# DLR 条件と Gibbs 測度：仕様・存在・極値測度と Dobrushin の一意性定理

> 有限体積の条件付き分布を指定する「仕様」から無限体積の Gibbs 測度を DLR 方程式で定義し、緊密性による存在、凸構造と極値測度＝尾部自明性、Dobrushin の一意性定理を証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/gibbs-measures/dlr-gibbs-measures

## 0. この記事の要点

磁石の中には、ほぼ無限に多い小さな磁石（スピン）が並んでいます。有限個ならエネルギーから確率を決める公式がありますが、無限個ではその公式がそのままでは使えません。この記事では、「ある範囲の外を決めたとき、範囲の中はどんな確率で決まるか」という局所的な規則だけから、無限個の系の確率を定義します。読み終えると、その確率がいつ存在するか、いつただ一つに決まるか（決まらないときが相転移です）を、証明つきで説明できるようになります。

- 無限個のスピンの同時分布は、Boltzmann 因子 $e^{-H}/Z$ では直接書けません（$H$ も $Z$ も発散する）。代わりに「有限領域 $\Lambda$ の外を固定したときの $\Lambda$ 内の条件付き分布」を指定します。この指定の整合的な族が**仕様** $\gamma=(\gamma_\Lambda)$ で、それを条件付き分布にもつ確率測度が **Gibbs 測度**です（**DLR 条件** $\mu\gamma_\Lambda=\mu$）。
- **存在**（<Ref to="thm-existence" />）: 仕様が連続関数を連続関数に写す（準局所的）なら、有限体積の分布の弱収束極限は Gibbs 測度です。スピンが有限集合に値をとれば配位空間がコンパクトで緊密性は自動的に成り立ち、Gibbs 測度は必ず存在します。
- **凸構造**（<Ref to="thm-extremal-tail" />）: Gibbs 測度全体 $\mathcal{G}(\gamma)$ は凸でコンパクトです。その端点（極値 Gibbs 測度。混ぜ合わせで作れない測度のこと）は、ちょうど**尾部 σ-加法族（有限個のスピンを変えても変わらない事象の全体）の上で自明**（確率が $0$ か $1$）なものです。異なる極値 Gibbs 測度は互いに[特異](/mathematics/real-analysis/radon-nikodym#def-ac-singular)（確率 1 を持つ事象が互いに交わらない）で、物理的には別々の「純粋な相」です。
- **Dobrushin の一意性定理**（<Ref to="thm-dobrushin" />）: 1 点の条件付き分布が、遠くのスピンを 1 個変えたときに全変動距離でどれだけ動くかを並べた行列 $C$ の行和が $1$ 未満なら、Gibbs 測度はただ一つです。Ising 模型では $2d\tanh(\beta|J|)<1$（外場は任意）で一意性が出ます。
- 相転移は「$|\mathcal{G}(\gamma)|\ge2$」として定義でき、[次章](/mathematics/gibbs-measures/ising-peierls) の Peierls の議論はこれを低温で示します。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **条件付き期待値**: 一部の情報（σ-加法族）を与えたとき、残りを平均して得られる確率変数。→ [条件付き期待値](/mathematics/probability/conditional-expectation#def-cond-exp)
- **弱収束**: 連続関数の積分がすべて収束する、という確率測度の収束。→ [確率測度の弱収束](/mathematics/probability/weak-convergence)
- **緊密性と Prokhorov の定理**: 確率測度の族が緊密なら、弱収束する部分列がとれる。→ [確率測度の弱収束](/mathematics/probability/weak-convergence)
- **Radon–Nikodym の密度**: $\nu\ll\mu$ のとき $\nu$ を $\mu$ の重みつき測度として書く関数。→ [条件付き期待値](/mathematics/probability/conditional-expectation)
- **相互作用 $\Phi_A$**: 有限集合 $A$ ごとに、$A$ 上のスピンだけに依存するエネルギーを与える関数。→ [相互作用](/mathematics/gibbs-measures/thermodynamic-limit#def-interaction)

</Aside>

## 1. 動機

[前章](/mathematics/gibbs-measures/thermodynamic-limit) では、圧力 $P(\Phi)=\lim|\Lambda|^{-1}\log Z_\Lambda$ が存在し、境界条件によらないことを示しました。圧力は熱力学量ですが、相転移の本質は**状態**、すなわち無限系の確率測度の側にあります。たとえば低温の強磁性体では、境界をすべて $+$ にして体積を大きくしたときと、すべて $-$ にしたときで、原点のスピンの期待値が異なる値に収束します。境界の影響が無限遠まで残るのです。

この現象を記述するには、無限体積の確率測度そのものを扱う必要があります。Dobrushin（1968）と Lanford–Ruelle（1969）は、Boltzmann 分布の代わりに**条件付き分布**を指定するという考えでこれを定式化しました（DLR 条件）。これは確率過程を有限次元分布で指定する Kolmogorov の方法（[Kolmogorov の拡張定理](/mathematics/probability/kolmogorov-extension)）と似ていますが、決定的な違いがあります。有限次元分布の整合的な族は確率測度を**一意に**決めますが、条件付き分布の整合的な族は確率測度を一意に決めるとは限りません。この非一意性が相転移です。

## 2. 準備：配位空間と局所関数

前章と同じく $S$ は有限集合で離散位相を入れ、$\Omega=S^{\mathbb{Z}^d}$ に直積位相を入れます。$\Lambda\subset\mathbb{Z}^d$ について $\mathcal{F}_\Lambda$ を座標 $\omega_x$（$x\in\Lambda$）が生成する σ-加法族、$\mathcal{F}=\mathcal{F}_{\mathbb{Z}^d}$、$\mathcal{T}_\Lambda=\mathcal{F}_{\mathbb{Z}^d\setminus\Lambda}$ とし、
$$
\mathcal{T}=\bigcap_{\Lambda\Subset\mathbb{Z}^d}\mathcal{T}_\Lambda
$$
を**尾部 σ-加法族**と呼びます。尾部事象は「有限個のスピンを変えても変わらない事象」です。たとえば $\{\lim_n|\Lambda_n|^{-1}\sum_{x\in\Lambda_n}\omega_x$ が存在して正$\}$（$S\subset\mathbb{R}$）は尾部事象です。

$\mathcal{F}_\Lambda$-可測な関数（$\Lambda$ は有限）を**局所関数**と呼びます。

<Lemma id="lem-config-space" title="配位空間の性質">
(i) $\|x\|=\max_i|x_i|$ とし、$\omega\ne\eta$ に対して $d(\omega,\eta)=2^{-k}$、$k=\min\{\|x\|:\omega_x\ne\eta_x\}$ とおくと、$d$ は直積位相を定める距離で、$(\Omega,d)$ はコンパクトである。

(ii) $\mathcal{F}$ は $\Omega$ のボレル σ-加法族に等しい。

(iii) 局所関数は連続で、$C(\Omega)$ の中で一様ノルムについて稠密である。
</Lemma>

<Proof of="lem-config-space">
**(i)** $d(\omega,\eta)<2^{-k}$ は「$\|x\|\le k$ で $\omega_x=\eta_x$」と同値なので、$d$ の開球は箱 $B_k=\{\|x\|\le k\}$ 上の値を固定した集合（柱集合）で、これは直積位相の基本開集合です。逆に有限個の座標を固定した集合は、それを含む $B_k$ の上の値を固定した柱集合の有限和です。三角不等式は強い形 $d(\omega,\zeta)\le\max(d(\omega,\eta),d(\eta,\zeta))$ で成り立ちます。コンパクト性は点列で示します。$(\omega^n)$ に対し、$S$ は有限なので $\omega^n_{B_1}$ が一定になる部分列をとり、その中で $\omega^n_{B_2}$ が一定になる部分列をとり……と続け、対角線の部分列をとれば、それは各 $B_k$ 上で最終的に一定で、収束します。

**(ii)** 柱集合は可算個しかなく、$d$ の開集合は開球（柱集合）の和集合なので、可算個の柱集合の和です。よって開集合は $\mathcal{F}$ に属します。逆に座標写像 $\omega\mapsto\omega_x$ は連続なので $\mathcal{F}$ はボレル集合族に含まれます。

**(iii)** 局所関数は有限個の座標の関数で、座標は連続なので連続です。$f\in C(\Omega)$ と $\varepsilon>0$ について、一様連続性（<Ref to="mathematics/real-analysis/arzela-ascoli-stone-weierstrass#lem-uniform-continuity-compact" />）から $k$ を、$d(\omega,\eta)<2^{-k}$ なら $|f(\omega)-f(\eta)|<\varepsilon$ となるようにとります。$\eta^0\in\Omega$ を固定して $f_k(\omega)=f(\omega_{B_k}\eta^0_{B_k^c})$ とおくと、$f_k$ は局所関数で $\|f-f_k\|_\infty\le\varepsilon$ です。
</Proof>

確率測度 $\mu$ は $(\Omega,\mathcal{F})$ 上で考え、$\mu(f)=\int f\,d\mu$ と書きます。局所関数（あるいは連続関数）の積分が一致する 2 つの確率測度は等しいので（<Ref to="mathematics/probability/weak-convergence#lem-lipschitz-determines" /> と (iii)）、確率測度は局所関数の期待値で決まります。

## 3. 仕様

この節のねらいは、「外を固定したときの内側の確率」を一般的な形で扱うための言葉をそろえることです。たとえば Ising 模型で 1 点 $x$ だけを再標本化するなら、隣のスピンの値（外）を与えると、$x$ のスピンが $+1$ になる確率は式 $(1+\tanh\beta m)/2$（$m$ は隣のスピンと外場から決まる局所場）で決まります（第 7 節で導きます）。この「外の配位から内側の確率分布を返す対応」が確率核で、以下の定義はそれを一般化したものです。

$\Omega$ 上の**確率核** $\pi$ を $\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ から $\mathcal{F}$ への写像 $(B,\omega)\mapsto\pi(B\mid\omega)$ で、各 $\omega$ について $\pi(\cdot\mid\omega)$ が確率測度、各 $B\in\mathcal{F}$ について $\omega\mapsto\pi(B\mid\omega)$ が $\mathcal{G}$-可測なものとします。有界可測な $f$ に $\pi f(\omega)=\int f(\eta)\,\pi(d\eta\mid\omega)$、確率測度 $\mu$ に $\mu\pi(B)=\int\pi(B\mid\omega)\,\mu(d\omega)$ を対応させます。$\mu\pi(f)=\mu(\pi f)$ は、$f$ が指示関数なら定義そのもので、単関数を経て有界可測関数に広がります。核の合成は $(\pi\pi')(B\mid\omega)=\int\pi'(B\mid\eta)\,\pi(d\eta\mid\omega)$ です。

<Definition id="def-specification" title="仕様">
$\Lambda\Subset\mathbb{Z}^d$ ごとに $\mathcal{T}_\Lambda$ から $\mathcal{F}$ への確率核 $\gamma_\Lambda$ が与えられ、次を満たすとき、族 $\gamma=(\gamma_\Lambda)_{\Lambda\Subset\mathbb{Z}^d}$ を**仕様**という。

1. （**固有性**）$B\in\mathcal{T}_\Lambda$ ならば $\gamma_\Lambda(B\mid\omega)=\mathbf{1}_B(\omega)$。
2. （**整合性**）$\Lambda\subset\Delta$ ならば $\gamma_\Delta\gamma_\Lambda=\gamma_\Delta$。

さらに、すべての $\Lambda$ と $f\in C(\Omega)$ について $\gamma_\Lambda f\in C(\Omega)$ のとき、$\gamma$ は**準局所的**であるという。
</Definition>

固有性は「$\Lambda$ の外は固定されたまま」を、整合性は「大きな領域で再標本化した後に小さな領域で再標本化しても分布は変わらない」を意味します。

<Lemma id="lem-proper-pullout" title="固有性からの取り出し">
仕様 $\gamma$ と有界 $\mathcal{T}_\Lambda$-可測な $g$、有界可測な $f$ について $\gamma_\Lambda(gf)=g\,\gamma_\Lambda f$。
</Lemma>

<Proof of="lem-proper-pullout">
$g=\mathbf{1}_B$（$B\in\mathcal{T}_\Lambda$）のとき、$\omega\in B$ なら $\gamma_\Lambda(B^c\mid\omega)=0$ なので $\gamma_\Lambda(\mathbf{1}_Bf)(\omega)=\gamma_\Lambda f(\omega)$、$\omega\notin B$ なら $\gamma_\Lambda(B\mid\omega)=0$ なので $\gamma_\Lambda(\mathbf{1}_Bf)(\omega)=0$ です。線形性で単関数に、一様近似（$|\gamma_\Lambda h|\le\|h\|_\infty$）で有界可測関数に広がります。
</Proof>

物理で使うのは相互作用から作る仕様です。前章と違い、ここでは並進不変性を仮定しません。

<Definition id="def-gibbs-specification" title="Gibbs 仕様">
相互作用 $\Phi=(\Phi_A)$（<Ref to="mathematics/gibbs-measures/thermodynamic-limit#def-interaction" />）が $\sup_{x}\sum_{A\ni x}\|\Phi_A\|_\infty<\infty$ を満たすとする。$\Lambda\Subset\mathbb{Z}^d$ と $\omega\in\Omega$ について
$$
H_\Lambda(\omega)=\sum_{A\cap\Lambda\ne\emptyset}\Phi_A(\omega),\qquad Z_\Lambda^\omega=\sum_{\xi\in\Omega_\Lambda}e^{-H_\Lambda(\xi\omega_{\Lambda^c})},
$$
$$
\gamma^\Phi_\Lambda(f\mid\omega)=\frac{1}{Z_\Lambda^\omega}\sum_{\xi\in\Omega_\Lambda}e^{-H_\Lambda(\xi\omega_{\Lambda^c})}f(\xi\omega_{\Lambda^c})
$$
とおく。$\gamma^\Phi=(\gamma^\Phi_\Lambda)$ を $\Phi$ の **Gibbs 仕様**という。
</Definition>

$H_\Lambda$ の級数は $\sum_{A\cap\Lambda\ne\emptyset}\|\Phi_A\|_\infty\le|\Lambda|\sup_x\sum_{A\ni x}\|\Phi_A\|_\infty$ で絶対収束します。境界条件 $\omega_{\Lambda^c}$ との相互作用も含めたエネルギーであることに注意してください（前章の $H_\Lambda^\tau$）。

<Proposition id="prop-gibbs-spec" title="Gibbs 仕様は準局所的な仕様">
$\gamma^\Phi$ は準局所的な仕様である。
</Proposition>

<Proof of="prop-gibbs-spec">
**核であること・固有性.** $\gamma^\Phi_\Lambda(\cdot\mid\omega)$ は有限個の点 $\xi\omega_{\Lambda^c}$ に重みを置いた確率測度で、重みは $\omega_{\Lambda^c}$ だけに依存するので $\mathcal{T}_\Lambda$-可測です。$B\in\mathcal{T}_\Lambda$ なら $\mathbf{1}_B(\xi\omega_{\Lambda^c})=\mathbf{1}_B(\omega)$ なので固有性が成り立ちます。

**整合性.** $\Lambda\subset\Delta$ とし、$\Delta$ 上の配位を $(\alpha,\zeta)$（$\alpha\in\Omega_\Lambda$、$\zeta\in\Omega_{\Delta\setminus\Lambda}$）と書きます。$H_\Delta-H_\Lambda=\sum\Phi_A$（和は $A\cap\Delta\ne\emptyset$、$A\cap\Lambda=\emptyset$）は $\alpha$ に依存しないので、これを $K(\zeta\omega_{\Delta^c})$ と書けば
$$
e^{-H_\Delta(\alpha\zeta\omega_{\Delta^c})}=e^{-K(\zeta\omega_{\Delta^c})}e^{-H_\Lambda(\alpha\zeta\omega_{\Delta^c})}.
$$
$g=\gamma^\Phi_\Lambda f$ は $\alpha$ に依存しないので
$$
\begin{aligned}
\gamma^\Phi_\Delta g(\omega)
&=\frac1{Z^\omega_\Delta}\sum_\zeta e^{-K}\Bigl(\sum_\alpha e^{-H_\Lambda(\alpha\zeta\omega_{\Delta^c})}\Bigr)\frac{1}{Z_\Lambda^{\zeta\omega_{\Delta^c}}}\sum_{\alpha'}e^{-H_\Lambda(\alpha'\zeta\omega_{\Delta^c})}f(\alpha'\zeta\omega_{\Delta^c})\\
&=\frac1{Z^\omega_\Delta}\sum_\zeta\sum_{\alpha'}e^{-K}e^{-H_\Lambda(\alpha'\zeta\omega_{\Delta^c})}f(\alpha'\zeta\omega_{\Delta^c})=\gamma^\Phi_\Delta f(\omega).
\end{aligned}
$$
2 行目では括弧内の和が $Z_\Lambda^{\zeta\omega_{\Delta^c}}$ に等しいことを使いました。

**準局所性.** $\omega\mapsto H_\Lambda(\xi\omega_{\Lambda^c})$ は連続関数（局所関数）の一様収束級数なので連続です。$f$ が連続なら $\gamma^\Phi_\Lambda f$ は連続関数の有限和を正の連続関数で割ったものなので連続です。
</Proof>

<Example id="ex-free-spec" title="相互作用のない場合">
$\Phi=0$ なら $\gamma_\Lambda(\cdot\mid\omega)$ は「$\Lambda$ 上は一様分布、外は $\omega$ のまま」です。後で見るように、この仕様の Gibbs 測度は一様分布の無限直積だけです（<Ref to="exr-free-unique" />）。
</Example>

## 4. DLR 方程式と Gibbs 測度

<Definition id="def-gibbs-measure" title="Gibbs 測度（DLR 条件）">
仕様 $\gamma$ について、$\Omega$ 上の確率測度 $\mu$ がすべての $\Lambda\Subset\mathbb{Z}^d$ で
$$
\mu\gamma_\Lambda=\mu
$$
を満たすとき、$\mu$ を $\gamma$ の **Gibbs 測度**という。これを **DLR 方程式**（Dobrushin–Lanford–Ruelle）と呼び、Gibbs 測度全体を $\mathcal{G}(\gamma)$ と書く。$\gamma=\gamma^\Phi$ のときは $\mathcal{G}(\Phi)$ とも書く。
</Definition>

<Proposition id="prop-dlr-conditional" title="DLR 方程式と条件付き期待値">
確率測度 $\mu$ と $\Lambda\Subset\mathbb{Z}^d$ について、次は同値である。

(a) $\mu\gamma_\Lambda=\mu$。

(b) すべての有界可測な $f$ について $E_\mu[f\mid\mathcal{T}_\Lambda]=\gamma_\Lambda f$（$\mu$-a.s.）。
</Proposition>

<Proof of="prop-dlr-conditional">
(a)⇒(b): $\gamma_\Lambda f$ は $\mathcal{T}_\Lambda$-可測で有界です。$B\in\mathcal{T}_\Lambda$ について、<Ref to="lem-proper-pullout" /> と (a) から
$$
\mu(\mathbf{1}_B\gamma_\Lambda f)=\mu(\gamma_\Lambda(\mathbf{1}_Bf))=\mu\gamma_\Lambda(\mathbf{1}_Bf)=\mu(\mathbf{1}_Bf).
$$
これは条件付き期待値の定義（<Ref to="mathematics/probability/conditional-expectation#def-cond-exp" />）の条件そのものです。

(b)⇒(a): $B=\Omega$ とすれば $\mu(\gamma_\Lambda f)=\mu(f)$、すなわち $\mu\gamma_\Lambda(f)=\mu(f)$ です。
</Proof>

Gibbs 仕様では、(b) は「$\Lambda$ の外の配位 $\omega_{\Lambda^c}$ を与えたときの $\omega_\Lambda$ の条件付き分布が $e^{-H_\Lambda(\xi\omega_{\Lambda^c})}/Z_\Lambda^\omega$ である」という意味です。[条件付き期待値](/mathematics/probability/conditional-expectation#def-cond-exp)は $\mu$-a.s. にしか決まらないので、「すべての境界条件 $\omega$ で」条件付き分布を指定する仕様は、測度より多くの情報を含んでいます。

<Remark id="rem-dlr-single-site" title="1 点の仕様で足りること">
Gibbs 仕様では、すべての 1 点集合 $\Lambda=\{x\}$ について DLR 方程式が成り立てば、すべての有限集合で成り立つことが知られています（Georgii の教科書 第 1 章）。本章では使いません。
</Remark>

## 5. 緊密性による存在

<Theorem id="thm-existence" title="Gibbs 測度の存在">
$\gamma$ を準局所的な仕様とし、$\Lambda_1\subset\Lambda_2\subset\cdots$ を $\bigcup_n\Lambda_n=\mathbb{Z}^d$ となる有限集合の列、$\omega^{(n)}\in\Omega$ を任意の境界条件とする。$\mu_n=\gamma_{\Lambda_n}(\cdot\mid\omega^{(n)})$ とおく。

(i) $(\mu_n)$ は弱収束する部分列をもつ。

(ii) $(\mu_n)$ の部分列の弱収束極限はすべて $\mathcal{G}(\gamma)$ に属する。

特に $\mathcal{G}(\gamma)\ne\emptyset$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-existence">
**(i)** $\Omega$ はコンパクト距離空間（<Ref to="lem-config-space" />）なので、確率測度の族はすべて緊密です（<Ref to="mathematics/probability/weak-convergence#def-tight" /> で $K=\Omega$）。Prokhorov の定理（<Ref to="mathematics/probability/weak-convergence#thm-prokhorov" />）から弱収束する部分列があります。

**(ii)** $\mu_{n_k}\Rightarrow\mu$ とし、$\Lambda\Subset\mathbb{Z}^d$ を固定します。$\Lambda$ は有限なので、ある $k_0$ から先 $\Lambda\subset\Lambda_{n_k}$ です。そのとき整合性から
$$
\mu_{n_k}\gamma_\Lambda(f)=\int\gamma_\Lambda f\,d\gamma_{\Lambda_{n_k}}(\cdot\mid\omega^{(n_k)})=(\gamma_{\Lambda_{n_k}}\gamma_\Lambda f)(\omega^{(n_k)})=(\gamma_{\Lambda_{n_k}}f)(\omega^{(n_k)})=\mu_{n_k}(f).
$$
$f\in C(\Omega)$ なら準局所性から $\gamma_\Lambda f\in C(\Omega)$ なので、弱収束の定義（<Ref to="mathematics/probability/weak-convergence#def-weak-convergence" />）から
$$
\mu(\gamma_\Lambda f)=\lim_k\mu_{n_k}(\gamma_\Lambda f)=\lim_k\mu_{n_k}(f)=\mu(f).
$$
2 つの確率測度 $\mu\gamma_\Lambda$ と $\mu$ がすべての連続関数で一致するので（<Ref to="mathematics/probability/weak-convergence#lem-lipschitz-determines" />）$\mu\gamma_\Lambda=\mu$ です。
</Proof>

この証明でコンパクト性を使ったのは (i) の緊密性だけです。スピンが $\mathbb{R}$ に値をとる格子場（たとえば格子 $\phi^4$ 模型）では $\Omega=\mathbb{R}^{\mathbb{Z}^d}$ はコンパクトでなく、境界条件と相互作用について**一様な積率評価**を示して緊密性を確保する必要があります（Ruelle の超安定性評価など）。構成的場の理論で無限体積極限を作る議論（[相関不等式](/physics/constructive-qft/correlation-inequalities) の単調性による方法など）は、この緊密性を別の手段で得るものと見ることができます。

<Corollary id="cor-convex-compact" title="Gibbs 測度の集合は凸でコンパクト">
準局所的な仕様 $\gamma$ について、$\mathcal{G}(\gamma)$ は凸で、弱収束について閉じている（したがって点列コンパクトである）。
</Corollary>

<Proof of="cor-convex-compact">
$\mu\gamma_\Lambda$ は $\mu$ について線形なので、DLR 方程式は凸結合で保たれます。$\mu_n\in\mathcal{G}(\gamma)$、$\mu_n\Rightarrow\mu$ なら、<Ref to="thm-existence" /> (ii) の証明と同じく、$f\in C(\Omega)$ について $\mu(\gamma_\Lambda f)=\lim\mu_n(\gamma_\Lambda f)=\lim\mu_n(f)=\mu(f)$ で、$\mu\in\mathcal{G}(\gamma)$。点列コンパクト性は Prokhorov の定理から従います。
</Proof>

## 6. 極値 Gibbs 測度と尾部自明性

この節のねらいは、「純粋な相」（混ぜ物でない状態）を数学の言葉で捉えることです。直観では、$+$ 相と $-$ 相を半分ずつ混ぜた状態は、どちらの相にいるかという「無限遠の情報」について確率 $1/2$ の不確かさを持ちます。つまり混合であることと、尾部事象の確率が $0$ か $1$ でないことは同じ現象で、これを次の補題と定理で正確にします。

[凸集合](/mathematics/real-analysis/convex-analysis#def-convex) $\mathcal{G}(\gamma)$ の元 $\mu$ が**極値的**とは、$\mu=t\nu_1+(1-t)\nu_2$（$0<t<1$、$\nu_i\in\mathcal{G}(\gamma)$）ならば $\nu_1=\nu_2=\mu$ となることです。極値 Gibbs 測度全体を $\operatorname{ex}\mathcal{G}(\gamma)$ と書きます。

次の補題は、極値性と尾部自明性を結ぶ道具です。ある Gibbs 測度が別の Gibbs 測度を「含む」とき、その重みの関数は有限個のスピンの値に左右されない、つまり尾部の情報だけで決まる、と述べています。

<Lemma id="lem-density-tail" title="Gibbs 測度どうしの密度は尾部可測">
$\mu,\nu\in\mathcal{G}(\gamma)$ で $\nu\ll\mu$ ならば、密度 $d\nu/d\mu$ は $\mu$-a.s. で $\mathcal{T}$-可測な関数に等しい。
</Lemma>

<Proof of="lem-density-tail">
$h=d\nu/d\mu$（Radon–Nikodym の定理、<Ref to="mathematics/probability/conditional-expectation#thm-radon-nikodym" />）とし、$\Lambda\Subset\mathbb{Z}^d$ を固定して $h_\Lambda=E_\mu[h\mid\mathcal{T}_\Lambda]$ とおきます。有界可測な $f$ について、$\nu,\mu\in\mathcal{G}(\gamma)$、$\gamma_\Lambda f$ の $\mathcal{T}_\Lambda$-可測性、<Ref to="lem-proper-pullout" /> を順に使うと
$$
\nu(f)=\nu(\gamma_\Lambda f)=\mu(h\,\gamma_\Lambda f)=\mu(h_\Lambda\,\gamma_\Lambda f)=\mu\bigl(\gamma_\Lambda(h_\Lambda f)\bigr)=\mu(h_\Lambda f).
$$
3 番目の等号は既知量の取り出し（<Ref to="mathematics/probability/conditional-expectation#thm-pullout" />、$\gamma_\Lambda f$ は有界 $\mathcal{T}_\Lambda$-可測）、最後は $\mu\gamma_\Lambda=\mu$ です。4 番目と最後の等号では $h_\Lambda f$ が有界とは限りませんが、$f\ge0$ としておけば、<Ref to="lem-proper-pullout" /> と $\mu(\gamma_\Lambda g)=\mu(g)$ は $g=(h_\Lambda\wedge M)f$ に対して成り立ち、$M\to\infty$ で単調収束定理（<Ref to="mathematics/probability/random-variables#thm-mct" />）により $g=h_\Lambda f$ に広がります（一般の有界 $f$ は正負に分けます）。よって $h_\Lambda$ も $\nu$ の $\mu$ に関する密度で、密度の一意性から $h=h_\Lambda$（$\mu$-a.s.）です。

$\Lambda_n\uparrow\mathbb{Z}^d$ をとり、各 $h_{\Lambda_n}$ の $\mathcal{T}_{\Lambda_n}$-可測な版を固定して $\tilde h=\limsup_nh_{\Lambda_n}$ とおきます。$\mathcal{T}_{\Lambda_n}$ は $n$ について減少するので、$m$ を固定すると $n\ge m$ の $h_{\Lambda_n}$ はすべて $\mathcal{T}_{\Lambda_m}$-可測で、$\tilde h$ は $\mathcal{T}_{\Lambda_m}$-可測です。任意の有限 $\Lambda$ はある $\Lambda_m$ に含まれ $\mathcal{T}_{\Lambda_m}\subset\mathcal{T}_\Lambda$ なので、$\tilde h$ は $\mathcal{T}$-可測です。可算個の零集合を除いて $h_{\Lambda_n}=h$ なので $\tilde h=h$（$\mu$-a.s.）です。
</Proof>

<Theorem id="thm-extremal-tail" title="極値 Gibbs 測度の特徴づけ">
$\mu\in\mathcal{G}(\gamma)$ について、次は同値である。

(a) $\mu$ は $\mathcal{G}(\gamma)$ の極値点である。

(b) $\mu$ は尾部自明である。すなわちすべての $B\in\mathcal{T}$ で $\mu(B)\in\{0,1\}$。
</Theorem>

<Proof of="thm-extremal-tail">
**(b)⇒(a).** $\mu=t\nu_1+(1-t)\nu_2$（$0<t<1$、$\nu_i\in\mathcal{G}(\gamma)$）とします。$\nu_1\le t^{-1}\mu$ なので $\nu_1\ll\mu$ で、<Ref to="lem-density-tail" /> から密度 $h$ は $\mathcal{T}$-可測です。尾部自明な測度に関して $\mathcal{T}$-可測な関数は a.s. 定数です（$\{h>c\}\in\mathcal{T}$ の確率が $0$ か $1$ なので、$c^*=\sup\{c:\mu(h>c)=1\}$ とすれば $h=c^*$ a.s.）。$\mu(h)=\nu_1(\Omega)=1$ から $h=1$、すなわち $\nu_1=\mu$。同様に $\nu_2=\mu$ です。

**(a)⇒(b).** $B\in\mathcal{T}$、$0<\mu(B)<1$ と仮定し、$\nu=\mu(\cdot\mid B)$、$\nu'=\mu(\cdot\mid B^c)$ とおきます。$B\in\mathcal{T}_\Lambda$ なので <Ref to="lem-proper-pullout" /> から、有界可測な $f$ について
$$
\nu(\gamma_\Lambda f)=\frac{\mu(\mathbf{1}_B\gamma_\Lambda f)}{\mu(B)}=\frac{\mu(\gamma_\Lambda(\mathbf{1}_Bf))}{\mu(B)}=\frac{\mu(\mathbf{1}_Bf)}{\mu(B)}=\nu(f).
$$
よって $\nu\in\mathcal{G}(\gamma)$、同様に $\nu'\in\mathcal{G}(\gamma)$ で、$\mu=\mu(B)\nu+\mu(B^c)\nu'$ です。$\nu(B)=1\ne\mu(B)$ なので $\nu\ne\mu$ となり、$\mu$ は極値的でありません。
</Proof>

<Corollary id="cor-tail-determines" title="尾部での値が Gibbs 測度を決める">
(i) $\mu,\nu\in\mathcal{G}(\gamma)$ が $\mathcal{T}$ の上で一致すれば $\mu=\nu$。

(ii) $\mu\ne\nu$ がともに極値 Gibbs 測度ならば、$\mu(B)=1$、$\nu(B)=0$ となる $B\in\mathcal{T}$ がある。特に $\mu$ と $\nu$ は互いに特異である。
</Corollary>

<Proof of="cor-tail-determines">
**(i)** $\rho=(\mu+\nu)/2\in\mathcal{G}(\gamma)$ について $\mu,\nu\ll\rho$ で、<Ref to="lem-density-tail" /> から密度 $h,h'$ は $\mathcal{T}$-可測にとれます。$B\in\mathcal{T}$ で $\rho(h\mathbf{1}_B)=\mu(B)=\nu(B)=\rho(h'\mathbf{1}_B)$ なので、$B=\{h>h'\}$、$\{h<h'\}$ とおけば $h=h'$（$\rho$-a.s.）、よって $\mu=\nu$。

**(ii)** (i) から $\mu(B)\ne\nu(B)$ となる $B\in\mathcal{T}$ があり、<Ref to="thm-extremal-tail" /> から値は $0$ か $1$ です。必要なら $B$ を補集合に替えます。
</Proof>

極値 Gibbs 測度は、尾部の情報（「無限遠での境界条件」）が確定した状態であり、物理的には**純粋な相**と解釈されます。たとえば低温の Ising 模型の $+$ 相と $-$ 相は、尾部事象「空間平均磁化が正」で区別されます。

<Remark id="rem-choquet" title="極値分解と境界条件からの再構成">
本章では証明しませんが、次の 2 つが成り立ちます（Georgii の教科書 第 7 章）。(1) 各 $\mu\in\mathcal{G}(\gamma)$ は、$\operatorname{ex}\mathcal{G}(\gamma)$ 上のただ一つの確率測度 $w_\mu$ による混合 $\mu=\int\nu\,w_\mu(d\nu)$ で書ける（**極値分解**）。(2) $\mu$ が極値的なら、$\mu$-a.e. の $\omega$ について $\gamma_{\Lambda_n}(\cdot\mid\omega)\Rightarrow\mu$。(2) は逆向きマルチンゲールの収束定理と、尾部自明性から出ます。極値 Gibbs 測度は「典型的な境界条件から体積を広げて得られる測度」です。
</Remark>

## 7. Dobrushin の一意性定理

この節のねらいは、Gibbs 測度がただ一つに決まるための、確かめやすい十分条件を与えることです。考え方は、スピンが遠くのスピンから受ける影響の強さを数 $C_{xy}$ で測り、その総和が $1$ 未満なら、境界条件の違いが遠くへ行くほど薄まって消える、というものです。

$S$ 上の確率測度 $p,q$ の**全変動距離**を
$$
\|p-q\|=\max_{B\subset S}|p(B)-q(B)|=\frac12\sum_{s\in S}|p(s)-q(s)|
$$
とします。2 番目の等号は、最大値が $B=\{p>q\}$ でとられることからわかります。仕様 $\gamma$ の 1 点集合 $\{x\}$ の核から、$x$ のスピンの条件付き分布 $\gamma_x(\cdot\mid\omega)=\gamma_{\{x\}}(\omega_x\in\cdot\mid\omega)$ が決まります。固有性から $\gamma_{\{x\}}(\cdot\mid\omega)$ は $\{\eta:\eta_{x^c}=\omega_{x^c}\}$ に集中し、$\gamma_x(\cdot\mid\omega)$ は $\omega_{x^c}$ だけに依存します。したがって
$$
\gamma_{\{x\}}f(\omega)=\sum_{s\in S}\gamma_x(s\mid\omega)\,f(s\,\omega_{x^c})
$$
です（$s\,\omega_{x^c}$ は $x$ で $s$、他で $\omega$ に等しい配位）。

<Definition id="def-dobrushin-matrix" title="Dobrushin の相互作用行列">
$x\ne y$ について
$$
C_{xy}=\sup\bigl\{\|\gamma_x(\cdot\mid\omega)-\gamma_x(\cdot\mid\eta)\|:\ \omega,\eta\in\Omega,\ \omega_z=\eta_z\ (z\ne y)\bigr\},
$$
$C_{xx}=0$ とおく。$\alpha(\gamma)=\sup_x\sum_yC_{xy}$ を **Dobrushin の定数**という。
</Definition>

$C_{xy}$ は「$y$ のスピン 1 個を変えたとき、$x$ の条件付き分布がどれだけ動くか」の最大値です。関数 $f$ の側では、$y$ のスピン 1 個を変えたときの変動 $\delta_y(f)=\sup\{|f(\omega)-f(\eta)|:\omega_z=\eta_z\ (z\ne y)\}$ を考え、
$$
\mathcal{D}=\Bigl\{f\in C(\Omega):\ \sum_y\delta_y(f)<\infty\Bigr\}
$$
とします。局所関数は $\mathcal{D}$ に属します（有限個の $y$ でしか $\delta_y(f)\ne0$ にならない）。

<Lemma id="lem-oscillation" title="変動の評価">
(i) $f\in C(\Omega)$ ならば $\sup f-\inf f\le\sum_y\delta_y(f)$。

(ii) $\gamma$ が準局所的な仕様で $f\in\mathcal{D}$、$x\in\mathbb{Z}^d$ ならば、$\delta_x(\gamma_{\{x\}}f)=0$、$y\ne x$ について
$$
\delta_y(\gamma_{\{x\}}f)\le\delta_y(f)+C_{xy}\,\delta_x(f).
$$
特に $\sum_yC_{xy}<\infty$ なら $\gamma_{\{x\}}f\in\mathcal{D}$。
</Lemma>

<Proof of="lem-oscillation">
**(i)** $\omega,\eta\in\Omega$ と $\Lambda_n\uparrow\mathbb{Z}^d$ について、$\omega$ から $\Lambda_n$ の点を 1 個ずつ $\eta$ の値に変えていくと $|f(\omega)-f(\eta_{\Lambda_n}\omega_{\Lambda_n^c})|\le\sum_{y\in\Lambda_n}\delta_y(f)$。$\eta_{\Lambda_n}\omega_{\Lambda_n^c}\to\eta$ なので、$f$ の連続性から $|f(\omega)-f(\eta)|\le\sum_y\delta_y(f)$。

**(ii)** $\gamma_{\{x\}}f(\omega)$ は $\omega_{x^c}$ だけに依存するので $\delta_x(\gamma_{\{x\}}f)=0$。$y\ne x$、$\omega_z=\eta_z$（$z\ne y$）とし、$p=\gamma_x(\cdot\mid\omega)$、$q=\gamma_x(\cdot\mid\eta)$ とおくと
$$
\gamma_{\{x\}}f(\omega)-\gamma_{\{x\}}f(\eta)=\sum_sp(s)\bigl(f(s\omega_{x^c})-f(s\eta_{x^c})\bigr)+\sum_s\bigl(p(s)-q(s)\bigr)f(s\eta_{x^c}).
$$
第 1 項の絶対値は $\delta_y(f)$ 以下です（$s\omega_{x^c}$ と $s\eta_{x^c}$ は $y$ でしか違わない）。第 2 項では、$g(s)=f(s\eta_{x^c})$ の最大値と最小値の中点を $c$ とすれば $\sum(p-q)=0$ から
$$
\Bigl|\sum_s(p(s)-q(s))(g(s)-c)\Bigr|\le\sum_s|p(s)-q(s)|\cdot\frac{\max g-\min g}{2}\le\|p-q\|\,\delta_x(f)\le C_{xy}\delta_x(f).
$$
最後に、準局所性から $\gamma_{\{x\}}f$ は連続で、変動の和は $\sum_y\delta_y(f)+\delta_x(f)\sum_yC_{xy}<\infty$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-dobrushin" title="Dobrushin の一意性定理">
$\gamma$ を準局所的な仕様とし、$\alpha(\gamma)<1$ とする。このとき $\mathcal{G}(\gamma)$ はちょうど 1 点からなる。
</Theorem>

証明の方針は次のとおりです。2 つの Gibbs 測度 $\mu,\nu$ の期待値の差を、各座標の変動 $\delta_y(f)$ の重みつき和で上から押さえます（この重みが「許容的」な $b$ です）。1 点を再標本化するたびに、その点の重みが、それまでの重みの最大値の $\alpha$ 倍以下に小さくなるので、これを繰り返せば重みを限りなく $0$ に近づけられ、差が $0$ になります。

<Proof of="thm-dobrushin">
存在は <Ref to="thm-existence" /> なので、$\mu,\nu\in\mathcal{G}(\gamma)$ について $\mu=\nu$ を示します。$\alpha=\alpha(\gamma)$ とおきます。有界な関数 $b:\mathbb{Z}^d\to[0,\infty)$ が
$$
|\mu(f)-\nu(f)|\le\sum_yb_y\,\delta_y(f)\qquad(\text{すべての }f\in\mathcal{D})
$$
を満たすとき、$b$ を**許容的**と呼びます。<Ref to="lem-oscillation" /> (i) から $|\mu(f)-\nu(f)|\le\sup f-\inf f\le\sum_y\delta_y(f)$ なので、定数 $1$ は許容的です。

**1 点の改良.** $b$ が許容的で $x\in\mathbb{Z}^d$ とし、$b'$ を $b'_x=\sum_yC_{xy}b_y$、$b'_z=b_z$（$z\ne x$）で定めます。$f\in\mathcal{D}$ について、DLR 方程式 $\mu\gamma_{\{x\}}=\mu$、$\nu\gamma_{\{x\}}=\nu$ と <Ref to="lem-oscillation" /> (ii) から
$$
|\mu(f)-\nu(f)|=|\mu(\gamma_{\{x\}}f)-\nu(\gamma_{\{x\}}f)|\le\sum_{y\ne x}b_y\bigl(\delta_y(f)+C_{xy}\delta_x(f)\bigr)=\sum_yb'_y\delta_y(f).
$$
よって $b'$ も許容的です。

**有限集合での改良.** $\beta_0=\sup_yb_y$ とし、有限集合 $\Lambda=\{x_1,\dots,x_N\}$ の点で順に 1 点の改良を行います。改良された値は $\sum_yC_{x_iy}b_y\le\alpha\beta_0\le\beta_0$ なので、各段階で上限は $\beta_0$ 以下に保たれ、改良済みの座標は $\alpha\beta_0$ 以下、改良していない座標は $\beta_0$ 以下です。したがって、$f\in\mathcal{D}$ について
$$
|\mu(f)-\nu(f)|\le\alpha\beta_0\sum_{y\in\Lambda}\delta_y(f)+\beta_0\sum_{y\notin\Lambda}\delta_y(f).
$$
$\Lambda\uparrow\mathbb{Z}^d$ とすれば第 2 項は $0$ に収束するので、定数 $\alpha\beta_0$ も許容的です。

**結論.** 定数 $1$ から始めて繰り返せば、すべての $k$ で定数 $\alpha^k$ が許容的で、$|\mu(f)-\nu(f)|\le\alpha^k\sum_y\delta_y(f)\to0$。局所関数は $\mathcal{D}$ に属するので $\mu$ と $\nu$ は局所関数の期待値が一致し、<Ref to="lem-config-space" /> (iii) と <Ref to="mathematics/probability/weak-convergence#lem-lipschitz-determines" /> から $\mu=\nu$ です。
</Proof>

証明の構造は、Markov 連鎖のエルゴード定理を全変動距離の縮小で示す議論（[Markov 連鎖と Poisson 過程](/mathematics/probability/markov-chains-poisson) の <Ref to="mathematics/probability/markov-chains-poisson#lem-dobrushin" />）と同じ発想です。1 点ずつ再標本化するたびに、2 つの測度の「違い」が係数 $\alpha$ 倍に縮みます。

<Corollary id="cor-dobrushin-gibbs" title="Gibbs 仕様での判定">
$\Phi$ を <Ref to="def-gibbs-specification" /> の相互作用とし、$\operatorname{osc}\Phi_A=\sup\Phi_A-\inf\Phi_A$ とする。
$$
\sup_x\sum_{A\ni x}(|A|-1)\operatorname{osc}\Phi_A<\frac12
$$
ならば $|\mathcal{G}(\Phi)|=1$。
</Corollary>

<Proof of="cor-dobrushin-gibbs">
$x\ne y$、$\omega_z=\eta_z$（$z\ne y$）とします。$\gamma_x(s\mid\omega)\propto e^{-H_{\{x\}}(s\omega_{x^c})}$ で、$u(s)=H_{\{x\}}(s\eta_{x^c})-H_{\{x\}}(s\omega_{x^c})$ には $x,y$ の両方を含む $A$ だけが寄与するので、$|u(s)|\le r_{xy}:=\sum_{A\ni x,y}\operatorname{osc}\Phi_A$ です。$p=\gamma_x(\cdot\mid\omega)$、$q=\gamma_x(\cdot\mid\eta)$ とおくと $q(s)=p(s)e^{-u(s)}/\sum_tp(t)e^{-u(t)}\ge e^{-2r_{xy}}p(s)$ なので
$$
\|p-q\|=\sum_s(p(s)-q(s))^+\le\sum_sp(s)(1-e^{-2r_{xy}})\le2r_{xy}.
$$
よって $\sum_yC_{xy}\le2\sum_{y\ne x}\sum_{A\ni x,y}\operatorname{osc}\Phi_A=2\sum_{A\ni x}(|A|-1)\operatorname{osc}\Phi_A<1$ で、<Ref to="thm-dobrushin" /> を使います。
</Proof>

<Proposition id="prop-ising-dobrushin" title="Ising 模型の高温での一意性">
$S=\{-1,1\}$ とし、最近接 Ising 模型の相互作用 $\Phi_{\{x,y\}}(\omega)=-\beta J\omega_x\omega_y$（$|x-y|=1$）、$\Phi_{\{x\}}(\omega)=-\beta h\omega_x$（$\beta\gt0$、$J,h\in\mathbb{R}$）、それ以外の $\Phi_A=0$ を考える。$2d\tanh(\beta|J|)\lt1$ ならば、$h$ によらず $|\mathcal{G}(\Phi)|=1$ である。
</Proposition>

<Proof of="prop-ising-dobrushin">
$x$ を固定し、局所場を $m(\omega)=J\sum_{y\sim x}\omega_y+h$ とします。$H_{\{x\}}(s\omega_{x^c})=-\beta sm(\omega)+c(\omega)$（$c(\omega)$ は $s$ によらない）なので、<Ref to="def-gibbs-specification" /> から
$$
\gamma_x(+1\mid\omega)=\frac{e^{\beta m}}{e^{\beta m}+e^{-\beta m}}=\frac{1+\tanh\beta m}2,\qquad\gamma_x(-1\mid\omega)=\frac{1-\tanh\beta m}2
$$
です。$\gamma_x(\cdot\mid\omega)$ は $\omega$ の $x$ の隣接点での値だけに依存するので、$y\not\sim x$ なら $C_{xy}=0$ です。$y\sim x$ で $\omega,\eta$ が $y$ でだけ異なるとき、局所場の差は $\pm2J$ なので、2 点上の確率測度の全変動距離 $\|p-q\|=\sum_s(p(s)-q(s))^+=|p(+1)-q(+1)|$ から
$$
C_{xy}\le\sup_{m\in\mathbb{R}}\tfrac12\bigl|\tanh(\beta(m+2|J|))-\tanh(\beta m)\bigr|
$$
です（$J\lt0$ のときは $m$ を $m-2|J|$ に置き換える）。$a=2\beta|J|\ge0$、$g(t)=\tanh(t+a)-\tanh t\ge0$ とおくと $g'(t)=\cosh^{-2}(t+a)-\cosh^{-2}t$ は $|t+a|\lt|t|$、すなわち $t\lt-a/2$ で正、$t\gt-a/2$ で負なので、$g$ の最大値は $g(-a/2)=2\tanh(a/2)$ です。よって $C_{xy}\le\tanh(\beta|J|)$ で、隣接点は $2d$ 個なので $\alpha(\gamma^\Phi)\le2d\tanh(\beta|J|)\lt1$ です。$\gamma^\Phi$ は準局所的な仕様（<Ref to="prop-gibbs-spec" />。$\sup_x\sum_{A\ni x}\|\Phi_A\|_\infty=\beta(2d|J|+|h|)\lt\infty$）なので、<Ref to="thm-dobrushin" /> から $|\mathcal{G}(\Phi)|=1$ です。
</Proof>

<Example id="ex-ising-dobrushin" title="Ising 模型の高温での一意性">
最近接 Ising 模型（逆温度 $\beta$、結合 $J$、外場 $h$）では、$x$ の局所場を $m=J\sum_{y\sim x}\omega_y+h$ とすると $\gamma_x(+1\mid\omega)=(1+\tanh\beta m)/2$ です。隣の $y$ のスピンを反転すると $m$ は $m\pm2J$ に変わるので
$$
C_{xy}\le\sup_{m\in\mathbb{R}}\tfrac12\bigl|\tanh(\beta(m+2J))-\tanh(\beta m)\bigr|=\tanh(\beta|J|)
$$
（上限は $m=-J$ でとられる）。隣接点は $2d$ 個なので $\alpha\le2d\tanh(\beta|J|)$ で、
$$
2d\tanh(\beta|J|)<1
$$
なら外場 $h$ によらず Gibbs 測度はただ一つです（<Ref to="prop-ising-dobrushin" />）。$d=2$ では $\beta|J|<\operatorname{artanh}(1/4)\approx0.255$ です（正確な臨界値は $\beta_cJ=\frac12\log(1+\sqrt2)\approx0.441$）。
</Example>

<Remark id="rem-dobrushin-more" title="Dobrushin 条件のもとでの他の帰結">
Dobrushin 条件のもとでは、一意性だけでなく、相関の減衰（$|\mu(fg)-\mu(f)\mu(g)|$ の評価）や、相互作用についての Gibbs 測度の滑らかさも同じ行列 $C$ で制御できます。また、スピン系の Glauber 力学の指数的な緩和や、[関数不等式の章](/mathematics/gibbs-measures/functional-inequalities) で扱う対数 Sobolev 不等式も、Dobrushin 型の条件から導かれます（Stroock–Zegarlinski）。
</Remark>

## 8. 演習

<Exercise id="exr-free-unique" difficulty="易">
$\Phi=0$ の Gibbs 仕様（<Ref to="ex-free-spec" />）について、$\mathcal{G}$ が $S$ 上の一様分布の無限直積だけからなることを、(1) DLR 方程式から直接、(2) <Ref to="thm-dobrushin" /> から、の 2 通りで示してください。
<Solution>
(1) $\mu\in\mathcal{G}$、$\Lambda\Subset\mathbb{Z}^d$、$\xi\in\Omega_\Lambda$ について $\mu(\omega_\Lambda=\xi)=\mu\gamma_\Lambda(\omega_\Lambda=\xi)=\int|S|^{-|\Lambda|}\,d\mu=|S|^{-|\Lambda|}$。有限次元分布が一様分布の直積と一致するので、柱集合（π-系）の上で一致し、測度の一意性（<Ref to="mathematics/real-analysis/abstract-measures#thm-uniqueness-measures" />）から $\mu$ は一様分布の無限直積です。逆にこの直積が DLR 方程式を満たすことは、$\Lambda$ 上の一様分布と外の分布が独立であることから従います。

(2) $\gamma_x(\cdot\mid\omega)$ は $\omega$ によらない一様分布なので $C_{xy}=0$、$\alpha=0<1$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-mixture-not-extremal" difficulty="標準">
$\mu_1\ne\mu_2$ を極値 Gibbs 測度とし、$\mu=\frac12(\mu_1+\mu_2)$ とします。<Ref to="cor-tail-determines" /> の尾部事象 $B$ について $\mu(B)=1/2$ を示し、$\mu$ が局所関数の相関について「遠くで無相関」にならない例を作ってください。具体的には $S=\{-1,1\}$ で $\mu_1(\omega_x)=m=-\mu_2(\omega_x)$（$m>0$、すべての $x$）のとき、$\mu(\omega_0\omega_x)-\mu(\omega_0)\mu(\omega_x)\ge m^2$ を示してください（極値測度では $\mu_i(\omega_0\omega_x)\ge\mu_i(\omega_0)\mu_i(\omega_x)$ が成り立つと仮定してよい）。
<Solution>
$\mu_1(B)=1$、$\mu_2(B)=0$ なので $\mu(B)=1/2$。相関については $\mu(\omega_0)=\mu(\omega_x)=0$ で、
$$
\mu(\omega_0\omega_x)=\tfrac12\bigl(\mu_1(\omega_0\omega_x)+\mu_2(\omega_0\omega_x)\bigr)\ge\tfrac12(m^2+m^2)=m^2.
$$
したがって共分散は $|x|$ によらず $m^2$ 以上で、$|x|\to\infty$ でも $0$ に近づきません。混合状態では、遠く離れたスピンが「どちらの相にいるか」という尾部の情報を通じて相関します。仮定した不等式は強磁性 Ising 模型の $\pm$ 状態では GKS 不等式（<Ref to="physics/constructive-qft/correlation-inequalities#thm-griffiths-second" />）の極限として成り立ちます。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-dobrushin-pair" difficulty="標準">
$S=\{-1,1\}$、$\Phi_{\{x,y\}}=-J_{xy}\omega_x\omega_y$（$J_{xy}=J_{yx}$、$\sup_x\sum_y|J_{xy}|<\infty$）と外場 $\Phi_{\{x\}}=-h_x\omega_x$ からなる Ising 模型（逆温度は $J,h$ に含める）について、$C_{xy}\le\tanh|J_{xy}|$ を示し、$\sup_x\sum_y\tanh|J_{xy}|<1$ なら Gibbs 測度が一意であることを導いてください。<Ref to="cor-dobrushin-gibbs" /> の条件と比べてどちらが強いですか。
<Solution>
<Ref to="ex-ising-dobrushin" /> と同じく、$x$ の局所場 $m=\sum_yJ_{xy}\omega_y+h_x$ について $\gamma_x(+1\mid\omega)=(1+\tanh m)/2$ で、$y$ のスピンを反転すると $m$ は $\pm2J_{xy}$ だけ変わります。$\tanh$ の差は $\sup_m\frac12|\tanh(m+2a)-\tanh m|=\tanh|a|$ なので $C_{xy}\le\tanh|J_{xy}|$。あとは <Ref to="thm-dobrushin" /> です。<Ref to="cor-dobrushin-gibbs" /> の条件は $\operatorname{osc}\Phi_{\{x,y\}}=2|J_{xy}|$ から $\sup_x\sum_y2|J_{xy}|<1/2$、すなわち $\sum_y|J_{xy}|<1/4$ で、$\tanh a\le a$ なのでこれは今の条件 $\sum_y\tanh|J_{xy}|<1$ より強い（狭い）条件です。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- H.-O. Georgii, *Gibbs Measures and Phase Transitions*, 2nd ed., de Gruyter, 2011 — 第 1・2 章（仕様と Gibbs 測度）、第 4 章（存在）、第 7 章（極値分解）、第 8 章（Dobrushin の一意性）。
- S. Friedli, Y. Velenik, *Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction*, Cambridge University Press, 2017 — 第 6 章。
- R. L. Dobrushin, "The description of a random field by means of conditional probabilities and conditions of its regularity", *Theory of Probability and its Applications* 13 (1968), 197–224.
- O. E. Lanford, D. Ruelle, "Observables at infinity and states with short range correlations in statistical mechanics", *Communications in Mathematical Physics* 13 (1969), 194–215.
- B. Simon, *The Statistical Mechanics of Lattice Gases, Vol. I*, Princeton University Press, 1993 — Gibbs 状態と DLR 方程式を扱う章。