# Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性

> 可解・冪零 Lie 環を定義し、Engel の定理と Lie の定理を証明する。Jordan–Chevalley 分解から Cartan の判定法を導き、半単純性と Killing 形式の非退化性の同値、単純イデアルへの分解、Weyl の完全可約性、sl(2,C) の有限次元表現の分類まで示す。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/lie-theory/structure-of-lie-algebras

## 0. この記事の要点

行列の集まりに、交換子 $[x,y]=xy-yx$ を組み合わせて考えたものが Lie 環でした。大きな Lie 環を調べるとき、素朴な疑問は「どこまで小さな部品に分けられるのか」「分けた部品はそれ以上こわれない形なのか」です。この記事は、分けにくい部分とうまく分けられる部分を見分ける判定法を作り、最後に最も小さい非可換な例 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ の表現をすべて書き下します。

- Lie 環は「可解な部分（根基）」と「半単純な部分」に分けて調べます。この記事は両者を判定する道具をそろえます。
- **Engel の定理**: すべての $\operatorname{ad}x$（$y\mapsto[x,y]$ という線形変換）が冪零なら Lie 環は冪零です。**Lie の定理**: $\mathbb{C}$ 上の可解 Lie 環の有限次元表現は同時に上三角化できます。
- **Cartan の判定法**: $\operatorname{tr}(xy)=0$（$x\in[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$、$y\in\mathfrak{g}$）なら可解です。証明の鍵は行列の Jordan–Chevalley 分解と、固有値の $\mathbb{Q}$ 線形汎関数を使う巧妙な議論です。
- その帰結として、半単純であることと **Killing 形式** $\kappa(x,y)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}x\operatorname{ad}y)$ が非退化であることは同値で、半単純 Lie 環は単純イデアルの直和に一意に分解し、微分はすべて内部微分です。
- **Weyl の完全可約性**: 半単純 Lie 環の有限次元表現は既約表現の直和です。Casimir 作用素（表現ごとに決まる、すべての作用と可換な作用素）で 1 次元の補空間を切り出すのが要点です。
- $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ の既約表現は各次元に 1 つずつで、$h$ の固有値は $m,m-2,\dots,-m$ です。これは次章以降のルート系と最高ウェイト理論の基礎になります。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **対角化可能**: 適当な基底をとると対角行列で表せる、という性質。→ [対角化可能](/mathematics/linear-algebra/diagonalization-and-jordan-form#def-diagonalizable)
- **ジョルダン標準形**: 行列を、固有値ごとのブロックに分けて簡単な形にしたもの。→ [対角化とジョルダン標準形](/mathematics/linear-algebra/diagonalization-and-jordan-form)
- **随伴表現**: Lie 環が自分自身に $y\mapsto[x,y]$ と作用する表現。→ [随伴表現](/mathematics/manifolds/lie-groups#def-adjoint)
- **既約表現**: 0 でも全体でもない不変部分空間をもたない表現。→ [既約表現](/mathematics/algebra/group-representations#def-representation)
- **行列 Lie 群と Lie 環**: 行列の群からその Lie 環を作る対応。→ [行列 Lie 群と指数写像](/mathematics/lie-theory/matrix-lie-groups)

</Aside>

## 1. 動機

[前章](/mathematics/lie-theory/matrix-lie-groups) で、連結 Lie 群の準同型は Lie 環の準同型で決まり、単連結な群では Lie 環の準同型がそのまま群に持ち上がることを見ました。したがって Lie 群の表現を調べることの大部分は、Lie 環の表現を調べることに帰着します。この章からしばらくは、群を忘れて有限次元 Lie 環そのものの構造を調べます。

有限群の表現論では、Maschke の定理（<Ref to="mathematics/algebra/group-representations#thm-maschke" />）によりすべての表現が既約表現の直和に分解しました。Lie 環ではそうはいきません。たとえば 1 次元の可換 Lie 環 $\mathbb{C}$ の表現 $t\mapsto\begin{pmatrix}0&t\\0&0\end{pmatrix}$ は、不変部分空間 $\mathbb{C}e_1$ をもちますが、不変な補空間はもちません。上三角行列の Lie 環でも同様です。補空間がないことは次のように確かめられます。不変な 1 次元の補空間があるとして、その基底を $v=ae_1+be_2$ とすると $e_1$ と独立なので $b\ne0$ です。ところが $\varphi(t)v=tb\,e_1$ は $v$ の定数倍になれないので、$t\ne0$ では不変になりません。このように「直和に分解しない」現象を起こすのは、可解な Lie 環です。

一方、$\mathfrak{su}(n)$ や $\mathfrak{so}(n)$ のようにコンパクト群からくる Lie 環では、群の上で平均をとってユニタリ化すれば完全可約性がすぐに出ます（<Ref to="mathematics/compact-groups/haar-measure#prop-unitary-trick" />）。この章の目標は、群を使わずに純代数的に同じ結論を得ることです。そのための概念が **半単純性** で、その判定法が **Killing 形式** です。Killing 形式は、コンパクト群の不変内積の代数的な類似物であり、物理で使う「生成子の規格化 $\operatorname{tr}(T^aT^b)=\frac12\delta^{ab}$」もその一種です。

この章では体を $\mathbb{C}$ とし、Lie 環と表現はすべて有限次元とします（Engel の定理だけは任意の体で成り立ちます）。

## 2. 準備：イデアルと表現

Lie 環 $\mathfrak{g}$ の部分空間 $\mathfrak{a}$ が **イデアル** であるとは $[\mathfrak{g},\mathfrak{a}]\subset\mathfrak{a}$ を満たすことです。このとき[商空間](/mathematics/linear-algebra/dual-and-quotient-spaces#def-quotient) $\mathfrak{g}/\mathfrak{a}$ に括弧が自然に入ります。イデアル $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ について $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$ と $[\mathfrak{a},\mathfrak{b}]$ もイデアルです（後者は Jacobi 恒等式による）。中心 $Z(\mathfrak{g})=\lbrace x : [x,\mathfrak{g}]=0\rbrace$ もイデアルです。

$\mathfrak{g}$ の **表現**（$\mathfrak{g}$ **加群**）とは、Lie 環の準同型 $\varphi\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(V)$ のことで、$\varphi([x,y])=\varphi(x)\varphi(y)-\varphi(y)\varphi(x)$ を満たします。$\varphi(x)v$ を $x\cdot v$ と略記します。部分加群・既約・直和などの言葉は群の表現と同じです。[**随伴表現**](/mathematics/manifolds/lie-groups#def-adjoint) $\operatorname{ad}\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$、$\operatorname{ad}x(y)=[x,y]$ が表現であることは Jacobi 恒等式そのものです。加群 $V,W$ があれば、$\operatorname{Hom}(V,W)$ は $(x\cdot f)(v)=x\cdot f(v)-f(x\cdot v)$ で加群になり、$x\cdot f=0$（すべての $x$）は $f$ が加群の準同型であることと同値です。

既約加群については **Schur の補題** が使えます。$V$ が既約で $T\in\operatorname{End}(V)$ がすべての $\varphi(x)$ と可換なら、$T$ の固有値 $\lambda$ について $\ker(T-\lambda)$ は $0$ でない部分加群なので $V$ 全体、すなわち $T=\lambda I$ です（<Ref to="mathematics/algebra/group-representations#thm-schur" /> と同じ議論です）。

## 3. 可解 Lie 環と冪零 Lie 環

<Definition id="def-solvable-nilpotent" title="可解・冪零・半単純">
$\mathfrak{g}^{(0)}=\mathfrak{g}$、$\mathfrak{g}^{(k+1)}=[\mathfrak{g}^{(k)},\mathfrak{g}^{(k)}]$（**導来列**）、$C^0\mathfrak{g}=\mathfrak{g}$、$C^{k+1}\mathfrak{g}=[\mathfrak{g},C^k\mathfrak{g}]$（**降中心列**）とおく。
1. ある $k$ で $\mathfrak{g}^{(k)}=0$ となるとき $\mathfrak{g}$ は **可解** である。
2. ある $k$ で $C^k\mathfrak{g}=0$ となるとき $\mathfrak{g}$ は **冪零** である。
3. $\mathfrak{g}$ の最大の可解イデアルを **根基** $\operatorname{Rad}\mathfrak{g}$ という。$\operatorname{Rad}\mathfrak{g}=0$ のとき $\mathfrak{g}$ は **半単純** である。$\mathfrak{g}$ が可換でなく、$0$ と自分以外のイデアルをもたないとき **単純** である。
</Definition>

$\mathfrak{g}^{(k)}\subset C^k\mathfrak{g}$ なので冪零なら可解です。上三角行列全体 $\mathfrak{b}_n$ は可解、狭義上三角行列全体 $\mathfrak{n}_n$ は冪零で、$\mathfrak{b}_n$ は $n\ge2$ で冪零ではありません（$[\operatorname{diag}(1,0,\dots),E_{12}]=E_{12}$ が消えないので）。

<Proposition id="prop-solvable-closure" title="可解性の遺伝と根基の存在">
1. 可解 Lie 環の部分環と準同型像は可解である。
2. $\mathfrak{a}$ が可解イデアルで $\mathfrak{g}/\mathfrak{a}$ が可解なら、$\mathfrak{g}$ は可解である。
3. 可解イデアル $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ の和 $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$ は可解イデアルである。したがって根基は存在し、$\mathfrak{g}/\operatorname{Rad}\mathfrak{g}$ は半単純である。
</Proposition>

<Proof of="prop-solvable-closure">
1 は $\mathfrak{h}^{(k)}\subset\mathfrak{g}^{(k)}$、$\pi(\mathfrak{g})^{(k)}=\pi(\mathfrak{g}^{(k)})$ からです。2: $(\mathfrak{g}/\mathfrak{a})^{(k)}=0$ なら $\mathfrak{g}^{(k)}\subset\mathfrak{a}$ で、$\mathfrak{g}^{(k+l)}\subset\mathfrak{a}^{(l)}=0$ です。3: $(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})/\mathfrak{b}\cong\mathfrak{a}/(\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b})$ は可解な $\mathfrak{a}$ の像なので可解で、2 から $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$ は可解です。有限次元なので次元最大の可解イデアルがあり、3 によりそれはすべての可解イデアルを含みます。$\mathfrak{g}/\operatorname{Rad}\mathfrak{g}$ の可解イデアルの逆像は 2 により可解なので $\operatorname{Rad}\mathfrak{g}$ に含まれ、よって $0$ です。
</Proof>

## 4. Engel の定理

<Lemma id="lem-ad-nilpotent" title="冪零行列の ad は冪零">
$x\in\mathfrak{gl}(V)$ が冪零なら、$\operatorname{ad}x\colon\mathfrak{gl}(V)\to\mathfrak{gl}(V)$ も冪零である。
</Lemma>

<Proof of="lem-ad-nilpotent">
$\lambda_x(y)=xy$、$\rho_x(y)=yx$ とおくと $\operatorname{ad}x=\lambda_x-\rho_x$ で、$\lambda_x$ と $\rho_x$ は可換です。$x^k=0$ なら $\lambda_x^k=\rho_x^k=0$ で、二項展開から $(\lambda_x-\rho_x)^{2k}=0$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-engel-linear" title="Engel の定理（線形版）">
$\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(V)$ を部分 Lie 環とし、$V\ne0$、$\mathfrak{g}$ の元はすべて冪零な線形変換であるとする。このとき $v\ne0$ で、すべての $x\in\mathfrak{g}$ について $x v=0$ となるものが存在する。
</Theorem>

証明の方針は、次元についての帰納法です。極大な真部分環が「余次元 1（次元がちょうど 1 小さい）のイデアル」になることを示し、その共通の核を使って 1 つ次元の大きい場合に持ち上げます。

<Proof of="thm-engel-linear">
$\dim\mathfrak{g}$ についての帰納法です。$\dim\mathfrak{g}\le1$ なら、冪零な 1 つの線形変換の核をとればよいです。$\dim\mathfrak{g}\ge2$ とし、$\mathfrak{k}$ を $\mathfrak{g}$ の極大な真部分環とします（$0$ は真部分環なので存在します）。

**$\mathfrak{k}$ は余次元 1 のイデアル。** $\mathfrak{k}$ は $\operatorname{ad}$ で $\mathfrak{g}/\mathfrak{k}$ に作用し、<Ref to="lem-ad-nilpotent" /> によりその作用は冪零です。$\dim\mathfrak{k}\lt\dim\mathfrak{g}$ なので、帰納法の仮定（$\mathfrak{k}$ の像の部分環に適用）から $y\notin\mathfrak{k}$ で $[\mathfrak{k},y]\subset\mathfrak{k}$ となるものがあります。$\mathfrak{k}+\mathbb{C}y$ は $\mathfrak{k}$ より真に大きい部分環なので $\mathfrak{g}$ に等しく、$\mathfrak{k}$ は余次元 1 のイデアルです。

**共通の核。** 帰納法の仮定から $W=\lbrace v : \mathfrak{k}v=0\rbrace\ne0$ です。$x\in\mathfrak{g}$、$w\in W$、$k\in\mathfrak{k}$ について $kxw=xkw-[x,k]w=0$（$[x,k]\in\mathfrak{k}$）なので $W$ は $\mathfrak{g}$ で不変です。$y|_W$ は冪零なので $W$ の中に $yv=0$ となる $v\ne0$ があり、$\mathfrak{g}=\mathfrak{k}+\mathbb{C}y$ なので $\mathfrak{g}v=0$ です。
</Proof>

<Corollary id="cor-engel" title="Engel の定理">
$\mathfrak{g}$ が冪零であることと、すべての $x\in\mathfrak{g}$ について $\operatorname{ad}x$ が冪零であることは同値である。
</Corollary>

<Proof of="cor-engel">
冪零で $C^k\mathfrak{g}=0$ なら $(\operatorname{ad}x)^k\mathfrak{g}\subset C^k\mathfrak{g}=0$ です。逆を $\dim\mathfrak{g}$ の帰納法で示します。<Ref to="thm-engel-linear" /> を $\operatorname{ad}\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$ に適用すると、$x_0\ne0$ で $[\mathfrak{g},x_0]=0$ となるものがあり、$Z(\mathfrak{g})\ne0$ です。$\mathfrak{g}/Z(\mathfrak{g})$ でも $\operatorname{ad}$ は冪零なので、帰納法の仮定から冪零で、$C^k(\mathfrak{g}/Z)=0$ なら $C^k\mathfrak{g}\subset Z$、$C^{k+1}\mathfrak{g}=0$ です。
</Proof>

## 5. Lie の定理

<Theorem id="thm-lie" title="Lie の定理">
$\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(V)$ を可解な部分 Lie 環、$V\ne0$ を $\mathbb{C}$ 上の有限次元空間とする。このとき $\mathfrak{g}$ のすべての元の共通の固有ベクトルが存在する。したがって $V$ の基底を適当にとると、$\mathfrak{g}$ のすべての元は上三角行列で表される。
</Theorem>

証明の方針は Engel の定理と同じく帰納法です。余次元 1 のイデアル $\mathfrak{k}$ の共通固有ベクトルの空間 $W$ をとり、残りの 1 方向 $z$ が $W$ の外へ出さないこと（下の「不変性の補題」）を確かめれば、$z$ の固有ベクトルが共通の固有ベクトルになります。補題の部分は、$w,xw,x^2w,\dots$ を並べて跡を比べるという少し細かい計算です。

<Proof of="thm-lie">
$\dim\mathfrak{g}$ の帰納法です。$\mathfrak{g}=0$ なら自明です。$\mathfrak{g}$ は可解なので $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]\ne\mathfrak{g}$ で、$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ を含む余次元 1 の部分空間 $\mathfrak{k}$ はイデアルです（$[\mathfrak{g},\mathfrak{k}]\subset[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]\subset\mathfrak{k}$）。$\mathfrak{g}=\mathfrak{k}+\mathbb{C}z$ と書きます。$\mathfrak{k}$ は可解なので、帰納法の仮定から線形形式 $\lambda\colon\mathfrak{k}\to\mathbb{C}$ で
$$
W=\lbrace v\in V : kv=\lambda(k)v\ (\forall k\in\mathfrak{k})\rbrace\ne0
$$
となるものがあります。

**不変性の補題: $W$ は $\mathfrak{g}$ で不変。** $x\in\mathfrak{g}$、$w\in W$ について $kxw=xkw-[x,k]w=\lambda(k)xw-\lambda([x,k])w$ なので、$\lambda([x,k])=0$ を示せば十分です。$w,xw,x^2w,\dots$ が線形独立である最大の個数を $n$ とし、$W_i=\operatorname{span}(w,xw,\dots,x^{i-1}w)$ とおきます。$k\in\mathfrak{k}$ について、$i$ の帰納法で
$$
kx^iw\equiv\lambda(k)x^iw\pmod{W_i}
$$
を示します。$i=0$ は定義です。$kx^iw=xkx^{i-1}w-[x,k]x^{i-1}w$ で、帰納法の仮定（$k$ と $[x,k]$ の両方に適用）から右辺は $x(\lambda(k)x^{i-1}w+W_{i-1})+W_{i}\subset\lambda(k)x^iw+W_i$ です。よって $W_n$ は $k$ で不変で、基底 $w,\dots,x^{n-1}w$ に関して $k|_{W_n}$ は対角成分 $\lambda(k)$ の上三角行列、$\operatorname{tr}_{W_n}k=n\lambda(k)$ です。$W_n$ は $x$ でも不変なので、$[x,k]\in\mathfrak{k}$ に適用して $n\lambda([x,k])=\operatorname{tr}_{W_n}[x,k]=\operatorname{tr}_{W_n}(xk-kx)=0$ です。標数 $0$ なので $\lambda([x,k])=0$ です。

**結論。** $W$ は $z$ で不変なので、$\mathbb{C}$ が代数閉であることから $z|_W$ の固有ベクトル $v$ があり、これが共通の固有ベクトルです。上三角化は、$V/\mathbb{C}v$ に帰納的に適用して得られます。
</Proof>

<Corollary id="cor-solvable-derived-nilpotent">
$\mathfrak{g}$ が可解であることと $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ が冪零であることは同値である。
</Corollary>

<Proof of="cor-solvable-derived-nilpotent">
冪零なら可解なので、$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ が冪零なら $\mathfrak{g}$ は <Ref to="prop-solvable-closure" /> の 2 により可解です。逆に可解なら、<Ref to="thm-lie" /> を $\operatorname{ad}\mathfrak{g}$ に適用して $\operatorname{ad}x$ をすべて上三角にできます。交換子は狭義上三角なので、$x\in[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ について $\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}x$ は冪零、その制限 $\operatorname{ad}_{[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]}x$ も冪零で、<Ref to="cor-engel" /> から $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ は冪零です。
</Proof>

## 6. Jordan–Chevalley 分解

<Proposition id="prop-jordan-chevalley" title="Jordan–Chevalley 分解">
$x\in\operatorname{End}(V)$ に対し、対角化可能な $x_s$ と冪零な $x_n$ で $x=x_s+x_n$、$x_sx_n=x_nx_s$ を満たすものがただ 1 組存在する。さらに定数項をもたない多項式 $p,q$ で $x_s=p(x)$、$x_n=q(x)$ となるものがある。
</Proposition>

<Proof of="prop-jordan-chevalley">
$x$ の相異なる固有値を $a_1,\dots,a_r$、特性多項式を $\prod_i(T-a_i)^{m_i}$ とすると、$V=\bigoplus_iV_i$、$V_i=\ker(x-a_i)^{m_i}$（一般固有空間分解）です（<Ref to="mathematics/linear-algebra/diagonalization-and-jordan-form#thm-jordan-existence" /> の Jordan 標準形から読み取れます）。多項式 $(T-a_i)^{m_i}$ と、$0$ が固有値でなければさらに $T$ は互いに素なので、中国式剰余定理により
$$
p(T)\equiv a_i\pmod{(T-a_i)^{m_i}}\ (\text{各 } i),\qquad p(T)\equiv0\pmod T
$$
となる $p$ があります（互いに素な $f,g$ について $\mathbb{C}[T]$ が単項イデアル整域であることから $uf+vg=1$ となる $u,v$ がとれ、これを組み合わせて作れます。<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#thm-pid-ufd" />）。$p(x)$ は $V_i$ 上で $a_i$ 倍なので対角化可能で、$x-p(x)$ は $V_i$ 上で $x-a_i$ に等しく冪零です。$x_s=p(x)$、$q(T)=T-p(T)$ とおけば存在がいえます。

一意性: $x=s'+n'$ を別の分解とすると、$s',n'$ は $x$ と可換なので $p(x)=x_s$、$q(x)=x_n$ とも可換です。$x_s-s'=n'-x_n$ の左辺は可換な対角化可能変換の差なので対角化可能、右辺は可換な冪零変換の差なので冪零です。対角化可能かつ冪零なら $0$ です。
</Proof>

<Lemma id="lem-ad-jordan" title="ad と Jordan 分解">
$x\in\mathfrak{gl}(V)$ について $(\operatorname{ad}x)_s=\operatorname{ad}x_s$、$(\operatorname{ad}x)_n=\operatorname{ad}x_n$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-ad-jordan">
$x_s$ を対角化する基底 $v_i$（$x_sv_i=a_iv_i$）をとると、行列単位 $E_{ij}$ について $\operatorname{ad}x_s(E_{ij})=(a_i-a_j)E_{ij}$ なので $\operatorname{ad}x_s$ は対角化可能です。$\operatorname{ad}x_n$ は <Ref to="lem-ad-nilpotent" /> により冪零で、$[\operatorname{ad}x_s,\operatorname{ad}x_n]=\operatorname{ad}[x_s,x_n]=0$ です。<Ref to="prop-jordan-chevalley" /> の一意性から結論を得ます。
</Proof>

## 7. Cartan の判定法

この節の目標は、「跡の条件を調べるだけで可解かどうかが分かる」という判定法です。まず次の補題で、跡がたくさん消えていれば行列が冪零になることを示します。固有値は複素数なので扱いにくく、そこで $\mathbb{Q}$ 線形写像（有理数倍と和を保つ写像）$f$ を使って固有値を有理数に写し、「有理数の二乗和が $0$ なら全部 $0$」という性質を使います。

<Lemma id="lem-cartan-trace" title="跡が消えれば冪零">
$A\subset B$ を $\mathfrak{gl}(V)$ の部分空間とし、$M=\lbrace x\in\mathfrak{gl}(V) : [x,B]\subset A\rbrace$ とおく。$x\in M$ がすべての $y\in M$ について $\operatorname{tr}(xy)=0$ を満たすならば、$x$ は冪零である。
</Lemma>

<Proof of="lem-cartan-trace">
$x=s+n$ を Jordan–Chevalley 分解とし、$s$ を対角化する基底で $s=\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_m)$ とします。$a_i$ たちが $\mathbb{Q}$ 上張る $\mathbb{C}$ の部分空間を $E$ とし、$E=0$、すなわち $s=0$ を示します。そのためには、任意の $\mathbb{Q}$ 線形写像 $f\colon E\to\mathbb{Q}$ が $0$ であることを示せば十分です。

$y=\operatorname{diag}(f(a_1),\dots,f(a_m))$ とおきます。行列単位について $\operatorname{ad}s(E_{ij})=(a_i-a_j)E_{ij}$、$\operatorname{ad}y(E_{ij})=(f(a_i)-f(a_j))E_{ij}$ です。$a_i-a_j=a_k-a_l$ なら $f$ の線形性から $f(a_i)-f(a_j)=f(a_k)-f(a_l)$ なので、Lagrange 補間により定数項のない多項式 $r$ で $r(a_i-a_j)=f(a_i)-f(a_j)$（すべての $i,j$）となるものがあり（$0\mapsto0$ も整合的です）、$\operatorname{ad}y=r(\operatorname{ad}s)$ です。<Ref to="lem-ad-jordan" /> と <Ref to="prop-jordan-chevalley" /> により $\operatorname{ad}s=(\operatorname{ad}x)_s$ は $\operatorname{ad}x$ の定数項のない多項式なので、$\operatorname{ad}y$ も $\operatorname{ad}x$ の定数項のない多項式です。$\operatorname{ad}x(B)\subset A\subset B$ から $\operatorname{ad}y(B)\subset A$、すなわち $y\in M$ です。

仮定から $\operatorname{tr}(xy)=0$ です。$y$ も $s$ の多項式（$a_i\mapsto f(a_i)$ の補間）なので $n$ と可換で、$ny$ は冪零、$\operatorname{tr}(ny)=0$ です。よって $0=\operatorname{tr}(sy)=\sum_ia_if(a_i)$ です。左辺は $E$ の元なので $f$ を施すと $\sum_if(a_i)^2=0$ となり、$f(a_i)\in\mathbb{Q}$ だから $f(a_i)=0$、$f=0$ です。
</Proof>

この証明の要は、複素数の固有値 $a_i$ をそのまま扱うのではなく、$\mathbb{Q}$ 線形汎関数 $f$ で有理数に「射影」して、$\sum f(a_i)^2=0$ という実数の正値性を使えるようにするところです。$a_i$ が実数なら $y=\bar s=s$ として $\sum a_i^2=0$ から直ちに結論が出ますが、一般の複素数ではこの手は使えません。$f$ をとる操作は「固有値を共役で実数に寄せる」ことの代数的な代用品になっています。

<Theorem id="thm-cartan-criterion" title="Cartan の判定法">
$\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(V)$ を部分 Lie 環とする。すべての $x\in[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$、$y\in\mathfrak{g}$ について $\operatorname{tr}(xy)=0$ ならば、$\mathfrak{g}$ は可解である。
</Theorem>

<Proof of="thm-cartan-criterion">
<Ref to="cor-solvable-derived-nilpotent" /> により、$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ が冪零であることを示せばよく、<Ref to="lem-ad-nilpotent" /> と <Ref to="cor-engel" /> により、$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ の各元が冪零な線形変換であることを示せば十分です。<Ref to="lem-cartan-trace" /> を $A=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$、$B=\mathfrak{g}$ に適用します。$M=\lbrace x : [x,\mathfrak{g}]\subset[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]\rbrace\supset\mathfrak{g}$ です。$x=\sum_i[a_i,b_i]\in[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$、$y\in M$ について
$$
\operatorname{tr}([a,b]y)=\operatorname{tr}(aby-bay)=\operatorname{tr}(a[b,y])
$$
で、$[b,y]=-[y,b]\in[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$、$a\in\mathfrak{g}$ なので仮定から $0$ です。よって $\operatorname{tr}(xy)=0$ で、補題から $x$ は冪零です。
</Proof>

<Definition id="def-killing-form" title="Killing 形式">
Lie 環 $\mathfrak{g}$ の対称双線形形式 $\kappa(x,y)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}x\,\operatorname{ad}y)$ を **Killing 形式** という。
</Definition>

Killing 形式は **不変** です: $\kappa([x,y],z)=\kappa(x,[y,z])$。$\operatorname{tr}([X,Y]Z)=\operatorname{tr}(X[Y,Z])$ を $X=\operatorname{ad}x$ などに適用すればわかります。したがって、イデアル $\mathfrak{a}$ の直交補空間 $\mathfrak{a}^\perp=\lbrace x : \kappa(x,\mathfrak{a})=0\rbrace$ もイデアルです。また $\mathfrak{a}$ がイデアルなら $\mathfrak{a}$ 自身の Killing 形式は $\kappa|_{\mathfrak{a}\times\mathfrak{a}}$ です（$x,y\in\mathfrak{a}$ なら $\operatorname{ad}x\operatorname{ad}y$ は $\mathfrak{g}$ を $\mathfrak{a}$ に写すので、跡は $\mathfrak{a}$ 上の跡に等しい）。

<Example id="ex-killing-sl2" title="sl(2,C) の Killing 形式">
$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ の基底 $e=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$、$f=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$、$h=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ は $[h,e]=2e$、$[h,f]=-2f$、$[e,f]=h$ を満たします。基底 $(e,h,f)$ で $\operatorname{ad}h=\operatorname{diag}(2,0,-2)$ なので $\kappa(h,h)=8$ です。$\operatorname{ad}e$ は $h\mapsto-2e$、$f\mapsto h$、$\operatorname{ad}f$ は $e\mapsto-h$、$h\mapsto2f$ なので $\operatorname{ad}e\operatorname{ad}f$ は $e\mapsto2e$、$h\mapsto2h$、$f\mapsto0$ で $\kappa(e,f)=4$ です。残りは $0$ で、$\kappa(x,y)=4\operatorname{tr}(xy)$ が成り立ちます。行列式は $\det\begin{pmatrix}0&0&4\\0&8&0\\4&0&0\end{pmatrix}=-128\ne0$ なので非退化です。
</Example>

## 8. 半単純 Lie 環の構造

<Theorem id="thm-semisimple-killing" title="半単純性と Killing 形式">
$\mathfrak{g}$ が半単純であることと、Killing 形式 $\kappa$ が非退化であることは同値である。
</Theorem>

<Proof of="thm-semisimple-killing">
$S=\mathfrak{g}^\perp=\lbrace x : \kappa(x,\mathfrak{g})=0\rbrace$ とおくと、$S$ はイデアルです。

**半単純 ⇒ 非退化。** $x\in[S,S]$、$y\in S$ について $\operatorname{tr}(\operatorname{ad}x\operatorname{ad}y)=0$ なので、<Ref to="thm-cartan-criterion" /> を $\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(S)\subset\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$ に適用すると $\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(S)$ は可解です。$\operatorname{ad}$ の $S$ 上の核 $S\cap Z(\mathfrak{g})$ は可換なので、<Ref to="prop-solvable-closure" /> の 2 から $S$ は可解なイデアルで、$S\subset\operatorname{Rad}\mathfrak{g}=0$ です。

**非退化 ⇒ 半単純。** まず可換イデアル $\mathfrak{a}$ は $S$ に含まれることを示します。$x\in\mathfrak{a}$、$y\in\mathfrak{g}$ について、$\operatorname{ad}x\operatorname{ad}y$ は $\mathfrak{g}$ を $\mathfrak{a}$ に写し、$\mathfrak{a}$ を $\operatorname{ad}x(\mathfrak{a})=0$ に写すので $(\operatorname{ad}x\operatorname{ad}y)^2=0$、したがって $\kappa(x,y)=0$ です。$\operatorname{Rad}\mathfrak{g}\ne0$ なら、その導来列の最後の $0$ でない項 $\mathfrak{a}$ は可換で、Jacobi 恒等式から $\mathfrak{g}$ のイデアルです（イデアル $\mathfrak{b}$ について $[\mathfrak{b},\mathfrak{b}]$ はイデアル）。よって $0\ne\mathfrak{a}\subset S$ となり、$S=0$ に反します。
</Proof>

<Theorem id="thm-simple-decomposition" title="単純イデアルへの分解">
$\mathfrak{g}$ を半単純とする。$\mathfrak{g}$ の単純イデアル $\mathfrak{g}_1,\dots,\mathfrak{g}_r$ で $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_1\oplus\cdots\oplus\mathfrak{g}_r$（Lie 環の直和）となるものがあり、$\mathfrak{g}$ の単純イデアルはこれらに限られる。さらに $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=\mathfrak{g}$ であり、半単純 Lie 環のイデアルと商は半単純である。
</Theorem>

<Proof of="thm-simple-decomposition">
$\mathfrak{a}$ をイデアルとすると $\mathfrak{a}^\perp$ もイデアルで、$\mathfrak{a}\cap\mathfrak{a}^\perp$ 上では $\kappa=0$ なので、<Ref to="thm-cartan-criterion" /> を前定理の証明と同様に適用して $\mathfrak{a}\cap\mathfrak{a}^\perp$ は可解、よって $0$ です。$\kappa$ は非退化なので $\dim\mathfrak{a}^\perp=\dim\mathfrak{g}-\dim\mathfrak{a}$ で、$\mathfrak{g}=\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{a}^\perp$ です。$[\mathfrak{a},\mathfrak{a}^\perp]\subset\mathfrak{a}\cap\mathfrak{a}^\perp=0$ なので、これは Lie 環の直和で、$\mathfrak{a}$ のイデアルは $\mathfrak{g}$ のイデアルです。$\mathfrak{a}$ の Killing 形式は $\kappa|_{\mathfrak{a}}$ で、直和分解から非退化なので $\mathfrak{a}$ は半単純です。$\mathfrak{g}/\mathfrak{a}\cong\mathfrak{a}^\perp$ も同様です。

$\mathfrak{g}$ の極小な $0$ でないイデアル $\mathfrak{g}_1$ をとると、そのイデアルは $\mathfrak{g}$ のイデアルなので $\mathfrak{g}_1$ は単純です（可換なら $\operatorname{Rad}\mathfrak{g}\ne0$ になるので非可換）。$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_1\oplus\mathfrak{g}_1^\perp$ として $\mathfrak{g}_1^\perp$ に帰納法を適用すれば分解を得ます。$\mathfrak{i}$ を単純イデアルとすると、$Z(\mathfrak{g})=0$（可換イデアル）なので $[\mathfrak{i},\mathfrak{g}]=\bigoplus_j[\mathfrak{i},\mathfrak{g}_j]\ne0$ で、これは $\mathfrak{i}$ の $0$ でないイデアルなので $\mathfrak{i}$ に等しく、ある $j$ で $[\mathfrak{i},\mathfrak{g}_j]\ne0$ です。$[\mathfrak{i},\mathfrak{g}_j]$ は $\mathfrak{i}$ と $\mathfrak{g}_j$ の両方のイデアルなので $\mathfrak{i}=[\mathfrak{i},\mathfrak{g}_j]=\mathfrak{g}_j$ です。最後に、単純 Lie 環は非可換なので $[\mathfrak{g}_j,\mathfrak{g}_j]=\mathfrak{g}_j$ で、$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=\mathfrak{g}$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-derivations-inner" title="半単純 Lie 環の微分は内部微分">
$\mathfrak{g}$ を半単純とすると、$\operatorname{ad}\colon\mathfrak{g}\to\operatorname{Der}\mathfrak{g}$ は同型である。ここで $\operatorname{Der}\mathfrak{g}$ は $\delta[x,y]=[\delta x,y]+[x,\delta y]$ を満たす線形写像全体である。
</Theorem>

<Proof of="thm-derivations-inner">
$Z(\mathfrak{g})=0$ なので $\operatorname{ad}$ は単射です。$D=\operatorname{Der}\mathfrak{g}$、$M=\operatorname{ad}\mathfrak{g}$ とおくと、$[\delta,\operatorname{ad}x]=\operatorname{ad}(\delta x)$ なので $M$ は $D$ のイデアルです。$D$ の Killing 形式 $\kappa_D$ を $M$ に制限したものは $M\cong\mathfrak{g}$ の Killing 形式で、非退化です。よって $M^\perp$（$\kappa_D$ に関する直交）について $M\cap M^\perp=0$ で、$\dim M^\perp\ge\dim D-\dim M$ から $D=M\oplus M^\perp$ です。$M^\perp$ はイデアルなので $[M,M^\perp]\subset M\cap M^\perp=0$ で、$\delta\in M^\perp$ なら $\operatorname{ad}(\delta x)=[\delta,\operatorname{ad}x]=0$、$\delta x\in Z(\mathfrak{g})=0$ です。よって $M^\perp=0$、$D=M$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-abstract-jordan" title="抽象 Jordan 分解">
$\mathfrak{g}$ を半単純とする。各 $x\in\mathfrak{g}$ に対し、$x=s+n$、$[s,n]=0$、$\operatorname{ad}s$ は対角化可能、$\operatorname{ad}n$ は冪零、を満たす $s,n\in\mathfrak{g}$ がただ 1 組存在する。$\operatorname{ad}s$ が対角化可能な元 $s$ を **半単純元** と呼ぶ。
</Theorem>

証明の流れは次のとおりです。微分（積の規則 $\delta[x,y]=[\delta x,y]+[x,\delta y]$ を満たす線形写像）の対角化可能な部分も微分になることを示し、半単純なら微分はすべて内部微分 $\operatorname{ad}s$ の形なので、それを $s$ と書き戻して $x=s+n$ を作ります。

<Proof of="thm-abstract-jordan">
$\delta\in\operatorname{Der}\mathfrak{g}$ なら $\delta_s$ も微分であることを示します。$\mathfrak{g}_a$ を $\delta$ の固有値 $a$ の一般固有空間とすると、
$$
(\delta-a-b)^m[x,y]=\sum_{i=0}^m\binom mi\bigl[(\delta-a)^ix,(\delta-b)^{m-i}y\bigr]
$$
（$m$ の帰納法と微分の性質から）により $[\mathfrak{g}_a,\mathfrak{g}_b]\subset\mathfrak{g}_{a+b}$ です。$\delta_s$ は $\mathfrak{g}_a$ 上で $a$ 倍なので、$x\in\mathfrak{g}_a$、$y\in\mathfrak{g}_b$ について $\delta_s[x,y]=(a+b)[x,y]=[\delta_sx,y]+[x,\delta_sy]$ で、$\delta_s$ は微分、$\delta_n=\delta-\delta_s$ も微分です。<Ref to="thm-derivations-inner" /> から $(\operatorname{ad}x)_s=\operatorname{ad}s$、$(\operatorname{ad}x)_n=\operatorname{ad}n$ となる $s,n$ があり、$\operatorname{ad}$ の単射性から $x=s+n$、$[s,n]=0$ です。一意性は <Ref to="prop-jordan-chevalley" /> の一意性と $\operatorname{ad}$ の単射性から従います。
</Proof>

この定理は次章で決定的な役割を果たします。半単純 Lie 環 $\mathfrak{g}\ne0$ のすべての元が $\operatorname{ad}$ 冪零だとすると、<Ref to="cor-engel" /> により $\mathfrak{g}$ は冪零、したがって可解になり、半単純性に反します。よって $\mathfrak{g}$ には $0$ でない半単純元 $s$ があり、$\operatorname{ad}s$ の固有空間分解が使えます。これを可換な半単純元の族に広げたものがルート空間分解です。なお、$\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(V)$ が半単純な線形 Lie 環のとき、抽象 Jordan 分解と行列としての Jordan–Chevalley 分解は一致します。この記事ではこの事実を使わず、次章以降では必要な対角化可能性を $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ の表現論から直接導きます。

## 9. Weyl の完全可約性

$\varphi\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(V)$ を半単純 Lie 環の **忠実な**（単射な）表現とします。$\beta(x,y)=\operatorname{tr}(\varphi(x)\varphi(y))$ は不変な対称双線形形式で、その根基は $\varphi$ による像が <Ref to="thm-cartan-criterion" /> の仮定を満たすので可解イデアル、よって $0$ です。$\beta$ に関する双対基底 $x_1,\dots,x_d$ と $y_1,\dots,y_d$（$\beta(x_i,y_j)=\delta_{ij}$）をとり、

$$
c_\varphi=\sum_{i=1}^d\varphi(x_i)\varphi(y_i)\in\operatorname{End}(V)
$$

を $\varphi$ の **Casimir 作用素** と呼びます。

<Lemma id="lem-casimir-operator" title="Casimir 作用素の性質">
$c_\varphi$ はすべての $\varphi(x)$ と可換で、$\operatorname{tr}c_\varphi=\dim\mathfrak{g}$ である。特に $V$ が既約なら $c_\varphi$ はスカラー $\dim\mathfrak{g}/\dim V$ 倍である。
</Lemma>

<Proof of="lem-casimir-operator">
$[x,x_i]=\sum_ja_{ij}x_j$、$[x,y_i]=\sum_jb_{ij}y_j$ と書くと、不変性から $a_{ik}=\beta([x,x_i],y_k)=-\beta(x_i,[x,y_k])=-b_{ki}$ です。よって
$$
[\varphi(x),c_\varphi]=\sum_{i,j}a_{ij}\varphi(x_j)\varphi(y_i)+\sum_{i,j}b_{ij}\varphi(x_i)\varphi(y_j)=\sum_{i,j}(a_{ij}+b_{ji})\varphi(x_j)\varphi(y_i)=0
$$
です。$\operatorname{tr}c_\varphi=\sum_i\beta(x_i,y_i)=d$ です。既約なら Schur の補題（§2）からスカラーで、跡を比べて値が決まります。
</Proof>

Casimir 作用素は、[普遍包絡環](/mathematics/compact-groups/casimir-laplacian#def-universal-enveloping)の Casimir 元（[Casimir 作用素と群上のラプラシアン](/mathematics/compact-groups/casimir-laplacian) の <Ref to="mathematics/compact-groups/casimir-laplacian#def-casimir-element" />）を表現した作用素で、物理では $\boldsymbol J^2$ などに相当します。ここではその代数的な役割、すなわち「既約成分を固有値で見分ける」ことだけを使います。

<Theorem id="thm-weyl-complete-reducibility" title="Weyl の完全可約性定理">
半単純 Lie 環 $\mathfrak{g}$ の有限次元表現 $V$ の任意の部分加群 $W$ は、加群としての補空間をもつ。したがって $V$ は既約加群の直和である。
</Theorem>

証明の方針は 2 段階です。段階 1 では、$W$ が余次元 1 のときに Casimir 作用素の核が補空間になることを示します。段階 2 では、一般の $W$ に対し、$V$ から $W$ への線形写像の空間 $\operatorname{Hom}(V,W)$ の中に余次元 1 の部分加群を作り、段階 1 に帰着させます。そこで得られる加群準同型 $f_0$ が $V$ から $W$ への射影になり、その核が補空間です。

<Proof of="thm-weyl-complete-reducibility">
**準備。** $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=\mathfrak{g}$（<Ref to="thm-simple-decomposition" />）なので、1 次元の表現 $\varphi$ は $\varphi([x,y])=0$ から自明です。$\varphi$ の核 $\mathfrak{k}$ はイデアルで、$\mathfrak{g}=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{k}^\perp$ と分解し、$\mathfrak{k}^\perp$ は半単純で忠実に作用し、部分加群の概念は変わりません。以下 $\varphi$ は忠実とし、$c=c_\varphi$ とします。

**段階 1: $W$ が余次元 1 の場合。** $\dim W$ の帰納法です。$W$ が既約でなく、$0\ne W'\subsetneq W$ を部分加群とすると、$V/W'$ の余次元 1 の部分加群 $W/W'$ は帰納法の仮定から補空間 $\tilde Y/W'$（1 次元）をもちます。$\tilde Y$ の中で $W'$ は余次元 1 で $\dim\tilde Y\lt\dim V$ なので、$\tilde Y=W'\oplus X$ と分かれます。$X\cap W\subset\tilde Y\cap W=W'$ かつ $X\cap W'=0$ なので $X\cap W=0$、次元から $V=W\oplus X$ です。

$W$ が既約の場合を考えます（$\mathfrak{g}=0$ なら主張は自明なので $\mathfrak{g}\ne0$ とします）。$\mathfrak{g}$ は 1 次元の $V/W$ に自明に作用するので $\varphi(x)V\subset W$ で、$c(V)\subset W$ です。<Ref to="lem-casimir-operator" /> により $c$ は加群の準同型なので、既約な $W$ 上では Schur の補題からスカラー $\gamma$ 倍です。$c(V)\subset W$ なので $\operatorname{tr}_Vc=\operatorname{tr}_Wc=\gamma\dim W$ で、一方 $\operatorname{tr}_Vc=\dim\mathfrak{g}\ne0$ ですから $\gamma\ne0$ です。よって $\ker c$ は $W$ と交わらない部分加群で、$\dim\ker c\ge\dim V-\dim W=1$ なので $V=W\oplus\ker c$ です。

**段階 2: 一般の場合。** $\mathcal{V}=\lbrace f\in\operatorname{Hom}(V,W) : f|_W\text{ はスカラー倍}\rbrace$、$\mathcal{W}=\lbrace f : f|_W=0\rbrace$ とおきます。$x\in\mathfrak{g}$、$f|_W=a\,\mathrm{id}$ なら、$w\in W$ について $(x\cdot f)(w)=xf(w)-f(xw)=axw-axw=0$ なので、$\mathcal{V}$、$\mathcal{W}$ は部分加群で $\mathfrak{g}\cdot\mathcal{V}\subset\mathcal{W}$、$\mathcal{W}$ は $\mathcal{V}$ の余次元 1 です。段階 1 により $\mathcal{V}=\mathcal{W}\oplus\mathbb{C}f_0$ と分かれ、$\mathbb{C}f_0$ は 1 次元の加群なので $\mathfrak{g}\cdot f_0=0$、すなわち $f_0$ は加群準同型です。$f_0|_W=\mathrm{id}$ と正規化できるので、$\ker f_0$ が $W$ の補加群です。
</Proof>

段階 1 の「$W$ が既約」の場合の議論のうち、決め手は跡の計算 $\operatorname{tr}_Vc=\dim\mathfrak{g}\ne0$ です。ここで忠実性を使っているので、最初に核を除いておいたのでした。

<Example id="ex-reducibility-fails" title="半単純性を落とすと完全可約性は壊れる">
§1 で触れた 1 次元可換 Lie 環 $\mathbb{C}$ の表現 $t\mapsto\begin{pmatrix}0&t\\0&0\end{pmatrix}$ を、証明のどこが通らないかという目で見直します。$\varphi(1)^2=0$ なので $\beta(x,y)=\operatorname{tr}(\varphi(x)\varphi(y))\equiv0$ で、Casimir 作用素が作れません。実際、不変部分空間 $W=\mathbb{C}e_1$ に対し、$\mathbb{C}$ は $W$ にも $V/W$ にも自明に作用しますが $V$ には自明でなく作用しており、段階 1 で使った「$c$ が $W$ 上で $0$ でないスカラー」という性質の出番がないのです。上三角行列の Lie 環 $\mathfrak{b}_2$ の自然表現 $\mathbb{C}^2$ も、$\mathbb{C}e_1$ が不変で補空間をもたない例です。Lie の定理（<Ref to="thm-lie" />）が保証する「上三角化」は、可解 Lie 環ではそれ以上の分解が一般には期待できないことの裏返しです。
</Example>

<Remark id="rem-compact-real-form" title="コンパクト群の Lie 環との関係">
連結コンパクト Lie 群 $K$ の Lie 環 $\mathfrak{k}$ には $\operatorname{Ad}(K)$ 不変な内積があります（Haar 測度で平均すればよい）。その内積に関して $\operatorname{ad}X$ は反対称なので、$\kappa(X,X)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}X)^2=-\|\operatorname{ad}X\|_{\mathrm{HS}}^2\le0$ です。中心が $0$ なら $\kappa$ は負定値で、複素化 $\mathfrak{k}_{\mathbb{C}}=\mathfrak{k}\oplus i\mathfrak{k}$ は <Ref to="thm-semisimple-killing" /> により半単純です。$\mathfrak{su}(n)_{\mathbb{C}}=\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$、$\mathfrak{so}(n)_{\mathbb{C}}=\mathfrak{so}(n,\mathbb{C})$ がその例です。物理で生成子を $\operatorname{tr}(T^aT^b)=\frac12\delta^{ab}$ と規格化するのは、この負定値性（$T^a$ をエルミートにとると符号が反転して正定値）を使っているのです。こうしてコンパクト群の表現論と半単純 Lie 環の表現論が結びつき、「平均をとるユニタリ化」と「Casimir 作用素」という 2 つの異なる道具が、同じ完全可約性を与えることになります。
</Remark>

## 10. sl(2,C) の有限次元表現

<Ref to="ex-killing-sl2" /> の基底 $e,f,h$ を使います。$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ は単純です（$0$ でないイデアルは $h$ の固有ベクトルの和として $e,f,h$ のどれかを含み、そこから括弧で全体が出ます）。$V$ を有限次元加群とし、$h$ の固有値 $\mu$ の固有空間 $V_\mu=\lbrace v : hv=\mu v\rbrace$ を **ウェイト空間** と呼びます。$hev=ehv+[h,e]v=(\mu+2)ev$ から

$$
eV_\mu\subset V_{\mu+2},\qquad fV_\mu\subset V_{\mu-2}
$$

です。$v\ne0$ が $ev=0$ かつ $hv=\lambda v$ を満たすとき **最高ウェイトベクトル** と呼びます。

<Theorem id="thm-sl2-classification" title="sl(2,C) の既約表現の分類">
各整数 $m\ge0$ に対し、$m+1$ 次元の既約 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 加群 $V(m)$ が同型を除いてただ 1 つ存在する。$V(m)$ は基底 $v_0,\dots,v_m$ をもち
$$
hv_k=(m-2k)v_k,\qquad fv_k=(k+1)v_{k+1},\qquad ev_k=(m-k+1)v_{k-1}
$$
（$v_{-1}=v_{m+1}=0$）と作用する。
</Theorem>

<Proof of="thm-sl2-classification">
**一意性。** $V$ を既約加群とします。$h$ は固有ベクトル $v$ をもち、$v,ev,e^2v,\dots$ は $0$ でない限り相異なる固有値の固有ベクトルなので、ある $k$ で $e^kv\ne0$、$e^{k+1}v=0$ です。$v_0=e^kv$ は最高ウェイトベクトルで、$hv_0=\lambda v_0$ とします。$v_k=f^kv_0/k!$ とおくと、$hv_k=(\lambda-2k)v_k$、$fv_k=(k+1)v_{k+1}$ は定義から、$ev_k=(\lambda-k+1)v_{k-1}$ は $k$ の帰納法で
$$
kev_k=efv_{k-1}=[e,f]v_{k-1}+fev_{k-1}=(\lambda-2k+2)v_{k-1}+(\lambda-k+2)(k-1)v_{k-1}=k(\lambda-k+1)v_{k-1}
$$
から従います。$0$ でない $v_k$ は相異なる固有値をもつので線形独立で、有限次元性から $v_m\ne0$、$v_{m+1}=0$ となる $m$ があります。$0=ev_{m+1}=(\lambda-m)v_m$ から $\lambda=m$ です。$\operatorname{span}(v_0,\dots,v_m)$ は $e,f,h$ で不変なので、既約性から $V$ 全体です。こうして $V$ の作用は上の式で決まります。

**存在。** 上の式で $V(m)$ を定義すると、$[h,e]=2e$、$[h,f]=-2f$ は固有値の差から、$[e,f]=h$ は $(ef-fe)v_k=\bigl((k+1)(m-k)-k(m-k+1)\bigr)v_k=(m-2k)v_k$ から確かめられます。部分加群は $h$ の固有ベクトル $v_k$ のいくつかを含み、$e,f$ を繰り返し作用させれば（係数 $k+1$、$m-k+1$ は $0\le k\le m$ の範囲で $0$ でない）全部の $v_j$ が得られるので、既約です。
</Proof>

<Figure caption="sl(2,C) の既約表現 V(m) のウェイト図（m=4）。f は 1 段下へ、e は 1 段上へ移し、端では 0 になる。ウェイトは −m から m まで 2 刻みで対称に並ぶ。">
<svg viewBox="0 0 520 130" width="100%" role="img" aria-label="ウェイト 4, 2, 0, −2, −4 の 5 点と、それを結ぶ e と f の矢印">
  <defs>
    <marker id="sla-arrow" markerWidth="9" markerHeight="9" refX="6" refY="3" orient="auto">
      <path d="M0,0 L6,3 L0,6 z" fill="var(--sl-color-accent)" />
    </marker>
    <marker id="sla-arrow2" markerWidth="9" markerHeight="9" refX="6" refY="3" orient="auto">
      <path d="M0,0 L6,3 L0,6 z" fill="currentColor" />
    </marker>
  </defs>
  <line x1="30" y1="70" x2="490" y2="70" stroke="currentColor" stroke-width="1" opacity="0.5" />
  <circle cx="60" cy="70" r="7" fill="currentColor" />
  <circle cx="160" cy="70" r="7" fill="currentColor" />
  <circle cx="260" cy="70" r="7" fill="currentColor" />
  <circle cx="360" cy="70" r="7" fill="currentColor" />
  <circle cx="460" cy="70" r="7" fill="currentColor" />
  <text x="50" y="105" font-size="13" fill="currentColor">−4</text>
  <text x="150" y="105" font-size="13" fill="currentColor">−2</text>
  <text x="256" y="105" font-size="13" fill="currentColor">0</text>
  <text x="356" y="105" font-size="13" fill="currentColor">2</text>
  <text x="456" y="105" font-size="13" fill="currentColor">4</text>
  <path d="M 450 58 Q 410 30 372 56" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2" marker-end="url(#sla-arrow)" />
  <path d="M 350 58 Q 310 30 272 56" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2" marker-end="url(#sla-arrow)" />
  <path d="M 250 58 Q 210 30 172 56" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2" marker-end="url(#sla-arrow)" />
  <path d="M 150 58 Q 110 30 72 56" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2" marker-end="url(#sla-arrow)" />
  <text x="300" y="24" font-size="13" fill="var(--sl-color-accent)">f</text>
  <path d="M 72 84 Q 110 112 148 86" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.2" marker-end="url(#sla-arrow2)" />
  <text x="104" y="126" font-size="13" fill="currentColor">e</text>
  <text x="505" y="126" font-size="13" text-anchor="end" fill="currentColor">右端が最高ウェイト m</text>
</svg>
</Figure>

<Corollary id="cor-sl2-finite-modules" title="sl(2,C) の有限次元加群の構造">
$V$ を $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ の有限次元加群とする。
1. $h$ は $V$ 上で対角化可能で、固有値はすべて整数である。
2. 各整数 $\mu$ について $\dim V_\mu=\dim V_{-\mu}$ であり、$\mu\ge0$ なら $f^\mu\colon V_\mu\to V_{-\mu}$ は同型である。
3. $V$ の既約成分の個数は $\dim V_0+\dim V_1$ である。
</Corollary>

<Proof of="cor-sl2-finite-modules">
<Ref to="thm-weyl-complete-reducibility" /> により $V$ は $V(m)$ たちの直和で、各 $V(m)$ について 1〜3 を確かめれば十分です。$V(m)$ では $h$ は固有値 $m,m-2,\dots,-m$ で対角化され、各固有空間は 1 次元なので 1, 2 の次元の主張は明らかです。$\mu=m-2k\ge0$ なら $f^\mu v_k$ は $v_{k+\mu}=v_{m-k}$ の $0$ でない倍数なので 2 の同型がいえます。$V(m)$ は、$m$ が偶数ならウェイト $0$ を、奇数ならウェイト $1$ をちょうど 1 回もつので 3 も成り立ちます。
</Proof>

この系は次章で、ルートの「列」（$\alpha$ を何回足せるか）を数えるのに使います。また 2 の対称性は Weyl 群による対称性の最も簡単な場合です。物理の言葉では $V(m)$ はスピン $j=m/2$ の表現で、$h=2J_3$、$e=J_+$、$f=J_-$ です。$SU(2)$ の既約表現の分類（<Ref to="mathematics/compact-groups/characters-su2#thm-su2-classification" />）と照らし合わせてください。

## 11. 演習

<Exercise id="exr-heisenberg-not-semisimple" difficulty="易">
3 次元 Heisenberg Lie 環 $\mathfrak{n}$（基底 $x,y,z$、$[x,y]=z$、他は $0$）の Killing 形式が恒等的に $0$ であることを示し、$\mathfrak{n}$ が冪零であることを確かめてください。
<Solution>
$\operatorname{ad}x$ は $y\mapsto z$ だけが $0$ でなく、$\operatorname{ad}y$ は $x\mapsto-z$ だけ、$\operatorname{ad}z=0$ です。どの積 $\operatorname{ad}a\operatorname{ad}b$ も、像が $\mathbb{C}z$ に入り $z$ を $0$ に写すので冪零で、跡は $0$ です。よって $\kappa\equiv0$ です。$C^1\mathfrak{n}=\mathbb{C}z$、$C^2\mathfrak{n}=[\mathfrak{n},\mathbb{C}z]=0$ なので冪零です。<Ref to="thm-semisimple-killing" /> と整合して、半単純ではありません。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-gl-not-semisimple" difficulty="標準">
$\mathfrak{gl}(n,\mathbb{C})$ の Killing 形式が $\kappa(x,y)=2n\operatorname{tr}(xy)-2\operatorname{tr}x\operatorname{tr}y$ であることを示し、その根基を求めてください。また $\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$（$n\ge2$）が半単純であることを結論してください。
<Solution>
行列単位 $E_{ij}$ について $\operatorname{ad}x\operatorname{ad}y(E_{ij})=xyE_{ij}-xE_{ij}y-yE_{ij}x+E_{ij}yx$ です。$z\mapsto xyz$ の跡は $n\operatorname{tr}(xy)$、$z\mapsto zyx$ も $n\operatorname{tr}(xy)$、$z\mapsto xzy$ の跡は $\sum_{i,j}x_{ii}y_{jj}=\operatorname{tr}x\operatorname{tr}y$ で、$z\mapsto yzx$ も同じです。よって $\kappa(x,y)=2n\operatorname{tr}(xy)-2\operatorname{tr}x\operatorname{tr}y$ です。$\kappa(x,\cdot)=0$ は $2n\operatorname{tr}(xy)=2\operatorname{tr}x\operatorname{tr}y$（すべての $y$）で、$y=E_{ji}$ とおくと $nx_{ij}=\delta_{ij}\operatorname{tr}x$、すなわち $x$ はスカラー行列です。根基はスカラー行列 $\mathbb{C}I$ で、$\mathfrak{gl}(n)$ は半単純ではありません。$\mathfrak{sl}(n)$ はイデアルなので Killing 形式は $\kappa|_{\mathfrak{sl}(n)}=2n\operatorname{tr}(xy)$ で、$x\in\mathfrak{sl}(n)$ がすべての $y\in\mathfrak{sl}(n)$ に対して $\operatorname{tr}(xy)=0$ なら、$y=E_{ji}$（$i\ne j$）と $y=E_{ii}-E_{jj}$ から $x_{ij}=0$、$x_{ii}=x_{jj}$、トレース $0$ から $x=0$ です。<Ref to="thm-semisimple-killing" /> から半単純です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-sl2-tensor" difficulty="標準">
<Ref to="cor-sl2-finite-modules" /> を使って、$V(m)\otimes V(n)\cong V(m+n)\oplus V(m+n-2)\oplus\cdots\oplus V(|m-n|)$ を示してください（$x\cdot(v\otimes w)=xv\otimes w+v\otimes xw$）。
<Solution>
$h$ の固有ベクトル $v_k\otimes w_l$ のウェイトは $(m-2k)+(n-2l)$ なので、$\dim(V(m)\otimes V(n))_\mu$ は $(m-2k)+(n-2l)=\mu$ となる $(k,l)$ の個数です。$m\ge n$ とすると、$\mu=m+n-2j$ について個数は $j+1$（$0\le j\le n$）、$n+1$（$n\le j\le m$）、以降対称に減ります。完全可約性から $V(m)\otimes V(n)=\bigoplus_pV(p)^{a_p}$ で、$V(p)$ はウェイト $p,p-2,\dots$ を 1 回ずつもつので $a_p=\dim V_p-\dim V_{p+2}$ です。これは $p=m+n-2j$（$0\le j\le n$）で $1$、それ以外で $0$ です。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- J. E. Humphreys, *Introduction to Lie Algebras and Representation Theory*, Springer GTM 9, 1972 — 第 I〜II 章（§3〜§7）。
- N. Jacobson, *Lie Algebras*, Interscience, 1962（Dover 再版 1979）— 第 II〜III 章。
- J.-P. Serre, *Complex Semisimple Lie Algebras*, Springer, 1987 — 第 I〜IV 章。
- K. Erdmann and M. J. Wildon, *Introduction to Lie Algebras*, Springer, 2006 — 第 6〜9 章。
- 佐武一郎『リー環の話』日本評論社、2002（新版）。