# 熱力学的極限：圧力の存在・凸性・Gibbs の変分原理と Cramér の定理

> 格子スピン系の相互作用を定義し、van Hove 極限で圧力（自由エネルギー）が境界条件によらず存在することをほぼ加法性から証明する。凸性、平均エントロピーによる Gibbs の変分原理、Cramér の大偏差定理まで示す。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/gibbs-measures/thermodynamic-limit

## 0. この記事の要点

大きな系を調べるとき、「無限に大きい系」を考えると式がすっきりすることがよくあります。この記事では、格子状に並んだ小さな磁石（スピン）の集まりを例に、箱を大きくしていくと、1 つあたりの量がただ 1 つの値に落ち着くことを示します。その値は、箱の形や縁の扱いを変えても変わりません。読み終えると、物理の「自由エネルギー」が数学として確かに定まること、そしてそれが確率論の大偏差（平均が大きくずれる確率の指数）と表裏の関係にあることが分かります。

- 格子 $\mathbb{Z}^d$ の各点に有限集合 $S$ の値をとるスピンを置き、有限集合 $A$ ごとのエネルギー $\Phi_A$ の和でハミルトニアンを作ります。並進不変で $\|\Phi\|=\sum_{A\ni0}\|\Phi_A\|_\infty<\infty$ を満たす相互作用を扱います。
- **圧力の存在**（<Ref to="thm-pressure-exists" />）: 体積 $\Lambda$ を「境界が体積に比べて無視できる」ように大きくする（van Hove 極限）と、$|\Lambda|^{-1}\log Z_\Lambda$ は収束し、極限は列の取り方にも境界条件にもよりません。鍵は、箱を小立方体に分けたときの $\log Z$ の**ほぼ加法性**です。
- 圧力 $P(\Phi)$ は $\Phi$ について**凸**で、$|P(\Phi)-P(\Psi)|\le\|\Phi-\Psi\|$ を満たします。外場についての微分が、存在する点では無限体積の磁化になります。
- **Gibbs の変分原理**（<Ref to="thm-variational-principle" />）: $P(\Phi)=\sup_\mu\bigl(s(\mu)-\mu(E_\Phi)\bigr)$。上限は並進不変な確率測度全体でとり、$s$ は平均エントロピー、$E_\Phi$ は 1 点あたりのエネルギーです。
- **Cramér の定理**（<Ref to="thm-cramer" />）: 独立同分布な和の平均が平均値から離れる確率は指数的に小さく、その指数は対数積率母関数の Legendre 変換 $I=\Lambda^*$ で与えられます。圧力と大偏差の速度関数は Legendre 変換で結ばれる双対な量です。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **凸関数**: グラフ上の 2 点を結ぶ線分が、グラフより下に来ない関数。→ [凸関数](/mathematics/real-analysis/convex-analysis#def-convex)
- **Legendre 変換**: 関数 $f$ から、$\sup_t(tx-f(t))$ で新しい関数をつくる操作。→ [Legendre 変換](/mathematics/real-analysis/convex-analysis#def-conjugate)
- **期待値**: 確率変数の値を確率で重みづけして平均したもの。→ [期待値](/mathematics/probability/random-variables#def-expectation)
- **大数の法則**: 独立同分布な確率変数の標本平均が、平均値に近づくという性質。→ [大数の法則](/mathematics/probability/limit-theorems#thm-wlln)
- **Hölder の不等式**: 積の和（積分）を、各因子の $L^p$ ノルムの積で上から抑える不等式。→ [Hölder の不等式](/mathematics/real-analysis/lp-spaces#thm-holder)

</Aside>

## 1. 動機とテーマの見通し

統計力学は、有限の系の Boltzmann 分布 $Z^{-1}e^{-H}$（エネルギー $H$ の高い配位ほど起こりにくくなる確率分布のこと）から出発します。ところが有限の系の $\log Z$ は（相互作用が実数値なら）パラメータの実解析関数で、どこにも特異点がありません。相転移、すなわち自由エネルギーの折れ曲がりや複数の平衡状態の共存は、**体積を無限大にした極限**で初めて現れます。この極限をきちんと定義し、存在を示すのが本章の役割です。

このテーマ「Gibbs 測度と相転移の数理」では、次の順に話を進めます。

| 章 | 内容 | 主な結果 |
|---|---|---|
| 1（本章） | 熱力学的極限 | 圧力の存在・凸性、変分原理、Cramér の定理 |
| 2 | [DLR 条件と Gibbs 測度](/mathematics/gibbs-measures/dlr-gibbs-measures) | 無限体積の平衡状態の定義、存在、極値測度、Dobrushin の一意性定理 |
| 3 | [Ising 模型と Peierls の議論](/mathematics/gibbs-measures/ising-peierls) | 1 次元の一意性、2 次元以上の低温での相の共存 |
| 4 | [Lee–Yang の円定理](/mathematics/gibbs-measures/lee-yang) | 外場が $0$ でなければ相転移は起きない |
| 5 | [ランダムクラスター表示と浸透](/mathematics/gibbs-measures/random-cluster-percolation) | FK 表示、FKG による比較、長距離模型 |
| 6 | [関数不等式](/mathematics/gibbs-measures/functional-inequalities) | Poincaré・対数 Sobolev 不等式、Brascamp–Lieb、超縮小性 |

物理の側の背景（平均場近似や 1 次元 Ising 模型の転送行列解）は [相転移と平均場理論](/physics/thermodynamics/phase-transitions-mean-field) にあります。本テーマはそれを確率論の言葉で厳密にし、構成的場の理論（相関不等式・クラスター展開・ランダムカレント）や開放量子系の章が前提にする枠組みを用意します。

本章の議論は Ruelle と Fisher（1960 年代）にさかのぼります。核心は「大きな箱の $\log Z$ は、小さな箱の $\log Z$ の和と、境界の大きさ程度しか違わない」という一点で、これは [数え上げと母関数](/mathematics/combinatorics/enumeration-generating-functions) の Fekete の補題（<Ref to="mathematics/combinatorics/enumeration-generating-functions#lem-fekete" />）を多次元・近似版にしたものです。

## 2. 格子系と相互作用

以下、$S$ は 2 点以上の有限集合（1 点のスピンの値の集合）、$\Omega=S^{\mathbb{Z}^d}$ は配位全体です。$\Lambda\subset\mathbb{Z}^d$ について $\Omega_\Lambda=S^\Lambda$ とし、$\omega\in\Omega$ の $\Lambda$ への制限を $\omega_\Lambda$、$\Lambda$ 上で $\sigma$、外で $\eta$ に等しい配位を $\sigma_\Lambda\eta_{\Lambda^c}$ と書きます。$\Lambda\Subset\mathbb{Z}^d$ は「$\Lambda$ は空でない有限集合」の意味です。距離は最大値ノルム $|x|=\max_i|x_i|$ で測り、並進 $\theta_x:\Omega\to\Omega$ を $(\theta_x\omega)_y=\omega_{y+x}$ で定めます。

次の定義は抽象的に見えますが、「点の集まり $A$ ごとにエネルギーを割り当て、全部足したものを系のエネルギーとする」というだけのことです。具体例は定義のすぐ後の <Ref to="ex-ising-interaction" /> にあるので、先に見てから戻ってもかまいません。

<Definition id="def-interaction" title="相互作用">
各 $A\Subset\mathbb{Z}^d$ に、$\omega_A$ だけに依存する関数 $\Phi_A:\Omega\to\mathbb{R}$ を対応させた族 $\Phi=(\Phi_A)$ を**相互作用**という。$\Phi_{A+x}=\Phi_A\circ\theta_x$（すべての $A,x$）のとき**並進不変**といい、並進不変で
$$
\|\Phi\|:=\sum_{A\ni0}\|\Phi_A\|_\infty<\infty
$$
を満たすもの全体を $\mathcal{B}$ と書く。$\mathcal{B}$ はノルム $\|\cdot\|$ について実ベクトル空間である。$\Lambda\Subset\mathbb{Z}^d$ について、**自由境界条件のハミルトニアン**と分配関数、有限体積の圧力を
$$
H_\Lambda(\sigma)=\sum_{A\subset\Lambda}\Phi_A(\sigma),\qquad Z_\Lambda=\sum_{\sigma\in\Omega_\Lambda}e^{-H_\Lambda(\sigma)},\qquad p_\Lambda=\frac{\log Z_\Lambda}{|\Lambda|}
$$
で定める（$\Phi_A$ は $\omega_A$ だけで決まるので、$A\subset\Lambda$ なら $\Phi_A(\sigma)$ は $\sigma\in\Omega_\Lambda$ に対して意味をもつ）。
</Definition>

逆温度 $\beta$ は $\Phi$ に含めておきます（$\beta\Phi$ を改めて $\Phi$ と書く）。$\|\Phi\|$ は「原点を含むすべての相互作用の強さの和」で、1 点あたりのエネルギーの上限です。実際、各 $A\subset\Lambda$ を $A$ の 1 点 $x$ に割り当てると
$$
\|H_\Lambda\|_\infty\le\sum_{x\in\Lambda}\sum_{A\ni x}\|\Phi_A\|_\infty=|\Lambda|\,\|\Phi\|
$$
で、$Z_\Lambda$ は $|S|^{|\Lambda|}e^{\pm|\Lambda|\|\Phi\|}$ の間にあります。したがって $|p_\Lambda|\le\log|S|+\|\Phi\|$ です。

<Example id="ex-ising-interaction" title="Ising 模型">
$S=\{-1,1\}$、$\sigma_x$ を $x$ でのスピンとし、$|x-y|_1=1$ の対 $\{x,y\}$ に $\Phi_{\{x,y\}}=-J\sigma_x\sigma_y$、1 点に $\Phi_{\{x\}}=-h\sigma_x$、それ以外の $A$ に $\Phi_A=0$ とおきます。原点を含む最近接対は $2d$ 個なので $\|\Phi\|=2d|J|+|h|$ です。$J>0$ が強磁性（向きをそろえるほうがエネルギーが低い）、$h$ が外場です。
</Example>

<Example id="ex-independent-spins" title="独立なスピン">
$\Phi_{\{x\}}(\omega)=-h\,\omega_x$（$S=\{-1,1\}$）だけの相互作用では $Z_\Lambda=(2\cosh h)^{|\Lambda|}$ で、$p_\Lambda=\log(2\cosh h)$ は $\Lambda$ によりません。相互作用があると $p_\Lambda$ は $\Lambda$ の形に依存し、極限が問題になります。
</Example>

### 2.1. van Hove 極限

体積を大きくする列として、境界の点の割合が $0$ に近づくものを考えます。$\Lambda\Subset\mathbb{Z}^d$ と $R\in\mathbb{N}$ について、内側の $R$-境界を
$$
\partial_R\Lambda=\{x\in\Lambda:\operatorname{dist}(x,\mathbb{Z}^d\setminus\Lambda)\le R\}
$$
とします。

<Definition id="def-van-hove" title="van Hove 列">
有限集合の列 $(\Lambda_n)$ が $|\Lambda_n|\to\infty$ と、すべての $R\in\mathbb{N}$ について $|\partial_R\Lambda_n|/|\Lambda_n|\to0$ を満たすとき、**van Hove 列**という。
</Definition>

一辺 $L$ の立方体 $C(L)=\{0,1,\dots,L-1\}^d$ の列は van Hove 列です。$x\in\partial_RC(L)$ ならある座標が $\{0,\dots,R-1\}\cup\{L-R,\dots,L-1\}$ に入るので
$$
|\partial_RC(L)|\le2dR\,L^{d-1}
$$
だからです。一方、線分 $\{0,\dots,n\}\times\{0\}^{d-1}$（$d\ge2$）はすべての点が境界にあるので van Hove 列ではありません。

### 2.2. 境界項の評価

相互作用が $\Lambda$ の内と外をまたぐ部分の大きさを
$$
b(\Lambda)=\sum_{x\in\Lambda}\ \sum_{A\ni x,\ A\not\subset\Lambda}\|\Phi_A\|_\infty
$$
で測ります。本章の評価はすべてこの量に帰着します。

<Lemma id="lem-boundary-small" title="境界項は体積に比べて小さい">
$\Phi\in\mathcal{B}$ とする。すべての $\Lambda\Subset\mathbb{Z}^d$ と $R\in\mathbb{N}$ について
$$
\frac{b(\Lambda)}{|\Lambda|}\le\|\Phi\|\frac{|\partial_R\Lambda|}{|\Lambda|}+\varepsilon_R,\qquad\varepsilon_R:=\sum_{A\ni0,\ \operatorname{diam}A>R}\|\Phi_A\|_\infty .
$$
$\varepsilon_R\to0$（$R\to\infty$）なので、van Hove 列について $b(\Lambda_n)/|\Lambda_n|\to0$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-boundary-small">
$b(\Lambda)$ の和を $\operatorname{diam}A\le R$ と $\operatorname{diam}A>R$ に分けます。$x\in A$、$\operatorname{diam}A\le R$、$A\not\subset\Lambda$ なら、$A$ の点で $\Lambda$ の外にあるものが $x$ から距離 $R$ 以内にあるので $x\in\partial_R\Lambda$ です。よって前半は $\sum_{x\in\partial_R\Lambda}\sum_{A\ni x}\|\Phi_A\|_\infty=|\partial_R\Lambda|\,\|\Phi\|$ 以下です（並進不変性から内側の和は $x$ によらず $\|\Phi\|$）。後半は $A\not\subset\Lambda$ の条件を外して $\sum_{x\in\Lambda}\sum_{A\ni x,\operatorname{diam}A>R}\|\Phi_A\|_\infty=|\Lambda|\varepsilon_R$ 以下です。$\varepsilon_R$ は収束級数 $\sum_{A\ni0}\|\Phi_A\|_\infty$ の裾なので $0$ に収束します。van Hove 列では、まず $R$ を大きくとって $\varepsilon_R$ を小さくし、次に $n$ を大きくすれば右辺は任意に小さくなります。
</Proof>

<Lemma id="lem-almost-additive" title="ほぼ加法性">
$\Phi\in\mathcal{B}$、$\Lambda=\Lambda_1\sqcup\cdots\sqcup\Lambda_k$（互いに素な有限集合）とする。このとき
$$
\Bigl|\log Z_\Lambda-\sum_{i=1}^k\log Z_{\Lambda_i}\Bigr|\le\sum_{i=1}^kb(\Lambda_i).
$$
</Lemma>

<Proof of="lem-almost-additive">
**(a) エネルギーの差.** $H_\Lambda-\sum_iH_{\Lambda_i}=\sum'\Phi_A$ で、$\sum'$ はどの $\Lambda_i$ にも含まれない $A\subset\Lambda$ についての和です。そのような $A$ はある $\Lambda_i$ と交わるので、$x\in A\cap\Lambda_i$ を選べば $A\ni x$、$A\not\subset\Lambda_i$ です。したがって $\sum'\|\Phi_A\|_\infty\le\sum_ib(\Lambda_i)$。

**(b) $\log Z$ はエネルギーについて 1-Lipschitz.** 有限集合 $X$ 上の関数 $H,H'$ について $e^{-H'}\le e^{-H}e^{\|H-H'\|_\infty}$ なので $\sum e^{-H'}\le e^{\|H-H'\|_\infty}\sum e^{-H}$。対称に入れ替えて $|\log\sum e^{-H}-\log\sum e^{-H'}|\le\|H-H'\|_\infty$ です。

**(c) 独立な和は積になる.** $\Omega_\Lambda=\prod_i\Omega_{\Lambda_i}$ で、$\sum_iH_{\Lambda_i}(\sigma)$ の各項は $\sigma_{\Lambda_i}$ だけに依存するので
$$
\sum_{\sigma\in\Omega_\Lambda}e^{-\sum_iH_{\Lambda_i}(\sigma)}=\prod_{i}Z_{\Lambda_i}.
$$
(b) を $H=H_\Lambda$、$H'=\sum_iH_{\Lambda_i}$ に適用し、(a)(c) を使えば主張を得ます。
</Proof>

## 3. 圧力の存在と凸性

次の定理の証明の筋は、大きな箱 $\Lambda$ を一辺 $L$ の小さな立方体で埋め、$\log Z$ を立方体 1 個分の $\log Z$ の和で近似することです。まず $L$ を固定して $n\to\infty$ とし、誤差が $L$ だけで決まる量 $\delta_L$ 以下になることを示し、最後に $L\to\infty$ とします。$\limsup$ は「十分先の項の上からの限界」のことで、誤差を $\delta_L$ で抑えた後に $\delta_L\to0$ とするために使います。

<Theorem id="thm-pressure-exists" title="熱力学的極限における圧力の存在">
$\Phi\in\mathcal{B}$ とする。極限
$$
P(\Phi)=\lim_{L\to\infty}\frac{\log Z_{C(L)}}{L^d}
$$
が存在し、任意の van Hove 列 $(\Lambda_n)$ について $p_{\Lambda_n}\to P(\Phi)$ である。$P(\Phi)$ を $\Phi$ の**圧力**という（$-P(\Phi)$ は逆温度を掛けた 1 点あたりの自由エネルギー）。
</Theorem>

<Proof of="thm-pressure-exists">
$L\in\mathbb{N}$ を固定し、$\mathbb{Z}^d$ を立方体 $Q_k=C(L)+Lk$（$k\in\mathbb{Z}^d$）に分割します。van Hove 列の項 $\Lambda=\Lambda_n$ に対し、$Q_k\subset\Lambda$ となる立方体を $Q_{k_1},\dots,Q_{k_N}$ とし、残り $\Lambda^\circ=\Lambda\setminus\bigcup_jQ_{k_j}$ とします。

**残りは境界に含まれる.** $x\in\Lambda^\circ$ を含む立方体 $Q_k$ は $\Lambda$ に含まれないので、$\Lambda$ の外の点を含みます。$Q_k$ の 2 点の距離は $L-1$ 以下なので $x\in\partial_L\Lambda$ です。よって $|\Lambda^\circ|\le|\partial_L\Lambda|$、$NL^d=|\Lambda|-|\Lambda^\circ|$ です。

**ほぼ加法性を使う.** <Ref to="lem-almost-additive" /> を分割 $\Lambda=Q_{k_1}\sqcup\cdots\sqcup Q_{k_N}\sqcup\Lambda^\circ$ に使います。並進不変性から $H_{Q_k}(\sigma)=H_{C(L)}(\sigma\circ\text{平行移動})$ なので $Z_{Q_k}=Z_{C(L)}$、$b(Q_k)=b(C(L))$ です。また $b(\Lambda^\circ)\le|\Lambda^\circ|\,\|\Phi\|$、$|\log Z_{\Lambda^\circ}|\le|\Lambda^\circ|(\log|S|+\|\Phi\|)$（§2 の評価）なので、
$$
\bigl|\log Z_\Lambda-N\log Z_{C(L)}\bigr|\le N\,b(C(L))+|\Lambda^\circ|\bigl(\log|S|+2\|\Phi\|\bigr).
$$
$|\Lambda|$ で割り、$a_L=\log Z_{C(L)}/L^d$ と書くと、$N/|\Lambda|\le L^{-d}$ より
$$
\Bigl|p_\Lambda-\frac{NL^d}{|\Lambda|}a_L\Bigr|\le\frac{b(C(L))}{L^d}+\frac{|\partial_L\Lambda|}{|\Lambda|}\bigl(\log|S|+2\|\Phi\|\bigr).
$$
$n\to\infty$ で $|\partial_L\Lambda_n|/|\Lambda_n|\to0$、$NL^d/|\Lambda_n|\to1$、$|a_L|\le\log|S|+\|\Phi\|$ なので
$$
\limsup_{n\to\infty}|p_{\Lambda_n}-a_L|\le\delta_L:=\frac{b(C(L))}{L^d}.
$$

**結論.** 立方体の列は van Hove 列なので <Ref to="lem-boundary-small" /> から $\delta_L\to0$ です。上式から $\limsup_np_{\Lambda_n}-\liminf_np_{\Lambda_n}\le2\delta_L$ がすべての $L$ で成り立つので、$\lim_np_{\Lambda_n}=:P$ が存在し、$|P-a_L|\le\delta_L$ です。よって $a_L\to P$ で、$P$ は立方体の極限として列によらずに決まります。
</Proof>

<Figure caption="van Hove 列での分割。一辺 L の立方体の格子のうち Λ に含まれるもの（塗り）と、残りの部分 Λ°（境界から距離 L 以内に収まる）。ほぼ加法性により log Z は塗った立方体の寄与の和で近似でき、誤差は立方体の境界と Λ° の大きさで抑えられる。">
<svg viewBox="0 0 420 300" width="100%" role="img" aria-label="不規則な領域を一辺 L の立方体で覆い、内側の立方体と境界付近の残りに分ける図">
  <g stroke="currentColor" stroke-width="0.6" opacity="0.35">
    <line x1="30" y1="30" x2="390" y2="30" /><line x1="30" y1="70" x2="390" y2="70" /><line x1="30" y1="110" x2="390" y2="110" /><line x1="30" y1="150" x2="390" y2="150" /><line x1="30" y1="190" x2="390" y2="190" /><line x1="30" y1="230" x2="390" y2="230" /><line x1="30" y1="270" x2="390" y2="270" />
    <line x1="30" y1="30" x2="30" y2="270" /><line x1="70" y1="30" x2="70" y2="270" /><line x1="110" y1="30" x2="110" y2="270" /><line x1="150" y1="30" x2="150" y2="270" /><line x1="190" y1="30" x2="190" y2="270" /><line x1="230" y1="30" x2="230" y2="270" /><line x1="270" y1="30" x2="270" y2="270" /><line x1="310" y1="30" x2="310" y2="270" /><line x1="350" y1="30" x2="350" y2="270" /><line x1="390" y1="30" x2="390" y2="270" />
  </g>
  <g fill="var(--sl-color-accent)" opacity="0.35">
    <rect x="110" y="70" width="40" height="40" /><rect x="150" y="70" width="40" height="40" /><rect x="190" y="70" width="40" height="40" />
    <rect x="70" y="110" width="40" height="40" /><rect x="110" y="110" width="40" height="40" /><rect x="150" y="110" width="40" height="40" /><rect x="190" y="110" width="40" height="40" /><rect x="230" y="110" width="40" height="40" /><rect x="270" y="110" width="40" height="40" />
    <rect x="110" y="150" width="40" height="40" /><rect x="150" y="150" width="40" height="40" /><rect x="190" y="150" width="40" height="40" /><rect x="230" y="150" width="40" height="40" /><rect x="270" y="150" width="40" height="40" />
    <rect x="150" y="190" width="40" height="40" /><rect x="190" y="190" width="40" height="40" />
  </g>
  <path d="M 95 60 C 160 35, 260 45, 300 90 C 345 105, 340 170, 320 200 C 290 245, 220 250, 170 240 C 120 235, 60 200, 58 150 C 55 110, 70 75, 95 60 Z" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="2" />
  <g fill="currentColor" font-size="13">
    <text x="335" y="60">Λ</text>
    <text x="40" y="290">塗り: Λ に含まれる立方体　白地で輪郭の内側: Λ°</text>
  </g>
</svg>
</Figure>

<Proposition id="prop-boundary-conditions" title="境界条件によらないこと">
$\Phi\in\mathcal{B}$、$\tau\in\Omega$ とし、境界条件 $\tau$ のハミルトニアンを $H_\Lambda^\tau(\sigma)=\sum_{A\cap\Lambda\ne\emptyset}\Phi_A(\sigma_\Lambda\tau_{\Lambda^c})$、分配関数を $Z_\Lambda^\tau$ とする。van Hove 列について
$$
\sup_{\tau\in\Omega}\Bigl|\frac{\log Z^\tau_{\Lambda_n}}{|\Lambda_n|}-P(\Phi)\Bigr|\to0 .
$$
</Proposition>

<Proof of="prop-boundary-conditions">
$H^\tau_\Lambda-H_\Lambda=\sum\Phi_A(\sigma_\Lambda\tau_{\Lambda^c})$ で、和は $\Lambda$ と交わり $\Lambda$ に含まれない $A$ についてとります。そのような $A$ に $x\in A\cap\Lambda$ を割り当てれば、和の絶対値は $b(\Lambda)$ 以下です。<Ref to="lem-almost-additive" /> の証明 (b) から $|\log Z^\tau_\Lambda-\log Z_\Lambda|\le b(\Lambda)$ で、<Ref to="lem-boundary-small" /> と <Ref to="thm-pressure-exists" /> から結論を得ます。
</Proof>

<Theorem id="thm-pressure-convex" title="圧力の凸性と Lipschitz 性">
$P:\mathcal{B}\to\mathbb{R}$ は凸であり、$|P(\Phi)-P(\Psi)|\le\|\Phi-\Psi\|$ を満たす。
</Theorem>

<Proof of="thm-pressure-convex">
**凸性.** $0\le t\le1$ とします。$H^{t\Phi+(1-t)\Psi}_\Lambda=tH^\Phi_\Lambda+(1-t)H^\Psi_\Lambda$ なので、$\Omega_\Lambda$ 上の数え上げ測度について Hölder の不等式（<Ref to="mathematics/real-analysis/lp-spaces#thm-holder" />、指数 $1/t$ と $1/(1-t)$）を使うと
$$
\sum_\sigma\bigl(e^{-H^\Phi_\Lambda}\bigr)^t\bigl(e^{-H^\Psi_\Lambda}\bigr)^{1-t}\le\Bigl(\sum_\sigma e^{-H^\Phi_\Lambda}\Bigr)^t\Bigl(\sum_\sigma e^{-H^\Psi_\Lambda}\Bigr)^{1-t}.
$$
対数をとって $|\Lambda|$ で割ると $p_\Lambda$ の凸性を得ます。凸性の不等式は各点の極限で保たれます（$t=0,1$ は自明）。

**Lipschitz 性.** $\|H^\Phi_\Lambda-H^\Psi_\Lambda\|_\infty\le|\Lambda|\,\|\Phi-\Psi\|$（§2 の評価を $\Phi-\Psi\in\mathcal{B}$ に使う）と <Ref to="lem-almost-additive" /> の証明 (b) から $|p_\Lambda(\Phi)-p_\Lambda(\Psi)|\le\|\Phi-\Psi\|$。極限をとります。
</Proof>

凸性は物理的には「比熱や帯磁率が非負」であることの抽象版です。[凸関数](/mathematics/real-analysis/convex-analysis#def-convex)は 1 次元方向に左右の微分をもち、高々可算個の点を除いて微分可能です（<Ref to="mathematics/real-analysis/convex-analysis#prop-one-dim" />）。微分できない点が **1 次相転移**の候補です。次の系は、微分可能な点では有限体積の磁化が無限体積の値に収束することを示します。

<Corollary id="cor-magnetization" title="外場についての微分と磁化">
$\Phi\in\mathcal{B}$ を固定し、$S\subset\mathbb{R}$ とする。$h\in\mathbb{R}$ について $\Phi^h_{\{x\}}=\Phi_{\{x\}}-h\omega_x$（他の $\Phi_A$ はそのまま）とし、$f(h)=P(\Phi^h)$、有限体積の Gibbs 分布 $\mu^h_\Lambda(\sigma)=e^{-H^h_\Lambda(\sigma)}/Z^h_\Lambda$ での平均磁化を $m_\Lambda(h)=|\Lambda|^{-1}\sum_{x\in\Lambda}\mu^h_\Lambda(\sigma_x)$ とする。$f$ が $h_0$ で微分可能ならば、任意の van Hove 列と $h_n\to h_0$ について $m_{\Lambda_n}(h_n)\to f'(h_0)$。
</Corollary>

<Proof of="cor-magnetization">
$f_n(h)=p_{\Lambda_n}(\Phi^h)$ は $h$ について凸（<Ref to="thm-pressure-convex" /> の証明）で、各点で $f(h)$ に収束します（<Ref to="thm-pressure-exists" />）。$\log Z$ を $h$ で微分すると $f_n'(h)=m_{\Lambda_n}(h)$ です。凸関数列の勾配の収束（<Ref to="mathematics/real-analysis/convex-analysis#thm-gradient-convergence" />、$U=\mathbb{R}$）から $f_n'(h_n)\to f'(h_0)$ です。
</Proof>

## 4. エントロピーと Gibbs の変分原理

有限集合 $X$ 上の確率測度 $\nu$ の**エントロピー**を $S(\nu)=-\sum_{a\in X}\nu(a)\log\nu(a)$（$0\log0=0$）とします。$\Omega$ 上の確率測度 $\mu$（$\Omega$ には直積 σ-加法族を入れる）と $\Lambda\Subset\mathbb{Z}^d$ について、$\mu$ の $\Omega_\Lambda$ への周辺分布のエントロピーを $S_\Lambda(\mu)$ と書きます。

<Lemma id="lem-entropy-basic" title="エントロピーの基本性質">
(i) 有限集合 $X$ 上の関数 $H$ について $\log\sum_{a\in X}e^{-H(a)}=\max_\nu\bigl(S(\nu)-\nu(H)\bigr)$ で、最大値は $\nu(a)=e^{-H(a)}/\sum e^{-H}$ でとられる（**有限体積の Gibbs の変分原理**）。

(ii) $0\le S_\Lambda(\mu)\le|\Lambda|\log|S|$。$\Lambda\subset\Lambda'$ ならば $S_\Lambda(\mu)\le S_{\Lambda'}(\mu)$。

(iii) $\Lambda_1\cap\Lambda_2=\emptyset$ ならば $S_{\Lambda_1\cup\Lambda_2}(\mu)\le S_{\Lambda_1}(\mu)+S_{\Lambda_2}(\mu)$ で、$\mu$ の $\Omega_{\Lambda_1\cup\Lambda_2}$ への周辺分布が $\Omega_{\Lambda_1}$ と $\Omega_{\Lambda_2}$ の周辺分布の直積ならば等号が成り立つ。

(iv) $\mu\mapsto S_\Lambda(\mu)$ は凹である。
</Lemma>

<Proof of="lem-entropy-basic">
**(i)** $Z=\sum e^{-H}$、$g=e^{-H}/Z$ とします。$\nu$ の台の上で $\log$ の凹性と Jensen の不等式（<Ref to="mathematics/real-analysis/convex-analysis#thm-jensen" />）を使うと
$$
S(\nu)-\nu(H)-\log Z=\sum_{\nu(a)>0}\nu(a)\log\frac{g(a)}{\nu(a)}\le\log\sum_{\nu(a)>0}g(a)\le0,
$$
等号は $\nu=g$ のときです。

**(ii)** $\log$ の凹性から $S(\nu)\le\log|X|$（(i) で $H=0$）。周辺分布 $\nu_\Lambda$ と、$\omega_\Lambda=a$ のもとでの条件付き分布 $\nu(\cdot\mid a)$ を使うと、$\nu_{\Lambda'}(a,b)=\nu_\Lambda(a)\nu(b\mid a)$ から
$$
S_{\Lambda'}(\mu)=S_\Lambda(\mu)+\sum_a\nu_\Lambda(a)\,S\bigl(\nu(\cdot\mid a)\bigr)\ge S_\Lambda(\mu).
$$

**(iii)** $\nu$ を $\Omega_{\Lambda_1}\times\Omega_{\Lambda_2}$ 上の周辺分布、$\nu_1,\nu_2$ をその周辺分布とすると
$$
S_{\Lambda_1}+S_{\Lambda_2}-S_{\Lambda_1\cup\Lambda_2}=\sum_{\nu(a,b)>0}\nu(a,b)\log\frac{\nu(a,b)}{\nu_1(a)\nu_2(b)}\ge0
$$
で、これは (i) の証明と同じく Jensen の不等式から従います。$\nu=\nu_1\otimes\nu_2$ なら対数の中が $1$ で等号です。

**(iv)** $t\mapsto-t\log t$ は $[0,1]$ 上で凹で、周辺分布をとる操作は $\mu$ について線形です。
</Proof>

$\mu$ が**並進不変**（すべての $x$ で $\mu\circ\theta_x^{-1}=\mu$）なら $S_{\Lambda+x}(\mu)=S_\Lambda(\mu)$ です。並進不変な確率測度全体を $\mathcal{M}_\theta$ と書きます。

<Proposition id="prop-mean-entropy" title="平均エントロピーの存在">
$\mu\in\mathcal{M}_\theta$ について、極限
$$
s(\mu)=\lim_{n\to\infty}\frac{S_{C(n)}(\mu)}{n^d}=\inf_{L\ge1}\frac{S_{C(L)}(\mu)}{L^d}
$$
が存在する。これを $\mu$ の**平均エントロピー**という。
</Proposition>

<Proof of="prop-mean-entropy">
$L$ を固定し、$m=\lceil n/L\rceil$ とします。$C(n)\subset C(mL)$ で、$C(mL)$ は $C(L)$ の平行移動 $m^d$ 個の互いに素な和です。<Ref to="lem-entropy-basic" /> の (ii)(iii) と並進不変性から $S_{C(n)}\le S_{C(mL)}\le m^dS_{C(L)}$。したがって
$$
\frac{S_{C(n)}(\mu)}{n^d}\le\Bigl(\frac{mL}{n}\Bigr)^d\frac{S_{C(L)}(\mu)}{L^d}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{S_{C(L)}(\mu)}{L^d}.
$$
よって $\limsup_n\le\inf_L\le\liminf_n$ です。
</Proof>

1 点あたりのエネルギーを $E_\Phi=\sum_{A\ni0}\Phi_A/|A|$ とします。各項は局所的な関数で $\sum_{A\ni0}\|\Phi_A\|_\infty<\infty$ なので、$E_\Phi$ は有界可測で $|E_\Phi|\le\|\Phi\|$ です。重み $1/|A|$ は、$A$ のエネルギーを $A$ の各点に等分する意味をもちます。原点を含む $A$ だけを足すのは、並進不変性により、どの点でも同じ値になるからです。

次の定理の証明は 2 段です。(1) では、任意の $\mu$ について $s(\mu)-\mu(E_\Phi)$ が $P(\Phi)$ を超えないことを、有限体積の変分原理から示します。(2) では、箱ごとの Gibbs 分布を無限に並べて平行移動で平均した並進不変な測度 $\mu_L$ をつくり、$s(\mu_L)-\mu_L(E_\Phi)$ が $P(\Phi)$ にいくらでも近づくことを示します。平行移動で平均するのは、ブロックを並べただけの測度が並進不変とは限らないためです。

<Theorem id="thm-variational-principle" title="Gibbs の変分原理">
$\Phi\in\mathcal{B}$ について
$$
P(\Phi)=\sup_{\mu\in\mathcal{M}_\theta}\bigl(s(\mu)-\mu(E_\Phi)\bigr).
$$
</Theorem>

<Proof of="thm-variational-principle">
**(1) 右辺 $\le$ 左辺.** $\mu\in\mathcal{M}_\theta$、$\Lambda=C(L)$ とします。<Ref to="lem-entropy-basic" /> (i) を $\nu=\mu$ の周辺分布に使うと $\log Z_\Lambda\ge S_\Lambda(\mu)-\mu(H_\Lambda)$。一方、並進不変性 $\mu(\Phi_{A+x})=\mu(\Phi_A\circ\theta_x)=\mu(\Phi_A)$ から
$$
|\Lambda|\,\mu(E_\Phi)=\sum_{x\in\Lambda}\sum_{A\ni0}\frac{\mu(\Phi_{A+x})}{|A|}=\sum_{x\in\Lambda}\sum_{B\ni x}\frac{\mu(\Phi_B)}{|B|}=\sum_{B\cap\Lambda\ne\emptyset}\frac{|B\cap\Lambda|}{|B|}\mu(\Phi_B).
$$
これと $\mu(H_\Lambda)=\sum_{B\subset\Lambda}\mu(\Phi_B)$ の差は $\Lambda$ に含まれず $\Lambda$ と交わる $B$ の項だけで、その絶対値は $b(\Lambda)$ 以下です。よって
$$
\frac{\log Z_{C(L)}}{L^d}\ge\frac{S_{C(L)}(\mu)}{L^d}-\mu(E_\Phi)-\frac{b(C(L))}{L^d}.
$$
$L\to\infty$ として（<Ref to="thm-pressure-exists" />、<Ref to="prop-mean-entropy" />、<Ref to="lem-boundary-small" />）$P(\Phi)\ge s(\mu)-\mu(E_\Phi)$。

**(2) 左辺 $\le$ 右辺.** $L$ を固定し、$C=C(L)$ 上の有限体積 Gibbs 分布 $\nu_L(\sigma)=e^{-H_C(\sigma)}/Z_C$ を作ります。$\Omega=\prod_{k\in\mathbb{Z}^d}\Omega_{C+Lk}$ と見て、各ブロックに $\nu_L$ の平行移動を置いた無限直積測度 $\lambda$ をとります（<Ref to="mathematics/real-analysis/product-measures-fubini#thm-infinite-product" />）。$\lambda$ は $\theta_{Lk}$ で不変なので、
$$
\mu_L=\frac1{L^d}\sum_{x\in C}\lambda\circ\theta_x^{-1}
$$
は並進不変です（$x+y$ を $L\mathbb{Z}^d$ を法として見れば、$x\in C$ と同じ代表系を動く）。

*エントロピー.* $n=mL$ とします。<Ref to="lem-entropy-basic" /> (iv) から $S_{C(n)}(\mu_L)\ge L^{-d}\sum_{x\in C}S_{C(n)}(\lambda\circ\theta_x^{-1})$ で、$S_{C(n)}(\lambda\circ\theta_x^{-1})=S_{C(n)+x}(\lambda)$ です。$\lambda$ の $C(n)+x$ 上の周辺分布はブロックごとの周辺分布の直積なので、(iii) の等号と $S\ge0$ から、$C(n)+x$ に完全に含まれるブロック（少なくとも $(m-1)^d$ 個）の寄与だけで $S_{C(n)+x}(\lambda)\ge(m-1)^dS(\nu_L)$。$m\to\infty$ として $s(\mu_L)\ge S(\nu_L)/L^d$。

*エネルギー.* $E_\Phi\circ\theta_x=\sum_{B\ni x}\Phi_B/|B|$ なので
$$
L^d\mu_L(E_\Phi)=\lambda\Bigl(\sum_{x\in C}E_\Phi\circ\theta_x\Bigr)=\sum_{B\cap C\ne\emptyset}\frac{|B\cap C|}{|B|}\lambda(\Phi_B)\le\nu_L(H_C)+b(C).
$$
ここで $B\subset C$ の項は $\lambda(\Phi_B)=\nu_L(\Phi_B)$ です。

*合わせる.* <Ref to="lem-entropy-basic" /> (i) の等号 $S(\nu_L)-\nu_L(H_C)=\log Z_C$ から
$$
s(\mu_L)-\mu_L(E_\Phi)\ge\frac{\log Z_{C(L)}-b(C(L))}{L^d}\xrightarrow[L\to\infty]{}P(\Phi).
$$
よって右辺の上限は $P(\Phi)$ 以上です。
</Proof>

<Remark id="rem-equilibrium-states" title="平衡状態と Gibbs 測度">
上限を達成する $\mu\in\mathcal{M}_\theta$ を $\Phi$ の**平衡状態**といいます。$s$ は[弱位相](/mathematics/functional-analysis/banach-spaces#def-weak-topology)について上半連続で、$\mathcal{M}_\theta$ は[コンパクト](/mathematics/real-analysis/metric-spaces#def-compactness-metric)なので上限は達成されます。さらに **Lanford–Ruelle の定理**により、平衡状態はちょうど並進不変な Gibbs 測度（[次章](/mathematics/gibbs-measures/dlr-gibbs-measures) で DLR 条件により定義する）です。この 2 点は本章では証明しません（Georgii の教科書 第 15 章を参照）。量子スピン系での対応する結果は [量子スピン系](/mathematics/operator-algebras/quantum-spin-systems) にあります。
</Remark>

<Example id="ex-independent-variational" title="独立スピンでの変分原理">
<Ref to="ex-independent-spins" /> で $E_\Phi=-h\omega_0$ です。直積測度 $\mu=\rho^{\otimes\mathbb{Z}^d}$（$\rho(\pm1)=(1\pm m)/2$）では $s(\mu)=S(\rho)$、$\mu(E_\Phi)=-hm$ で、
$$
s(\mu)-\mu(E_\Phi)=-\tfrac{1+m}2\log\tfrac{1+m}2-\tfrac{1-m}2\log\tfrac{1-m}2+hm .
$$
$m$ で微分して $0$ とおくと $m=\tanh h$ で、そのときの値は $\log(2\cosh h)=P(\Phi)$ です。直積でない $\mu$ では、<Ref to="lem-entropy-basic" /> (iii) により $s(\mu)\le S(\rho_\mu)$（$\rho_\mu$ は 1 点の周辺分布）なので値は大きくなりません。
</Example>

## 5. Cramér の大偏差定理

圧力は $\log$ 分配関数、すなわち Boltzmann 重みの「対数積率母関数」の極限です。その Legendre 変換は、平均が典型的な値から外れる確率の指数を与えます。最も簡単な独立同分布の場合を証明します。

<Definition id="def-rate-function" title="対数積率母関数と速度関数">
実確率変数 $X$ について $\Lambda(t)=\log E[e^{tX}]$ とし、すべての $t\in\mathbb{R}$ で有限であると仮定する。その Legendre 変換（<Ref to="mathematics/real-analysis/convex-analysis#def-conjugate" />）
$$
I(x)=\Lambda^*(x)=\sup_{t\in\mathbb{R}}\bigl(tx-\Lambda(t)\bigr)\in[0,\infty]
$$
を**速度関数**という。
</Definition>

<Lemma id="lem-rate-function" title="速度関数の性質">
$m=E[X]$、$a=\operatorname{ess\,inf}X$、$b=\operatorname{ess\,sup}X$（$\pm\infty$ を許す）とし、$X$ は定数でないとする。

(i) $\Lambda$ は $C^1$ で、$\Lambda'(t)=E[Xe^{tX}]/E[e^{tX}]$。

(ii) $I$ は凸、$I\ge0$、$I(m)=0$ で、$I$ は $[m,\infty)$ で単調非減少、$(-\infty,m]$ で単調非増加。

(iii) $a<x<b$ ならば $\Lambda'(t^*)=x$、$I(x)=t^*x-\Lambda(t^*)$ となる $t^*$ がある。$x>b$ または $x<a$ ならば $I(x)=\infty$。$b<\infty$ ならば $I(b)=-\log P(X=b)$（$a$ も同様）。
</Lemma>

<Proof of="lem-rate-function">
**(i)** $|x|\le e^x+e^{-x}$ から、$|t-t_0|\le1$ のとき $|X|e^{tX}\le(e^X+e^{-X})(e^{(t_0+1)X}+e^{(t_0-1)X})$ で、右辺は仮定から可積分です。平均値の定理と優収束定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-dct" />）で微分と期待値を交換できます。連続性も同じ優関数から従います。

**(ii)** $I$ はアフィン関数 $x\mapsto tx-\Lambda(t)$ の上限なので凸で、$t=0$ から $I\ge0$。Jensen の不等式で $\Lambda(t)\ge tm$ なので $I(m)\le0$、よって $I(m)=0$。凸関数が最小点 $m$ の右で非減少・左で非増加であることから単調性が出ます。

**(iii)** $a<x<b$ とし、$g(t)=tx-\Lambda(t)$ とおきます。$x<c<b$ となる $c$ をとると $P(X\ge c)>0$ で、$t>0$ について $E[e^{tX}]\ge e^{tc}P(X\ge c)$ だから $g(t)\le t(x-c)-\log P(X\ge c)\to-\infty$（$t\to\infty$）。同様に $t\to-\infty$ でも $g\to-\infty$。$g$ は連続なので最大点 $t^*$ をもち、(i) から $g'(t^*)=x-\Lambda'(t^*)=0$。$x>b$ なら $E[e^{tX}]\le e^{tb}$ から $g(t)\ge t(x-b)\to\infty$。$x=b<\infty$ では $g(t)=-\log E[e^{t(X-b)}]$ で、$t\uparrow\infty$ のとき $e^{t(X-b)}\downarrow\mathbf{1}_{\{X=b\}}$（$X\le b$ a.s.）なので、優収束定理から $I(b)=\sup_tg(t)=-\log P(X=b)$（$P(X=b)=0$ なら $\infty$）。
</Proof>

<Theorem id="thm-cramer" title="Cramér の定理">
$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な実確率変数とし、$\Lambda(t)=\log E[e^{tX_1}]$ がすべての $t$ で有限とする。$\bar X_n=n^{-1}\sum_{i=1}^nX_i$ とおくと、閉集合 $F\subset\mathbb{R}$ と開集合 $G\subset\mathbb{R}$ について
$$
\limsup_{n\to\infty}\frac1n\log P(\bar X_n\in F)\le-\inf_{x\in F}I(x),\qquad\liminf_{n\to\infty}\frac1n\log P(\bar X_n\in G)\ge-\inf_{x\in G}I(x).
$$
</Theorem>

<Proof of="thm-cramer">
$X_1$ が定数 $m$ なら $\bar X_n=m$ で、$I(m)=0$、$x\ne m$ で $I(x)=\infty$ なので自明です。以下 $X_1$ は定数でないとします。

**上界.** $x\ge m$ と $t\ge0$ について、Markov の不等式（<Ref to="mathematics/probability/random-variables#thm-markov" />）と独立性から
$$
P(\bar X_n\ge x)\le e^{-ntx}E\bigl[e^{t\sum X_i}\bigr]=e^{-n(tx-\Lambda(t))}.
$$
$t<0$ では $tx-\Lambda(t)\le tm-\Lambda(t)\le0$（Jensen）なので、$t\ge0$ での上限は $I(x)$ に等しく、$P(\bar X_n\ge x)\le e^{-nI(x)}$。同様に $x\le m$ で $P(\bar X_n\le x)\le e^{-nI(x)}$。$F$ が $m$ を含めば主張は自明です。含まなければ、$F\cap[m,\infty)$ が空でないときその最小元 $x_+$（閉集合なので存在）、$F\cap(-\infty,m]$ が空でないとき最大元 $x_-$ をとると、<Ref to="lem-rate-function" /> (ii) の単調性から $\inf_FI=\min(I(x_+),I(x_-))$ で、
$$
P(\bar X_n\in F)\le P(\bar X_n\ge x_+)+P(\bar X_n\le x_-)\le2e^{-n\inf_FI}.
$$
（片方が空ならその項を除く。）$\frac1n\log$ をとれば上界です。

**下界.** $x\in G$ と、$(x-\delta,x+\delta)\subset G$ となる $\delta>0$ を固定し、$\liminf\frac1n\log P(|\bar X_n-x|<\delta)\ge-I(x)$ を示せば十分です。$I(x)=\infty$ なら自明です。<Ref to="lem-rate-function" /> (iii) から、残るのは $a<x<b$ の場合と $x\in\{a,b\}$ の場合です。

$x=b$ なら $P(|\bar X_n-b|<\delta)\ge P(X_1=\cdots=X_n=b)=e^{-nI(b)}$ で済みます（$x=a$ も同様）。

$a<x<b$ のとき、(iii) の $t^*$ で**傾けた分布** $dQ=e^{t^*X_1-\Lambda(t^*)}dP$ を考えます。$Q$ のもとで $X_1$ の平均は $\Lambda'(t^*)=x$ です。$X_1,\dots,X_n$ の同時分布を $\prod_ie^{t^*X_i-\Lambda(t^*)}$ で傾けた $Q_n$ のもとで $X_i$ は独立同分布なので、大数の弱法則（<Ref to="mathematics/probability/limit-theorems#thm-wlln" />）から $Q_n(|\bar X_n-x|<\delta)\to1$。事象 $\{|\bar X_n-x|<\delta\}$ の上で $t^*\sum X_i\le n(t^*x+|t^*|\delta)$ なので
$$
P(|\bar X_n-x|<\delta)=E_{Q_n}\bigl[e^{-t^*\sum X_i+n\Lambda(t^*)};\,|\bar X_n-x|<\delta\bigr]\ge e^{-n(I(x)+|t^*|\delta)}\,Q_n(|\bar X_n-x|<\delta).
$$
よって $\liminf\frac1n\log P(|\bar X_n-x|<\delta)\ge-I(x)-|t^*|\delta$。$\delta$ を小さくしても左辺は減らない（事象が小さくなるだけ）ので、任意の $0<\delta'\le\delta$ で同じ評価を使い $\delta'\to0$ とすれば $-I(x)$ 以上です。
</Proof>

<Example id="ex-coin-rate" title="±1 のコイン投げと混合エントロピー">
$P(X=\pm1)=1/2$ なら $\Lambda(t)=\log\cosh t$ で、$\Lambda'(t)=\tanh t=x$ を解いて
$$
I(x)=\frac{1+x}2\log(1+x)+\frac{1-x}2\log(1-x)\qquad(|x|\le1),
$$
$|x|>1$ で $I=\infty$ です。$I(x)=\log2-S(\rho_x)$（$\rho_x(\pm1)=(1\pm x)/2$）なので、平均が $x$ になる配位の個数がおよそ $e^{nS(\rho_x)}$ であることの言い換えです。<Ref to="ex-independent-variational" /> の被最大化関数は $\log2-I(m)+hm$ で、圧力 $\log(2\cosh h)=\log 2+\Lambda(h)$ は $I$ の Legendre 変換に $\log2$ を足したものです（<Ref to="mathematics/real-analysis/convex-analysis#thm-fenchel-moreau" />）。
</Example>

投げる回数 $n$ を増やすと、厳密な二項確率から作った $-\frac1n\log P(\bar X_n=x)$ が速度関数 $I(x)$ に重なっていく様子を見てください。

<Figure caption="コイン投げの平均 $x$ ごとの $-\frac1n\log P(\bar X_n=x)$（青）は、$n$ が大きくなると速度関数 $I(x)$（赤）に近づく。">
<img src="/figures/coin-rate-function.gif" alt="n を 2 から 400 まで増やすと、二項分布から計算した指数の速さの点列が、赤い放物線状の速度関数 I(x) に重なっていく動画。" loading="lazy" />
</Figure>

<Remark id="rem-ldp-gibbs" title="Gibbs 測度の大偏差">
相互作用のある系でも、並進不変な Gibbs 測度のもとでの経験磁化 $|\Lambda_n|^{-1}\sum_{x\in\Lambda_n}\sigma_x$ は、圧力の外場についての Legendre 変換を速度関数とする大偏差原理を満たします。圧力が微分可能なら Gärtner–Ellis の定理から従いますが、一般には経験場全体の大偏差原理からの縮約で示します（Föllmer–Orey 1988、Olla 1988）。圧力が微分できない外場（1 次相転移点）では、速度関数に平らな部分（相の共存に対応する区間）が生じます。この点は [第 3 章](/mathematics/gibbs-measures/ising-peierls) の低温相で意味をもちます。
</Remark>

## 6. 演習

<Exercise id="exr-ising-boundary" difficulty="易">
最近接 Ising 模型（<Ref to="ex-ising-interaction" />）について $b(C(L))$ を計算し、$b(C(L))/L^d\le2d|J|/L$ を示してください。
<Solution>
$A\not\subset C(L)$ で $A\cap C(L)\ne\emptyset$ となる $A$ は、$C(L)$ の面を横切る最近接対だけです（1 点集合は $C(L)$ に含まれるか交わらない）。$b(C(L))$ の和では、そのような対 $\{x,y\}$（$x\in C(L)$）が $x$ のところで 1 回数えられ、重みは $|J|$ です。面を横切る対の数は、$2d$ 個の面それぞれに $L^{d-1}$ 本なので $b(C(L))=2dL^{d-1}|J|$、したがって $b(C(L))/L^d=2d|J|/L$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-not-van-hove" difficulty="標準">
$d=2$ の最近接 Ising 模型（$h=0$）で、$\Lambda_n=\{0,\dots,n-1\}\times\{0\}$ とします。$\lim_np_{\Lambda_n}$ が存在して $\log(2\cosh J)$ に等しいことを示し、これが一般には $P(\Phi)$ と異なることを、$J\to\infty$ での振る舞いを比べて説明してください。（ヒント: $P(\Phi)\ge$ 全スピン $+1$ の配位だけからの寄与。）
<Solution>
$\Lambda_n$ の中の相互作用は横方向の $n-1$ 本だけです。$\tau_i=\sigma_i\sigma_{i+1}$（$i=0,\dots,n-2$）と $\sigma_0$ は $\{\pm1\}^n$ の座標変換を与えるので、$Z_{\Lambda_n}=\sum_{\sigma_0,\tau}e^{J\sum\tau_i}=2(2\cosh J)^{n-1}$、$p_{\Lambda_n}\to\log(2\cosh J)$ です。一方 $Z_{C(L)}\ge e^{J\cdot2L(L-1)}$（全 $+1$ の配位、対の数は $2L(L-1)$）なので $P(\Phi)\ge2J$。$J\to\infty$ で $\log(2\cosh J)=J+o(1)$ ですから、大きな $J$ では $P(\Phi)>\lim p_{\Lambda_n}$ です。線分は 1 点あたり 1 本の結合しか持たず、平面の 1 点あたり 2 本の結合を反映しません。van Hove 条件はこのずれを排除します。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-gaussian-rate" difficulty="標準">
(1) $X\sim N(m,v)$（$v>0$）について $I(x)=(x-m)^2/(2v)$ を示してください。(2) $X$ が平均 $\lambda>0$ の Poisson 分布に従うとき $I(x)=x\log(x/\lambda)-x+\lambda$（$x\ge0$）、$I(x)=\infty$（$x<0$）を示し、$I(0)=-\log P(X=0)$ が <Ref to="lem-rate-function" /> (iii) と合うことを確かめてください。
<Solution>
(1) $\Lambda(t)=mt+vt^2/2$。$tx-\Lambda(t)$ は $t=(x-m)/v$ で最大で、値は $(x-m)^2/(2v)$ です。

(2) $\Lambda(t)=\lambda(e^t-1)$。$x>0$ では $\lambda e^t=x$、つまり $t=\log(x/\lambda)$ で最大となり、$I(x)=x\log(x/\lambda)-x+\lambda$。$a=\operatorname{ess\,inf}X=0$ なので $x<0$ では $I=\infty$、$x=0$ では $\sup_t(-\lambda(e^t-1))=\lambda$（$t\to-\infty$）で、$-\log P(X=0)=\lambda$ と一致します。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-pressure-lipschitz-h" difficulty="標準">
<Ref to="cor-magnetization" /> の $f(h)$ について、$f$ は凸で $|f(h)-f(h')|\le|h-h'|\max_{s\in S}|s|$ を満たし、$f$ の右微分と左微分は $[-\max|s|,\max|s|]$ に入ることを示してください。$S=\{-1,1\}$ の Ising 模型で $f'(0^+)>0$ となることは何を意味しますか。
<Solution>
$\Phi^h-\Phi^{h'}$ は 1 点の項 $-(h-h')\omega_x$ だけなので $\|\Phi^h-\Phi^{h'}\|=|h-h'|\max|s|$ で、<Ref to="thm-pressure-convex" /> から凸性と Lipschitz 性が出ます。凸で Lipschitz 定数 $c=\max|s|$ の関数の片側微分は $[-c,c]$ に入ります。Ising 模型では $f$ は偶関数（$\sigma\mapsto-\sigma$ の対称性）なので $f'(0^-)=-f'(0^+)$。$f'(0^+)>0$ なら $f$ は $0$ で微分できず、<Ref to="cor-magnetization" /> の証明から、$h\downarrow0$ の磁化の極限 $f'(0^+)$ と $h\uparrow0$ の極限 $-f'(0^+)$ が食い違います。これが**自発磁化**で、[第 3 章](/mathematics/gibbs-measures/ising-peierls) で $d\ge2$ の低温で起きることを示します。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- H.-O. Georgii, *Gibbs Measures and Phase Transitions*, 2nd ed., de Gruyter, 2011 — 第 15 章（変分原理）。
- B. Simon, *The Statistical Mechanics of Lattice Gases, Vol. I*, Princeton University Press, 1993 — 圧力の存在と変分原理を扱う章。
- S. Friedli, Y. Velenik, *Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction*, Cambridge University Press, 2017 — 第 1 章（平衡熱力学と凸性）、第 2 章（Curie–Weiss 模型）、第 3 章（Ising 模型の熱力学極限）。
- D. Ruelle, *Statistical Mechanics: Rigorous Results*, W. A. Benjamin, 1969 — 格子系の熱力学極限を扱う章。
- A. Dembo, O. Zeitouni, *Large Deviations Techniques and Applications*, 2nd ed., Springer, 1998 — §2.2（Cramér の定理）。