# 図形と方程式：直線・円・極線・軌跡・領域・面積と格子点
> 直線と円の方程式、点と直線の距離、接線、極と極線、円の束、Apollonius の円、領域と線形計画法、通過領域、多角形の面積の靴ひも公式、Gauss の円問題、Sylvester–Gallai の定理を座標とベクトルから証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/hs-geometry/coordinate-geometry
## 0. この記事の要点
この記事は、図形の問題を「式の計算」に置き換えて解く方法の話です。たとえば「円の外の点から引いた 2 本の接線の接点を結ぶ線はどこを通るか」「2 点からの距離の比が決まった点はどんな図形を描くか」といった問いを、座標を使って計算で確かめます。読み終えると、直線・円・領域・面積の問題を、図に頼らず式の変形で、しかも「本当に同じことを言い換えているか」を確かめながら解けるようになります。後半の名前（極線、靴ひも公式、Gauss の円問題など）は、その節で初めて説明するので、今は知らなくて大丈夫です。
- 平面を座標平面 $\mathbb{R}^2$ とすると、直線は $ax+by+c=0$（$(a,b)\ne(0,0)$）、円は $(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$ という方程式で表されます。図形の性質は、方程式の係数の関係として読めます。
- **点と直線の距離** $\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ の公式は、「垂線の足が最短」というピタゴラスの定理の言い換えとして証明できます。円と直線の位置関係（交点 2 個・接する・交わらない）は、この距離と半径の大小で決まります。
- 円の**極と極線**（円の外の点から引いた 2 本の[接線](/mathematics/hs-geometry/circle-geometry#def-tangent)の接点を結ぶ直線が、その点の極線です）は、$(P-C)\cdot(X-C)=r^2$ という[内積](/mathematics/hs-geometry/plane-vectors#def-dot-det)の方程式一つで定まり、接線・接点・反転の話を統一します。**La Hire の定理**（$Q$ が $P$ の極線上 $\iff$ $P$ が $Q$ の極線上）は内積の対称性そのものです。
- 軌跡は「必要十分」を確かめて初めて完成します。**Apollonius の円**（2 定点からの距離の比が一定の点の軌跡）は、方程式を変形して円の方程式に直すことで、必要十分のまま示せます。
- 領域と最大・最小：線形の目的関数の最大・最小は、凸多角形の頂点で起こります（**線形計画法**）。**通過領域**は、パラメータの 2 次方程式が（区間内に）実数解をもつ条件として求めます。
- 面積と格子点：[凸多角形](/mathematics/hs-geometry/congruence-and-similarity#def-convex-polygon)の面積は**靴ひも公式**で計算でき、**Gauss の円問題**（半径 $r$ の円の内部の格子点の個数 $=\pi r^2+O(r)$）は、単位正方形の敷き詰めで示せます。**Sylvester–Gallai の定理**は、点と直線の距離の最小性による Kelly の証明です。なお $O(r)$ は「$r$ に比例する程度の大きさ以下」という意味の記号です。
## 1. 動機：図形の問題を式の問題に直す
Descartes による座標の導入は、図形の問題を方程式の問題に翻訳する道具です。翻訳は一方通行ではありません。たとえば「円と直線が接する」は、図形としては「共有点がちょうど 1 つ」ですが、式としては「連立方程式の判別式が $0$」「中心と直線の距離が半径に等しい」の 2 通りに言い換えられ、どちらも同じことを言っています。この記事では、そうした言い換えを、言い換えのたびに**同値になっているか**を確かめながら積み上げます。
高校の「図形と方程式」の問題には、いくつかの典型があります。
- 点と直線の距離、円と直線の位置関係、接線の方程式。
- 軌跡：条件を満たす点の集合を求める。**必要条件だけで絞って終わりにしない**（逆に、求めた図形のすべての点が条件を満たすことの確認が要る）。
- 不等式の表す領域、領域での最大・最小、通過領域。
- 面積・格子点の計算。
この記事は、これらの典型を、最初の章 [平面ベクトルと座標](/mathematics/hs-geometry/plane-vectors) の道具（内積・行列式・符号付き面積）と、[2 次関数](/mathematics/hs-algebra/quadratic-functions) の判別式・解の配置から導きます。
## 2. 直線の方程式と点と直線の距離
1. **（一般形）** 平面の直線は、$(a,b)\ne(0,0)$ を満たす $ax+by+c=0$ の解集合として表され、逆にそのような方程式の解集合は直線である。$\boldsymbol n=(a,b)$ は**法線ベクトル**、$(-b,a)$ は**方向ベクトル**である。2 つの方程式が同じ直線を表すことと、係数の組 $(a,b,c)$ が互いに $0$ でない定数倍であることは同値である。
2. **（2 点を通る直線）** 相異なる 2 点 $A,B$ を通る直線はただ 1 つで、その方程式は $(y_B-y_A)(x-x_A)-(x_B-x_A)(y-y_A)=0$。
3. 直線 $\ell:ax+by+c=0$、$\ell':a'x+b'y+c'=0$ について、$\Delta=ab'-a'b$ とする。$\Delta\ne0$ ならちょうど 1 点で交わり、交点は $\Bigl(\dfrac{bc'-b'c}{\Delta},\ \dfrac{ca'-c'a}{\Delta}\Bigr)$。$\Delta=0$ なら一致するか共有点をもたない（平行）。$\ell\perp\ell'\iff aa'+bb'=0$。
4. $b,b'\ne0$ のとき、傾き $m=-a/b$、$m'=-a'/b'$ について、$\ell\parallel\ell'\iff m=m'$、$\ell\perp\ell'\iff mm'=-1$。
**(1)** 直線は $\{\boldsymbol x\mid\det(\boldsymbol d,\boldsymbol x-\boldsymbol a)=0\}$（$\boldsymbol d\ne\boldsymbol 0$、
直線が円に**接する**とは、共有点がちょうど 1 つであること、その共有点を**接点**といいます。
円 $\Gamma:(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$ 上の点 $T=(x_0,y_0)$ における接線（$T$ を通り $\Gamma$ とちょうど 1 点 $T$ で交わる直線）はただ 1 つで、
$$
(x_0-p)(x-p)+(y_0-q)(y-q)=r^2
$$
である。これは $T$ を通り $CT$（$C=(p,q)$）に垂直な直線である。
$\boldsymbol t=T-C$（$|\boldsymbol t|=r$）とおくと、与えられた方程式は $\boldsymbol t\cdot(X-C)=r^2$、すなわち $\boldsymbol t\cdot(X-T)=0$（$\boldsymbol t\cdot(T-C)=r^2$ を使う）で、$T$ を通り $\boldsymbol t$ に垂直な直線 $\ell_0$ です。$C$ からの距離は $\dfrac{|\boldsymbol t\cdot(C-T)|}{|\boldsymbol t|}=\dfrac{r^2}{r}=r$ なので、