# リーマン予想 II：歴史と各種のアプローチ（Hardy の定理・Dirichlet L 関数・零点密度・Hilbert–Pólya・関数体）

> Dirichlet L 関数と一般化リーマン予想を定義し、L(1,χ)≠0 と算術級数定理、臨界線上の零点の無限性（Hardy）、Mertens 関数による同値、有限体上の楕円曲線での類似を証明する。零点密度・対相関・de Bruijn–Newman 定数は出典つきで述べ、何が示されていて何が示されていないかを区別する。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/great-problems/riemann-hypothesis-approaches

## 0. この記事の要点

素数の並びには規則がないように見えますが、ゼータ関数の「零点」という数の位置がその様子を決めています。リーマン予想は、その零点がすべて一直線上に並ぶという予想で、160 年たっても解けていません。この記事では、解決には届かなくても得られている結果を方向ごとに整理し、各結果が「何を言い、何を言わないか」を区別できるようになることを目指します。あわせて、等差数列の中にも素数が無限にあることを示す Dirichlet の定理を証明します。

- Dirichlet 指標（[指標](/mathematics/algebra/group-representations#def-character)の一種で、整数を法 $q$ の剰余で見て複素数を返す関数）$\chi$ に対する $L(s,\chi)$ は、$\chi$ が主指標でなければ $\operatorname{Re}s\gt0$ で正則で（<Ref to="thm-dirichlet-l-continuation" />）、$L(1,\chi)\ne0$ です（<Ref to="thm-l-one-nonvanishing" />）。ここから算術級数の中の素数の無限性が出ます（<Ref to="thm-dirichlet-progressions" />）。
- 一般化リーマン予想（<Ref to="ax-grh" />）は「すべての $L(s,\chi)$ の臨界帯の零点が $\operatorname{Re}s=\frac12$ 上にある」という未解決の主張です。それより弱い「ある $\sigma_0\lt1$ があって、どの $L(s,\chi)$ も $\operatorname{Re}s\gt\sigma_0$ に零点をもたない」を**準リーマン予想**と呼びます（<Ref to="def-quasi-rh" />）。
- 臨界線上には $\zeta$ の零点が無限個あります（Hardy 1914、<Ref to="thm-hardy" />）。正の割合があることも示されています（Selberg 1942）。しかし「すべて」には届いていません。
- 零点密度評価は「直線 $\operatorname{Re}s=\sigma$ の右に零点が少ない」という主張で、「無い」という主張（零点なし領域）とは種類が違います。
- リーマン予想は $M(x)=\sum_{n\le x}\mu(n)=O(x^{1/2+\varepsilon})$ と同値です（<Ref to="thm-mertens-equivalence" />）。
- 有限体上の曲線では対応する予想が証明されています。楕円曲線の場合は Hasse の定理から導けます（<Ref to="thm-function-field-rh-genus-one" />）。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **臨界帯・臨界線**: $\zeta$ の非自明な零点が入る帯 $0\le\operatorname{Re}s\le1$ と、その中央の直線 $\operatorname{Re}s=\frac12$。→ [リーマン予想 I](/mathematics/great-problems/riemann-zeros-and-zero-free-region)
- **零点なし領域**: 零点が 1 つも無いと証明されている範囲。→ [零点なし領域](/mathematics/great-problems/riemann-zeros-and-zero-free-region#def-zero-free-region)
- **リーマン予想**: 非自明な零点がすべて臨界線上にあるという未解決の主張。→ [リーマン予想](/mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#ax-riemann-hypothesis)
- **ゼータ関数**: $\sum n^{-s}$ で定まり、全平面に延びる関数。→ [ゼータ関数](/mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#def-zeta-series)
- **有限群の指標**: 群の表現の跡を取った関数で、アーベル群では 1 次元表現そのもの。→ [指標](/mathematics/algebra/group-representations#def-character)

</Aside>

## 1. 動機：160 年の地図

リーマン予想は 1859 年の Riemann の論文に現れ、現在も未解決です。この間に得られた結果は、大きく 5 つの方向に分けられます。

| 方向 | 何を示すか | 代表的な結果（年） | この記事での扱い |
|---|---|---|---|
| 零点なし領域 | 直線 $\operatorname{Re}s=1$ の近くに零点が**無い** | Hadamard・de la Vallée Poussin (1896, 1899)、Vinogradov・Korobov (1958) | [第 1 章](/mathematics/great-problems/riemann-zeros-and-zero-free-region)で証明 |
| 臨界線上の零点 | 臨界線上に零点が**ある**（多い） | Hardy (1914)、Selberg (1942)、Levinson (1974)、Conrey (1989) | §5。Hardy の定理を証明 |
| 零点密度 | 臨界線から離れた零点が**少ない** | Ingham (1940)、Huxley (1972)、Guth・Maynard (2024) | §6。出典つきで述べる |
| 同値な言い換え | 別の分野の命題に翻訳する | von Koch (1901)、Nyman・Beurling (1950, 1955)、Robin (1984)、Li (1997) | §7。1 つを証明 |
| 類似と構造 | 似た対象で証明する・証明の形を探す | Hasse (1936)、Weil (1948)、Deligne (1974)、Montgomery (1973)、Rodgers・Tao (2020) | §8、§9 |

5 つの方向はどれも大きな成果を挙げていますが、「すべての零点が臨界線上にある」には届いていません。この記事の目的は、それぞれが**何を言い、何を言わないか**を命題の形ではっきりさせることです。とくに「零点なし領域」と「零点密度」と「臨界線上の割合」の区別は、[第 3 章](/mathematics/great-problems/quasi-riemann-hypothesis-claim)で 2026 年の主張を読むときに必要になります。

もう 1 つの目的は、Dirichlet $L$ 関数の最小限を準備することです。素数全体の分布を $\zeta$ が支配するように、算術級数 $a,a+q,a+2q,\dots$ の中の素数の分布は $L(s,\chi)$ が支配します。第 3 章の主張は $\zeta$ だけでなくすべての $L(s,\chi)$ についてのものなので、定義と基本定理を §2〜§4 で証明つきで置きます。

## 2. 準備：指標と Dirichlet L 関数

$s=\sigma+it$ と書き、$p$ は素数を走ります。$\varphi$ は Euler の関数（<Ref to="mathematics/number-theory/congruences-and-fermat#def-euler-phi" />）です。

<Proposition id="prop-character-orthogonality" title="有限アーベル群の指標の直交関係">
$G$ を有限アーベル群とし、群準同型 $\chi:G\to\mathbb{C}^\times$ の全体を $\widehat G$ と書く。恒等的に $1$ の準同型を $\chi_0$ とする。

1. $|\widehat G|=|G|$ であり、$\chi\in\widehat G$ の値は絶対値 $1$ で $\overline{\chi(g)}=\chi(g)^{-1}$。
2. $\chi\in\widehat G$ について $\displaystyle\sum_{g\in G}\chi(g)=\begin{cases}|G|&(\chi=\chi_0)\\0&(\chi\ne\chi_0)\end{cases}$
3. $g\in G$ について $\displaystyle\sum_{\chi\in\widehat G}\chi(g)=\begin{cases}|G|&(g=e)\\0&(g\ne e)\end{cases}$
</Proposition>

<Proof of="prop-character-orthogonality">
$G$ の 1 次元表現は準同型 $G\to\mathrm{GL}_1(\mathbb{C})=\mathbb{C}^\times$ で、その指標（<Ref to="mathematics/algebra/group-representations#def-character" />）は準同型そのものです。2 つの 1 次元表現が同型なのは準同型として等しいときに限ります。$G$ はアーベル群なので既約表現はすべて 1 次元で（<Ref to="mathematics/algebra/group-representations#cor-abelian-irreps" />）、既約指標の全体は $\widehat G$ です。

**1.** 既約表現の同型類の個数は共役類の個数に等しく（<Ref to="mathematics/algebra/group-representations#thm-number-of-irreps" />）、アーベル群では共役類は 1 点なので $|\widehat G|=|G|$ です。$g^{|G|}=e$ から $\chi(g)^{|G|}=1$ なので $|\chi(g)|=1$、$\overline{\chi(g)}=\chi(g)^{-1}$ です。

**2.** 既約指標の直交関係（<Ref to="mathematics/algebra/group-representations#thm-character-orthogonality" />）を $\chi$ と $\chi_0$ に使うと、$\frac1{|G|}\sum_g\chi(g)\overline{\chi_0(g)}=\langle\chi,\chi_0\rangle$ は $\chi=\chi_0$ のとき $1$、そうでなければ $0$ です。

**3.** <Ref to="mathematics/algebra/group-representations#thm-number-of-irreps" /> から $\widehat G$ は類関数（アーベル群では $G$ 上のすべての関数）の空間の正規直交基底です。$e$ で $1$、他で $0$ の関数 $\delta_e$ を展開すると、係数は $\langle\delta_e,\chi\rangle=\frac1{|G|}\overline{\chi(e)}=\frac1{|G|}$ なので $\delta_e=\frac1{|G|}\sum_\chi\chi$ です。$g$ での値を取れば主張です。
</Proof>

<Definition id="def-dirichlet-character" title="Dirichlet 指標">
$q\ge1$ を整数とする。$(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times$ の指標 $\chi'\in\widehat{(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times}$ から
$$
\chi(n):=\begin{cases}\chi'(n\bmod q)&(\gcd(n,q)=1)\\0&(\gcd(n,q)\gt1)\end{cases}
$$
で定まる関数 $\chi:\mathbb{Z}\to\mathbb{C}$ を、**法 $q$ の Dirichlet 指標**という。$\chi$ は周期 $q$ をもち、完全乗法的（$\chi(mn)=\chi(m)\chi(n)$）である。

- $\chi'=\chi_0$ から定まるものを法 $q$ の**主指標**といい、同じ記号 $\chi_0$ で書く（$\gcd(n,q)=1$ で $1$、それ以外で $0$）。
- 値がすべて実数（$0,\pm1$）のとき**実指標**という。
- $d\mid q$ と法 $d$ の指標 $\chi^{*}$ について、$\gcd(n,q)=1$ を満たすすべての $n$ で $\chi(n)=\chi^{*}(n)$ となるとき、$\chi$ は $\chi^{*}$ から**誘導される**という。$\chi$ を誘導する指標の法 $d$ のうち最小のものを $\chi$ の**導手**という。導手が $q$ に等しいとき $\chi$ は**原始的**であるという。
</Definition>

導手を与える $\chi^{*}$ は原始的です。もし $\chi^{*}$ が法 $d'\lt d$ の指標 $\chi^{**}$ から誘導されるなら、$\gcd(n,q)=1$ で $\chi(n)=\chi^{*}(n)=\chi^{**}(n)$ となって $d$ の最小性に反するからです。したがってどの指標も原始指標から誘導されます。法 $q$ の主指標は法 $1$ の自明な指標（すべての $n$ で $1$）から誘導されるので、導手は $1$ です。

<Ref to="prop-character-orthogonality" /> を $G=(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times$（位数 $\varphi(q)$）に使うと、法 $q$ の指標は $\varphi(q)$ 個あり、$\gcd(a,q)=1$ のとき
$$
\sum_{n=1}^{q}\chi(n)=\begin{cases}\varphi(q)&(\chi=\chi_0)\\0&(\chi\ne\chi_0)\end{cases},\qquad
\frac1{\varphi(q)}\sum_{\chi\bmod q}\overline{\chi(a)}\,\chi(n)=\begin{cases}1&(n\equiv a\pmod q)\\0&(\text{それ以外})\end{cases}
$$
が成り立ちます。2 つ目は、$\gcd(n,q)=1$ のとき $\overline{\chi(a)}\chi(n)=\chi'(na^{-1})$ に 3 を使い、$\gcd(n,q)\gt1$ のときは両辺とも $0$ であることによります。この式が「指標は剰余類 $a\bmod q$ を選び出すふるい」であることの表現です。

<Example id="ex-character-tables" title="法 3・4・5 の指標">
法 $3$: $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^\times=\{1,2\}$ で指標は 2 個。主指標でない $\chi_{-3}$ は $\chi_{-3}(1)=1$、$\chi_{-3}(2)=-1$。これは Legendre 記号 $\bigl(\frac n3\bigr)$（<Ref to="mathematics/number-theory/quadratic-reciprocity#def-legendre" />）です。法 $4$: 主指標でない $\chi_{-4}$ は $\chi_{-4}(1)=1$、$\chi_{-4}(3)=-1$。法 $5$: $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\times$ は $2$ で生成される位数 $4$ の巡回群なので、指標は $\chi(2)\in\{1,i,-1,-i\}$ で決まります。

| $n\bmod5$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|
| $\chi_0$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $\chi_1$ | $1$ | $i$ | $-i$ | $-1$ |
| $\chi_2=\bigl(\frac n5\bigr)$ | $1$ | $-1$ | $-1$ | $1$ |
| $\chi_3=\overline{\chi_1}$ | $1$ | $-i$ | $i$ | $-1$ |

各行の和は主指標で $4$、他で $0$。各列の和は $n\equiv1$ で $4$、他で $0$。<Ref to="prop-character-orthogonality" /> の 2 と 3 です。実指標は $\chi_0$ と $\chi_2$、複素指標は $\chi_1$ と $\chi_3$ で、ここに挙げた主指標以外の指標はすべて原始的です（法が素数なら、主指標以外は導手が法に等しい）。法 $4$ の $\chi_{-4}$ も原始的です（法 $2$ の指標は主指標だけ）。
</Example>

<Definition id="def-dirichlet-l" title="Dirichlet L 関数">
法 $q$ の Dirichlet 指標 $\chi$ に対し、$\operatorname{Re}s\gt1$ で
$$
L(s,\chi):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^{s}}
$$
と定める（$|\chi(n)|\le1$ から絶対収束）。法 $1$ の自明な指標では $L(s,\chi)=\zeta(s)$ である。
</Definition>

<Lemma id="lem-l-euler-product" title="L 関数の Euler 積と対数">
$\chi$ を法 $q$ の Dirichlet 指標とする。$\operatorname{Re}s\gt1$ で
$$
\ell_\chi(s):=\sum_{p}\sum_{k\ge1}\frac{\chi(p)^{k}}{k\,p^{ks}}
$$
は絶対収束して正則関数を定め、
$$
L(s,\chi)=\exp\ell_\chi(s)=\prod_{p}\bigl(1-\chi(p)p^{-s}\bigr)^{-1}
$$
が成り立つ（積は $\lim_{N\to\infty}\prod_{p\le N}$ の意味）。とくに $\operatorname{Re}s\gt1$ で $L(s,\chi)\ne0$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-l-euler-product">
$\sigma\gt1$ とします。$\sum_p\sum_k\bigl|\frac{\chi(p)^k}{kp^{ks}}\bigr|\le\sum_p\sum_kp^{-k\sigma}\le\sum_{n\ge2}n^{-\sigma}\lt\infty$（素数冪 $p^k$ は相異なる整数）で、$\sigma\ge\sigma_0\gt1$ で一様なので、$\ell_\chi$ は正則です（<Ref to="mathematics/complex-analysis/argument-principle-rouche#thm-weierstrass-convergence" />）。

$|w|\lt1$ で $\exp\bigl(\sum_{k\ge1}w^k/k\bigr)=(1-w)^{-1}$ です（左辺に $1-w$ を掛けた関数の導関数は $\bigl(-1+(1-w)\sum_{k\ge1}w^{k-1}\bigr)\exp(\cdots)=0$ で、$w=0$ での値は $1$）。$w=\chi(p)p^{-s}$ として、$\exp\ell_\chi(s)=\lim_{N\to\infty}\prod_{p\le N}(1-\chi(p)p^{-s})^{-1}$ です。

$N$ を固定します。各因子を等比級数 $\sum_{k\ge0}\chi(p)^kp^{-ks}$ に展開し、有限個の絶対収束級数の積を展開すると、$\chi$ の完全乗法性と素因数分解の一意性（<Ref to="mathematics/number-theory/primes-and-prime-number-theorem#thm-fta" />）から
$$
\prod_{p\le N}\bigl(1-\chi(p)p^{-s}\bigr)^{-1}=\sum_{n\in S_N}\frac{\chi(n)}{n^s}
$$
です。ここで $S_N$ は素因子がすべて $N$ 以下の正整数の集合です（並べ替えは絶対収束から、<Ref to="mathematics/calculus/series-and-convergence#thm-double-series" />）。$S_N$ は $N$ 以下の正整数をすべて含むので、$\bigl|L(s,\chi)-\sum_{n\in S_N}\chi(n)n^{-s}\bigr|\le\sum_{n\gt N}n^{-\sigma}\to0$ です。よって $L(s,\chi)=\exp\ell_\chi(s)$ で、指数関数は $0$ にならないので $L(s,\chi)\ne0$ です。
</Proof>

## 3. L(s, χ) の接続と L(1, χ) ≠ 0

<Theorem id="thm-dirichlet-l-continuation" title="Dirichlet L 関数の Re s > 0 への接続">
$\chi$ を法 $q$ の Dirichlet 指標とする。

1. $\chi\ne\chi_0$ ならば、級数 $\sum_n\chi(n)n^{-s}$ は $\operatorname{Re}s\gt0$ で収束し、$L(s,\chi)$ は $\operatorname{Re}s\gt0$ 上の正則関数に延びる。$A(x)=\sum_{n\le x}\chi(n)$ とおくと $|A(x)|\le q$ で、$\operatorname{Re}s\gt0$ において $L(s,\chi)=s\displaystyle\int_1^\infty A(x)\,x^{-s-1}\,dx$ である。
2. $\chi=\chi_0$ ならば $L(s,\chi_0)=\zeta(s)\displaystyle\prod_{p\mid q}(1-p^{-s})$ で、$L(s,\chi_0)$ は $\mathbb{C}$ 上の有理型関数に延び、極は $s=1$ だけ（単純極、留数 $\varphi(q)/q$）である。
</Theorem>

<Proof of="thm-dirichlet-l-continuation">
**1.** $\chi$ は周期 $q$ で、連続する $q$ 個の整数にわたる和は <Ref to="prop-character-orthogonality" /> の 2 から $0$ です。$x$ 以下の整数を $q$ 個ずつの組と $q$ 個未満の余りに分ければ、$|A(x)|\le q$ です。

$N\ge1$ とし、$n^{-s}=N^{-s}+s\int_n^Nx^{-s-1}dx$ に $\chi(n)$ を掛けて $n\le N$ について足すと
$$
\sum_{n\le N}\frac{\chi(n)}{n^s}=A(N)N^{-s}+s\int_1^NA(x)\,x^{-s-1}\,dx
$$
です（各 $x$ で $n\le x$ の $\chi(n)$ が積分に寄与する）。$\sigma\ge\sigma_0\gt0$、$|s|\le R$ では $|A(N)N^{-s}|\le qN^{-\sigma_0}$、$\bigl|s\int_N^\infty A(x)x^{-s-1}dx\bigr|\le Rq\,N^{-\sigma_0}/\sigma_0$ なので、$N\to\infty$ で右辺は $s\int_1^\infty A(x)x^{-s-1}dx$ に、この範囲で一様に収束します。部分和は整関数なので、極限は $\operatorname{Re}s\gt0$ で正則です（<Ref to="mathematics/complex-analysis/argument-principle-rouche#thm-weierstrass-convergence" />）。$\sigma\gt1$ では定義の級数に一致します。

**2.** $\sigma\gt1$ で <Ref to="lem-l-euler-product" /> と <Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#thm-euler-product" /> から $L(s,\chi_0)=\prod_{p\nmid q}(1-p^{-s})^{-1}=\zeta(s)\prod_{p\mid q}(1-p^{-s})$ です。右辺は $\mathbb{C}$ 上で有理型で（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#thm-functional-equation" />）、極は $s=1$ だけ、留数は $\prod_{p\mid q}(1-p^{-1})=\varphi(q)/q$ です（<Ref to="mathematics/number-theory/elementary-number-theory#thm-phi-multiplicative" />）。
</Proof>

主指標でなければ $s=1$ に極が無い、という点が要です。$\zeta$ の極 $s=1$ が「素数は無限にある」ことを表していたのに対し、$L(s,\chi)$ では「$s=1$ で $0$ にならない」ことが算術級数の中の素数の無限性を表します。

<Lemma id="lem-landau" title="非負係数の Dirichlet 級数（Landau）">
$f(n)\ge0$（$n\ge1$）とし、$\sigma_0\lt\sigma_1$ を実数とする。級数 $\sum_nf(n)n^{-s}$ が $\operatorname{Re}s\gt\sigma_1$ で収束し、その和が半平面 $\operatorname{Re}s\gt\sigma_0$ 上の正則関数 $F$ に延びるならば、級数は $\operatorname{Re}s\gt\sigma_0$ で収束する。
</Lemma>

<Proof of="lem-landau">
$\sigma_c$ を、級数が収束する実数 $s$ の下限とします。$\sigma_c\le\sigma_1$ です。係数が非負なので、実数 $s_0$ で収束すれば $\operatorname{Re}s\ge s_0$ で一様に絶対収束し、和 $F_1$ は $\operatorname{Re}s\gt\sigma_c$ で正則、項別微分ができます（<Ref to="mathematics/complex-analysis/argument-principle-rouche#thm-weierstrass-convergence" />）。$F_1$ と $F$ は $\operatorname{Re}s\gt\sigma_1$ で一致するので、一致の定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-identity" />）から $\operatorname{Re}s\gt\sigma_c$ で $F_1=F$ です。

$\sigma_c\gt\sigma_0$ と仮定して矛盾を導きます。$a=\sigma_c+1$ とおきます。$F$ は $\operatorname{Re}s\gt\sigma_0$ で正則なので、ある $\delta\gt0$ について閉円板 $\overline{D}(a,1+\delta)$ はこの半平面に含まれ（$1+\delta\lt a-\sigma_0$ となるように取る）、$F$ の $a$ でのテイラー級数はそこで収束します（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-taylor" />）。$F^{(k)}(a)=F_1^{(k)}(a)=\sum_nf(n)(-\log n)^kn^{-a}$ なので、実数 $s=\sigma_c-\frac\delta2$（$a-s=1+\frac\delta2\gt0$）で
$$
F(s)=\sum_{k\ge0}\frac{(s-a)^k}{k!}F^{(k)}(a)=\sum_{k\ge0}\sum_{n\ge1}\frac{(a-s)^k(\log n)^k}{k!}\,f(n)\,n^{-a}
$$
です。すべての項が非負なので和の順序を交換でき（<Ref to="mathematics/calculus/series-and-convergence#thm-double-series" /> の 1）、$\sum_k\frac{((a-s)\log n)^k}{k!}=n^{a-s}$ から
$$
F(s)=\sum_{n\ge1}f(n)\,n^{-a}\,n^{a-s}=\sum_{n\ge1}f(n)\,n^{-s}
$$
となります。左辺は有限なので、級数は $s=\sigma_c-\frac\delta2\lt\sigma_c$ で収束し、$\sigma_c$ の定義に反します。よって $\sigma_c\le\sigma_0$ です。
</Proof>

次の定理が、算術級数定理の鍵です。証明は、$\chi$ が複素数値をとる場合と実数値のみの場合で方針が分かれます。前者は、すべての指標の $L$ 関数の積 $\zeta_q$ を作り、その対数が非負であることから、$s=1$ で $\zeta_q$ が $0$ になると矛盾することを使います。後者は、$\zeta(s)L(s,\chi)$ の係数が非負になることを使い、Landau の補題で収束域を広げて矛盾を出します。

<Theorem id="thm-l-one-nonvanishing" title="L(1, χ) ≠ 0">
$\chi$ を法 $q$ の Dirichlet 指標で $\chi\ne\chi_0$ とする。このとき $L(1,\chi)\ne0$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-l-one-nonvanishing">
**場合 1: $\chi$ が実指標でない.** $\zeta_q(s):=\prod_{\chi'\bmod q}L(s,\chi')$ とおきます。実数 $\sigma\gt1$ について、<Ref to="lem-l-euler-product" /> と指標の直交関係（$a=1$）から
$$
\log\zeta_q(\sigma)=\sum_{\chi'}\ell_{\chi'}(\sigma)=\sum_p\sum_{k\ge1}\frac1{kp^{k\sigma}}\sum_{\chi'}\chi'(p^k)=\varphi(q)\sum_{\substack{p,\,k\\p^k\equiv1\ (q)}}\frac1{k\,p^{k\sigma}}\ge0
$$
なので $\zeta_q(\sigma)\ge1$ です。一方、<Ref to="thm-dirichlet-l-continuation" /> から $\zeta_q$ は $\operatorname{Re}s\gt0$ で有理型で、$s=1$ での極は $L(s,\chi_0)$ に由来する高々 1 位です。$L(1,\chi)=0$ と仮定します。$\overline\chi$ も法 $q$ の指標で、$L(\sigma,\overline\chi)=\overline{L(\sigma,\chi)}$（実数 $\sigma\gt0$。<Ref to="thm-dirichlet-l-continuation" /> の積分表示から）なので $L(1,\overline\chi)=0$ です。$\chi\ne\overline\chi$ なので、$\zeta_q$ は $s=1$ で 2 つの因子の零点と 1 つの因子の 1 位の極をもち、残りの因子は正則です。よって $\zeta_q$ は $s=1$ で正則で $\zeta_q(1)=0$ となり、$\sigma\downarrow1$ で $\zeta_q(\sigma)\to0$ です。これは $\zeta_q(\sigma)\ge1$ に反します。

**場合 2: $\chi$ が実指標.** $f(n):=\sum_{d\mid n}\chi(d)$ とおきます。$\gcd(m,n)=1$ のとき $mn$ の約数は $m$ の約数と $n$ の約数の積に一意に書けるので、$\chi$ の乗法性から $f(mn)=f(m)f(n)$ です。素数冪では $f(p^k)=1+\chi(p)+\cdots+\chi(p)^k$ で、$\chi(p)\in\{1,-1,0\}$ に応じて $k+1$、（$k$ が偶数なら $1$、奇数なら $0$）、$1$ です。したがってすべての $n$ で $f(n)\ge0$、すべての $m$ で $f(m^2)\ge1$ です。

$\sigma\gt1$ では、絶対収束する 2 つの級数の積を $n=dm$ でまとめて（<Ref to="mathematics/calculus/series-and-convergence#thm-double-series" /> の 2）
$$
F(s):=\zeta(s)L(s,\chi)=\sum_{n\ge1}\frac{f(n)}{n^s}
$$
です。$L(1,\chi)=0$ と仮定すると、$\zeta$ の $s=1$ での 1 位の極（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#thm-continuation" />）が打ち消されて、$F$ は $\operatorname{Re}s\gt0$ で正則です（<Ref to="thm-dirichlet-l-continuation" /> の 1）。<Ref to="lem-landau" />（$\sigma_1=1$、$\sigma_0=0$）から、級数 $\sum f(n)n^{-s}$ は $s=\frac12$ で収束するはずです。ところが
$$
\sum_{n\ge1}\frac{f(n)}{n^{1/2}}\ge\sum_{m\ge1}\frac{f(m^2)}{m}\ge\sum_{m\ge1}\frac1m=\infty
$$
で、矛盾です。
</Proof>

実指標の場合が難しい理由は、場合 1 の議論が使えないことにあります。$\chi=\overline\chi$ だと零点は 1 つしか得られず、$\chi_0$ の極と打ち消し合って矛盾が出ません。この「実指標・実零点だけが別扱いになる」現象は、§4 の例外零点（Siegel 零点）として、現在まで残っている問題です。

<Theorem id="thm-dirichlet-progressions" title="Dirichlet の算術級数定理">
$q\ge1$、$\gcd(a,q)=1$ とする。このとき
$$
\sum_{p\equiv a\ (\mathrm{mod}\ q)}\frac1p=\infty
$$
である。とくに $p\equiv a\pmod q$ を満たす素数は無限個ある。
</Theorem>

<Proof of="thm-dirichlet-progressions">
実数 $\sigma\gt1$ とします。指標の直交関係から
$$
\sum_{p\equiv a\ (q)}\frac1{p^\sigma}=\frac1{\varphi(q)}\sum_{\chi\bmod q}\overline{\chi(a)}\,P_\chi(\sigma),\qquad P_\chi(\sigma):=\sum_p\frac{\chi(p)}{p^\sigma}
$$
です。<Ref to="lem-l-euler-product" /> の $\ell_\chi$ の $k=1$ の部分が $P_\chi$ で、残りは $|\ell_\chi(\sigma)-P_\chi(\sigma)|\le\sum_p\sum_{k\ge2}p^{-k}=\sum_p\frac1{p(p-1)}\le1$ です。

$\chi=\chi_0$ の項: $P_{\chi_0}(\sigma)=\sum_{p\nmid q}p^{-\sigma}$ で、$\sum_p\frac1p=\infty$（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#prop-reciprocal-primes" />）から、$\sigma\downarrow1$ で $+\infty$ に発散します（各 $N$ について $\liminf_{\sigma\downarrow1}P_{\chi_0}(\sigma)\ge\sum_{p\le N,\,p\nmid q}\frac1p$）。

$\chi\ne\chi_0$ の項: $\ell_\chi(\sigma)$ が $1\lt\sigma\le2$ で有界であることを示します。$L(s,\chi)$ は $\operatorname{Re}s\gt0$ で正則で（<Ref to="thm-dirichlet-l-continuation" />）、線分 $[1,2]$ 上で $0$ になりません（$\sigma\gt1$ は <Ref to="lem-l-euler-product" />、$\sigma=1$ は <Ref to="thm-l-one-nonvanishing" />）。連続性とコンパクト性から、ある $\eta\gt0$ について開長方形 $U=\{1-\eta\lt\sigma\lt2+\eta,\ |t|\lt\eta\}$ 上で $L(s,\chi)\ne0$ です。$U$ は凸なので $L'/L$ は $U$ 上に原始関数 $h$ をもち（<Ref to="mathematics/complex-analysis/cauchy-integral-theorem#thm-goursat" /> から、線分に沿う積分が原始関数を与える）、$U$ の $\sigma\gt1$ の部分（凸、したがって連結）では $h'=L'/L=\ell_\chi'$ なので $\ell_\chi-h$ は定数です。$h$ は $[1,2]$ 上で連続なので有界で、$\ell_\chi(\sigma)$ も $1\lt\sigma\le2$ で有界、したがって $P_\chi(\sigma)$ も有界です。

以上から、$\sigma\downarrow1$ で
$$
\sum_{p\equiv a\ (q)}\frac1{p^\sigma}=\frac1{\varphi(q)}P_{\chi_0}(\sigma)+O(1)\longrightarrow\infty
$$
です。$\sum_{p\equiv a}\frac1p$ が有限なら左辺は $\sigma\gt1$ でそれ以下なので、発散に反します。
</Proof>

<Example id="ex-l-one-values" title="L(1, χ) の値">
$\chi_{-4}$: $L(1,\chi_{-4})=1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots=\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi4=0.7854\ldots$（Leibniz の級数。$\frac1{1+x^2}=\sum(-1)^kx^{2k}$ を $[0,r]$ で項別積分して $r\uparrow1$、交代級数なので Abel の連続性定理が使えます）。

$\chi_{-3}$: 連続する 2 項をまとめると
$$
L(1,\chi_{-3})=\sum_{n\ge0}\Bigl(\frac1{3n+1}-\frac1{3n+2}\Bigr)=\int_0^1\frac{1-x}{1-x^3}\,dx=\int_0^1\frac{dx}{1+x+x^2}=\frac{2}{\sqrt3}\Bigl[\arctan\frac{2x+1}{\sqrt3}\Bigr]_0^1=\frac{\pi}{3\sqrt3}=0.6046\ldots
$$
です（$\frac1{3n+1}-\frac1{3n+2}=\int_0^1(x^{3n}-x^{3n+1})dx$ を足し、被積分関数が非負なので単調収束）。

法 $5$ の実指標 $\chi_2$: 部分和を $3\times10^{6}$ 項まで計算すると $0.43040894\ldots$ で、閉じた形 $\frac2{\sqrt5}\log\frac{1+\sqrt5}2=0.43040894\ldots$ と一致します（類数公式による値。Davenport 第 6 章）。複素指標 $\chi_1$ では $L(1,\chi_1)\approx0.8648+0.2042\,i$ で、$L(1,\chi_3)$ はその複素共役です。どれも $0$ ではなく、<Ref to="thm-l-one-nonvanishing" /> と合っています。値に $\pi$ が出るもの（$\chi(-1)=-1$）と対数が出るもの（$\chi(-1)=1$）があるのは、虚 2 次体と実 2 次体の類数公式の違いに対応します。
</Example>

## 4. 一般化リーマン予想と準リーマン予想

$\chi$ が原始指標のとき、$L(s,\chi)$ は $\mathbb{C}$ 全体に（$\chi$ が自明でなければ整関数として）接続され、$\zeta$ と同じ形の関数等式 $s\leftrightarrow1-s$（右辺は $\overline\chi$）を満たします（Davenport 第 9 章。この記事では $\operatorname{Re}s\gt0$ の範囲しか使いません）。$\operatorname{Re}s\gt1$ に零点はなく（<Ref to="lem-l-euler-product" />）、関数等式から $\operatorname{Re}s\lt0$ の零点は負の整数にある「自明な零点」だけなので、残りの零点は臨界帯 $0\le\operatorname{Re}s\le1$ にあります。

<Axiom id="ax-grh" title="一般化リーマン予想（未解決の主張）">
すべての Dirichlet 指標 $\chi$ について、$L(s,\chi)$ の零点 $\rho$ で $0\lt\operatorname{Re}\rho\lt1$ を満たすものはすべて $\operatorname{Re}\rho=\frac12$ を満たす。
</Axiom>

これは**未解決の主張**です。法 $1$ の場合がリーマン予想（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#ax-riemann-hypothesis" />）で、どの 1 つの指標についても証明されていません。Rikai では、この主張に依存する命題には「一般化リーマン予想を仮定すると」と明記します。

<Definition id="def-quasi-rh" title="一様な零点なし半平面（準リーマン予想）">
実数 $\frac12\le\sigma_0\lt1$ について、命題 $\mathrm{QRH}(\sigma_0)$ を「すべての Dirichlet 指標 $\chi$（すべての法 $q\ge1$）について、$L(s,\chi)$ は半平面 $\operatorname{Re}s\gt\sigma_0$ に零点をもたない」と定める。

ある $\sigma_0\lt1$ について $\mathrm{QRH}(\sigma_0)$ が成り立つ、という命題を**準リーマン予想**（quasi-Riemann hypothesis）と呼ぶ。$\zeta$ だけについての同じ命題（ある $\sigma_0\lt1$ について $\zeta$ が $\operatorname{Re}s\gt\sigma_0$ に零点をもたない）も同じ名前で呼ばれる。
</Definition>

$\mathrm{QRH}(\frac12)$ は一般化リーマン予想と同値です（関数等式による対称性 $\rho\mapsto1-\bar\rho$ を使います）。$\mathrm{QRH}(\sigma_0)$ は $\sigma_0$ が大きいほど弱い主張ですが、どの $\sigma_0\lt1$ についても、2026 年 9 月より前に証明は公表されていませんでした。$\zeta$ だけに限っても同じです。確立した零点なし領域は、[第 1 章](/mathematics/great-problems/riemann-zeros-and-zero-free-region)の <Ref to="mathematics/great-problems/riemann-zeros-and-zero-free-region#thm-classical-zero-free-region" /> や Vinogradov–Korobov の領域のように、高さ $|t|$（$L(s,\chi)$ ではさらに法 $q$）が大きくなると幅が $0$ に縮むものだけです。この定義で「一様」とは、$\sigma_0$ が $\chi$ にも $q$ にも $|t|$ にもよらないことを指します。2026 年 9 月 30 日付で公表された $\mathrm{QRH}(\frac78)$ の主張は第 3 章で扱います。

<Definition id="def-exceptional-zero" title="例外零点（Siegel 零点）">
$c\gt0$ を定数とする。法 $q\ge3$ の実原始指標 $\chi$ について、$L(s,\chi)$ の実零点 $\beta$ で
$$
1-\frac{c}{\log q}\lt\beta\lt1
$$
を満たすものを（定数 $c$ に関する）**例外零点**、または **Siegel 零点**、**Landau–Siegel 零点**という。
</Definition>

$L(s,\chi)$ に対する古典的零点なし領域は、$\sigma\ge1-\frac{c}{\log(q(|t|+2))}$ に零点がない、ただし $\chi$ が実指標のときは実零点が高々 1 つあり得る、という形です（Davenport 第 14 章）。<Ref to="thm-l-one-nonvanishing" /> の証明で実指標だけが別扱いだったのと同じ理由で、3-4-1 の不等式の議論が実指標の実零点には効きません。この「あり得る 1 つ」が例外零点で、存在しないことは証明されていません。存在しないと仮定できれば多くの評価が実効的になるので、これ自体が有名な未解決問題です。$\mathrm{QRH}(\sigma_0)$ が成り立てば、$c\lt(1-\sigma_0)\log3$ について例外零点は存在しません（$\beta\le\sigma_0\lt1-c/\log q$）。

<Theorem id="thm-siegel" title="Siegel の定理">
任意の $\varepsilon\gt0$ に対して定数 $C(\varepsilon)\gt0$ が存在して、法 $q$ のすべての実原始指標 $\chi$（$q\ge3$）について
$$
L(1,\chi)\ge C(\varepsilon)\,q^{-\varepsilon}
$$
が成り立つ。
</Theorem>

<Remark id="rem-siegel" title="主張のみ：理由と出典">
この定理は**主張のみ**とし、証明を付けません。証明（Siegel 1935。簡潔な形は Estermann、Goldfeld による）は 2 つの実指標の $L$ 関数の積 $\zeta(s)L(s,\chi_1)L(s,\chi_2)L(s,\chi_1\chi_2)$ を使うもので、Davenport『Multiplicative Number Theory』第 21 章にあります。Rikai にはまだ原始指標の $L$ 関数の関数等式と凸性評価が無く、それを前提にすると 1 章分になるため、ここでは述べるだけにします。

この定理の定数 $C(\varepsilon)$ は**実効的でない**ことに注意してください。証明は「例外零点をもつ指標が 1 つでもあれば、それを使って他の指標を抑える」という形で、例外零点が存在するかどうかが分からないため、$\varepsilon\lt\frac12$ のとき $C(\varepsilon)$ の具体的な値を証明から取り出せません。実効的に知られている下界は $L(1,\chi)\ge c/\sqrt q$ 程度（類数公式による）と、Goldfeld・Gross–Zagier による $\log q$ の冪の改良だけです。
</Remark>

## 5. 臨界線上の零点：Hardy の定理

零点が臨界線上に**ある**ことを示す方向です。臨界線上では $\zeta$ を実数値の関数に直せるので、符号変化を数えることができます。

<Definition id="def-hardy-z" title="Hardy の Z 関数">
$\operatorname{Log}\Gamma$ を <Ref to="mathematics/special-functions/asymptotic-methods#thm-stirling-complex" /> の正則関数とする。実数 $t$ に対し
$$
\vartheta(t):=\operatorname{Im}\operatorname{Log}\Gamma\Bigl(\frac14+\frac{it}2\Bigr)-\frac t2\log\pi,\qquad Z(t):=e^{i\vartheta(t)}\,\zeta\Bigl(\frac12+it\Bigr)
$$
とおく。$\vartheta$ を Riemann–Siegel のテータ関数、$Z$ を **Hardy の $Z$ 関数**という。また $\Xi(t):=\xi(\frac12+it)$ とおく（$\xi$ は <Ref to="mathematics/great-problems/riemann-zeros-and-zero-free-region#def-xi" />）。
</Definition>

<Proposition id="prop-z-real" title="Z は実数値で、|Z(t)| = |ζ(1/2 + it)|">
実数 $t$ について $Z(t)$ は実数で、$|Z(t)|=|\zeta(\frac12+it)|$ である。$\Xi$ は実軸上で実数値の偶関数である。さらに
$$
\Xi(t)=-\frac12\Bigl(t^2+\frac14\Bigr)\,\pi^{-1/4}\,\Bigl|\Gamma\Bigl(\frac14+\frac{it}2\Bigr)\Bigr|\,Z(t)
$$
が成り立つ。とくに $\Xi(t)$ と $Z(t)$ は実軸上で同じ零点をもち、符号は逆である。
</Proposition>

<Proof of="prop-z-real">
$s=\frac12+it$ とします。$s(s-1)=(\frac12+it)(-\frac12+it)=-(t^2+\frac14)$ です。$\pi^{-s/2}=\pi^{-1/4}e^{-i(t/2)\log\pi}$、$\Gamma(\frac s2)=\exp\operatorname{Log}\Gamma(\frac14+\frac{it}2)=|\Gamma(\frac14+\frac{it}2)|\,e^{i\operatorname{Im}\operatorname{Log}\Gamma(\frac14+\frac{it}2)}$ なので
$$
\pi^{-s/2}\,\Gamma\Bigl(\frac s2\Bigr)=\pi^{-1/4}\Bigl|\Gamma\Bigl(\frac14+\frac{it}2\Bigr)\Bigr|\,e^{i\vartheta(t)}
$$
です。$\xi$ の定義に代入すれば等式を得ます。$\Xi(t)$ は実数です。実際、$\xi$ は実数 $s\gt1$ で実数値なので、整関数 $s\mapsto\overline{\xi(\bar s)}$ は実軸の一部で $\xi$ と一致し、一致の定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-identity" />）から $\overline{\xi(\bar s)}=\xi(s)$ です。これと関数等式 $\xi(1-s)=\xi(s)$（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#thm-functional-equation" />）から $\overline{\Xi(t)}=\xi(\frac12-it)=\xi(1-(\frac12+it))=\Xi(t)$ で、同じ計算で $\Xi(-t)=\Xi(t)$ も分かります。等式の $Z(t)$ の係数は負の実数（$\Gamma$ は零点をもたない、<Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#thm-gamma-product" />）なので、$Z(t)$ は実数です。$|e^{i\vartheta}|=1$ から $|Z(t)|=|\zeta(\frac12+it)|$ です。
</Proof>

$Z$ が実数値の連続関数なので、$Z(t_1)Z(t_2)\lt0$ なら中間値の定理から $t_1$ と $t_2$ の間に臨界線上の零点があります。数値検証はこの原理で行われます。

<Example id="ex-z-sign-changes" title="Z の符号変化で零点を挟む">
$\vartheta(t)$ を Stirling の公式から得られる近似 $\frac t2\log\frac t{2\pi}-\frac t2-\frac\pi8+\frac1{48t}$ で、$\zeta(\frac12+it)$ を交代級数 $\sum(-1)^{n-1}n^{-s}$ の加速（Borwein の方法）で計算すると、次の値になります（小数第 4 位まで。計算した $e^{i\vartheta}\zeta$ の虚部は $10^{-8}$ 以下）。

| $t$ | $14$ | $14.5$ | $21$ | $21.5$ | $25$ | $25.5$ | $30$ | $31$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $Z(t)$ | $-0.1056$ | $+0.2974$ | $+0.0251$ | $-0.5214$ | $-0.0149$ | $+0.7013$ | $+0.5960$ | $-0.6256$ |

符号が $(14,14.5)$、$(21,21.5)$、$(25,25.5)$、$(30,31)$ で変わるので、それぞれの区間に臨界線上の零点が少なくとも 1 つあります。一方、[第 1 章](/mathematics/great-problems/riemann-zeros-and-zero-free-region)の個数公式（<Ref to="mathematics/great-problems/riemann-zeros-and-zero-free-region#ex-count-small-heights" />）で、虚部が $0$ と $31$ の間にある零点は臨界帯全体でちょうど 4 個と分かります（$N(T)$ を偏角の原理で厳密に求める必要がありますが、原理は同じです）。4 個の零点が臨界線上に見つかり、臨界帯全体で 4 個しか無いので、この範囲の零点はすべて臨界線上にあって単純です。「符号変化の個数 $=N(T)$」を確かめる、というのが高さ $T$ までのリーマン予想の数値検証の方法です。
</Example>

この方法で、Platt と Trudgian (2021) は虚部が $3\times10^{12}$ 以下の非自明零点がすべて臨界線上にあり単純であることを、区間演算による厳密な計算で確かめています（D. Platt, T. Trudgian, "The Riemann hypothesis is true up to $3\cdot10^{12}$", *Bull. London Math. Soc.* 53 (2021)）。これは有限の範囲の検証で、定理環境には入れません。有限個の零点の検証は予想の証明になりませんが、<Ref to="mathematics/great-problems/riemann-zeros-and-zero-free-region#thm-classical-zero-free-region" /> の定数を明示する仕事などで実際に使われます。

Hardy の定理の証明には、$\Xi$ を具体的な関数の [Fourier 変換](/mathematics/fourier-analysis/fourier-transform#def-fourier-transform)として表す式を使います。$\operatorname{Re}x\gt0$ で $\omega(x):=\sum_{n\ge1}e^{-\pi n^2x}$ とおきます。テータ関数の変換則（<Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#thm-theta" />）は $\theta=1+2\omega$ について $\theta(1/x)=\sqrt x\,\theta(x)$（$x\gt0$）なので
$$
\omega\Bigl(\frac1x\Bigr)=\sqrt x\,\omega(x)+\frac{\sqrt x-1}2
$$
です。両辺は $\operatorname{Re}x\gt0$ で正則（$\sqrt x$ は主値）なので、一致の定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-identity" />）により、この等式は $\operatorname{Re}x\gt0$ で成り立ちます。

<Lemma id="lem-xi-theta-integral" title="Ξ の積分表示">
1. すべての $s\in\mathbb{C}$ で $\xi(s)=\dfrac12+\dfrac{s(s-1)}2\displaystyle\int_1^\infty\omega(x)\bigl(x^{s/2-1}+x^{-(s+1)/2}\bigr)dx$。
2. 定数 $C$ があって、すべての実数 $t$ で $|\Xi(t)|\le C(1+t^4)e^{-\pi|t|/4}$。
3. $k(u):=e^{-u/2}-2e^{u/2}\omega(e^{2u})$ とおく。$|\operatorname{Im}u|\lt\frac\pi4$ を満たすすべての複素数 $u$ で
$$
\int_0^\infty\frac{\Xi(t)}{t^2+\frac14}\cos(ut)\,dt=\frac\pi2\,k(u)
$$
が成り立ち、左辺は $u$ について正則で、積分記号の下で何回でも微分できる。
</Lemma>

<Proof of="lem-xi-theta-integral">
**1.** $\sigma\gt1$ とします。<Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#def-gamma" /> の積分で $t=\pi n^2x$ と置換すると $\pi^{-s/2}\Gamma(\frac s2)n^{-s}=\int_0^\infty e^{-\pi n^2x}x^{s/2-1}dx$ です。$n$ について足すと（被積分関数の絶対値の和の積分が $\pi^{-\sigma/2}\Gamma(\frac\sigma2)\zeta(\sigma)\lt\infty$ なので Fubini の定理が使えて）$\pi^{-s/2}\Gamma(\frac s2)\zeta(s)=\int_0^\infty\omega(x)x^{s/2-1}dx$ です。$\int_0^1$ の部分で $x\mapsto1/x$ と置換し、上の変換則を使うと
$$
\int_0^1\omega(x)x^{s/2-1}dx=\int_1^\infty\omega\Bigl(\frac1x\Bigr)x^{-s/2-1}dx=\int_1^\infty\omega(x)x^{-(s+1)/2}dx+\frac12\Bigl(\frac1{\frac s2-\frac12}-\frac1{\frac s2}\Bigr)
$$
で、最後の括弧は $\frac2{s-1}-\frac2s=\frac2{s(s-1)}$ です。$\frac12s(s-1)$ を掛けて、$\sigma\gt1$ で 1 の等式を得ます。$x\ge1$ で $0\lt\omega(x)\le\sum_{n\ge1}e^{-\pi nx}\le2e^{-\pi x}$ なので、右辺の積分は任意の有界集合上で一様に収束して整関数を定めます。$\xi$ も整関数なので、一致の定理から等式はすべての $s$ で成り立ちます。

**2.** <Ref to="mathematics/special-functions/asymptotic-methods#cor-gamma-vertical" /> を $x=\frac14$、$y=\frac t2$ で使うと、ある $t_0\ge2$ があって $|t|\ge t_0$ で $|\Gamma(\frac14+\frac{it}2)|\le4e^{-\pi|t|/4}$ です。<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-zeta-growth" /> から $|\zeta(\frac12+it)|\le3t^2$ で、$|\frac12s(s-1)|=\frac12(t^2+\frac14)\le t^2$ なので $|\Xi(t)|\le12\,t^4e^{-\pi|t|/4}$（$|t|\ge t_0$）です。$|t|\le t_0$ では連続関数として有界です。

**3.** まず実数 $u$ とします。1 に $s=\frac12+it$ を入れると、$x^{s/2-1}+x^{-(s+1)/2}=x^{-3/4}(x^{it/2}+x^{-it/2})=2x^{-3/4}\cos(\frac t2\log x)$、$\frac12s(s-1)=-\frac12(t^2+\frac14)$ から
$$
\frac{\Xi(t)}{t^2+\frac14}=\frac1{2(t^2+\frac14)}-\int_1^\infty\omega(x)x^{-3/4}\cos\Bigl(\frac t2\log x\Bigr)dx
=\int_0^\infty e^{-v/2}\cos(tv)\,dv-2\int_0^\infty e^{v/2}\omega(e^{2v})\cos(tv)\,dv
$$
です（第 1 項は $\int_0^\infty e^{-av}\cos(tv)dv=\frac{a}{a^2+t^2}$ の $a=\frac12$、第 2 項は置換 $x=e^{2v}$、$dx=2e^{2v}dv$）。すなわち $\frac{\Xi(t)}{t^2+1/4}=\int_0^\infty k(v)\cos(tv)\,dv$ です。

$k$ は偶関数です。実際、変換則に $x=e^{2u}$ を入れると $\omega(e^{-2u})=e^{u}\omega(e^{2u})+\frac12(e^{u}-1)$ なので
$$
k(-u)=e^{u/2}-2e^{-u/2}\omega(e^{-2u})=e^{u/2}-2e^{u/2}\omega(e^{2u})-e^{u/2}+e^{-u/2}=k(u).
$$
したがって $\frac{\Xi(t)}{t^2+1/4}=\frac12\int_{-\infty}^\infty k(v)e^{-itv}dv=\frac12\hat k(t)$ です（Fourier 変換の規約は <Ref to="mathematics/fourier-analysis/fourier-transform#def-fourier-transform" />）。$k$ は連続で、$v\ge0$ で $|k(v)|\le e^{-v/2}+4e^{v/2}e^{-\pi e^{2v}}$ なので可積分、$\hat k$ も 2 から可積分です。反転公式（<Ref to="mathematics/fourier-analysis/fourier-transform#thm-inversion" />）から、ほとんどすべての $u$ で
$$
k(u)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\hat k(t)e^{iut}dt=\frac1\pi\int_{-\infty}^\infty\frac{\Xi(t)}{t^2+\frac14}e^{iut}dt=\frac2\pi\int_0^\infty\frac{\Xi(t)}{t^2+\frac14}\cos(ut)\,dt
$$
です（最後は $\Xi$ が偶関数であること、<Ref to="prop-z-real" />）。両辺は $u$ について連続なので、すべての実数 $u$ で成り立ちます。

複素数の $u$ へ。$|\cos(ut)|\le e^{|\operatorname{Im}u|\,t}$ と 2 から、$|\operatorname{Im}u|\le\frac\pi4-\eta$（$\eta\gt0$）で被積分関数の絶対値は $4C(1+t^4)e^{-\eta t}$ 以下なので、$\int_0^T$（$u$ の整関数）は $T\to\infty$ でこの帯の上で一様に収束します。よって左辺は帯 $|\operatorname{Im}u|\lt\frac\pi4$ で正則で、導関数は $\int_0^T$ の導関数の極限、すなわち積分記号の下での微分で与えられます（<Ref to="mathematics/complex-analysis/argument-principle-rouche#thm-weierstrass-convergence" />）。右辺は、$\operatorname{Re}e^{2u}=e^{2\operatorname{Re}u}\cos(2\operatorname{Im}u)\gt0$ なので同じ帯で正則です。実軸上で一致するので、一致の定理から帯全体で等しくなります。
</Proof>

Hardy の定理の証明は背理法です。「臨界線上の零点が有限個なら、ある量の符号が一定になるはずだ」と仮定し、テータ関数から別に計算した同じ量の符号が交互に入れ替わることとぶつけます。

<Theorem id="thm-hardy" title="Hardy の定理（1914）">
$\zeta(\frac12+it)=0$ を満たす実数 $t$ は無限個ある。
</Theorem>

<Proof of="thm-hardy">
<Ref to="prop-z-real" /> から、実数 $t$ について $\zeta(\frac12+it)=0$ は $\Xi(t)=0$ と同値で、$\Xi$ は実数値の連続な偶関数です。$\Xi$ の実零点が有限個だと仮定して矛盾を導きます。

**第 1 段（モーメントの極限）.** $0\le\alpha\lt\frac\pi4$ とし、<Ref to="lem-xi-theta-integral" /> の 3 に $u=i\alpha$ を入れます。$\cos(i\alpha t)=\cosh(\alpha t)$ で、$k(i\alpha)=e^{-i\alpha/2}-2e^{i\alpha/2}\omega(e^{2i\alpha})$ です。
$$
G(\alpha):=e^{i\alpha/2}\Bigl(\frac12+\omega(e^{2i\alpha})\Bigr)
$$
とおくと $k(i\alpha)=e^{-i\alpha/2}+e^{i\alpha/2}-2G(\alpha)=2\cos\frac\alpha2-2G(\alpha)$ なので
$$
\int_0^\infty\frac{\Xi(t)}{t^2+\frac14}\cosh(\alpha t)\,dt=\pi\cos\frac\alpha2-\pi G(\alpha)
$$
です。両辺を $\alpha$ で $2n$ 回微分すると（左辺は積分記号の下で微分できる）
$$
I_n(\alpha):=\int_0^\infty\frac{\Xi(t)}{t^2+\frac14}\,t^{2n}\cosh(\alpha t)\,dt=\frac{(-1)^n\pi}{4^n}\cos\frac\alpha2-\pi\,G^{(2n)}(\alpha).
$$
第 2 段で、任意の $j\ge0$ について $\alpha\uparrow\frac\pi4$ のとき $G^{(j)}(\alpha)\to0$ を示します。すると
$$
\lim_{\alpha\uparrow\pi/4}I_n(\alpha)=\frac{(-1)^n\pi}{4^n}\cos\frac\pi8\qquad(n=0,1,2,\dots)
$$
です。右辺の符号が $n$ の偶奇で入れ替わることが要点です。

**第 2 段（$G$ とその導関数は $\alpha\uparrow\frac\pi4$ で $0$ に収束する）.** $\operatorname{Re}\delta\gt0$ のとき、$e^{-\pi n^2 i}=(-1)^{n^2}=(-1)^n$ から
$$
\omega(i+\delta)=\sum_{n\ge1}(-1)^ne^{-\pi n^2\delta}=2\omega(4\delta)-\omega(\delta)
$$
です（偶数の $n=2m$ の和が $\omega(4\delta)$）。変換則を $x=1/\delta$ と $x=1/(4\delta)$ で使うと $\omega(\delta)=\delta^{-1/2}\omega(\frac1\delta)+\frac12\delta^{-1/2}-\frac12$、$2\omega(4\delta)=\delta^{-1/2}\omega(\frac1{4\delta})+\frac12\delta^{-1/2}-1$ なので
$$
\frac12+\omega(i+\delta)=\delta^{-1/2}\Bigl(\omega\Bigl(\frac1{4\delta}\Bigr)-\omega\Bigl(\frac1\delta\Bigr)\Bigr)\qquad(\operatorname{Re}\delta\gt0).
$$
$0\lt\varepsilon\le\frac1{36}$、$\alpha=\frac\pi4-\varepsilon$ とし、複素数 $\alpha'$ を $|\alpha'-\alpha|\le\frac\varepsilon2$ の範囲で動かします。$\eta:=\frac\pi4-\alpha'$ は $|\eta-\varepsilon|\le\frac\varepsilon2$、したがって $\frac\varepsilon2\le|\eta|\le\frac{3\varepsilon}2$、$\operatorname{Re}\eta\ge\frac\varepsilon2$ を満たします。$\delta:=e^{2i\alpha'}-i=i(e^{-2i\eta}-1)$ とおくと、$|w|\le1$ で $|e^{w}-1-w|\le|w|^2$ なので $\delta=2\eta(1+r)$、$|r|\le2|\eta|\le\frac1{12}$ と書けます。よって
$$
\Bigl|\frac1\delta-\frac1{2\eta}\Bigr|=\frac1{2|\eta|}\cdot\frac{|r|}{|1+r|}\le\frac1{2|\eta|}\cdot\frac{12}{11}\cdot2|\eta|\le\frac43,\qquad\operatorname{Re}\frac1{2\eta}=\frac{\operatorname{Re}\eta}{2|\eta|^2}\ge\frac{\varepsilon/2}{2\cdot\frac94\varepsilon^2}=\frac1{9\varepsilon}
$$
で、$\operatorname{Re}\frac1\delta\ge\frac1{9\varepsilon}-\frac43\gt0$（とくに $\operatorname{Re}\delta\gt0$）、$\operatorname{Re}\frac1{4\delta}\ge\frac1{36\varepsilon}-\frac13\ge\frac23$ です。$\operatorname{Re}y\ge\frac23$ のとき $|\omega(y)|\le\sum_{n\ge1}e^{-\pi n\operatorname{Re}y}\le2e^{-\pi\operatorname{Re}y}$ なので
$$
\Bigl|\omega\Bigl(\frac1{4\delta}\Bigr)\Bigr|+\Bigl|\omega\Bigl(\frac1\delta\Bigr)\Bigr|\le4e^{\pi/3}e^{-\pi/(36\varepsilon)} .
$$
また $|\delta|^{-1/2}\le(2|\eta|\cdot\frac{11}{12})^{-1/2}\le2\varepsilon^{-1/2}$、$|e^{i\alpha'/2}|\le e^{\varepsilon/4}\le2$ です。$G$ は $|\operatorname{Re}\alpha'|\lt\frac\pi4$ で正則（$\operatorname{Re}e^{2i\alpha'}\gt0$）で、$e^{2i\alpha'}=i+\delta$ なので、上の等式から円板 $|\alpha'-\alpha|\le\frac\varepsilon2$ 上で
$$
|G(\alpha')|\le2\cdot2\varepsilon^{-1/2}\cdot4e^{\pi/3}e^{-\pi/(36\varepsilon)}\le50\,\varepsilon^{-1/2}e^{-\pi/(36\varepsilon)}
$$
です。Cauchy の評価式（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#prop-cauchy-estimate" />）から
$$
|G^{(j)}(\alpha)|\le j!\Bigl(\frac2\varepsilon\Bigr)^{j}\cdot50\,\varepsilon^{-1/2}e^{-\pi/(36\varepsilon)}\longrightarrow0\qquad(\varepsilon\downarrow0).
$$

**第 3 段（矛盾）.** $\Xi$ の実零点が有限個なら、ある $T_1\ge1$ と符号 $\epsilon\in\{1,-1\}$ があって、$t\ge T_1$ で $\epsilon\,\Xi(t)\gt0$ です。$n$ を $(-1)^n=-\epsilon$ となる偶奇に限ります。すると第 1 段から $\lim_{\alpha\uparrow\pi/4}\epsilon I_n(\alpha)=-\pi4^{-n}\cos\frac\pi8\lt0$ です。

$\epsilon I_n(\alpha)$ を $\int_0^{T_1}$ と $\int_{T_1}^\infty$ に分けます。前者の絶対値は、$K:=\int_0^{T_1}\frac{|\Xi(t)|}{t^2+1/4}\cosh\frac{\pi t}4\,dt$（$n$ と $\alpha$ によらない）として $K\,T_1^{2n}$ 以下です。後者は被積分関数が正で、$m:=\min_{2T_1\le t\le2T_1+1}\frac{\epsilon\,\Xi(t)}{t^2+1/4}\gt0$（$n$ と $\alpha$ によらない）と $\cosh\ge1$ から
$$
\int_{T_1}^\infty\frac{\epsilon\,\Xi(t)}{t^2+\frac14}t^{2n}\cosh(\alpha t)\,dt\ge\int_{2T_1}^{2T_1+1}m\,(2T_1)^{2n}dt=m\,4^n\,T_1^{2n}
$$
です。よって $\epsilon I_n(\alpha)\ge m4^nT_1^{2n}-KT_1^{2n}$ で、$\alpha\uparrow\frac\pi4$ として
$$
m\,4^n\,T_1^{2n}-K\,T_1^{2n}\le-\frac{\pi}{4^n}\cos\frac\pi8\lt0,\qquad\text{すなわち}\qquad m\,4^n\lt K .
$$
これが条件を満たすすべての $n$（無限個）で成り立つことになり、$n\to\infty$ で矛盾します。
</Proof>

証明の骨格は「$\Xi$ の符号が一定なら、すべての偶数次モーメント $\int\Xi(t)t^{2n}\cosh(\alpha t)\,dt/(t^2+\frac14)$ の符号も同じになるはずなのに、テータ関数から計算した極限値は符号が交互になる」です。$\alpha\uparrow\frac\pi4$ という極限は、$\Xi(t)$ の減衰 $e^{-\pi t/4}$ をちょうど打ち消す重み $\cosh(\frac\pi4t)$ を掛けることに当たり、テータ関数の側では点 $x=i$（$\omega(i+\delta)+\frac12$ が $\delta\to0$ で任意の冪より速く $0$ になる点）に近づくことに当たります。

<Theorem id="thm-selberg-positive-proportion" title="Selberg の定理（1942）">
$N_0(T)$ を、$0\lt\gamma\le T$、$\zeta(\frac12+i\gamma)=0$ を満たす $\gamma$ の個数（重複込み）とする。定数 $c\gt0$ と $T_0$ が存在して、$T\ge T_0$ で $N_0(T)\ge c\,N(T)$ が成り立つ。
</Theorem>

<Remark id="rem-selberg" title="主張のみ：理由と出典">
この定理は**主張のみ**とし、証明を付けません。証明は、$Z(t)$ に零点の偏りをならす因子（緩和子、mollifier）を掛けたうえで短い区間での積分の 2 乗平均を評価するもので、Titchmarsh『The Theory of the Riemann Zeta-Function』第 10 章で 20 ページを超えます。A. Selberg が 1942 年に証明しました。それ以前は Hardy と Littlewood (1921) の $N_0(T)\ge cT$ が最良でした（$N(T)\sim\frac T{2\pi}\log T$ なので、これは割合 $0$ です）。

割合 $c$ の値は改良が続いています。Levinson (1974) が $c\gt\frac13$、Conrey (1989) が $c\gt\frac25$ を示し、その後 Pratt・Robles・Zaharescu・Zeindler (2020) が $c\gt\frac5{12}$ を示しています。この方向の方法は「正の割合」を与えますが、割合 $1$（ほとんどすべて）にも「すべて」にも届いていません。割合 $1$ が証明されたとしても、例外の零点が $1$ つも無いことは別の主張です。
</Remark>

## 6. 零点密度：「少ない」と「無い」の違い

<Definition id="def-zero-density" title="零点密度">
$\frac12\le\sigma\le1$、$T\gt0$ について、$\zeta$ の非自明零点 $\rho=\beta+i\gamma$ で $\beta\ge\sigma$、$0\lt\gamma\le T$ を満たすものの個数（重複込み）を $N(\sigma,T)$ と書く。
</Definition>

$N(\frac12,T)$ は第 1 章の <Ref to="mathematics/great-problems/riemann-zeros-and-zero-free-region#thm-riemann-von-mangoldt" /> から $\frac12N(T)$ 以上で、$T\log T$ の大きさです。リーマン予想は「$\sigma\gt\frac12$ なら $N(\sigma,T)=0$」です。零点密度評価は、その中間の「$\sigma\gt\frac12$ なら $N(\sigma,T)$ は $T$ の $1$ より小さい冪でしか増えない」を示します。

<Theorem id="thm-ingham-density" title="零点密度評価（Ingham 1940、Guth–Maynard 2024）">
1. （Ingham）定数 $C$ があって、$\frac12\le\sigma\le1$、$T\ge2$ で $N(\sigma,T)\le C\,T^{3(1-\sigma)/(2-\sigma)}\log^5T$。
2. （Guth–Maynard）任意の $\varepsilon\gt0$ に対して定数 $C_\varepsilon$ があって、$\frac12\le\sigma\le1$、$T\ge2$ で $N(\sigma,T)\le C_\varepsilon\,T^{30(1-\sigma)/13+\varepsilon}$。
</Theorem>

<Remark id="rem-density" title="主張のみ：理由と出典">
この定理は**主張のみ**とし、証明を付けません。どちらも Dirichlet 多項式 $\sum_{n\le N}a_nn^{-it}$ が大きな値を取る点の個数の評価（large value estimate）に基づき、1 は Titchmarsh 第 9 章、Ivić『The Riemann Zeta-Function』第 11 章で 1 章分、2 は L. Guth, J. Maynard, "New large value estimates for Dirichlet polynomials"（[arXiv:2405.20552](https://arxiv.org/abs/2405.20552)）の主結果で、80 年ぶりに $\sigma=\frac34$ 付近の指数を改良したものです。

**零点密度評価が言わないこと.** 2 の右辺は、$\sigma\lt1$ である限り $T\to\infty$ で無限大になります。したがってこの評価は、$\operatorname{Re}s\ge\sigma$ に零点が**無い**ことをどの $\sigma\lt1$ についても与えません。「例外の零点があるとしても個数は高々これだけ」という主張で、零点なし領域（<Ref to="mathematics/great-problems/riemann-zeros-and-zero-free-region#def-zero-free-region" />）とは別種です。それでも素数分布への応用は強く、たとえば「$N(\sigma,T)\le CT^{A(1-\sigma)}\log^BT$ がすべての $\sigma$ で成り立てば、$\theta\gt1-\frac1A$ について長さ $x^{\theta}$ の区間 $[x,x+x^{\theta}]$ に素数がある」ことが従います（Huxley (1972) の $A=\frac{12}5$ からは $\theta\gt\frac7{12}$、Guth–Maynard の $A=\frac{30}{13}$ からは $\theta\gt\frac{17}{30}$）。すべての $\sigma$ で $A=2$ が取れるという予想を**密度予想**といい、これも未解決です。
</Remark>

3 種類の主張を並べます。

| 種類 | 主張の形 | 現在確立していること | リーマン予想との距離 |
|---|---|---|---|
| 零点なし領域 | ある集合に零点が $1$ つも無い | 幅 $c/((\log\lvert t\rvert)^{2/3}(\log\log\lvert t\rvert)^{1/3})$。幅が一定の帯は未確立 | 幅 $\frac12$ が必要 |
| 零点密度 | $\operatorname{Re}s\ge\sigma$ の零点が高々 $T^{A(1-\sigma)+\varepsilon}$ 個 | $A=\frac{30}{13}$ | $0$ 個が必要。$A$ をどれだけ下げても $0$ 個にはならない |
| 臨界線上の割合 | 臨界線上の零点が全体の割合 $c$ 以上 | $c\gt\frac5{12}$ | 割合 $1$ でも足りない（例外が $0$ 個であることが必要） |

リーマン予想は「零点なし領域」の型の主張です。零点密度と臨界線上の割合は、どれだけ改良しても型が違うので、それだけではリーマン予想になりません。逆に、幅が一定の零点なし領域（準リーマン予想、<Ref to="def-quasi-rh" />）は、リーマン予想と同じ型で指数だけが違う主張です。

## 7. 同値な言い換え：Mertens 関数

リーマン予想には多くの同値な言い換えがあります。代表的なものを表にします。

| 名前（年） | リーマン予想と同値な命題 |
|---|---|
| von Koch (1901) | $\pi(x)=\operatorname{li}(x)+O(\sqrt x\log x)$（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#thm-von-koch" />） |
| Littlewood (1912) | 任意の $\varepsilon\gt0$ で $M(x)=\sum_{n\le x}\mu(n)=O(x^{1/2+\varepsilon})$（<Ref to="thm-mertens-equivalence" />） |
| Nyman (1950)・Beurling (1955) | 定数関数 $1$ が、$\rho_\theta(x)=\{\theta/x\}-\theta\{1/x\}$（$0\lt\theta\le1$）の張る空間の $L^2(0,1)$ での閉包に属する（$\{\cdot\}$ は小数部分） |
| Robin (1984) | すべての $n\ge5041$ で $\sigma(n)\lt e^{\gamma_{\mathrm E}}n\log\log n$（$\sigma(n)$ は約数の和、$\gamma_{\mathrm E}$ は Euler 定数） |
| Li (1997) | すべての $n\ge1$ で $\lambda_n:=\sum_\rho\bigl(1-(1-\frac1\rho)^n\bigr)\ge0$（和は $\lvert\gamma\rvert\lt T$ で切って $T\to\infty$） |
| Lagarias (2002) | すべての $n\ge1$ で $\sigma(n)\le H_n+e^{H_n}\log H_n$（$H_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n$） |
| de Bruijn・Newman | $\Lambda\le0$（<Ref to="def-de-bruijn-newman" />） |

どの言い換えも、リーマン予想を別の言葉に移すだけで、それ自体が証明の道具を与えるわけではありません。価値は、問題を別の分野（関数解析、初等的な不等式、熱方程式）の人が扱える形にすることにあります。このうち Littlewood の同値を証明します。$M(x)$ は、Möbius 関数 $\mu(n)$（$n$ が平方因子をもてば $0$、もたなければ素因数の個数の偶奇で $\pm1$）を $n\le x$ で足したものです。出典は、Robin: *J. Math. Pures Appl.* 63 (1984)、Li: *J. Number Theory* 65 (1997)、Lagarias: *Amer. Math. Monthly* 109 (2002)、Nyman–Beurling: Beurling, *Proc. Nat. Acad. Sci. USA* 41 (1955) です。

<Definition id="def-mertens-function" title="Möbius 関数と Mertens 関数">
正整数 $n$ に対し、$n$ が相異なる $k$ 個の素数の積のとき $\mu(n)=(-1)^k$（$\mu(1)=1$）、$n$ がある素数の平方で割り切れるとき $\mu(n)=0$ と定める（**Möbius 関数**）。$M(x):=\sum_{n\le x}\mu(n)$ を **Mertens 関数**という。
</Definition>

<Lemma id="lem-mobius-series" title="1/ζ の Dirichlet 級数">
$\operatorname{Re}s\gt1$ で $\displaystyle\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n\ge1}\frac{\mu(n)}{n^s}=s\int_1^\infty M(x)\,x^{-s-1}\,dx$ が成り立つ。
</Lemma>

<Proof of="lem-mobius-series">
$n\gt1$ の相異なる素因子を $p_1,\dots,p_k$ とすると、$\mu(d)\ne0$ となる約数 $d$ は素因子の部分集合の積で、$\sum_{d\mid n}\mu(d)=\sum_{j=0}^k\binom kj(-1)^j=(1-1)^k=0$ です。$n=1$ では和は $1$ です。$\sigma\gt1$ で $\sum n^{-s}$ と $\sum\mu(n)n^{-s}$ は絶対収束するので、積を $n=dm$ でまとめて（<Ref to="mathematics/calculus/series-and-convergence#thm-double-series" /> の 2）$\zeta(s)\sum_n\mu(n)n^{-s}=\sum_n\bigl(\sum_{d\mid n}\mu(d)\bigr)n^{-s}=1$ です。積分表示は、<Ref to="thm-dirichlet-l-continuation" /> の証明と同じ部分和の公式 $\sum_{n\le N}\mu(n)n^{-s}=M(N)N^{-s}+s\int_1^NM(x)x^{-s-1}dx$ で $N\to\infty$ とします（$|M(x)|\le x$ から、$\sigma\gt1$ で $M(N)N^{-s}\to0$、積分は絶対収束）。
</Proof>

次の補題は、リーマン予想を仮定すると $\frac1{\zeta}$ が臨界線の少し右で高さ $|t|$ の任意の小さな冪でしか増えない、という評価です。$M(x)$ の評価を積分で出すときに、積分路を左へ動かすための道具になります。証明は、$\log\zeta$ の大きさを Borel–Carathéodory の不等式と三円定理（解析関数の最大値を円の半径ごとに押さえる不等式）で押さえる流れです。

<Lemma id="lem-inverse-zeta-under-rh" title="リーマン予想の下での 1/ζ の大きさ">
リーマン予想（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#ax-riemann-hypothesis" />）を仮定する。任意の $0\lt\delta\lt\frac14$ と $\varepsilon\gt0$ に対して定数 $C_{\delta,\varepsilon}$ が存在して、$\sigma\ge\frac12+2\delta$、$|t|\ge8$ で
$$
\Bigl|\frac1{\zeta(\sigma+it)}\Bigr|\le C_{\delta,\varepsilon}\,|t|^{\varepsilon}
$$
が成り立つ。
</Lemma>

<Proof of="lem-inverse-zeta-under-rh">
$\zeta(\bar s)=\overline{\zeta(s)}$ なので $t\ge8$ としてよいです。

**第 1 段（$\log\zeta$）.** $U=\{\sigma\gt\frac12,\ t\gt1\}$ は凸で、仮定から $\zeta$ は $U$ で正則で零点をもちません。<Ref to="lem-l-euler-product" /> を法 $1$ の指標に使うと、$\sigma\gt1$ で $\zeta=\exp\ell$、$\ell(s)=\sum_p\sum_{k\ge1}\frac1{kp^{ks}}$ で、$\sigma\ge2$ では $|\ell(s)|\le\sum_{n\ge2}n^{-2}\le1$ です。$U$ 上で $\zeta'/\zeta$ の原始関数 $\mathcal L$ を取り（凸領域なので線分に沿う積分で定まる、<Ref to="mathematics/complex-analysis/cauchy-integral-theorem#thm-goursat" />）、定数を調節して $U\cap\{\sigma\gt1\}$ で $\mathcal L=\ell$ とします。$(\zeta e^{-\mathcal L})'=0$ から $U$ 上で $\zeta=e^{\mathcal L}$、$\log|\zeta|=\operatorname{Re}\mathcal L$ です。

**第 2 段（Borel–Carathéodory）.** $t\ge4$、$s_0=2+it$、$R=\frac32-\frac\delta2$ とします。閉円板 $|s-s_0|\le R$ は $U$ に含まれ（$\sigma\ge\frac12+\frac\delta2$、虚部は $t-\frac32\ge\frac52$ 以上）、その上で <Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-zeta-growth" /> から $|\zeta(s)|\le3(t+2)^2$、また $|\zeta(s_0)|\ge0.3$ です。$F(z):=\mathcal L(s_0+z)-\mathcal L(s_0)$ は $F(0)=0$ で、$|z|=R$ 上で
$$
\operatorname{Re}F(z)=\log\Bigl|\frac{\zeta(s_0+z)}{\zeta(s_0)}\Bigr|\le\log\bigl(10(t+2)^2\bigr)\le5\log t
$$
です（$t\ge4$ で $(t+2)^2\le\frac94t^2$、$\log22.5\le2.25\log4$）。<Ref to="mathematics/complex-analysis/maximum-principle-normal-families#prop-borel-caratheodory" /> から、$|z|\le\frac32-\delta$ で $|F(z)|\le\frac{2\cdot5\log t\cdot\frac32}{\delta/2}=\frac{30}{\delta}\log t$ です。$|\mathcal L(s_0)|\le1$ なので、$|s-s_0|\le\frac32-\delta$ で $|\mathcal L(s)|\le\frac{31}\delta\log t$ です。$\sigma\ge2$ では $|\mathcal L(s)|\le1$ なので、まとめて
$$
|\mathcal L(\sigma+it)|\le\frac{31}{\delta}\log t\qquad(\sigma\ge\tfrac12+\delta,\ t\ge4).
$$

**第 3 段（三円定理）.** $t\ge8$、$s_1=3+it$、$r_3=\frac52-\delta$ とし、$g(z):=\mathcal L(s_1+z)$ を閉円板 $|z|\le r_3$ で考えます。この円板の点は $\sigma\ge\frac12+\delta$、虚部 $\ge t-\frac52\ge4$ を満たすので、第 2 段から $|g(z)|\le\frac{31}\delta\log(t+\frac52)\le\frac{62}\delta\log t=:M_3$（$\ge1$）です。$|z|=1$ 上では $\sigma\ge2$ なので $|g(z)|\le1$ です。三円定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/maximum-principle-normal-families#cor-three-circles" />、$r_1=1$、$r_2=r_3$）から、$1\le r\le r_3$ について
$$
\max_{|z|=r}|g(z)|\le1^{\,1-a}\cdot M_3^{\,a},\qquad a=\frac{\log r}{\log r_3}
$$
です。$\frac12+2\delta\le\sigma\le2$ のとき $r=3-\sigma\in[1,\frac52-2\delta]$ なので $a\le a_\delta:=\frac{\log(5/2-2\delta)}{\log(5/2-\delta)}\lt1$ で
$$
|\mathcal L(\sigma+it)|\le\Bigl(\frac{62}{\delta}\log t\Bigr)^{a_\delta}\qquad(\sigma\ge\tfrac12+2\delta,\ t\ge8)
$$
です（$\sigma\gt2$ では左辺は $1$ 以下）。

**第 4 段.** $a_\delta\lt1$ なので、$u\ge0$ について $(\frac{62}\delta u)^{a_\delta}\le\varepsilon u+C'$ となる定数 $C'=C'(\delta,\varepsilon)$ があります。よって $\bigl|\frac1{\zeta(s)}\bigr|=e^{-\operatorname{Re}\mathcal L(s)}\le e^{|\mathcal L(s)|}\le e^{C'}t^{\varepsilon}$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-mertens-equivalence" title="Mertens 関数によるリーマン予想の言い換え（Littlewood）">
次の 2 つは同値である。

1. リーマン予想（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#ax-riemann-hypothesis" />）が成り立つ。
2. 任意の $\varepsilon\gt0$ に対して定数 $C_\varepsilon$ が存在して、すべての $x\ge1$ で $|M(x)|\le C_\varepsilon\,x^{1/2+\varepsilon}$ が成り立つ。
</Theorem>

<Proof of="thm-mertens-equivalence">
**$(2)\Rightarrow(1)$.** <Ref to="lem-mobius-series" /> の積分 $G(s):=s\int_1^\infty M(x)x^{-s-1}dx$ は、仮定から $\sigma\ge\frac12+2\varepsilon$ で被積分関数の絶対値が $C_\varepsilon x^{-1-\varepsilon}$ 以下なので、$\operatorname{Re}s\gt\frac12$ で正則です（$\int_1^N$ の局所一様な極限、<Ref to="mathematics/complex-analysis/argument-principle-rouche#thm-weierstrass-convergence" />）。$\sigma\gt1$ で $\zeta(s)G(s)=1$ なので、一致の定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-identity" />）により、連結な領域 $\{\sigma\gt\frac12\}\setminus\{1\}$ で $\zeta(s)G(s)=1$ です。したがって $\operatorname{Re}\rho\gt\frac12$ の点で $\zeta(\rho)=0$ となることはありません。非自明零点の集合は $\rho\mapsto1-\rho$ で不変（<Ref to="mathematics/great-problems/riemann-zeros-and-zero-free-region#lem-zeros-unit-interval" /> の 1）なので、$\operatorname{Re}\rho\lt\frac12$ の非自明零点もなく、リーマン予想が成り立ちます。

**$(1)\Rightarrow(2)$.** $0\lt\delta\lt\frac14$、$\varepsilon\gt0$ を固定し、$\kappa=\frac12+2\delta$ とおきます。$M$ は $[N,N+1)$ で定数なので、$x=N+\frac12$（$N\ge8$）で $|M(x)|\le Cx^{\kappa+\varepsilon}$ を示せば十分です（小さい $x$ は定数に吸収）。$c=1+\frac1{\log x}$、$T=x$ とします。

Perron の公式。<Ref to="lem-mobius-series" /> の級数を線分 $\operatorname{Re}s=c$ 上で項別に積分し、<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#lem-vk-perron" /> を使うと
$$
\Bigl|M(x)-J\Bigr|\le\sum_{n\ge1}\frac{(x/n)^{c}}{\pi T|\log(x/n)|},\qquad J:=\frac1{2\pi i}\int_{c-iT}^{c+iT}\frac{x^s}{s\,\zeta(s)}\,ds
$$
です。$n\le x/2$ または $n\ge2x$ の項は $|\log(x/n)|\ge\log2$、$x^{c}=ex$、$\sum_nn^{-c}\le1+\frac1{c-1}=1+\log x$ から合わせて $\frac{ex(1+\log x)}{\pi T\log2}$ 以下です。$x/2\lt n\lt2x$ の項は $(x/n)^{c}\le4$、$|\log(x/n)|\ge\frac{|x-n|}{4x}$、$\sum_{x/2\lt n\lt2x}\frac1{|x-n|}\le2(2+\log(4x+1))$ から合わせて $\frac{32x}{\pi T}(2+\log(4x+1))$ 以下です（この 2 つの初等的な評価は <Ref to="mathematics/great-problems/riemann-zeros-and-zero-free-region#lem-truncated-explicit" /> の証明の第 1 段と同じ計算です）。$T=x$ なので $|M(x)-J|\le K_1\log x$ です。

積分路の移動。仮定から $\frac1{s\zeta(s)}$ は $\operatorname{Re}s\gt\frac12$ で正則です（$s=1$ では $\frac1\zeta$ が零点をもつ）。頂点 $\kappa\pm iT$、$c\pm iT$ の長方形に Cauchy の定理（留数定理 <Ref to="mathematics/complex-analysis/residue-theorem#thm-residue" /> で特異点が無い場合）を使うと
$$
J=\frac1{2\pi i}\Bigl(\int_{\kappa-iT}^{\kappa+iT}+\int_{\kappa+iT}^{c+iT}-\int_{\kappa-iT}^{c-iT}\Bigr)\frac{x^s}{s\,\zeta(s)}\,ds
$$
です。横の辺では <Ref to="lem-inverse-zeta-under-rh" /> から $\bigl|\frac{x^s}{s\zeta(s)}\bigr|\le C_{\delta,\varepsilon}T^{\varepsilon-1}x^{\sigma}$ で、$\int_\kappa^{c}x^\sigma d\sigma\le ex$ なので、寄与は $eC_{\delta,\varepsilon}x^{\varepsilon}$ 以下です。縦の辺 $s=\kappa+it$ では、$|t|\le8$ の部分は $\frac1\zeta$ が有界閉線分上で連続なので $K_2$ 以下、$|t|\ge8$ では $C_{\delta,\varepsilon}|t|^{\varepsilon}$ 以下で、$|s|\ge\max(\kappa,|t|)$ から
$$
\Bigl|\int_{\kappa-iT}^{\kappa+iT}\frac{x^s}{s\,\zeta(s)}\,ds\Bigr|\le x^{\kappa}\Bigl(\frac{16K_2}{\kappa}+2C_{\delta,\varepsilon}\int_8^Tt^{\varepsilon-1}dt\Bigr)\le K_3\,x^{\kappa+\varepsilon}
$$
です。以上から $|M(x)|\le K_4x^{\kappa+\varepsilon}=K_4x^{1/2+2\delta+\varepsilon}$ で、$\delta,\varepsilon$ は任意に小さく取れるので 2 が成り立ちます。
</Proof>

<Example id="ex-mertens-values" title="Mertens 関数の値と Mertens 予想">
$\mu$ をふるいで計算して足すと、$M(10)=-1$、$M(100)=1$、$M(1000)=2$、$M(10^4)=-23$ です。$M(x)/\sqrt x$ はそれぞれ $-0.32$、$0.10$、$0.06$、$-0.23$ で、$\sqrt x$ よりかなり小さく見えます。

この種の数値から、Mertens は 1897 年に「すべての $x\gt1$ で $|M(x)|\lt\sqrt x$」と予想しました（Mertens 予想）。これは <Ref to="thm-mertens-equivalence" /> の 2 より強く、成り立てばリーマン予想が従います。しかし Odlyzko と te Riele は 1985 年に、$\limsup M(x)/\sqrt x\gt1.06$ かつ $\liminf M(x)/\sqrt x\lt-1.009$ を示して Mertens 予想を否定しました（A. M. Odlyzko, H. J. J. te Riele, *J. reine angew. Math.* 357 (1985)）。証明は零点の虚部の数値と格子基底簡約を使う間接的なもので、$|M(x)|\ge\sqrt x$ となる具体的な $x$ は現在も知られていません。「計算できる範囲のすべてで成り立つ」ことが証拠にならない例として、リーマン予想の数値検証を読むときに思い出す価値があります。
</Example>

## 8. 関数体での類似：有限体上の楕円曲線

有限体上の曲線にも「ゼータ関数」があり、そのリーマン予想は証明されています。最小の場合である楕円曲線について、Rikai の既存の道具だけで証明します。

設定は [楕円曲線とモジュラー形式](/mathematics/number-theory/elliptic-curves-and-modular-forms) の Hasse の定理の証明と同じです。$q$ を標数が $2,3$ でない素数冪、$E:y^2=f(x)=x^3+Ax+B$（$A,B\in\mathbb{F}_q$、$f$ は重根をもたない）を $\mathbb{F}_q$ 上の楕円曲線とします。$n\ge1$ について $N_n:=\#E(\mathbb{F}_{q^n})$（無限遠点を含む）とおき、**合同ゼータ関数**を
$$
Z(E,T):=\exp\Bigl(\sum_{n\ge1}\frac{N_n}{n}T^n\Bigr),\qquad\zeta_E(s):=Z(E,q^{-s})
$$
で定めます。$N_n\le2q^n+1$ なので級数は $|T|\lt\frac1q$、すなわち $\operatorname{Re}s\gt1$ で収束します。$\zeta$ の Euler 積の対数 $\log\zeta(s)=\sum_p\sum_k\frac1kp^{-ks}$ で「素数 $p$」を「曲線の閉点」に置き換えたものが $\log Z$ で、これが $\zeta$ の類似物である理由です。

<Theorem id="thm-function-field-rh-genus-one" title="有限体上の楕円曲線のリーマン予想（Hasse）">
上の設定で $a:=q+1-N_1$ とおき、$\alpha,\beta\in\mathbb{C}$ を $X^2-aX+q$ の根とする。

1. すべての $n\ge1$ で $N_n=q^n+1-\alpha^n-\beta^n$。
2. $Z(E,T)=\dfrac{(1-\alpha T)(1-\beta T)}{(1-T)(1-qT)}=\dfrac{1-aT+qT^2}{(1-T)(1-qT)}$。とくに $\zeta_E$ は $\mathbb{C}$ 上の有理型関数に延びる。
3. $|\alpha|=|\beta|=\sqrt q$ であり、$\zeta_E(s)$ の零点はすべて直線 $\operatorname{Re}s=\frac12$ 上にある。
</Theorem>

<Proof of="thm-function-field-rh-genus-one">
Hasse の定理の証明の記号を使います。$k=\mathbb{F}_q$、$K=k(x)$、$L=K(y)$（$y^2=f$）、$G$ は $(R,yS)$（$R,S\in K$、$fS^2=f(R)$）の形の点と $O$ からなる $E(L)$ の部分群、$D(O)=0$、$D((R,yS))=\deg R$（既約分数の分子・分母の次数の大きい方）、$\xi=(x,y)$、$\phi\xi=(x^q,y^q)$ です。<Ref to="mathematics/number-theory/elliptic-curves-and-modular-forms#lem-hasse-parallelogram" /> と <Ref to="mathematics/number-theory/elliptic-curves-and-modular-forms#lem-hasse-quadratic" /> から、$B(P,Q)=D(P+Q)-D(P)-D(Q)$ は対称で双加法的、$D(P)=\frac12B(P,P)$ なので、整数 $m_i$ と $P_i\in G$ について
$$
D\Bigl(\sum_im_iP_i\Bigr)=\sum_im_i^2D(P_i)+\sum_{i\lt j}m_im_jB(P_i,P_j)
$$
です。<Ref to="mathematics/number-theory/elliptic-curves-and-modular-forms#lem-hasse-frobenius" /> から $D(\xi)=1$、$D(\phi\xi)=q$、$D(\phi\xi-\xi)=N_1$ で、$N_1=q-B(\phi\xi,\xi)+1$ より $B(\phi\xi,\xi)=a$ です。

**第 1 段（体の準同型と $D$）.** $k$ を固定する体の準同型 $\tau:L\to L$ は、座標に作用して $E(L)$ の群準同型を与えます（加法公式 <Ref to="mathematics/number-theory/elliptic-curves-and-modular-forms#prop-addition-formula" /> は係数が $k$ の有理式で、$\tau$ は単射なので場合分けも保たれます）。2 種類を使います。

(i) $\phi(z)=z^q$。標数 $p$ の体で $q$ 乗は体の準同型で（<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#lem-frobenius" />）、$k$ の元を固定します。$\phi(R,yS)=(R^q,y^qS^q)$ で、$y^q=yf^{(q-1)/2}$ なので $G$ を保ち、$D(\phi P)=\deg(R^q)=qD(P)$ です。

(ii) $Q=(R_2,yS_2)\in G$ で $R_2$ が定数でないとき、$\tau_Q(x)=R_2$、$\tau_Q(y)=yS_2$ で定まる準同型。$x\mapsto R_2$ は $K\to K$ の体の準同型で、$(yS_2)^2=fS_2^2=f(R_2)=\tau_Q(f)$ なので $L$ に延びます。$\tau_Q(R,yS)=(R(R_2),\,yS_2\,S(R_2))$ は $G$ の元で、$\tau_Q(\xi)=Q$、$\tau_Q(\phi\xi)=(R_2^q,(yS_2)^q)=\phi Q$ です。さらに
$$
D(\tau_QP)=\deg\bigl(R(R_2)\bigr)=\deg R\cdot\deg R_2=D(P)\,D(Q)
$$
です。有理関数の合成の次数が積になることは次のように分かります。$R=A/B$、$R_2=A_2/B_2$（既約）、$d=\deg R$、$d_2=\deg R_2\ge1$ とし、$A^{h}(X,Y)=Y^{d}A(X/Y)$、$B^{h}(X,Y)=Y^{d}B(X/Y)$ を $d$ 次の斉次式とします。$A,B$ が互いに素で一方の次数が $d$ なので、$A^{h},B^{h}$ は $k$ の代数閉包で $(0,0)$ 以外に共通の零点をもちません。$R(R_2)=A^{h}(A_2,B_2)/B^{h}(A_2,B_2)$ で、分子・分母に共通根 $c$ があれば $(A_2(c),B_2(c))\ne(0,0)$ が共通の零点になって矛盾するので、この分数は既約です。また $\tilde A_2(x)=x^{d_2}A_2(1/x)$、$\tilde B_2(x)=x^{d_2}B_2(1/x)$ は $(\tilde A_2(0),\tilde B_2(0))\ne(0,0)$ を満たす多項式で、$x^{dd_2}A^{h}(A_2,B_2)(1/x)=A^{h}(\tilde A_2,\tilde B_2)$（$B^{h}$ も同様）の $x=0$ での値は両方は $0$ にならないので、分子・分母の一方の $x^{dd_2}$ の係数は $0$ でなく、次数の大きい方はちょうど $dd_2$ です。

**第 2 段（$D(\phi^2\xi-\xi)$）.** $Q=\phi\xi+\xi$ とします。$D(Q)=q+a+1\ge q+1-2\sqrt q=(\sqrt q-1)^2\gt0$（<Ref to="mathematics/number-theory/elliptic-curves-and-modular-forms#thm-hasse" />）なので、$Q\ne O$ で $x$ 座標は定数でありません。$\tau_Q$ と $\phi$ が群準同型であることから
$$
\tau_Q(\phi\xi-\xi)=\phi Q-Q=\phi^2\xi+\phi\xi-\phi\xi-\xi=\phi^2\xi-\xi
$$
で、第 1 段の (ii) から $D(\phi^2\xi-\xi)=D(\phi\xi-\xi)\,D(\phi\xi+\xi)=(q+1-a)(q+1+a)$ です。

**第 3 段（Frobenius の関係式）.** $P_2=\phi^2\xi$、$P_1=\phi\xi$、$P_0=\xi$ について、$D$ の値は $q^2,q,1$ で、
$$
\begin{aligned}
B(P_1,P_0)&=a,\\
B(P_2,P_1)&=D(\phi(\phi\xi+\xi))-q^2-q=q(q+a+1)-q^2-q=qa,\\
B(P_2,P_0)&=D(\phi^2\xi+\xi)-q^2-1=\bigl(2q^2+2-D(\phi^2\xi-\xi)\bigr)-q^2-1=a^2-2q
\end{aligned}
$$
です（3 つ目は平行四辺形則と第 2 段）。$W:=\phi^2\xi-a\,\phi\xi+q\,\xi$ とおくと
$$
D(W)=q^2+a^2q+q^2-a\cdot qa+q(a^2-2q)-aq\cdot a=0
$$
です。$D(W)=0$ なら $W=O$ か、$W=(c,yS)$ で $c\in k$ が定数です。後者では $fS^2=f(c)$ が定数で、$S\ne0$ なら $f=f(c)S^{-2}$ の（分子の次数 $-$ 分母の次数）が偶数になって $\deg f=3$ に反するので、$S=0$、$W=(c,0)$、したがって $2W=O$ です。どちらの場合も $2W=O$ です。

**第 4 段（漸化式）.** 整数列 $u_n,v_n$ を $u_0=0$、$v_0=1$、$u_1=1$、$v_1=0$、$u_{n+2}=au_{n+1}-qu_n$、$v_{n+2}=av_{n+1}-qv_n$ で定めます。$2W=O$ に $\phi^n$ を施すと $2\phi^{n+2}\xi=a\cdot2\phi^{n+1}\xi-q\cdot2\phi^n\xi$ なので、帰納法で $2\phi^n\xi=2(u_n\phi\xi+v_n\xi)$ です。$\tau_n:=\phi^n\xi-u_n\phi\xi-v_n\xi$ は $2\tau_n=O$ を満たすので $4D(\tau_n)=D(2\tau_n)=0$、すなわち $D(\tau_n)=0$ です。さらに任意の $P\in G$ と整数 $m$ について $0\le D(m\tau_n+P)=mB(\tau_n,P)+D(P)$ なので $B(\tau_n,P)=0$ です。よって
$$
D(\phi^n\xi-\xi)=D\bigl(\tau_n+u_n\phi\xi+(v_n-1)\xi\bigr)=qu_n^2+a\,u_n(v_n-1)+(v_n-1)^2 .
$$
一方、$\alpha^2=a\alpha-q$ から帰納法で $\alpha^n=u_n\alpha+v_n$（$\beta$ も同様）で、$\alpha+\beta=a$、$\alpha\beta=q$ から
$$
(\alpha^n-1)(\beta^n-1)=(u_n\alpha+v_n-1)(u_n\beta+v_n-1)=qu_n^2+a\,u_n(v_n-1)+(v_n-1)^2
$$
です。

**第 5 段（$N_n$）.** $E$ を $\mathbb{F}_{q^n}$ 上の曲線とみて <Ref to="mathematics/number-theory/elliptic-curves-and-modular-forms#lem-hasse-frobenius" /> を使うと、$N_n$ は点 $(x^{q^n},y^{q^n})-\xi$ の $x$ 座標の、$\mathbb{F}_{q^n}(x)$ での次数に等しくなります。この点は $\phi^n\xi-\xi\in G$ と同じ式で与えられ、$k(x)$ の既約分数は $\mathbb{F}_{q^n}(x)$ でも既約（最大公約元は $k[x]$ の中の互除法で求まる）なので、次数は $D(\phi^n\xi-\xi)$ です。第 4 段と合わせて $N_n=(\alpha^n-1)(\beta^n-1)=q^n+1-\alpha^n-\beta^n$。これが 1 です。

**第 6 段（2 と 3）.** $|T|\lt\frac1q$ で $\sum_n\frac{c^nT^n}n=-\log(1-cT)$（$|cT|\lt1$。<Ref to="lem-l-euler-product" /> の証明で使った $\exp(\sum w^k/k)=(1-w)^{-1}$）を $c=q,1,\alpha,\beta$ に使うと、1 から 2 を得ます（$|\alpha|,|\beta|\le q$ は 3 から）。<Ref to="mathematics/number-theory/elliptic-curves-and-modular-forms#thm-hasse" /> から $a^2\le4q$ なので、$\alpha,\beta=\frac{a\pm i\sqrt{4q-a^2}}2$ は互いに複素共役で、$|\alpha|^2=\alpha\beta=q$ です。$\zeta_E(s)=0$ となるのは $q^{-s}\in\{\alpha^{-1},\beta^{-1}\}$ のときで、$|q^{-s}|=q^{-\operatorname{Re}s}=q^{-1/2}$ から $\operatorname{Re}s=\frac12$ です。
</Proof>

「$|a|\le2\sqrt q$」という 1 つの不等式が、「零点がすべて $\operatorname{Re}s=\frac12$ 上にある」と同値になっています。$\zeta$ の場合との違いは、零点が有限個のパラメータ（$\alpha,\beta$）で決まること、そして $\alpha,\beta$ が Frobenius 写像 $\phi$ の「固有値」という幾何学的な意味をもつことです（$\phi^2-a\phi+q=0$ が第 3 段の関係式で、$N_n=\#\ker(\phi^n-1)$ です）。§9 の Hilbert–Pólya の構想は、$\zeta$ についてもこのような作用素を探すものです。

<Example id="ex-curve-zeta" title="y² = x³ − x の合同ゼータ関数">
$E:y^2=x^3-x$ を $\mathbb{F}_5$ 上で考えます。$x=0,1,4$ では $x^3-x=0$ で点が 1 個ずつ、$x=2$ では $6\equiv1$、$x=3$ では $24\equiv4$ でどちらも平方数なので点が 2 個ずつ、無限遠点を加えて $N_1=8$、$a=5+1-8=-2$ です。$X^2+2X+5$ の根は $\alpha,\beta=-1\pm2i$ で、$|\alpha|^2=1+4=5$。確かに $|\alpha|=\sqrt5$ です。<Ref to="thm-function-field-rh-genus-one" /> から $N_2=25+1-(\alpha^2+\beta^2)=26-(a^2-2q)=32$ で、
$$
Z(E,T)=\frac{1+2T+5T^2}{(1-T)(1-5T)}
$$
です。$\zeta_E(s)$ の零点は $5^{-s}=\alpha^{-1}$ または $\beta^{-1}$、すなわち $\alpha=\sqrt5e^{i\theta}$（$\theta=\pi-\arctan2=2.0344$）として $s=\frac12\pm\frac{\theta}{\log5}i+\frac{2\pi k}{\log5}i=\frac12\pm1.2641\,i+3.9040\,k\,i$（$k\in\mathbb{Z}$）で、すべて $\operatorname{Re}s=\frac12$ 上に周期的に並びます。

同じ曲線を $\mathbb{F}_7$ 上で数えると $N_1=8$、$a=0$、$\alpha,\beta=\pm i\sqrt7$。$\mathbb{F}_{13}$ 上では $N_1=8$、$a=6$、$\alpha,\beta=3\pm2i$（$9+4=13$）です。どの場合も $|\alpha|=\sqrt q$ になっています。
</Example>

<Theorem id="thm-weil-curves" title="有限体上の曲線のリーマン予想（Weil 1948）">
$C$ を有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の、滑らかで幾何的に既約な射影曲線とし、種数を $g$、$N_n=\#C(\mathbb{F}_{q^n})$ とする。このとき整数係数の $2g$ 次多項式 $P(T)=\prod_{i=1}^{2g}(1-\alpha_iT)$ が存在して
$$
\exp\Bigl(\sum_{n\ge1}\frac{N_n}nT^n\Bigr)=\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)},\qquad|\alpha_i|=\sqrt q\quad(i=1,\dots,2g)
$$
が成り立つ。とくに $|N_n-q^n-1|\le2g\,q^{n/2}$ である。
</Theorem>

<Remark id="rem-weil" title="主張のみ：理由と出典">
この定理は**主張のみ**とし、証明を付けません。有理性と関数等式は曲線の Riemann–Roch の定理から出ますが、$|\alpha_i|=\sqrt q$ の証明には、曲面 $C\times C$ の上の交点理論（Weil の原証明、Castelnuovo–Severi の不等式）か、補助多項式を構成する Stepanov–Bombieri の方法が必要で、どちらも 1 章分になります。A. Weil が 1940〜1941 年に発表し、1948 年に証明の全体を公刊しました。$g=1$ が Hasse (1936) の定理で、<Ref to="thm-function-field-rh-genus-one" /> はその場合です。高次元の多様体への一般化（Weil 予想）は P. Deligne が 1974 年に証明しました。証明は Hartshorne『Algebraic Geometry』第 V 章演習 1.10・付録 C、Stepanov–Bombieri の方法は Iwaniec–Kowalski『Analytic Number Theory』第 11 章にあります。

関数体で証明できた理由は、零点が Frobenius 写像という**作用素の固有値**として現れ、その大きさを幾何学（交点形式の正値性）で抑えられることにあります。数体の $\zeta$ では、これに当たる幾何学的対象が見つかっていません。
</Remark>

## 9. スペクトルによる解釈と統計

この節の内容は、証明された定理ではなく構想と、仮定つき・部分的な結果です。「何が示されれば証明になるか」を命題の形で書きます。

**Hilbert–Pólya の構想.** 「ある Hilbert 空間上の自己共役作用素 $H$ があって、そのスペクトルが重複度を込めて集合 $\{\gamma\in\mathbb{C}:\Xi(\gamma)=0\}$ に一致する」ことが示されれば、自己共役作用素のスペクトルは実数なので、$\Xi$ の零点はすべて実数、すなわちリーマン予想が従います。示すべきことは 2 つあります。$H$ の構成と、「$H$ の固有値は $\Xi$ の零点である」だけでなく「$\Xi$ の零点はすべて $H$ の固有値である」ことです。後者が無いと、臨界線上の零点の一部を固有値にもつ作用素を作っただけになります。この構想は Hilbert と Pólya に帰せられていますが、文書として残っているのは Pólya が 1982 年に Odlyzko に宛てた手紙での回想だけです。そのような $H$ は現在まで構成されていません。

**Berry–Keating.** Berry と Keating (1999) は、古典的ハミルトニアン $H=xp$ を適当に正則化して半古典的に量子化すると、エネルギー $E$ 以下の準位の個数が $\frac E{2\pi}\log\frac E{2\pi}-\frac E{2\pi}+\frac78$ になることを指摘しました。これは <Ref to="mathematics/great-problems/riemann-zeros-and-zero-free-region#thm-riemann-von-mangoldt" /> の滑らかな部分と一致します。ただしこれは準位の**平均密度**の一致で、個々の零点を固有値にもつ自己共役作用素の厳密な構成ではありません。示すべきことは上の Hilbert–Pólya と同じです。

**Connes の跡公式.** Connes (1999) は、$\mathbb{Q}$ のアデール類空間への乗法群の作用について、零点が（固有値ではなく）吸収スペクトルとして現れる枠組みを作り、リーマン予想が、ある跡公式がその空間で成り立つこと（同値な形として、Weil の明示公式に現れる分布の正値性）と同値であることを示しました。これは同値な言い換えで、示すべき命題はその跡公式そのものです。

これらの構想を支える経験的な事実が、零点の間隔の統計です。

<Theorem id="thm-montgomery-pair-correlation" title="Montgomery の対相関定理（1973）">
リーマン予想を仮定する。$T\ge2$ と実数 $\alpha$ について、$w(u)=\frac4{4+u^2}$ として
$$
F(\alpha,T):=\Bigl(\frac T{2\pi}\log T\Bigr)^{-1}\sum_{0\lt\gamma,\gamma'\le T}T^{i\alpha(\gamma-\gamma')}\,w(\gamma-\gamma')
$$
とおく（$\gamma,\gamma'$ は零点の虚部を重複込みで走る）。$F$ は実数値で $\alpha$ の偶関数であり、任意に固定した $0\lt\eta\lt1$ について、$T\to\infty$ のとき $0\le\alpha\le1-\eta$ で一様に
$$
F(\alpha,T)=\bigl(1+o(1)\bigr)T^{-2\alpha}\log T+\alpha+o(1)
$$
が成り立つ。
</Theorem>

<Remark id="rem-montgomery" title="主張のみ：理由と出典">
この定理は**主張のみ**とし、証明を付けません。証明は明示公式の両辺の 2 乗平均を計算するもので、H. L. Montgomery, "The pair correlation of zeros of the zeta function", *Proc. Sympos. Pure Math.* 24 (1973) にあります（リーマン予想を仮定した定理です）。Montgomery はさらに、$\alpha\ge1$ で $F(\alpha,T)=1+o(1)$ と予想しました（対相関予想）。これが正しければ、平均間隔で正規化した零点の対の差 $u$ の分布密度は $1-\bigl(\frac{\sin\pi u}{\pi u}\bigr)^2$ になります。これはランダムな Hermite 行列（GUE）の固有値の対相関と同じ関数です。Odlyzko は 1987 年以降、 $10^{12}$ 番目や $10^{20}$ 番目の零点の近くの数値でこの一致を高い精度で確かめました。

確立しているのは「リーマン予想の仮定の下で、$|\alpha|\lt1$ の範囲」だけで、$\alpha\ge1$ の予想も、GUE との一致も証明されていません。統計の一致は、零点が何らかの作用素の固有値であることを示唆しますが、その作用素を与えるものではありません。
</Remark>

<Definition id="def-de-bruijn-newman" title="de Bruijn–Newman 定数">
$\Phi(u):=\sum_{n\ge1}\bigl(2\pi^2n^4e^{9u}-3\pi n^2e^{5u}\bigr)\exp(-\pi n^2e^{4u})$ とし、実数 $t$ に対して整関数
$$
H_t(z):=\int_0^\infty e^{tu^2}\,\Phi(u)\cos(zu)\,du
$$
を定める。$H_0(z)=\frac18\xi\bigl(\frac12+\frac{iz}2\bigr)$ である。「$H_t$ の零点がすべて実数である」ことが $t\ge\Lambda$ と同値になる実数 $\Lambda\le\frac12$ が存在し（de Bruijn 1950、Newman 1976）、これを **de Bruijn–Newman 定数**という。
</Definition>

$H_t$ は $t$ を時間とする（逆向きの）熱方程式 $\partial_tH_t=-\partial_z^2H_t$ の解で、$t$ を増やすと零点が実軸に引き寄せられます。$H_0$ の零点がすべて実数であることがリーマン予想なので、リーマン予想は $\Lambda\le0$ と同値です。

<Theorem id="thm-rodgers-tao" title="Rodgers–Tao の定理">
$\Lambda\ge0$ である。
</Theorem>

<Remark id="rem-rodgers-tao" title="主張のみ：理由と出典">
この定理は**主張のみ**とし、証明を付けません。証明は、$\Lambda\lt0$ と仮定すると $t\in(\Lambda,0]$ で零点が熱流の下で互いに反発しながら等間隔に緩和することを示し、Montgomery の対相関の評価と矛盾させるもので、B. Rodgers, T. Tao, "The de Bruijn–Newman constant is non-negative", *Forum of Mathematics, Pi* 8 (2020) にあります。Newman (1976) の予想の解決です。<Ref to="def-de-bruijn-newman" /> の $\Lambda$ の存在（de Bruijn、Newman）も同じ文献とその引用文献に依ります。

したがって**リーマン予想は $\Lambda=0$ と同値**です。上からは、Polymath15 プロジェクト (2019) が $\Lambda\le0.22$ を、Platt と Trudgian (2021) が零点の数値検証の範囲を広げて $\Lambda\le0.2$ を示しています。Newman の言葉を借りれば、リーマン予想は成り立つとしても「かろうじて」成り立つ、ということになります。$t$ を少しでも負にすると実でない零点が現れるからです。これは、リーマン予想が安定な不等式の形ではなく等式の境界にあることを示していて、摂動に強い方法（たとえば零点密度の方法）だけでは届きにくい理由の 1 つの説明になっています。
</Remark>

## 10. 演習

<Exercise id="exr-characters-mod-8" difficulty="易">
法 $8$ の Dirichlet 指標をすべて求め、それぞれの導手を答えよ。
<Solution>
$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times=\{1,3,5,7\}$ で、どの元も 2 乗すると $1$ なので、指標の値は $\pm1$ で、$3$ と $5$ での値で決まります（$7=3\cdot5$）。<Ref to="prop-character-orthogonality" /> から指標は 4 個です。

| | $1$ | $3$ | $5$ | $7$ | 導手 |
|---|---|---|---|---|---|
| $\chi_0$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $\chi_a$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $-1$ | $4$ |
| $\chi_b$ | $1$ | $-1$ | $-1$ | $1$ | $8$ |
| $\chi_c$ | $1$ | $1$ | $-1$ | $-1$ | $8$ |

$\chi_a$ は $n\bmod4$ だけで決まり、法 $4$ の $\chi_{-4}$（<Ref to="ex-character-tables" />）から誘導されます。法 $2$ と法 $1$ の指標は主指標だけなので導手は $4$ です。$\chi_b$ と $\chi_c$ は $\chi(5)=-1$ ですが $5\equiv1\pmod4$ なので、法 $4$ 以下の指標からは誘導されず、原始的です。3 つの実原始指標 $\chi_a,\chi_b,\chi_c$ は、それぞれ 2 次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$、$\mathbb{Q}(\sqrt2)$、$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ に対応します。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-character-parseval" difficulty="標準">
$q\ge1$、$a_1,\dots,a_N$ を複素数とする。次を示せ。
$$
\sum_{\chi\bmod q}\Bigl|\sum_{n=1}^{N}a_n\chi(n)\Bigr|^2=\varphi(q)\sum_{\substack{b=1\\ \gcd(b,q)=1}}^{q}\Bigl|\sum_{\substack{n\le N\\ n\equiv b\ (q)}}a_n\Bigr|^2 .
$$
<Solution>
左辺を展開すると $\sum_{m,n}a_m\overline{a_n}\sum_\chi\chi(m)\overline{\chi(n)}$ です。$\gcd(mn,q)\gt1$ なら内側の和は $0$、$\gcd(mn,q)=1$ なら $\chi(m)\overline{\chi(n)}=\chi'(mn^{-1})$ で、<Ref to="prop-character-orthogonality" /> の 3 から $m\equiv n\pmod q$ のとき $\varphi(q)$、そうでなければ $0$ です。よって左辺は $\varphi(q)\sum_{\gcd(b,q)=1}\sum_{m\equiv n\equiv b}a_m\overline{a_n}=\varphi(q)\sum_b\bigl|\sum_{n\equiv b}a_n\bigr|^2$ です。これは「指標による展開は剰余類ごとの和のユニタリ変換である」という Parseval の等式で、[第 3 章](/mathematics/great-problems/quasi-riemann-hypothesis-claim)の large sieve 不等式は、これを法 $q$ についても平均したものです。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-curve-13" difficulty="標準">
$E:y^2=x^3-x$ を $\mathbb{F}_{13}$ 上で考える。$N_1=8$ を確かめ、<Ref to="thm-function-field-rh-genus-one" /> を使って $N_2$ と、$\zeta_E(s)$ の零点のうち虚部が正で最小のものを求めよ。
<Solution>
$\mathbb{F}_{13}$ の $0$ でない平方数は $1,4,9,3,12,10$ です。$x^3-x$ の値は $x=0,1,12$ で $0$（点 1 個ずつ）、$x=2$ で $6$、$x=3$ で $24\equiv11$、$x=4$ で $60\equiv8$、$x=6$ で $210\equiv2$、$x=7$ で $336\equiv11$、$x=9$ で $720\equiv5$、$x=10$ で $990\equiv2$、$x=11$ で $1320\equiv7$（いずれも平方数でなく点 0 個）、$x=5$ で $120\equiv3$、$x=8$ で $504\equiv10$（平方数で点 2 個ずつ）。合計 $3+4=7$ に無限遠点を加えて $N_1=8$、$a=13+1-8=6$ です。$X^2-6X+13$ の根は $\alpha,\beta=3\pm2i$ で、$N_2=169+1-(\alpha^2+\beta^2)=170-(a^2-2q)=170-10=160$ です（$(q+1-a)(q+1+a)=8\cdot20$ とも一致）。$\alpha=\sqrt{13}e^{i\theta}$、$\theta=\arctan\frac23=0.5880$ で、$13^{-s}=\alpha^{-1}$ から $s=\frac12+\frac{\theta+2\pi k}{\log13}i$、$13^{-s}=\beta^{-1}$ から $s=\frac12+\frac{-\theta+2\pi k}{\log13}i$ です。虚部が正で最小のものは $s=\frac12+\frac{0.5880}{2.5649}i=\frac12+0.2292\,i$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-mertens-simple-zeros" difficulty="難">
ある定数 $C$ について、すべての $x\ge1$ で $|M(x)|\le C\sqrt x$ が成り立つと仮定する。このときリーマン予想が成り立ち、さらに $\zeta$ の非自明零点がすべて単純（位数 $1$）であることを示せ。
<Solution>
仮定は <Ref to="thm-mertens-equivalence" /> の 2 より強いので、リーマン予想が成り立ちます。<Ref to="lem-mobius-series" /> と同定理の証明から、$\sigma\gt\frac12$ で $\frac1{\zeta(s)}=s\int_1^\infty M(x)x^{-s-1}dx$ なので
$$
\Bigl|\frac1{\zeta(\sigma+it)}\Bigr|\le|s|\,C\int_1^\infty x^{-\sigma-1/2}dx=\frac{C|s|}{\sigma-\frac12}\qquad(\sigma\gt\tfrac12)
$$
です。$\rho=\frac12+i\gamma$ を位数 $m$ の零点とすると、$\rho$ の近くで $\zeta(s)=(s-\rho)^mh(s)$、$h(\rho)\ne0$ と書けて、$s=\sigma+i\gamma$、$\sigma\downarrow\frac12$ のとき $\bigl|\frac1{\zeta(s)}\bigr|=\frac1{(\sigma-\frac12)^m|h(s)|}$ です。上の評価と比べると $(\sigma-\frac12)^{1-m}\le C|s||h(s)|$ が $\sigma\downarrow\frac12$ で有界でなければならず、$m\le1$ です。したがって零点はすべて単純です。Mertens 予想（$C=1$）は否定されましたが（<Ref to="ex-mertens-values" />）、ある $C$ についての $|M(x)|\le C\sqrt x$ も成り立たないと予想されています。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- H. Davenport『Multiplicative Number Theory』第 3 版（H. L. Montgomery 改訂）、Springer、2000 — 第 1・4・5・6 章（指標と $L(1,\chi)$）、第 9 章（関数等式）、第 14 章（零点なし領域と例外零点）、第 21 章（Siegel の定理）。
- E. C. Titchmarsh『The Theory of the Riemann Zeta-Function』第 2 版（D. R. Heath-Brown 改訂）、Oxford University Press、1986 — 第 9 章（零点密度）、第 10 章（Hardy の定理と Selberg の定理）、第 14 章（リーマン予想の帰結、$M(x)$）。
- H. Iwaniec, E. Kowalski『Analytic Number Theory』American Mathematical Society、2004 — 第 5 章（$L$ 関数の一般論）、第 10 章（零点密度）、第 11 章（有限体上の曲線）。
- E. Bombieri, "Problems of the Millennium: the Riemann Hypothesis", Clay Mathematics Institute の公式な問題記述（[claymath.org](https://www.claymath.org/millennium/riemann-hypothesis/)）。
- B. Rodgers, T. Tao, "The de Bruijn–Newman constant is non-negative", *Forum of Mathematics, Pi* 8 (2020), e6. [arXiv:1801.05914](https://arxiv.org/abs/1801.05914)
- L. Guth, J. Maynard, "New large value estimates for Dirichlet polynomials". [arXiv:2405.20552](https://arxiv.org/abs/2405.20552)
- J. H. Silverman『The Arithmetic of Elliptic Curves』第 2 版、Springer、2009 — 第 V 章（有限体上の楕円曲線、Weil 予想）。