# 三角関数：一般角・弧度法・加法定理から、周期と正五角形の黄金比まで > 単位円による三角関数の定義が級数の定義と一致することを確かめ、基本性質・加法定理・倍角・積和・合成・三角方程式・周期関数の和の基本周期・正五角形の cos 72° を証明つきで扱う。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/hs-analysis/trigonometric-functions ## 0. この記事の要点 sin や cos は、三角形の辺の比として習った人が多いと思います。ところが、グラフを描いて微分したり、直角より大きい角を扱ったりするときには、「辺の比」という説明だけでは足りなくなります。この記事では、三角関数を円周上の点の座標として捉え直し、加法定理などの公式がそこからどう出てくるかを順に確かめます。読み終えると、公式を丸暗記せずに導けるようになり、三角方程式の解の形の根拠や、正五角形の対角線と辺の比が黄金比になる理由を説明できます。 - 高校の三角関数は「単位円周上の点 $\mathrm P(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta)$」で定義されます。この記事では、その定義が、級数から作った $\cos,\sin$（[余弦](/mathematics/hs-analysis/elementary-functions#def-cos-sin)・[正弦](/mathematics/hs-analysis/elementary-functions#def-cos-sin)）と**同じもの**であること（角 $\theta$ が弧の長さに等しいこと）を、前の記事 [指数・対数・三角関数をきちんと定義する](/mathematics/hs-analysis/elementary-functions) の定理を指して確かめます。 - 基本性質（$\cos^2+\sin^2=1$、対称性、周期性）、加法定理、2 倍角・半角・3 倍角、積和・和積の公式、合成 $a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)$ を、加法定理だけから導きます。 - 三角方程式 $\sin x=a$、$\cos x=a$、$\tan x=a$ の解の集合がなぜその形になるのかを、単位円の全単射と積和・和積の公式で証明します。 - 周期関数の和は周期関数になるとは限りません。$\sin px+\sin qx$ が周期関数であることと $p/q$ が有理数であることが同値であることを、微分を使って示します。 - 最後に $\sum\sin k\theta$ などの和の公式と、$\cos\dfrac{2\pi}5=\dfrac{\sqrt5-1}4$ を証明し、正五角形の対角線と辺の比が黄金比になることを確かめます。 ## 1. 動機：三角関数の 3 つの顔 高校の数学で、$\sin\theta$ にはいくつかの顔があります。 1. **直角三角形の比**（数学 I）：斜辺に対する対辺の比。$0^\circ<\theta<90^\circ$ に限る。 2. **単位円周上の点の座標**（数学 II）：$\theta$ を一般角に広げる。 3. **周期 $2\pi$ の関数**（数学 II・III）：グラフを描いて、微分・積分する。 これらが「同じもの」であることは、ふつう図を描いて納得させるだけです。しかし 2 と 3 の間には、実は大きな溝があります。「$\theta$ ラジアンの角に対応する点」は弧の長さで決まる点で、$\theta\mapsto(\cos\theta,\sin\theta)$ が単位円全体を 1 回だけ回ることは、図を描いてもそのままでは証明になりません。この溝は、前の記事で $\cos,\sin$ を級数で定義し、そこから単位円の媒介変数表示を**定理として**導くことで埋めてあります。 この記事は、その定理を土台にして、高校の三角関数の公式群を整理し、証明を付けます。使う根の定理は次の 4 つです。 - 加法定理（）と $\cos^2+\sin^2=1$（）。 - 周期性と対称性（）。 - 単位円の媒介変数表示（）。 - 弧の長さ $=\theta$（）。 ## 2. 一般角と弧度法 ### 2.1. 単位円による定義 実数 $\theta$ に対し、単位円周上の点 $\mathrm P(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta)$ を、**$\theta$ ラジアンの角に対応する点**という。ここで $\cos,\sin$ は級数で定義された関数（）である。$\cos\theta\ne0$ のとき $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ と定める。 「角を度数法の $30^\circ$ や $90^\circ$ で測る」と「弧度法の $\pi/6$、$\pi/2$ で測る」の関係は、$180^\circ=\pi$ という換算で決まります。すなわち $x^\circ$ は $\dfrac{\pi x}{180}$ ラジアンです。この記事では、断りがなければ角はラジアンで測ります。 高校で「$\theta$ ラジアンとは、単位円の弧の長さが $\theta$ になる角」と習います。これと上の定義が同じものを指していることが、次の命題です。 $0\le\theta\le2\pi$ とする。単位円周上の点 $(1,0)=\mathrm P(0)$ から、反時計回りに $\mathrm P(\theta)$ までたどる弧 $\gamma(t)=\mathrm P(t)$（$0\le t\le\theta$）の長さは $\theta$ である。また、$0\le\theta<\theta'<2\pi$ ならば $\mathrm P(\theta)\ne\mathrm P(\theta')$ で、$\mathrm P(\theta')$ までの弧の長さ $\theta'$ は $\theta$ より大きい。したがって $[0,2\pi)$ の実数は、単位円周上の点と一対一に対応し、その点までの反時計回りの弧の長さが、ちょうどその実数である。 弧の長さが $\theta$ であることは そのものです。一対一対応は です。
P(θ) cos θ sin θ tan θ θ 1 弧
## 3. 基本性質とグラフ ### 3.1. 基本性質 任意の実数 $\theta$ に対し、次が成り立つ。 1. $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$。$|\cos\theta|\le1$、$|\sin\theta|\le1$。 2. $\cos(-\theta)=\cos\theta$、$\sin(-\theta)=-\sin\theta$。 3. $\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$、$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$、$\cos\left(\dfrac\pi2-\theta\right)=\sin\theta$、$\sin\left(\dfrac\pi2-\theta\right)=\cos\theta$。 4. $\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta$、$\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta$。$\tan(\theta+\pi)=\tan\theta$（$\cos\theta\ne0$ のとき）。 5. $\cos\theta=1$ となる必要十分条件は $\theta\in2\pi\mathbb Z$、$\sin\theta=0$ となる必要十分条件は $\theta\in\pi\mathbb Z$、$\cos\theta=0$ となる必要十分条件は $\theta\in\dfrac\pi2+\pi\mathbb Z$。 6. $\cos,\sin$ の最小正周期は $2\pi$、$\tan$ の最小正周期は $\pi$ である。 次の証明の (5) は、実数 $\theta$ を「$2\pi$ の整数倍」と「$0$ 以上 $2\pi$ 未満の余り $t$」に分けて、$[0,2\pi)$ の範囲の問題に帰着させます。その範囲では、異なる $t$ に異なる点 $\mathrm P(t)$ が対応する（単射）ので、「$\cos\theta=1$ ならば点は $(1,0)$、したがって $t=0$」と言えます。 **(1)** は です。**(2)** は (2) です。**(3)** 加法定理（）で $\cos(\pi-\theta)=\cos\pi\cos\theta+\sin\pi\sin\theta=-\cos\theta$（$\cos\pi=-1$、$\sin\pi=0$）、$\sin(\pi-\theta)=\sin\pi\cos\theta-\cos\pi\sin\theta=\sin\theta$。$\cos(\pi/2-\theta)=\cos\frac\pi2\cos\theta+\sin\frac\pi2\sin\theta=\sin\theta$、$\sin(\pi/2-\theta)=\cos\theta$（$\cos\frac\pi2=0$、$\sin\frac\pi2=1$。）。**(4)** $2\pi$ の周期性は (2) で、$\tan(\theta+\pi)=\dfrac{-\sin\theta}{-\cos\theta}=\tan\theta$ です（同 (2) の $\pi$ 周期の符号反転）。 **(5)** 実数 $\theta$ を $\theta=2\pi m+t$（$m$ は整数、$0\le t<2\pi$）と書きます（ を $\theta/2\pi$ に使う）。(4) より $(\cos\theta,\sin\theta)=\mathrm P(t)$ です。$\cos\theta=1$ なら $\cos t=1$ で、$\cos^2t+\sin^2t=1$ から $\sin t=0$、すなわち $\mathrm P(t)=(1,0)=\mathrm P(0)$ です。単位円の媒介変数表示は $[0,2\pi)$ 上で単射（）なので $t=0$、したがって $\theta=2\pi m$ です。逆は (4) から。$\sin\theta=0$ なら同様に $\mathrm P(t)=(\pm1,0)$ で、$\mathrm P(0)=(1,0)$、$\mathrm P(\pi)=(-1,0)$ なので単射性から $t\in\{0,\pi\}$、すなわち $\theta\in\pi\mathbb Z$ です。$\cos\theta=\sin\left(\theta+\frac\pi2\right)$（ (1)）なので、$\cos\theta=0$ は $\theta+\frac\pi2\in\pi\mathbb Z$ と同値です。 **(6)** $T>0$ が $\cos$ の周期なら $\cos T=\cos0=1$ で、(5) から $T\in2\pi\mathbb Z$、すなわち $T\ge2\pi$ です。$\sin$ の周期 $T$ については $\sin T=\sin 0=0$ から $T\in\pi\mathbb Z$ となり、さらに $\sin(\frac\pi2+T)=\sin\frac\pi2=1$、すなわち $\cos T=1$ から $T\in2\pi\mathbb Z$ です。$\tan$ の周期 $T$ については $\tan T=\tan0=0$ から $\sin T=0$、$T\in\pi\mathbb Z$ で、$\pi$ 自身が周期なので最小は $\pi$ です。 (5) と (6) は、「$\theta$ が $2\pi$ だけ変わると点 $\mathrm P(\theta)$ は 1 周して元に戻るが、それより短い周期は無い」ことの正確な言い方です。 ### 3.2. 特別な角の値 直角三角形の比で習った $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ の値を、図を使わずに加法定理から求めます。 $$ \sin\frac\pi6=\frac12,\quad\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2,\quad\sin\frac\pi4=\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2,\quad\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2,\quad\cos\frac\pi3=\frac12 $$ である。 $\sin\frac\pi6$ は、3 倍角の公式から求めます。$3\cdot\frac\pi6=\frac\pi2$ で $\sin\frac\pi2=1$ なので、$s=\sin\frac\pi6$ は 3 次方程式 $4s^3-3s+1=0$ を満たします。$s=-1$ を代入すると $-4+3+1=0$ なので $s+1$ で割り切れ、割り算をすると次の証明の因数分解になります（$(s+1)(4s^2-4s+1)$ で、後ろの因数が $(2s-1)^2$ です）。 **$\pi/6$：** $s=\sin\frac\pi6$ とおきます。$\frac\pi6\in(0,\frac\pi2)$ なので $s>0$ です（ (3)）。3 倍角の公式（）より $\sin\frac\pi2=3s-4s^3$ で、$\sin\frac\pi2=1$ なので $4s^3-3s+1=0$、因数分解して $(s+1)(2s-1)^2=0$ です。$s>0$ より $s=\frac12$ です。$\cos\frac\pi6=\sqrt{1-s^2}=\frac{\sqrt3}2$（$\cos\frac\pi6>0$ は同 (3)。 で平方根は正のものを取る）。 **$\pi/3$：** (3) より $\sin\frac\pi3=\cos\left(\frac\pi2-\frac\pi3\right)=\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2$、$\cos\frac\pi3=\sin\frac\pi6=\frac12$。 **$\pi/4$：** $\cos\frac\pi2=\cos^2\frac\pi4-\sin^2\frac\pi4=0$（加法定理）で、$\frac\pi4\in(0,\frac\pi2)$ では $\cos,\sin>0$（ (3)）なので $\sin\frac\pi4=\cos\frac\pi4$、$\cos^2+\sin^2=1$ から $2\cos^2\frac\pi4=1$、$\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2$ です。 上の命題と $\tan=\sin/\cos$ から、次の表が得られます。 | $\theta$ | $0$ | $\pi/6$ | $\pi/4$ | $\pi/3$ | $\pi/2$ | |---|---|---|---|---|---| | $\sin\theta$ | $0$ | $\frac12$ | $\frac{\sqrt2}2$ | $\frac{\sqrt3}2$ | $1$ | | $\cos\theta$ | $1$ | $\frac{\sqrt3}2$ | $\frac{\sqrt2}2$ | $\frac12$ | $0$ | | $\tan\theta$ | $0$ | $\frac1{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ | （定義されない） | $\sin\theta$ は $0,1,2,3,4$ の平方根を $2$ で割ったもの $\dfrac{\sqrt0}2,\dfrac{\sqrt1}2,\dfrac{\sqrt2}2,\dfrac{\sqrt3}2,\dfrac{\sqrt4}2$ と並ぶ、というのは有名な覚え方です。 ### 3.3. グラフ 正弦と余弦のグラフは次のようになります。どちらも周期 $2\pi$ で、$\cos\theta=\sin(\theta+\pi/2)$ なので、$\cos$ のグラフは $\sin$ のグラフを左に $\pi/2$ だけ平行移動したものです。
π/2 π 3π/2 2π
## 4. 加法定理とその系 ### 4.1. 加法定理 任意の実数 $\alpha,\beta$ に対し次が成り立つ。 1. $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$。 2. $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$。 3. $\cos\alpha,\cos\beta,\cos(\alpha\pm\beta)$ がすべて $0$ でないとき、$\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$。 $+$ の場合の (1)(2) は、級数から導いた加法定理（）そのものです。$-$ の場合は、$\beta$ を $-\beta$ に置き換え、$\cos(-\beta)=\cos\beta$、$\sin(-\beta)=-\sin\beta$（ (2)）を使います。(3) は、$\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos(\alpha\pm\beta)}$ の分子・分母を (1)(2) で展開し、$\cos\alpha\cos\beta\ne0$ で割ればよいのです： $$ \frac{\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta}=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}. $$ ### 4.2. 倍角・半角・3 倍角 任意の実数 $\theta$ に対し次が成り立つ。 1. $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$、$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$。$\cos\theta,\cos2\theta\ne0$ のとき $\tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$。 2. $\cos^2\dfrac\theta2=\dfrac{1+\cos\theta}2$、$\sin^2\dfrac\theta2=\dfrac{1-\cos\theta}2$。$\cos\dfrac\theta2\ne0$、$\cos\theta\ne-1$ のとき $\tan\dfrac\theta2=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$。 3. $\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$、$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$。 **(1)** で $\alpha=\beta=\theta$ とすると $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$、$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$ です。$\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ または $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$（ (1)）を代入して他の 2 つの形を得ます。$\tan2\theta$ は同定理の (3)。 **(2)** (1) の $\cos2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$ に $x=\theta/2$ を代入して、$\cos\theta=2\cos^2\frac\theta2-1=1-2\sin^2\frac\theta2$ を $\cos^2\frac\theta2$、$\sin^2\frac\theta2$ について解きます。$\tan\frac\theta2$ は、$\sin\theta=2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2$ と $1+\cos\theta=2\cos^2\frac\theta2$ の比を取ります。 **(3)** $\sin3\theta=\sin(2\theta+\theta)=\sin2\theta\cos\theta+\cos2\theta\sin\theta=2\sin\theta\cos^2\theta+(1-2\sin^2\theta)\sin\theta=2\sin\theta(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-2\sin^3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$。$\cos3\theta=\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta=(2\cos^2\theta-1)\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta=2\cos^3\theta-\cos\theta-2(1-\cos^2\theta)\cos\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$。 ### 4.3. 積和・和積 任意の実数 $\alpha,\beta,A,B$ に対し次が成り立つ。 $$ \begin{aligned} \sin\alpha\cos\beta&=\tfrac12\bigl[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr],\\ \cos\alpha\cos\beta&=\tfrac12\bigl[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\bigr],\\ \sin\alpha\sin\beta&=-\tfrac12\bigl[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\bigr], \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \sin A+\sin B&=2\sin\tfrac{A+B}2\cos\tfrac{A-B}2,& \sin A-\sin B&=2\cos\tfrac{A+B}2\sin\tfrac{A-B}2,\\ \cos A+\cos B&=2\cos\tfrac{A+B}2\cos\tfrac{A-B}2,& \cos A-\cos B&=-2\sin\tfrac{A+B}2\sin\tfrac{A-B}2. \end{aligned} $$ の $\sin(\alpha\pm\beta)$ を足して $\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$、$\cos(\alpha\pm\beta)$ を足して $2\cos\alpha\cos\beta$、引いて $\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\sin\beta$ です。これが積和の公式です。和積の公式は、積和の公式で $\alpha=\frac{A+B}2$、$\beta=\frac{A-B}2$（$\alpha+\beta=A$、$\alpha-\beta=B$）とおき、$\sin A-\sin B$ は、 の $\sin(\alpha\pm\beta)$ を引いて得られる $\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta$ から得ます。 ### 4.4. 三角関数の合成 実数 $a,b$ が $(a,b)\ne(0,0)$ を満たすとし、$r=\sqrt{a^2+b^2}>0$ とする。このとき、実数 $\alpha$ が存在して、すべての $\theta$ で $$ a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha) $$ が成り立つ。$\alpha$ は $\cos\alpha=a/r$、$\sin\alpha=b/r$ を満たすものである。とくに $a\sin\theta+b\cos\theta$ の最大値は $r$、最小値は $-r$ である。 $(a/r)^2+(b/r)^2=1$ なので、点 $(a/r,b/r)$ は単位円周上にあり、単位円の媒介変数表示（）より $\cos\alpha=a/r$、$\sin\alpha=b/r$ となる $\alpha\in[0,2\pi)$ がただ 1 つ存在します。加法定理より $r\sin(\theta+\alpha)=r\sin\theta\cos\alpha+r\cos\theta\sin\alpha=a\sin\theta+b\cos\theta$ です。$|\sin|\le1$ より値は $[-r,r]$ に入り、$\theta=\frac\pi2-\alpha$ で $\sin(\theta+\alpha)=1$、$\theta=-\frac\pi2-\alpha$ で $-1$ なので、最大・最小は $\pm r$ です。 $a=1$、$b=\sqrt3$ とすると $r=2$、$\cos\alpha=\frac12$、$\sin\alpha=\frac{\sqrt3}2$ で、 より $\alpha=\frac\pi3$ です。したがって $\sin\theta+\sqrt3\cos\theta=2\sin\left(\theta+\frac\pi3\right)$ で、最大値は $2$（$\theta=\frac\pi6$ のとき）です。 ## 5. 三角方程式と三角不等式 $n$ を整数全体にわたる変数とする。 1. $|a|\le1$ とし $\alpha=\arcsin a$ とする。$\sin x=a$ の解全体は、$x=\alpha+2\pi n$ と $x=\pi-\alpha+2\pi n$ である。$|a|>1$ なら解はない。 2. $|a|\le1$ とし $\beta=\arccos a$ とする。$\cos x=a$ の解全体は $x=\pm\beta+2\pi n$（複号同順でなく両方）である。 3. $a$ を実数とし $\gamma=\arctan a$ とする。$\tan x=a$（$\cos x\ne0$）の解全体は $x=\gamma+\pi n$ である。 証明の考え方は、「$\sin x=\sin\alpha$ を $\sin x-\sin\alpha=0$ と書き、和積の公式で積の形にする。積が $0$ になるのは、どちらかの因数が $0$ のとき」というものです。(2) も同じ流れで、$\cos x-\cos\beta$ を積にします。 **(1)** $|a|>1$ では $|\sin x|\le1$ から解がありません。$|a|\le1$ のとき $\sin\alpha=a$（）なので、解は $\sin x-\sin\alpha=0$ の解です。和積の公式（）より $\sin x-\sin\alpha=2\cos\frac{x+\alpha}2\sin\frac{x-\alpha}2$ で、これが $0$ なのは $\cos\frac{x+\alpha}2=0$ または $\sin\frac{x-\alpha}2=0$ のときです。 (5) により、前者は $\frac{x+\alpha}2\in\frac\pi2+\pi\mathbb Z$、すなわち $x=\pi-\alpha+2\pi n$、後者は $\frac{x-\alpha}2\in\pi\mathbb Z$、すなわち $x=\alpha+2\pi n$ です。 **(2)** $\cos\beta=a$ で、$\cos x-\cos\beta=-2\sin\frac{x+\beta}2\sin\frac{x-\beta}2$ です。これが $0$ なのは $\frac{x+\beta}2\in\pi\mathbb Z$ または $\frac{x-\beta}2\in\pi\mathbb Z$、すなわち $x=-\beta+2\pi n$ または $x=\beta+2\pi n$ のときです。 **(3)** $\tan\gamma=a$、$\cos\gamma\ne0$ で、$\cos x\ne0$ のとき $\tan x=\tan\gamma$ は $\sin x\cos\gamma-\cos x\sin\gamma=\sin(x-\gamma)=0$ と同値です。 (5) より $x-\gamma\in\pi\mathbb Z$。逆に $x=\gamma+\pi n$ ならば $\cos x=\pm\cos\gamma\ne0$ なので条件を満たします。 $2\cos^2x+3\sin x-3=0$ を解きます。$\cos^2x=1-\sin^2x$ を使うと $-2\sin^2x+3\sin x-1=0$、すなわち $(2\sin x-1)(\sin x-1)=0$ です。$\sin x=\frac12$ のとき、$\arcsin\frac12=\frac\pi6$（ より $\sin\frac\pi6=\frac12$ で $\frac\pi6\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]$）なので (1) から $x=\frac\pi6+2\pi n$、$\frac{5\pi}6+2\pi n$。$\sin x=1$ のとき $\arcsin1=\frac\pi2$ なので $x=\frac\pi2+2\pi n$（2 つの族は一致します）。 $0\le x<2\pi$ で $\sin x>\frac12$ を解きます。方程式 $\sin x=\frac12$ の解は (1) から $x=\frac\pi6,\frac{5\pi}6$ の 2 つだけです。$\sin x-\frac12$ は連続（）で、零点で区切られた 3 つの区間 $[0,\frac\pi6)$、$(\frac\pi6,\frac{5\pi}6)$、$(\frac{5\pi}6,2\pi)$ のそれぞれの中では、中間値の定理（）により符号が変わりません。各区間の代表点で調べると、$x=0$ で $0<\frac12$、$x=\frac\pi2$ で $1>\frac12$、$x=\pi$ で $0<\frac12$ です。よって解は $\frac\pi6 ## 6. 周期関数の和の基本周期 周期 $T_1$ の関数と周期 $T_2$ の関数を足すと、いつも周期関数になるとは限りません。$\sin x+\sin(\sqrt2x)$ は周期関数でしょうか。 $p,q$ を正の実数とし、$g(x)=\sin px+\sin qx$ とおく。 1. $g$ が周期関数である（ある $T>0$ で、すべての $x$ について $g(x+T)=g(x)$）ための必要十分条件は、$p/q$ が有理数であることである。 2. $p/q=m/n$（$m,n$ は互いに素な正の整数）のとき、$g$ の最小の正の周期は $T_0=\dfrac{2\pi m}p=\dfrac{2\pi n}q$ である。 証明の方針です。周期 $T$ があれば、$g(x+T)=g(x)$ がすべての $x$ で成り立つので、両辺を微分した式も成り立ちます。そこで $x=0$ を代入すると、$\cos$ はどんな値でも $1$ 以下であることから、$\cos pT$ と $\cos qT$ がともに $1$ でなければならないことが分かります。これで $pT,qT$ が $2\pi$ の整数倍に決まり、$p/q$ が有理数だと言えます。 **周期ならば $pT,qT\in2\pi\mathbb Z$。** $T>0$ が $g$ の周期とします。$g(x+T)=g(x)$ の両辺を $x$ で微分すると（連鎖律 と (3)）$g'(x+T)=g'(x)$ で、$g'(x)=p\cos px+q\cos qx$ です。$x=0$ とすると $p\cos pT+q\cos qT=p+q$、すなわち $$ p\,(1-\cos pT)+q\,(1-\cos qT)=0 $$ です。$p,q>0$ で $1-\cos\ge0$ なので、2 つの項はどちらも $0$ で、$\cos pT=\cos qT=1$ です。 (5) から $pT=2\pi k$、$qT=2\pi l$（$k,l$ は正の整数）です。 **(1) の必要性。** 上から $p/q=k/l$ は有理数です。 **(1) の十分性と (2)。** $p/q=m/n$（互いに素な正の整数）とし、$T_0=2\pi m/p$ とします。$qm=pn$ なので $T_0=2\pi n/q$ でもあり、$pT_0=2\pi m$、$qT_0=2\pi n$ です。したがって $\sin(p(x+T_0))=\sin(px+2\pi m)=\sin px$、同様に $\sin(q(x+T_0))=\sin qx$ で、$T_0$ は $g$ の周期です。他の周期 $T>0$ が与えられたとき、上の議論から $pT=2\pi k$、$qT=2\pi l$ で、$k/l=p/q=m/n$ から $kn=lm$ です。$m,n$ は互いに素なので $m$ は $k$ を割り切り、$k=mt$（$t$ は正の整数）、$T=2\pi mt/p=tT_0\ge T_0$ です。 $\sin2x+\sin3x$ は $p/q=2/3$ なので周期関数で、最小周期は $\frac{2\pi\cdot2}{2}=2\pi$ です。$\sin\frac x2+\sin\frac x3$ は $p/q=\frac12/\frac13=\frac32$、$m=3$、$n=2$ なので、最小周期は $\frac{2\pi\cdot3}{1/2}=12\pi$ です（それぞれの周期 $4\pi$ と $6\pi$ の[最小公倍数](/mathematics/number-theory/elementary-number-theory#def-lcm)）。一方 $\sin x+\sin(\sqrt2x)$ は $p/q=1/\sqrt2$ が無理数（ と、有理数の逆数が有理数であること）なので、周期関数ではありません。 ## 7. 和の公式と正五角形 ### 7.1. 三角関数の和 積和の公式を使うと、等差的に並んだ角度の和が「打ち消し合って」閉じた形になります。 $\theta\notin2\pi\mathbb Z$ とし、$n$ を正の整数とする。 $$ \sum_{k=1}^n\sin k\theta=\frac{\sin\frac{n\theta}2\,\sin\frac{(n+1)\theta}2}{\sin\frac\theta2},\qquad\sum_{k=1}^n\cos k\theta=\frac{\sin\frac{n\theta}2\,\cos\frac{(n+1)\theta}2}{\sin\frac\theta2}. $$ 証明のこつは、$2\sin\frac\theta2$ を掛けて積和の公式を使うことです。各項が「次の項の一部を打ち消す差」の形になり、足し合わせると隣り合う項が消えて最初と最後だけが残ります（このような和を望遠鏡和といいます）。 $\theta\notin2\pi\mathbb Z$ なので $\frac\theta2\notin\pi\mathbb Z$ で、$\sin\frac\theta2\ne0$ です（ (5)）。積和の公式（）から $$ 2\sin\frac\theta2\sin k\theta=\cos\left(k-\tfrac12\right)\theta-\cos\left(k+\tfrac12\right)\theta,\qquad2\sin\frac\theta2\cos k\theta=\sin\left(k+\tfrac12\right)\theta-\sin\left(k-\tfrac12\right)\theta $$ です。$k=1,\dots,n$ について足すと、右辺の和は隣り合う項が打ち消し合って（望遠鏡和）、 $$ 2\sin\frac\theta2\sum_{k=1}^n\sin k\theta=\cos\frac\theta2-\cos\left(n+\tfrac12\right)\theta=2\sin\frac{(n+1)\theta}2\sin\frac{n\theta}2, $$ $$ 2\sin\frac\theta2\sum_{k=1}^n\cos k\theta=\sin\left(n+\tfrac12\right)\theta-\sin\frac\theta2=2\cos\frac{(n+1)\theta}2\sin\frac{n\theta}2 $$ です（最後の等号は和積の公式）。$2\sin\frac\theta2$ で割れば主張を得ます。 $n\ge2$ のとき、$\theta=2\pi/n$ に を使うと、$\sin\frac{n\theta}2=\sin\pi=0$ なので $\sum_{k=1}^n\cos\frac{2\pi k}n=0$、$\sum_{k=1}^n\sin\frac{2\pi k}n=0$ です。円周上の $n$ 個の等間隔な点 $\mathrm P(2\pi k/n)$ の座標の和は $(0,0)$、すなわち重心が円の中心になります。 ### 7.2. $\cos\frac{2\pi}5$ と黄金比 $$ \cos\frac{2\pi}5=\frac{\sqrt5-1}4,\qquad\cos\frac\pi5=\frac{\sqrt5+1}4 $$ である。 証明の方針です。$\theta=\frac{2\pi}5$ では $3\theta+2\theta=2\pi$ なので $\cos3\theta=\cos2\theta$ が成り立ちます。両辺を 3 倍角・2 倍角の公式で $c=\cos\theta$ の式にすると 3 次方程式 $4c^3-2c^2-3c+1=0$ になります。$c=1$ を代入すると $4-2-3+1=0$ なので、$c-1$ で割ると因数分解できます。 $\theta=\frac{2\pi}5$ とし、$c=\cos\theta$ とおきます。$\theta\in(0,\frac\pi2)$ なので $c>0$ です。$3\theta=2\pi-2\theta$ なので $\cos3\theta=\cos(2\pi-2\theta)=\cos2\theta$（ (2)(4)）です。 から $4c^3-3c=2c^2-1$、すなわち $$ 4c^3-2c^2-3c+1=(c-1)(4c^2+2c-1)=0 $$ です（右辺を展開して確かめられる）。$c=1$ は $\theta\in2\pi\mathbb Z$ を要求する（ (5)）ので成り立ちません。よって $4c^2+2c-1=0$ で、$c=\dfrac{-1\pm\sqrt5}4$、$c>0$ より $c=\dfrac{\sqrt5-1}4$ です。 次に $c'=\cos\frac\pi5>0$ とすると、$\cos\frac{2\pi}5=2c'^2-1$（）から $c'^2=\dfrac{1+c}2=\dfrac{3+\sqrt5}8=\left(\dfrac{1+\sqrt5}4\right)^2$ で、$c'>0$ より $c'=\dfrac{1+\sqrt5}4$ です。 単位円周上の 5 点 $\mathrm P\left(\frac{2\pi k}5\right)$（$k=0,\dots,4$）を頂点とする正五角形を考えます。2 点 $\mathrm P(\alpha)$、$\mathrm P(\beta)$ の距離の 2 乗は $(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2=2-2\cos(\alpha-\beta)=4\sin^2\frac{\alpha-\beta}2$（）なので、距離は $2\left|\sin\frac{\alpha-\beta}2\right|$ です。隣り合う頂点（$\alpha-\beta=\frac{2\pi}5$）の距離（辺の長さ）は $2\sin\frac\pi5$、1 つおきの頂点（$\alpha-\beta=\frac{4\pi}5$）の距離（対角線の長さ）は $2\sin\frac{2\pi}5$ で、比は $$ \frac{\sin\frac{2\pi}5}{\sin\frac\pi5}=2\cos\frac\pi5=\frac{1+\sqrt5}2 $$ です。これが**黄金比**です。
P(0) P(2π/5) P(4π/5) P(6π/5) P(8π/5) 辺 2 sin(π/5) 対角線 2 sin(2π/5)
## 8. 大学ではどこへ続くか - **複素数と回転。** $\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}$ と書くと、加法定理は $e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}$ の実部と虚部になります。De Moivre の定理や 1 の冪根は [複素数と複素平面](/mathematics/complex-analysis/complex-numbers) で扱われ、この記事の積和・和の公式（）は、等比級数の実部・虚部として読み直せます。 - **フーリエ級数。** 周期関数を $\sin kx$、$\cos kx$ の和で表す理論が [フーリエ級数](/mathematics/fourier-analysis/fourier-series) です。積和の公式は、$\sin kx$ と $\cos lx$ の積分（直交性）の計算の基礎になります。 - **周期の話。** 周期の比が無理数のときの和は、周期関数ではなく「概周期関数」（ほぼ同じ形が繰り返し現れる関数）と呼ばれるもので、解析学の別の理論になります。 - **微分積分。** 三角関数の導関数・不定積分は [導関数の定義と基本的な微分法](/mathematics/calculus/derivatives) と、次の記事 [微分法とその応用](/mathematics/hs-analysis/differentiation) 以降で使います。 ## 9. 演習 $\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ=\dfrac18$ を示せ（Morrie の法則）。 $\theta=20^\circ=\frac\pi9$ とおく。$\sin\theta\ne0$（$0<\theta<\pi$）。倍角の公式（ (1)）を繰り返し使うと $$ \sin\theta\cos\theta\cos2\theta\cos4\theta=\tfrac12\sin2\theta\cos2\theta\cos4\theta=\tfrac14\sin4\theta\cos4\theta=\tfrac18\sin8\theta $$ である。$8\theta=160^\circ=\pi-\theta$ なので $\sin8\theta=\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$（ (3)）。したがって $\sin\theta\cos\theta\cos2\theta\cos4\theta=\frac18\sin\theta$ で、$\sin\theta$ で割れば $\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ=\frac18$ である。 $f(\theta)=\sqrt3\sin\theta-\cos\theta$ の最大値・最小値と、それを与える $\theta\in[0,2\pi)$ を求めよ。 $a=\sqrt3$、$b=-1$、$r=2$、$\cos\alpha=\frac{\sqrt3}2$、$\sin\alpha=-\frac12$ なので $\alpha=-\frac\pi6$（$\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2$、$\sin(-\frac\pi6)=-\frac12$）である。 より $f(\theta)=2\sin\left(\theta-\frac\pi6\right)$ で、最大値 $2$（$\theta-\frac\pi6=\frac\pi2$、すなわち $\theta=\frac{2\pi}3$）、最小値 $-2$（$\theta-\frac\pi6=\frac{3\pi}2$、すなわち $\theta=\frac{5\pi}3$）である。 関数 $\cos2x+\cos5x$ は周期関数か。周期関数ならば最小周期を求めよ。 は $\sin$ の和についての定理だが、$\cos px=\sin\left(px+\frac\pi2\right)$ なので、周期の議論は同様である。ここでは直接示す。$g(x)=\cos2x+\cos5x$ の周期 $T>0$ に対し、$g'(x)=-2\sin2x-5\sin5x$ から $g''(x+T)=g''(x)$、$g''(x)=-4\cos2x-25\cos5x$ で、$x=0$ とすると $4\cos2T+25\cos5T=29$、すなわち $4(1-\cos2T)+25(1-\cos5T)=0$ だから $\cos2T=\cos5T=1$、$2T,5T\in2\pi\mathbb Z$ である。$2T=2\pi k$、$5T=2\pi l$ から $k/l=2/5$ で、$(k,l)=(2t,5t)$、$T=2\pi t$ となるので、最小周期は $2\pi$ である（$T=2\pi$ は実際に周期）。 ## 参考文献 - 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980 — 三角関数の章。 - W. Rudin, *Principles of Mathematical Analysis*, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 — Chapter 8（三角関数の定義と基本性質）。 - 『数学 II』『数学 III』（検定済み高等学校教科書、各社）— 三角関数の章。 - 高木貞治『解析概論』岩波書店 — 初等関数の章。