# Mermin–Wagner の定理：2 次元では連続対称性が自発的に破れない

> Bogoliubov 不等式から 2 次元量子 Heisenberg 模型の自発磁化が 0 であることを、スピン波のねじりの摂動法から 2 次元古典 O(N) 模型の任意の Gibbs 測度が回転不変であることを証明する。鍵は 2 次元格子の再帰性と Σ1/|k|² の対数発散。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/gibbs-measures/mermin-wagner

## 0. この記事の要点

磁石は、中に並んだ小さな矢印（スピン）が同じ向きにそろうことで生まれます。この記事が扱うのは、矢印が平面の上に並び、向きを円や球面の上で自由に選べるとき、有限の温度では矢印が自然にそろって磁石になることはない、という定理です。理由は、中心から外へ向かって向きを少しずつ回していくと、エネルギーの増加がほとんど要らないことにあります。読み終えると、平面が 3 次元と違う理由を、ランダムウォークが必ず出発点に戻ることと結びつけて説明できるようになります。

- **2 次元では連続対称性は有限温度で自発的に破れません。** 磁石のスピンの向きを、中心から半径 $n$ までの円板で $\log$ の形にゆっくり回す（スピン波のねじり）と、エネルギーの増加は $1/\log n$ の程度で $0$ に近づきます。境界で固定した向きが中心まで伝わらないのはこのためです。
- 背後にあるのは **2 次元格子の再帰性**（ランダムウォークが確率 $1$ で出発点に戻る性質）です。単純ランダムウォークの原点への期待訪問回数 $\int_{[-\pi,\pi]^d}dk/(1-\varphi(k))$ は $d\le2$ で発散し、量子版ではこれが運動量の和 $\frac1{|\Lambda|}\sum_k\frac1{|k|^2+|h|}\sim\log(1/|h|)$ の発散として現れます（<Ref to="prop-polya" />・<Ref to="lem-lattice-sum" />）。
- **量子版**（<Ref to="thm-quantum-mw" />）：2 次元トーラス上の有限レンジの量子 Heisenberg 模型の磁化は $m^2\log(1/|h|)\lesssim\beta$ を満たし、外場を $0$ にすると[自発磁化](/mathematics/gibbs-measures/ising-peierls#def-spontaneous-magnetization)は $0$ です。道具は Bogoliubov 不等式（磁化を、二重交換子という量で上から押さえる Cauchy–Schwarz 型の不等式。<Ref to="lem-bogoliubov" />）だけです。
- **古典版**（<Ref to="thm-classical-mw" />）：$\mathbb{Z}^2$ 上の有限レンジの O($N$) 模型（$N\ge2$）では、**任意の**無限体積の [Gibbs 測度](/mathematics/gibbs-measures/dlr-gibbs-measures#def-gibbs-measure)が $\mathrm{SO}(N)$ 不変（スピンを全部まとめて回しても確率が変わらない）です。証明はねじりの $\pm\theta$ を平均する摂動法（Pfister、Ioffe–Shlosman–Velenik）と最大値原理で、相互作用の符号を問いません。$\phi^4$ 型の非有界スピンでも、2 次モーメントが一様に有界な Gibbs 測度なら同じ結論が 1 次元も含めて成り立ちます（<Ref to="thm-unbounded-mw" />）。
- 有限体積でも、任意の境界条件のもとで $|\langle\sigma_0\rangle|\le C\beta/\log n$ という定量的な評価が成り立ちます（<Ref to="cor-finite-volume" />）。
- 3 次元以上ではねじりのエネルギーが $0$ に近づかず、実際に低温で対称性が破れます（Fröhlich–Simon–Spencer、<Ref to="rem-higher-dim" />）。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **Gibbs 測度**: 無限に広がる系で、どの有限領域の中でも、外側の配位を決めたときの Boltzmann 重みの形の確率になっている確率測度。→ [Gibbs 測度](/mathematics/gibbs-measures/dlr-gibbs-measures#def-gibbs-measure)
- **自発磁化**: 外場を $0$ に近づけても残る磁化。→ [自発磁化](/mathematics/gibbs-measures/ising-peierls#def-spontaneous-magnetization)
- **確率測度の弱収束**: 確率測度の列が、有界連続関数の積分の収束という意味で極限に近づくこと。→ [確率測度の弱収束](/mathematics/probability/weak-convergence)
- **自己共役作用素**: 有限次元ではエルミート行列のこと。量子版のハミルトニアンと観測量はこれです。
- **再帰性**: ランダムウォークが確率 $1$ で出発点に戻る性質。§2 の Pólya の再帰定理で扱います。
- **$\mathrm{SO}(N)$ 不変**: 配位の全体を回転させても、測度が変わらないという性質。

</Aside>

## 1. 動機

[前章までに](/mathematics/gibbs-measures/ising-peierls) 見たとおり、2 次元の Ising 模型は低温で自発磁化を持ちます。Peierls の議論の核心は、$+$ の海の中に $-$ の島を作るには島の周長に比例するエネルギーが必要だ、という点でした。スピンが $\pm1$ の 2 値しか取らないので、向きを変えるには必ず「壁」を作らなければなりません。

スピンが円周 $S^1$ や球面 $S^{N-1}$ の値を取る模型（XY 模型、Heisenberg 模型）では事情が変わります。向きを一気に反転する代わりに、場所ごとに少しずつ回せるからです。結合のエネルギーは隣り合うスピンの角度差の 2 乗に比例します。半径 $n$ の円板の中で、中心では角度 $\theta$、縁では $0$ になるように回すとしましょう。一様な勾配で回すと角度差は $\theta/n$、結合は $n^d$ 本あるので、合計は $\theta^2n^{d-2}$ の程度で、$d=2$ でも $0$ になりません。そこで半径 $t$ での角度差を $\theta/(t\log n)$ とする（角度を $\log$ の形で減らす）と、半径 $t$ の殻には $t^{d-1}$ 程度の結合があるので
$$
\sum_{t=1}^{n}t^{d-1}\cdot\frac{\theta^2}{t^2(\log n)^2}\ \approx\ \begin{cases}\theta^2/\log n&(d=2)\\ \theta^2n^{d-2}/(\log n)^2&(d\ge3)\end{cases}
$$
となります。$d=2$ ではこれが $0$ に近づき、向きの変更がほとんど「ただ」でできてしまいます。これが Mermin と Wagner（1966 年）が量子 Heisenberg 模型について、Hohenberg が超流動について示した、「2 次元以下では連続対称性は有限温度で自発的に破れない」という主張の直観です。

本章では、この直観を 2 つの厳密な定理にします。量子版は Mermin–Wagner の原論文の方法で、Bogoliubov 不等式という Cauchy–Schwarz 型の不等式から、有限体積の磁化の定量評価を出します。古典版はより強い主張で、無限体積の Gibbs 測度（[DLR 条件](/mathematics/gibbs-measures/dlr-gibbs-measures)）が**すべて**回転不変であることを示します。こちらは上のねじりを確率測度の変数変換として実行する方法で、Pfister（1981）が確立し、Ioffe–Shlosman–Velenik（2002）が $\pm\theta$ の平均という短い形にしました。両者に共通する数学的な核心は、2 次元格子の再帰性です。§2 でこれを準備します。

## 2. 準備：2 次元格子の再帰性と $\sum 1/|k|^2$

$\mathbb{Z}^d$ の点 $x$ に $\|x\|=\max_i|x_i|$（最大値ノルム）、$|x|$（Euclid ノルム）を使います。

<Lemma id="lem-cos-bounds" title="余弦の 2 次評価">
$|t|\le\pi$ ならば $\dfrac{2t^2}{\pi^2}\le1-\cos t\le\dfrac{t^2}{2}$。右側の不等式はすべての実数 $t$ で成り立つ。
</Lemma>

<Proof of="lem-cos-bounds">
右側：$g(t)=t^2/2-1+\cos t$ は $g(0)=0$、$g'(t)=t-\sin t$ で、$t\ge0$ では $\sin t\le t$ なので $g$ は非減少、偶関数なので $g\ge0$。左側：$1-\cos t=2\sin^2(t/2)$ で、$|u|\le\pi/2$ では $|\sin u|\ge2|u|/\pi$（$\sin$ は $[0,\pi/2]$ で凹なので弦の上にある）。$u=t/2$ とおけば $1-\cos t\ge2\cdot(4/\pi^2)(t/2)^2=2t^2/\pi^2$。
</Proof>

<Proposition id="prop-polya" title="Pólya の再帰定理">
$(S_n)_{n\ge0}$ を $\mathbb{Z}^d$ 上の単純ランダムウォーク（$S_0=0$、独立な増分 $X_j$ は $\pm e_1,\dots,\pm e_d$ を確率 $1/(2d)$ ずつ取る）とし、$\varphi(k)=\frac1d\sum_{i=1}^d\cos k_i$ とおく。

1. 原点への期待訪問回数は $G_d:=\sum_{n\ge0}P(S_n=0)=\dfrac1{(2\pi)^d}\displaystyle\int_{[-\pi,\pi]^d}\frac{dk}{1-\varphi(k)}\in(0,\infty]$ であり、$G_d=\infty$ となるのは $d\le2$ のときに限る。
2. 原点に戻る確率 $F=P(\exists n\ge1,\ S_n=0)$ について、$F=1\iff G_d=\infty$。とくに $d\le2$ のウォークは確率 $1$ で原点に戻る（再帰的）。
</Proposition>

<Proof of="prop-polya">
**1.** $E[e^{ik\cdot X_j}]=\varphi(k)$ と独立性から $E[e^{ik\cdot S_n}]=\varphi(k)^n$。$\mathbf{1}_{\{S_n=0\}}=(2\pi)^{-d}\int_{[-\pi,\pi]^d}e^{ik\cdot S_n}dk$（$S_n\in\mathbb{Z}^d$ なので）の期待値を取り、Fubini の定理で順序を入れ替えると $P(S_n=0)=(2\pi)^{-d}\int\varphi(k)^ndk$。$0\le t<1$ では $|t\varphi|\le t$ なので等比級数が一様に収束し
$$
U(t):=\sum_{n\ge0}t^nP(S_n=0)=\frac1{(2\pi)^d}\int\frac{dk}{1-t\varphi(k)}.
$$
$t\uparrow1$ で左辺は単調収束定理により $G_d$ に増加します。右辺は、$\varphi(k)\ge0$ の部分では被積分関数が $t$ について単調に増えて $1/(1-\varphi)$ に収束し（単調収束定理）、$\varphi(k)<0$ の部分では $0<1/(1-t\varphi)\le1$ で有界なので優収束定理が使えます。よって $G_d=(2\pi)^{-d}\int dk/(1-\varphi)$。

<Ref to="lem-cos-bounds" /> から $[-\pi,\pi]^d$ 上で $\frac{2|k|^2}{\pi^2d}\le1-\varphi(k)\le\frac{|k|^2}{2d}$ です。したがって $G_d<\infty\iff\int_{[-\pi,\pi]^d}|k|^{-2}dk<\infty$。立方体は半径 $\pi$ の球を含み、半径 $\pi\sqrt d$ の球に含まれ、極座標で $\int_{|k|\le\rho}|k|^{-2}dk=|S^{d-1}|\int_0^\rho r^{d-3}dr$ は $d\ge3$ で有限、$d\le2$ で発散します（$d=1$ は $\int_{-\pi}^{\pi}t^{-2}dt=\infty$）。

**2.** $\tau=\min\{n\ge1:S_n=0\}$、$f_j=P(\tau=j)$ とおきます。$n\ge1$ で $\{S_n=0\}$ を最初に戻る時刻 $j\le n$ で分けると、事象 $\{\tau=j\}$ は $X_1,\dots,X_j$ で決まり、$S_n-S_j=X_{j+1}+\cdots+X_n$ はそれと独立で $S_{n-j}$ と同じ分布を持つので
$$
P(S_n=0)=\sum_{j=1}^nP(\tau=j,\ S_n-S_j=0)=\sum_{j=1}^nf_j\,P(S_{n-j}=0).
$$
$\Phi(t)=\sum_jf_jt^j$ とおいて $t^n$ を掛けて和を取ると $U(t)=1+\Phi(t)U(t)$、$0\le t<1$ では $\Phi(t)\le t<1$ なので $U(t)=1/(1-\Phi(t))$。$t\uparrow1$ で $U(t)\to G_d$、$\Phi(t)\to\sum_jf_j=F$（単調収束）なので、$G_d=\infty\iff F=1$。
</Proof>

量子版で実際に使うのは、$G_2=\infty$ を有限のトーラスの運動量の和として定量化した次の形です。$L\ge2$ について、$\Lambda_L=(\mathbb{Z}/L\mathbb{Z})^2$ の**Brillouin 域**（周期境界条件のもとで許される波数 $k$ の集合）を
$$
\mathcal{B}_L=\Bigl\{k=\tfrac{2\pi}{L}(j_1,j_2):\ j_i\in\mathbb{Z},\ -\pi<\tfrac{2\pi j_i}{L}\le\pi\Bigr\}
$$
とします（$|\mathcal{B}_L|=L^2$）。

次の補題は、運動量の和を積分で下から押さえて、$\log$ の発散を見せるものです。各 $k$ に一辺 $2\pi/L$ の小さな正方形を割り当て、それらが原点中心の半径 $\pi/2$ の円板を覆っていれば、和は円板上の積分以上になります。$L\ge2$ は、各座標で区間 $[-\pi/2,\pi/2]$ が覆われるための条件で、$\pi/2$ はそのために選んだ数です。

<Lemma id="lem-lattice-sum" title="運動量の和の対数発散">
$c>0$、$a>0$、$L\ge2$ について
$$
\frac{1}{L^2}\sum_{k\in\mathcal{B}_L}\frac{1}{c|k|^2+a}\ \ge\ \frac{1}{8\pi c}\log\Bigl(1+\frac{\pi^2c}{2a+8\pi^2c/L^2}\Bigr).
$$
</Lemma>

<Proof of="lem-lattice-sum">
$k\in\mathcal{B}_L$ ごとに正方形 $Q_k=k+[-\pi/L,\pi/L)^2$（面積 $(2\pi/L)^2$）を考えます。$q\in Q_k$ なら $|k-q|\le\sqrt2\pi/L=:\delta$ なので $|k|^2\le(|q|+\delta)^2\le2|q|^2+2\delta^2$、よって
$$
\frac{1}{L^2}\cdot\frac{1}{c|k|^2+a}=\frac{1}{4\pi^2}\int_{Q_k}\frac{dq}{c|k|^2+a}\ge\frac{1}{4\pi^2}\int_{Q_k}\frac{dq}{2c|q|^2+b},\qquad b=a+\frac{4\pi^2c}{L^2}.
$$
各座標で $j_i$ は連続する $L$ 個の整数を動き、区間 $[2\pi j_i/L-\pi/L,\,2\pi j_i/L+\pi/L)$ の和集合は左端が $-\pi+\pi/L$ 以下、右端が $\pi-\pi/L$ 以上の区間です。$L\ge2$ ならこれは $[-\pi/2,\pi/2]$ を含むので、$Q_k$ たちの（互いに素な）和集合は円板 $\{|q|\le\pi/2\}$ を含みます。被積分関数は正なので
$$
\frac1{L^2}\sum_{k}\frac{1}{c|k|^2+a}\ge\frac{1}{4\pi^2}\int_{|q|\le\pi/2}\frac{dq}{2c|q|^2+b}=\frac{1}{4\pi^2}\cdot2\pi\int_0^{\pi/2}\frac{r\,dr}{2cr^2+b}=\frac{1}{8\pi c}\log\Bigl(1+\frac{\pi^2c}{2b}\Bigr).
$$
$2b=2a+8\pi^2c/L^2$ を代入すれば主張です。
</Proof>

$L\to\infty$ では右辺が $\frac1{8\pi c}\log(1+\frac{\pi^2c}{2a})$ になり、$a\to0$ で $\log(1/a)$ のように発散します。$d\ge3$ なら同じ和は $a$ によらず有界で（<Ref to="prop-polya" /> の 1 と同じ積分）、この発散がないことが 3 次元以上で議論が止まる理由です。

古典版で使うのは、同じ再帰性を「ねじりのエネルギー」として表した次の評価です。相互作用は $J:\mathbb{Z}^d\to\mathbb{R}$ で、$J(-z)=J(z)$、$J(0)=0$、ある整数 $R\ge1$ について $\|z\|>R$ なら $J(z)=0$（**有限レンジ**）を満たすものとし、$\|J\|_1=\sum_z|J(z)|$ とおきます。関数 $\psi:\mathbb{Z}^d\to\mathbb{R}$ の **ねじりのエネルギー**を
$$
\mathcal{E}_J(\psi)=\sum_{\{x,y\}}|J(x-y)|\,\bigl(\psi(x)-\psi(y)\bigr)^2
$$
と定めます（和は非順序対 $\{x,y\}$、$x\ne y$ について）。

<Lemma id="lem-twist-energy" title="2 次元の対数型ねじり">
$d=2$ とし、整数 $r,n$ が $r\ge2R$、$n>r$ を満たすとする。$\lambda=\log(n/r)$ とおき、
$$
g(t)=\begin{cases}1&(t\le r)\\[2pt]1-\dfrac{\log(t/r)}{\lambda}&(r\le t\le n)\\[6pt]0&(t\ge n)\end{cases},\qquad\psi_{r,n}(x)=g(\|x\|)
$$
と定める。このとき $\psi_{r,n}$ は $\{\|x\|\le r\}$ で $1$、$\{\|x\|\ge n\}$ で $0$ であり、
$$
\mathcal{E}_J(\psi_{r,n})\le\frac{2R^2\|J\|_1\,(15+8\lambda)}{\lambda^2}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ 0.
$$
</Lemma>

<Proof of="lem-twist-energy">
$g$ は連続で、$(r,n)$ 上で $|g'(t)|=1/(t\lambda)$、それ以外で $g'=0$ なので、$t>0$ について $|g'(t)|\le1/(\lambda\max(r,t))$。平均値の定理から、$0\le t\le t'$ のとき $|g(t)-g(t')|\le(t'-t)/(\lambda\max(r,t))$。

$J(x-y)\ne0$ なら $\|x-y\|\le R$ なので $|\|x\|-\|y\||\le R$ かつ $\min(\|x\|,\|y\|)\ge\|x\|-R$。よって
$$
|\psi(x)-\psi(y)|\le\frac{R}{\lambda\max(r,\|x\|-R)}\le\frac{2R}{\lambda\max(r,\|x\|)}.
$$
最後の不等式は、$\|x\|\le r$ なら $\max(r,\|x\|-R)=r$、$\|x\|>r\ge2R$ なら $\|x\|-R\ge\|x\|/2$ から従います。また $\psi(x)\ne\psi(y)$ には $\min(\|x\|,\|y\|)<n$ が必要なので $\|x\|<n+R\le2n$。非順序対の和は順序対の和の半分なので
$$
\mathcal{E}_J(\psi)\le\frac12\sum_{\|x\|<2n}\sum_y|J(x-y)|\frac{4R^2}{\lambda^2\max(r,\|x\|)^2}=\frac{2R^2\|J\|_1}{\lambda^2}\sum_{\|x\|<2n}\frac{1}{\max(r,\|x\|)^2}.
$$
$\|x\|\le r$ の点は $(2r+1)^2\le9r^2$ 個で寄与は $9$ 以下、$\|x\|=t$（$t\ge1$）の点は $8t$ 個なので
$$
\sum_{\|x\|<2n}\frac{1}{\max(r,\|x\|)^2}\le9+\sum_{t=r+1}^{2n}\frac{8}{t}\le9+8\int_r^{2n}\frac{dt}{t}=9+8\log2+8\lambda\le15+8\lambda.
$$
</Proof>

図で見ると、$\psi_{r,n}$ は中心の円板で $1$、外側に向かって $\log$ の形で $0$ まで下がる関数です。古典版では、各点のスピンを角度 $\theta\psi_{r,n}(x)$ だけ回すという変形に使います。

<Figure caption="対数型のねじり。上：各点のスピンを角度 θψ(x)（ここでは θ=π/2）だけ回した配位。中心付近（‖x‖≤r）は一斉に回り、外側ほど回転が小さく、‖x‖≥n では動かない。下：ψ の形。隣り合う点での差は 1/(‖x‖ log(n/r)) 程度で、2 乗和が 1/log(n/r) の速さで 0 に近づく。">
<svg viewBox="0 0 400 290" width="100%" role="img" aria-label="一列に並んだスピンの矢印が、左端では縦向き、右に行くほど対数的に寝ていき右端で横向きになる図と、その回転角の対数型の減衰を表すグラフ">
  <g stroke="currentColor" stroke-width="2.2" stroke-linecap="round">
    <line x1="40.0" y1="108.0" x2="40.0" y2="82.0" />
    <line x1="66.0" y1="108.0" x2="66.0" y2="82.0" />
    <line x1="92.0" y1="108.0" x2="92.0" y2="82.0" />
    <line x1="113.5" y1="107.2" x2="122.5" y2="82.8" />
    <line x1="136.6" y1="105.7" x2="151.4" y2="84.3" />
    <line x1="160.6" y1="104.0" x2="179.4" y2="86.0" />
    <line x1="185.3" y1="102.4" x2="206.7" y2="87.6" />
    <line x1="210.4" y1="100.9" x2="233.6" y2="89.1" />
    <line x1="235.8" y1="99.5" x2="260.2" y2="90.5" />
    <line x1="261.4" y1="98.2" x2="286.6" y2="91.8" />
    <line x1="287.2" y1="97.1" x2="312.8" y2="92.9" />
    <line x1="313.0" y1="96.0" x2="339.0" y2="94.0" />
    <line x1="339.0" y1="95.0" x2="365.0" y2="95.0" />
  </g>
  <g fill="var(--sl-color-accent)">
    <circle cx="40.0" cy="82.0" r="3" /><circle cx="66.0" cy="82.0" r="3" /><circle cx="92.0" cy="82.0" r="3" />
    <circle cx="122.5" cy="82.8" r="3" /><circle cx="151.4" cy="84.3" r="3" /><circle cx="179.4" cy="86.0" r="3" />
    <circle cx="206.7" cy="87.6" r="3" /><circle cx="233.6" cy="89.1" r="3" /><circle cx="260.2" cy="90.5" r="3" />
    <circle cx="286.6" cy="91.8" r="3" /><circle cx="312.8" cy="92.9" r="3" /><circle cx="339.0" cy="94.0" r="3" />
    <circle cx="365.0" cy="95.0" r="3" />
  </g>
  <g fill="currentColor" font-size="13" text-anchor="middle">
    <text x="66" y="40">一斉に回転</text>
    <text x="230" y="40">回転角が log で減衰</text>
    <text x="352" y="128">固定</text>
  </g>
  <line x1="30" y1="250" x2="380" y2="250" stroke="currentColor" stroke-width="1" />
  <line x1="40" y1="260" x2="40" y2="140" stroke="currentColor" stroke-width="1" />
  <polyline fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2.2" points="40,150 66,150 92,150 118,172.6 144,188.7 170,201.1 196,211.3 222,219.9 248,227.4 274,233.9 300,239.8 326,245.1 352,250 375,250" />
  <line x1="92" y1="250" x2="92" y2="145" stroke="currentColor" stroke-width="0.8" stroke-dasharray="4 3" opacity="0.6" />
  <line x1="352" y1="250" x2="352" y2="145" stroke="currentColor" stroke-width="0.8" stroke-dasharray="4 3" opacity="0.6" />
  <g fill="currentColor" font-size="13" text-anchor="middle">
    <text x="92" y="272">r</text>
    <text x="352" y="272">n</text>
    <text x="388" y="254">‖x‖</text>
    <text x="22" y="154">1</text>
    <text x="24" y="254">0</text>
    <text x="210" y="192">ψ(x)</text>
  </g>
</svg>
</Figure>

<Remark id="rem-capacity" title="ねじりのエネルギーと再帰性">
最近接相互作用 $J(z)=\mathbf{1}_{\{|z|=1\}}$ のとき、「原点で $1$、有限集合の外で $0$」となる $\psi$ にわたる $\mathcal{E}_J(\psi)$ の下限は、電気回路の言葉では原点から無限遠までの有効コンダクタンス（容量）で、これが $0$ であることはランダムウォークの再帰性と同値です（Nash-Williams の判定など）。本章では、必要な向きを両方とも直接示します：$d=2$ では <Ref to="lem-twist-energy" /> が $0$ への収束を与え、$d\ge3$ では <Ref to="exr-energy-lower-3d" /> で、下限が $2d/G_d>0$ 以上であることを Fourier 変換で示します。
</Remark>

## 3. 量子版：Bogoliubov 不等式と Heisenberg 模型

### 3.1. Bogoliubov 不等式

$\mathcal{K}$ を有限次元 [Hilbert 空間](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-hilbert-space)、$H$ をその上の自己共役作用素、$\beta>0$ とし、Gibbs 状態を $\omega(X)=\mathrm{tr}(e^{-\beta H}X)/\mathrm{tr}\,e^{-\beta H}$ とします。

次の不等式は、磁化のような量 $\omega([A^*,C])$ を、ハミルトニアンとの交換子を 2 回とった量（二重交換子）で上から押さえるものです。証明の本質は (ii) の「対数平均は算術平均以下」という 1 点で、(i) と (iii) は固有基底での式変形です。固有基底で重みつきの内積を作るのは、(i) の恒等式がちょうど成り立つように重みを選ぶためです。

<Lemma id="lem-bogoliubov" title="Bogoliubov 不等式">
すべての作用素 $A,C$ について $\omega([C^*,[H,C]])\ge0$ であり、
$$
\bigl|\omega([A^*,C])\bigr|^2\le\frac\beta2\,\omega(A^*A+AA^*)\;\omega\bigl([C^*,[H,C]]\bigr).
$$
</Lemma>

同じ主張は作用素環のテーマの <Ref to="mathematics/operator-algebras/linear-response-kubo#thm-bogoliubov" /> で Duhamel 2 点関数を使って証明されています。ここでは固有基底での短い証明を書きます。

<Proof of="lem-bogoliubov">
$H$ の正規直交固有基底 $(e_n)$、固有値 $E_n$ をとり、$p_n=e^{-\beta E_n}/Z>0$、作用素 $X$ の行列要素を $X_{mn}=\langle e_m,Xe_n\rangle$ とします。正の重み
$$
w_{mn}=\begin{cases}\dfrac{p_n-p_m}{\log p_n-\log p_m}&(p_m\ne p_n)\\[6pt]p_n&(p_m=p_n)\end{cases}
$$
で $(A,B)=\sum_{m,n}w_{mn}\overline{A_{mn}}B_{mn}$ と定めると、これは半正定値なエルミート形式なので Cauchy–Schwarz の不等式 $|(A,B)|^2\le(A,A)(B,B)$ が成り立ちます。

**(i) 恒等式 $\beta(A,[H,C])=\omega([A^*,C])$.** $[H,C]_{mn}=(E_m-E_n)C_{mn}$ で、$\log p_n-\log p_m=\beta(E_m-E_n)$ だから $\beta w_{mn}(E_m-E_n)=p_n-p_m$（$E_m=E_n$ でも両辺 $0$）。一方 $(A^*C)_{nn}=\sum_m\overline{A_{mn}}C_{mn}$、$(CA^*)_{mm}=\sum_nC_{mn}\overline{A_{mn}}$ なので
$$
\omega([A^*,C])=\sum_{m,n}(p_n-p_m)\overline{A_{mn}}C_{mn}=\beta\sum_{m,n}w_{mn}(E_m-E_n)\overline{A_{mn}}C_{mn}=\beta(A,[H,C]).
$$

**(ii) $(A,A)\le\frac12\omega(A^*A+AA^*)$.** 正の数 $a\ne b$ について $\frac{a-b}{\log a-\log b}\le\frac{a+b}2$（対数平均 $\le$ 算術平均）です。実際 $a>b$、$x=\log(a/b)>0$ とおくと、これは $\frac{e^x-1}{e^x+1}\le\frac x2$、すなわち $\tanh(x/2)\le x/2$ で、$\tanh'=1-\tanh^2\le1$ から従います。よって $w_{mn}\le(p_m+p_n)/2$ で、$\sum_{m,n}p_n|A_{mn}|^2=\omega(A^*A)$、$\sum_{m,n}p_m|A_{mn}|^2=\omega(AA^*)$ から主張が出ます。

**(iii) 結論.** (i) を $A$ の代わりに $[H,C]$ に使うと、$[H,C]^*=[C^*,H]$ より $\beta([H,C],[H,C])=\omega([[C^*,H],C])$。Jacobi 恒等式 $[C^*,[H,C]]=[[C^*,H],C]+[H,[C^*,C]]$ と、$\omega([H,X])=\mathrm{tr}([e^{-\beta H},H]X)/Z=0$ から、これは $\omega([C^*,[H,C]])$ に等しく、$\ge0$ です。最後に (i)、Cauchy–Schwarz、(ii) を順に使うと
$$
|\omega([A^*,C])|^2=\beta^2|(A,[H,C])|^2\le\beta(A,A)\cdot\beta([H,C],[H,C])\le\frac\beta2\,\omega(A^*A+AA^*)\,\omega([C^*,[H,C]]).
$$
</Proof>

この不等式の使い方は「左辺に秩序変数、右辺の二重交換子に小さな量」を置くことです。$C$ を長波長の回転の生成子に取ると、二重交換子はスピン波のエネルギー $|k|^2$ 程度になり、左辺の磁化を押さえます。

### 3.2. 模型と主定理

<Definition id="def-heisenberg" title="2 次元トーラス上の量子 Heisenberg 模型">
$s\in\{\frac12,1,\frac32,\dots\}$ とし、$\mathbb{C}^{2s+1}$ 上のスピン $s$ の作用素 $S^1,S^2,S^3$（$[S^a,S^b]=i\varepsilon_{abc}S^c$、$\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{S}=s(s+1)$、$\|S^a\|=s$）を固定し、$S^\pm=S^1\pm iS^2$ とする。相互作用 $J$ は §2 の条件（対称・$J(0)=0$・レンジ $R$）を $d=2$ で満たし、$J\not\equiv0$ とし、$j_2=\sum_z|J(z)||z|^2$ とおく。$L>2R$ について $\Lambda=\Lambda_L=(\mathbb{Z}/L\mathbb{Z})^2$、$\mathcal{K}_\Lambda=\bigotimes_{x\in\Lambda}\mathbb{C}^{2s+1}$、$S^a_x$ を $x$ 番目の因子に働く $S^a$ とし、外場 $h\in\mathbb{R}$ のもとでのハミルトニアンを
$$
H_\Lambda(h)=-\frac12\sum_{x\in\Lambda}\sum_{z}J(z)\,\boldsymbol{S}_x\cdot\boldsymbol{S}_{x+z}-h\sum_{x\in\Lambda}S^3_x
$$
とする（$x+z$ は $\bmod L$ で考える。$L>2R$ なので、レンジ内の異なる $z$ は異なる点を与える）。$\omega_{L,\beta,h}$ をその Gibbs 状態とし、1 サイトあたりの磁化を $m_L(\beta,h)=|\Lambda|^{-1}\sum_x\omega_{L,\beta,h}(S^3_x)$ とおく。**自発磁化**を $m_{\mathrm{sp}}(\beta)=\lim_{h\downarrow0}\limsup_{L\to\infty}|m_L(\beta,h)|$ と定める（極限の存在も主張に含める）。
</Definition>

$J(z)\ge0$ なら強磁性、$J\le0$ なら反強磁性ですが、以下の議論は $J$ の符号を使いません。

Fourier 成分を $S^\pm_k=\sum_{x\in\Lambda}e^{-ik\cdot x}S^\pm_x$（$k\in\mathcal{B}_L$）とおきます。$(S^+_k)^*=S^-_{-k}$ です。

次の補題は、Bogoliubov 不等式に現れる二重交換子 $[C^*,[H,C]]$ を実際に計算するものです。大事なのは 2 点だけです。(1) $[C^*,C]$ が全磁化 $-2S^3_\Lambda$ になるので、左辺に磁化が出てくること。(2) 二重交換子に $1-\cos(k\cdot z)$ の因子が付くので、$k$ が小さいときに小さな量になること。2 の長い計算は、1 本の結合ごとに交換子をとって足し合わせるだけの機械的な作業です。

<Lemma id="lem-double-commutator" title="二重交換子の計算">
$C=S^+_k$、$D(k)=[C^*,[H_\Lambda(h),C]]$、$S^3_\Lambda=\sum_xS^3_x$ とおくと、

1. $[C^*,C]=-2S^3_\Lambda$、
2. $\displaystyle D(k)+D(-k)=\sum_{x\in\Lambda}\sum_zJ(z)\bigl(1-\cos(k\cdot z)\bigr)\bigl(4S^3_xS^3_{x+z}+2S^1_xS^1_{x+z}+2S^2_xS^2_{x+z}\bigr)+4hS^3_\Lambda$、
3. $\displaystyle\sum_{k\in\mathcal{B}_L}\bigl(C^*C+CC^*\bigr)=2|\Lambda|\sum_{x\in\Lambda}\bigl(s(s+1)-(S^3_x)^2\bigr)$。
</Lemma>

<Proof of="lem-double-commutator">
1 サイトの関係 $[S^3,S^\pm]=\pm S^\pm$、$[S^+,S^-]=2S^3$ と、異なるサイトの作用素が可換であることだけを使います。

**1.** $[S^-_{-k},S^+_k]=\sum_{x,y}e^{ik\cdot y}e^{-ik\cdot x}[S^-_y,S^+_x]=\sum_x(-2S^3_x)$。

**2.** Zeeman 項：$[-hS^3_\Lambda,S^+_k]=-hS^+_k$ なので、1 より $[C^*,-hS^+_k]=2hS^3_\Lambda$。$D(\pm k)$ で合わせて $4hS^3_\Lambda$。

交換項：1 本の結合 $\boldsymbol{S}_x\cdot\boldsymbol{S}_y=S^3_xS^3_y+\frac12(S^+_xS^-_y+S^-_xS^+_y)$（$x\ne y$）について、$[S^3_x,S^+_x]=S^+_x$、$[S^-_x,S^+_x]=-2S^3_x$ から $[\boldsymbol{S}_x\cdot\boldsymbol{S}_y,S^+_x]=S^+_xS^3_y-S^3_xS^+_y=:X_{xy}$、同様に $[\boldsymbol{S}_x\cdot\boldsymbol{S}_y,S^+_y]=-X_{xy}$。よって
$$
[\boldsymbol{S}_x\cdot\boldsymbol{S}_y,S^+_k]=(e^{-ik\cdot x}-e^{-ik\cdot y})X_{xy}.
$$
次に $[S^-_x,X_{xy}]=-2S^3_xS^3_y-S^-_xS^+_y$、$[S^-_y,X_{xy}]=2S^3_xS^3_y+S^+_xS^-_y$ なので、$r=x-y$ として
$$
\begin{aligned}
[S^-_{-k},[\boldsymbol{S}_x\cdot\boldsymbol{S}_y,S^+_k]]
&=(1-e^{ik\cdot r})(-2S^3_xS^3_y-S^-_xS^+_y)+(e^{-ik\cdot r}-1)(2S^3_xS^3_y+S^+_xS^-_y)\\
&=-4(1-\cos k\cdot r)S^3_xS^3_y-(1-e^{ik\cdot r})S^-_xS^+_y-(1-e^{-ik\cdot r})S^+_xS^-_y.
\end{aligned}
$$
$k$ を $-k$ に替えて足すと、$e^{\pm ik\cdot r}$ の虚部が消えて
$$
-8(1-\cos k\cdot r)S^3_xS^3_y-2(1-\cos k\cdot r)(S^-_xS^+_y+S^+_xS^-_y),
$$
ここで $S^-_xS^+_y+S^+_xS^-_y=2(S^1_xS^1_y+S^2_xS^2_y)$。交換項 $-\frac12\sum_x\sum_zJ(z)\boldsymbol{S}_x\cdot\boldsymbol{S}_{x+z}$ では各結合 $\{x,y\}$ が係数 $-J(x-y)$ で 1 回ずつ現れ（$z$ と $-z$ の 2 回を $\frac12$ で割る）、$\cos$ は偶関数なので、合計は $\sum_x\sum_z\frac12J(z)(1-\cos k\cdot z)(8S^3_xS^3_{x+z}+4S^1_xS^1_{x+z}+4S^2_xS^2_{x+z})$ となり、主張の形です。

**3.** $\sum_{k\in\mathcal{B}_L}e^{ik\cdot(x-y)}=|\Lambda|\delta_{xy}$（有限群の指標の直交性）から $\sum_kS^-_{-k}S^+_k=|\Lambda|\sum_xS^-_xS^+_x$、$\sum_kS^+_kS^-_{-k}=|\Lambda|\sum_xS^+_xS^-_x$。1 サイトで $S^+S^-+S^-S^+=2((S^1)^2+(S^2)^2)=2(s(s+1)-(S^3)^2)$。
</Proof>

<Theorem id="thm-quantum-mw" title="Mermin–Wagner の定理（量子 Heisenberg 模型）">
<Ref to="def-heisenberg" /> の設定で、すべての $\beta>0$、$h\ne0$、$L>2R$ について
$$
m_L(\beta,h)^2\,\log\Bigl(1+\frac{\pi^2s^2j_2}{2s|h|+8\pi^2s^2j_2/L^2}\Bigr)\le8\pi\beta\,s^3(s+1)\,j_2 .
$$
とくに
$$
\limsup_{L\to\infty}|m_L(\beta,h)|\le\Bigl(\frac{8\pi\beta\,s^3(s+1)\,j_2}{\log\bigl(1+\pi^2sj_2/(2|h|)\bigr)}\Bigr)^{1/2}\xrightarrow[h\to0]{}0
$$
であり、すべての $\beta>0$ で自発磁化 $m_{\mathrm{sp}}(\beta)$ は存在して $0$ に等しい。
</Theorem>

<Proof of="thm-quantum-mw">
$\omega=\omega_{L,\beta,h}$、$m=m_L(\beta,h)$ と書きます。$m=0$ なら示すことはないので $m\ne0$ とします。$S^3_x$ は自己共役なので $m$ は実数で、$\|S^3_x\|=s$ より $|m|\le s$。

**二重交換子の上界.** <Ref to="lem-bogoliubov" /> により $\omega(D(k))\ge0$ と $\omega(D(-k))\ge0$ が成り立つので $\omega(D(k))\le\omega(D(k)+D(-k))$。<Ref to="lem-double-commutator" /> の 2 で、$|\omega(S^a_xS^b_y)|\le\|S^a\|\|S^b\|=s^2$ から括弧内の期待値は絶対値 $8s^2$ 以下、<Ref to="lem-cos-bounds" /> から $1-\cos(k\cdot z)\le|k|^2|z|^2/2$ なので
$$
\omega(D(k))\le|\Lambda|\cdot8s^2\cdot\frac{|k|^2}{2}\sum_z|J(z)||z|^2+4|h||\Lambda||m|=4|\Lambda|\bigl(s^2j_2|k|^2+|h||m|\bigr)=:|\Lambda|\,c_k .
$$
$h\ne0$、$m\ne0$ なので $c_k>0$ です。

**Bogoliubov 不等式の適用.** $A=C=S^+_k$ とおくと、<Ref to="lem-double-commutator" /> の 1 から $\omega([A^*,C])=-2|\Lambda|m$。$a_k=\omega(A^*A+AA^*)\ge0$ とおけば、<Ref to="lem-bogoliubov" /> から
$$
4|\Lambda|^2m^2\le\frac\beta2\,a_k\,|\Lambda|c_k,\qquad\text{すなわち}\qquad a_k\ge\frac{8|\Lambda|m^2}{\beta c_k}.
$$
$k\in\mathcal{B}_L$ について和を取り、<Ref to="lem-double-commutator" /> の 3 から $\sum_ka_k\le2s(s+1)|\Lambda|^2$ を使うと
$$
\frac{8|\Lambda|m^2}{\beta}\sum_k\frac{1}{c_k}\le2s(s+1)|\Lambda|^2,\qquad\text{すなわち}\qquad m^2\cdot\frac{1}{|\Lambda|}\sum_{k\in\mathcal{B}_L}\frac{1}{s^2j_2|k|^2+|h||m|}\le\beta s(s+1).
$$

**対数発散.** <Ref to="lem-lattice-sum" /> を $c=s^2j_2$、$a=|h||m|\le s|h|$ で使うと（右辺は $a$ について減少）、
$$
m^2\cdot\frac{1}{8\pi s^2j_2}\log\Bigl(1+\frac{\pi^2s^2j_2}{2s|h|+8\pi^2s^2j_2/L^2}\Bigr)\le\beta s(s+1),
$$
これが第 1 の主張です。$L\to\infty$ で $\log$ の中は $1+\pi^2sj_2/(2|h|)$ に近づくので第 2 の主張が従い、右辺は $h\to0$ で $0$ に近づきます。よって $\limsup_L|m_L(\beta,h)|$ は $h\downarrow0$ で $0$ に収束し、$m_{\mathrm{sp}}(\beta)=0$。
</Proof>

<Example id="ex-quantum-scale" title="評価の大きさ">
$s=\frac12$、最近接の強磁性（$J(z)=J>0$ を $|z|=1$ の 4 点で、$j_2=4J$）とします。<Ref to="thm-quantum-mw" /> は $\limsup_L|m_L|^2\le 8\pi\beta\cdot\frac18\cdot\frac32\cdot4J/\log(1+\pi^2J/|h|)=6\pi\beta J/\log(1+\pi^2J/|h|)$ を与えます。たとえば $\beta J=1$ でも、$|m|\le\frac12$ という自明な評価より良くなるのは $\log(1+\pi^2J/|h|)>24\pi$、すなわち $|h|/J<\pi^2/(e^{24\pi}-1)\approx e^{-73}$ のときです。自発磁化が $0$ であるという結論は定性的には強いのですが、外場への依存は $1/\sqrt{\log(1/|h|)}$ と非常に弱く、有限の試料では 2 次元磁性体でも磁化が観測されうることと矛盾しません。
</Example>

<Remark id="rem-quantum-variants" title="量子版の変形と限界">
(a) **反強磁性**：$J\le0$ で 2 部格子のとき、外場を交替外場 $-h\sum_x(-1)^{x_1+x_2}S^3_x$ に替え、$C=S^+_{k+(\pi,\pi)}$ を使うと、同じ計算で交替磁化が $0$ であることが示せます。(b) **1 次元**：同じ和は $\frac1L\sum_k(c k^2+a)^{-1}\approx\frac{1}{2\sqrt{ca}}$ で、$a=|h||m|$ を代入すると $|m|^{3/2}\lesssim\beta|h|^{1/2}$、すなわち $|m|\lesssim\beta^{2/3}|h|^{1/3}$ と、より速く $0$ になります。(c) **3 次元以上**：$\frac1{|\Lambda|}\sum_k(c|k|^2+a)^{-1}$ は $a\to0$ でも有界（<Ref to="prop-polya" /> の積分）なので何も言えません。実際、量子反強磁性については $d\ge3$ で低温の長距離秩序が反射正値性から示されています（Dyson–Lieb–Simon 1978、スピン $s\ge1$）。量子 Heisenberg **強磁性**の 3 次元での自発磁化は、物理的には確実視されながら数学的には未解決です。(d) ここで扱ったのは有限体積の Gibbs 状態の磁化の極限です。無限体積の平衡状態（KMS 状態）がすべて回転不変であるという、§4 の古典版に対応する量子系の主張は、本章では扱いません。
</Remark>

## 4. 古典版：O(N) 模型の Gibbs 測度の回転不変性

### 4.1. 模型

<Definition id="def-on-model" title="O(N) 模型と Gibbs 測度">
$d\ge1$、$N\ge2$ とし、$S^{N-1}\subset\mathbb{R}^N$ を単位球面、$\rho$ をその上の正規化された一様測度（$\mathrm{SO}(N)$ 不変）とする。配位空間 $\Omega=(S^{N-1})^{\mathbb{Z}^d}$ に直積位相と直積 σ-加法族 $\mathcal{F}$ を入れ、$A\subset\mathbb{Z}^d$ について $\mathcal{F}_A$ を座標 $\sigma_x$（$x\in A$）が生成する σ-加法族とする。相互作用 $J$ は §2 の条件（対称・$J(0)=0$・レンジ $R$）を満たすとし、有限集合 $\Lambda\subset\mathbb{Z}^d$ について
$$
H_\Lambda(\sigma)=-\sum_{\{x,y\}\cap\Lambda\ne\emptyset}J(x-y)\,\sigma_x\cdot\sigma_y,
$$
$$
\gamma_\Lambda(f\mid\omega)=\frac{1}{Z^\omega_\Lambda}\int_{(S^{N-1})^\Lambda}f(\xi\omega_{\Lambda^c})\,e^{-\beta H_\Lambda(\xi\omega_{\Lambda^c})}\,\rho^{\otimes\Lambda}(d\xi)
$$
とおく（$\beta\ge0$、$Z^\omega_\Lambda$ は $f=1$ で $1$ になる正規化定数、$\xi\omega_{\Lambda^c}$ は $\Lambda$ 上で $\xi$、外で $\omega$ に等しい配位）。確率測度 $\mu$ がすべての有限集合 $\Lambda$ で $\mu\gamma_\Lambda=\mu$、すなわち有界可測な $f$ について $\int\gamma_\Lambda(f\mid\omega)\,\mu(d\omega)=\mu(f)$ を満たすとき、$\mu$ を **Gibbs 測度**といい、その全体を $\mathcal{G}_\beta(J)$ と書く。
</Definition>

これは [第 2 章](/mathematics/gibbs-measures/dlr-gibbs-measures) の <Ref to="mathematics/gibbs-measures/dlr-gibbs-measures#def-gibbs-measure" /> で、有限集合 $S$ 上の和を $\rho$ についての積分に替えたものです。$f$ が可測なら $\omega\mapsto\gamma_\Lambda(f\mid\omega)$ が $\mathcal{F}_{\Lambda^c}$-可測であることは Fubini の定理から従います。

$R\in\mathrm{SO}(N)$ は配位に $(R\sigma)_x=R\sigma_x$ で働きます。確率測度 $\mu$ が **$\mathrm{SO}(N)$ 不変**であるとは、すべての $R\in\mathrm{SO}(N)$ と有界可測な $f$ で $\mu(f\circ R)=\mu(f)$ となることです。$H_\Lambda$ も $\rho$ も回転で不変なので、$\mathcal{G}_\beta(J)$ は全体として回転で閉じています。問題は、その個々の元が不変かどうかです。

<Remark id="rem-existence" title="Gibbs 測度の存在">
$\mathcal{G}_\beta(J)$ は空ではありません。$H_\Lambda$ は有限個の連続関数の和なので $\gamma_\Lambda$ は連続関数を連続関数に写し（準局所性）、$\Omega$ はコンパクトです（<Ref to="lem-omega" />）。これらを使えば、<Ref to="mathematics/gibbs-measures/dlr-gibbs-measures#thm-existence" /> の証明が有限集合 $S$ を $S^{N-1}$ に替えてそのまま通り、任意の境界条件の有限体積測度 $\gamma_{\Lambda_n}(\cdot\mid\omega)$ の弱収束極限点は Gibbs 測度です。以下の定理は「Gibbs 測度があれば必ず回転不変」という形なので、存在は使いません。
</Remark>

連続関数で $\mathcal{F}_A$-可測（$A$ は有限集合）なものを **連続局所関数**と呼び、その全体を $C_{\mathrm{loc}}$ と書きます。

次の補題は測度論の準備で、本筋（ねじって平均して最大値原理）は §4.2 から始まります。あとで使うのは (iii) の「連続局所関数での積分が一致すれば測度が一致する」という結論だけで、(i) と (ii) はそのための下準備です。

<Lemma id="lem-omega" title="配位空間の性質">
(i) $c_x=2^{-\|x\|}$ とおくと $d(\sigma,\eta)=\sum_xc_x|\sigma_x-\eta_x|$ は直積位相を定める距離で、$(\Omega,d)$ はコンパクト、そのボレル σ-加法族は $\mathcal{F}$ に等しい。

(ii) $C_{\mathrm{loc}}$ は $C(\Omega)$ で一様ノルムについて稠密である。

(iii) 確率測度 $\mu,\nu$ がすべての $f\in C_{\mathrm{loc}}$ で $\mu(f)=\nu(f)$ を満たせば $\mu=\nu$。
</Lemma>

<Proof of="lem-omega">
**(i)** $\|x\|=t$ の点は $(2t+1)^d$ 個以下なので $\sum_xc_x<\infty$ で、$|\sigma_x-\eta_x|\le2$ から $d$ は有限です。$d(\sigma^n,\sigma)\to0$ は各座標の収束と同値です（$\Rightarrow$ は $c_x>0$ から、$\Leftarrow$ は尾部 $\sum_{\|x\|>t}2c_x$ が小さいことと有限個の座標の収束から）。距離空間の位相も、可算個の距離空間の直積位相（第一可算）も点列の収束で決まり、直積位相での点列の収束は各座標の収束なので、両者は一致します。コンパクト性は、$(\sigma^n)$ から $\mathbb{Z}^d$ の点を 1 つずつ順に取って各座標が収束する部分列を選び（$S^{N-1}$ はコンパクト）、対角線の部分列をとれば得られます。各 $\sigma_x$ は連続なので $\mathcal{F}\subset$ ボレル集合族。逆に $\eta\mapsto d(\sigma,\eta)$ は $\mathcal{F}$-可測関数の級数なので開球は $\mathcal{F}$ に属し、$(\Omega,d)$ はコンパクト距離空間で可分なので、開集合は可算個の開球の和です。

**(ii)** $C_{\mathrm{loc}}$ は定数を含む部分環で、$\sigma\ne\eta$ ならある $x$、ある成分 $i$ で $\sigma^i_x\ne\eta^i_x$ なので、座標関数 $\sigma\mapsto\sigma^i_x\in C_{\mathrm{loc}}$ が 2 点を分離します。Stone–Weierstrass の定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/arzela-ascoli-stone-weierstrass#thm-stone-weierstrass-real" />）から稠密です。

**(iii)** (ii) から、任意の $f\in C(\Omega)$ に一様収束する $f_k\in C_{\mathrm{loc}}$ がとれ、$\mu(f)=\lim\mu(f_k)=\lim\nu(f_k)=\nu(f)$。とくに有界 Lipschitz 関数で積分が一致するので、<Ref to="mathematics/probability/weak-convergence#lem-lipschitz-determines" /> から $\mu=\nu$。
</Proof>

座標平面 $(e_i,e_j)$（$i\ne j$）内の角度 $t$ の回転を $R^{(ij)}_t$ と書きます（$e_i\mapsto\cos t\,e_i+\sin t\,e_j$、$e_j\mapsto-\sin t\,e_i+\cos t\,e_j$、ほかの基底は固定）。

<Lemma id="lem-givens" title="SO(N) は座標平面の回転で生成される">
任意の $A\in\mathrm{SO}(N)$ は、有限個の $R^{(ij)}_t$ の積である。
</Lemma>

<Proof of="lem-givens">
$N$ についての帰納法です。$N=1$ では $\mathrm{SO}(1)=\{1\}$ で空の積です。$N\ge2$ とし、$v=Ae_1$（単位ベクトル）とします。$j=2,\dots,N$ の順に、そのときのベクトルの第 $1$・第 $j$ 成分 $(a,b)$ を $(\sqrt{a^2+b^2},0)$ に写す回転 $R^{(1j)}_{t_j}$ を掛けます（ほかの成分は変わらず、すでに $0$ にした成分も $0$ のまま）。積を $G$ とすると $Gv$ は第 1 成分だけが非負で、長さ $1$ なので $Gv=e_1$。$B=GA\in\mathrm{SO}(N)$ は $Be_1=e_1$ を満たし、直交性から $e_1^\perp$ を自分自身に写し、その制限 $B'$ は $\det B'=\det B=1$ なので $\mathrm{SO}(N-1)$ の元です。帰納法の仮定で $B'$ は $e_2,\dots,e_N$ の座標平面の回転の積で、$A=G^{-1}B$、$G^{-1}$ は $R^{(1j)}_{-t_j}$ の積です。
</Proof>

### 4.2. ねじりの摂動の不等式

以下、2 次元の平面 $P\subset\mathbb{R}^N$ と、その正規直交基底 $u,v$ を固定し、$P$ 内の角度 $t$ の回転（$P^\perp$ は固定）を $R_t$ と書きます。$R_tR_s=R_{t+s}$、$R_t^{\mathsf T}=R_{-t}$ で、$P$ への直交射影を $\Pi$ とすると
$$
R_t+R_{-t}=2\cos t\,\Pi+2(I-\Pi).
$$

次の命題が古典版の核心です。ねじりを $+\theta$ と $-\theta$ の両方でかけて平均すると、エネルギーの変化のうち $\theta$ に比例する 1 次の部分は符号が逆になって打ち消され、$\theta^2\mathcal{E}_J(\psi)$ に比例する 2 次の部分だけが残ります。2 次元ではこの量が $0$ に近づけられる（<Ref to="lem-twist-energy" />）ので、ねじっても確率がほとんど変わらないことになります。

<Proposition id="prop-twist" title="ねじりの ±θ 平均の不等式">
<Ref to="def-on-model" /> の設定（任意の $d\ge1$）で、有限集合 $\Lambda$、関数 $\psi:\mathbb{Z}^d\to\mathbb{R}$ で $\Lambda$ の外では $\psi=0$ となるもの、$\{\psi=1\}$ に含まれる集合 $A$ をとる。$f\ge0$ を有界な $\mathcal{F}_A$-可測関数とすると、すべての $\omega\in\Omega$、$\theta\in\mathbb{R}$ について
$$
\gamma_\Lambda(f\circ R_\theta\mid\omega)+\gamma_\Lambda(f\circ R_{-\theta}\mid\omega)\ge2\,e^{-\beta\theta^2\mathcal{E}_J(\psi)/2}\,\gamma_\Lambda(f\mid\omega).
$$
</Proposition>

<Proof of="prop-twist">
**ねじり写像.** $(T_t\sigma)_x=R_{t\psi(x)}\sigma_x$ とおきます。$\Lambda$ の外で $\psi=0$ なので $T_t$ は $\omega_{\Lambda^c}$ を変えず、$A$ 上で $\psi=1$ なので $f\circ T_\theta=f\circ R_\theta$ です。$T_t$ の逆は $T_{-t}$ で、各点で $\rho$ を保つ回転を施すだけなので、Fubini の定理により $\xi\mapsto(T_t(\xi\omega_{\Lambda^c}))_\Lambda$ は $\rho^{\otimes\Lambda}$ を保ちます。

**変数変換.** $\eta=\xi\omega_{\Lambda^c}$ と書き、$\xi$ を $(T_{-\theta}\eta)_\Lambda$ に置き換えると
$$
Z^\omega_\Lambda\,\gamma_\Lambda(f\circ R_\theta\mid\omega)=\int f(T_\theta\eta)\,e^{-\beta H_\Lambda(\eta)}\,\rho^{\otimes\Lambda}(d\xi)=\int f(\eta)\,e^{-\beta H_\Lambda(T_{-\theta}\eta)}\,\rho^{\otimes\Lambda}(d\xi).
$$
同様に $Z^\omega_\Lambda\gamma_\Lambda(f\circ R_{-\theta}\mid\omega)=\int f(\eta)e^{-\beta H_\Lambda(T_\theta\eta)}\rho^{\otimes\Lambda}(d\xi)$。

**エネルギーの 2 次の評価.** 1 本の結合について、$(R_a\eta_x)\cdot(R_b\eta_y)=\eta_x\cdot R_{b-a}\eta_y$ なので、$\delta=\theta(\psi(y)-\psi(x))$ とおくと
$$
(T_\theta\eta)_x\cdot(T_\theta\eta)_y+(T_{-\theta}\eta)_x\cdot(T_{-\theta}\eta)_y-2\eta_x\cdot\eta_y=\eta_x\cdot(R_\delta+R_{-\delta}-2I)\eta_y=-2(1-\cos\delta)\,\Pi\eta_x\cdot\Pi\eta_y .
$$
$|\Pi\eta_x\cdot\Pi\eta_y|\le1$ と <Ref to="lem-cos-bounds" /> から、この絶対値は $\delta^2$ 以下です。$J(x-y)$ を掛けて結合について足すと
$$
H_\Lambda(T_\theta\eta)+H_\Lambda(T_{-\theta}\eta)-2H_\Lambda(\eta)\le\theta^2\sum_{\{x,y\}}|J(x-y)|(\psi(x)-\psi(y))^2=\theta^2\mathcal{E}_J(\psi).
$$

**凸性.** 相加相乗平均 $e^{p}+e^{q}\ge2e^{(p+q)/2}$ から
$$
e^{-\beta H_\Lambda(T_{-\theta}\eta)}+e^{-\beta H_\Lambda(T_\theta\eta)}\ge2\exp\Bigl(-\frac\beta2\bigl(H_\Lambda(T_\theta\eta)+H_\Lambda(T_{-\theta}\eta)\bigr)\Bigr)\ge2e^{-\beta H_\Lambda(\eta)}e^{-\beta\theta^2\mathcal{E}_J(\psi)/2}.
$$
両辺に $f(\eta)\ge0$ を掛けて積分し、$Z^\omega_\Lambda$ で割れば主張です。
</Proof>

ポイントは、$+\theta$ と $-\theta$ のねじりを**平均する**ことでエネルギーの 1 次の変化が打ち消され、2 次の $\theta^2\mathcal{E}_J(\psi)$ だけが残ることです。1 次の項は相互作用の微分を含み、評価には滑らかさが要りますが、平均をとればその必要がありません。

<Example id="ex-xy" title="XY 模型でのねじり">
$N=2$、$\sigma_x=(\cos\phi_x,\sin\phi_x)$、最近接 $J(z)=J\mathbf{1}_{\{|z|=1\}}$ とすると $\sigma_x\cdot\sigma_y=\cos(\phi_x-\phi_y)$ で、ねじり $T_{\pm\theta}$ は $\phi_x\mapsto\phi_x\pm\theta\psi(x)$ です。$a=\phi_x-\phi_y$、$\delta=\theta(\psi(x)-\psi(y))$ とおくと $\cos(a+\delta)+\cos(a-\delta)-2\cos a=-2\cos a\,(1-\cos\delta)$ で、<Ref to="prop-twist" /> の証明の 2 次評価がそのまま見えます。ねじり 1 回だけだと変化は $-\sin a\sin\delta$ を含み、これは $\delta$ の 1 次で、$\sin a$ の符号によって正にも負にもなります。
</Example>

<Corollary id="cor-finite-volume" title="有限体積の磁化の一様評価">
$N\ge2$ とし、<Ref to="prop-twist" /> の $\Lambda$、$\psi$ と $\psi(x_0)=1$ となる点 $x_0$ をとる。任意の単位ベクトル $u\in\mathbb{R}^N$ と境界条件 $\omega$ について
$$
\bigl|\gamma_\Lambda(u\cdot\sigma_{x_0}\mid\omega)\bigr|\le\tanh\Bigl(\frac{\beta\pi^2\mathcal{E}_J(\psi)}{4}\Bigr)\le\frac{\beta\pi^2\mathcal{E}_J(\psi)}{4}.
$$
とくに $d=2$、$n>2R$、$\Lambda_n=\{\|x\|<n\}$、$\lambda=\log(n/2R)$ とすると
$$
\sup_{\omega\in\Omega}\bigl|\gamma_{\Lambda_n}(u\cdot\sigma_0\mid\omega)\bigr|\le\frac{\beta\pi^2R^2\|J\|_1(15+8\lambda)}{2\lambda^2}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
$$
</Corollary>

<Proof of="cor-finite-volume">
$N\ge2$ なので $u$ に直交する単位ベクトル $v$ がとれ、$P=\mathrm{span}(u,v)$ とします。$R_\pi$ は $P$ 上で $-1$ 倍なので $u\cdot R_{\pm\pi}\sigma=(R_{\mp\pi}u)\cdot\sigma=-u\cdot\sigma$。$m=\gamma_\Lambda(u\cdot\sigma_{x_0}\mid\omega)$、$a=\beta\pi^2\mathcal{E}_J(\psi)/2$ とおき、<Ref to="prop-twist" /> を $A=\{x_0\}$、$\theta=\pi$、$f=1+u\cdot\sigma_{x_0}\ge0$ に使うと、$f\circ R_{\pm\pi}=1-u\cdot\sigma_{x_0}$ なので
$$
2(1-m)\ge2e^{-a}(1+m),\qquad\text{すなわち}\qquad m\le\frac{1-e^{-a}}{1+e^{-a}}=\tanh\frac a2 .
$$
$f=1-u\cdot\sigma_{x_0}$ で同じことをすると $-m\le\tanh(a/2)$。$\tanh t\le t$ で第 1 の主張です。$d=2$ の評価は、$\psi=\psi_{2R,n}$（<Ref to="lem-twist-energy" />、$r=2R$）が $\Lambda_n$ の外で $0$、原点で $1$ であることと、$\mathcal{E}_J(\psi_{2R,n})\le2R^2\|J\|_1(15+8\lambda)/\lambda^2$ から従います。
</Proof>

<Example id="ex-slow" title="収束の遅さ">
最近接の XY 模型（$R=1$、$\|J\|_1=4J$）で $\beta J=1$ とすると、<Ref to="cor-finite-volume" /> の右辺は $2\pi^2(15+8\lambda)/\lambda^2$ です。これが $1$ を下回るには $\lambda^2>2\pi^2(15+8\lambda)$、すなわち $\lambda\gtrsim160$、$n\gtrsim2e^{160}$ が必要です。評価の定数は最良ではありませんが、$1/\log n$ という減衰の形は本質的で、2 次元の連続スピン系では「有限の大きさの試料で見える磁化」が非常にゆっくりとしか消えません。
</Example>

### 4.3. 主定理

<Theorem id="thm-classical-mw" title="Mermin–Wagner の定理（古典 O(N) 模型）">
$d=2$、$N\ge2$ とし、$J$ を有限レンジの相互作用（符号は任意）、$\beta\ge0$ とする。このとき任意の $\mu\in\mathcal{G}_\beta(J)$ は $\mathrm{SO}(N)$ 不変である。とくにすべての $x\in\mathbb{Z}^2$ で $\mu(\sigma_x)=0$。
</Theorem>

<Proof of="thm-classical-mw">
**段階 1（1 つの座標平面の回転）.** 座標平面 $P=\mathrm{span}(e_i,e_j)$ を固定し、$R_t=R^{(ij)}_t$ とします。$f\in C_{\mathrm{loc}}$、$f\ge0$ が $\mathcal{F}_A$-可測で $A\subset\{\|x\|\le r\}$、$r\ge2R$ とし、$g(\alpha)=\mu(f\circ R_\alpha)$ とおきます。各 $\sigma$ で $\alpha\mapsto f(R_\alpha\sigma)$ は連続で $|f\circ R_\alpha|\le\|f\|_\infty$ なので、優収束定理から $g$ は連続で、周期 $2\pi$ を持ちます。

**段階 2（平均値の不等式）.** $\alpha,\theta\in\mathbb{R}$、$n>r$ とします。$f\circ R_\alpha$ も $\ge0$ で $\mathcal{F}_A$-可測なので、<Ref to="prop-twist" /> を $\Lambda=\Lambda_n$、$\psi=\psi_{r,n}$（<Ref to="lem-twist-energy" />、$A$ 上で $1$、$\Lambda_n$ の外で $0$）に使い、$R_\alpha R_{\pm\theta}=R_{\alpha\pm\theta}$ に注意すると
$$
\gamma_{\Lambda_n}(f\circ R_{\alpha+\theta}\mid\omega)+\gamma_{\Lambda_n}(f\circ R_{\alpha-\theta}\mid\omega)\ge2e^{-\beta\theta^2\mathcal{E}_n/2}\,\gamma_{\Lambda_n}(f\circ R_\alpha\mid\omega),\qquad\mathcal{E}_n=\mathcal{E}_J(\psi_{r,n}).
$$
$\omega$ について $\mu$ で積分し、DLR 方程式 $\mu\gamma_{\Lambda_n}=\mu$ を使うと $g(\alpha+\theta)+g(\alpha-\theta)\ge2e^{-\beta\theta^2\mathcal{E}_n/2}g(\alpha)$。<Ref to="lem-twist-energy" /> から $\mathcal{E}_n\to0$（$n\to\infty$）なので
$$
g(\alpha+\theta)+g(\alpha-\theta)\ge2g(\alpha)\qquad(\alpha,\theta\in\mathbb{R}).
$$

**段階 3（最大値原理）.** $g$ は連続な周期関数なので、ある $\alpha_0$ で最大値 $M$ をとります。段階 2 を $\alpha=\alpha_0$ で使うと $g(\alpha_0+\theta)+g(\alpha_0-\theta)\ge2M$、両項とも $M$ 以下なので $g(\alpha_0+\theta)=M$。$\theta$ は任意なので $g$ は定数で、$\mu(f\circ R_\theta)=g(\theta)=g(0)=\mu(f)$。

**段階 4（測度の等式へ）.** 一般の $f\in C_{\mathrm{loc}}$ は $f+\|f\|_\infty\ge0$ に段階 3 を使えば（定数は回転で不変）、$\mu(f\circ R_\theta)=\mu(f)$。$r\ge2R$ は $A$ を含むように大きくとればよいので制約になりません。像測度 $\mu\circ R_\theta^{-1}$ と $\mu$ は $C_{\mathrm{loc}}$ 上で一致するので、<Ref to="lem-omega" /> の (iii) から等しく、すべての有界可測な $f$ で $\mu(f\circ R_\theta)=\mu(f)$。

**段階 5（全回転群へ）.** 段階 4 はすべての座標平面で成り立つので、<Ref to="lem-givens" /> によりすべての $A\in\mathrm{SO}(N)$ で $\mu(f\circ A)=\mu(f)$。最後に $i$ を固定し $j\ne i$ をとる（$N\ge2$）と、$R^{(ij)}_\pi$ は $e_i$ を $-e_i$ に写すので $\mu(\sigma^i_x)=\mu(-\sigma^i_x)$、すなわち $\mu(\sigma^i_x)=0$。
</Proof>

段階 3 は、$g$ が「中点で下から押さえられる」（離散的な劣調和性）ことから最大値原理で定数を結論するもので、極値 Gibbs 測度への分解（<Ref to="mathematics/gibbs-measures/dlr-gibbs-measures#thm-extremal-tail" />）を使わずに済みます。また証明のどこでも $J$ の符号を使っていないので、反強磁性や、符号の入り混じった相互作用でも結論は同じです。

<Remark id="rem-higher-dim" title="3 次元以上と N = 1">
**3 次元以上.** <Ref to="prop-twist" /> 自体は任意の $d$ で成り立ちますが、$d\ge3$ ではねじりのエネルギー $\mathcal{E}_J(\psi)$ を $0$ に近づけることができません（<Ref to="exr-energy-lower-3d" />）。実際、$d\ge3$ の最近接強磁性 O($N$) 模型では低温で長距離秩序が生じ、連続対称性が自発的に破れます。これは反射正値性からの赤外評価による Fröhlich–Simon–Spencer（1976）の定理で、Rikai では <Ref to="physics/lattice-field-theory/phi4-triviality#cor-long-range-order" /> で扱われています。そこから回転不変でない Gibbs 測度が得られることは本章では証明しません。格子場の理論のテーマの <Ref to="physics/lattice-field-theory/phi4-triviality#thm-mermin-wagner" /> が扱う $\phi^4$ 型の非有界スピンへの拡張は、§4.4 で証明します。

**N = 1.** Ising 模型には連続な回転がないので、少しずつ回すねじりが作れません。$d=2$ の低温では Peierls の議論（<Ref to="mathematics/gibbs-measures/ising-peierls#thm-peierls" />）のとおり対称性が破れます。

**磁化が無くても相転移はある.** 2 次元の XY 模型では、自発磁化はすべての温度で $0$ ですが、高温では相関が指数的に減衰し、低温では冪的にしか減衰しないことが知られています（Berezinskii–Kosterlitz–Thouless 転移。低温側の冪減衰は Fröhlich–Spencer 1981 が証明）。本章ではこれを主張としてだけ述べます。
</Remark>

### 4.4. 非有界スピンへの拡張（$\phi^4$ 型）

格子場の理論では、スピンが球面ではなく $\mathbb{R}^N$ 全体に値をとり、大きさが 1 点測度の重み $e^{-\lambda(|\phi|^2-1)^2}$ で抑えられている模型（$\phi^4$ 型）を扱います。<Ref to="thm-classical-mw" /> の議論のうち、スピンが有界であることを使ったのは <Ref to="prop-twist" /> のエネルギーの 2 次評価 $|\Pi\eta_x\cdot\Pi\eta_y|\le1$ の 1 か所だけです。非有界スピンではこれが $|\eta_x||\eta_y|$ に替わり、ねじりのコストが配位に依存します。そのコストを Gibbs 測度の 2 次モーメントで平均して抑えるのが、拡張に必要な追加の評価です。

<Definition id="def-unbounded-on" title="非有界スピンの O(N) 模型">
$d\ge1$、$N\ge2$ とし、$\rho$ を $\mathbb{R}^N$ 上のボレル確率測度で、(a) $\mathrm{SO}(N)$ 不変（すべての $R\in\mathrm{SO}(N)$ とボレル集合 $B$ で $\rho(R^{-1}B)=\rho(B)$）、(b) すべての $c>0$ について $\int e^{c|\phi|^2}\rho(d\phi)<\infty$、を満たすものとする。配位空間 $\Omega_\rho=(\mathbb{R}^N)^{\mathbb{Z}^d}$ に直積位相と直積 σ-加法族 $\mathcal{F}$ を入れ、$\mathcal{F}_A$ を <Ref to="def-on-model" /> と同様に定める。相互作用 $J$ は §2 の条件を満たすとし、$H_\Lambda$、$\gamma_\Lambda$ を <Ref to="def-on-model" /> と同じ式で（$S^{N-1}$ 上の一様測度を $\rho$ に替えて）定める。すべての有限集合 $\Lambda$ で $\mu\gamma_\Lambda=\mu$ を満たす $\Omega_\rho$ 上の確率測度を Gibbs 測度と呼び、その全体を $\mathcal{G}_\beta(J,\rho)$ と書く。
</Definition>

<Example id="ex-phi4-single-site" title="球面と φ⁴ の 1 点測度">
(1) $\rho$ が単位球面上の一様測度（を $\mathbb{R}^N$ 上の測度とみたもの）なら (a)(b) は明らかで、DLR 方程式を $\Lambda=\{x\}$、$f=\mathbf{1}_{\{|\sigma_x|=1\}}$ に使うと $\mu(|\sigma_x|=1)=1$ なので、<Ref to="def-on-model" /> の模型に戻ります。(2) $a\in\mathbb{R}$、$\lambda>0$ について $\rho(d\phi)=z^{-1}e^{-a|\phi|^2-\lambda(|\phi|^2-1)^2}d\phi$（$z$ は正規化定数）は $|\phi|$ だけの関数を密度に持つので (a) を満たし、$c|\phi|^2-a|\phi|^2-\lambda(|\phi|^2-1)^2\le C_c-\frac\lambda2|\phi|^4$（$C_c$ は定数）から (b) も満たします。(3) Gauss 測度（$\lambda=0$）は (b) を満たしません。(b) はすべての $\beta$ と境界条件で正規化定数を有限にするための仮定で、強磁性の Gauss 模型では実際に低温で $Z=\infty$ になりえます。
</Example>

<Lemma id="lem-unbounded-spec" title="非有界スピンの仕様">
<Ref to="def-unbounded-on" /> の設定で、有限集合 $\Lambda$、$\omega\in\Omega_\rho$、$\beta\ge0$ について次が成り立つ。

1. $0<Z^\omega_\Lambda<\infty$。さらに $K_\Lambda(\omega)=\frac12\sum_{x\in\Lambda}\sum_{y\notin\Lambda}|J(x-y)||\omega_y|^2$ とおくと、$x\in\Lambda$ について $\gamma_\Lambda(|\sigma_x|^2\mid\omega)<\infty$。
2. 有界可測な $f$ について $\omega\mapsto\gamma_\Lambda(f\mid\omega)$ は $\mathcal{F}_{\Lambda^c}$-可測で、$\gamma_\Lambda(\cdot\mid\omega)$ は確率測度である。
3. $\mu\in\mathcal{G}_\beta(J,\rho)$、$F\ge0$ が可測なら $\int\gamma_\Lambda(F\mid\omega)\,\mu(d\omega)=\mu(F)$（両辺 $+\infty$ も許す）。
</Lemma>

<Proof of="lem-unbounded-spec">
**1.** $\eta=\xi\omega_{\Lambda^c}$ と書きます。$\Lambda$ と交わる結合 $\{x,y\}$ は少なくとも一方の端点が $\Lambda$ にあるので、$|\eta_x||\eta_y|\le\frac12(|\eta_x|^2+|\eta_y|^2)$ を使い、各結合を $\Lambda$ 側の端点から数えると（両端が $\Lambda$ にある結合は 2 回数えて上から押さえる）
$$
-H_\Lambda(\eta)\le\sum_{\{x,y\}\cap\Lambda\ne\emptyset}|J(x-y)||\eta_x||\eta_y|\le\frac12\sum_{x\in\Lambda}\sum_y|J(x-y)|\bigl(|\eta_x|^2+|\eta_y|^2\bigr)\le\|J\|_1\sum_{x\in\Lambda}|\xi_x|^2+K_\Lambda(\omega).
$$
$J$ は有限レンジなので $K_\Lambda(\omega)$ は有限和です。よって $\beta\ge0$ で
$$
Z^\omega_\Lambda\le e^{\beta K_\Lambda(\omega)}\Bigl(\int e^{\beta\|J\|_1|\phi|^2}\rho(d\phi)\Bigr)^{|\Lambda|}<\infty
$$
（(b) と Fubini の定理）。被積分関数は正なので $Z^\omega_\Lambda>0$。同様に $|\xi_x|^2\le e^{|\xi_x|^2}$ と (b) から $\int|\xi_x|^2e^{-\beta H_\Lambda}d\rho^{\otimes\Lambda}<\infty$ です。

**2.** $(\xi,\omega)\mapsto f(\xi\omega_{\Lambda^c})e^{-\beta H_\Lambda(\xi\omega_{\Lambda^c})}$ は可測で $\omega$ については $\omega_{\Lambda^c}$ だけによるので、Fubini（Tonelli）の定理から分子・分母とも $\mathcal{F}_{\Lambda^c}$-可測です。確率測度であることは単調収束定理と $f=1$ のときの正規化から従います。

**3.** $F_K=\min(F,K)$ は有界なので DLR 方程式が使えます。$K\to\infty$ で $F_K\uparrow F$ なので、各 $\omega$ で $\gamma_\Lambda(F_K\mid\omega)\uparrow\gamma_\Lambda(F\mid\omega)$、それを $\mu$ で積分したものも単調収束定理で収束し、右辺の $\mu(F_K)\uparrow\mu(F)$ と一致します。
</Proof>

有界連続で $\mathcal{F}_A$-可測（$A$ は有限集合）な関数の全体を $C_{b,\mathrm{loc}}$ と書きます。$\Omega_\rho$ はコンパクトではないので、<Ref to="lem-omega" /> の (iii) の代わりに次を使います。

<Lemma id="lem-cylinder-determines" title="有界連続な局所関数は測度を決める">
$\Omega_\rho$ 上の確率測度 $\mu,\nu$ がすべての $f\in C_{b,\mathrm{loc}}$ で $\mu(f)=\nu(f)$ を満たせば $\mu=\nu$。
</Lemma>

<Proof of="lem-cylinder-determines">
有限集合 $A$ について射影 $\pi_A:\Omega_\rho\to(\mathbb{R}^N)^A$ は連続で、$(\mathbb{R}^N)^A=\mathbb{R}^{N|A|}$ は距離空間です。$(\mathbb{R}^N)^A$ 上の有界 Lipschitz 関数 $F$ について $F\circ\pi_A\in C_{b,\mathrm{loc}}$ なので、像測度 $\mu\circ\pi_A^{-1}$ と $\nu\circ\pi_A^{-1}$ は有界 Lipschitz 関数の積分が一致し、<Ref to="mathematics/probability/weak-convergence#lem-lipschitz-determines" /> から等しくなります。筒集合 $\pi_A^{-1}(B)$（$A$ 有限、$B$ はボレル集合）の全体は、2 つの交わりが $A\cup A'$ 上の筒集合になるので π-系で、$\Omega_\rho$ を含み、$\mathcal{F}$ を生成します。その上で $\mu=\nu$ なので、<Ref to="mathematics/real-analysis/abstract-measures#thm-uniqueness-measures" /> により $\mu=\nu$。
</Proof>

球面の場合との違いは 1 点だけです。スピンの長さが $1$ とは限らないので、1 本の結合のねじりのコストが $|\sigma_x||\sigma_y|$ 倍になります。これを $|\sigma_x|^2+|\sigma_y|^2$ で押さえて足し合わせたものが次の $W_\psi$ で、球面の $\mathcal{E}_J(\psi)$ に当たる量です。

<Proposition id="prop-twist-unbounded" title="非有界スピンのねじりの不等式">
<Ref to="def-unbounded-on" /> の設定（任意の $d\ge1$）で、§4.2 の平面 $P$ と回転 $R_t$、有限集合 $\Lambda$、$\Lambda$ の外で $0$ となる $\psi:\mathbb{Z}^d\to\mathbb{R}$、$\{\psi=1\}$ に含まれる集合 $A$、有界な $\mathcal{F}_A$-可測関数 $f\ge0$ をとり、
$$
W_\psi(\sigma)=\frac12\sum_{\{x,y\}}|J(x-y)|\bigl(\psi(x)-\psi(y)\bigr)^2\bigl(|\sigma_x|^2+|\sigma_y|^2\bigr)
$$
とおく（$\psi(x)\ne\psi(y)$ となる結合は有限個なので有限和）。このとき、すべての $\omega\in\Omega_\rho$、$\theta\in\mathbb{R}$ について
$$
\gamma_\Lambda(f\circ R_\theta\mid\omega)+\gamma_\Lambda(f\circ R_{-\theta}\mid\omega)\ge2\gamma_\Lambda(f\mid\omega)-\beta\theta^2\|f\|_\infty\,\gamma_\Lambda(W_\psi\mid\omega),
$$
右辺の $\gamma_\Lambda(W_\psi\mid\omega)$ は有限である。
</Proposition>

<Proof of="prop-twist-unbounded">
<Ref to="prop-twist" /> の証明をなぞります。ねじり写像 $T_t$ は、各点で $\rho$ を保つ回転（(a)）を施すだけなので $\rho^{\otimes\Lambda}$ を保ち、変数変換の式
$$
Z^\omega_\Lambda\bigl(\gamma_\Lambda(f\circ R_\theta\mid\omega)+\gamma_\Lambda(f\circ R_{-\theta}\mid\omega)\bigr)=\int f(\eta)\bigl(e^{-\beta H_\Lambda(T_{-\theta}\eta)}+e^{-\beta H_\Lambda(T_\theta\eta)}\bigr)\rho^{\otimes\Lambda}(d\xi)
$$
はそのまま成り立ちます。1 本の結合の変化は $-2(1-\cos\delta)\Pi\eta_x\cdot\Pi\eta_y$ で、今度は $|\Pi\eta_x\cdot\Pi\eta_y|\le|\eta_x||\eta_y|\le\frac12(|\eta_x|^2+|\eta_y|^2)$ なので、<Ref to="lem-cos-bounds" /> と合わせて
$$
H_\Lambda(T_\theta\eta)+H_\Lambda(T_{-\theta}\eta)-2H_\Lambda(\eta)\le\theta^2\sum_{\{x,y\}}|J(x-y)|(\psi(x)-\psi(y))^2|\eta_x||\eta_y|\le\theta^2W_\psi(\eta).
$$
相加相乗平均と、$u\ge0$ での $e^{-u}\ge1-u$ から
$$
e^{-\beta H_\Lambda(T_{-\theta}\eta)}+e^{-\beta H_\Lambda(T_\theta\eta)}\ge2e^{-\beta H_\Lambda(\eta)}e^{-\beta\theta^2W_\psi(\eta)/2}\ge e^{-\beta H_\Lambda(\eta)}\bigl(2-\beta\theta^2W_\psi(\eta)\bigr).
$$
$f(\eta)\ge0$ を掛けて積分し、$Z^\omega_\Lambda$ で割ると $\gamma_\Lambda(fW_\psi\mid\omega)\le\|f\|_\infty\gamma_\Lambda(W_\psi\mid\omega)$ から主張が出ます。有限性：$W_\psi$ は有限個の $|\sigma_x|^2$ の非負係数の和で、$x\in\Lambda$ の項は <Ref to="lem-unbounded-spec" /> の 1 により $\gamma_\Lambda$ で有限、$x\notin\Lambda$ の項は定数 $|\omega_x|^2$ です。
</Proof>

2 次元のねじりは <Ref to="lem-twist-energy" /> をそのまま使えます。1 次元では対数でなく線形のねじりで足ります。

<Lemma id="lem-twist-1d" title="1 次元の線形ねじり">
$d=1$ とし、整数 $r\ge0$、$n>r$ について $\psi_{r,n}(x)=h(|x|)$、$h(t)=1$（$t\le r$）、$h(t)=(n-t)/(n-r)$（$r\le t\le n$）、$h(t)=0$（$t\ge n$）とおく。このとき $\psi_{r,n}$ は $\{|x|\le r\}$ で $1$、$\{|x|\ge n\}$ で $0$ で、
$$
\mathcal{E}_J(\psi_{r,n})\le\frac{R^2\|J\|_1(n+R)}{(n-r)^2}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
$$
</Lemma>

<Proof of="lem-twist-1d">
$h$ は Lipschitz 定数 $1/(n-r)$ を持ち、$J(x-y)\ne0$ なら $||x|-|y||\le|x-y|\le R$ なので $|\psi(x)-\psi(y)|\le R/(n-r)$。$\psi(x)\ne\psi(y)$ には $\min(|x|,|y|)<n$ が必要なので、順序対 $(x,y)$ の $x$ は $|x|<n+R$ の範囲（$2(n+R)-1$ 点以下）にあります。非順序対の和は順序対の和の半分なので
$$
\mathcal{E}_J(\psi)\le\frac12\cdot2(n+R)\cdot\|J\|_1\cdot\frac{R^2}{(n-r)^2}.
$$
</Proof>

<Theorem id="thm-unbounded-mw" title="Mermin–Wagner の定理（非有界スピン）">
$d\in\{1,2\}$、$N\ge2$ とし、$\rho$ は <Ref to="def-unbounded-on" /> の (a)(b) を満たし、$J$ は有限レンジの相互作用（符号は任意）、$\beta\ge0$ とする。$\mu\in\mathcal{G}_\beta(J,\rho)$ が
$$
M:=\sup_{x\in\mathbb{Z}^d}\mu(|\sigma_x|^2)<\infty
$$
を満たせば、$\mu$ は $\mathrm{SO}(N)$ 不変であり、とくにすべての $x$ で $\mu(\sigma_x)=0$。
</Theorem>

<Proof of="thm-unbounded-mw">
<Ref to="thm-classical-mw" /> の証明の段階 1〜5 を、次の 3 点だけ変えて繰り返します。

**ねじりの列.** $r\ge2R$ を固定し、$n>r$ について $\psi_n=\psi_{r,n}$ を、$d=2$ なら <Ref to="lem-twist-energy" />、$d=1$ なら <Ref to="lem-twist-1d" /> のものとします。どちらも $\{\|x\|\le r\}$ で $1$、$\Lambda_n=\{\|x\|<n\}$ の外で $0$ で、$\mathcal{E}_n:=\mathcal{E}_J(\psi_n)\to0$ です。

**段階 2 の置き換え（追加の評価）.** $f\in C_{b,\mathrm{loc}}$、$f\ge0$ が $\mathcal{F}_A$-可測で $A\subset\{\|x\|\le r\}$ とし、$g(\alpha)=\mu(f\circ R_\alpha)$ とおきます（段階 1 と同じく連続で周期 $2\pi$）。<Ref to="prop-twist-unbounded" /> を $f\circ R_\alpha$ に使い、$\omega$ について $\mu$ で積分します。左辺と $\gamma_{\Lambda_n}(f\circ R_\alpha\mid\cdot)$ には DLR 方程式を、$W_{\psi_n}\ge0$ には <Ref to="lem-unbounded-spec" /> の 3 を使うと
$$
g(\alpha+\theta)+g(\alpha-\theta)\ge2g(\alpha)-\beta\theta^2\|f\|_\infty\,\mu(W_{\psi_n}).
$$
ここで単調収束定理（有限和なので項別に積分してよい）と仮定から
$$
\mu(W_{\psi_n})=\frac12\sum_{\{x,y\}}|J(x-y)|(\psi_n(x)-\psi_n(y))^2\bigl(\mu(|\sigma_x|^2)+\mu(|\sigma_y|^2)\bigr)\le M\,\mathcal{E}_n
$$
なので、$n\to\infty$ として $g(\alpha+\theta)+g(\alpha-\theta)\ge2g(\alpha)$ を得ます。これが拡張に必要な唯一の追加の評価で、ねじりのコストを 2 次モーメントで平均したものが、球面の場合と同じ $\mathcal{E}_n$ の $M$ 倍で抑えられることを言っています。

**段階 4 の置き換え.** 段階 3 の最大値原理はそのまま通り、$f\in C_{b,\mathrm{loc}}$ について $\mu(f\circ R_\theta)=\mu(f)$（$f\ge0$ でなければ $f+\|f\|_\infty$ に使う）。像測度 $\mu\circ R_\theta^{-1}$ と $\mu$ は $C_{b,\mathrm{loc}}$ 上で一致するので、<Ref to="lem-cylinder-determines" /> から等しくなります。

段階 5 と同じく <Ref to="lem-givens" /> から $\mathrm{SO}(N)$ 不変性が出ます。最後に $\mu(|\sigma_x|)\le\mu(|\sigma_x|^2)^{1/2}\le M^{1/2}$ なので $\sigma^i_x$ は可積分で、像測度の等式 $\mu\circ(R^{(ij)}_\pi)^{-1}=\mu$ から $\mu(\sigma^i_x)=\mu(-\sigma^i_x)=0$。
</Proof>

<Remark id="rem-moment-condition" title="モーメントの仮定と、主張の範囲">
(a) 球面値のスピンでは $M=1$ なので、<Ref to="thm-unbounded-mw" /> は <Ref to="thm-classical-mw" /> を含み、さらに $d=1$ も含みます。(b) 仮定 $M<\infty$ は、たとえば並進不変で $\mu(|\sigma_0|^2)<\infty$ の Gibbs 測度で満たされます。証明でこの仮定を使うのは段階 2 の 1 か所で、そこでは $\mu(W_{\psi_n})\to0$ さえあれば十分です。$\mathcal{E}_n$ は $\log n$ の逆数でしか減らないので、2 次モーメントが無限遠で増大する Gibbs 測度ではこの評価が崩れます。そのような（緩増加でない）Gibbs 測度まで含めて同じ結論が成り立つかは、本章では扱いません。(c) 結論は $\mathrm{SO}(N)$ 不変性で、鏡映を含む $\mathrm{O}(N)$ 不変性ではありません（<Ref to="exr-two-point" /> の最後の注意を参照）。秩序変数 $\mu(\sigma_x)$ が $0$ であることには $\mathrm{SO}(N)$ 不変性で十分です。
</Remark>

## 5. 演習

<Exercise id="exr-one-dim" difficulty="易">
$d=1$、最近接相互作用 $J(\pm1)=J$、$N\ge2$ とする。$\Lambda=\{x:|x|<n\}$ と $\psi(x)=\max(0,(n-|x|)/n)$ を使って、任意の境界条件 $\omega$ と単位ベクトル $u$ について $|\gamma_\Lambda(u\cdot\sigma_0\mid\omega)|\le\beta\pi^2|J|/(2n)$ を示せ。これから、1 次元の任意の Gibbs 測度で $\mu(\sigma_0)=0$ であることを導け。
<Solution>
$\psi$ は $|x|\ge n$ で $0$、原点で $1$ です。$J\ne0$ の結合は $\{x,x+1\}$ で、$\psi$ が変わるのは $-n\le x\le n-1$ の $2n$ 本、どれも差は $1/n$ なので $\mathcal{E}_J(\psi)=|J|\cdot2n\cdot n^{-2}=2|J|/n$。<Ref to="cor-finite-volume" /> の第 1 の不等式から $|\gamma_\Lambda(u\cdot\sigma_0\mid\omega)|\le\beta\pi^2\cdot2|J|/(4n)=\beta\pi^2|J|/(2n)$。$\mu$ が Gibbs 測度なら、DLR 方程式から $\mu(u\cdot\sigma_0)=\int\gamma_\Lambda(u\cdot\sigma_0\mid\omega)\mu(d\omega)$ で、その絶対値は $\beta\pi^2|J|/(2n)$ 以下。$n\to\infty$ として $\mu(u\cdot\sigma_0)=0$ です。1 次元では評価が $1/n$ と、2 次元の $1/\log n$ よりずっと速く $0$ になります。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-energy-lower-3d" difficulty="標準">
$d\ge1$、最近接 $J(z)=\mathbf{1}_{\{|z|=1\}}$ とし、$\psi$ を有限個の点の外で $0$、$\psi(0)=1$ を満たす実数値関数とする。$\hat\psi(k)=\sum_x\psi(x)e^{-ik\cdot x}$、$\hat E(k)=\sum_{i=1}^d2(1-\cos k_i)$ とおいて、
$$
\mathcal{E}_J(\psi)\ge\Bigl(\frac{1}{(2\pi)^d}\int_{[-\pi,\pi]^d}\frac{dk}{\hat E(k)}\Bigr)^{-1}=\frac{2d}{G_d}
$$
を示せ（$G_d$ は <Ref to="prop-polya" /> の期待訪問回数）。$d\ge3$ でねじりのエネルギーが $0$ に近づかないことを結論せよ。
<Solution>
$\mathcal{E}_J(\psi)=\sum_x\sum_{i=1}^d(\psi(x+e_i)-\psi(x))^2$ です。$x\mapsto\psi(x+e_i)-\psi(x)$ の Fourier 変換は $(e^{ik_i}-1)\hat\psi(k)$ で、$|e^{ik_i}-1|^2=2(1-\cos k_i)$。有限和の Parseval の等式 $\sum_x|a(x)|^2=(2\pi)^{-d}\int|\hat a|^2dk$（$\int e^{ik\cdot(x-y)}dk=(2\pi)^d\delta_{xy}$ から）により $\mathcal{E}_J(\psi)=(2\pi)^{-d}\int|\hat\psi|^2\hat E\,dk$。一方 $1=\psi(0)=(2\pi)^{-d}\int\hat\psi\,dk$ で、Cauchy–Schwarz の不等式から
$$
1\le\Bigl(\frac{1}{(2\pi)^d}\int|\hat\psi|\sqrt{\hat E}\cdot\frac{1}{\sqrt{\hat E}}\,dk\Bigr)^2\le\frac{1}{(2\pi)^d}\int|\hat\psi|^2\hat E\,dk\cdot\frac{1}{(2\pi)^d}\int\frac{dk}{\hat E}.
$$
$\hat E=2d(1-\varphi)$ なので $(2\pi)^{-d}\int dk/\hat E=G_d/(2d)$。<Ref to="prop-polya" /> により $d\ge3$ では $G_d<\infty$ で、下限 $2d/G_d$ は正です。よって中心で $1$ だけ回して遠方で固定するねじりは、$d\ge3$ ではどう選んでもエネルギー $\theta^2\cdot2d/G_d$ 程度を要し、<Ref to="prop-twist" /> の右辺の因子 $e^{-\beta\theta^2\mathcal{E}/2}$ は低温（$\beta$ が大きい）で $1$ に近づきません。$d\le2$ では $G_d=\infty$ でこの下限は $0$ で、<Ref to="lem-twist-energy" /> が実際に $0$ に近づく $\psi$ を与えます。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-two-point" difficulty="易">
$\mu$ を $\mathbb{Z}^2$ 上の O($N$) 模型（$N\ge2$、有限レンジ）の Gibbs 測度とする。各 $i$ と $x,y$ について $\mu(\sigma^i_x\sigma^i_y)=\frac1N\mu(\sigma_x\cdot\sigma_y)$ を示せ。また $N=2$ のとき $\mu(\sigma^1_x\sigma^2_y)=-\mu(\sigma^2_x\sigma^1_y)$ を示せ。
<Solution>
<Ref to="thm-classical-mw" /> より $\mu$ は $\mathrm{SO}(N)$ 不変です。$i\ne j$ について $Q=R^{(ij)}_{\pi/2}$ は $Qe_i=e_j$、$Qe_j=-e_i$ を満たし、$(Q\sigma)^j=e_j\cdot Q\sigma=(Q^{\mathsf T}e_j)\cdot\sigma=(Q^{-1}e_j)\cdot\sigma=\sigma^i$。よって $\mu(\sigma^j_x\sigma^j_y)=\mu((Q\sigma)^j_x(Q\sigma)^j_y)=\mu(\sigma^i_x\sigma^i_y)$ で、すべての成分の値が等しく、和が $\mu(\sigma_x\cdot\sigma_y)$ なので各々はその $1/N$ です。$N=2$、$Q=R^{(12)}_{\pi/2}$ では $Q^{-1}e_1=-e_2$ なので $(Q\sigma)^1=-\sigma^2$、$(Q\sigma)^2=\sigma^1$、したがって $\mu(\sigma^1_x\sigma^2_y)=\mu((Q\sigma)^1_x(Q\sigma)^2_y)=-\mu(\sigma^2_x\sigma^1_y)$。なお $\mathrm{SO}(2)$ 不変性だけからは $\mu(\sigma^1_x\sigma^2_y)=0$ は従いません（向きを持つ「カイラル」な相関は回転では消えない）。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- N. D. Mermin and H. Wagner, "Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one- or two-dimensional isotropic Heisenberg models", *Physical Review Letters* **17** (1966), 1133–1136.
- C.-E. Pfister, "On the symmetry of the Gibbs states in two-dimensional lattice systems", *Communications in Mathematical Physics* **79** (1981), 181–188.
- D. Ioffe, S. Shlosman and Y. Velenik, "2D models of statistical physics with continuous symmetry: the case of singular interactions", *Communications in Mathematical Physics* **226** (2002), 433–454.
- J. Fröhlich, B. Simon and T. Spencer, "Infrared bounds, phase transitions and continuous symmetry breaking", *Communications in Mathematical Physics* **50** (1976), 79–95.
- S. Friedli and Y. Velenik, *Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction*, Cambridge University Press, 2017 — 第 9 章（連続対称性を持つ模型）。
- G. Pólya, "Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung betreffend die Irrfahrt im Straßennetz", *Mathematische Annalen* **84** (1921), 149–160.