# 2 次関数：平方完成から最大最小・判別式・解の配置まで
> 2 次関数のグラフを平方完成で読み、閉区間での最大最小の場合分けが漏れなく重複なく尽くされることを示す。解の公式と判別式、2 次不等式、解の配置、共通解を証明つきで整理する。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/hs-algebra/quadratic-functions
## 0. この記事の要点
ボールを投げたときの軌跡のような「山なりの曲線」は、$y=ax^2+bx+c$ という式で表されます。この記事では、式を 1 回変形するだけで曲線の頂点や対称の軸が読み取れることを確かめ、そこから「ある区間での最大・最小」「方程式の解の個数」「解がどこにあるか」といった問題を、場合分けの漏れなく解けるようにします。
- 2 次関数のグラフの形（[放物線](/mathematics/hs-geometry/conic-sections#def-conics)、頂点、軸）は、すべて**平方完成** $ax^2+bx+c=a\bigl(x+\tfrac{b}{2a}\bigr)^2-\tfrac{D}{4a}$（$D=b^2-4ac$）という 1 つの恒等式から読み取れます。
- 閉区間 $[m,M]$ での最大値・最小値は、軸の位置による場合分けで決まります。この記事では、場合分けが**漏れなく、重複なく**全体を尽くすことを示します（最小は 3 通り、最大は 2 通り）。
- 解の公式と判別式 $D$ は、平方完成の直接の帰結です。さらに、$D=a^2(\alpha-\beta)^2$ という式により、判別式の正体は「2 つの解の差の 2 乗（の $a^2$ 倍）」だとわかります。
- 解の配置問題（「2 つの解がともに $k$ より大きい」「$p$ と $q$ の間にちょうど 1 つの解がある」）は、$f(k)$ の符号・軸の位置・判別式の 3 条件に翻訳できます。後者は中間値の定理（連続な関数が正の値と負の値をとるなら、その間で $0$ もとる、という性質）を使います。
- 「すべての実数 $t$ について $at^2+bt+c\ge0$」は、$a\ne0$ のとき「$a>0$ かつ $D\le0$」と同値です（$a=0$ の場合は命題の中で別に扱います）。この型の判別式の不等式は、次章の Cauchy–Schwarz の不等式（2 つのベクトルの内積の大きさを、それぞれの長さの積で抑える不等式）の証明に使います。
- 大学では、2 次関数は凸関数（グラフが下にふくらんだ形の関数）と[2 次形式](/mathematics/linear-algebra/spectral-theorem#def-quadratic-form)（$x^2$、$xy$、$y^2$ のように 2 次の項だけでできた式。線形代数の主軸定理で扱います）に一般化されます。
## 1. 動機：なぜ 2 次関数をこれほど丁寧に扱うのか
2 次関数は、高校数学で最初に出会う「非自明な」関数です。1 次関数 $y=ax+b$ は増えるか減るかのどちらかで、最大・最小は端点でしか起こりません。2 次関数では減る領域と増える領域が切り替わるため、最大・最小が内部で起こり、場合分けが必要になります。
また、2 次関数は一般の関数を近似する最初の道具でもあります。微分を学ぶと、なめらかな関数は各点のまわりで 1 次関数、次いで 2 次関数で近似されます（Taylor の定理。関数を多項式で近似する定理です）。極値の判定（第 2 次導関数の符号）は、まさに「その点のまわりの 2 次関数の形」を見るものです。
この記事では、高校の 2 次関数の話題を、定義 → 定理 → 証明の形に整理します。使う道具は前章 [数と式](/mathematics/hs-algebra/numbers-and-expressions) で示した計算規則・絶対値・平方根の性質と、中間値の定理だけです。
## 2. 関数とグラフ、平行移動・対称移動
実数の[部分集合](/mathematics/foundations/sets-and-logic#def-subset) $A$ から $\mathbb{R}$ への関数 $f$ に対し、平面 $\mathbb{R}^2$ の部分集合
$$
G_f=\{(x,f(x))\mid x\in A\}
$$
を $f$ の**グラフ**という。$a\ne0$ として $f(x)=ax^2+bx+c$ と書ける関数を **2 次関数**という。
関数 $f$ のグラフ $G_f$ について、次が成り立つ。
1. $y=f(x-p)+q$ のグラフは、$G_f$ を $x$ 方向に $p$、$y$ 方向に $q$ だけ平行移動したものである。
2. $y=-f(x)$ のグラフは $G_f$ の $x$ 軸に関する対称移動、$y=f(-x)$ は $y$ 軸に関する対称移動、$y=-f(-x)$ は原点に関する対称移動（点対称移動）である。
**(1)** 点 $(X,Y)$ が新しいグラフ上にあることは、$Y=f(X-p)+q$、すなわち $Y-q=f(X-p)$ ということです。これは点 $(X-p,\,Y-q)$ が $G_f$ 上にあることと同じです。したがって新しいグラフは $\{(x+p,\,y+q)\mid(x,y)\in G_f\}$ です。
**(2)** 点 $(X,Y)$ が $y=-f(x)$ のグラフ上にあることは $-Y=f(X)$、すなわち $(X,-Y)\in G_f$ ということで、これは $G_f$ の点 $(x,y)$ を $(x,-y)$ に写す対称移動の像と同じです。他の 2 つも、$(x,y)\mapsto(-x,y)$、$(x,y)\mapsto(-x,-y)$ について同じです。
## 3. 平方完成とグラフの形
$a\ne0$ とし、$D=b^2-4ac$ とおく。すべての実数 $x$ について
$$
ax^2+bx+c=a\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)^2-\frac{D}{4a}.
$$
とくに、$a>0$ ならば $ax^2+bx+c\ge-\dfrac{D}{4a}$ で、等号は $x=-\dfrac{b}{2a}$ のときに限る。$a<0$ ならば不等号が逆向きで、等号条件は同じである。
右辺を展開すると $a\bigl(x^2+\tfrac{b}{a}x+\tfrac{b^2}{4a^2}\bigr)-\tfrac{b^2-4ac}{4a}=ax^2+bx+\tfrac{b^2}{4a}-\tfrac{b^2}{4a}+c$ で、左辺に一致します。$a>0$ のとき、$\bigl(x+\tfrac{b}{2a}\bigr)^2\ge0$（![放物線の軸 p を左から右へ動かすと、区間 [1,4] での最小の点が左端、軸、右端と移り、最大の点は区間の中点を境に右端から左端へ切り替わる動画](/figures/quadratic-extrema-sweep.gif)
**網羅性。** 実数 $p$ は、順序の公理（三分律）により $p0$ かつ $t\mapsto t^2$ は $t\ge0$ で狭義単調増加（