## 2. 準備 — 記号と約束
この記事を通じて $\mathbb{K}$ は実数体 $\mathbb{R}$ または複素数体 $\mathbb{C}$ を表し、$V$ は $\mathbb{K}$ 上のベクトル空間とします。複素数 $\lambda$ の複素共役を $\bar{\lambda}$ と書き、$\mathbb{K} = \mathbb{R}$ のときは $\bar{\lambda} = \lambda$ と読んでください。$\mathbb{R}^n$ や $\mathbb{C}^n$ の元は列ベクトルとみなし、$\boldsymbol{x} = (x_1,\ldots,x_n)^{\mathsf{T}}$ のように書きます。行列 $A$ の転置を $A^{\mathsf{T}}$、共役転置（随伴）を $A^{*} = \bar{A}^{\mathsf{T}}$ と書きます。
部分集合 $S \subseteq V$ が張る部分空間を $\operatorname{span}(S)$ と書きます。有限次元性・基底・次元（
）については [ベクトル空間と線形変換](/mathematics/linear-algebra/vector-spaces) の内容を仮定します。連立一次方程式の解空間や行列の階数（
）については [行列と連立一次方程式](/mathematics/linear-algebra/matrices-and-linear-systems) を参照してください。
## 3. 内積の公理
まず「長さと角度を測る道具」が満たすべき性質を公理として書き下します。$\mathbb{R}^3$ の内積 $\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y} = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$ から抽出したのが、次の 3 条件です。
$V$ を $\mathbb{K}$ 上のベクトル空間とする。写像
$$
\langle \cdot,\cdot\rangle : V\times V \longrightarrow \mathbb{K}
$$
が次の 3 条件を満たすとき、$\langle\cdot,\cdot\rangle$ を $V$ 上の**内積**といい、組 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ を**内積空間**という。
- (IP1)（第 1 変数についての線形性）任意の $x,y,z\in V$ と $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$ に対して $\langle \lambda x+\mu y,\ z\rangle = \lambda\langle x,z\rangle + \mu\langle y,z\rangle$。
- (IP2)（共役対称性）任意の $x,y\in V$ に対して $\langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle}$。$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ のときはこれは対称性 $\langle y,x\rangle = \langle x,y\rangle$ を意味する。
- (IP3)（正定値性）任意の $x\in V$ に対して $\langle x,x\rangle \ge 0$ であり、さらに $\langle x,x\rangle = 0$ となるのは $x=0$ のときに限る。
(IP3) の「$\langle x,x\rangle \ge 0$」という不等式が意味を持つのは、(IP2) で $y=x$ とすると $\langle x,x\rangle = \overline{\langle x,x\rangle}$、すなわち $\langle x,x\rangle$ が実数だとわかるからです。公理の順序には理由があります。
第 2 変数については、線形ではなく**共役線形**になります。実際 (IP2) と (IP1) を続けて使うと
$$
\langle x,\ \lambda y+\mu z\rangle = \overline{\langle \lambda y+\mu z,\ x\rangle} = \overline{\lambda\langle y,x\rangle + \mu\langle z,x\rangle} = \bar{\lambda}\langle x,y\rangle + \bar{\mu}\langle x,z\rangle
$$
となります。$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ なら共役は何もしないので、実内積は両方の変数について線形（双線形）です。また (IP1) で $\lambda=\mu=0$ とすれば $\langle 0,z\rangle = 0$ が従います。
$V=\mathbb{K}^n$ に対し
$$
\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle = \sum_{k=1}^{n} x_k\overline{y_k} = \boldsymbol{y}^{*}\boldsymbol{x}
$$
と定める。(IP1) は和と定数倍が各項ごとに分配されることから、(IP2) は $\overline{x_k\overline{y_k}} = \overline{x_k}y_k$ から従う。(IP3) については
$$
\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle = \sum_{k=1}^{n} x_k\overline{x_k} = \sum_{k=1}^{n}|x_k|^2 \ge 0
$$
であり、非負実数の和が $0$ になるのは各項が $0$ のとき、つまり全ての $k$ で $x_k=0$、すなわち $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ のときに限る。$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ のときはよく知られた $\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y} = \sum x_ky_k$ そのものである。
$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}$ とし、$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^2$ に対して $\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle_A := \boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}A\boldsymbol{y}$ と定めると、これは $\mathbb{R}^2$ 上の内積である。
(IP1) は行列とベクトルの積が線形であることから、(IP2) は $A^{\mathsf{T}}=A$ と、$1\times 1$ 行列が転置で不変であることから
$$
\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\rangle_A = \boldsymbol{y}^{\mathsf{T}}A\boldsymbol{x} = (\boldsymbol{y}^{\mathsf{T}}A\boldsymbol{x})^{\mathsf{T}} = \boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}\boldsymbol{y} = \langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle_A
$$
と従う。(IP3) は平方完成で確かめる。
$$
\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle_A = 2x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = x_1^2 + (x_1-x_2)^2 \ge 0
$$
であり、等号が成り立つのは $x_1=0$ かつ $x_1=x_2$、すなわち $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ のときに限る。
一般に、実対称行列 $A$ が $\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{0}\Rightarrow \boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}A\boldsymbol{x} > 0$ を満たすとき $A$ を**正定値**といい、このとき $\langle\cdot,\cdot\rangle_A$ は内積になる。逆に $\mathbb{R}^n$ 上の任意の内積はこの形に書ける（演習で扱う考え方を一般化すればよい）。正定値性が「$A$ の固有値がすべて正」と同値であることは、[スペクトル定理](/mathematics/linear-algebra/spectral-theorem) の主軸定理（
## 4. ノルム、コーシー・シュワルツの不等式、角度
内積が決まれば長さが決まります。
内積空間 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ に対し、$x\in V$ の**ノルム**を
$$
\|x\| := \sqrt{\langle x,x\rangle}
$$
で定める（(IP3) より根号の中は非負なので定義できる）。また $x,y\in V$ の**距離**を $d(x,y):=\|x-y\|$ で定める。$\|x\|=1$ のとき $x$ を**単位ベクトル**という。
定義から直ちに、$\lambda\in\mathbb{K}$ に対して
$$
\|\lambda x\|^2 = \langle \lambda x,\lambda x\rangle = \lambda\bar{\lambda}\langle x,x\rangle = |\lambda|^2\|x\|^2,
\qquad\text{すなわち}\quad \|\lambda x\| = |\lambda|\,\|x\|
$$
が成り立ちます（(IP1) と第 2 変数の共役線形性を使いました）。また (IP3) より $\|x\|=0 \iff x=0$ です。残る「三角不等式」は自明ではなく、次の不等式を経由して証明されます。
$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ を $\mathbb{K}$ 上の内積空間とする。任意の $x,y\in V$ に対して
$$
|\langle x,y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|
$$
が成り立つ。さらに等号が成り立つのは、$x$ と $y$ が一次従属であるとき、かつそのときに限る。
まず $y=0$ の場合。第 2 変数の共役線形性から $\langle x,0\rangle = \langle x, 0\cdot 0\rangle = \bar{0}\langle x,0\rangle = 0$ なので左辺は $0$、右辺も $\|y\|=0$ より $0$ で、等号が成り立つ。このとき $y = 0\cdot x$ なので $x,y$ は一次従属であり、主張と整合する。
以下 $y\ne 0$ とする。(IP3) より $\|y\|^2 > 0$ なので
$$
t := \frac{\langle x,y\rangle}{\|y\|^2} \in \mathbb{K}
$$
とおける。(IP3) より $\|x-ty\|^2 \ge 0$ である。この量を展開する。(IP1) と第 2 変数の共役線形性から
$$
\begin{aligned}
0 \le \|x-ty\|^2 &= \langle x-ty,\ x-ty\rangle \\
&= \langle x,x\rangle - \bar{t}\langle x,y\rangle - t\langle y,x\rangle + t\bar{t}\langle y,y\rangle .
\end{aligned}
$$
ここに $t$ の定義を代入します。$\|y\|^2$ は正の実数なので共役をとっても変わらないことに注意すると、
$$
\bar{t}\langle x,y\rangle = \frac{\overline{\langle x,y\rangle}\langle x,y\rangle}{\|y\|^2} = \frac{|\langle x,y\rangle|^2}{\|y\|^2},
\qquad
t\langle y,x\rangle = \frac{\langle x,y\rangle\overline{\langle x,y\rangle}}{\|y\|^2} = \frac{|\langle x,y\rangle|^2}{\|y\|^2}
$$
（2 つめでは (IP2) を使って $\langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle}$ としました）。また $t\bar{t}\langle y,y\rangle = |t|^2\|y\|^2 = |\langle x,y\rangle|^2/\|y\|^2$ です。以上を代入すると 3 つの項のうち 2 つが打ち消し合って
$$
0 \le \|x-ty\|^2 = \|x\|^2 - \frac{|\langle x,y\rangle|^2}{\|y\|^2}
$$
となります。両辺に $\|y\|^2 > 0$ を掛けて移項すれば $|\langle x,y\rangle|^2 \le \|x\|^2\|y\|^2$、平方根をとって（両辺とも非負なので向きは変わらない）$|\langle x,y\rangle|\le\|x\|\|y\|$ を得ます。
等号条件を見ます。上の計算から
$$
|\langle x,y\rangle| = \|x\|\|y\| \iff \|x-ty\|^2 = 0 \iff x = ty
$$
（最後の同値は (IP3)）。$x=ty$ なら $x,y$ は一次従属です。逆に $x,y$ が一次従属で $y \ne 0$ なら $x=\lambda y$ と書けて、$|\langle \lambda y,y\rangle| = |\lambda|\|y\|^2 = \|\lambda y\|\|y\|$ となり等号が成り立ちます。
内積空間 $V$ の任意の $x,y$ に対して $\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|$ が成り立つ。したがって $\|\cdot\|$ は $V$ 上のノルムであり、$d(x,y)=\|x-y\|$ は距離である。
$\langle x,y\rangle + \langle y,x\rangle = \langle x,y\rangle + \overline{\langle x,y\rangle} = 2\operatorname{Re}\langle x,y\rangle$（(IP2)）に注意して展開すると
$$
\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\operatorname{Re}\langle x,y\rangle + \|y\|^2 .
$$
任意の複素数 $z$ について $\operatorname{Re} z \le |z|$ なので、
コーシー・シュワルツの不等式は、実内積空間で $x,y\ne 0$ のとき
$$
-1 \le \frac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\,\|y\|} \le 1
$$
を意味します。この値が区間 $[-1,1]$ に入ることが保証されて初めて、次の定義が意味を持ちます。
$V$ を実内積空間とし、$x,y\in V$ をともに $0$ でないベクトルとする。$\cos\theta = \dfrac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\|y\|}$ を満たす $\theta\in[0,\pi]$ を $x$ と $y$ の**なす角**という（余弦関数は $[0,\pi]$ から $[-1,1]$ への全単射なので $\theta$ は一意に定まる）。
また $\mathbb{K}$ が $\mathbb{R}$ でも $\mathbb{C}$ でも、$\langle x,y\rangle=0$ のとき $x$ と $y$ は**直交する**といい $x\perp y$ と書く。部分集合 $S\subseteq V$ に対し、$S$ のすべての元と直交するベクトル全体
$$
S^{\perp} := \{\,x\in V \mid \langle x,s\rangle = 0 \ \ (\forall s\in S)\,\}
$$
を $S$ の**直交補空間**という。
$S^{\perp}$ は常に $V$ の部分空間です。実際 $0\in S^{\perp}$ であり、$x,y\in S^{\perp}$、$\lambda,\mu\in\mathbb{K}$ なら (IP1) より任意の $s\in S$ に対して $\langle \lambda x+\mu y,s\rangle = \lambda\cdot 0+\mu\cdot 0 = 0$ だからです。$S$ が部分空間である必要はないことに注意してください。
$n$ 個の観測値の組 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in\mathbb{R}^n$ から平均を引いた中心化データを $\tilde{\boldsymbol{a}} = \boldsymbol{a}-\bar{a}\boldsymbol{1}$、$\tilde{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{b}-\bar{b}\boldsymbol{1}$ とすると、ピアソンの相関係数は
$$
r = \frac{\sum_k (a_k-\bar{a})(b_k-\bar{b})}{\sqrt{\sum_k(a_k-\bar{a})^2}\sqrt{\sum_k(b_k-\bar{b})^2}} = \frac{\langle \tilde{\boldsymbol{a}},\tilde{\boldsymbol{b}}\rangle}{\|\tilde{\boldsymbol{a}}\|\,\|\tilde{\boldsymbol{b}}\|}
$$
と書けます。つまり相関係数は中心化データのなす角の余弦です。$|r|\le 1$ は
## 5. 正規直交基底
直交という言葉が使えるようになったので、「使いやすい基底」を定義します。
内積空間 $V$ のベクトルの族 $e_1,\ldots,e_m$ が
$$
\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & (i=j)\\ 0 & (i\ne j)\end{cases}
$$
を満たすとき、**正規直交系**という（互いに直交し、かつすべて単位ベクトルである、という意味）。正規直交系が $V$ の基底でもあるとき、**正規直交基底**という。
内積空間 $V$ のベクトル $u_1,\ldots,u_m$ が互いに直交し（$i\ne j\Rightarrow\langle u_i,u_j\rangle=0$）、かつすべて $0$ でないならば、$u_1,\ldots,u_m$ は一次独立である。特に正規直交系は一次独立である。
$c_1u_1+\cdots+c_mu_m = 0$ とする。各 $k$ に対し、この等式の両辺と $u_k$ との内積をとる。(IP1) より
$$
0 = \langle 0, u_k\rangle = \Big\langle \sum_{j=1}^m c_ju_j,\ u_k\Big\rangle = \sum_{j=1}^m c_j\langle u_j,u_k\rangle = c_k\langle u_k,u_k\rangle = c_k\|u_k\|^2 .
$$
仮定 $u_k\ne 0$ と (IP3) より $\|u_k\|^2 > 0$ なので $c_k=0$。$k$ は任意だったので、すべての係数が $0$ です。正規直交系は $\|e_k\|=1\ne 0$ を満たすので、この場合に含まれます。
$V$ を $\mathbb{K}$ 上の内積空間、$e_1,\ldots,e_n$ を $V$ の正規直交基底とする。このとき次が成り立つ。
1. 任意の $x\in V$ に対し $\displaystyle x = \sum_{k=1}^{n}\langle x,e_k\rangle e_k$ である。すなわち基底 $(e_k)$ に関する $x$ の第 $k$ 座標は $\langle x,e_k\rangle$ で与えられる。
2. 任意の $x,y\in V$ に対し $\displaystyle \langle x,y\rangle = \sum_{k=1}^{n}\langle x,e_k\rangle\overline{\langle y,e_k\rangle}$ である。
3. 任意の $x\in V$ に対し $\displaystyle \|x\|^2 = \sum_{k=1}^{n}|\langle x,e_k\rangle|^2$（パーセバルの等式）。
(1) $e_1,\ldots,e_n$ は基底なので、$x = \sum_{j=1}^n c_je_j$ となる $c_j\in\mathbb{K}$ が（一意に）存在します。両辺と $e_k$ の内積をとると、(IP1) と正規直交性から
$$
\langle x,e_k\rangle = \sum_{j=1}^n c_j\langle e_j,e_k\rangle = \sum_{j=1}^n c_j\delta_{jk} = c_k
$$
となり、係数が内積で書けることがわかります。
(2) (1) の表示を両方に代入し、(IP1) と第 2 変数の共役線形性で二重和に展開します。
$$
\langle x,y\rangle = \Big\langle \sum_{j}\langle x,e_j\rangle e_j,\ \sum_{k}\langle y,e_k\rangle e_k\Big\rangle
= \sum_{j}\sum_{k}\langle x,e_j\rangle\overline{\langle y,e_k\rangle}\,\langle e_j,e_k\rangle .
$$
$\langle e_j,e_k\rangle = \delta_{jk}$ なので $j=k$ の項だけが残り、主張の式を得ます。
(3) (2) で $y=x$ とすると $\langle x,e_k\rangle\overline{\langle x,e_k\rangle} = |\langle x,e_k\rangle|^2$ なので、$\|x\|^2 = \langle x,x\rangle = \sum_k |\langle x,e_k\rangle|^2$ です。
この定理が正規直交基底の存在意義です。一般の基底 $v_1,\ldots,v_n$ について $x$ の座標を求めるには、連立一次方程式 $\sum_j c_jv_j = x$ を解かねばなりません（$n\times n$ の掃き出しで $O(n^3)$ の計算量）。正規直交基底なら、座標は内積を $n$ 回計算するだけ（$O(n^2)$）で得られ、しかも各座標が他の座標と独立に求まります。さらに (3) より、ノルムの計算が座標の二乗和に化けます。$\mathbb{K}^n$ の言葉でいえば、基底ベクトルを列に並べた行列 $Q$ が $Q^{*}Q=I$ を満たす（ユニタリ行列・直交行列）ということで、逆行列を求める代わりに転置をとればよい、ということです。
**数値で確かめます。** $\mathbb{R}^3$ の標準内積に関して
$$
e_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1,1,0)^{\mathsf{T}},\quad
e_2 = \frac{1}{\sqrt6}(1,-1,2)^{\mathsf{T}},\quad
e_3 = \frac{1}{\sqrt3}(-1,1,1)^{\mathsf{T}}
$$
を考えます。$\|e_1\|^2 = (1+1+0)/2 = 1$、$\|e_2\|^2 = (1+1+4)/6=1$、$\|e_3\|^2=(1+1+1)/3=1$ であり、
$$
\langle e_1,e_2\rangle = \frac{1\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 0\cdot 2}{\sqrt2\sqrt6} = 0,\quad
\langle e_1,e_3\rangle = \frac{-1+1+0}{\sqrt2\sqrt3} = 0,\quad
\langle e_2,e_3\rangle = \frac{-1-1+2}{\sqrt6\sqrt3} = 0
$$
なので正規直交系です。
より一次独立で、$\dim\mathbb{R}^3 = 3$ 本あるので $\mathbb{R}^3$ の正規直交基底になります。$x = (1,2,3)^{\mathsf{T}}$ の座標を
で求めると
$$
\langle x,e_1\rangle = \frac{1+2}{\sqrt2} = \frac{3}{\sqrt2},\quad
\langle x,e_2\rangle = \frac{1-2+6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6},\quad
\langle x,e_3\rangle = \frac{-1+2+3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}
$$
となり、連立方程式を一つも解かずに座標が求まりました。検算としてパーセバルの等式を確かめると
$$
\frac92+\frac{25}{6}+\frac{16}{3} = \frac{27+25+32}{6} = \frac{84}{6} = 14 = 1^2+2^2+3^2 = \|x\|^2
$$
で、確かに一致します。この 3 本がどこから来たのかは、次の節で明らかになります。
## 6. グラム・シュミットの直交化
正規直交基底は便利ですが、そもそも存在するのでしょうか。存在するとして、どう作るのでしょうか。答えは、任意の基底から機械的に作れる、です。
考え方は単純です。$v_2$ を $e_1$ に直交させたければ、$v_2$ から「$e_1$ 方向の成分」$\langle v_2,e_1\rangle e_1$ を引けばよい。残りは $e_1$ に直交します。この操作を順に繰り返します。
$V$ を $\mathbb{K}$ 上の内積空間とし、$v_1,\ldots,v_n\in V$ を一次独立なベクトルとする。次の漸化式
$$
u_1 = v_1,\qquad
u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1}\langle v_k,e_j\rangle e_j \quad (k=2,\ldots,n),
\qquad
e_k = \frac{u_k}{\|u_k\|}
$$
は矛盾なく実行でき（すなわち各 $k$ で $u_k\ne 0$）、得られる $e_1,\ldots,e_n$ は次を満たす。
1. $e_1,\ldots,e_n$ は正規直交系である。
2. すべての $k=1,\ldots,n$ に対して $\operatorname{span}(e_1,\ldots,e_k) = \operatorname{span}(v_1,\ldots,v_k)$。
3. すべての $k$ に対して $\langle v_k,e_k\rangle = \|u_k\| > 0$。
さらに、条件 1・2・3 を満たす正規直交系 $e_1,\ldots,e_n$ はこれ以外に存在しない。
$k$ についての数学的帰納法で、「$u_k\ne0$ であり、$e_1,\ldots,e_k$ が正規直交系で、条件 2・3 が $k$ まで成り立つ」ことを示します。
**$k=1$ のとき。** $v_1,\ldots,v_n$ は一次独立なので $v_1\ne 0$、よって $u_1=v_1\ne 0$ であり、(IP3) より $\|u_1\|>0$ で $e_1$ が定義できます。$\|e_1\| = \|v_1\|^{-1}\|v_1\| = 1$ です。$e_1 = \|v_1\|^{-1}v_1$ かつ $v_1 = \|v_1\|e_1$ なので、互いに他のスカラー倍であり $\operatorname{span}(e_1)=\operatorname{span}(v_1)$。また $\langle v_1,e_1\rangle = \langle \|u_1\|e_1, e_1\rangle = \|u_1\|\,\|e_1\|^2 = \|u_1\| > 0$。
**$k-1$ まで成り立つとして $k$ を示す。** 帰納法の仮定より $e_1,\ldots,e_{k-1}$ は正規直交系で、$W_{k-1}:=\operatorname{span}(e_1,\ldots,e_{k-1}) = \operatorname{span}(v_1,\ldots,v_{k-1})$ です。
*($u_k\ne 0$)* $u_k = v_k - \sum_{j0$、$e_k$ が定義できます。
*(1 正規直交性)* $i < k$ とすると、(IP1) と帰納法の仮定 $\langle e_j,e_i\rangle = \delta_{ji}$ より
$$
\langle u_k,e_i\rangle = \langle v_k,e_i\rangle - \sum_{j=1}^{k-1}\langle v_k,e_j\rangle\langle e_j,e_i\rangle = \langle v_k,e_i\rangle - \langle v_k,e_i\rangle = 0 .
$$
両辺を $\|u_k\|$ で割れば $\langle e_k,e_i\rangle = 0$。また $\|e_k\| = \|u_k\|^{-1}\|u_k\| = 1$ なので、$e_1,\ldots,e_k$ は正規直交系です。
*(2 張る空間)* $e_k$ は $v_k$ と $e_1,\ldots,e_{k-1}$ の一次結合であり、帰納法の仮定より $e_1,\ldots,e_{k-1}\in\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_{k-1})$ なので、$e_k\in\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_k)$。よって $\operatorname{span}(e_1,\ldots,e_k)\subseteq\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_k)$。逆に、漸化式を $v_k$ について解くと
$$
v_k = \|u_k\|\,e_k + \sum_{j=1}^{k-1}\langle v_k,e_j\rangle e_j \in \operatorname{span}(e_1,\ldots,e_k)
$$
であり、$v_1,\ldots,v_{k-1}\in W_{k-1}\subseteq\operatorname{span}(e_1,\ldots,e_k)$ なので逆向きの包含も成り立ちます。したがって両者は一致します。
*(3)* 上の $v_k$ の表示と $e_k$ との内積をとり、正規直交性を使うと $\langle v_k,e_k\rangle = \|u_k\|\cdot 1 + 0 = \|u_k\| > 0$。
**一意性。** $f_1,\ldots,f_n$ も条件 1・2・3 を満たすとし、$f_j=e_j$ $(j の (1) と同じ計算）。よって $f_k=c_ke_k$ で、$\|f_k\|=1$ より $|c_k|=1$。さらに条件 3 より
$$
0 < \langle v_k,f_k\rangle = \overline{c_k}\,\langle v_k,e_k\rangle = \overline{c_k}\,\|u_k\|
$$
であり、$\|u_k\|>0$ なので $\overline{c_k}$ は正の実数。$|c_k|=1$ とあわせて $c_k=1$、すなわち $f_k=e_k$ です。
$V$ を $\mathbb{K}$ 上の $n$ 次元内積空間（$n\ge 1$）とすると、$V$ は正規直交基底を持つ。より一般に、$V$ の任意の正規直交系 $e_1,\ldots,e_m$（$m\le n$）は $V$ の正規直交基底 $e_1,\ldots,e_n$ に拡張できる。
前半。$V$ の基底 $v_1,\ldots,v_n$ を一つ取り（有限次元なので存在する）、