## 2. 準備：接バンドルの復習以下、$M$ は $n$ 次元の $C^\infty$ 多様体（第二可算かつハウスドルフ）とします。$p \in M$ における接空間を $T_pM$ と書き、その元は点 $p$ での導分（derivation）、すなわち $\mathbb{R}$ 線形写像 $v \colon C^\infty(M) \to \mathbb{R}$ で $v(fg) = f(p)\,v(g) + g(p)\,v(f)$ を満たすものとします（）。詳しくは [接ベクトル空間と接バンドル](/mathematics/manifolds/tangent-spaces) を参照してください。チャート $(U, \varphi)$、$\varphi = (x^1,\dots,x^n)$ が与えられると、$T_pM$ は基底 $$ \left.\frac{\partial}{\partial x^1}\right|_p,\ \dots,\ \left.\frac{\partial}{\partial x^n}\right|_p, \qquad \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p f = \frac{\partial (f\circ\varphi^{-1})}{\partial u^i}(\varphi(p)) $$ を持ち、$\dim T_pM = n$ です（）。接バンドルは集合として $TM = \coprod_{p\in M} T_pM$ であり、射影 $\pi\colon TM \to M$、$\pi(v) = p \iff v \in T_pM$ とチャート $(\pi^{-1}(U),\ \tilde\varphi)$、$\tilde\varphi\bigl(\sum_i v^i \partial/\partial x^i|_p\bigr) = (x^1(p),\dots,x^n(p),v^1,\dots,v^n)$ によって $2n$ 次元多様体になります（）。 2 つのチャート $(U,x)$、$(V,y)$ が重なるところでは、連鎖律から $$ \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p = \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial y^j}{\partial x^i}(p)\ \left.\frac{\partial}{\partial y^j}\right|_p $$ が成り立ちます。この行列 $J = \bigl(\partial y^j/\partial x^i\bigr)$ が以後くり返し現れます。 ## 3. ベクトル場 ― 接バンドルの切断「$M$ 上のベクトル場」とは直観的には各点に矢印を置くことですが、点ごとに矢印の住む空間 $T_pM$ が違うので、単なる写像 $M \to (\text{何か 1 つの空間})$ にはなりません。正しい定式化は、行き先を $TM$ にして「$p$ に対応する値は $T_pM$ に入る」という条件を $\pi$ で表すことです。 $\pi\colon E \to M$ を滑らかな全射とする。滑らかな写像 $s\colon M \to E$ が $\pi \circ s = \mathrm{id}_M$ を満たすとき、$s$ を $\pi$ の**滑らかな切断**（section）という。特に $\pi\colon TM \to M$ の滑らかな切断を $M$ 上の**滑らかなベクトル場**（vector field）といい、その全体を $\mathfrak{X}(M)$ と書く。$X \in \mathfrak{X}(M)$ の点 $p$ での値を $X_p \in T_pM$ と書く。条件 $\pi\circ s = \mathrm{id}_M$ は「$s(p)$ がちょうど $p$ 上のファイバー $\pi^{-1}(p) = T_pM$ に属する」ことをそのまま述べたものです。下の図では、垂直な線分がファイバー、太い曲線が切断です。

ベクトル場をチャート $(U,x)$ 上で見ると、各点で $X_p = \sum_i X^i(p)\,\partial/\partial x^i|_p$ と一意に書けます。ここで得られる関数 $X^i \colon U \to \mathbb{R}$ を $X$ の**成分**といいます。定義に現れる「$TM$ の多様体としての滑らかさ」を毎回確認するのは面倒なので、実用的な判定条件を用意します。 $X$ を（滑らかさを仮定しない）$TM$ の切断、すなわち各 $p\in M$ に $X_p \in T_pM$ を与える対応とする。このとき次の 3 条件は同値である。 1. $X\colon M \to TM$ は滑らかな写像である（つまり $X \in \mathfrak{X}(M)$）。 2. $M$ のあるアトラスに属する各チャート $(U,x)$ 上で、成分 $X^1,\dots,X^n$ はすべて $C^\infty(U)$ に属する。 3. 任意の開集合 $V \subset M$ と任意の $f \in C^\infty(V)$ に対し、関数 $(Xf)(p) := X_p f$ は $C^\infty(V)$ に属する。 **(1) $\Rightarrow$ (2)。** チャート $(U,x)$ に付随する $TM$ のチャートを $(\pi^{-1}(U),\tilde\varphi)$ とすると、第 2 節の構成から $\tilde\varphi \circ X \circ \varphi^{-1}(u) = \bigl(u,\ X^1(\varphi^{-1}(u)),\dots,X^n(\varphi^{-1}(u))\bigr)$ です。滑らかな写像のチャート表示は $C^\infty$ ですから、右辺の後半 $n$ 個の成分が $C^\infty$、すなわち $X^i \in C^\infty(U)$ が従います。 **(2) $\Rightarrow$ (1)。** 同じ等式を逆向きに読みます。$X^i$ が $C^\infty$ なら $\tilde\varphi\circ X\circ\varphi^{-1}$ は $C^\infty$ で、チャートは $M$ と $TM$ をそれぞれ覆っているので、$X$ は各点の近傍で滑らか、したがって滑らかです。 **(2) $\Rightarrow$ (3)。** $V$ を開集合、$f \in C^\infty(V)$、$p\in V$ とします。$p$ を含むチャート $(U,x)$ で $U \subset V$ となるものを取れます（チャートの定義域を交わりに制限すればよい）。$U$ 上では $$ (Xf)(q) = X_q f = \sum_{i=1}^{n} X^i(q)\,\frac{\partial f}{\partial x^i}(q) $$ であり、右辺は $C^\infty$ 関数どうしの積と和なので $C^\infty(U)$ に属します。$p$ は任意なので $Xf \in C^\infty(V)$ です。ここで仮定 (2) は「あるアトラス」に対するものですが、2 つのチャートの成分は第 2 節の行列 $J$ で移り合い、$J$ の成分は $C^\infty$ なので、$C^\infty$ 性はすべてのチャートで成り立ちます。 **(3) $\Rightarrow$ (2)。** チャート $(U,x)$ を取ります。座標関数 $x^i$ は $C^\infty(U)$ に属し、$X x^i = \sum_j X^j \partial x^i/\partial x^j = X^i$ です。条件 (3) を $V = U$、$f = x^i$ に適用すれば $X^i \in C^\infty(U)$ を得ます。条件 (3) は「ベクトル場は $C^\infty(M)$ 上の微分作用素である」という見方を与えます。実際、$X\colon C^\infty(M)\to C^\infty(M)$ は $\mathbb{R}$ 線形で $X(fg) = fXg + gXf$ を満たし、逆にこの性質を持つ作用素はすべてベクトル場から来ることが知られています。 $M = \mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ 上のベクトル場 $X = -y\,\dfrac{\partial}{\partial x} + x\,\dfrac{\partial}{\partial y}$ を考えます。成分は $X^1 = -y$、$X^2 = x$ で多項式なので $C^\infty$、の (2) より $X \in \mathfrak{X}(M)$ です。これを極座標 $(r,\theta)$、$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ で書き直します。第 2 節の変換則を $(x,y)\to(r,\theta)$ の向きに使うと $$ \frac{\partial}{\partial r} = \cos\theta\,\frac{\partial}{\partial x} + \sin\theta\,\frac{\partial}{\partial y}, \qquad \frac{\partial}{\partial \theta} = -r\sin\theta\,\frac{\partial}{\partial x} + r\cos\theta\,\frac{\partial}{\partial y} $$ です。$-y = -r\sin\theta$、$x = r\cos\theta$ ですから、右の式と比べて $X = \dfrac{\partial}{\partial\theta}$ となります。つまり $X$ は「角度方向に一定速度で回る」場です。成分は $(x,y)$ 座標では $(-y,x)$、$(r,\theta)$ 座標では $(0,1)$ と全く違って見えますが、同じ 1 つのベクトル場です。**成分は座標に依存し、ベクトル場は依存しません。** $M$ 上には常に零ベクトル場 $0$（$p\mapsto 0\in T_pM$）が存在するので、切断は必ず存在します。しかし**どこでも消えない**切断が存在するとは限りません。たとえば偶数次元球面 $S^{2m}$ 上のベクトル場は必ず零点を持ちます（$m=1$ の場合が「毛玉定理」）。証明にはオイラー標数とポアンカレ・ホップの定理が必要なので、ここでは事実の紹介にとどめます。この現象は「接バンドルが自明バンドル $M\times\mathbb{R}^n$ と同型とは限らない」ことの現れです（）。 ## 4. 余接空間と 1 次微分形式ベクトル場が「接空間の元を集めたもの」なら、その双対を集めたものが 1 次微分形式です。なぜ双対が要るのかというと、積分したいのは**ベクトルに数を返す規則**だからです。線積分 $\int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}$ は、曲線の接ベクトルを食べて数を返す装置を曲線に沿って足し合わせたものです。 $p \in M$ に対し、$T_pM$ の双対ベクトル空間 $$ T_p^*M := (T_pM)^* = \{\,\omega\colon T_pM\to\mathbb{R} \ \mid\ \omega \text{ は線形}\,\} $$ を $p$ における**余接空間**という。$T^*M := \coprod_{p\in M}T_p^*M$ に自然な射影 $\pi\colon T^*M\to M$ を入れたものを**余接バンドル**という（$T^*M$ は $TM$ と同様に $2n$ 次元多様体になる）。$\pi\colon T^*M\to M$ の滑らかな切断を **1 次微分形式**（1-form）といい、その全体を $\Omega^1(M)$ と書く。また $f\in C^\infty(M)$ に対し、$df_p \in T_p^*M$ を $df_p(v) := v f$（$v\in T_pM$）で定め、$df \in \Omega^1(M)$ を $f$ の**微分**という。チャート $(U,x)$ 上で、各 $p\in U$ において $\bigl(dx^1|_p,\dots,dx^n|_p\bigr)$ は $\bigl(\partial/\partial x^1|_p,\dots,\partial/\partial x^n|_p\bigr)$ の双対基底である。すなわち $$ dx^i|_p\!\left(\left.\frac{\partial}{\partial x^j}\right|_p\right) = \delta^i_j . $$ したがって $U$ 上の任意の 1 形式 $\omega$ は $\omega = \sum_{i=1}^n \omega_i\, dx^i$（$\omega_i = \omega(\partial/\partial x^i)$）と一意に書ける。さらに $f\in C^\infty(U)$ に対し $df = \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x^i}\,dx^i$ である。定義より $dx^i|_p(\partial/\partial x^j|_p) = \partial x^i/\partial x^j (p)$ です。座標関数 $x^i$ のチャート表示は第 $i$ 成分への射影 $u\mapsto u^i$ なので、その $u^j$ に関する偏微分は $\delta^i_j$ です。これで第 1 式が示せました。有限次元ベクトル空間 $V$ の基底 $(e_1,\dots,e_n)$ に対し、$e^i(e_j)=\delta^i_j$ で定まる $(e^1,\dots,e^n)$ が $V^*$ の基底になることは双対空間の一般論です（[ベクトル空間と線形変換](/mathematics/linear-algebra/vector-spaces) を参照）。よって $\omega_p = \sum_i c_i\, dx^i|_p$ と一意に書け、両辺を $\partial/\partial x^j|_p$ に施すと $c_j = \omega_p(\partial/\partial x^j|_p)$ を得ます。最後の式は、$df_p(\partial/\partial x^i|_p) = (\partial/\partial x^i|_p) f = \partial f/\partial x^i(p)$ に上の展開を適用したものです。チャート $(U,x)$、$(V,y)$ が $U\cap V \ne \varnothing$ で重なっているとする。$U\cap V$ 上で $X = \sum_i X^i \partial/\partial x^i = \sum_j \tilde X^j \partial/\partial y^j$、$\omega = \sum_i \omega_i\, dx^i = \sum_j \tilde\omega_j\, dy^j$ と成分表示すると $$ \tilde X^{j} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial y^{j}}{\partial x^{i}}\, X^{i}, \qquad \omega_{i} = \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial y^{j}}{\partial x^{i}}\, \tilde\omega_{j} $$ が成り立つ。すなわちベクトル場の成分はヤコビ行列 $J=(\partial y^j/\partial x^i)$ で、1 形式の成分は $J$ の転置で「逆向きに」変換される。第 1 式は第 2 節の等式 $\partial/\partial x^i = \sum_j (\partial y^j/\partial x^i)\,\partial/\partial y^j$ を $X=\sum_i X^i\partial/\partial x^i$ に代入して $\partial/\partial y^j$ の係数を比べたものです。第 2 式は、により $\omega_i = \omega(\partial/\partial x^i)$ と書けることを使います。ここに再び $\partial/\partial x^i = \sum_j (\partial y^j/\partial x^i)\,\partial/\partial y^j$ を代入し、$\omega$ の線形性から $$ \omega_i = \sum_{j}\frac{\partial y^j}{\partial x^i}\,\omega\!\left(\frac{\partial}{\partial y^j}\right) = \sum_j \frac{\partial y^j}{\partial x^i}\,\tilde\omega_j $$ を得ます。この非対称性が「上添字（反変）と下添字（共変）」の由来です。組み合わせ $\omega(X) = \sum_i \omega_i X^i$ が座標に依らない関数になるのは、2 つの変換則がちょうど打ち消し合うからです。一般相対論で計量テンソル $g_{\mu\nu}$ を使って添字を上げ下げする操作は、$T_pM$ と $T_p^*M$ の同一視をひとつ選ぶことにほかなりません。 $M=\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ 上で $$ \omega = \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2+y^2} $$ とおきます。係数は $M$ 上で $C^\infty$ なので $\omega\in\Omega^1(M)$ です。の回転場 $X=-y\,\partial/\partial x + x\,\partial/\partial y$ を代入すると、より $$ \omega(X) = \frac{(-y)(-y) + x\cdot x}{x^2+y^2} = \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2} = 1 $$ です。極座標が定義できる開集合（たとえば負の $x$ 軸を除いた領域）では、$\theta = \arctan(y/x)$ の微分を計算すると $$ d\theta = \frac{\partial\theta}{\partial x}dx + \frac{\partial\theta}{\partial y}dy = \frac{-y}{x^2+y^2}dx + \frac{x}{x^2+y^2}dy = \omega $$ となり、$\omega$ は局所的には関数の微分です。しかし $M$ 全体では $\omega = df$ となる $f\in C^\infty(M)$ は存在しません。もし存在すれば、単位円 $C$（反時計回り）に沿った線積分が $0$ になるはずですが、実際には $\int_C\omega = 2\pi$ だからです。第 6 節の言葉でいえば $\omega$ は**閉形式だが完全形式ではない**、という現象で、$M$ の穴を検出しています。 ## 5. 交代形式と外積代数ここからは各点のファイバーだけを見て、純粋な線形代数を行います。$V$ を $n$ 次元実ベクトル空間とします（後で $V=T_pM$ とします）。 $k \in \mathbb{N}$ とする。写像 $\omega\colon V^k \to \mathbb{R}$ が - 各変数について線形（$k$ 重線形） - 交代的：ある $a \ne b$ について $v_a = v_b$ ならば $\omega(v_1,\dots,v_k)=0$ を満たすとき、$\omega$ を $V$ 上の**交代 $k$ 重線形形式**という。その全体を $\Lambda^k V^*$ と書く。$\Lambda^0 V^* := \mathbb{R}$、$\Lambda^1 V^* := V^*$ と約束する。交代性から、任意の置換 $\sigma \in S_k$ に対して $\omega(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(k)}) = \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(v_1,\dots,v_k)$ が従います。実際、隣接互換 $v_a \leftrightarrow v_{a+1}$ について、$\omega(\dots,v_a+v_{a+1},v_a+v_{a+1},\dots)=0$ を多重線形性で展開すると $\omega(\dots,v_a,v_{a+1},\dots) + \omega(\dots,v_{a+1},v_a,\dots)=0$ となり、任意の置換は隣接互換の積なので符号が付きます。 $\omega\in\Lambda^k V^*$、$\eta\in\Lambda^l V^*$ に対し、$(k,l)$ シャッフルの集合を $$ \mathrm{Sh}(k,l) := \{\,\sigma\in S_{k+l} \ \mid\ \sigma(1) < \cdots < \sigma(k),\ \ \sigma(k+1) < \cdots < \sigma(k+l)\,\} $$ とし、$\omega\wedge\eta \in \Lambda^{k+l}V^*$ を $$ (\omega\wedge\eta)(v_1,\dots,v_{k+l}) := \sum_{\sigma\in \mathrm{Sh}(k,l)} \operatorname{sgn}(\sigma)\ \omega\bigl(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(k)}\bigr)\,\eta\bigl(v_{\sigma(k+1)},\dots,v_{\sigma(k+l)}\bigr) $$ で定める。$k=0$（$\omega = c \in\mathbb{R}$）のときは $c\wedge\eta := c\,\eta$ とする。この規約（行列式規約）のもとで、$\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^k \in V^*$ に対し $$ (\varepsilon^1\wedge\cdots\wedge\varepsilon^k)(v_1,\dots,v_k) = \det\bigl(\varepsilon^a(v_b)\bigr)_{a,b=1}^{k} $$ が成り立ちます。これは $\mathrm{Sh}(1,1,\dots,1) = S_k$ とライプニッツ展開そのものです。ウェッジ積が交代性を保つこと、双線形であること、そして結合的であることはにまとめます。 $\omega\in\Lambda^kV^*$、$\eta\in\Lambda^lV^*$、$\zeta\in\Lambda^mV^*$、$a,b\in\mathbb{R}$ とする。 1. $\omega\wedge\eta \in \Lambda^{k+l}V^*$ であり、$\wedge$ は各変数について線形：$(a\omega_1+b\omega_2)\wedge\eta = a(\omega_1\wedge\eta)+b(\omega_2\wedge\eta)$、$\omega\wedge(a\eta_1+b\eta_2)=a(\omega\wedge\eta_1)+b(\omega\wedge\eta_2)$。 2. 結合律：$(\omega\wedge\eta)\wedge\zeta = \omega\wedge(\eta\wedge\zeta)$。 3. 次数付き可換性：$\omega\wedge\eta = (-1)^{kl}\,\eta\wedge\omega$。とくに $k$ が奇数なら $\omega\wedge\omega=0$。 **(1)。** 多重線形性は各項が多重線形なことから明らかで、$1$ 行で確かめられます。$v_1,\dots,v_{k+l}$ のうち $v_a=v_b$（$a\ne b$）とすると、$a,b$ をともに前半に送るシャッフルの項は $\omega$ の交代性で $0$、ともに後半に送る項は $\eta$ の交代性で $0$ になります。残るのは $a,b$ が前後に分かれる項で、それらは $a$ と $b$ を入れ替える対応で 2 つずつ組になり、この対応で $\operatorname{sgn}$ が $-1$ 倍になる一方 $\omega,\eta$ の値は変わらないので、和は打ち消し合って $0$ です。したがって $\omega\wedge\eta$ は交代的です。線形性は定義式が $\omega$ と $\eta$ について明らかに線形であることから従います。 **(2)。** 両辺がともに $(k,l,m)$ シャッフルにわたる和 $$ \sum_{\sigma\in\mathrm{Sh}(k,l,m)}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(v_{\sigma(1)},\dots)\,\eta(\dots)\,\zeta(\dots) $$ に等しいことを示します。詳細は Appendix に回します。 **(3)。** $\tau\in S_{k+l}$ を $\tau(j) = k+j$（$1\le j\le l$）、$\tau(l+i)=i$（$1\le i\le k$）で定めます。$\tau$ は前半 $l$ 個のブロックと後半 $k$ 個のブロックを丸ごと入れ替える置換で、$\operatorname{sgn}(\tau) = (-1)^{kl}$ です（$k$ 個の要素それぞれを $l$ 個の要素の前から後ろへ通すのに互換が $l$ 回必要で、合計 $kl$ 回）。写像 $\sigma\mapsto\sigma\circ\tau$ は $\mathrm{Sh}(k,l)$ から $\mathrm{Sh}(l,k)$ への全単射です。これを使って $$ (\eta\wedge\omega)(v_1,\dots,v_{k+l}) = \sum_{\rho\in\mathrm{Sh}(l,k)}\operatorname{sgn}(\rho)\,\eta(v_{\rho(1)},\dots)\,\omega(v_{\rho(l+1)},\dots) $$ において $\rho = \sigma\circ\tau$ と置換すると、$\operatorname{sgn}(\rho) = (-1)^{kl}\operatorname{sgn}(\sigma)$ であり、$\eta$ の引数は $v_{\sigma(k+1)},\dots,v_{\sigma(k+l)}$、$\omega$ の引数は $v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(k)}$ になります。実数の積は可換なので、右辺は $(-1)^{kl}(\omega\wedge\eta)(v_1,\dots,v_{k+l})$ に等しくなります。最後に $k$ が奇数のとき (3) は $\omega\wedge\omega = -\omega\wedge\omega$、すなわち $2\,\omega\wedge\omega=0$ を与え、実数体上なので $\omega\wedge\omega=0$ です。 $\dim V = n$ とし、$(e_1,\dots,e_n)$ を $V$ の基底、$(e^1,\dots,e^n)$ をその双対基底とする。$1\le k\le n$ のとき、 $$ \{\,e^{i_1}\wedge\cdots\wedge e^{i_k}\ \mid\ 1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n\,\} $$ は $\Lambda^kV^*$ の基底である。したがって $\dim \Lambda^kV^* = \binom{n}{k}$ であり、$k > n$ のとき $\Lambda^kV^* = \{0\}$ である。記号として、狭義増加多重指数 $I=(i_1<\cdotsn$ のときは狭義増加な長さ $k$ の添字列が存在しないので、上の議論の $\eta$ は空和 $0$ となり $\Lambda^kV^*=\{0\}$ です。 $V=\mathbb{R}^3$、標準基底 $(e_1,e_2,e_3)$、双対基底 $(e^1,e^2,e^3)$ とします。より $\dim\Lambda^2V^* = \binom{3}{2}=3$ で、基底は $e^1\wedge e^2,\ e^1\wedge e^3,\ e^2\wedge e^3$ です。具体的に $\boldsymbol{u}=(u^1,u^2,u^3)$、$\boldsymbol{v}=(v^1,v^2,v^3)$ に対して $$ (e^1\wedge e^2)(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}) = \det\begin{pmatrix} u^1 & v^1 \\ u^2 & v^2\end{pmatrix} = u^1v^2 - u^2v^1 $$ となり、これはベクトル積 $\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}$ の第 $3$ 成分です。同様に $e^2\wedge e^3$ が第 $1$ 成分、$e^3\wedge e^1$ が第 $2$ 成分を与えます。つまり $3$ 次元でのベクトル積は「$\Lambda^2V^*$ を $\Lambda^1V^*$ と同一視した結果」であって、$3$ 次元固有の現象です。$\dim\Lambda^3V^*=\binom{3}{3}=1$ で、$e^1\wedge e^2\wedge e^3(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}) = \det(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})$ はスカラー三重積です。$\Lambda^n V^*$ が常に $1$ 次元であることが、「行列式は交代 $n$ 重線形形式で $\det(\mathrm{id})=1$ を満たす唯一のもの」という特徴づけ（）の正体です。 ## 6. 微分形式と外微分 $M$ 上の**$k$ 次微分形式**とは、バンドル $\Lambda^kT^*M := \coprod_{p\in M}\Lambda^k(T_pM)^*$ の滑らかな切断のことである。すなわち各点 $p$ に $\omega_p\in\Lambda^k(T_pM)^*$ を割り当てる対応であって、任意のチャート $(U,x)$ 上で $$ \omega = \sum'_{I} \omega_I\, dx^{I} = \sum_{1\le i_1<\cdotsn$ では $\Omega^k(M)=\{0\}$ である。係数表示が一意であることは（各点での基底）から従い、係数の $C^\infty$ 性がチャートの取り方に依らないことは、変換則がのヤコビ行列の小行列式（$C^\infty$ 関数）で書かれることから従います。ウェッジ積は各点ごとに施すことで $\Omega^k(M)\times\Omega^l(M)\to\Omega^{k+l}(M)$ に持ち上がり、の性質をそのまま保ちます。さて、$\Omega^0$ 上には全微分 $f\mapsto df$ がありました。これを全次数に拡張するのが外微分です。驚くべきことに、拡張はごく自然な 3 条件でほぼ強制されます。 $M$ を $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体とする。次の 3 条件を満たす $\mathbb{R}$ 線形写像の族 $d\colon \Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M)$（$k=0,1,\dots,n$）がただ 1 つ存在する。 1. $f\in\Omega^0(M)=C^\infty(M)$ に対し、$df$ はの微分に一致する。 2. （次数付きライプニッツ則）$\alpha\in\Omega^k(M)$、$\beta\in\Omega^l(M)$ に対し $$ d(\alpha\wedge\beta) = d\alpha\wedge\beta + (-1)^{k}\,\alpha\wedge d\beta . $$ 3. $d\circ d = 0$、すなわち任意の $\alpha\in\Omega^k(M)$ に対し $d(d\alpha)=0$。さらにこの $d$ は、チャート $(U,x)$ 上で $\alpha = \sum'_I \alpha_I\, dx^I$ と表されるとき $$ d\alpha = \sum'_{I} d\alpha_I \wedge dx^{I} = \sum'_{I}\ \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \alpha_I}{\partial x^{j}}\, dx^{j}\wedge dx^{I} $$ で与えられる。証明の前に、外微分が「局所的な」作用素であること、つまり形式の遠くの様子には依存しないことを確かめます。これは公理から導かれる事実で、局所座標での計算を正当化するために必要です。 $d$ がの条件 1〜3 を満たす作用素とする。$\alpha,\beta\in\Omega^k(M)$ が開集合 $U\subset M$ 上で一致するならば、$d\alpha$ と $d\beta$ も $U$ 上で一致する。 $\gamma := \alpha-\beta$ とおくと、$d$ の線形性より $d\gamma = d\alpha-d\beta$ なので、$\gamma|_U = 0$ から $d\gamma|_U=0$ を示せば十分です。 $p\in U$ を固定します。$M$ は滑らかな多様体なので、$\varphi\in C^\infty(M)$ で $\varphi(p)=1$ かつ $\operatorname{supp}\varphi\subset U$ となるバンプ関数が存在します。このとき積 $\varphi\gamma\in\Omega^k(M)$ は $M$ 全体で $0$ です。実際、$q\in U$ では $\gamma_q=0$、$q\notin U$ では $\varphi(q)=0$ だからです。したがって $d(\varphi\gamma)=0$ です。左辺に条件 2 を $k=0$（$\alpha=\varphi$、$\beta=\gamma$）として適用すると $$ 0 = d(\varphi\wedge\gamma) = d\varphi\wedge\gamma + (-1)^0\,\varphi\, d\gamma = d\varphi\wedge\gamma + \varphi\, d\gamma . $$ これを点 $p$ で評価します。$p\in U$ なので $\gamma_p=0$、よって第 1 項は $0$。また $\varphi(p)=1$ なので第 2 項は $(d\gamma)_p$ です。ゆえに $(d\gamma)_p=0$ を得ます。$p\in U$ は任意でした。 **一意性（チャート上）。** $d$ が条件 1〜3 を満たすとします。により、$d$ は各開集合 $U$ 上の作用素 $d_U$ を誘導します（$\alpha\in\Omega^k(U)$ と $p\in U$ に対し、バンプ関数で $\alpha$ を $M$ 全体に延長したものの $d$ の $p$ での値を取ればよく、局所性からこれは延長の取り方に依りません）。この $d_U$ もまた条件 1〜3 を満たします。チャート $(U,x)$ を取り、$\alpha=\sum'_I\alpha_I\,dx^I$ とします。座標関数 $x^i$ は $C^\infty(U)$ に属するので、条件 1 より $dx^i = d(x^i)$ であり、条件 3 を $f=x^i$ に適用すると $d(dx^i) = d(d(x^i)) = 0$ が得られます。次に条件 2 を繰り返し使うと $$ d(dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}) = \sum_{a=1}^{k}(-1)^{a-1}\,dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge d(dx^{i_a})\wedge\cdots\wedge dx^{i_k} = 0 $$ となります（各項に $d(dx^{i_a})=0$ が現れる）。よって再び条件 2（$\alpha_I$ は $0$ 形式なので符号は $+$）と条件 1 から $$ d\alpha = \sum'_I d(\alpha_I \wedge dx^I) = \sum'_I \bigl(d\alpha_I\wedge dx^I + \alpha_I\, d(dx^I)\bigr) = \sum'_I d\alpha_I\wedge dx^I . $$ これで、チャート上での $d$ の値は定理の式に一致することが強制されました。チャートは $M$ を覆うので $d$ は一意です。 **存在。** 逆に、各チャート $(U,x)$ 上で $d_U\alpha := \sum'_I d\alpha_I\wedge dx^I$ と**定義**し、条件 1〜3 を満たすことを確かめます。条件 1：$k=0$ のとき多重指数は空で $d_U f = df$ です。条件 2：$\alpha=\sum'_I\alpha_I dx^I \in\Omega^k(U)$、$\beta=\sum'_J\beta_J dx^J\in\Omega^l(U)$ とすると、双線形性から $\alpha\wedge\beta = \sum'_{I,J}\alpha_I\beta_J\, dx^I\wedge dx^J$ です。関数の微分に対するライプニッツ則 $d(\alpha_I\beta_J) = \beta_J\,d\alpha_I + \alpha_I\,d\beta_J$ を使うと $$ d_U(\alpha\wedge\beta) = \sum'_{I,J}\bigl(\beta_J\, d\alpha_I + \alpha_I\, d\beta_J\bigr)\wedge dx^I\wedge dx^J . $$ 第 1 項は $\bigl(\sum'_I d\alpha_I\wedge dx^I\bigr)\wedge\bigl(\sum'_J\beta_J dx^J\bigr) = d_U\alpha\wedge\beta$ です。第 2 項では $d\beta_J$（$1$ 形式）を $dx^I$（$k$ 形式）の右へ移す必要があり、 (3) より符号 $(-1)^{k\cdot 1}=(-1)^k$ が出ます。したがって第 2 項は $(-1)^k\,\alpha\wedge d_U\beta$ に等しく、条件 2 が成り立ちます。条件 3：まず $f\in C^\infty(U)$ に対し $$ d_U(d_U f) = d_U\!\left(\sum_j \frac{\partial f}{\partial x^j}dx^j\right) = \sum_{j}\sum_{i} \frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}\, dx^i\wedge dx^j . $$ $C^\infty$ 関数の 2 階偏微分は順序交換可能（、[多変数関数の微分と偏微分](/mathematics/calculus/multivariable-differentiation) を参照）なので係数 $\partial^2 f/\partial x^i\partial x^j$ は $(i,j)$ について対称、一方 $dx^i\wedge dx^j = -dx^j\wedge dx^i$ は反対称です。対称なものと反対称なものの縮約は $0$ になります（$(i,j)$ と $(j,i)$ の項が打ち消し合い、$i=j$ の項は $dx^i\wedge dx^i=0$）。よって $d_U d_U f = 0$ です。一般の $\alpha=\sum'_I\alpha_I dx^I$ については、上で示した条件 2 と $d_U(dx^I)=0$ を使って $$ d_U(d_U\alpha) = \sum'_I d_U\bigl(d\alpha_I\wedge dx^I\bigr) = \sum'_I\Bigl(\underbrace{d_U d\alpha_I}_{=0}\wedge dx^I - d\alpha_I\wedge \underbrace{d_U(dx^I)}_{=0}\Bigr) = 0 $$ を得ます。 **貼り合わせ。** 2 つのチャート $(U,x)$、$(V,y)$ の共通部分 $U\cap V$ 上では、$d_U$ と $d_V$ はともに条件 1〜3 を満たす作用素の制限なので、上で示した一意性の議論（$U\cap V$ を含むチャートに適用）により一致します。したがって $d_U$ たちは $M$ 上の作用素 $d$ に貼り合わさり、条件 1〜3 は局所的な主張なので $d$ 自身も満たします。 $\omega\in\Omega^k(M)$ が $d\omega=0$ を満たすとき**閉形式**、ある $\eta\in\Omega^{k-1}(M)$ について $\omega = d\eta$ となるとき**完全形式**という。の条件 3 より、完全形式は閉形式である。 $M=\mathbb{R}^3$、座標 $(x,y,z)$ とします。より $\dim\Lambda^k(T_p\mathbb{R}^3)^*$ は $k=0,1,2,3$ でそれぞれ $1,3,3,1$ です。 **$\Omega^0\to\Omega^1$。** $df = f_x\,dx + f_y\,dy + f_z\,dz$。係数の並びは $\operatorname{grad} f$ です。 **$\Omega^1\to\Omega^2$。** $\omega = P\,dx + Q\,dy + R\,dz$ に対して、の公式で計算します。 $$ \begin{aligned} d(P\,dx) &= (P_x dx + P_y dy + P_z dz)\wedge dx = -P_y\, dx\wedge dy + P_z\, dz\wedge dx, \\ d(Q\,dy) &= Q_x\, dx\wedge dy - Q_z\, dy\wedge dz, \\ d(R\,dz) &= R_y\, dy\wedge dz - R_x\, dz\wedge dx \end{aligned} $$ （$dx\wedge dx=0$ と $dy\wedge dx = -dx\wedge dy$ などを使いました）。足し合わせると $$ d\omega = (R_y - Q_z)\, dy\wedge dz + (P_z - R_x)\, dz\wedge dx + (Q_x - P_y)\, dx\wedge dy $$ となり、係数の並びは $\operatorname{rot}(P,Q,R)$ そのものです。 **$\Omega^2\to\Omega^3$。** $\eta = A\, dy\wedge dz + B\, dz\wedge dx + C\, dx\wedge dy$ に対し、$dA\wedge dy\wedge dz = A_x\, dx\wedge dy\wedge dz$ など（他の項は $dy$ や $dz$ が重複して消える）から $$ d\eta = (A_x + B_y + C_z)\, dx\wedge dy\wedge dz $$ で、係数は $\operatorname{div}(A,B,C)$ です。したがって $d\circ d=0$ は、$\Omega^0\to\Omega^2$ の合成として $\operatorname{rot}(\operatorname{grad} f)=\boldsymbol{0}$ を、$\Omega^1\to\Omega^3$ の合成として $\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F})=0$ を与えます。ベクトル解析で別々に証明していた 2 つの恒等式は、どちらも「偏微分の順序交換」という 1 つの事実の言い換えだったわけです。

|"d = grad"| B["Ω¹ = 1形式"] B -->|"d = rot"| C["Ω² = 2形式"] C -->|"d = div"| D["Ω³ = 3形式"] D --> E["Ω⁴ = 0"] A -.->|"d∘d = 0 は rot grad = 0"| C B -.->|"d∘d = 0 は div rot = 0"| D`} /> $M=\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ 上のの $1$ 形式 $\omega = \dfrac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}$ は閉形式だが完全形式ではない。したがっての逆（閉ならば完全）は一般には成り立たない。閉であることを直接計算します。の公式より、$r^2 := x^2+y^2$ として $$ d\omega = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{-y}{r^2}\right) dy\wedge dx + \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{r^2}\right) dx\wedge dy . $$ $\dfrac{\partial}{\partial y}\dfrac{-y}{r^2} = \dfrac{-(r^2) + y\cdot 2y}{r^4} = \dfrac{y^2-x^2}{r^4}$、$\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{x}{r^2} = \dfrac{r^2 - x\cdot 2x}{r^4} = \dfrac{y^2-x^2}{r^4}$ であり、$dy\wedge dx = -dx\wedge dy$ ですから $$ d\omega = \left(-\frac{y^2-x^2}{r^4} + \frac{y^2-x^2}{r^4}\right) dx\wedge dy = 0 . $$ 完全でないことはで述べた線積分から従います。$\omega = df$ なら、単位円 $C$ を $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$、$t\in[0,2\pi]$ と径数付けたとき $\int_C \omega = f(\gamma(2\pi)) - f(\gamma(0)) = 0$ となるはずです。ところが $\gamma$ 上で $x=\cos t$、$y=\sin t$、$r^2=1$ なので $$ \int_C\omega = \int_0^{2\pi}\bigl(-\sin t\cdot(-\sin t) + \cos t\cdot\cos t\bigr)\,dt = \int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi \ne 0 . $$ 矛盾するので、そのような $f\in C^\infty(M)$ は存在しません。の「ずれ」を測る商空間 $H^k_{\mathrm{dR}}(M) := \ker\bigl(d\colon\Omega^k\to\Omega^{k+1}\bigr)\big/\operatorname{im}\bigl(d\colon\Omega^{k-1}\to\Omega^k\bigr)$ を**ド・ラームコホモロジー**といいます。ポアンカレの補題により、$\mathbb{R}^n$ の星形開集合では $k\ge 1$ の閉形式は必ず完全なので、$H^k_{\mathrm{dR}}$ は $M$ の「穴」を検出する位相的不変量になります。上の計算は $H^1_{\mathrm{dR}}(\mathbb{R}^2\setminus\{0\}) \ne 0$ を示したことになります。また、滑らかな写像 $F\colon N\to M$ は引き戻し $F^*\colon\Omega^k(M)\to\Omega^k(N)$ を誘導し、$F^*(d\omega) = d(F^*\omega)$ と $F^*(\alpha\wedge\beta) = F^*\alpha\wedge F^*\beta$ が成り立ちます。この自然性が、[ストークスの定理](/mathematics/manifolds/stokes-theorem) で「積分は座標に依らない」ことを保証します。左不変ベクトル場と左不変形式に話を限ると [リー群とリー環](/mathematics/manifolds/lie-groups) の理論に接続します。 ## 7. 演習 $\mathbb{R}^3$ 上の $1$ 形式 $\alpha = x\,dy - y\,dx$ と $2$ 形式 $\beta = z\,dx\wedge dy$ について、$\alpha\wedge\beta$ と $d\alpha$ を計算してください。また $\beta\wedge\alpha$ を計算し、 (3) と整合することを確かめてください。 $\alpha\wedge\beta = (x\,dy - y\,dx)\wedge(z\,dx\wedge dy) = xz\,dy\wedge dx\wedge dy - yz\,dx\wedge dx\wedge dy$ です。$dy$ が 2 回、$dx$ が 2 回現れるので (3)（$1$ 形式は $\varepsilon\wedge\varepsilon=0$）より両項とも $0$、よって $\alpha\wedge\beta=0$ です。 $d\alpha$ はの公式から $d\alpha = dx\wedge dy - dy\wedge dx = dx\wedge dy + dx\wedge dy = 2\,dx\wedge dy$ です。 $\beta\wedge\alpha$ も同じ理由で $0$ です。$k=1$、$l=2$ なので $(-1)^{kl} = (-1)^2 = 1$、すなわち $\alpha\wedge\beta = \beta\wedge\alpha$ が予言され、$0=0$ で整合しています。 $M=\mathbb{R}^2$、$f(x,y) = x^2 y$ とし、ベクトル場 $X = y\,\dfrac{\partial}{\partial x} + \dfrac{\partial}{\partial y}$ を考えます。 1. $Xf$ を計算してください。 2. $df$ を求め、$df(X) = Xf$ を確かめてください。 3. $X$ がの意味で滑らかであることを述べてください。 **1.** $Xf = y\dfrac{\partial f}{\partial x} + \dfrac{\partial f}{\partial y} = y\cdot 2xy + x^2 = 2xy^2 + x^2$ です。 **2.** より $df = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy = 2xy\,dx + x^2\,dy$ です。これに $X$ を代入すると、$dx(X) = y$、$dy(X)=1$ なので $df(X) = 2xy\cdot y + x^2\cdot 1 = 2xy^2 + x^2$ となり、1 の答えと一致します。これは $df_p(v) = vf$ という定義（）の言い換えにすぎません。 **3.** $\mathbb{R}^2$ の標準チャート（1 枚で全体を覆う）における成分は $X^1 = y$、$X^2 = 1$ で、ともに $C^\infty(\mathbb{R}^2)$ に属します。の (2) $\Rightarrow$ (1) より $X\in\mathfrak{X}(\mathbb{R}^2)$ です。 $\mathbb{R}^3$ 上の $1$ 形式 $\omega = (2xy + z^3)\,dx + x^2\,dy + 3xz^2\,dz$ について、$d\omega = 0$ を確かめ、$\omega = df$ となる $f\in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ を具体的に求めてください。の公式で $P = 2xy+z^3$、$Q = x^2$、$R = 3xz^2$ とすると $R_y - Q_z = 0 - 0 = 0$、$P_z - R_x = 3z^2 - 3z^2 = 0$、$Q_x - P_y = 2x - 2x = 0$ なので $d\omega = 0$、すなわち $\omega$ は閉形式です。完全性を示すため $f$ を構成します。$\partial f/\partial x = 2xy + z^3$ から $f = x^2y + xz^3 + g(y,z)$ です。これを $y$ で微分すると $x^2 + g_y = x^2$、よって $g_y = 0$、$g = h(z)$ です。さらに $z$ で微分すると $3xz^2 + h'(z) = 3xz^2$、よって $h' = 0$ です。したがって $f(x,y,z) = x^2y + xz^3 + C$（$C$ は定数）と取れます。実際 $df = (2xy+z^3)dx + x^2 dy + 3xz^2 dz = \omega$ です。と違って今回うまくいったのは、定義域が $\mathbb{R}^3$ 全体（星形）でポアンカレの補題が使えるからです。 $\dim M = n$ とする。$\omega\in\Omega^k(M)$ が $k$ 個の $1$ 形式のウェッジ積 $\omega=\varepsilon^1\wedge\cdots\wedge\varepsilon^k$（各点で $\varepsilon^a_p$ は一次独立）と書けているとき、$\omega_p \ne 0$ であることを示してください。また $n=4$ のとき、$\eta = dx^1\wedge dx^2 + dx^3\wedge dx^4$ が $1$ 形式 2 つのウェッジ積として書けないことを示してください。 **前半。** $\varepsilon^1_p,\dots,\varepsilon^k_p$ が $T^*_pM$ で一次独立なら、これを $T_p^*M$ の基底 $(\varepsilon^1_p,\dots,\varepsilon^n_p)$ に延長できます。$V=T_pM$ の基底でその双対基底になるものを $(u_1,\dots,u_n)$ とすると、第 5 節の行列式公式より $\omega_p(u_1,\dots,u_k) = \det\bigl(\varepsilon^a_p(u_b)\bigr)_{a,b\le k} = \det(\delta^a_b) = 1 \ne 0$ なので $\omega_p\ne 0$ です。 **後半。** $\eta\wedge\eta$ を計算します。の双線形性から $\eta\wedge\eta = dx^1\wedge dx^2\wedge dx^1\wedge dx^2 + 2\,dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3\wedge dx^4 + dx^3\wedge dx^4\wedge dx^3\wedge dx^4$ です（$2$ 形式どうしなので $(-1)^{2\cdot 2}=1$ より可換、それで係数 $2$ が出ます）。第 1 項と第 3 項は添字が重複するので $0$、よって $\eta\wedge\eta = 2\,dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3\wedge dx^4 \ne 0$ です。一方もし $\eta = \varepsilon\wedge\varepsilon'$（$\varepsilon,\varepsilon'$ は $1$ 形式）と書けたなら $\eta\wedge\eta = \varepsilon\wedge\varepsilon'\wedge\varepsilon\wedge\varepsilon'$ となり、$\varepsilon'\wedge\varepsilon = -\varepsilon\wedge\varepsilon'$（ (3)、$k=l=1$）で並べ替えると $\varepsilon\wedge\varepsilon = 0$ を含む項になるので $\eta\wedge\eta=0$ です。これは上の計算と矛盾します。よって $\eta$ は $1$ 形式 2 つのウェッジ積では書けません（$2$ 形式は一般に「分解可能」ではない、という事実の最小の例です）。 ## 参考文献 - John M. Lee, *Introduction to Smooth Manifolds*, 2nd ed., Springer GTM 218, 2013 — Chapter 8（ベクトル場）、Chapter 11（余接バンドル）、Chapter 14（微分形式）、Chapter 15（向きと外微分）。本記事の外微分の公理的特徴づけと局所性補題はこの流儀に従っています。 - Michael Spivak, *Calculus on Manifolds*, W. A. Benjamin, 1965 — Chapter 4。交代形式と外積代数を最短で構成し、ストークスの定理へ至る古典的な小著。 - 松島与三『多様体入門』裳華房、1965 — 第 3 章・第 5 章。日本語で書かれた標準的な教科書で、テンソル代数から微分形式への流れが丁寧です。 - 坪井俊『幾何学 III 微分形式』東京大学出版会、2008 — 微分形式とド・ラームコホモロジーを主題にした日本語のテキスト。 - Raoul Bott and Loring W. Tu, *Differential Forms in Algebraic Topology*, Springer GTM 82, 1982 — Chapter I。微分形式を位相不変量の計算道具として使う立場からの入門。 ## Appendix: ウェッジ積の結合律 **多重シャッフルによる統一的な表示。** (2) の証明を補います。$k,l,m\in\mathbb{N}$ に対し $$ \mathrm{Sh}(k,l,m) := \{\,\sigma\in S_{k+l+m}\ \mid\ \sigma \text{ は 3 つのブロック } [1,k],\ [k+1,k+l],\ [k+l+1,k+l+m] \text{ の各々で狭義増加}\,\} $$ とおきます。示したいのは、$\omega\in\Lambda^kV^*$、$\eta\in\Lambda^lV^*$、$\zeta\in\Lambda^mV^*$ に対して $(\omega\wedge\eta)\wedge\zeta$ と $\omega\wedge(\eta\wedge\zeta)$ がともに $$ T(v_1,\dots,v_{k+l+m}) := \sum_{\sigma\in\mathrm{Sh}(k,l,m)}\operatorname{sgn}(\sigma)\ \omega\bigl(v_{\sigma(1)},\dots\bigr)\,\eta\bigl(v_{\sigma(k+1)},\dots\bigr)\,\zeta\bigl(v_{\sigma(k+l+1)},\dots\bigr) $$ に等しいことです。 **左結合の側の計算。** 定義より $(\omega\wedge\eta)\wedge\zeta$ は $\tau\in\mathrm{Sh}(k+l,m)$ にわたる和で、各項に $(\omega\wedge\eta)(v_{\tau(1)},\dots,v_{\tau(k+l)})$ が現れます。これをさらに $\rho\in\mathrm{Sh}(k,l)$ にわたって展開すると、二重和の各項は置換 $\sigma := \tau\circ\hat\rho$ で指定されます。ここで $\hat\rho\in S_{k+l+m}$ は $\rho$ を最初の $k+l$ 個に作用させ、残り $m$ 個を固定する置換です。写像 $(\tau,\rho)\mapsto \tau\circ\hat\rho$ が $\mathrm{Sh}(k+l,m)\times\mathrm{Sh}(k,l)$ から $\mathrm{Sh}(k,l,m)$ への全単射であることを見ます。$\sigma=\tau\circ\hat\rho$ は 3 ブロックの各々で狭義増加です（$\tau$ が $[1,k+l]$ と $[k+l+1,k+l+m]$ で増加し、$\hat\rho$ が最初のブロックを $[1,k]$ と $[k+1,k+l]$ に増加的に分ける）。逆に $\sigma\in\mathrm{Sh}(k,l,m)$ が与えられたとき、値の集合 $\sigma([1,k])\cup\sigma([k+1,k+l])$ を昇順に並べる置換として $\tau$ が、その中での分け方として $\rho$ が一意に定まります。さらに $\operatorname{sgn}(\sigma) = \operatorname{sgn}(\tau)\operatorname{sgn}(\hat\rho) = \operatorname{sgn}(\tau)\operatorname{sgn}(\rho)$ です。したがって二重和は $\mathrm{Sh}(k,l,m)$ 上の 1 つの和 $T$ にまとまります。 **右結合の側。** 同様に $\omega\wedge(\eta\wedge\zeta)$ では $\mathrm{Sh}(k,l+m)\times\mathrm{Sh}(l,m)\to\mathrm{Sh}(k,l,m)$ の全単射（後半 $l+m$ 個を分割する側）を使い、やはり $T$ に等しくなります。実数の積は結合的なので、両者の各項は同じ 3 つの値の積です。以上で $(\omega\wedge\eta)\wedge\zeta = T = \omega\wedge(\eta\wedge\zeta)$ が示されました。 **外微分の座標に依らない公式。** 参考として、$\omega\in\Omega^1(M)$ と $X,Y\in\mathfrak{X}(M)$ に対し $$ d\omega(X,Y) = X\bigl(\omega(Y)\bigr) - Y\bigl(\omega(X)\bigr) - \omega\bigl([X,Y]\bigr) $$ が成り立ちます。ここで $[X,Y] := XY - YX$（$C^\infty(M)$ 上の作用素としての交換子）はリー括弧と呼ばれるベクトル場です。この式は座標を一切使わずに $d$ を特徴づけており、リー群論や接続の理論で標準的に用いられます。座標 $\omega=\sum_i\omega_i dx^i$、$X=\sum_i X^i\partial/\partial x^i$、$Y=\sum_j Y^j\partial/\partial x^j$ を代入して両辺を展開すれば、の局所公式と一致することが確かめられます。