# 確率：有限確率空間・独立・条件付き確率・期待値
> 有限確率空間を定義して Kolmogorov の確率空間の特別な場合だと示し、確率の基本性質、反復試行、条件付き確率とベイズの定理、期待値の線形性と指示関数の方法を証明つきで扱う。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/hs-probability/finite-probability
## 0. この記事の要点
「さいころを 2 個投げて目の和が 7 になる確率は？」「検査で陽性と出たとき、本当に病気である確率は？」といった問いに、数え方のきまりを決めて確実に答えられるようにするのがこの記事の目的です。確率を「起こりうる結果の集合と、各結果の重み」として最初に定め、そこから足し算・条件付き・平均（期待値）の計算規則をすべて導きます。読み終えると、「何を同様に確からしいとみなすか」を自分で決めて、確率や期待値を計算できるようになります。
- 確率とは「結果の集合 $\Omega$（有限）の各点に非負の重みを割り当て、合計を $1$ にしたもの」です。これが**有限確率空間**で、Kolmogorov の公理（確率空間）の特別な場合です。
- 「同様に確からしい」とは、重みがすべて等しいことです。このとき確率は場合の数の比 $P(A)=|A|/|\Omega|$ になります。前の記事（[場合の数](/mathematics/hs-probability/counting)）が確率の計算の土台です。
- 加法定理・余事象・和事象の確率は、重みの和の性質から直接出ます。
- 独立な試行は**直積空間**で定義され、成功確率 $p$ の試行を $n$ 回反復して $k$ 回成功する確率は $\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ です。
- 条件付き確率 $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ から、乗法定理・全確率の公式・ベイズの定理が出ます。「独立」と「排反」は別の概念です。
- 期待値（確率で重みをつけた平均）は、独立でなくても**線形性**を満たします。事象の確率を足し合わせると、期待値が（難しい分布を求めずに）計算できます。
## 1. 動機
確率の問題で最も多い失敗は、「何が同様に確からしいのか」を決めずに数えることです。たとえば「2 個のさいころを投げて目の和が 7 になる確率」を、和の値 $2,\dots,12$ の 11 通りを同様に確からしいとして $1/11$ と答えると誤りです。同様に確からしいのは、2 個のさいころの目の組 $(i,j)$ の $36$ 通りで、和が 7 になるのは $6$ 通りだから $1/6$ です。
この記事では、確率の対象を**集合と重み**として最初に決めます。以後のすべての定理は、「有限和の性質」だけで証明できます。連続型や無限の場合の一般論は [確率空間](/mathematics/probability/probability-spaces) で学びます。
## 2. 有限確率空間
空でない有限集合 $\Omega$（**標本空間**、起こりうる結果全体）と、各 $\omega\in\Omega$ に対する実数 $p(\omega)\ge0$ で、$\sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)=1$ を満たすものの組 $(\Omega,p)$ を**有限確率空間**という。$\Omega$ の部分集合を**事象**といい、事象 $A$ の**確率**を
$$
P(A)=\sum_{\omega\in A}p(\omega)
$$
と定める（$P(\varnothing)=0$）。すべての $\omega$ で $p(\omega)=1/|\Omega|$ であるとき、これらの結果は**同様に確からしい**といい、$(\Omega,p)$ を**一様な**確率空間という。
一様な有限確率空間では、任意の事象 $A$ について $P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}$ である。
$P(A)=\sum_{\omega\in A}\dfrac1{|\Omega|}=|A|\cdot\dfrac1{|\Omega|}$。
標本空間の選び方に注意します。さいころ 2 個の問題では、$\Omega=\{(i,j):1\le i,j\le6\}$（区別できる 2 個の目の組）として、