## 2. 準備：基底の取り替えと相似
$V$ を体 $K$ 上の $n$ 次元ベクトル空間、$T \colon V \to V$ を線形変換とします。基底 $\mathcal{B} = (b_1, \ldots, b_n)$ を固定すると、各 $T b_j$ を基底で展開した係数を並べて表現行列 $A$ が定まりました。別の基底 $\mathcal{C} = (c_1, \ldots, c_n)$ を取り、$c_j$ を $\mathcal{B}$ で展開した係数を第 $j$ 列に並べた行列を $P$ とします。$P$ は基底から基底への変換なので正則で、$\mathcal{C}$ に関する表現行列は $P^{-1} A P$ になります（
）。
|"D = P⁻¹AP を掛ける"| c2["Tv の C 座標"]
c1 -->|"P を掛ける"| b1["v の B 座標"]
b1 -->|"A を掛ける"| b2["Tv の B 座標"]
c2 -->|"P を掛ける"| b2`} />
この「見え方の違い」を行列の言葉だけで書いたのが次の関係です。
$A, B \in M_n(K)$ に対し、ある正則行列 $P \in GL_n(K)$ が存在して $B = P^{-1} A P$ となるとき、$A$ と $B$ は**相似**であるといい、$A \sim B$ と書く。
相似は同値関係です（$P = I$ で反射律、$A = (P^{-1})^{-1} B P^{-1}$ で対称律、$Q^{-1}(P^{-1}AP)Q = (PQ)^{-1}A(PQ)$ で推移律）。同値関係については [関係と同値関係](/mathematics/foundations/equivalence-relations) の
を参照してください。相似な行列は**同じ変換の別の座標での姿**ですから、変換そのものの性質は相似で変わらないはずです。それを確認します。
$A \sim B$ ならば、次が成り立つ。
1. $A$ と $B$ の固有多項式は一致する。すなわち $\det(tI - A) = \det(tI - B)$。したがって固有値の全体も、各固有値の代数的重複度も一致する。
2. $\operatorname{tr} A = \operatorname{tr} B$、$\det A = \det B$。
3. 任意のスカラー $\lambda \in K$ と任意の整数 $j \ge 0$ に対し $\operatorname{rank}(A - \lambda I)^j = \operatorname{rank}(B - \lambda I)^j$。
$B = P^{-1}AP$ とします。
(1) $tI = P^{-1}(tI)P$ ですから
$$
tI - B = P^{-1}(tI)P - P^{-1}AP = P^{-1}(tI - A)P
$$
となります。行列式の乗法性（[行列式とその性質](/mathematics/linear-algebra/determinants) の
## 3. 対角化可能性の判定
$A \in M_n(K)$ が $K$ 上**対角化可能**であるとは、ある正則行列 $P \in GL_n(K)$ と対角行列 $D \in M_n(K)$ が存在して $P^{-1}AP = D$ となることをいう。このとき $P$ を対角化する行列、$D$ を $A$ の対角形という。
「対角化可能」は $A$ 単独の性質ではなく、**どの体の上で考えるか**に依存します。この点は後で反例とともに確認します。まず、対角化という代数的な条件が、幾何的には何を意味するかを押さえます。
$A \in M_n(K)$ について、次の 2 条件は同値である。
1. $A$ は $K$ 上対角化可能である。
2. $K^n$ は $A$ の固有ベクトルからなる基底をもつ。
さらにこのとき、(2) の基底 $(p_1, \ldots, p_n)$ を列に並べた行列 $P = (p_1\ \cdots\ p_n)$ に対して $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ が成り立つ。ここで $\lambda_i$ は $p_i$ に対応する固有値である。
どちらの向きも、等式 $P^{-1}AP = D$ を $AP = PD$ と書き直して**列ごとに**読むのが鍵です。$P$ の第 $i$ 列を $p_i$、$D = \operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ とすると、行列の積の定義から
$$
(AP)\text{ の第 } i \text{ 列} = A p_i, \qquad (PD)\text{ の第 } i \text{ 列} = \lambda_i p_i
$$
です。後者は、$D$ の第 $i$ 列が $\lambda_i e_i$ であることから従います。したがって
$$
AP = PD \iff A p_i = \lambda_i p_i \quad (i = 1, \ldots, n)
$$
が成り立ちます。
(1) $\Rightarrow$ (2)：$P^{-1}AP = D$ とすると上の同値から $Ap_i = \lambda_i p_i$ です。$P$ は正則なので $p_i \ne 0$ であり、$p_i$ は固有値 $\lambda_i$ の固有ベクトルです。また $P$ が正則であることは、その列 $p_1, \ldots, p_n$ が $K^n$ の基底をなすことと同値ですから、(2) が得られます。
(2) $\Rightarrow$ (1)：固有ベクトルからなる基底 $(p_1,\ldots,p_n)$ を取り、$Ap_i = \lambda_i p_i$ とします。これらを列に並べた $P$ は基底を列にもつので正則です。上の同値より $AP = PD$、すなわち $P^{-1}AP = D$ となります。
つまり対角化とは、**固有ベクトルを座標軸に採用すること**にほかなりません。対角化できるかどうかは「固有ベクトルが十分たくさんあるか」という一点にかかっています。では、どういうときに足りなくなるのでしょうか。まず、足りることを保証する十分条件から見ます。
$A \in M_n(K)$ の相異なる固有値 $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$ に対し、$v_i$ を $\lambda_i$ に属する固有ベクトル（$v_i \ne 0$、$Av_i = \lambda_i v_i$）とする。このとき $v_1, \ldots, v_r$ は一次独立である。
$r$ についての帰納法で示します（帰納法については [証明の技術](/mathematics/foundations/proof-techniques) の
固有値に重複があるときが問題です。重複度には 2 種類あり、その食い違いが対角化を妨げます。
$\lambda$ を $A \in M_n(K)$ の固有値とする。固有多項式 $\chi_A(t) = \det(tI - A)$ における因子 $(t-\lambda)$ の重複度、すなわち $\chi_A(t) = (t-\lambda)^m g(t)$、$g(\lambda) \ne 0$ となる $m$ を $\lambda$ の**代数的重複度**といい $m_a(\lambda)$ と書く。一方、固有空間
$$
E_\lambda = \ker(A - \lambda I) = \{\,x \in K^n : Ax = \lambda x\,\}
$$
の次元 $\dim E_\lambda = n - \operatorname{rank}(A - \lambda I)$ を $\lambda$ の**幾何的重複度**といい $m_g(\lambda)$ と書く。
代数的重複度は「特性方程式の根としての多重度」という代数的な量、幾何的重複度は「その固有値に属する独立な方向の本数」という幾何的な量です。両者はつねに一致するとは限らず、次の一方向の不等式だけが成り立ちます。
$\lambda$ を $A \in M_n(K)$ の固有値とすると
$$
1 \le m_g(\lambda) \le m_a(\lambda) \le n
$$
が成り立つ。
$\lambda$ は固有値なので固有ベクトルが存在し、$m_g(\lambda) = \dim E_\lambda \ge 1$ です。$m_a(\lambda) \le n$ は固有多項式の次数が $n$ であることから従います。残るは $m_g(\lambda) \le m_a(\lambda)$ です。
$m = m_g(\lambda)$ とおき、$E_\lambda$ の基底 $(u_1, \ldots, u_m)$ を取り、これを $K^n$ の基底 $(u_1, \ldots, u_m, u_{m+1}, \ldots, u_n)$ に延長します（基底の延長ができることは [ベクトル空間と線形変換](/mathematics/linear-algebra/vector-spaces) の
これで判定条件を述べる準備が整いました。
$A \in M_n(K)$ が $K$ 上対角化可能であるための必要十分条件は、次の 2 つがともに成り立つことである。
1. 固有多項式 $\chi_A(t)$ が $K$ 上で 1 次式の積に分解する。すなわち相異なる $\lambda_1, \ldots, \lambda_s \in K$ と正整数 $m_1, \ldots, m_s$ により $\chi_A(t) = \prod_{i=1}^{s}(t-\lambda_i)^{m_i}$ と書ける。
2. すべての固有値 $\lambda_i$ について $m_g(\lambda_i) = m_a(\lambda_i)$ が成り立つ。
同値な言い換えとして、$A$ が対角化可能であることと $\sum_{i=1}^{s} m_g(\lambda_i) = n$ であることは同値である。
**必要性。** $P^{-1}AP = D = \operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n)$ とします。$\chi_D(t) = \prod_{j=1}^n (t - d_j)$ は 1 次式の積であり、
## 4. 対角化の御利益：べき乗・行列関数・線形システム
$P^{-1}AP = D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ とする。このとき次が成り立つ。
1. 任意の整数 $k \ge 0$ に対し $A^k = PD^kP^{-1} = P\operatorname{diag}(\lambda_1^k, \ldots, \lambda_n^k)P^{-1}$。$A$ が正則ならば負の整数 $k$ に対しても成り立つ。
2. 任意の多項式 $f \in K[t]$ に対し $f(A) = P\operatorname{diag}(f(\lambda_1), \ldots, f(\lambda_n))P^{-1}$。
3. $K = \mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とし、べき級数 $f(z) = \sum_{k\ge 0} a_kz^k$ が各 $\lambda_i$ で絶対収束するとする。このとき $f(A) = \sum_{k \ge 0}a_kA^k$ は収束し、$f(A) = P\operatorname{diag}(f(\lambda_1), \ldots, f(\lambda_n))P^{-1}$ が成り立つ。とくに $e^{A} = P\operatorname{diag}(e^{\lambda_1},\ldots,e^{\lambda_n})P^{-1}$ である。
(1) $A = PDP^{-1}$ です。$k$ についての帰納法で示します。$k=0$ では両辺とも $I$ です。$A^k = PD^kP^{-1}$ を仮定すると
$$
A^{k+1} = A^kA = (PD^kP^{-1})(PDP^{-1}) = PD^k(P^{-1}P)DP^{-1} = PD^{k+1}P^{-1}
$$
となります。対角行列のべきは各成分のべきです。$A$ が正則なら $\lambda_i$ はすべて $0$ でなく（$\det A = \prod \lambda_i \ne 0$）、$A^{-1} = PD^{-1}P^{-1}$ から同様に負べきも従います。
(2) $f(t) = \sum_k a_kt^k$ とすると、(1) と和・スカラー倍の分配から
$$
f(A) = \sum_k a_kPD^kP^{-1} = P\Bigl(\sum_k a_kD^k\Bigr)P^{-1} = Pf(D)P^{-1}
$$
です。対角行列の多項式は対角成分ごとの多項式なので $f(D) = \operatorname{diag}(f(\lambda_i))$ です。
(3) 部分和 $S_m = \sum_{k=0}^{m}a_kA^k$ は (2) より $S_m = P\bigl(\sum_{k=0}^m a_kD^k\bigr)P^{-1}$ です。$\sum_{k=0}^m a_kD^k = \operatorname{diag}\bigl(\sum_{k=0}^m a_k\lambda_i^k\bigr)$ は仮定より $m \to \infty$ で成分ごとに $\operatorname{diag}(f(\lambda_i))$ に収束します。写像 $X \mapsto PXP^{-1}$ は有限次元空間上の線形写像なので連続であり、極限と交換します。よって $S_m \to P\operatorname{diag}(f(\lambda_i))P^{-1}$ となります。
この命題の意味は「**対角化とは、行列の世界の問題をスカラーの世界の問題 $n$ 個に翻訳する辞書である**」ということです。翻訳して各軸で計算し、$P$ で元の座標に戻すだけです。典型的な応用を 1 つ、最後まで計算して見せます。
$F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$ で定まる数列を考えます。$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ とおくと
$$
A\begin{pmatrix} F_n \\ F_{n-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_n + F_{n-1} \\ F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_{n}\end{pmatrix}
$$
なので、$(F_1, F_0)^{\mathsf{T}} = (1,0)^{\mathsf{T}}$ から出発して
$$
\begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}
$$
が成り立ちます。あとは $A^n$ です。固有多項式は $\det\begin{pmatrix} t-1 & -1 \\ -1 & t\end{pmatrix} = t(t-1) - 1 = t^2 - t - 1$ で、根は
$$
\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}, \qquad \psi = \frac{1-\sqrt5}{2}
$$
です。相異なる 2 実根なので
同じ仕組みが連立線形微分方程式にも効きます。$\frac{d}{dt}\boldsymbol{x}(t) = A\boldsymbol{x}(t)$、$\boldsymbol{x}(0) = \boldsymbol{x}_0$ の解は $\boldsymbol{x}(t) = e^{tA}\boldsymbol{x}_0$ ですが、
(3) より $A$ が対角化可能なら
$$
\boldsymbol{x}(t) = P\operatorname{diag}(e^{\lambda_1t},\ldots,e^{\lambda_nt})P^{-1}\boldsymbol{x}_0
$$
です。固有ベクトルの方向ごとに独立な指数関数が走り、$\operatorname{Re}\lambda_i < 0$ がすべての $i$ で成り立てば解は $0$ に収束します。これが線形系の安定性判定の原理です。
## 5. 実対称行列はつねに直交行列で対角化できる
対角化できない行列があると分かった以上、「この種類なら必ず対角化できる」という十分条件が欲しくなります。応用上いちばん重要なのが実対称行列です。$A^{\mathsf{T}} = A$ という一見些細な条件が、固有値の実数性・固有ベクトルの直交性・対角化可能性のすべてを一挙に与えます。以下、$\mathbb{R}^n$ には標準内積 $\langle x, y\rangle = x^{\mathsf{T}}y$ を、$\mathbb{C}^n$ には $\langle x, y\rangle = \bar{x}^{\mathsf{T}}y$ を入れて考えます（[内積空間とグラム・シュミット直交化](/mathematics/linear-algebra/inner-product-spaces) の
を参照してください）。
$A \in M_n(\mathbb{R})$ が $A^{\mathsf{T}} = A$ を満たすとする。このとき次が成り立つ。
1. $A$ を複素行列とみなしたときの固有値はすべて実数である。したがって固有ベクトルも実ベクトルの範囲で取れる。
2. 相異なる固有値 $\lambda \ne \mu$ に属する固有ベクトル $v, w \in \mathbb{R}^n$ は直交する。すなわち $\langle v, w\rangle = 0$。
(1) $\lambda \in \mathbb{C}$ を固有値、$v \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\}$ を対応する固有ベクトルとし、$Av = \lambda v$ とします。$v^{*} = \bar{v}^{\mathsf{T}}$ と書き、スカラー $\alpha = v^{*}Av$ を考えます。一方では
$$
\alpha = v^{*}(\lambda v) = \lambda\, v^{*}v = \lambda \|v\|^2
$$
です。他方、$1\times 1$ 行列の共役転置はそれ自身の複素共役ですから
$$
\bar{\alpha} = (v^{*}Av)^{*} = v^{*}A^{*}v = v^{*}Av = \alpha
$$
となります。ここで $A$ が実行列で対称であることから $A^{*} = \bar{A}^{\mathsf{T}} = A^{\mathsf{T}} = A$ を使いました。$\bar\alpha = \alpha$ なので $\alpha$ は実数です。$\|v\|^2 > 0$ は正の実数なので $\lambda = \alpha/\|v\|^2$ も実数です。$\lambda$ が実数なら $A - \lambda I$ は実行列であり、実の連立一次方程式 $(A-\lambda I)x = 0$ が非自明解をもつので、実ベクトルの固有ベクトルが取れます。
(2) $Av = \lambda v$, $Aw = \mu w$ とします。$A^{\mathsf{T}} = A$ より
$$
\lambda\langle v, w\rangle = (\lambda v)^{\mathsf{T}}w = (Av)^{\mathsf{T}}w = v^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}w = v^{\mathsf{T}}(Aw) = \mu\, v^{\mathsf{T}}w = \mu\langle v,w\rangle
$$
です。よって $(\lambda - \mu)\langle v,w\rangle = 0$ となり、$\lambda \ne \mu$ から $\langle v,w\rangle = 0$ を得ます。
$A \in M_n(\mathbb{R})$ が $A^{\mathsf{T}} = A$ を満たすとする。このとき直交行列 $Q \in M_n(\mathbb{R})$（$Q^{\mathsf{T}}Q = I$）と実対角行列 $D = \operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ が存在して
$$
Q^{\mathsf{T}}AQ = D, \qquad \text{すなわち} \qquad A = QDQ^{\mathsf{T}} = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i q_iq_i^{\mathsf{T}}
$$
が成り立つ。ここで $q_i$ は $Q$ の第 $i$ 列である。言い換えると、$\mathbb{R}^n$ は $A$ の固有ベクトルからなる正規直交基底をもつ。
$n$ についての帰納法で示します。
$n = 1$ のときは $Q = (1)$ とすればよく、主張は自明に成り立ちます。
$n \ge 2$ とし、$n-1$ 次以下の実対称行列について主張が成り立つと仮定します。固有多項式 $\chi_A$ は $\mathbb{C}$ 上に根をもつ（代数学の基本定理）ので $A$ は複素固有値をもち、
幾何的に言えば、実対称行列は**直交する $n$ 本の軸を保ち、それぞれを $\lambda_i$ 倍に伸縮する変換**です。回転やせん断のような「軸のねじれ」は起こりません。複素行列（エルミート行列・正規行列）への一般化は [スペクトル定理](/mathematics/linear-algebra/spectral-theorem) の
で扱います。
$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$ は対称です。$\chi_A(t) = (t-2)^2 - 1 = (t-3)(t-1)$ で固有値は $3, 1$。$\lambda = 3$ では $\begin{pmatrix}-1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}x = 0$ より $q_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1,1)^{\mathsf{T}}$、$\lambda = 1$ では $q_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1,-1)^{\mathsf{T}}$ です。
## 6. 対角化できないとき：ジョルダン標準形
で見たとおり、$\mathbb{C}$ 上では固有多項式はつねに 1 次式の積に分解するので、対角化の障害は $m_g(\lambda) < m_a(\lambda)$、つまり**固有ベクトルの本数不足**だけです。足りない分をどう補うか。
のせん断行列 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ は、対角化はできないものの、すでに「対角成分の 1 つ上に $1$ が 1 個あるだけ」という十分単純な形をしています。一般の行列もここまでは簡単にできる、というのがジョルダンの定理です。
$\lambda \in \mathbb{C}$ と正整数 $m$ に対し、$m$ 次正方行列
$$
J_m(\lambda) = \begin{pmatrix}
\lambda & 1 & & \\
& \lambda & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
& & & \lambda
\end{pmatrix} = \lambda I_m + N_m
$$
を固有値 $\lambda$ の $m$ 次**ジョルダン細胞**という。ここで $N_m$ は $(i, i+1)$ 成分がすべて $1$、他が $0$ の $m$ 次行列（記していない成分はすべて $0$）である。ジョルダン細胞をブロック対角に並べた行列
$$
J = J_{m_1}(\lambda_1)\oplus \cdots \oplus J_{m_r}(\lambda_r)
$$
を**ジョルダン標準形**という（$\lambda_i$ は重複してよい）。$m_i = 1$ の細胞は $1$ 次の $(\lambda_i)$ であり、すべての細胞が $1$ 次のときジョルダン標準形は対角行列になる。
$J_m(\lambda)$ の意味は、$N_m$ の作用を見るとはっきりします。$N_m e_1 = 0$、$N_m e_j = e_{j-1}$ $(j \ge 2)$ なので、$N_m$ は基底ベクトルを 1 つずつ「押し下げて」いき、$m$ 回で $0$ になります（$N_m^m = O$）。つまり $A - \lambda I$ が作る 1 本の鎖が 1 つの細胞に対応します。
$A \in M_n(\mathbb{C})$ とする。このとき正則行列 $P \in GL_n(\mathbb{C})$、複素数 $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$（重複を許す）、正整数 $m_1, \ldots, m_r$（$m_1 + \cdots + m_r = n$）が存在して
$$
P^{-1}AP = J_{m_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{m_r}(\lambda_r)
$$
となる。さらに、現れる細胞の組（対 $(\lambda_i, m_i)$ の多重集合）は $A$ のみによって定まり、細胞を並べる順序を除いて一意である。各 $\lambda_i$ は $A$ の固有値であり、固有値 $\lambda$ の細胞の大きさの総和は $m_a(\lambda)$、細胞の個数は $m_g(\lambda)$ に等しい。
存在についてはここでは骨格のみを示し、詳細は Appendix と参考文献に譲ります。3 段階に分かれます。
**第 1 段階（一般化固有空間への分解）。** $A$ の相異なる固有値を $\mu_1,\ldots,\mu_s$ とし、$\tilde{E}_{\mu_i} = \ker(A-\mu_iI)^n$ とおくと
$$
\mathbb{C}^n = \tilde{E}_{\mu_1}\oplus\cdots\oplus\tilde{E}_{\mu_s}
$$
であり、各 $\tilde{E}_{\mu_i}$ は $A$ で不変です。これにより問題は「固有値がただ 1 つの場合」に帰着します。
**第 2 段階（冪零への還元）。** $\tilde{E}_{\mu}$ の上では $N = A - \mu I$ は冪零、すなわちある $k$ で $N^k = O$ です（定義から $N^n = O$）。$A = \mu I + N$ なので、$N$ を細胞の形にできれば $A$ も細胞の形になります。
**第 3 段階（冪零作用素の鎖分解）。** 冪零作用素 $N$ に対しては、上図のような鎖からなる基底が取れます。$N^{k}=O$、$N^{k-1}\ne O$ として、$\ker N^{k-1}$ の外にあるベクトル $u$ を取ると $u, Nu, \ldots, N^{k-1}u$ は一次独立な鎖をなします。これで張られる部分空間を除いて次元に関する帰納法を回すと、空間全体が鎖の直和に分かれます。鎖 1 本を長さの順に並べた基底に関する $N$ の行列は $N_m$ そのものなので、$A$ の行列は $J_m(\mu)$ になります。
一意性は完全に示せます。
## 7. 演習
$A, B \in M_n(K)$ が相似ならば $\operatorname{tr}A = \operatorname{tr}B$ かつ $\det A = \det B$ であることを示してください。また、$\operatorname{tr}$ と $\det$ と固有多項式がすべて一致しても相似とは限らないことを、$2$ 次の具体例で示してください。
前半は
## 参考文献
- 齋藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会、1966 — 第 5 章（固有値と固有ベクトル）、第 6 章（単因子およびジョルダンの標準形）。
- 佐武一郎『線型代数学（新装版）』裳華房、2015 — 単因子論を経由してジョルダン標準形を構成する流儀の標準的な文献。
- Sheldon Axler, *Linear Algebra Done Right*, 3rd ed., Springer, 2015 — Chapter 7（内積空間上の作用素とスペクトル定理）、Chapter 8（複素ベクトル空間上の作用素と一般化固有ベクトル）。
- Roger A. Horn and Charles R. Johnson, *Matrix Analysis*, 2nd ed., Cambridge University Press, 2013 — Chapter 3（相似に関する標準形とジョルダン標準形）。
- Gilbert Strang, *Introduction to Linear Algebra*, 5th ed., Wellesley-Cambridge Press, 2016 — Chapter 6（固有値と固有ベクトル、対角化と対称行列）。
- Lloyd N. Trefethen and David Bau III, *Numerical Linear Algebra*, SIAM, 1997 — Part V（固有値問題。対角化を数値計算にそのまま使うことの危うさについて）。
## Appendix: 一般化固有空間分解の骨組み
の第 1 段階と第 3 段階について、証明の骨組みを補います。$A \in M_n(\mathbb{C})$ を固定し、$\lambda$ をその固有値、$N = A - \lambda I$ とします。
**核の増大列は必ず止まります。** $\ker N \subseteq \ker N^2 \subseteq \cdots$ は明らかに増大列です（$N^jx = 0$ なら $N^{j+1}x = N(N^jx) = 0$）。次元は $n$ で頭打ちなので、ある $k \le n$ で $\ker N^{k} = \ker N^{k+1}$ となります。さらに、いったん等号が成り立てばその先もずっと等号です。実際 $x \in \ker N^{k+2}$ とすると $Nx \in \ker N^{k+1} = \ker N^{k}$ なので $N^{k}(Nx) = 0$、すなわち $x \in \ker N^{k+1}$ です。したがって $\ker N^{n} = \ker N^{n+1} = \cdots$ であり、これを $\tilde{E}_\lambda$（一般化固有空間）と書きます。
**空間は核と像に分かれます。** $M = N^{n}$ とおくと $\mathbb{C}^n = \ker M \oplus \operatorname{im} M$ が成り立ちます。まず次元は次元定理（階数・退化次数の関係）より $\dim\ker M + \dim\operatorname{im}M = n$ です。交わりが $0$ であることを見ます。$x \in \ker M \cap \operatorname{im}M$ とすると $x = My$ と書け、$0 = Mx = M^2y = N^{2n}y$ です。前段落より $\ker N^{2n} = \ker N^{n}$ なので $y \in \ker N^n = \ker M$、よって $x = My = 0$ です。次元の和が $n$ で交わりが $0$ なら直和分解になります。$\ker M$ と $\operatorname{im}M$ はどちらも $A$ で不変です（$A$ と $M$ が可換だから）。
**残りの部分では $\lambda$ は固有値ではありません。** $\operatorname{im}M$ 上で $N$ は単射です（$x = My$ かつ $Nx = 0$ なら $x \in \ker N \cap \operatorname{im}M \subseteq \ker M\cap\operatorname{im}M = 0$）。つまり $\operatorname{im}M$ に制限した $A$ は固有値 $\lambda$ をもちません。よって固有値の個数に関する帰納法により、$\mathbb{C}^n$ はすべての固有値の一般化固有空間の直和に分かれます。
**冪零作用素は鎖に分かれます。** $\tilde{E}_\lambda$ 上で $N$ は冪零です。$N^{k} = O$、$N^{k-1}\ne O$ とし、$N^{k-1}u \ne 0$ となる $u$ を取ると、$u, Nu, \ldots, N^{k-1}u$ は一次独立です（$c_0u + c_1Nu+\cdots+c_{k-1}N^{k-1}u = 0$ に $N^{k-1}$ を掛けると $c_0N^{k-1}u = 0$ より $c_0 = 0$、以下 $N^{k-2}$ を掛けて $c_1 = 0$、と順に決まります）。この鎖が張る $N$ 不変部分空間を $U$ とすると、$U$ の $N$ 不変な補空間が取れることが示せ、その補空間で次元に関する帰納法を回すと、空間全体が鎖の直和になります。鎖を「短いものから長いものへ」並べれば、その基底に関する行列がジョルダン標準形です。この最後の補空間の存在が技術的な山場で、詳細は参考文献に挙げた各書を参照してください。