）により $d(F^*\omega)=\sum_Id(f_I\circ F)\wedge d(y^{i_1}\circ F)\wedge\cdots\wedge d(y^{i_k}\circ F)$ で、これは前者と $F^*dg=d(g\circ F)$ により $F^*\bigl(\sum_Idf_I\wedge dy^{i_1}\wedge\cdots\wedge dy^{i_k}\bigr)=F^*(d\omega)$ です。
</Proof>

<Proposition id="prop-lie-forms" title="微分形式の Lie 微分の性質">
$X$ をベクトル場、$\alpha,\beta,\omega$ を微分形式、$f$ を関数とする。

1. $L_Xf=Xf$（$L_X$ は $0$ 形式に対して <Ref to="def-lie-derivative" /> (1) と一致する）。
2. $L_X(\alpha\wedge\beta)=L_X\alpha\wedge\beta+\alpha\wedge L_X\beta$。
3. $L_X\,d\omega=d\,L_X\omega$。
4. $Y_1,\dots,Y_k$ をベクトル場、$\omega$ を $k$ 形式とすると
$$
X\bigl(\omega(Y_1,\dots,Y_k)\bigr)=(L_X\omega)(Y_1,\dots,Y_k)+\sum_{i=1}^k\omega(Y_1,\dots,[X,Y_i],\dots,Y_k).
$$
</Proposition>

<Proof of="prop-lie-forms">
引き戻しは $\theta_t^*(\alpha\wedge\beta)=\theta_t^*\alpha\wedge\theta_t^*\beta$、$\theta_t^*d=d\theta_t^*$ を満たします（<Ref to="lem-pullback" />）。

**(2)**　各点で $\Lambda^kT_p^*M\times\Lambda^lT_p^*M\to\Lambda^{k+l}T_p^*M$ はウェッジ積という双線形写像なので、$t$ について積の微分法を使うだけです。**(3)**　$\theta_t^*\omega$ のチャートでの係数は $(t,x)$ について滑らかなので、$t$ による微分と $x$ による微分（$d$）は交換でき、$d\,\dfrac{d}{dt}\theta_t^*\omega=\dfrac{d}{dt}d\,\theta_t^*\omega=\dfrac{d}{dt}\theta_t^*d\omega$ です。**(1)**　は定義です。

**(4)**　$p$ を固定し、$\Omega(t)=(\theta_t^*\omega)_p$、$w_i(t)=d(\theta_{-t})(Y_i|_{\theta_t(p)})\in T_pM$ とおきます。$d\theta_t\circ d\theta_{-t}=\mathrm{id}$ により
$$
\bigl(\omega(Y_1,\dots,Y_k)\bigr)(\theta_t(p))=\Omega(t)\bigl(w_1(t),\dots,w_k(t)\bigr)
$$
です。両辺を $t=0$ で微分すると、左辺は $X_p(\omega(Y_1,\dots,Y_k))$、右辺は多重線形写像の積の微分法により $(L_X\omega)_p(Y_1,\dots)+\sum_i\omega_p(\dots,(L_XY_i)_p,\dots)$ です。<Ref to="thm-lie-derivative-bracket" /> を使えば (4) が従います。
</Proof>

## 4. Cartan の公式

$k$ 形式 $\omega$ に対し、**内部積** $i_X\omega$ を $(i_X\omega)(v_2,\dots,v_k)=\omega(X,v_2,\dots,v_k)$ で定め、$0$ 形式には $i_Xf=0$ とします。$i_X\omega$ は $(k-1)$ 形式で、$X$ について $C^\infty(M)$ 線形です。

<Lemma id="lem-interior-product" title="内部積は反導分">
$\alpha$ を $k$ 形式、$\beta$ を $l$ 形式とすると
$$
i_X(\alpha\wedge\beta)=i_X\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge i_X\beta .
$$
</Lemma>

<Proof of="lem-interior-product">
<Ref to="mathematics/manifolds/differential-forms#def-wedge" /> のシャッフル和で $(\alpha\wedge\beta)(X,v_2,\dots,v_{k+l})$ を考えます。$(k,l)$ シャッフル $\sigma$ は、第 1 番目の引数 $X$ が $\alpha$ の側に入る（$\sigma(1)=1$）か、$\beta$ の側に入る（$\sigma(k+1)=1$）かのどちらかです。前者の和は、残りの $v_2,\dots,v_{k+l}$ に対する $(k-1,l)$ シャッフル和で、$(i_X\alpha\wedge\beta)(v_2,\dots)$ に一致します。後者では $X$ を $\beta$ の第 1 引数に動かす並べ替えの符号が $(-1)^k$ で、和は $(-1)^k(\alpha\wedge i_X\beta)(v_2,\dots)$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-cartan" title="Cartan の公式">
任意のベクトル場 $X$ と微分形式 $\omega$ に対し
$$
L_X\omega=d\,i_X\omega+i_X\,d\omega .
$$
</Theorem>

証明の方針：$L_X$ と $d\,i_X+i_X\,d$ の差 $D$ が、積の微分法則（導分）を満たし、$d$ と可換で、関数に対して $0$ になることを示します。微分形式は関数と $dx^i$ のウェッジ積の和なので、これらに対して $D$ が $0$ であれば、積の微分法則により形式全体で $D=0$ となります。

<Proof of="thm-cartan">
$D=L_X-(d\,i_X+i_X\,d)$ とおきます。以下の三つを示します。

**(a)　$d\,i_X+i_X\,d$ は次数 $0$ の導分。**　$\alpha\in\Omega^k$ として <Ref to="lem-interior-product" /> と <Ref to="mathematics/manifolds/differential-forms#thm-exterior-derivative" /> の次数付きライプニッツ則を使います。
$$
\begin{aligned}
d\,i_X(\alpha\wedge\beta)&=d(i_X\alpha)\wedge\beta+(-1)^{k-1}i_X\alpha\wedge d\beta+(-1)^kd\alpha\wedge i_X\beta+\alpha\wedge d\,i_X\beta,\\
i_X\,d(\alpha\wedge\beta)&=i_Xd\alpha\wedge\beta+(-1)^{k+1}d\alpha\wedge i_X\beta+(-1)^ki_X\alpha\wedge d\beta+\alpha\wedge i_Xd\beta.
\end{aligned}
$$
和を取ると、$i_X\alpha\wedge d\beta$ の項は符号 $(-1)^{k-1}$ と $(-1)^k$ で、$d\alpha\wedge i_X\beta$ の項は $(-1)^k$ と $(-1)^{k+1}$ で打ち消し合い、$(di_X+i_Xd)\alpha\wedge\beta+\alpha\wedge(di_X+i_Xd)\beta$ が残ります。

**(b)　$D$ は $d$ と可換。**　$L_X$ は <Ref to="prop-lie-forms" /> (3) により $d$ と可換です。$d(di_X+i_Xd)=d\,i_Xd=(di_X+i_Xd)d$（$d^2=0$ による）。

**(c)　関数に対して $D=0$。**　$f$ に対し $(di_X+i_Xd)f=i_Xdf=df(X)=Xf=L_Xf$。

$L_X$ は <Ref to="prop-lie-forms" /> (2) により、(a) と合わせて $D$ は次数 $0$ の導分で、(b)(c) を満たします。$D$ は局所的です（$L_X$ は各点の近傍の情報で決まり、$d$ は <Ref to="mathematics/manifolds/differential-forms#lem-locality" /> により局所的）から、チャートの定義域 $U$ 上の形式にも作用させて議論できます。チャート $(x^1,\dots,x^n)$ 上で $\omega=\sum_If_I\,dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}$ と書くと、$D(dx^i)=D(d x^i)=d(Dx^i)=0$、$Df_I=0$ なので、導分性から $D\omega=0$ です。
</Proof>

<Corollary id="cor-exterior-derivative-formula" title="1 形式の外微分の公式">
$\omega$ を 1 形式、$X,Y$ をベクトル場とすると
$$
d\omega(X,Y)=X\bigl(\omega(Y)\bigr)-Y\bigl(\omega(X)\bigr)-\omega([X,Y]).
$$
</Corollary>

<Proof of="cor-exterior-derivative-formula">
<Ref to="prop-lie-forms" /> (4) より $(L_X\omega)(Y)=X(\omega(Y))-\omega([X,Y])$。一方 <Ref to="thm-cartan" /> より $(L_X\omega)(Y)=(i_Xd\omega)(Y)+d(\omega(X))(Y)=d\omega(X,Y)+Y(\omega(X))$。両者を等しいとおけば公式が従います。
</Proof>

これは [ベクトル場と微分形式](/mathematics/manifolds/differential-forms) で座標計算に譲った公式と同じものです。ここでは座標を使わずに導かれました。

<Example id="ex-lie-rotation" title="回転のベクトル場">
$\mathbb{R}^2$ のベクトル場 $X=-y\,\partial_x+x\,\partial_y$ の流れは $\theta_t(x,y)=(x\cos t-y\sin t,\ x\sin t+y\cos t)$ です（$\dot x=-y$、$\dot y=x$ の解）。面積形式 $\mu=dx\wedge dy$ について <Ref to="thm-cartan" /> を使うと、$i_X\mu=-y\,dy-x\,dx$ なので $d\,i_X\mu=-dy\wedge dy-dx\wedge dx=0$、$d\mu=0$ から $L_X\mu=0$ です。実際 $\theta_t$ は面積を保つ回転です。同じく $\omega=x\,dy-y\,dx$ について $L_X\omega=d(i_X\omega)+i_Xd\omega$、$i_X\omega=x\cdot x-y(-y)=x^2+y^2$、$d\omega=2\,dx\wedge dy$、$i_Xd\omega=2(-y\,dy-x\,dx)$ より $L_X\omega=2(x\,dx+y\,dy)-2(x\,dx+y\,dy)=0$ で、これも回転で不変です。
</Example>

## 5. 括弧と流れの可換性

<Proposition id="prop-commuting-flows" title="可換性の同値条件">
$X,Y$ を滑らかなベクトル場、$\theta_t,\varphi_s$ をそれぞれの流れとする。次は同値である。

1. $[X,Y]=0$。
2. $Y$ は $X$ の流れで不変：$d\theta_t(Y_p)=Y_{\theta_t(p)}$（$\theta_t(p)$ が定義されるすべての $(t,p)$ で）。
3. 流れが可換：$\theta_t\circ\varphi_s=\varphi_s\circ\theta_t$（両辺が定義される範囲で）。
</Proposition>

<Proof of="prop-commuting-flows">
**(1) ⇒ (2)**　$p$ を固定し、$w(t)=d(\theta_{-t})(Y_{\theta_t(p)})\in T_pM$ とします。$\theta_{-t-s}=\theta_{-t}\circ\theta_{-s}$ より、$w(t+s)=d(\theta_{-t})\bigl[d(\theta_{-s})(Y_{\theta_s(q)})\bigr]$（$q=\theta_t(p)$）なので、$s=0$ で微分して
$$
w'(t)=d(\theta_{-t})\bigl((L_XY)_{q}\bigr)=d(\theta_{-t})\bigl([X,Y]_q\bigr)=0
$$
（<Ref to="thm-lie-derivative-bracket" />）。したがって $w(t)=w(0)=Y_p$ で、これが (2) です。

**(2) ⇒ (3)**　(2) より、$\theta_t$ は $Y$ の積分曲線を $Y$ の積分曲線に写します。$s\mapsto\theta_t(\varphi_s(p))$ は $\theta_t(p)$ を始点とする $Y$ の積分曲線なので、一意性により $\varphi_s(\theta_t(p))$ と一致します。

**(3) ⇒ (1)**　(3) から $\theta_t\circ\varphi_s(p)=\varphi_s\circ\theta_t(p)$ の両辺を $s$ で微分すると (2) が出ます。(2) から $(L_XY)_p=\dfrac{d}{dt}|_0\,d\theta_{-t}(Y_{\theta_t(p)})=\dfrac{d}{dt}|_0Y_p=0$ です。
</Proof>

条件 3 は、$X$ の流れと $Y$ の流れを順に辿る二つの経路が同じ点に着く、ということです。下の図の左は括弧が $0$ の場合で四角形が閉じ、右は括弧が $0$ でない場合で、順序によって着く点がずれて四角形が閉じません。

<Figure caption="二つの流れを順に動かす。左は [X,Y]=0 で四角形が閉じ、右は [X,Y]≠0 で終点がずれる（模式図）。">
<svg viewBox="0 0 400 150" width="100%" role="img" aria-label="閉じる四角形と閉じない四角形の模式図">
  <defs>
    <marker id="fl-arr" viewBox="0 0 10 10" refX="9" refY="5" markerWidth="7" markerHeight="7" orient="auto-start-reverse">
      <path d="M0,0 L10,5 L0,10 z" fill="currentColor" />
    </marker>
  </defs>
  <line x1="40" y1="120" x2="140" y2="120" stroke="currentColor" stroke-width="1.8" marker-end="url(#fl-arr)" />
  <line x1="140" y1="120" x2="140" y2="40" stroke="currentColor" stroke-width="1.8" marker-end="url(#fl-arr)" />
  <line x1="40" y1="120" x2="40" y2="40" stroke="currentColor" stroke-width="1.8" marker-end="url(#fl-arr)" />
  <line x1="40" y1="40" x2="140" y2="40" stroke="currentColor" stroke-width="1.8" marker-end="url(#fl-arr)" />
  <text x="28" y="136" font-size="13" fill="currentColor">p</text>
  <text x="85" y="138" font-size="13" fill="currentColor">X</text>
  <text x="26" y="85" font-size="13" fill="currentColor">Y</text>
  <text x="85" y="32" font-size="13" fill="currentColor">X</text>
  <text x="148" y="85" font-size="13" fill="currentColor">Y</text>
  <line x1="250" y1="120" x2="350" y2="120" stroke="currentColor" stroke-width="1.8" marker-end="url(#fl-arr)" />
  <line x1="350" y1="120" x2="365" y2="40" stroke="currentColor" stroke-width="1.8" marker-end="url(#fl-arr)" />
  <line x1="250" y1="120" x2="250" y2="40" stroke="currentColor" stroke-width="1.8" marker-end="url(#fl-arr)" />
  <line x1="250" y1="40" x2="335" y2="25" stroke="currentColor" stroke-width="1.8" marker-end="url(#fl-arr)" />
  <circle cx="365" cy="40" r="3.5" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <circle cx="335" cy="25" r="3.5" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <text x="238" y="136" font-size="13" fill="currentColor">p</text>
</svg>
</Figure>

## 6. Frobenius の定理

<Definition id="def-distribution" title="分布・involutive・平坦チャート">
$M$ を $n$ 次元多様体とする。

1. $M$ の **$k$ 次元分布**とは、各点 $p$ に $k$ 次元部分空間 $E_p\subset T_pM$ を与える対応 $E$ で、各点の近傍 $U$ 上に滑らかなベクトル場 $X_1,\dots,X_k$ が存在し、各 $q\in U$ で $X_1|_q,\dots,X_k|_q$ が $E_q$ の基底となるもの（**局所枠**）をいう。
2. $E$ の**切断**とは、すべての点で $X_p\in E_p$ となる滑らかなベクトル場 $X$ をいう。$E$ が **involutive** であるとは、$E$ の任意の二つの切断 $X,Y$ に対して $[X,Y]$ も $E$ の切断になることをいう。
3. チャート $(U;x^1,\dots,x^n)$ が $E$ に対して**平坦**であるとは、$U$ 上で $E$ が $\partial/\partial x^1,\dots,\partial/\partial x^k$ で張られることをいう。このとき $x^{k+1},\dots,x^n$ を定数とする集合（スライス）は、接空間が $E$ である $k$ 次元部分多様体（**積分多様体**）になる。
</Definition>

<Figure caption="平坦チャート。曲がった葉層（左）が、座標を取り替えると水平な層（右）になる。">
<svg viewBox="0 0 400 140" width="100%" role="img" aria-label="曲がった層が水平な層に写される様子">
  <path d="M15,40 C60,15 110,60 165,30" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.8" />
  <path d="M15,70 C60,45 110,90 165,60" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.8" />
  <path d="M15,100 C60,75 110,120 165,90" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.8" />
  <rect x="15" y="15" width="150" height="110" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5 4" />
  <path d="M185,70 L215,70" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <path d="M207,64 L217,70 L207,76" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <text x="193" y="58" font-size="13" fill="currentColor">x</text>
  <line x1="235" y1="40" x2="385" y2="40" stroke="currentColor" stroke-width="1.8" />
  <line x1="235" y1="70" x2="385" y2="70" stroke="currentColor" stroke-width="1.8" />
  <line x1="235" y1="100" x2="385" y2="100" stroke="currentColor" stroke-width="1.8" />
  <rect x="235" y="15" width="150" height="110" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5 4" />
</svg>
</Figure>

<Theorem id="thm-frobenius" title="Frobenius の定理">
$E$ を $n$ 次元多様体 $M$ 上の $k$ 次元分布とする。次は同値である。

1. $E$ は involutive である。
2. 各点 $p\in M$ に対し、$p$ を含む $E$ に平坦なチャートが存在する。
</Theorem>

証明の方針：(2) ⇒ (1) は平坦チャートでの括弧の計算だけです。(1) ⇒ (2) では、まず分布の枠を $\partial_{y^i}$ 成分が単位行列になる形に整え、involutive の仮定から枠どうしの括弧が $0$ になることを示します。そのうえで、各枠の流れを順に合成した写像を作り、逆関数定理でそれを座標に取ると、座標ベクトルが枠そのものになります。

<Proof of="thm-frobenius">
**(2) ⇒ (1)**　平坦チャート上で $E$ の切断は $X=\sum_{i\le k}f^i\partial_i$ の形をしています。二つの切断 $X=\sum f^i\partial_i$、$Y=\sum g^j\partial_j$ に対し <Ref to="prop-bracket" /> (3) と $[\partial_i,\partial_j]=0$ により
$$
[X,Y]=\sum_{i,j\le k}\bigl(f^i\partial_ig^j-g^i\partial_if^j\bigr)\partial_j
$$
で、これも $\partial_1,\dots,\partial_k$ の線形結合です。

**(1) ⇒ (2)**　$E$ が involutive とし、$p\in M$ とします。

*第 1 段：枠を整える。*　$p$ のチャート $(V;y^1,\dots,y^n)$ を $y(p)=0$ となるよう取り、$E$ の局所枠 $X_1,\dots,X_k$ を $V$ 上に取ります。$X_i=\sum_ja_i^j\partial_{y^j}$ と書くと、$X_1|_p,\dots,X_k|_p$ が一次独立なので $k\times n$ 行列 $(a_i^j)$ は階数 $k$ で、座標の番号を入れ替えて、前半の $k\times k$ 小行列 $A=(a_i^j)_{i,j\le k}$ が $p$ で可逆としてよいです。連続性から $p$ の近傍で $A$ は可逆なので、$Z_i=\sum_l(A^{-1})_i^lX_l$ が $E$ の新しい局所枠になり、
$$
Z_i=\frac{\partial}{\partial y^i}+\sum_{j>k}c_i^j\frac{\partial}{\partial y^j}\qquad(i=1,\dots,k)
$$
の形をしています（$c_i^j$ は滑らかな関数）。

*第 2 段：枠が可換。*　$E$ は involutive なので $[Z_i,Z_l]$ は $E$ の切断で、$\sum_mh^mZ_m$ の形に書けます。一方 <Ref to="prop-bracket" /> (1) により $[Z_i,Z_l]$ の $\partial_{y^j}$ 成分（$j\le k$）は $Z_i(\delta_l^j)-Z_l(\delta_i^j)=0$ です。$\sum_mh^mZ_m$ の第 $j$ 成分（$j\le k$）は $h^j$ なので、$h^j=0$ がすべての $j\le k$ で成り立ち、$[Z_i,Z_l]=0$ です。

*第 3 段：流れを合成する。*　$\theta^i$ を $Z_i$ の（局所）流れとします。$0$ の近傍で
$$
\Psi(s^1,\dots,s^k,y^{k+1},\dots,y^n)=\theta^1_{s^1}\circ\cdots\circ\theta^k_{s^k}(0,\dots,0,y^{k+1},\dots,y^n)
$$
を定めます（<Ref to="thm-flow" /> により滑らか）。$s=0$ では $\Psi(0,y'')=(0,y'')$（スライスへの恒等写像）なので、原点での微分は、$\partial\Psi/\partial s^i(0)=Z_i|_0=\partial_{y^i}+\sum c_i^j\partial_{y^j}$、$\partial\Psi/\partial y^j(0)=\partial_{y^j}$ ($j>k$) となり、行列は $\begin{pmatrix}I&0\\ c&I\end{pmatrix}$ で可逆です。<Ref to="mathematics/manifolds/submanifolds-regular-values#cor-inverse-manifold" /> により $\Psi$ は原点の近傍で微分同相で、その逆 $x=\Psi^{-1}$ が $p$ のまわりのチャートです。

*第 4 段：座標ベクトルは $Z_i$。*　$Z_i$ たちの流れは <Ref to="prop-commuting-flows" /> と第 2 段により互いに可換なので、$\Psi$ の合成の順序を入れ替えて $\theta^i$ を最後に作用させることができ、$\Psi(s,y'')=\theta^i_{s^i}\bigl(\Psi(\ldots,0_i,\ldots)\bigr)$ と書けます。よって $\partial\Psi/\partial s^i(s,y'')=Z_i|_{\Psi(s,y'')}$、すなわち座標 $x$ で $\partial/\partial x^i=Z_i$（$i\le k$）です。$Z_1,\dots,Z_k$ は $E$ を張るので、$x$ は $E$ に平坦なチャートです。
</Proof>

<Remark id="rem-global-leaf">
Frobenius の定理は局所的な主張です。平坦チャートの葉（スライス）を、重なる平坦チャートを通してできるだけ貼り合わせた極大な連結積分多様体を**葉**といい、involutive な分布は $M$ を葉に分割します（葉層構造）。葉は一般には[埋め込み部分多様体](/mathematics/manifolds/submanifolds-regular-values#def-submanifold)ではなく、[はめ込まれた](/mathematics/manifolds/submanifolds-regular-values#def-immersion)部分多様体にしかなりません。例えばトーラス $T^2$ の上の無理数傾きの直線の族は、各葉が稠密な 1 次元はめ込み部分多様体です（<Ref to="mathematics/manifolds/submanifolds-regular-values#ex-dense-line" />）。リー群の部分リー環に対して部分群を作る定理は、左不変な分布に Frobenius の定理を適用した結果です。
</Remark>

分布を微分形式で与えることもよくあります。$n-k$ 個の 1 形式 $\omega^1,\dots,\omega^{n-k}$ が各点で一次独立なとき、$E=\bigcap_a\ker\omega^a$ は $k$ 次元分布です。

<Corollary id="cor-frobenius-forms" title="Frobenius の定理（微分形式版）">
上の $E=\bigcap_a\ker\omega^a$ について、次は同値である。

1. $E$ は involutive である。
2. $E$ の任意の二つの切断 $X,Y$ に対して、すべての $a$ で $d\omega^a(X,Y)=0$。
</Corollary>

<Proof of="cor-frobenius-forms">
$X,Y$ を $E$ の切断とすると $\omega^a(X)=\omega^a(Y)=0$ なので、<Ref to="cor-exterior-derivative-formula" /> より $d\omega^a(X,Y)=-\omega^a([X,Y])$ です。$[X,Y]$ が $E$ の切断であることは、すべての $a$ で $\omega^a([X,Y])=0$ と同値で、これは (2) です。
</Proof>

<Example id="ex-contact" title="積分できない分布と積分できる分布">
$\mathbb{R}^3$ で $\omega=dz-y\,dx$ とします。$E=\ker\omega$ は $X=\partial_x+y\,\partial_z$ と $Y=\partial_y$ で張られます（$\omega(X)=y-y=0$、$\omega(Y)=0$）。$d\omega=-dy\wedge dx=dx\wedge dy$ なので $d\omega(X,Y)=dx(X)dy(Y)-dx(Y)dy(X)=1\ne0$ です。したがって $E$ は involutive でなく、どの点のまわりにも積分多様体（曲面）がありません。直接の確認として $[X,Y]=-\partial_z\notin E$ です。一方 $\omega'=dz$ なら $d\omega'=0$ で、$E'=\ker\omega'$ は $z=\text{定数}$ の平面で張られ、積分多様体は水平な平面です。

$\mathbb{R}^3$ の 1 形式 $\omega$ で $E=\ker\omega$（2 次元分布）の場合、$X,Y\in E$ と $E$ に入らない $Z$ に対して $(\omega\wedge d\omega)(X,Y,Z)=\omega(Z)\,d\omega(X,Y)$ です（他の項は $\omega(X)=\omega(Y)=0$ で消える）。よって <Ref to="cor-frobenius-forms" /> は「$\omega\wedge d\omega=0$」と読めます。上の例では $\omega\wedge d\omega=dz\wedge dx\wedge dy\ne0$ です。
</Example>

<Example id="ex-sphere-foliation" title="球面による葉層">
$\mathbb{R}^3\setminus\{z=0\}$ 上で、$X_1=y\,\partial_z-z\,\partial_y$、$X_2=z\,\partial_x-x\,\partial_z$ は各点で一次独立で（外積が $z\,(x,y,z)\ne0$）、張る 2 次元分布 $E$ は動径方向に直交する平面、すなわち原点を中心とする球面の接平面です。$[X_1,X_2]=y\,\partial_x-x\,\partial_y$ も球面に接するので $E$ に入ります（計算は <Ref to="prop-bracket" /> (1) による）。したがって $E$ は involutive で、積分多様体は同心球面です。Frobenius の平坦チャートは極座標 $(\theta,\phi,r)$ の形をとり、$r$ が定数のスライスが球面です。
</Example>

## 7. 演習

<Exercise id="exr-flow-compute" difficulty="易">
$\mathbb{R}^2$ のベクトル場 $X=x\,\partial_x-y\,\partial_y$ の流れを求めよ。また、$L_X(dx\wedge dy)$ を Cartan の公式で計算せよ。
<Solution>
$\dot x=x$、$\dot y=-y$ の解は $\theta_t(x,y)=(e^tx,e^{-t}y)$ です。$i_X(dx\wedge dy)=x\,dy+y\,dx$（$i_X(dx\wedge dy)=dx(X)dy-dy(X)dx=x\,dy+y\,dx$）で、$d(x\,dy+y\,dx)=dx\wedge dy+dy\wedge dx=0$、$d(dx\wedge dy)=0$ ですから $L_X(dx\wedge dy)=0$。実際 $\theta_t$ のヤコビ行列式は $e^te^{-t}=1$ で面積形式を保ちます。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-bracket" difficulty="標準">
$\mathbb{R}$ 上のベクトル場 $X=\partial_x$、$Y=x\,\partial_x$ について $[X,Y]$ を求め、$X$ の流れによる $Y$ の引き戻しを直接計算して <Ref to="thm-lie-derivative-bracket" /> を確かめよ。
<Solution>
<Ref to="prop-bracket" /> (1) から $[X,Y]=(1\cdot1-0)\partial_x=\partial_x$ です。$X$ の流れは $\theta_t(x)=x+t$ で $d\theta_{-t}=\mathrm{id}$ ですから、$d(\theta_{-t})(Y_{\theta_t(x)})=(x+t)\partial_x$ です。$t$ で微分して $t=0$ とすると $\partial_x$ で、$[X,Y]$ と一致します。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-cartan-check" difficulty="標準">
$\mathbb{R}^2$ で $\omega=x\,dy$、$X=x\,\partial_x+y\,\partial_y$ について <Ref to="thm-cartan" /> の両辺を計算し、一致を確かめよ。
<Solution>
$X$ の流れは $\theta_t(x,y)=(e^tx,e^ty)$ で、$\theta_t^*\omega=e^tx\cdot e^tdy=e^{2t}x\,dy$、よって $L_X\omega=2x\,dy$。一方 $i_X\omega=x\cdot y$（$dy(X)=y$）、$d(i_X\omega)=y\,dx+x\,dy$、$d\omega=dx\wedge dy$、$i_Xd\omega=x\,dy-y\,dx$ で、和は $y\,dx+x\,dy+x\,dy-y\,dx=2x\,dy$ となり一致します。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-integrable-3d" difficulty="難">
$\mathbb{R}^3$ で $\omega=dz-x\,dy$ が定める 2 次元分布 $E=\ker\omega$ は積分可能でないことを示せ。また、$\omega$ を零点を持たない関数 $f$ 倍した $f\omega$ について $(f\omega)\wedge d(f\omega)=f^2\,\omega\wedge d\omega$ を示し、「$\omega\wedge d\omega=0$」が $E$ だけで決まる条件であることを確かめよ。
<Solution>
$d\omega=-dx\wedge dy$ です。$E$ は $X=\partial_x$ と $Y=\partial_y+x\,\partial_z$ で張られ（$\omega(Y)=x-x=0$）、$d\omega(X,Y)=-\bigl(dx(X)dy(Y)-dx(Y)dy(X)\bigr)=-1\ne0$ です。<Ref to="cor-frobenius-forms" /> により $E$ は involutive でなく、積分可能ではありません。実際 $\omega\wedge d\omega=-dz\wedge dx\wedge dy\ne0$ です。

$d(f\omega)=df\wedge\omega+f\,d\omega$ なので、$(f\omega)\wedge d(f\omega)=f\,\omega\wedge df\wedge\omega+f^2\omega\wedge d\omega=f^2\omega\wedge d\omega$（$\omega\wedge df\wedge\omega=-df\wedge\omega\wedge\omega=0$）。$f$ が零点を持たなければ、零になるかどうかは $\omega$ に依りません。$E=\ker\omega=\ker(f\omega)$ だけで決まる条件です。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- John M. Lee『Introduction to Smooth Manifolds』（第 2 版）Springer、2013 — 第 9 章（流れ）、第 12 章（Lie 微分）、第 19 章（Frobenius の定理）。
- Frank W. Warner『Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups』Springer、1983 — 第 1 章（Frobenius の定理）。
- Michael Spivak『A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1』Publish or Perish、1979 — 第 5 章（Lie 微分・Frobenius）。
- 松本幸夫『多様体の基礎』東京大学出版会、1988 — ベクトル場・Frobenius の定理の章。
- 坪井俊『幾何学 I 多様体入門』東京大学出版会、2005 — ベクトル場と微分形式の章。