# リーマン予想 I：ゼータ関数の零点の理論（Hadamard 積・零点の個数・古典的零点なし領域）

> 完備ゼータ関数 ξ が位数 1 の整関数であることから Hadamard 積と ζ′/ζ の部分分数展開を導き、Riemann–von Mangoldt の個数公式、de la Vallée Poussin の零点なし領域、零点なし領域の幅と素数定理の誤差項の対応を証明つきでそろえる。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/great-problems/riemann-zeros-and-zero-free-region

## 0. この記事の要点

素数は 2, 3, 5, 7, … とどこまでも続きますが、その並び方には規則が見えません。ゼータ関数という関数が $0$ になる点（零点）を調べると、素数の並びの乱れがどれくらいの大きさなのかが分かります。この記事は、その零点が「何個あるのか」「どんな式で表せるのか」「ある直線のどれだけ近くまで来られるのか」を、証明つきで順に調べます。読み終えると、零点の範囲を限ることが、素数の個数の誤差をどこまで小さく抑えられるかに直結することを、式で説明できるようになります。以下は結果の一覧で、用語は本文で一つずつ定義します。

- 完備ゼータ関数 $\xi(s)=\frac12s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$ は位数 $1$ の[整関数](/mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#def-entire)（複素数全体で微分できる関数）で、$|\xi(s)|\le\exp(C|s|\log|s|)$ を満たします（<Ref to="thm-xi-order-one" />）。
- 位数 $1$ の整関数は零点だけで決まる積に書けます（<Ref to="lem-hadamard-order-one" />）。$\xi$ に使うと $\xi(s)=e^{A+Bs}\prod_\rho(1-s/\rho)e^{s/\rho}$ と、$\zeta'/\zeta$ の部分分数展開が出ます（<Ref to="thm-xi-hadamard-product" />）。
- 虚部が $0$ と $T$ の間にある非自明零点の個数は $N(T)=\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi}+O(\log T)$ です（<Ref to="thm-riemann-von-mangoldt" />）。
- 不等式 $3+4\cos\theta+\cos2\theta\ge0$ から、直線 $\operatorname{Re}s=1$ 上に零点がないこと、さらに $\sigma\ge1-c/\log(|t|+2)$ に零点がないことが従います（<Ref to="thm-classical-zero-free-region" />）。
- 零点なし領域の幅は素数定理の誤差項にそのまま移ります。古典的領域からは $\psi(x)=x+O(x\,e^{-c\sqrt{\log x}})$（<Ref to="thm-pnt-error-term" />）、半平面 $\operatorname{Re}s\gt\Theta$ からは $\psi(x)=x+O(x^{\Theta}\log^2x)$（<Ref to="thm-zero-free-to-error" />）が出ます。
- 無条件で知られている最良の零点なし領域（Vinogradov–Korobov）は、高さ $|t|\to\infty$ で幅が $0$ に縮みます。幅が高さによらない帯 $\Theta\lt\operatorname{Re}s\le1$（$\Theta\lt1$）の零点なし領域は、確立した定理としては 1 つも知られていません。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **解析接続**: 級数で定義された関数を、定義域の外にも正則なまま延ばすこと。→ [解析接続](/mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#def-continuation)
- **非自明零点**: $\zeta$ の零点のうち、負の偶数 $-2,-4,\dots$ 以外のもの。→ [非自明零点と臨界帯](/mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#def-nontrivial-zero)
- **チェビシェフ関数 $\psi$**: $\psi(x)=\sum_{n\le x}\Lambda(n)$。素数の分布を測る関数。→ [チェビシェフ関数と対数積分](/mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#def-chebyshev-psi)
- **素因子**: 無限積を収束させるための因子。位数 $1$ の場合は $E_1(w)=(1-w)e^{w}$。→ [素因子](/mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#def-elementary)
- **Jensen の公式**: 円周上の $\log|f|$ の平均から、円板の中の零点の個数を評価する公式。→ [Jensen の公式と劣調和関数](/mathematics/complex-analysis/jensen-subharmonic)

</Aside>

## 1. 動機

[リーマン予想とは何か](/mathematics/number-theory/riemann-hypothesis) では、ゼータ関数の[解析接続](/mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#def-continuation)と関数等式、リーマン予想の命題、そして「リーマン予想 $\iff$ $\psi(x)=x+O(x^{1/2+\varepsilon})$」という von Koch の同値を扱いました。そこで残した問いが 3 つあります。

1 つ目は、零点は**どれだけあるのか**です。零点の和 $\sum_\rho x^\rho/\rho$ を扱うには、高さ $T$ までの零点の個数を知らなければなりません。2 つ目は、$\zeta$ は**零点でどこまで決まるのか**です。多項式は根と最高次の係数で決まります。$\zeta$ に対応する主張が Hadamard 積で、ここから $\zeta'/\zeta$ を零点の和で書く式が出ます。3 つ目は、リーマン予想が証明されていない現在、零点について**無条件で何が言えるのか**です。答えは「直線 $\operatorname{Re}s=1$ の左に、高さとともに細くなる零点なし領域がある」で、その幅が素数定理の誤差項を決めます。

この記事は、この 3 つを証明つきでそろえます。続く [リーマン予想 II](/mathematics/great-problems/riemann-hypothesis-approaches) は攻略の地図、[リーマン予想 III](/mathematics/great-problems/quasi-riemann-hypothesis-claim) は 2026 年に公表された「$\operatorname{Re}s\gt7/8$ に零点がない」という主張の解説で、どちらもこの記事の定理を使います。とくに最後の <Ref to="thm-zero-free-to-error" /> は、半平面の零点なし領域が誤差項の**冪**の改善になることを述べるもので、第 3 章で $\Theta=7/8$ として使います。

## 2. 準備：記号と定義

$s=\sigma+it$（$\sigma,t\in\mathbb{R}$）と書きます。$\zeta$ の非自明零点（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#def-nontrivial-zero" />）を $\rho=\beta+i\gamma$ と書き、零点についての和や個数はすべて位数の分だけ重複して数えます。$\log$ は自然対数です。フォン・マンゴルト関数 $\Lambda$ とチェビシェフ関数 $\psi(x)=\sum_{n\le x}\Lambda(n)$ は <Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#def-chebyshev-psi" /> のものです。

<Definition id="def-xi" title="完備ゼータ関数">
$$
\xi(s):=\frac12\,s(s-1)\,\pi^{-s/2}\,\Gamma\!\Bigl(\frac s2\Bigr)\zeta(s)=(s-1)\,\pi^{-s/2}\,\Gamma\!\Bigl(\frac s2+1\Bigr)\zeta(s)
$$
を**完備ゼータ関数**という。2 つ目の等号は $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$（<Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#thm-gamma-meromorphic" />）による。$\xi$ は整関数で $\xi(s)=\xi(1-s)$ を満たす（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#thm-functional-equation" />）。
</Definition>

<Definition id="def-entire-order" title="整関数の位数">
整関数 $f$ の**位数**を
$$
\operatorname{ord}f:=\inf\bigl\{a\ge0:\ \text{ある }C\text{ があって、すべての }z\in\mathbb{C}\text{ で }|f(z)|\le C\exp(|z|^{a})\bigr\}
$$
で定める（そのような $a$ が無ければ $\infty$）。$\operatorname{ord}f\le1$ とは、任意の $\varepsilon\gt0$ に対して定数 $C_\varepsilon$ があって、すべての $z$ で $|f(z)|\le C_\varepsilon\exp(|z|^{1+\varepsilon})$ となることである。
</Definition>

多項式の位数は $0$、$e^{z}$ と $\sin z$ の位数は $1$、$e^{z^2}$ の位数は $2$ です。位数は「無限遠でどれだけ速く大きくなれるか」の尺度で、Jensen の公式を通じて「零点がどれだけ密にあり得るか」を上から抑えます。

<Definition id="def-zero-counting" title="零点の個数関数">
$T\gt0$ に対し、$\zeta$ の非自明零点 $\rho=\beta+i\gamma$ で $0\lt\gamma\le T$ を満たすものの個数（重複込み）を $N(T)$ と書く。
</Definition>

<Definition id="def-zero-free-region" title="零点なし領域">
集合 $\Omega\subset\mathbb{C}$ が $\zeta$ の**零点なし領域**であるとは、$\Omega$ のどの点でも $\zeta(s)\ne0$ であることをいう。関数 $w:[0,\infty)\to(0,\frac12]$ について $\Omega=\{\sigma+it:\ \sigma\gt1-w(|t|)\}$ の形のとき、$w(|t|)$ を高さ $|t|$ での**幅**と呼ぶ。
</Definition>

オイラー積から $\sigma\gt1$ は零点なし領域です（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#cor-nonvanishing" />）。問題は直線 $\sigma=1$ の左にどこまで押し込めるかで、リーマン予想（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#ax-riemann-hypothesis" />）は幅が一定値 $\frac12$ だという主張です。リーマン予想の同値な形を表にまとめておきます。

| 形 | 主張 | 同値である理由 |
|---|---|---|
| 零点 | $\zeta$ の非自明零点はすべて $\operatorname{Re}\rho=\frac12$ | 定義（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#ax-riemann-hypothesis" />） |
| 整関数 | $\xi(s)=0$ ならば $\operatorname{Re}s=\frac12$ | $\xi$ の零点は非自明零点と一致する（<Ref to="thm-xi-hadamard-product" /> の証明の第 1 段） |
| 実関数 | $\Xi(t):=\xi(\frac12+it)$ の零点はすべて実数 | $s=\frac12+it$ と置き換えただけ。$\Xi$ は実軸上で実数値の偶関数（<Ref to="exr-xi-real" />）。Hardy の $Z$ 関数による言い換えは第 2 章 |
| 素数（$\psi$） | $\psi(x)=x+O(\sqrt x\log^2x)$ | <Ref to="thm-zero-free-to-error" /> の $\Theta=\frac12$ と <Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-no-zeros" /> |
| 素数（$\pi$） | $\pi(x)=\operatorname{li}(x)+O(\sqrt x\log x)$ | <Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#thm-von-koch" /> |

## 3. ξ は位数 1 の整関数である

<Theorem id="thm-xi-order-one" title="ξ の増大度">
定数 $C\gt0$ が存在して、$|s|\ge2$ を満たすすべての $s\in\mathbb{C}$ で
$$
|\xi(s)|\le\exp\bigl(C\,|s|\log|s|\bigr)
$$
が成り立つ。したがって $\operatorname{ord}\xi\le1$ である。一方、実数 $\sigma\ge2$ では $\xi(\sigma)\ge\exp\bigl(\frac\sigma2(\log\frac{\sigma}{2\pi}-2)\bigr)$ なので、どんな定数 $C'$ についても $|\xi(s)|\le C'\exp(C'|s|)$ はすべての $s$ では成り立たず、$\operatorname{ord}\xi=1$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-xi-order-one">
**第 1 段（$\Gamma$ の粗い評価）.** 実数 $x\ge1$ で $\Gamma(x)\le2x^{x}$ を示します。$1\le x\le2$ のとき、$t\gt0$ について $t^{x-1}\le1+t$（$t\le1$ なら $t^{x-1}\le1$、$t\ge1$ なら $t^{x-1}\le t$）なので、定義（<Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#def-gamma" />）から $\Gamma(x)\le\int_0^\infty(1+t)e^{-t}dt=2$ です。$x\gt2$ のときは $x-n\in(1,2]$ となる整数 $n\ge1$ を取ると、$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ を $n$ 回使って $\Gamma(x)=(x-1)(x-2)\cdots(x-n)\Gamma(x-n)\le x^{n}\cdot2\le2x^{x}$ です。また $\operatorname{Re}z=x\gt0$ なら $|t^{z-1}|=t^{x-1}$ なので $|\Gamma(z)|\le\Gamma(x)$ です。

**第 2 段（$\sigma\ge\frac12$ での評価）.** $\sigma\ge\frac12$、$|s|\ge2$ とします。<Ref to="def-xi" /> の 2 つ目の表示の 3 つの因子を別々に抑えます。まず $|\pi^{-s/2}|=\pi^{-\sigma/2}\le1$ です。次に $x=\frac\sigma2+1$ は $1\le x\le\frac{|s|}2+1\le|s|$ を満たすので、第 1 段から
$$
\Bigl|\Gamma\Bigl(\frac s2+1\Bigr)\Bigr|\le2x^{x}\le2\,|s|^{|s|/2+1}.
$$
最後に、<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-zeta-growth" /> の等式に $s-1$ を掛けると、$\sigma\gt-1$、$s\ne1$ で
$$
(s-1)\zeta(s)=s-\frac{s-1}2-s(s+1)(s-1)\int_1^\infty P_2(x)\,x^{-s-2}\,dx
$$
です。$|P_2|\le\frac18$ から、$\sigma\ge\frac12$ で積分の絶対値は $\frac18\int_1^\infty x^{-\sigma-2}dx=\frac1{8(\sigma+1)}\le\frac1{12}$ 以下です。$|s|\ge2$ では $|s\pm1|\le\frac32|s|$ なので
$$
|(s-1)\zeta(s)|\le|s|+\frac34|s|+\frac1{12}\cdot|s|\cdot\frac94|s|^2=\frac74|s|+\frac3{16}|s|^3\le\Bigl(\frac7{16}+\frac3{16}\Bigr)|s|^3\le|s|^3
$$
です（$|s|\le\frac14|s|^3$ を使いました）。3 つを掛けて、$2\le|s|$、$5\le\frac52|s|$ を使うと
$$
|\xi(s)|\le2\,|s|^{|s|/2+4}\le|s|^{|s|/2+5}\le\exp\bigl(3|s|\log|s|\bigr)\qquad(\sigma\ge\tfrac12,\ |s|\ge2).
$$

**第 3 段（$\sigma\lt\frac12$ と結論）.** $M_0:=\max_{|s|\le3}|\xi(s)|$ とおきます。$\sigma\lt\frac12$、$|s|\ge2$ のとき、$s'=1-s$ は $\operatorname{Re}s'\gt\frac12$、$|s'|\le|s|+1\le\frac32|s|$ を満たし、$\xi(s)=\xi(s')$ です。$|s'|\lt2$ なら $|\xi(s)|\le M_0$。$|s'|\ge2$ なら第 2 段と $\frac32|s|\le|s|^2$ から
$$
|\xi(s)|\le\exp\bigl(3|s'|\log|s'|\bigr)\le\exp\Bigl(\frac92|s|\cdot2\log|s|\Bigr)=\exp\bigl(9|s|\log|s|\bigr).
$$
$|s|\log|s|\ge2\log2$ なので、$C=\max\{9,\ \log(1+M_0)/(2\log2)\}$ とすれば、すべての場合に $|\xi(s)|\le\exp(C|s|\log|s|)$ です。任意の $\varepsilon\gt0$ について $|s|\log|s|\le C'_\varepsilon|s|^{1+\varepsilon}$ なので $\operatorname{ord}\xi\le1$ です。

**第 4 段（下からの評価）.** 実数 $\sigma\ge2$ では $\frac12\sigma(\sigma-1)\ge1$、$\zeta(\sigma)\ge1$ なので $\xi(\sigma)\ge\pi^{-\sigma/2}\Gamma(\sigma/2)$ です。$x=\sigma/2\ge1$ について、被積分関数は正なので
$$
\Gamma(x)\ge\int_x^{2x}t^{x-1}e^{-t}\,dt\ge x\cdot x^{x-1}e^{-2x}=x^{x}e^{-2x}
$$
です。よって $\xi(\sigma)\ge\exp\bigl(\frac\sigma2(\log\frac\sigma2-\log\pi-2)\bigr)$ です。$\sigma\to\infty$ で右辺の指数は $\sigma$ のどんな定数倍よりも大きくなるので、$|\xi(s)|\le C'\exp(C'|s|)$ は成り立ちません。とくに $a\lt1$ について $|\xi(s)|\le C\exp(|s|^{a})$ も成り立たず、$\operatorname{ord}\xi=1$ です。
</Proof>

増大度の評価は、複素 Stirling の公式（<Ref to="mathematics/special-functions/asymptotic-methods#thm-stirling-complex" />）を使えば $\log|\xi(s)|\sim\frac12|s|\log|s|$（正の実軸方向）まで精密にできますが、Hadamard 積に必要なのは上の粗い形だけです。精密な Stirling は §5 の個数公式で使います。

## 4. Hadamard 積

位数が高々 $1$ の整関数について、零点の個数の上界と因数分解を順に示します。一般の位数 $\lambda$ に対する Hadamard の定理（種数 $\lfloor\lambda\rfloor$ の標準積と次数 $\lfloor\lambda\rfloor$ 以下の多項式の指数）のうち、ここで使う $\lambda\le1$ の場合です。

<Lemma id="lem-zeros-order-one" title="位数 1 の整関数の零点の個数">
$f$ を $\operatorname{ord}f\le1$、$f(0)\ne0$ の整関数とし、$|z|\le r$ にある $f$ の零点の個数（重複込み）を $n(r)$ とする。任意の $\varepsilon\gt0$ に対して定数 $C_\varepsilon'$ があって、$r\ge1$ で $n(r)\le C'_\varepsilon r^{1+\varepsilon}$ が成り立つ。したがって $f$ の零点を重複込みで $\rho_1,\rho_2,\dots$ と並べると、任意の $\varepsilon\gt0$ について $\sum_n|\rho_n|^{-1-\varepsilon}\lt\infty$ であり、とくに $\sum_n|\rho_n|^{-2}\lt\infty$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-zeros-order-one">
$\varepsilon\gt0$ を取り、$|f(z)|\le C_\varepsilon\exp(|z|^{1+\varepsilon})$ とします。<Ref to="mathematics/complex-analysis/jensen-subharmonic#cor-zero-count" /> を半径 $R=r$ で使うと、$M=\max_{|z|=2r}|f|\le C_\varepsilon\exp((2r)^{1+\varepsilon})$ から
$$
n(r)\le\frac1{\log2}\Bigl(\log C_\varepsilon+(2r)^{1+\varepsilon}-\log|f(0)|\Bigr)\le C'_\varepsilon\,r^{1+\varepsilon}\qquad(r\ge1)
$$
です。次に和を評価します。$|\rho_n|\le1$ の零点は有限個（$n(1)$ 個）で、どれも $0$ でないので、その寄与は有限です。$k\ge0$ について $2^{k}\lt|\rho_n|\le2^{k+1}$ の零点は $n(2^{k+1})\le C'_\varepsilon2^{(k+1)(1+\varepsilon)}$ 個以下で、それぞれ $|\rho_n|^{-1-2\varepsilon}\le2^{-k(1+2\varepsilon)}$ なので
$$
\sum_{|\rho_n|\gt1}|\rho_n|^{-1-2\varepsilon}\le C'_\varepsilon2^{1+\varepsilon}\sum_{k\ge0}2^{-k\varepsilon}\lt\infty
$$
です。$\varepsilon$ は任意なので主張が従います（$\varepsilon=\frac12$ とすれば指数 $2$）。
</Proof>

<Lemma id="lem-hadamard-order-one" title="位数 1 の整関数の Hadamard 因数分解">
$f$ を $\operatorname{ord}f\le1$、$f(0)\ne0$ の整関数とし、その零点を重複込みで $\rho_1,\rho_2,\dots$（有限個でも、無くてもよい）とする。このとき複素数 $A,B$ が存在して
$$
f(z)=e^{A+Bz}\prod_{n}\Bigl(1-\frac z{\rho_n}\Bigr)e^{z/\rho_n}
$$
が成り立つ。積は $\mathbb{C}$ 上で局所一様に収束する。また $f(z)\ne0$ の点で
$$
\frac{f'(z)}{f(z)}=B+\sum_n\Bigl(\frac1{z-\rho_n}+\frac1{\rho_n}\Bigr)
$$
であり、右辺は零点を除いた集合の上で局所一様に収束する。
</Lemma>

証明の見通しです。零点を集めた積 $P$ で $f$ を割った商は、零点をもたない整関数 $e^{g}$ と書けます。示すべきことは $g$ が 1 次式であること、つまり $g''\equiv0$ です（第 1・2 段が準備、第 3 段が本体）。第 3 段では、円板の中の零点を取り除いた関数に Borel–Carathéodory の補題（実部の上界から、関数の大きさやその導関数を評価する補題）と Cauchy の評価式を使い、$g''$ を、半径 $R$ を大きくすると $0$ に近づく量で抑えます。

<Proof of="lem-hadamard-order-one">
**第 1 段（積の収束）.** 素因子 $E_1(w)=(1-w)e^{w}$（<Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#def-elementary" />）を使い、$a_n(z):=E_1(z/\rho_n)-1$ とおきます。$|z|\le R$ のとき、$|\rho_n|\ge R$ の $n$ については <Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#lem-elementary" /> から $|a_n(z)|\le R^2/|\rho_n|^2$ で、残りの有限個は有界です。<Ref to="lem-zeros-order-one" /> から $\sum_n|\rho_n|^{-2}\lt\infty$ なので、任意のコンパクト集合 $K$ で $\sum_n\sup_K|a_n|\lt\infty$ です。<Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#prop-product" /> により $P(z):=\prod_n(1+a_n(z))$ は局所一様に収束する整関数で、$P(0)=1$、$P(z)=0$ となるのはある $n$ で $z=\rho_n$ のときに限ります。点 $\rho$ が列にちょうど $m$ 回現れるとき、その $m$ 個の因子を除いた積は（同じ命題を残りの列に使って）$\rho$ で $0$ でないので、$P$ は $\rho$ でちょうど位数 $m$ の零点をもちます。さらに $E_1'(w)/E_1(w)=1-\frac1{1-w}$ から、$P(z)\ne0$ の点で
$$
\frac{P'(z)}{P(z)}=\sum_n\frac1{\rho_n}\Bigl(1-\frac1{1-z/\rho_n}\Bigr)=\sum_n\Bigl(\frac1{\rho_n}+\frac1{z-\rho_n}\Bigr)
$$
が局所一様収束の意味で成り立ちます。

**第 2 段（商の対数）.** $f$ と $P$ は同じ零点を同じ位数でもつので、$Q:=f/P$ は除去可能特異点を除いて整関数で、零点をもちません。$Q'/Q$ は整関数なので、テイラー級数（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-taylor" />、収束半径 $\infty$）を項別に積分して原始関数 $g$ を取り、$e^{g(0)}=Q(0)=f(0)$ となるように定数を選びます。$(Qe^{-g})'=(Q'-Qg')e^{-g}=0$ なので $Q=e^{g}$、すなわち $f=e^{g}P$ です。あとは $g''\equiv0$ を示せば、$g(z)=A+Bz$ となって証明が終わります（対数微分の式は $f'/f=g'+P'/P$ と第 1 段から従います）。

**第 3 段（$g''=0$）.** $R\ge1$ とし、$Z_R$ を $|\rho_n|\le2R$ の零点の（有限な）多重集合として
$$
F_R(z):=f(z)\prod_{\rho\in Z_R}\Bigl(1-\frac z\rho\Bigr)^{-1}
$$
とおきます。$F_R$ は整関数で、$F_R(0)=f(0)$、閉円板 $|z|\le2R$ に零点をもちません。残りの零点は $|\rho_n|\gt2R$ で、有界な範囲には有限個しかないので、ある $\delta\gt0$ について $F_R$ は開円板 $D(0,2R+\delta)$ で零点をもちません。

円周 $|z|=4R$ 上では、$\rho\in Z_R$ について $|1-z/\rho|\ge|z|/|\rho|-1\ge1$ なので $|F_R(z)|\le|f(z)|$ です。$\varepsilon=\frac12$ として $|f(z)|\le C\exp(|z|^{3/2})$ を使うと、最大値原理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-maximum-modulus" />）から $|z|\le4R$ で $|F_R(z)|\le C\exp(8R^{3/2})$ です。

$D(0,2R+\delta)$ 上で $F_R'/F_R$ の原始関数 $h_R$ を $h_R(0)=0$ となるように取ると（第 2 段と同じ議論）、$F_R=f(0)e^{h_R}$ で、$|z|\le2R$ で
$$
\operatorname{Re}h_R(z)=\log\Bigl|\frac{F_R(z)}{f(0)}\Bigr|\le A_R:=\log C+8R^{3/2}-\log|f(0)|
$$
です。<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-borel-caratheodory" /> を中心 $0$、半径 $2R$ で使うと、$|w|\le\frac32R$ で $|h_R'(w)|\le\dfrac{2A_R\cdot2R}{(R/2)^2}=\dfrac{16A_R}{R}$ です。$|z|\le R$ のとき、閉円板 $\overline{D}(z,R/2)$ は $|w|\le\frac32R$ に含まれるので、Cauchy の評価式（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#prop-cauchy-estimate" />）を $h_R'$ に $n=1$ で使って
$$
|h_R''(z)|\le\frac{16A_R/R}{R/2}=\frac{32A_R}{R^2}\qquad(|z|\le R).
$$

一方、$|z|\lt2R$ で $f(z)\ne0$ の点では、$F_R'/F_R=f'/f-\sum_{\rho\in Z_R}\frac1{z-\rho}$ と第 1・2 段から
$$
h_R'(z)=g'(z)+\sum_{\rho\in Z_R}\frac1\rho+\sum_{|\rho_n|\gt2R}\Bigl(\frac1{z-\rho_n}+\frac1{\rho_n}\Bigr)
$$
です。右辺の最後の和は $|z|\lt2R$ で局所一様に収束する正則関数の和なので、両辺は $|z|\lt2R$ 全体で正則で、一致の定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-identity" />）により等式は $|z|\lt2R$ 全体で成り立ちます。項別に微分すると（<Ref to="mathematics/complex-analysis/argument-principle-rouche#thm-weierstrass-convergence" />）
$$
h_R''(z)=g''(z)-\sum_{|\rho_n|\gt2R}\frac1{(z-\rho_n)^2}\qquad(|z|\lt2R).
$$
$|z|\le R$、$|\rho_n|\gt2R$ なら $|z-\rho_n|\ge|\rho_n|-R\ge\frac12|\rho_n|$ なので
$$
|g''(z)|\le\frac{32A_R}{R^2}+4\sum_{|\rho_n|\gt2R}\frac1{|\rho_n|^2}\qquad(|z|\le R).
$$
$z$ を固定して $R\to\infty$ とします。$A_R/R^2\le(\log C-\log|f(0)|+8R^{3/2})/R^2\to0$ で、第 2 項は収束する級数（<Ref to="lem-zeros-order-one" />）の尾なので $0$ に収束します。よって $g''(z)=0$ です。
</Proof>

位数の仮定は第 3 段の $A_R/R^2\to0$ にだけ効いています。$e^{z^2}$（位数 $2$、零点なし）は $g(z)=z^2$ で、1 次式になりません。仮定を落とすと結論が壊れる例です。

<Theorem id="thm-xi-hadamard-product" title="ξ の Hadamard 積と ζ′/ζ の部分分数展開">
$\xi$ の零点は $\zeta$ の非自明零点と位数を込めて一致する。$\rho$ が非自明零点全体を重複込みで走るとき、$\sum_\rho|\rho|^{-1-\varepsilon}\lt\infty$（任意の $\varepsilon\gt0$）であり、複素数 $B$ が存在して
$$
\xi(s)=\frac12\,e^{Bs}\prod_\rho\Bigl(1-\frac s\rho\Bigr)e^{s/\rho}
$$
が成り立つ（積は局所一様に絶対収束する）。さらに、$s\ne1$ が $\zeta$ の零点でも極でもなく、$s\notin\{-2,-4,\dots\}$ のとき
$$
\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=B-\frac1{s-1}+\frac12\log\pi-\frac12\,\frac{\Gamma'}{\Gamma}\Bigl(\frac s2+1\Bigr)+\sum_\rho\Bigl(\frac1{s-\rho}+\frac1\rho\Bigr)
$$
である。
</Theorem>

<Proof of="thm-xi-hadamard-product">
**第 1 段（零点の一致と $\xi(0)$）.** <Ref to="def-xi" /> の表示 $\xi(s)=(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(\frac s2+1)\zeta(s)$ を使います。$\pi^{-s/2}$ は零点をもたず、$\Gamma$ は零点をもちません（<Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#thm-gamma-product" />）。$\Gamma(\frac s2+1)$ の極は $s=-2,-4,\dots$ だけです（<Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#thm-gamma-meromorphic" />）。

$s=1$ では、$(s-1)\zeta(s)\to1$（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#thm-continuation" />）と、相反公式（<Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#thm-gamma-reflection" />）に $z=\frac12$ を入れた $\Gamma(\frac12)^2=\pi$、$\Gamma(\frac12)\gt0$ から $\Gamma(\frac32)=\frac12\sqrt\pi$ なので、$\xi(1)=\pi^{-1/2}\cdot\frac12\sqrt\pi=\frac12$ です。関数等式から $\xi(0)=\xi(1)=\frac12$ です。$s=-2k$（$k\ge1$）では $\xi(-2k)=\xi(1+2k)$ で、$1+2k\gt1$ では $\zeta(1+2k)\ne0$（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#cor-nonvanishing" />）、他の因子も $0$ でないので $\xi(-2k)\ne0$ です。それ以外の点 $s\notin\{1,-2,-4,\dots\}$ では、$\zeta$ 以外の 3 つの因子が正則で $0$ でないので、$\xi$ と $\zeta$ の零点の位数は等しくなります。以上から、$\xi$ の零点は $\zeta$ の零点のうち $-2,-4,\dots$ 以外のもの、すなわち非自明零点と位数を込めて一致します。

**第 2 段（積）.** <Ref to="thm-xi-order-one" /> から $\operatorname{ord}\xi\le1$ で、$\xi(0)=\frac12\ne0$ なので、<Ref to="lem-zeros-order-one" /> と <Ref to="lem-hadamard-order-one" /> が使えます。$z=0$ を代入すると $e^{A}=\xi(0)=\frac12$ です。

**第 3 段（対数微分）.** <Ref to="def-xi" /> の表示の対数微分は、各因子が正則で $0$ でない点で
$$
\frac{\xi'(s)}{\xi(s)}=\frac1{s-1}-\frac12\log\pi+\frac12\,\frac{\Gamma'}{\Gamma}\Bigl(\frac s2+1\Bigr)+\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}
$$
です。左辺は <Ref to="lem-hadamard-order-one" /> から $B+\sum_\rho\bigl(\frac1{s-\rho}+\frac1\rho\bigr)$ に等しいので、移項して主張を得ます。
</Proof>

この展開が、零点の理論の基本の道具です。$s$ が零点 $\rho_0$ に近づくと右辺の項 $\frac1{s-\rho_0}$ だけが大きくなり、他は穏やかに変わります。§6 の零点なし領域の証明では、この「零点 1 個ぶんの極」を取り出す局所版（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-zeta-local" />）を使います。

<Corollary id="cor-infinitely-many-zeros" title="非自明零点は無限個ある">
$\zeta$ の非自明零点は無限個ある。
</Corollary>

<Proof of="cor-infinitely-many-zeros">
有限個だと仮定すると、<Ref to="thm-xi-hadamard-product" /> の積は有限積で、$\xi(s)=\frac12e^{B's}p(s)$（$p$ は多項式、$B'=B+\sum_\rho\rho^{-1}$）と書けます。すると定数 $C'$ があってすべての $s$ で $|\xi(s)|\le C'\exp(C'|s|)$ となり、<Ref to="thm-xi-order-one" /> の後半に反します。
</Proof>

<Example id="ex-constant-b" title="定数 B の値と零点の逆数和">
<Ref to="thm-xi-hadamard-product" /> の $B$ を求めます。<Ref to="lem-hadamard-order-one" /> の対数微分の式に $s=0$ を入れると、和の各項が $0$ になるので $B=\xi'(0)/\xi(0)$ です。証明の第 3 段の式に $s=0$ を入れ、$\Gamma'(1)/\Gamma(1)=-\gamma_{\mathrm E}$（$\gamma_{\mathrm E}=0.5772\ldots$ は Euler 定数。<Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#thm-gamma-product" /> の対数微分に $z=1$ を入れると出ます）と、$\zeta'(0)/\zeta(0)=\log2\pi$（関数等式の対数微分から出る値。Davenport 第 12 章）を使うと
$$
B=-1-\frac12\log\pi-\frac{\gamma_{\mathrm E}}2+\log2\pi=-1-\frac{\gamma_{\mathrm E}}2+\frac12\log4\pi=-0.0230957\ldots
$$
です。一方、$\xi(s)=\xi(1-s)$ を微分すると $\xi'(s)/\xi(s)=-\xi'(1-s)/\xi(1-s)$ なので、$s=0$ で
$$
B=-\frac{\xi'(1)}{\xi(1)}=-B-\sum_\rho\Bigl(\frac1{1-\rho}+\frac1\rho\Bigr),\qquad\text{すなわち}\qquad 2B=-\sum_\rho\frac1{\rho(1-\rho)}
$$
です（$|\rho(1-\rho)|^{-1}=O(|\rho|^{-2})$ なので絶対収束）。零点は $\rho\mapsto1-\rho$ と $\rho\mapsto\bar\rho$ で不変なので、$\sum_\rho\operatorname{Re}\frac1{1-\rho}=\sum_\rho\operatorname{Re}\frac1\rho$（$\operatorname{Re}\frac1\rho=\beta/|\rho|^2$ の和は絶対収束）で、左辺は実数です。よって
$$
\sum_\rho\operatorname{Re}\frac1\rho=\sum_\rho\frac{\beta}{\beta^2+\gamma^2}=-B=0.0230957\ldots
$$
です。最初の零点の組 $\frac12\pm14.1347i$ だけで $2\cdot\frac{0.5}{0.25+199.79}=0.0050$ を占めます。この和が小さいことは、虚部の小さい零点が無いことの定量的な表現です。
</Example>

## 5. 零点の個数：Riemann–von Mangoldt の公式

以下の節で何度も使う、零点の局所的な個数の評価を先に置きます。

<Lemma id="lem-zeros-unit-interval" title="高さ 1 の帯にある零点の個数">
1. $\zeta$ の非自明零点の集合は $\rho\mapsto\bar\rho$ と $\rho\mapsto1-\rho$ で（位数を込めて）不変である。
2. $T\ge5$ のとき、$T\le\gamma\le T+1$ を満たす非自明零点 $\rho=\beta+i\gamma$ の個数は $36\log(T+1)$ 以下である。
3. 定数 $C_1$ があって、$T\ge5$ で $\displaystyle\sum_{|\gamma|\lt T}\frac1{|\rho|}\le C_1\log^2T$ が成り立つ。
</Lemma>

<Proof of="lem-zeros-unit-interval">
**1.** $\sigma\gt1$ の実数 $s$ で $\xi(s)$ は実数なので、整関数 $s\mapsto\overline{\xi(\bar s)}$ は実軸の一部で $\xi$ と一致し、一致の定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-identity" />）から $\overline{\xi(\bar s)}=\xi(s)$ です。これと $\xi(1-s)=\xi(s)$ から、$\xi$ の零点の集合は 2 つの写像で位数を込めて不変です。<Ref to="thm-xi-hadamard-product" /> により、これは非自明零点の集合です。

**2.** $t=T+\frac12$ とします。$\beta\ge\frac12$ の零点は <Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-zeta-local" /> の集合 $Z(t)$ に属するので $18\log(T+\frac12)$ 個以下です。$\beta\lt\frac12$ の零点 $\rho$ には、1 から同じ虚部をもつ零点 $1-\bar\rho$（実部 $1-\beta\gt\frac12$）が対応し、この対応は単射なので、これも $18\log(T+\frac12)$ 個以下です。

**3.** $\xi(0)\ne0$ なので $\rho\ne0$ で、$|\gamma|\le5$ の非自明零点は有界閉集合 $\{0\le\sigma\le1,\ |t|\le5\}$ にある整関数 $\xi$ の零点として有限個です。その寄与を $c_0$ とします。整数 $k\ge5$ について $k\le\gamma\le k+1$ の零点は 2 から $36\log(k+1)$ 個以下で、それぞれ $1/|\rho|\le1/k$ です。負の側は 1 の対称性で同じなので
$$
\sum_{|\gamma|\lt T}\frac1{|\rho|}\le c_0+2\sum_{5\le k\le T}\frac{36\log(k+1)}{k}\le c_0+72\log(T+1)\,(1+\log T)\le C_1\log^2T .
$$
</Proof>

<Theorem id="thm-riemann-von-mangoldt" title="Riemann–von Mangoldt の個数公式">
定数 $C_2$ が存在して、$T\ge5$ で
$$
\Bigl|N(T)-\frac T{2\pi}\log\frac T{2\pi}+\frac T{2\pi}\Bigr|\le C_2\log T
$$
が成り立つ。より詳しく、$T\ge5$ がどの零点の虚部とも異なるとき、$L_T$ を $2$ から $2+iT$ を経て $\frac12+iT$ に至る折れ線として $S(T):=\dfrac1\pi\operatorname{Im}\displaystyle\int_{L_T}\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\,ds$ とおくと
$$
N(T)=\frac T{2\pi}\log\frac T{2\pi}-\frac T{2\pi}+\frac78+S(T)-\frac{N_0}2+E(T),\qquad|E(T)|\le\frac2T,\quad|S(T)|\le C_3\log T
$$
である。ここで $N_0$ は実軸上にある非自明零点の個数（有限）である。
</Theorem>

証明の流れです。偏角の原理で、高さ $T$ までの零点の個数を $\xi'/\xi$ の周回積分で表します（第 1 段）。対称性で周の 4 分の 1 だけを調べれば足りるので（第 2 段）、$\xi$ を 4 つの因子に分けて、因子ごとに積分を計算します（第 3 段）。このうち $\Gamma$ の因子から主要項 $\frac T{2\pi}\log\frac T{2\pi}-\frac T{2\pi}$ が出ます。$S(T)$ は、$\zeta$ の偏角が $2$ から $\frac12+iT$ まで動く間の変化量を $\pi$ で割ったもの（備考参照）で、第 4 段でこれが $\log T$ の定数倍で抑えられることを示します。定数 $\frac78$ は、$\frac1{s-1}$ の項から出る $\frac\pi2$ と $\Gamma$ の項から出る $\frac{3\pi}8$ の和 $\frac{7\pi}8$ を $\pi$ で割ったものです。

<Proof of="thm-riemann-von-mangoldt">
$T\ge5$ はどの零点の虚部とも異なるとします。

**第 1 段（偏角の原理）.** 頂点 $2\pm iT$、$-1\pm iT$ の長方形の周 $\partial R$ を正の向きに取ります。$\xi$ は周の上に零点をもちません（零点は $0\le\beta\le1$、$|\gamma|\ne T$）。$\xi'/\xi$ の極は $\xi$ の零点で、留数は位数です（<Ref to="mathematics/complex-analysis/argument-principle-rouche#lem-log-derivative" />）。長方形を含み、内部の零点以外に $\xi$ の零点を含まない開長方形を取って留数定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/residue-theorem#thm-residue" />）を使うと
$$
\frac1{2\pi i}\oint_{\partial R}\frac{\xi'(s)}{\xi(s)}\,ds=\#\{\rho:\ |\gamma|\lt T\}=2N(T)+N_0
$$
です。最後の等号は <Ref to="lem-zeros-unit-interval" /> の 1（$\gamma\gt0$ の零点と $\gamma\lt0$ の零点が $\rho\mapsto\bar\rho$ で対応する）によります。$N_0$ が有限であることは同じ補題の証明の 3 で述べました。

**第 2 段（対称性で 4 分の 1 に帰着）.** $F=\xi'/\xi$ は $F(1-s)=-F(s)$、$F(\bar s)=\overline{F(s)}$ を満たします（<Ref to="lem-zeros-unit-interval" /> の証明の 1 の 2 つの等式を微分）。周を $L_1=L_T$、$L_2$（$\frac12+iT\to-1+iT\to-1$）、$L_3$（$-1\to-1-iT\to\frac12-iT$）、$L_4$（$\frac12-iT\to2-iT\to2$）に分けます。$L_2$ は、$L_1$ を逆向きにたどる点 $w$ を使って $s=1-\bar w$ と表せて、$ds=-\overline{dw}$、$F(1-\bar w)=-\overline{F(w)}$ なので
$$
\int_{L_2}F(s)\,ds=\overline{\int_{-L_1}F(w)\,dw}=-\overline{\int_{L_1}F(w)\,dw},\qquad\int_{L_1}F+\int_{L_2}F=2i\operatorname{Im}\int_{L_1}F .
$$
同様に $L_3\cup L_4$ は $L_1\cup L_2$ を逆向きにたどる点 $w$ で $s=\bar w$ と表せるので、$\int_{L_3\cup L_4}F=-\overline{\int_{L_1\cup L_2}F}=2i\operatorname{Im}\int_{L_1}F$ です。合わせて $\oint_{\partial R}F=4i\operatorname{Im}\int_{L_T}F$ となり、第 1 段から
$$
N(T)=\frac1\pi\operatorname{Im}\int_{L_T}\frac{\xi'(s)}{\xi(s)}\,ds-\frac{N_0}2 .
$$

**第 3 段（因子ごとの計算）.** $\xi(s)=(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(\frac s2+1)\zeta(s)$ の対数微分は 4 つの項の和です（<Ref to="thm-xi-hadamard-product" /> の証明の第 3 段）。$L_T$ 上で各因子は正則で $0$ でないので、項ごとに積分します。

(i) $\frac1{s-1}$: $L_T$ を $-1$ だけずらした折れ線は $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ に含まれるので、主値の対数を原始関数として $\operatorname{Im}\int_{L_T}\frac{ds}{s-1}=\operatorname{Arg}(-\frac12+iT)-\operatorname{Arg}(1)=\frac\pi2+\arctan\frac1{2T}$。

(ii) $-\frac12\log\pi$: $\operatorname{Im}\bigl(-\frac12\log\pi\cdot(\frac12+iT-2)\bigr)=-\frac T2\log\pi$。

(iii) $\frac12\frac{\Gamma'}{\Gamma}(\frac s2+1)$: <Ref to="mathematics/special-functions/asymptotic-methods#thm-stirling-complex" /> の $\operatorname{Log}\Gamma$ は $\operatorname{Re}z\gt0$ で $\Gamma'/\Gamma$ の原始関数で、正の実軸上で実数値なので、積分の虚部は $\operatorname{Im}\operatorname{Log}\Gamma(z)$、$z=\frac54+\frac{iT}2$ です。同定理の $p=1$、$\delta=\frac\pi2$ の形から
$$
\operatorname{Log}\Gamma(z)=\Bigl(z-\frac12\Bigr)\operatorname{Log}z-z+\frac12\log2\pi+r(z),\qquad|r(z)|\le\frac1{12|z|}+\frac1{6|z|}=\frac1{4|z|}\le\frac1{2T}
$$
です。$\operatorname{Log}z=\log|z|+i\theta$、$\theta=\frac\pi2-\arctan\frac5{2T}$ と書くと
$$
\operatorname{Im}\Bigl[\Bigl(\frac34+\frac{iT}2\Bigr)(\log|z|+i\theta)-z\Bigr]=\frac34\theta+\frac T2\log|z|-\frac T2
$$
で、$\log|z|=\log\frac T2+\frac12\log\bigl(1+\frac{25}{4T^2}\bigr)$、$0\le\frac12\log(1+\frac{25}{4T^2})\le\frac{25}{8T^2}$、$0\le\arctan\frac5{2T}\le\frac5{2T}$ なので
$$
\operatorname{Im}\operatorname{Log}\Gamma\Bigl(\frac54+\frac{iT}2\Bigr)=\frac T2\log\frac T2-\frac T2+\frac{3\pi}8+e_1(T),\qquad|e_1(T)|\le\frac{25}{16T}+\frac{15}{8T}+\frac1{2T}\le\frac4T .
$$

(iv) $\frac{\zeta'}{\zeta}$: 定義から $\pi S(T)$。

(i)〜(iv) を足すと、$\frac T2\log\frac T2-\frac T2\log\pi=\frac T2\log\frac T{2\pi}$、$\frac\pi2+\frac{3\pi}8=\frac{7\pi}8$ なので
$$
\operatorname{Im}\int_{L_T}\frac{\xi'}{\xi}\,ds=\frac T2\log\frac T{2\pi}-\frac T2+\frac{7\pi}8+\pi S(T)+e_2(T),\qquad|e_2(T)|\le\frac1{2T}+\frac4T\le\frac5T
$$
です。$\pi$ で割って第 2 段に代入すれば、$E(T)=e_2(T)/\pi$、$|E(T)|\le2/T$ として詳しい形の等式を得ます。

**第 4 段（$S(T)=O(\log T)$）.** 縦の部分。$\sigma\gt1$ で $\ell(s):=\sum_{n\ge2}\frac{\Lambda(n)}{\log n}n^{-s}$ とおくと、$0\le\Lambda(n)/\log n\le1$ から級数は $\sigma\ge\sigma_0\gt1$ で一様に絶対収束し、項別微分（<Ref to="mathematics/complex-analysis/argument-principle-rouche#thm-weierstrass-convergence" />）と <Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-chebyshev" /> の 2 から $\ell'(s)=-\sum_n\Lambda(n)n^{-s}=\zeta'(s)/\zeta(s)$ です。よって
$$
\Bigl|\int_2^{2+iT}\frac{\zeta'}{\zeta}\,ds\Bigr|=|\ell(2+iT)-\ell(2)|\le2\sum_{n\ge2}n^{-2}\le2 .
$$
横の部分。$s=\sigma+iT$（$\frac12\le\sigma\le2$）は $|s-(2+iT)|\le\frac32\le\frac74$ と $\zeta(s)\ne0$ を満たすので、<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-zeta-local" /> から
$$
\int_{2+iT}^{\frac12+iT}\frac{\zeta'}{\zeta}\,ds=-\sum_{\rho\in Z(T)}\int_{1/2}^{2}\frac{d\sigma}{\sigma+iT-\rho}+e_3,\qquad|e_3|\le\frac32\cdot1900\log T
$$
です。零点 $\rho=\beta+i\gamma$ について $a=T-\gamma\ne0$ とおくと
$$
\Bigl|\operatorname{Im}\int_{1/2}^{2}\frac{d\sigma}{\sigma-\beta+ia}\Bigr|=\int_{1/2}^{2}\frac{|a|\,d\sigma}{(\sigma-\beta)^2+a^2}\le\int_{-\infty}^{\infty}\frac{|a|\,du}{u^2+a^2}=\pi
$$
で、$\#Z(T)\le18\log T$ なので、$\pi|S(T)|\le2+18\pi\log T+2850\log T$ です。これで $|S(T)|\le C_3\log T$ が示せました。

**第 5 段（結論）.** $T$ が零点の虚部でないとき、詳しい形から $|N(T)-\frac T{2\pi}\log\frac T{2\pi}+\frac T{2\pi}|\le\frac78+C_3\log T+\frac{N_0}2+\frac2T\le C_2\log T$ です。$T$ が零点の虚部のときは、$N$ が右連続な階段関数で、零点の虚部は離散的なので、虚部でない $T'\downarrow T$ について不等式の極限を取れば同じ評価が成り立ちます。
</Proof>

<Remark id="rem-n0-and-s" title="N₀ と S(T) について">
実際には $N_0=0$ です。$0\lt s\lt1$ では $(1-2^{1-s})\zeta(s)=\sum_{n\ge1}(-1)^{n-1}n^{-s}\gt0$（交代級数。[リーマン予想とは何か](/mathematics/number-theory/riemann-hypothesis) の §4）で $1-2^{1-s}\lt0$ なので $\zeta(s)\lt0$、$s=0$ では $\zeta(0)=-\frac12$ です。したがって公式は $N(T)=\frac T{2\pi}\log\frac T{2\pi}-\frac T{2\pi}+\frac78+S(T)+O(1/T)$ となり、$\pi S(T)$ は「$2$ から $L_T$ に沿って連続に測った $\arg\zeta(\frac12+iT)$」です。$S(T)$ の真の大きさは未解決で、リーマン予想の下でも $S(T)=O(\log T/\log\log T)$ までしか知られていません（Titchmarsh 第 14 章）。
</Remark>

<Example id="ex-count-small-heights" title="個数公式を最初の零点の近くで確かめる">
虚部が正の零点は小さい順に $\gamma_1=14.1347$、$\gamma_2=21.0220$、$\gamma_3=25.0109$、$\gamma_4=30.4249$ です（数値は Edwards 第 6 章の表、または LMFDB の零点表）。滑らかな部分 $M(T):=\frac T{2\pi}\log\frac T{2\pi}-\frac T{2\pi}+\frac78$ と、残り $N(T)-M(T)$（$=S(T)+O(1/T)$）を分けて計算します。

| $T$ | $M(T)$ | $N(T)$ | $N(T)-M(T)$ |
|---|---|---|---|
| $14$ | $0.4320$ | $0$ | $-0.4320$ |
| $15$ | $0.5651$ | $1$ | $+0.4349$ |
| $21$ | $1.5657$ | $1$ | $-0.5657$ |
| $22$ | $1.7614$ | $2$ | $+0.2386$ |
| $30$ | $3.5647$ | $3$ | $-0.5647$ |
| $31$ | $3.8161$ | $4$ | $+0.1839$ |
| $100$ | $29.0023$ | $29$ | $-0.0023$ |

$M(T)$ は滑らかに増え、$N(T)$ は零点を越えるたびに $1$ 跳びます。差は零点の直前で負、直後で正になり、絶対値は $1$ より小さいままです。これが $S(T)$ の振る舞いで、「$M(T)$ が整数 $+\frac12$ を通るあたりに零点が 1 つある」と読めます。定数 $\frac78$ が無いと、この表の差は $0$ のまわりに釣り合いません。
</Example>

## 6. 直線 Re s = 1 と古典的零点なし領域

この章の目標は、零点が直線 $\operatorname{Re}s=1$ の上にも、そのすぐ左にも来られないことを示すことです。鍵は、$\cos$ の和の形をした式（三角多項式）$3+4\cos\theta+\cos2\theta$ が決して負にならないという事実です。$\theta=t\log n$ とおいて素数に関する和に代入すると、$\zeta$ の値について「零点が直線に近づきすぎると矛盾する」という不等式が得られます。

<Lemma id="lem-three-four-one" title="3-4-1 の不等式">
すべての実数 $\theta$ について $3+4\cos\theta+\cos2\theta=2(1+\cos\theta)^2\ge0$ である。したがって $\sigma\gt1$、$t\in\mathbb{R}$ について
$$
\zeta(\sigma)^3\,|\zeta(\sigma+it)|^4\,|\zeta(\sigma+2it)|\ge1,\qquad
3\Bigl(-\frac{\zeta'}{\zeta}(\sigma)\Bigr)+4\operatorname{Re}\Bigl(-\frac{\zeta'}{\zeta}(\sigma+it)\Bigr)+\operatorname{Re}\Bigl(-\frac{\zeta'}{\zeta}(\sigma+2it)\Bigr)\ge0
$$
が成り立つ。
</Lemma>

<Proof of="lem-three-four-one">
$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ から $3+4\cos\theta+\cos2\theta=2+4\cos\theta+2\cos^2\theta=2(1+\cos\theta)^2$ です。

2 つ目の不等式。<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-chebyshev" /> の 2 から $-\frac{\zeta'}\zeta(s)=\sum_n\Lambda(n)n^{-s}$（$\sigma\gt1$、絶対収束）で、$\operatorname{Re}n^{-\sigma-iu}=n^{-\sigma}\cos(u\log n)$ なので、左辺は $\sum_n\Lambda(n)n^{-\sigma}\bigl(3+4\cos(t\log n)+\cos(2t\log n)\bigr)$ に等しく、各項は非負です。

1 つ目の不等式。<Ref to="thm-riemann-von-mangoldt" /> の証明の第 4 段の $\ell(s)=\sum_{n\ge2}\frac{\Lambda(n)}{\log n}n^{-s}$ は $\ell'=\zeta'/\zeta$ を満たすので、連結な半平面 $\sigma\gt1$ で $(\zeta e^{-\ell})'=0$、すなわち $\zeta=c\,e^{\ell}$（$c$ は定数）です。実数 $\sigma\to+\infty$ で $|\zeta(\sigma)-1|\le\sum_{n\ge2}n^{-\sigma}\to0$、$|\ell(\sigma)|\le\sum_{n\ge2}n^{-\sigma}\to0$ なので $c=1$ です。よって $|\zeta(s)|=e^{\operatorname{Re}\ell(s)}$ で
$$
\log\Bigl(\zeta(\sigma)^3|\zeta(\sigma+it)|^4|\zeta(\sigma+2it)|\Bigr)=\sum_{n\ge2}\frac{\Lambda(n)}{\log n}\,n^{-\sigma}\bigl(3+4\cos(t\log n)+\cos(2t\log n)\bigr)\ge0 .
$$
</Proof>

不等式の意味はこうです。$\zeta(1+it_0)=0$ なら、$n^{-it_0}$ は「平均として $-1$ の近くに偏って」いなければなりません（そうでないと $\sum\Lambda(n)n^{-\sigma-it_0}$ が $-\frac1{\sigma-1}$ のように負に発散できない）。すると $n^{-2it_0}$ は $+1$ の近くに偏り、$\zeta$ は $1+2it_0$ で極をもつことになります。しかし極は $s=1$ にしかありません。3-4-1 の不等式は、この「2 倍の点に極が要る」という議論を 1 行にしたものです。

<Theorem id="thm-nonvanishing-on-one-line" title="直線 Re s = 1 上に零点はない">
$t\ne0$ を実数とすると $\zeta(1+it)\ne0$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-nonvanishing-on-one-line">
$\zeta(1+it_0)=0$、$t_0\ne0$ と仮定し、$1\lt\sigma\le2$ とします。$(s-1)\zeta(s)$ は $\operatorname{Re}s\gt0$ で正則（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#thm-continuation" />）なので、有界閉区間 $[1,2]$ 上で有界で、$\zeta(\sigma)\le K_1/(\sigma-1)$ です。$\zeta$ は線分 $\{u+it_0:1\le u\le2\}$ を含む開集合で正則なので、$\zeta'$ はその線分上で有界（$\le K_2$）で、$|\zeta(\sigma+it_0)|=\bigl|\int_1^\sigma\zeta'(u+it_0)du\bigr|\le K_2(\sigma-1)$ です。$2t_0\ne0$ なので $\zeta$ は線分 $\{u+2it_0:1\le u\le2\}$ の上でも連続で、$|\zeta(\sigma+2it_0)|\le K_3$ です。よって
$$
\zeta(\sigma)^3|\zeta(\sigma+it_0)|^4|\zeta(\sigma+2it_0)|\le K_1^3K_2^4K_3\,(\sigma-1)\longrightarrow0\qquad(\sigma\downarrow1)
$$
となり、<Ref to="lem-three-four-one" /> の 1 つ目の不等式に反します。
</Proof>

これは 1896 年に Hadamard と de la Vallée Poussin が独立に示した結果で、素数定理 $\psi(x)\sim x$（<Ref to="mathematics/number-theory/primes-and-prime-number-theorem#thm-pnt" />）と同値です。de la Vallée Poussin は 1899 年に、零点が直線 $\sigma=1$ にどこまで近づけるかを定量化しました。

<Theorem id="thm-classical-zero-free-region" title="古典的零点なし領域（de la Vallée Poussin）">
定数 $c\gt0$ が存在して、$\zeta$ は領域
$$
\Bigl\{\sigma+it:\ \sigma\ge1-\frac{c}{\log(|t|+2)}\Bigr\}
$$
に零点をもたない。
</Theorem>

<Proof of="thm-classical-zero-free-region">
**第 1 段（3 つの評価）.** (a) $h(s)=(s-1)\zeta(s)$ は $\operatorname{Re}s\gt0$ で正則で、$h(1)=1$、$\sigma\gt1$ で $h(\sigma)\gt0$ なので、$h'/h$ は $[1,2]$ 上で連続です。$K_0:=\max(0,\max_{[1,2]}|h'/h|)$ とおくと、$-\frac{\zeta'}{\zeta}(s)=\frac1{s-1}-\frac{h'}{h}(s)$ から
$$
-\frac{\zeta'}{\zeta}(\sigma)\le\frac1{\sigma-1}+K_0\qquad(1\lt\sigma\le2).
$$
(b) $|t|\ge5$、$1\lt\sigma\le2$ とします。$s=\sigma+it$ は $|s-(2+it)|\lt1$、$\zeta(s)\ne0$ を満たすので、<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-zeta-local" /> から
$$
-\operatorname{Re}\frac{\zeta'}{\zeta}(s)\le-\sum_{\rho\in Z(t)}\operatorname{Re}\frac1{s-\rho}+1900\log|t| .
$$
$\rho=\beta'+i\gamma'$ について $\operatorname{Re}\frac1{s-\rho}=\frac{\sigma-\beta'}{|s-\rho|^2}\gt0$（$\beta'\le1\lt\sigma$）なので、和から好きな項を捨てられます。すべて捨てれば $-\operatorname{Re}\frac{\zeta'}{\zeta}(s)\le1900\log|t|$ です。(c) とくに虚部がちょうど $t$ の零点 $\rho_0=\beta+it$（$\beta\ge\frac12$）があれば、$\rho_0\in Z(t)$ で $\operatorname{Re}\frac1{s-\rho_0}=\frac1{\sigma-\beta}$ なので、この項だけ残して
$$
-\operatorname{Re}\frac{\zeta'}{\zeta}(\sigma+it)\le1900\log|t|-\frac1{\sigma-\beta} .
$$

**第 2 段（高い零点）.** $\rho=\beta+i\gamma$ を $|\gamma|\ge5$、$\beta\ge\frac12$ の零点とし、$L=\log|\gamma|$（$\ge\log5\gt1$）とおきます。<Ref to="lem-three-four-one" /> の 2 つ目の不等式に $t=\gamma$ を入れ、第 1 段の (a)、(c)、(b)（$2\gamma$ について）を使うと、$1\lt\sigma\le2$ で
$$
0\le3\Bigl(\frac1{\sigma-1}+K_0\Bigr)+4\Bigl(1900L-\frac1{\sigma-\beta}\Bigr)+1900(L+\log2)
$$
です。$K_0\le K_0L$、$\log2\le L$ から、$K:=3K_0+11400$ として
$$
\frac4{\sigma-\beta}\le\frac3{\sigma-1}+KL .
$$
$\sigma=1+\frac1{2KL}$（$\le2$）と選ぶと右辺は $7KL$ なので $\sigma-\beta\ge\frac4{7KL}$、したがって
$$
1-\beta\ge\frac4{7KL}-\frac1{2KL}=\frac1{14KL}=\frac1{14K\log|\gamma|} .
$$
$\beta\lt\frac12$ の零点については $1-\beta\gt\frac12$ なので、同じ不等式が成り立ちます。

**第 3 段（低い零点と結論）.** $|\gamma|\lt5$ の非自明零点は有限個で（<Ref to="lem-zeros-unit-interval" /> の証明の 3）、<Ref to="thm-nonvanishing-on-one-line" /> と $s=1$ が極であることから、どれも $\beta\lt1$ です。その最大値を $\beta_0\lt1$ とします（零点が無ければ $\beta_0=\frac12$）。
$$
c:=\frac12\min\Bigl\{\frac1{14K},\ (1-\beta_0)\log2\Bigr\}
$$
とおきます。$|\gamma|\ge5$ の零点は $1-\beta\ge\frac1{14K\log|\gamma|}\gt\frac{c}{\log(|\gamma|+2)}$、$|\gamma|\lt5$ の零点は $1-\beta\ge1-\beta_0\gt\frac{c}{\log2}\ge\frac{c}{\log(|\gamma|+2)}$ を満たします。$\sigma\gt1$ には零点がないので、すべての零点が $\beta\lt1-\frac{c}{\log(|\gamma|+2)}$ を満たし、主張の領域は零点を含みません。
</Proof>

証明の構造を覚えておくと、以降の改良が読みやすくなります。使ったのは (a) $s=1$ の極、(b) 臨界帯での $\zeta$ の大きさの上界（$|\zeta|\le3|t|^2$ が $\log|t|$ の項を生む）、(c) 非負の三角多項式、の 3 つだけです。幅 $c/\log|t|$ の $\log|t|$ は (b) から来ます。したがって (b) を改良すれば幅が広がります。

<Theorem id="thm-vinogradov-korobov" title="Vinogradov–Korobov の零点なし領域">
定数 $c\gt0$ が存在して、$\zeta$ は領域
$$
\Bigl\{\sigma+it:\ |t|\ge3,\ \sigma\ge1-\frac{c}{(\log|t|)^{2/3}(\log\log|t|)^{1/3}}\Bigr\}
$$
に零点をもたない。
</Theorem>

<Remark id="rem-vinogradov-korobov" title="主張のみ：理由と出典">
この定理は**主張のみ**とし、証明を付けません。証明は、直線 $\sigma=1$ の近くでの $\zeta$ の上界 $|\zeta(\sigma+it)|\le A|t|^{B(1-\sigma)^{3/2}}\log^{2/3}|t|$ を、指数和 $\sum_{N\lt n\le2N}n^{-it}$ に対する Vinogradov の平均値定理から導く部分が本 1 章分の長さになるためです（その上界から零点なし領域を出す部分は <Ref to="thm-classical-zero-free-region" /> の証明と同じ形です）。I. M. Vinogradov と N. M. Korobov が 1958 年に独立に得た結果で、証明は Ivić『The Riemann Zeta-Function』第 6 章、Titchmarsh『The Theory of the Riemann Zeta-Function』第 6 章にあります。定数を明示した形として、Ford (2002) は $|t|\ge3$ で $c=1/57.54$ が取れることを示しています。

1958 年から現在まで、$|t|\to\infty$ での幅の**形**はこれより改良されていません。この領域の幅は $|t|\to\infty$ で $0$ に近づきます。
</Remark>

<Example id="ex-other-trig-polynomial" title="別の三角多項式に替えると定数はどう変わるか">
<Ref to="thm-classical-zero-free-region" /> の証明の第 2 段を、一般の非負三角多項式 $a_0+a_1\cos\theta+\cdots+a_m\cos m\theta\ge0$（$a_k\ge0$、$a_1\gt a_0$）でやり直します。同じ評価から $\frac{a_1}{\sigma-\beta}\le\frac{a_0}{\sigma-1}+SK'L$（$S=a_1+\cdots+a_m$、$K'$ は次数 $m$ だけに依る定数。$a_0K_0\le SK_0L$ と、各 $k\gamma$ での $\log(k|\gamma|)\le(1+\log m)L$ を使って吸収）となり、$\sigma-1=\frac{a}{SK'L}$ とおくと
$$
1-\beta\ge\frac{g(a)}{SK'L},\qquad g(a)=\frac{a_1a}{a_0+a}-a
$$
です。$g'(a)=\frac{a_0a_1}{(a_0+a)^2}-1=0$ から $a=\sqrt{a_0a_1}-a_0$ で最大値 $g=(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_0})^2$ を取ります。幅の定数は $\dfrac{(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_0})^2}{a_1+\cdots+a_m}$ に比例します。

- $3+4\cos\theta+\cos2\theta$: $\dfrac{(2-\sqrt3)^2}{5}=0.0144$。
- $5+8\cos\theta+4\cos2\theta+\cos3\theta=(1+\cos\theta)(1+2\cos\theta)^2\ge0$: $\dfrac{(\sqrt8-\sqrt5)^2}{13}=0.0270$。

同じ $K'$（$m=3$ のもの）で比べると、2 つ目のほうが定数が約 $1.9$ 倍よくなります。ただし変わるのは定数 $c$ だけで、幅の形 $c/\log|t|$ は変わりません。$a_1\le a_0$ の多項式（たとえば $1+\cos\theta$）では $g\le0$ となって何も得られません。零点 1 個の寄与 $a_1/(\sigma-\beta)$ が極の寄与 $a_0/(\sigma-1)$ に勝てないからです。
</Example>

## 7. 零点なし領域の幅と素数定理の誤差項

零点なし領域を $\psi(x)$ の評価に移すには、$-\zeta'/\zeta$ の Perron 積分（$\psi(x)$ を複素積分で書く公式に現れる積分）の積分路を左へ動かし、$s=1$ の極と零点の留数を拾います。既存の章ではリーマン予想を仮定してこれを行いました（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-psi-under-rh" />）。ここでは零点の位置を仮定しない形を先に作ります。

<Figure caption="臨界帯と零点なし領域。右端の直線 Re s = 1 から左へ、古典的領域（幅 c/log|t|）、Vinogradov–Korobov の領域（幅はおよそ c/(log|t|) の 2/3 乗）は高さとともに細くなる。半平面 Re s > Θ は幅が高さによらない。">
<svg viewBox="0 0 520 300" width="100%" role="img" aria-label="臨界帯と零点なし領域の模式図">
  <line x1="60" y1="270" x2="480" y2="270" stroke="currentColor" stroke-width="1" />
  <line x1="100" y1="20" x2="100" y2="270" stroke="currentColor" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 4" />
  <line x1="260" y1="20" x2="260" y2="270" stroke="currentColor" stroke-width="1" stroke-dasharray="2 4" />
  <line x1="420" y1="20" x2="420" y2="270" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <line x1="380" y1="20" x2="380" y2="270" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="6 3" />
  <path d="M 372 270 C 392 230, 406 150, 414 20" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <path d="M 372 270 C 380 230, 392 150, 404 20" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="1 3" />
  <text x="100" y="288" font-size="12" text-anchor="middle" fill="currentColor">Re s = 0</text>
  <text x="260" y="288" font-size="12" text-anchor="middle" fill="currentColor">Re s = 1/2</text>
  <text x="420" y="288" font-size="12" text-anchor="middle" fill="currentColor">Re s = 1</text>
  <text x="372" y="14" font-size="12" text-anchor="middle" fill="var(--sl-color-accent)">Re s = Θ</text>
  <text x="446" y="60" font-size="11" fill="currentColor">古典的</text>
  <line x1="444" y1="56" x2="413" y2="56" stroke="currentColor" stroke-width="0.8" />
  <text x="446" y="130" font-size="11" fill="currentColor">V–K</text>
  <line x1="444" y1="126" x2="397" y2="126" stroke="currentColor" stroke-width="0.8" />
  <text x="180" y="150" font-size="12" text-anchor="middle" fill="currentColor">臨界帯</text>
  <text x="48" y="30" font-size="12" fill="currentColor">t</text>
</svg>
</Figure>

<Lemma id="lem-truncated-explicit" title="打ち切った明示公式">
定数 $C_4$ が存在して次が成り立つ。$x=N+\frac12$（$N\ge5$ は整数）と実数 $5\le T_0\le x$ に対し、どの零点の虚部とも異なる $T\in[T_0,T_0+1]$ が存在して
$$
\Bigl|\psi(x)-x+\sum_{|\gamma|\lt T}\frac{x^\rho}{\rho}\Bigr|\le C_4\Bigl(\frac{x\log^2x}{T_0}+x^{3/8}\log^2x\Bigr)
$$
となる（和は非自明零点 $\rho=\beta+i\gamma$ を重複込みで走る）。
</Lemma>

この補題の目標は、$\psi(x)-x$ を、高さ $T$ までの零点についての和 $\sum x^\rho/\rho$ と小さな誤差に分けることです。方針は、$\psi(x)$ を複素積分で表し（第 1 段）、積分路を左の縦線まで動かして $s=1$ と零点の留数を拾い（第 4 段）、残った辺を評価する（第 5 段）、というものです。第 2・3 段は、積分路の高さ $T$ と左の縦線の位置を、被積分関数が大きくならない所に選ぶ準備です。定数 $K_1,K_2,\dots$ は評価の途中で出る数にすぎず、流れを追うときは無視してかまいません。

<Proof of="lem-truncated-explicit">
$c=1+\frac1{\log x}$（$\le2$）、$G(s)=-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\cdot\frac{x^s}{s}$ とおきます。$x^{c}=ex$ です。定数 $K_1,K_2,\dots$ は $x,T_0$ によりません。

**第 1 段（Perron）.** $T\gt0$ について $J(x,T):=\frac1{2\pi i}\int_{c-iT}^{c+iT}G(s)\,ds$ とおきます。線分上で $\sum_n\Lambda(n)|n^{-s}|=\sum_n\Lambda(n)n^{-c}\lt\infty$ なので項別に積分でき、<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-perron" /> を $y=x/n$（$x$ は半整数なので $y\ne1$）に使うと
$$
|\psi(x)-J(x,T)|\le\sum_{n\ge1}\Lambda(n)\,\frac{(x/n)^{c}}{\pi T\,|\log(x/n)|}
$$
です。$n\le x/2$ または $n\ge2x$ の項は $|\log(x/n)|\ge\log2$ で、<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-chebyshev" /> の 2 から $\sum_n\Lambda(n)n^{-c}\le\frac{3c}{c-1}\le6\log x$ なので、合わせて $\frac{ex\cdot6\log x}{\pi T\log2}\le\frac{8x\log x}{T}$ 以下です。$x/2\lt n\lt2x$ の項では $\Lambda(n)\le\log2x$、$(x/n)^{c}\le4$ で、$u=x/n\in(\frac12,2)$ について $|\log u|\ge\frac12|u-1|=\frac{|x-n|}{2n}\ge\frac{|x-n|}{4x}$ です（$u\ge1$ なら $\log u\ge\frac{u-1}{u}\ge\frac{u-1}2$、$u\lt1$ なら $|\log u|\ge1-u$）。$|x-n|$ は $\frac12,\frac12,\frac32,\frac32,\dots$ を取るので $\sum_{x/2\lt n\lt2x}\frac1{|x-n|}\le2\sum_{k=0}^{\lfloor2x\rfloor}\frac1{k+1/2}\le2\bigl(2+\log(4x+1)\bigr)$ で、この範囲の寄与は $\frac{16x\log2x}{\pi T}\cdot2(2+\log(4x+1))$ 以下です。よって
$$
|\psi(x)-J(x,T)|\le K_1\frac{x\log^2x}{T}\qquad(T\gt0).
$$

**第 2 段（高さ $T$ の選び方）.** <Ref to="lem-zeros-unit-interval" /> の 2 から、$\gamma\in[T_0,T_0+1]$ の零点は $k\le36\log(T_0+1)$ 個以下です。$[T_0,T_0+1]$ を $k+1$ 等分すると、内部に零点の虚部を含まない小区間があります。その中点を $T$ とすると、すべての零点について $|T-\gamma|\ge\frac1{2(k+1)}$ で、$72\log(T_0+1)+2\le90\log T_0$（$T_0=5$ で $131.1\le144.8$、$T_0\ge5$ では左辺の導関数 $\frac{72}{T_0+1}$ が右辺の導関数 $\frac{90}{T_0}$ より小さい）から
$$
|T-\gamma|\ge\frac1{90\log T_0}\qquad(\text{すべての非自明零点 }\rho=\beta+i\gamma).
$$
<Ref to="lem-zeros-unit-interval" /> の 1 から $|-T-\gamma|$ も同じ下界をもちます。

**第 3 段（左の縦線の選び方）.** $\frac14\le\sigma\le\frac38$ について $V(\sigma):=\int_{-T}^{T}\bigl|\frac{\zeta'}{\zeta}(\sigma+it)\bigr|\frac{dt}{|\sigma+it|}$ とおき、$\int_{1/4}^{3/8}V(\sigma)\,d\sigma\le K_2\log^2T$ を示します。被積分関数は非負で、零点を除いて連続なので、Tonelli の定理で 2 重積分として扱えます。

$|t|\ge5$ の部分。$s=\sigma+it$ は $|s-(2+it)|=2-\sigma\le\frac74$ を満たすので、<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-zeta-local" /> から、零点でない $s$ で $\bigl|\frac{\zeta'}{\zeta}(s)\bigr|\le\sum_{\rho\in Z(t)}\frac1{|s-\rho|}+1900\log|t|$ です。整数 $k\ge5$ と $t\in[k,k+1]$ について、$Z(t)$ の零点は $|\gamma-t|\le2$ を満たすので、虚部が $[k-2,k+3]$ にある零点の多重集合 $W_k$ に含まれます。$|\gamma|\le5$ の零点の個数を $n_5$（有限）とすると、<Ref to="lem-zeros-unit-interval" /> の 2 から $\#W_k\le n_5+5\cdot36\log(k+4)\le K_3\log(k+1)$ です。箱 $Q_k=[\frac14,\frac38]\times[k,k+1]$ の面積は $\frac18$ で、どの複素数 $\rho$ についても、極座標で $\iint_{|s-\rho|\le1}\frac{dA}{|s-\rho|}=2\pi$ なので
$$
\iint_{Q_k}\frac{dA(s)}{|s-\rho|}\le\iint_{|s-\rho|\le1}\frac{dA}{|s-\rho|}+\iint_{Q_k}1\,dA\le2\pi+\frac18\le7
$$
です。$Q_k$ 上で $\frac1{|s|}\le\frac1k$ なので
$$
\iint_{Q_k}\Bigl|\frac{\zeta'}{\zeta}(s)\Bigr|\frac{dA}{|s|}\le\frac1k\Bigl(7\,\#W_k+\frac{1900\log(k+1)}8\Bigr)\le K_4\frac{\log(k+1)}{k} .
$$
$5\le k\le T$ について足すと $K_4\log(T+1)\log T$ 以下で、$t\le-5$ の側は $\frac{\zeta'}{\zeta}(\bar s)=\overline{\frac{\zeta'}{\zeta}(s)}$ から同じです。

$|t|\le5$ の部分。箱 $Q_0=[\frac14,\frac38]\times[-5,5]$ にある零点（有限個、多重集合 $W_0$）について、$\frac{\zeta'}{\zeta}(s)-\sum_{\rho\in W_0}\frac1{s-\rho}$ は $Q_0$ を含む開集合で正則（$s=1\notin Q_0$）なので $Q_0$ 上で有界（$\le K_5$）です。$\frac1{|s|}\le4$ と上の積分の評価（$Q_0$ の面積は $\frac54$）から、寄与は $4\bigl(n_5(2\pi+\frac54)+\frac54K_5\bigr)$ 以下の定数です。以上で $\int_{1/4}^{3/8}V\,d\sigma\le K_2\log^2T$ です。

したがって $V(\sigma)\gt16K_2\log^2T$ となる $\sigma\in[\frac14,\frac38]$ の集合の測度は $\frac1{16}$ 以下で、区間の長さ $\frac18$ より小さいので、その補集合は正の測度をもちます。$|\gamma|\le T+1$ の零点の実部は有限個なので、それらと異なる $\sigma_1\in[\frac14,\frac38]$ で
$$
V(\sigma_1)\le16K_2\log^2T
$$
を満たすものが取れます。

**第 4 段（積分路の移動）.** 頂点 $c\pm iT$、$\sigma_1\pm iT$ の長方形の周に留数定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/residue-theorem#thm-residue" />）を使います。$T$ と $\sigma_1$ の選び方から周の上に零点はなく、長方形を含み、内部の零点と $s=1$ 以外に $G$ の特異点を含まない開長方形が取れます。内部の特異点は $s=1$（$\zeta(s)=h(s)/(s-1)$、$h(1)=1$ から $-\frac{\zeta'}{\zeta}=\frac1{s-1}-\frac{h'}{h}$ で、$G$ の留数は $x$）と、$\beta\gt\sigma_1$、$|\gamma|\lt T$ の零点 $\rho$（<Ref to="mathematics/complex-analysis/argument-principle-rouche#lem-log-derivative" /> から留数は位数 $m_\rho$ について $-m_\rho x^\rho/\rho$）です。よって
$$
J(x,T)=x-\sum_{\substack{|\gamma|\lt T\\ \beta\gt\sigma_1}}\frac{x^\rho}{\rho}-\frac1{2\pi i}\Bigl(\int_{c+iT}^{\sigma_1+iT}+\int_{\sigma_1+iT}^{\sigma_1-iT}+\int_{\sigma_1-iT}^{c-iT}\Bigr)G(s)\,ds .
$$

**第 5 段（評価）.** 横の辺 $s=\sigma\pm iT$（$\sigma_1\le\sigma\le c$）では $|s-(2\pm iT)|\le\frac74$ で、第 2 段と $\#Z(\pm T)\le18\log T$ から
$$
\Bigl|\frac{\zeta'}{\zeta}(s)\Bigr|\le18\log T\cdot90\log T_0+1900\log T\le K_6\log^2T
$$
です。$|x^s/s|\le x^\sigma/T$、$\int_{\sigma_1}^{c}x^\sigma d\sigma\le\frac{x^{c}}{\log x}=\frac{ex}{\log x}$ と $T\le x+1$（$\log T\le2\log x$）から、横の辺 1 本の寄与は $K_7\frac{x\log x}{T}$ 以下です。左の縦の辺の寄与は、第 3 段から $\frac{x^{\sigma_1}}{2\pi}V(\sigma_1)\le K_8x^{3/8}\log^2x$ 以下です。最後に、和に入っていない $\beta\lt\sigma_1$、$|\gamma|\lt T$ の零点は $|x^\rho/\rho|\le x^{3/8}/|\rho|$ を満たすので、<Ref to="lem-zeros-unit-interval" /> の 3 から、それらを和に加えても差は $C_1x^{3/8}\log^2T\le4C_1x^{3/8}\log^2x$ 以下です。第 1 段と合わせ、$T\ge T_0$ を使うと主張の不等式を得ます。
</Proof>

<Theorem id="thm-zero-free-to-error" title="零点なし半平面から誤差項へ">
$\frac12\le\Theta\lt1$ とし、$\zeta$ が半平面 $\operatorname{Re}s\gt\Theta$ に零点をもたないとする。このとき定数 $C$（$\Theta$ に依ってよい）が存在して、すべての $x\ge2$ で
$$
|\psi(x)-x|\le C\,x^{\Theta}\log^2x
$$
が成り立つ。
</Theorem>

<Proof of="thm-zero-free-to-error">
まず $x=N+\frac12$、$N\ge5$ とし、<Ref to="lem-truncated-explicit" /> を $T_0=x$ で使います。仮定からすべての零点が $\beta\le\Theta$ を満たすので $|x^\rho|\le x^{\Theta}$ で、<Ref to="lem-zeros-unit-interval" /> の 3 と $T\le x+1$ から
$$
\Bigl|\sum_{|\gamma|\lt T}\frac{x^\rho}{\rho}\Bigr|\le x^{\Theta}\,C_1\log^2(x+1)\le4C_1x^{\Theta}\log^2x
$$
です。補題の右辺は $C_4(\log^2x+x^{3/8}\log^2x)\le2C_4x^{\Theta}\log^2x$（$\frac38\lt\frac12\le\Theta$）なので、$|\psi(x)-x|\le(4C_1+2C_4)x^{\Theta}\log^2x$ です。

一般の $x\ge6$ については、$N=\lfloor x\rfloor\ge6$、$x'=N+\frac12$ とすると $\psi(x)=\psi(x')$（$\psi$ は $[N,N+1)$ で定数）、$|x-x'|\le\frac12$、$x'\le2x$ なので $|\psi(x)-x|\le|\psi(x')-x'|+\frac12\le C'x^{\Theta}\log^2x$ です。$2\le x\lt6$ では $|\psi(x)-x|\le6$、$x^{\Theta}\log^2x\ge\log^22$ なので、定数を大きく取り直せば含められます。
</Proof>

逆向き、すなわち「任意の $\varepsilon\gt0$ で $\psi(x)=x+O(x^{\Theta+\varepsilon})$ ならば $\operatorname{Re}s\gt\Theta$ に零点がない」は <Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-no-zeros" /> です。2 つを合わせると、零点の実部の上限 $\Theta^{*}:=\sup_\rho\operatorname{Re}\rho$ は、$\psi(x)-x=O(x^{a})$ となる指数 $a$ の下限に等しいことが分かります。$\Theta^{*}\ge\frac12$ は、零点が存在すること（<Ref to="cor-infinitely-many-zeros" />）と対称性 $\rho\mapsto1-\rho$ から出ます。リーマン予想は $\Theta^{*}=\frac12$、$\Theta^{*}\lt1$ という主張は**準リーマン予想**と呼ばれます（第 2 章で定義します）。確立した定理として知られているのは $\Theta^{*}\le1$ だけです。

<Theorem id="thm-pnt-error-term" title="誤差項つきの素数定理（de la Vallée Poussin）">
定数 $c'\gt0$ と $C$ が存在して、すべての $x\ge2$ で
$$
|\psi(x)-x|\le C\,x\exp\bigl(-c'\sqrt{\log x}\bigr)
$$
が成り立つ。
</Theorem>

<Proof of="thm-pnt-error-term">
$c$ を <Ref to="thm-classical-zero-free-region" /> の定数とします。$x=N+\frac12$ で $x\ge e^{3}$ とし、$T_0=\exp(\sqrt{\log x})$ とおくと、$\sqrt{\log x}\ge\sqrt3\gt\log5$ から $5\le T_0\le x$ です。<Ref to="lem-truncated-explicit" /> の $T\in[T_0,T_0+1]$ を取ります。$|\gamma|\lt T$ の零点は $\beta\lt1-\frac{c}{\log(|\gamma|+2)}\le1-\frac{c}{\log(T_0+3)}$ を満たし、$T_0+3\le T_0^2$ から $\log(T_0+3)\le2\sqrt{\log x}$ なので
$$
|x^\rho|=x^{\beta}\le x\exp\Bigl(-\frac{c\log x}{2\sqrt{\log x}}\Bigr)=x\exp\Bigl(-\frac c2\sqrt{\log x}\Bigr)
$$
です。<Ref to="lem-zeros-unit-interval" /> の 3 から $\sum_{|\gamma|\lt T}\frac1{|\rho|}\le C_1\log^2(T_0+1)\le4C_1\log x$ なので、補題と合わせて
$$
|\psi(x)-x|\le4C_1\,x\log x\,e^{-\frac c2\sqrt{\log x}}+C_4\,x\log^2x\,e^{-\sqrt{\log x}}+C_4x^{3/8}\log^2x
$$
です。$c_1=\min\{1,\frac c2\}$、$c'=\frac{c_1}2$ とおくと、$\log^2x\cdot e^{-c_1\sqrt{\log x}}\le K\,e^{-c'\sqrt{\log x}}$（$u=\sqrt{\log x}$ について $u^4e^{-c'u}$ は有界）で、$x^{3/8}\log^2x\le K'x\,e^{-c'\sqrt{\log x}}$ も成り立つので、半整数 $x\ge e^{3}$ について主張の形になります。一般の $x$ への拡張は <Ref to="thm-zero-free-to-error" /> の証明の最後の段と同じです（$x\exp(-c'\sqrt{\log x})$ は $x\ge2$ で正の下界をもち、$x'\le2x$ で高々定数倍しか変わりません）。
</Proof>

$T_0$ の選び方が要点です。$T_0$ を大きくすると Perron の打ち切り誤差 $x\log^2x/T_0$ は減りますが、高い零点ほど直線 $\sigma=1$ に近づけるので $x^{\beta}$ の節約が減ります。2 つが釣り合うのが $\log T_0\approx\sqrt{\log x}$ です。零点なし領域の幅が $c/(\log|t|)^{a}$ なら、同じ計算で釣り合いは $\log T_0\approx(\log x)^{1/(1+a)}$ となり、誤差項は $x\exp(-c'(\log x)^{1/(1+a)})$ になります。幅と誤差項の対応を表にします。

| 零点なし領域 | 幅（高さ $\lvert t\rvert$ で） | $\psi(x)-x$ の評価 | 状況 |
|---|---|---|---|
| 直線 $\sigma=1$ のみ | $0$ | $o(x)$ | 定理（1896。<Ref to="thm-nonvanishing-on-one-line" />、<Ref to="mathematics/number-theory/primes-and-prime-number-theorem#thm-pnt" />） |
| 古典的 | $c/\log\lvert t\rvert$ | $O\bigl(x\exp(-c'\sqrt{\log x})\bigr)$ | 定理（1899。<Ref to="thm-classical-zero-free-region" />、<Ref to="thm-pnt-error-term" />） |
| Vinogradov–Korobov | $c/\bigl((\log\lvert t\rvert)^{2/3}(\log\log\lvert t\rvert)^{1/3}\bigr)$ | $O\bigl(x\exp(-c'(\log x)^{3/5}(\log\log x)^{-1/5})\bigr)$ | 定理（1958。<Ref to="thm-vinogradov-korobov" />、主張のみ） |
| 半平面 $\sigma\gt\Theta$（$\Theta\lt1$） | $1-\Theta$（高さによらない） | $O(x^{\Theta}\log^2x)$ | 仮定からの帰結は定理（<Ref to="thm-zero-free-to-error" />）。仮定そのものは、どの $\Theta\lt1$ についても確立していない |
| リーマン予想 | $\frac12$ | $O(\sqrt x\log^2x)$ | 未解決（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#ax-riemann-hypothesis" />） |

上の 3 行と下の 2 行の間には質的な段差があります。上の 3 行の誤差項は、どんな $\delta\gt0$ についても $x^{1-\delta}$ より大きく、冪の節約がありません。下の 2 行は冪の節約です。この段差を越える無条件の結果、すなわち幅が高さによらない零点なし領域は、Riemann の論文（1859）以来 1 つも証明されていません。2026 年に公表された $\Theta=\frac78$ という主張は、この表の 4 行目の仮定を満たすという主張で、[第 3 章](/mathematics/great-problems/quasi-riemann-hypothesis-claim) で扱います。

<Theorem id="thm-explicit-formula" title="von Mangoldt の明示公式">
$x\gt1$ とし、$\psi_0(x)$ を、$x$ が素数冪でないとき $\psi(x)$、素数冪のとき $\psi(x)-\frac12\Lambda(x)$ と定める。このとき
$$
\psi_0(x)=x-\lim_{T\to\infty}\sum_{|\gamma|\lt T}\frac{x^\rho}{\rho}-\log2\pi-\frac12\log\bigl(1-x^{-2}\bigr)
$$
が成り立つ。
</Theorem>

<Remark id="rem-explicit-formula-claim" title="主張のみ：理由と出典">
この定理は**主張のみ**とし、証明を付けません。零点の和は絶対収束せず（<Ref to="exr-reciprocal-sum" />）、$|\gamma|\lt T$ で打ち切った対称な極限としてだけ収束します。その収束と、積分路を $\sigma\to-\infty$ まで動かして自明な零点の留数 $-\frac12\log(1-x^{-2})$ と $s=0$ の留数 $-\log2\pi$ を拾う部分の誤差の扱いが長くなるためです。証明は Davenport『Multiplicative Number Theory』第 17 章、Edwards『Riemann's Zeta Function』第 3 章にあります。H. von Mangoldt が 1895 年に証明しました。この記事で誤差項の評価に使うのは、打ち切った形 <Ref to="lem-truncated-explicit" /> だけで、そちらは証明済みです。
</Remark>

## 8. 演習

<Exercise id="exr-xi-real" difficulty="易">
$\Xi(t):=\xi(\frac12+it)$ は、実数 $t$ について実数値で、$\Xi(-t)=\Xi(t)$ を満たすことを示せ。また、リーマン予想は「$\Xi$ の（複素数の）零点がすべて実数である」ことと同値であることを確かめよ。
<Solution>
<Ref to="lem-zeros-unit-interval" /> の証明の 1 で示した $\overline{\xi(\bar s)}=\xi(s)$ と関数等式 $\xi(1-s)=\xi(s)$ を使います。実数 $t$ について $\overline{\Xi(t)}=\overline{\xi(\frac12+it)}=\xi(\frac12-it)=\xi\bigl(1-(\frac12+it)\bigr)=\xi(\frac12+it)=\Xi(t)$ なので実数値です。また $\Xi(-t)=\xi(\frac12-it)=\xi(\frac12+it)=\Xi(t)$ です（これは複素数 $t$ でも成り立ちます）。複素数 $z$ について $\Xi(z)=0$ は $s=\frac12+iz$ が $\xi$ の零点であることと同じで、$\operatorname{Re}s=\frac12-\operatorname{Im}z$ なので、$\operatorname{Re}s=\frac12$ は $z\in\mathbb{R}$ と同値です。$\xi$ の零点は非自明零点と一致する（<Ref to="thm-xi-hadamard-product" />）ので、主張が従います。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-reciprocal-sum" difficulty="標準">
<Ref to="thm-riemann-von-mangoldt" /> を使って、$\sum_\rho\frac1{|\rho|}$ が発散することを示せ。<Ref to="thm-xi-hadamard-product" /> の積で因子 $e^{s/\rho}$ を省けない理由を説明せよ。
<Solution>
個数公式から、十分大きい $T$ で $N(2T)-N(T)\ge\frac{2T}{2\pi}\log\frac{2T}{2\pi}-\frac{2T}{2\pi}-\frac T{2\pi}\log\frac T{2\pi}+\frac T{2\pi}-2C_2\log2T=\frac T{2\pi}\log\frac T{2\pi}+\frac{T}{\pi}\log2-\frac T{2\pi}-2C_2\log2T\ge\frac T{4\pi}\log T$ です。$T\lt\gamma\le2T$ の零点は $|\rho|\le2T+1\le3T$ を満たすので、この範囲の $\sum\frac1{|\rho|}$ は $\frac1{3T}\cdot\frac T{4\pi}\log T=\frac{\log T}{12\pi}$ 以上です。$T=2^{j}$（$j$ は大きい整数）について足すと、$\sum_j\frac{j\log2}{12\pi}=\infty$ なので発散します。したがって $\prod_\rho(1-s/\rho)$ は絶対収束せず、収束因子 $e^{s/\rho}$ を付けて各因子を $1+O(|s|^2/|\rho|^2)$ にする必要があります（$\sum|\rho|^{-2}\lt\infty$ は <Ref to="lem-zeros-order-one" />）。零点を $\rho$ と $\bar\rho$ の組にまとめれば $e^{s/\rho}$ なしでも条件収束しますが、それは並べ方に依る収束です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-pi-version" difficulty="標準">
$\frac12\le\Theta\lt1$ とし、$\zeta$ が $\operatorname{Re}s\gt\Theta$ に零点をもたないとする。このとき $\pi(x)=\operatorname{li}(x)+O(x^{\Theta}\log x)$ を示せ。
<Solution>
$\theta(x)=\sum_{p\le x}\log p$ とします。<Ref to="thm-zero-free-to-error" /> と $0\le\psi(x)-\theta(x)\le2\sqrt x\log x$（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-chebyshev" />）から、$\Theta\ge\frac12$ を使って $|\theta(x)-x|\le C'x^{\Theta}\log^2x$（$x\ge2$）です。<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#thm-von-koch" /> の証明にある部分和の公式
$$
\pi(x)-\operatorname{li}(x)=\frac{\theta(x)-x}{\log x}+\int_2^x\frac{\theta(t)-t}{t\log^2t}\,dt+c_2
$$
に代入すると、第 1 項は $C'x^{\Theta}\log x$ 以下、積分は $C'\int_2^xt^{\Theta-1}dt\le\frac{C'}{\Theta}x^{\Theta}$ 以下なので、$\pi(x)-\operatorname{li}(x)=O(x^{\Theta}\log x)$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-balance" difficulty="難">
ある $0\lt a\le1$ と $c\gt0$ について、すべての非自明零点が $\beta\le1-c/(\log(|\gamma|+3))^{a}$ を満たすと仮定する。<Ref to="thm-pnt-error-term" /> の証明をたどって、$\psi(x)=x+O\bigl(x\exp(-c'(\log x)^{1/(1+a)})\bigr)$ を示せ。$a=1$ と $a=\frac23$ の場合の指数を答えよ。
<Solution>
半整数 $x$ について $T_0=\exp\bigl((\log x)^{1/(1+a)}\bigr)$ とおきます（$x$ が大きければ $5\le T_0\le x$）。$|\gamma|\lt T\le T_0+1$ の零点は $\beta\le1-c/(\log(T_0+4))^{a}$ で、$\log(T_0+4)\le2\log T_0=2(\log x)^{1/(1+a)}$ から
$$
x^{\beta}\le x\exp\Bigl(-\frac{c\log x}{2^{a}(\log x)^{a/(1+a)}}\Bigr)=x\exp\bigl(-2^{-a}c\,(\log x)^{1/(1+a)}\bigr)
$$
です。<Ref to="lem-truncated-explicit" /> と <Ref to="lem-zeros-unit-interval" /> の 3 から
$$
|\psi(x)-x|\le C_1\log^2(T_0+1)\cdot x\,e^{-2^{-a}c(\log x)^{1/(1+a)}}+C_4x\log^2x\,e^{-(\log x)^{1/(1+a)}}+C_4x^{3/8}\log^2x
$$
で、対数の冪は指数の定数を半分にすれば吸収できるので、$c'=\frac12\min\{1,2^{-a}c\}$ として主張を得ます。$a=1$ では指数 $\frac12$（<Ref to="thm-pnt-error-term" />）、$a=\frac23$ では $\frac1{1+2/3}=\frac35$ です。Vinogradov–Korobov の領域（<Ref to="thm-vinogradov-korobov" />）では、$\log\log$ の因子も同じ計算で追うと表の $(\log x)^{3/5}(\log\log x)^{-1/5}$ になります。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- H. Davenport『Multiplicative Number Theory』第 3 版（H. L. Montgomery 改訂）、Springer、2000 — 第 8 章（$\Gamma$ と位数 1 の整関数）、第 11・12 章（Hadamard 積）、第 13 章（零点なし領域）、第 15 章（$N(T)$）、第 17・18 章（明示公式と誤差項）。
- E. C. Titchmarsh『The Theory of the Riemann Zeta-Function』第 2 版（D. R. Heath-Brown 改訂）、Oxford University Press、1986 — 第 2・3・6・9・14 章。
- H. M. Edwards『Riemann's Zeta Function』Academic Press、1974（Dover 版 2001）— 第 2・3・5・6 章。零点の数値表を含む。
- A. Ivić『The Riemann Zeta-Function: Theory and Applications』Wiley、1985（Dover 版 2003）— 第 6 章（Vinogradov–Korobov の零点なし領域）。
- K. Ford, "Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function", *Proceedings of the London Mathematical Society* (3) 85 (2002), 565–633 — 零点なし領域の定数を明示した形。
- H. L. Montgomery, R. C. Vaughan『Multiplicative Number Theory I: Classical Theory』Cambridge University Press、2007 — 第 6・10・12 章。