## 2. 準備 — 記号と前提
以下、$K$ は体を表し、具体的には $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ だと思って読んで構いません。ただし「どちらの体で考えているか」が本質的に効く場面があるので、体は明示します。$V$ は $K$ 上の有限次元ベクトル空間で、$\dim V = n \ge 1$ とします。$M_n(K)$ で $K$ 成分の $n$ 次正方行列全体を、$I$（必要なら $I_n$）で単位行列を表します。ベクトルは $\boldsymbol{v}$、行列は $A$、転置は $A^{\mathsf{T}}$ と書きます。
線形変換 $T : V \to V$ と $V$ の基底 $\mathcal{B} = (\boldsymbol{b}_1,\ldots,\boldsymbol{b}_n)$ が与えられると、表現行列 $A \in M_n(K)$ が定まります。基底を $\mathcal{B}'$ に取り替えると表現行列は $P^{-1}AP$ に変わります（$P$ は基底変換行列。
を参照）。この関係を相似といいます。詳しくは [ベクトル空間と線形変換](/mathematics/linear-algebra/vector-spaces) を参照してください。
証明で繰り返し使う既知の事実を挙げておきます。いずれも [行列と連立一次方程式](/mathematics/linear-algebra/matrices-and-linear-systems) と [行列式とその性質](/mathematics/linear-algebra/determinants) の内容です。
1. **次元定理**: 線形写像 $S : V \to V$ について $\dim \ker S + \dim \operatorname{im} S = \dim V$（
）。とくに有限次元では、$S$ が単射であることと全射であること、正則であることは同値です。
2. **行列式の乗法性**: $\det(AB) = \det A \cdot \det B$（
）。また $A$ が正則なら $\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}$。
3. **正則性の判定**: $A$ が正則であることと $\det A \ne 0$ は同値（
）。同値な言い換えとして、$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ が非自明解を持つことと $\det A = 0$ は同値です。
4. **三角行列の行列式**: 上三角行列（下三角行列）の行列式は対角成分の積です（
）。
5. **ブロック三角行列の行列式**: $X$ を $r$ 次、$Z$ を $s$ 次の正方行列、$Y$ を $r \times s$ 行列、$O$ を $s \times r$ 零行列とすると、$\det \begin{pmatrix} X & Y \\ O & Z \end{pmatrix} = \det X \cdot \det Z$ が成り立ちます。
6. **転置不変性**: $\det(A^{\mathsf{T}}) = \det A$。
## 3. 固有値と固有ベクトル
$V$ を体 $K$ 上のベクトル空間、$T : V \to V$ を線形変換とする。スカラー $\lambda \in K$ とベクトル $\boldsymbol{v} \in V$ が
$$
T\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}, \qquad \boldsymbol{v} \ne \boldsymbol{0}
$$
を満たすとき、$\lambda$ を $T$ の**固有値**、$\boldsymbol{v}$ を固有値 $\lambda$ に属する**固有ベクトル**という。行列 $A \in M_n(K)$ に対しては、$T(\boldsymbol{x}) = A\boldsymbol{x}$ で定まる $K^n$ 上の線形変換の固有値・固有ベクトルを、$A$ の固有値・固有ベクトルという。
定義のうち二つの条件について、それぞれなぜそうなっているのかを確認しておきます。
$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$ を許すと、任意の $\lambda \in K$ に対して $T\boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} = \lambda\boldsymbol{0}$ が成り立ってしまい、すべてのスカラーが固有値になります。これでは何の情報も持たない概念になるので、固有ベクトルには $\boldsymbol{v} \ne \boldsymbol{0}$ を要求します。
一方、$\lambda = 0$ は排除しません。$0$ が固有値であるとは、$T\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$ を満たす $\boldsymbol{v} \ne \boldsymbol{0}$ が存在すること、すなわち $\ker T \ne \{\boldsymbol{0}\}$ ということです。準備 1 の次元定理より、これは $T$ が正則でないことと同値です。つまり「$0$ が固有値かどうか」は「その変換が情報を潰しているかどうか」を測っており、意味のある情報です。
なお、$\boldsymbol{v}$ が $\lambda$ に属する固有ベクトルなら、任意の $c \ne 0$ について $c\boldsymbol{v}$ も同じ $\lambda$ に属する固有ベクトルです（$T(c\boldsymbol{v}) = cT\boldsymbol{v} = c\lambda\boldsymbol{v} = \lambda(c\boldsymbol{v})$）。固有ベクトルは一意に決まらず、決まるのは「方向」（正確には直線、さらに一般には固有空間）であることに注意してください。
さて、定義は「そういう $\lambda$ と $\boldsymbol{v}$ が存在すれば」という形をしています。これでは探し方がわかりません。存在条件を、計算できる形に翻訳しましょう。
$A \in M_n(K)$ と $\lambda \in K$ について、次の三つは同値である。
1. $\lambda$ は $A$ の固有値である。
2. 行列 $A - \lambda I$ は正則でない。
3. $\det(\lambda I - A) = 0$。
まず 1 と 2 の同値性を示します。$\lambda$ が $A$ の固有値であるとは、
この命題の意味は大きいです。固有値の定義は「うまいベクトルが存在するか」という探索問題ですが、
の条件 3 は $\lambda$ についての一本の方程式です。つまり固有値を求める問題が、方程式を解く問題に完全に置き換わりました。しかも左辺は、次節で見るように $\lambda$ の多項式になります。
冒頭の $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ を、定義から計算してみます。$K = \mathbb{R}$ とします。
## 4. 特性多項式
$A \in M_n(K)$ に対し、変数 $t$ の多項式
$$
\varphi_A(t) := \det(t I - A)
$$
を $A$ の**特性多項式**という。方程式 $\varphi_A(t) = 0$ を**特性方程式**という。
文献によっては $\det(A - tI)$ を特性多項式と定義します。
この定理により、線形変換 $T : V \to V$ に対して「$T$ の特性多項式」を定義できます。基底を一つ選んで表現行列 $A$ を取り、$\varphi_T := \varphi_A$ と定めるのです。別の基底を選べば表現行列は $P^{-1}AP$ に変わりますが、
の 1 によりこれは同じ多項式を与えるので、定義は基底の選び方によりません。トレースと行列式が「行列の量」ではなく「変換そのものの量」だと言えるのも、この定理のおかげです。
$A \in M_n(K)$ の特性多項式が $K$ 上で一次式の積に分解し、
$$
\varphi_A(t) = (t - \lambda_1)(t - \lambda_2)\cdots(t - \lambda_n)
$$
と書けたとする（$\lambda_i$ は重複を許して並べる）。このとき
$$
\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = \operatorname{tr} A, \qquad \prod_{i=1}^{n} \lambda_i = \det A .
$$
右辺を展開します。$\prod_{i=1}^n (t - \lambda_i)$ の $t^{n-1}$ の係数は、$n-1$ 個の因子から $t$ を、残り 1 個から $-\lambda_i$ を選ぶ和なので $-\sum_i \lambda_i$ です。また定数項は各因子から $-\lambda_i$ を選んだ積 $\prod_i(-\lambda_i) = (-1)^n\prod_i \lambda_i$ です。
一方
## 5. 固有空間と一次独立性
固有ベクトルは定数倍の自由度を持つので、個々のベクトルではなく集合として扱うほうが自然です。
$A \in M_n(K)$ と $\lambda \in K$ に対し、
$$
W_\lambda := \ker(A - \lambda I) = \{ \boldsymbol{x} \in K^n : A\boldsymbol{x} = \lambda\boldsymbol{x} \}
$$
を $\lambda$ に対する**固有空間**という。線形変換 $T$ についても同様に $W_\lambda = \ker(T - \lambda\,\mathrm{id}_V)$ と定める。
$W_\lambda$ は線形写像 $A - \lambda I$ の核なので、$K^n$ の部分空間です。念のため確認しておくと、$\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in W_\lambda$ と $c \in K$ に対し $A(\boldsymbol{x} + c\boldsymbol{y}) = A\boldsymbol{x} + cA\boldsymbol{y} = \lambda\boldsymbol{x} + c\lambda\boldsymbol{y} = \lambda(\boldsymbol{x} + c\boldsymbol{y})$ なので $\boldsymbol{x} + c\boldsymbol{y} \in W_\lambda$ です。
$W_\lambda$ は $\boldsymbol{0}$ を含みますが、$\boldsymbol{0}$ は固有ベクトルではありません。整理すると、
$$
\lambda \text{ が } A \text{ の固有値} \iff W_\lambda \ne \{\boldsymbol{0}\} \iff \dim W_\lambda \ge 1
$$
であり、このとき $W_\lambda$ から $\boldsymbol{0}$ を除いたものが「$\lambda$ に属する固有ベクトル全体」です。$\boldsymbol{0}$ を仲間に入れておくと部分空間になって扱いやすい、というのが $W_\lambda$ の定義に $\boldsymbol{0}$ を含める理由です。
実用上は、$W_\lambda$ を求めることは連立一次方程式 $(A - \lambda I)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ の解空間を求めることであり、掃き出し法で機械的に計算できます。次元は次元定理から
$$
\dim W_\lambda = n - \operatorname{rank}(A - \lambda I)
$$
で求まります。
固有空間の最も重要な性質は、異なる固有値の固有空間が「重ならない」ことです。
$A \in M_n(K)$ とし、$\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in K$ を**互いに相異なる** $A$ の固有値、$\boldsymbol{v}_i$ を $\lambda_i$ に属する固有ベクトル（$i = 1,\ldots,k$）とする。このとき $\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_k$ は一次独立である。
$k$ についての数学的帰納法で示します（帰納法の形式については [証明の技術](/mathematics/foundations/proof-techniques) を参照してください）。
**$k = 1$ の場合。** 固有ベクトルの定義（
## 6. 二つの重複度
の例では固有値 $5$ が特性多項式の二重根でした。一方、固有空間の次元も $2$ になるとは限りません。重複の数え方が二通りあり、それらが一般には一致しないことが、この節の主題です。
$\lambda$ を $A \in M_n(K)$ の固有値とする。
- $\varphi_A(t) = (t - \lambda)^m g(t)$、$g(\lambda) \ne 0$ を満たす整数 $m \ge 1$ を $\lambda$ の**代数的重複度**といい、$m_a(\lambda)$ と書く（$K[t]$ における一意分解性から、このような $m$ と $g$ は一意に定まる）。
- $m_g(\lambda) := \dim W_\lambda$ を $\lambda$ の**幾何学的重複度**という。
代数的重複度は「特性方程式の根として何重か」、幾何学的重複度は「その固有値の固有方向がどれだけ豊富か」を測っています。両者は無関係ではなく、次の一方向の不等式で結ばれています。
$\lambda$ を $A \in M_n(K)$ の固有値とすると
$$
1 \le m_g(\lambda) \le m_a(\lambda) \le n
$$
が成り立つ。
**左端の不等式。** $\lambda$ が固有値なので、
## 7. 応用 — 行列のべき乗とデータの主軸
フィボナッチ数列 $F_0 = 0$、$F_1 = 1$、$F_{k+1} = F_k + F_{k-1}$ を考えます。この漸化式は
$$
\begin{pmatrix} F_{k+1} \\ F_k \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} F_k \\ F_{k-1}\end{pmatrix}, \qquad A := \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}
$$
とベクトルの形に書けます。したがって $\begin{pmatrix} F_{k+1} \\ F_k\end{pmatrix} = A^k \begin{pmatrix} F_1 \\ F_0 \end{pmatrix} = A^k\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ です。$A^k$ を求めるのに固有値を使います。
$$
\varphi_A(t) = \det\begin{pmatrix} t-1 & -1 \\ -1 & t\end{pmatrix} = t(t-1) - 1 = t^2 - t - 1
$$
なので、固有値は
$$
\phi = \frac{1+\sqrt5}{2}, \qquad \psi = \frac{1-\sqrt5}{2}
$$
です（黄金比とその共役）。相異なる 2 個の固有値があるので、
## 8. 演習
$$
A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}
$$
のすべての固有値、それぞれの固有空間、代数的重複度と幾何学的重複度を求めよ。また $A$ が対角化可能かどうか判定せよ。
特性多項式を計算します。
$$
\varphi_A(t) = \det \begin{pmatrix} t-3 & -1 & -1 \\ -1 & t-3 & -1 \\ -1 & -1 & t-3\end{pmatrix}
$$
第 2 行と第 3 行を第 1 行に加えます（行列式は変わりません）。第 1 行の各成分は $(t-3) - 1 - 1 = t-5$ になるので、第 1 行から $t-5$ をくくり出して
$$
\varphi_A(t) = (t-5)\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & t-3 & -1 \\ -1 & -1 & t-3 \end{pmatrix}
$$
を得ます。次に第 1 行を第 2 行と第 3 行にそれぞれ加えると
$$
\varphi_A(t) = (t-5)\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & t-2 & 0 \\ 0 & 0 & t-2 \end{pmatrix} = (t-5)(t-2)^2
$$
です（最後は上三角行列の行列式）。よって固有値は $\lambda = 5$（$m_a = 1$）と $\lambda = 2$（$m_a = 2$）です。
$\lambda = 5$ のとき、$A - 5I = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2\end{pmatrix}$ です。第 1 行と第 2 行を足すと $(-1,-1,2)$、これに第 3 行を足すと $\boldsymbol{0}$ になるので、3 本の行の和は $\boldsymbol{0}$、すなわち $\operatorname{rank} \le 2$ です。第 1 行と第 2 行は互いに定数倍でないので $\operatorname{rank} = 2$、したがって $\dim W_5 = 3 - 2 = 1$ です。方程式を解くと、第 1 式と第 2 式の差から $3x_1 - 3x_2 = 0$ すなわち $x_1 = x_2$、同様に $x_2 = x_3$ なので
$$
W_5 = \operatorname{span}\{(1,1,1)^{\mathsf{T}}\}, \qquad m_g(5) = 1 .
$$
検算すると $A(1,1,1)^{\mathsf{T}} = (5,5,5)^{\mathsf{T}} = 5(1,1,1)^{\mathsf{T}}$ です。
$\lambda = 2$ のとき、$A - 2I = \begin{pmatrix} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$ で、これは階数 $1$ です。方程式は $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ の 1 本だけなので
$$
W_2 = \{ \boldsymbol{x} : x_1 + x_2 + x_3 = 0\} = \operatorname{span}\{(1,-1,0)^{\mathsf{T}}, (1,0,-1)^{\mathsf{T}}\}, \qquad m_g(2) = 2 .
$$
$m_g(5) + m_g(2) = 1 + 2 = 3 = n$ なので、
## 参考文献
- 齋藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会、1966 — 第 5 章（固有値と固有ベクトル、対角化）。日本語の標準的な教科書で、この記事の内容はおおむね同章に対応します。
- 佐武一郎『線型代数学』裳華房、1974 — 第 III 章・第 IV 章。特性多項式と最小多項式の関係、標準形への接続が丁寧です。
- Sheldon Axler, *Linear Algebra Done Right*, 4th ed., Springer, 2024 — Chapter 5（Eigenvalues and Eigenvectors）。行列式を使わずに固有値の存在を示す構成で、この記事とは異なる筋道が学べます。オープンアクセス版が [linear.axler.net](https://linear.axler.net/) で公開されています。
- Gilbert Strang, *Introduction to Linear Algebra*, 5th ed., Wellesley-Cambridge Press, 2016 — Chapter 6（Eigenvalues and Eigenvectors）。応用（差分方程式、微分方程式、主成分分析）との接続が豊富です。
- Roger A. Horn and Charles R. Johnson, *Matrix Analysis*, 2nd ed., Cambridge University Press, 2013 — Chapter 1。重複度、相似不変量についての厳密で網羅的な記述があります。
- Lloyd N. Trefethen and David Bau III, *Numerical Linear Algebra*, SIAM, 1997 — Lecture 24–28。特性方程式を解くのではない固有値計算の方法（べき乗法、QR 法）を扱います。
## Appendix: 数値計算では特性方程式を解かない
**手計算と数値計算の断絶。** この記事では固有値を「特性方程式の根」として求めました。手で計算する 2 次・3 次の行列ではこれが最短ですが、計算機で $1000$ 次の行列を扱うとき、この方法は使われません。理由は二つあります。
第一に、$5$ 次以上の一般の多項式には四則演算と冪根による解の公式が存在しません（アーベル・ルフィニの定理）。したがって $5$ 次以上の行列については、そもそも「特性方程式を代数的に解く」ことができません。固有値の計算は本質的に反復的（近似を繰り返して精度を上げる）にならざるをえない、ということです。
第二に、より実際的な問題として、多項式の根は係数の微小な変化に対して極めて敏感になることがあります。ウィルキンソンが挙げた有名な例では、$\prod_{k=1}^{20}(t - k)$ という根が $1,2,\ldots,20$ の多項式で、$t^{19}$ の係数を $2^{-23}$ ほど動かすだけで、いくつかの根が複素平面上へ大きく動きます。特性多項式の係数を経由すると、行列そのものは素直なのに途中で精度が壊れる、という事態が起こります。
**実際に使われる方法。** 代わりに用いられるのは、行列に直接作用する反復法です。最も素朴なのはべき乗法で、適当な初期ベクトル $\boldsymbol{x}_0$ から $\boldsymbol{x}_{k+1} = A\boldsymbol{x}_k / \|A\boldsymbol{x}_k\|$ を繰り返します。
で見たように、べき乗を繰り返すと絶対値最大の固有値に属する成分が支配的になるため、$\boldsymbol{x}_k$ はその固有ベクトルの方向に収束します。すべての固有値を求めるには QR 法が標準で、直交行列による相似変換を繰り返して行列を上三角形に近づけていきます。相似変換で固有値が変わらないことは
、上三角行列の固有値が対角成分であることは
が保証しています。この記事で証明した二つの事実が、そのまま数値アルゴリズムの正当性の土台になっているわけです。
**向きが逆になる話。** 面白いことに、実務では逆向きの使い方もされます。多項式 $p(t) = t^n + c_{n-1}t^{n-1} + \cdots + c_0$ の根を数値的に求めたいとき、$p$ を特性多項式として持つ行列（コンパニオン行列）を作り、その固有値を QR 法で計算するのです。NumPy の `numpy.roots` はこの方法を採っています。多項式の根を求めるために固有値計算に帰着させる、という順序は、手計算の直観とはちょうど反対です。