# ベクトル値解析と関数計算：Bochner 積分・Riesz–Dunford・Helffer–Sjöstrand・閉作用素の極分解

> Banach 空間値関数の Bochner 積分と微積分、弱正則なら強正則という Dunford の定理を証明し、Riesz–Dunford の正則関数計算、閉作用素の Riesz 射影とスペクトル分解、Helffer–Sjöstrand 公式、閉作用素の極分解を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/functional-analysis/vector-valued-analysis

## 0. この記事の要点

ふつうの積分は「数」を値とする関数を足し合わせるものですが、この記事では「関数」や「作用素」を値とする関数を足し合わせる方法を作ります。たとえば、時刻ごとに作用素が決まっているとき、それを時刻について積分したら何になるのか、という問いです。これができると、行列の $e^A$ や $\sqrt A$ を、無限次元の作用素にまで広げて定義できるようになります。

- Banach 空間に値をとる関数の積分（**Bochner 積分**）を、[単関数](/mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#def-simple-function)の $L^1$ 近似で定義します。可積分性は $\int\|f\|\,d\mu<\infty$ と同値で、有界作用素とも[閉作用素](/mathematics/functional-analysis/unbounded-operators#def-closed-operator)（Hille の定理）とも可換です。可測性は「弱可測かつ本質的に可分値」と同値です（Pettis の定理）。
- 連続関数のリーマン積分は Bochner 積分の特別な場合で、微積分の基本定理と平均値の不等式は汎関数を通して Banach 空間値に持ち上がります。
- 汎関数（ベクトルに数を対応させる線形な写像）を作用させるたびに[正則](/mathematics/complex-analysis/holomorphic-functions#def-holomorphic)になる関数は、ノルムで正則です（**Dunford の定理**）。これで作用素値の Cauchy 積分が自由に使えます。
- 有界作用素 $A$ と $\sigma(A)$ の近傍で正則な $f$ に対し、$f(A)=\frac1{2\pi i}\oint f(z)(z-A)^{-1}dz$ は環準同型で、$\sigma(f(A))=f(\sigma(A))$ が成り立ちます（**Riesz–Dunford の関数計算**）。閉作用素でも、スペクトルの孤立した部分を切り出す **Riesz 射影**（[リース射影](/mathematics/functional-analysis/operator-convergence#def-riesz-projection)）が作れ、$T$ はその値域と核に分解されます。自己共役性はいりません。
- [自己共役作用素](/mathematics/functional-analysis/self-adjoint-extensions#def-self-adjoint)には、レゾルベント（$(A-z)^{-1}$ のこと）の面積分による **Helffer–Sjöstrand 公式** $f(A)=\frac1\pi\int\bar\partial\tilde f(z)(A-z)^{-1}dx\,dy$ があり、$\|f(A)-f(B)\|\le C_f\|A-B\|$ のような評価がすぐに出ます。最後に閉作用素の**極分解** $T=U|T|$ を証明します。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **可分**: 可算個の点からなる稠密な部分集合をもつ、という性質。→ [可分性](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-hilbert-space)
- **閉作用素**: グラフが閉じている（$x_n\to x$ かつ $Tx_n\to y$ なら $x\in D(T)$, $Tx=y$）ような作用素。→ [閉作用素](/mathematics/functional-analysis/unbounded-operators#def-closed-operator)
- **レゾルベント**: 作用素 $T$ に対して $(T-z)^{-1}$ が有界作用素として定まる $z$ での、その逆作用素。→ [スペクトル定理と関数計算](/mathematics/functional-analysis/spectral-theorem-unbounded)
- **一様有界性原理**: Banach 空間上の有界作用素の族が各点で有界なら、ノルムでも有界になるという定理。→ [Banach 空間の基本定理](/mathematics/functional-analysis/banach-spaces)
- **正則関数**: 複素変数の関数で、各点で複素微分可能なもの。→ [正則関数](/mathematics/complex-analysis/holomorphic-functions#def-holomorphic)
- **自己共役作用素**: 作用素と、その共役作用素が（定義域も込めて）一致するもの。→ [自己共役作用素](/mathematics/functional-analysis/self-adjoint-extensions#def-self-adjoint)

</Aside>

## 1. 動機

この章までに、ベクトル値や作用素値の積分をいくつも使ってきました。[1 径数ユニタリ群と強連続半群](/mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups) のレゾルベントの Laplace 表示 $(\lambda-L)^{-1}x=\int_0^\infty e^{-\lambda t}T(t)x\,dt$、[作用素の収束と摂動](/mathematics/functional-analysis/operator-convergence) のリース射影 $-\frac1{2\pi i}\oint(T-z)^{-1}dz$ がそうです。そこでは「連続関数のリーマン積分」として済ませ、積分と作用素の交換や、閉作用素を積分の中に入れる操作は個別に確かめていました。

この記事の前半では、そうした操作を 1 回で正当化する道具をそろえます。測度空間上のベクトル値関数の積分（Bochner 積分）、微積分の基本定理、ベクトル値正則関数です。後半ではそれを使って、行列の関数 $e^A$, $\log A$, $\sqrt A$ を Banach 空間上の有界作用素や閉作用素に広げます。自己共役作用素ならスペクトル定理がすべてを与えますが、散逸のある系や共鳴（複素スケーリングした作用素）、冨田–竹崎理論のモジュラー作用素の極分解など、自己共役でない作用素は研究水準の話題で頻繁に現れます。そこで頼りになるのが Cauchy 積分による関数計算です。

## 2. 準備

$X$, $Y$ は Banach 空間、係数体は $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ で、§5 以降は $\mathbb{C}$ とします。$(\Omega,\Sigma,\mu)$ は測度空間で、零集合の部分集合は可測とします（完備性）。スカラー値関数のルベーグ積分と優収束定理は [ルベーグ積分](/mathematics/real-analysis/lebesgue-integral) のもの（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-dct" />）を使います。

Hahn–Banach の定理の帰結として、$x\in X$ について $\|x\|=\sup_{\|\varphi\|\le1}|\varphi(x)|$ で、すべての $\varphi\in X^*$ で $\varphi(x)=\varphi(y)$ なら $x=y$ です（<Ref to="mathematics/functional-analysis/banach-spaces#cor-norming-functional" />）。以下ではこれを「汎関数で比べる」と呼び、ベクトル値の等式や不等式をスカラーの場合に帰着させる基本手段にします。

## 3. Bochner 積分

スカラー値の関数では「可測」は一種類ですが、無限次元の値をとる関数では、単関数で近似できること、どの汎関数を通して見ても可測であること、値が[可分](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-hilbert-space)な範囲に収まること、の 3 つを区別する必要があります。積分は単関数の極限として定義するので、必要なのは最初の性質（強可測）で、次の Pettis の定理は、それが後ろの 2 つを合わせたものと同じであることを述べています。

<Definition id="def-strongly-measurable" title="強可測・弱可測">
$s=\sum_{i=1}^n\mathbf{1}_{E_i}x_i$（$E_i\in\Sigma$, $x_i\in X$）の形の関数を**単関数**という。$f:\Omega\to X$ が

1. **強可測**であるとは、単関数の列 $s_n$ で、ほとんどすべての $\omega$ について $\|s_n(\omega)-f(\omega)\|\to0$ となるものがあることをいう。
2. **弱可測**であるとは、すべての $\varphi\in X^*$ について $\varphi\circ f$ が可測であることをいう。
3. **本質的に可分値**であるとは、零集合 $N$ があって $f(\Omega\setminus N)$ が $X$ の可分な部分集合であることをいう。
</Definition>

<Theorem id="thm-pettis" title="Pettis の可測性定理">
$f:\Omega\to X$ が強可測であることと、弱可測かつ本質的に可分値であることは同値である。
</Theorem>

<Proof of="thm-pettis">
（$\Rightarrow$）$s_n\to f$（a.e.）なら $\varphi\circ s_n\to\varphi\circ f$（a.e.）で、可測関数の a.e. 極限は可測です。各 $s_n$ の値域は有限集合なので、$f(\Omega\setminus N)$ は可算集合 $\bigcup_ns_n(\Omega)$ の閉包に含まれ、可分です。

（$\Leftarrow$）零集合上で $f$ を $0$ に取り替えて、$f(\Omega)$ が可分な閉部分空間 $X_0$ に含まれるとしてよいです。$\{d_k\}$ を $X_0$ の稠密な列とし、<Ref to="mathematics/functional-analysis/banach-spaces#cor-norming-functional" /> で $\|\varphi_k\|=1$, $\varphi_k(d_k)=\|d_k\|$ となる $\varphi_k$ を取ります。$x\in X_0$, $\varepsilon>0$ について $\|x-d_k\|<\varepsilon$ となる $k$ を選べば $|\varphi_k(x)|\ge\|d_k\|-\varepsilon\ge\|x\|-2\varepsilon$ なので、$\|x\|=\sup_k|\varphi_k(x)|$ です。よって各 $x\in X_0$ について
$$
\omega\mapsto\|f(\omega)-x\|=\sup_k|\varphi_k(f(\omega))-\varphi_k(x)|
$$
は可測です。$f_n(\omega)$ を、$\|f(\omega)-d_k\|$（$k\le n$）を最小にする $k$ のうち最小のものに対する $d_k$ と定めます。$\{\omega:f_n(\omega)=d_k\}$ は有限個の可測関数の大小比較で書けるので可測で、$f_n$ は単関数です。稠密性から $\|f_n(\omega)-f(\omega)\|=\min_{k\le n}\|f(\omega)-d_k\|\to0$ です。
</Proof>

<Corollary id="cor-measurable-limit">
強可測関数の列 $f_n$ がほとんどいたるところで $f$ に収束すれば、$f$ も強可測である。とくに $\|f(\cdot)\|$ は可測である。
</Corollary>

<Proof of="cor-measurable-limit">
$\varphi\circ f=\lim\varphi\circ f_n$（a.e.）は可測で、$f$ の値は（零集合を除いて）可分集合 $\bigcup_n f_n(\Omega\setminus N_n)$ の閉包に入ります。<Ref to="thm-pettis" /> を使います。$\|f\|$ は $\|s_n\|$（単関数なので可測）の a.e. 極限です。
</Proof>

<Definition id="def-bochner-integral" title="Bochner 積分">
単関数 $s=\sum_i\mathbf{1}_{E_i}x_i$ で $x_i\ne0$ となる $E_i$ の測度がすべて有限なものを**可積分単関数**といい、$\int s\,d\mu=\sum_i\mu(E_i)x_i$ と置く。強可測な $f$ が **Bochner 可積分**であるとは、可積分単関数の列 $s_n$ で $\int\|s_n-f\|\,d\mu\to0$ となるものがあることをいい、そのとき
$$
\int_\Omega f\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_\Omega s_n\,d\mu
$$
と定める。
</Definition>

単関数の積分が表示によらないこと、線形であること、$\|\int s\|\le\int\|s\|$ は、有限個の集合を共通細分すればスカラーの場合と同じです。すると $\|\int s_n-\int s_m\|\le\int\|s_n-f\|+\int\|f-s_m\|$ から極限が存在し、別の近似列 $s'_n$ を混ぜた列を考えれば極限は近似列によりません。

<Theorem id="thm-bochner" title="Bochner の定理">
強可測な $f:\Omega\to X$ が Bochner 可積分であるための必要十分条件は、$\int_\Omega\|f\|\,d\mu<\infty$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-bochner">
必要性は $\|f\|\le\|f-s_n\|+\|s_n\|$ からです。十分性: 単関数 $g_n\to f$（a.e.）を取り、$s_n=g_n\mathbf{1}_{\{\|g_n\|\le2\|f\|\}}$ と置きます。$s_n$ は単関数で、値 $x\ne0$ をとる集合は $\{\|f\|\ge\|x\|/2\}$ に含まれ、Chebyshev の不等式から測度有限なので、可積分単関数です。$f(\omega)\ne0$ なら十分大きな $n$ で $\|g_n(\omega)\|\le2\|f(\omega)\|$ なので $s_n(\omega)\to f(\omega)$、$f(\omega)=0$ なら $s_n(\omega)=0$ です。$\|s_n-f\|\le3\|f\|$ は可積分なので、優収束定理から $\int\|s_n-f\|\to0$ です。
</Proof>

<Proposition id="prop-bochner-properties" title="Bochner 積分の基本性質">
$f,g$ を Bochner 可積分とする。

1. $\int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g$、$\bigl\|\int f\bigr\|\le\int\|f\|$。
2. $T\in\mathcal{B}(X,Y)$ なら $Tf$ は Bochner 可積分で $T\int f=\int Tf$。とくに $\varphi(\int f)=\int\varphi\circ f$（$\varphi\in X^*$）。
3. （優収束定理）$f_n$ が強可測で a.e. に $f$ に収束し、可積分なスカラー関数 $h$ で $\|f_n\|\le h$ ならば、$f$ は Bochner 可積分で $\bigl\|\int f_n-\int f\bigr\|\le\int\|f_n-f\|\to0$。
4. $f$ がほとんどいたるところで閉部分空間 $M$ に値をとるなら $\int f\in M$。
</Proposition>

<Proof of="prop-bochner-properties">
1, 2 は単関数で成り立ち、$\|Ts_n-Tf\|\le\|T\|\|s_n-f\|$ から極限に移ります。3: <Ref to="cor-measurable-limit" /> で $f$ は強可測、$\|f\|\le h$ なので <Ref to="thm-bochner" /> により可積分で、1 とスカラーの優収束定理を $\|f_n-f\|\le2h$ に使います。4: $\int f\notin M$ なら Hahn–Banach（<Ref to="mathematics/functional-analysis/topological-vector-spaces#thm-separation-compact" /> を $\{\int f\}$ と $M$ に適用し、部分空間上で有界な線形汎関数は $0$ であることを使う）で $\varphi|_M=0$, $\varphi(\int f)\ne0$ となる $\varphi$ があり、2 の $\varphi(\int f)=\int\varphi\circ f=0$ に反します。
</Proof>

<Theorem id="thm-hille-integral" title="Hille の定理（閉作用素と積分の交換）">
$A$ を $X$ における閉作用素とする。$f$ が Bochner 可積分で、ほとんどいたるところ $f(\omega)\in D(A)$、かつ $Af$ も Bochner 可積分ならば、$\int f\in D(A)$ で $A\int f=\int Af$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-hille-integral">
$X\times X$ にノルム $\|(x,y)\|=\|x\|+\|y\|$ を入れると Banach 空間で、$A$ のグラフ $G(A)$ は閉部分空間です。$g=(f,Af)$ は、$f$ と $Af$ を近似する単関数の組で近似できるので強可測で、$\int\|g\|=\int\|f\|+\int\|Af\|<\infty$ から Bochner 可積分です。座標射影は有界なので <Ref to="prop-bochner-properties" /> の 2 から $\int g=(\int f,\int Af)$、4 から $\int g\in G(A)$ です。
</Proof>

<Proposition id="prop-riemann-bochner" title="リーマン積分との一致">
$f:[a,b]\to X$ が連続なら、$f$ は Lebesgue 測度について Bochner 可積分で、$\int_a^bf\,dt$ はリーマン和 $\sum_kf(\xi_k)(t_k-t_{k-1})$ の（分割の幅 $\to0$ での）極限に等しい。
</Proposition>

<Proof of="prop-riemann-bochner">
分割 $a=t_0<\cdots<t_m=b$ と代表点 $\xi_k\in[t_{k-1},t_k]$ に対し $s=\sum_k\mathbf{1}_{[t_{k-1},t_k)}f(\xi_k)$ は可積分単関数で、$\int s$ はリーマン和そのものです。$f$ はコンパクト区間上で一様連続なので、分割の幅が $\delta$ 以下なら $\|s-f\|\le\varepsilon$ が $[a,b)$ 上で成り立ち、$\int\|s-f\|\le\varepsilon(b-a)$ です。
</Proof>

これで、これまでの章で使った $\int_0^tT(s)x\,ds$ などの積分はすべて Bochner 積分であり、有界作用素・閉作用素・汎関数と交換できることが保証されました。

<Example id="ex-not-strongly-measurable" title="弱可測だが強可測でない関数">
$X=\ell^2([0,1])$（$[0,1]$ を添字集合とする非可分 Hilbert 空間、正規直交基底 $\{e_t\}_{t\in[0,1]}$）とし、$f(t)=e_t$ と置きます。各 $\varphi=\langle y,\cdot\rangle$ について、$\langle y,e_t\rangle\ne0$ となる $t$ は高々可算個なので $\varphi\circ f=0$（a.e.）で、$f$ は弱可測です。一方 $\|e_t-e_s\|=\sqrt2$（$t\ne s$）なので、零集合を除いても値域は非可算な離散集合で可分ではなく、<Ref to="thm-pettis" /> により強可測ではありません。「汎関数ごとの積分」は $0$ ですが、$\|f\|=1$ なので Bochner 積分は定義できません。可分性が本質的であることを示す例です。
</Example>

## 4. ベクトル値関数の微積分

区間 $I$ 上の $F:I\to X$ が $t$ で**微分可能**とは、$\lim_{h\to0}h^{-1}(F(t+h)-F(t))$ が $X$ のノルムで存在することとします。

<Theorem id="thm-ftc-vector" title="微積分の基本定理と平均値の不等式">
1. $f:[a,b]\to X$ が連続なら、$F(t)=\int_a^tf(s)\,ds$ は微分可能で $F'=f$。
2. $F:[a,b]\to X$ が微分可能で $F'$ が連続なら、$F(b)-F(a)=\int_a^bF'(t)\,dt$。
3. $F:[a,b]\to X$ が連続で $(a,b)$ 上微分可能なら、$\|F(b)-F(a)\|\le(b-a)\sup_{a<t<b}\|F'(t)\|$。とくに $F'=0$ なら $F$ は定数。
</Theorem>

<Proof of="thm-ftc-vector">
1: $\bigl\|h^{-1}(F(t+h)-F(t))-f(t)\bigr\|=\bigl\|h^{-1}\int_t^{t+h}(f(s)-f(t))\,ds\bigr\|\le\sup_{|s-t|\le|h|}\|f(s)-f(t)\|\to0$ です。2: $\varphi\in X^*$ について $\varphi\circ F$ はスカラーの $C^1$ 関数で $(\varphi\circ F)'=\varphi\circ F'$ なので、スカラーの基本定理と <Ref to="prop-bochner-properties" /> の 2 から $\varphi(F(b)-F(a))=\varphi(\int F')$。汎関数で比べて等式を得ます。3: $\|\varphi\|=1$, $\varphi(F(b)-F(a))=\|F(b)-F(a)\|$ となる $\varphi$ を取り、実数値関数 $\mathrm{Re}\,\varphi\circ F$ に平均値の定理を使えば、ある $\xi$ で $\|F(b)-F(a)\|=(b-a)\mathrm{Re}\,\varphi(F'(\xi))\le(b-a)\|F'(\xi)\|$ です。
</Proof>

<Example id="ex-semigroup-ftc" title="半群の積分公式">
$T(t)$ を強連続半群、$L$ をその生成子とすると、$t\mapsto T(t)x$ は連続なので <Ref to="thm-ftc-vector" /> の 1 が使えて、$x\in D(L)$ では $\frac{d}{dt}T(t)x=T(t)Lx$（<Ref to="mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups#prop-semigroup-basic" />）と 2 から $T(t)x-x=\int_0^tT(s)Lx\,ds$ です。また任意の $x$ について $y=\int_0^tT(s)x\,ds$ は $D(L)$ に属し $Ly=T(t)x-x$ です（<Ref to="exr-semigroup-integral" />）。
</Example>

## 5. ベクトル値正則関数

以下 $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ とします。

<Definition id="def-vector-holomorphic" title="強正則・弱正則">
$D\subset\mathbb{C}$ を開集合とする。$f:D\to X$ が**（強）正則**とは、各 $z\in D$ で $\lim_{w\to z}(f(w)-f(z))/(w-z)$ が $X$ のノルムで存在することをいう。すべての $\varphi\in X^*$ について $\varphi\circ f$ が正則であるとき**弱正則**という。作用素値 $T:D\to\mathcal{B}(X,Y)$ では、$\mathcal{B}(X,Y)$ をノルム空間とみて同じように定める。
</Definition>

<Theorem id="thm-dunford" title="Dunford の定理（弱正則なら強正則）">
$f:D\to X$ が弱正則なら強正則である。さらに閉円板 $\{|\zeta-z_0|\le r\}\subset D$ と円周 $C=\{|\zeta-z_0|=r\}$ について、$|z-z_0|<r$ で
$$
f(z)=\frac1{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n,\qquad a_n=\frac1{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\,d\zeta
$$
がノルム収束で成り立ち、$\|a_n\|\le r^{-n}\max_C\|f\|$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-dunford">
各 $\varphi$ について $\varphi\circ f$ は $C$ 上連続なので有界です。<Ref to="mathematics/functional-analysis/banach-spaces#cor-weakly-bounded" /> を集合 $f(C)$ に使うと $M=\sup_{\zeta\in C}\|f(\zeta)\|<\infty$ です。$0<|z-z_0|<r/2$ について $Q(z)=(f(z)-f(z_0))/(z-z_0)$ と置きます。スカラーの Cauchy の積分公式（<Ref to="mathematics/complex-analysis/cauchy-integral-theorem#thm-cif" />）を $\varphi\circ f$ に使って整理すると
$$
\varphi\bigl(Q(z)-Q(w)\bigr)=\frac{z-w}{2\pi i}\oint_C\frac{\varphi(f(\zeta))}{(\zeta-z)(\zeta-w)(\zeta-z_0)}\,d\zeta
$$
で、$|\zeta-z|,|\zeta-w|\ge r/2$ から右辺の絶対値は $4M\|\varphi\||z-w|/r^2$ 以下です。$\|\varphi\|\le1$ について上限を取ると $\|Q(z)-Q(w)\|\le4M|z-w|/r^2$。よって $z\to z_0$ で $Q(z)$ はコーシーで、$X$ の完備性から極限が存在します。

$f$ は強正則なので連続で、積分 $\oint_Cf(\zeta)(\zeta-z)^{-1}d\zeta$ は連続関数の積分として定義され（<Ref to="prop-riemann-bochner" />）、汎関数で比べて Cauchy の積分公式が成り立ちます。$|z-z_0|<r$ なら $(\zeta-z)^{-1}=\sum_n(z-z_0)^n(\zeta-z_0)^{-n-1}$ は $\zeta\in C$ について一様収束するので、項別に積分して級数表示を得ます。係数の評価は積分の評価 $\|a_n\|\le\frac{2\pi r}{2\pi}Mr^{-n-1}$ です。
</Proof>

<Corollary id="cor-operator-holomorphic" title="作用素値の場合">
$T:D\to\mathcal{B}(X,Y)$ が、すべての $x\in X$, $\psi\in Y^*$ について $z\mapsto\psi(T(z)x)$ が正則という意味で弱正則なら、$T$ は $\mathcal{B}(X,Y)$ のノルムで正則である。
</Corollary>

<Proof of="cor-operator-holomorphic">
<Ref to="thm-dunford" /> から各 $x$ について $z\mapsto T(z)x$ は強正則、とくに $C$ 上で $\sup_\zeta\|T(\zeta)x\|<\infty$ です。$X$ は Banach 空間なので一様有界性原理（<Ref to="mathematics/functional-analysis/banach-spaces#thm-uniform-boundedness" />）から $M=\sup_{\zeta\in C}\|T(\zeta)\|<\infty$。あとは <Ref to="thm-dunford" /> の証明の評価を $\|x\|\le1$, $\|\psi\|\le1$ で上限を取って行えば、差分商が作用素ノルムでコーシーになります。
</Proof>

有界作用素のレゾルベント $z\mapsto(A-z)^{-1}$ は <Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#prop-resolvent-analytic" /> によりノルム収束する冪級数で表されるので、ノルムで正則です。閉作用素でも同じです（<Ref to="lem-closed-resolvent" />）。

複雑な形のスペクトルを囲むには、円周だけでなく有限個の閉曲線の和を使います。以下の「回転数」は、閉曲線が点のまわりを正の向きに何周するかを数える整数です。たとえば反時計回りに 1 周する円周なら、内側の点では $1$、外側の点では $0$ になります。区分的に $C^1$ な閉曲線の有限個の形式和 $\Gamma=\gamma_1+\cdots+\gamma_m$ を**サイクル**といい、$\oint_\Gamma=\sum_j\oint_{\gamma_j}$、$\Gamma^*=\bigcup_j\gamma_j([0,1])$ と書きます。$z\notin\Gamma^*$ に対する**回転数**を $\mathrm{Ind}_\Gamma(z)=\frac1{2\pi i}\oint_\Gamma\frac{dw}{w-z}$ と置きます。以下の 3 つは複素解析の標準的な結果ですが、関数計算の土台なので証明をつけておきます。

<Lemma id="lem-winding-number" title="回転数の性質">
$\Gamma$ をサイクルとする。$\mathrm{Ind}_\Gamma$ は $\mathbb{C}\setminus\Gamma^*$ 上で整数値をとり、各連結成分の上で定数で、非有界な連結成分の上では $0$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-winding-number">
1 本の閉曲線 $\gamma:[0,1]\to\mathbb{C}$ について示せば十分です。$z\notin\gamma^*$ を固定し $\phi(t)=\exp\int_0^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s)-z}ds$ と置くと、有限個の点を除いて $\phi'=\phi\gamma'/(\gamma-z)$ なので $\bigl(\phi/(\gamma-z)\bigr)'=0$ で、連続関数 $\phi/(\gamma-z)$ は定数です。$\gamma(1)=\gamma(0)$ から $\phi(1)=\phi(0)=1$、すなわち $\oint_\gamma\frac{dw}{w-z}\in2\pi i\mathbb{Z}$ です。被積分関数は $z$ について（$\gamma^*$ から離れた範囲で）一様に連続なので $\mathrm{Ind}_\gamma$ は連続、整数値の連続関数は連結成分上で定数です。最後に $|\mathrm{Ind}_\gamma(z)|\le\frac{\mathrm{長さ}(\gamma)}{2\pi\,\mathrm{dist}(z,\gamma^*)}\to0$（$|z|\to\infty$）なので、非有界成分では $0$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-global-cauchy" title="大域的 Cauchy の定理">
$U\subset\mathbb{C}$ を開集合、$\Gamma$ を $U$ 内のサイクルで、$U$ の外の全点 $\alpha$ で $\mathrm{Ind}_\Gamma(\alpha)=0$ となるものとする。$g:U\to X$ が正則なら、$\oint_\Gamma g(w)\,dw=0$ であり、$z\in U\setminus\Gamma^*$ で
$$
g(z)\,\mathrm{Ind}_\Gamma(z)=\frac1{2\pi i}\oint_\Gamma\frac{g(w)}{w-z}\,dw .
$$
</Theorem>

<Lemma id="lem-admissible-cycle" title="囲むサイクルの存在">
$U\subset\mathbb{C}$ を開集合、$K\subset U$ を空でないコンパクト集合とする。$U\setminus K$ 内のサイクル $\Gamma$ で、$z\in K$ では $\mathrm{Ind}_\Gamma(z)=1$、$z\notin U$ では $\mathrm{Ind}_\Gamma(z)=0$ となるものが存在する。このような $\Gamma$ を「$U$ の中で $K$ を囲むサイクル」と呼ぶ。
</Lemma>

<Proof of="thm-global-cauchy">
$\varphi\in X^*$ を作用させて汎関数で比べれば（<Ref to="prop-bochner-properties" /> の 2）、$X=\mathbb{C}$ の場合に帰着します。$U\times U$ 上で $G(z,w)=(g(w)-g(z))/(w-z)$（$w\ne z$）、$G(z,z)=g'(z)$ と置きます。$z_0$ を中心とする $U$ 内の円板上では $G(z,w)=\int_0^1g'(z+s(w-z))\,ds$ で、$g'$ は連続（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#cor-infinitely-differentiable" />）なので $G$ は $U\times U$ 上連続です。$h(z)=\frac1{2\pi i}\oint_\Gamma G(z,w)\,dw$ は $U$ 上連続です。各 $w$ について $z\mapsto G(z,w)$ は $U\setminus\{w\}$ で正則かつ $w$ で連続なので $U$ 全体で正則です（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#prop-riemann-removable" />）。$U$ 内の閉三角形 $\Delta$ について、連続関数の累次積分の交換（<Ref to="mathematics/calculus/multiple-integrals#cor-fubini-continuous" />）と Goursat の定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/cauchy-integral-theorem#thm-goursat" />）から $\oint_{\partial\Delta}h\,dz=\frac1{2\pi i}\oint_\Gamma\oint_{\partial\Delta}G(z,w)\,dz\,dw=0$ なので、Morera の定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-morera" />）により $h$ は $U$ 上正則です。

$U_1=\{z\notin\Gamma^*:\mathrm{Ind}_\Gamma(z)=0\}$ は <Ref to="lem-winding-number" /> から開集合で、仮定から $U\cup U_1=\mathbb{C}$ です。$h_1(z)=\frac1{2\pi i}\oint_\Gamma\frac{g(w)}{w-z}dw$ は同じ議論で $U_1$ 上正則で、$U\cap U_1$ 上では $h(z)=h_1(z)-g(z)\mathrm{Ind}_\Gamma(z)=h_1(z)$ です。よって $U$ 上 $h$、$U_1$ 上 $h_1$ と定めた関数は整関数です。$\Gamma^*\subset\{|z|<R\}$ とすると $\{|z|>R\}$ は非有界成分に含まれ $U_1$ の部分集合で、そこで $|h_1(z)|\le\frac{\mathrm{長さ}(\Gamma)\max_{\Gamma^*}|g|}{2\pi(|z|-R)}\to0$。Liouville の定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-liouville" />）からこの整関数は $0$ で、$z\in U\setminus\Gamma^*$ では $0=h(z)=h_1(z)-g(z)\mathrm{Ind}_\Gamma(z)$ が求める公式です。$\oint_\Gamma g=0$ は、$z\in U\setminus\Gamma^*$ を 1 つ固定して公式を $w\mapsto(w-z)g(w)$ に使えば出ます。
</Proof>

<Proof of="lem-admissible-cycle">
$\delta>0$ を、$\delta\sqrt2<\mathrm{dist}(K,\mathbb{C}\setminus U)$ となるように取ります（$U=\mathbb{C}$ なら $\delta=1$）。辺の長さ $\delta$ の閉正方形からなる平面の格子のうち、$K$ と交わるものを $Q_1,\ldots,Q_m$ とすると（$K$ は有界なので有限個）、各 $Q_j\subset U$ です。各 $\partial Q_j$ を正の向きの 4 辺の和とみて全部を足し、隣り合う 2 つの $Q_j$ に共有されて逆向きに現れる辺の組を取り除いたものを $\Gamma$ とします。取り除いた組の積分は打ち消し合うので、連続関数 $F$ について $\oint_\Gamma F=\sum_j\oint_{\partial Q_j}F$ です。

$K$ と交わる辺は、それを共有する 2 つの正方形がどちらも $K$ と交わるので取り除かれており、$\Gamma^*\cap K=\emptyset$ です。もとの和では各頂点で入る辺と出る辺の数が等しく、逆向きの組を除いてもこれは保たれるので、残った辺は有限個の閉折れ線に分けられ、$\Gamma$ はサイクルです。正方形 $Q$ の内部の点 $z$ では $\mathrm{Ind}_{\partial Q}(z)=1$（<Ref to="mathematics/complex-analysis/cauchy-integral-theorem#thm-cif" /> を $f=1$ で）、$Q$ の外の点では $Q$ を含み $z$ を含まない凸開集合上で $1/(w-z)$ が正則なので $\mathrm{Ind}_{\partial Q}(z)=0$ です（<Ref to="mathematics/complex-analysis/cauchy-integral-theorem#thm-cauchy-green" />）。よって $z$ がある $Q_j$ の内部にあれば $\mathrm{Ind}_\Gamma(z)=1$、どの $Q_j$ にも属さなければ（とくに $z\notin U$ なら）$0$ です。$z\in K$ が正方形の辺の上にある場合は、$z\notin\Gamma^*$ なので $z$ の小さな円板は $\Gamma^*$ と交わらず、その中に $z$ を含む $Q_j$ の内点があり、<Ref to="lem-winding-number" /> から $\mathrm{Ind}_\Gamma(z)=1$ です。
</Proof>

## 6. Riesz–Dunford の正則関数計算

ねらいは、Cauchy の積分公式 $f(a)=\frac1{2\pi i}\oint\frac{f(z)}{z-a}\,dz$ の数 $a$ を作用素 $A$ に置き換えて、$f(A)$ を定義することです。積が積になること（乗法性）の証明は、レゾルベント恒等式で二重の周回積分を 2 つの一重積分に分け、回転数を使って整理する、という流れです。

この節では $A\in\mathcal{B}(X)$ とし、$U$ を $\sigma(A)$ を含む開集合、$\mathcal{O}(U)$ を $U$ 上の正則関数全体とします。$\Gamma$ を $U$ の中で $\sigma(A)$ を囲むサイクル（<Ref to="lem-admissible-cycle" />）とすると $\Gamma^*\subset U\setminus\sigma(A)\subset\rho(A)$ です。

<Definition id="def-holomorphic-calculus" title="正則関数計算">
$f\in\mathcal{O}(U)$ に対し
$$
f(A)=\frac1{2\pi i}\oint_\Gamma f(z)(z-A)^{-1}\,dz
$$
と定める。被積分関数は $\Gamma^*$ 上でノルム連続なので、積分は連続関数の積分として定まる。
</Definition>

<Theorem id="thm-riesz-dunford" title="Riesz–Dunford の関数計算">
1. $f(A)$ は $\Gamma$ の取り方によらない。
2. $f\mapsto f(A)$ は線形かつ乗法的で（$(fg)(A)=f(A)g(A)$）、$1(A)=1$、$\mathrm{id}(A)=A$ である。とくに多項式 $p$ について $p(A)$ は通常の意味のものと一致する。
3. $f_n\in\mathcal{O}(U)$ が $U$ の各コンパクト集合上で $f$ に一様収束すれば、$\|f_n(A)-f(A)\|\to0$。
4. （スペクトル写像定理）$\sigma(f(A))=f(\sigma(A))$。
5. $B\in\mathcal{B}(X)$ が $A$ と可換なら、$B$ は $f(A)$ と可換である。
</Theorem>

<Proof of="thm-riesz-dunford">
$R(z)=(z-A)^{-1}$ と書きます。<Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#thm-resolvent-identity" /> を書き直すと $R(z)-R(w)=(w-z)R(z)R(w)$ です。

**1.** $\Gamma,\Gamma'$ をどちらも $U$ の中で $\sigma(A)$ を囲むサイクルとします。$F(z)=f(z)R(z)$ は $U\setminus\sigma(A)$ 上で正則で、サイクル $\Gamma-\Gamma'$ の回転数は $\sigma(A)$ 上で $1-1=0$、$U$ の外で $0-0=0$ です。<Ref to="thm-global-cauchy" /> を開集合 $U\setminus\sigma(A)$ で使うと $\oint_\Gamma F=\oint_{\Gamma'}F$ です。同じ理由で、$f$ を $\sigma(A)$ を含むより小さな開集合に制限しても $f(A)$ は変わりません。

**2.** 線形性は明らかです。$\Gamma_2$ を $U$ の中で $\sigma(A)$ を囲むサイクルとし、$V=\{z\notin\Gamma_2^*:\mathrm{Ind}_{\Gamma_2}(z)=1\}$ と置くと、$V$ は $\sigma(A)$ を含む開集合で $V\subset U$ です。$\Gamma_1$ を $V$ の中で $\sigma(A)$ を囲むサイクルとすると、$\Gamma_1^*\subset V$ 上で $\mathrm{Ind}_{\Gamma_2}=1$、$\Gamma_2^*\cap V=\emptyset$ なので $\Gamma_2^*$ 上で $\mathrm{Ind}_{\Gamma_1}=0$ です。1 から $f(A)$ を $\Gamma_1$、$g(A)$ を $\Gamma_2$ で計算し、Fubini と $R(z)R(w)=(R(z)-R(w))/(w-z)$ を使うと
$$
f(A)g(A)=\frac{1}{(2\pi i)^2}\oint_{\Gamma_1}f(z)R(z)\Bigl[\oint_{\Gamma_2}\frac{g(w)}{w-z}dw\Bigr]dz-\frac{1}{(2\pi i)^2}\oint_{\Gamma_2}g(w)R(w)\Bigl[\oint_{\Gamma_1}\frac{f(z)}{w-z}dz\Bigr]dw .
$$
<Ref to="thm-global-cauchy" /> から、最初の括弧は $2\pi i\,g(z)\mathrm{Ind}_{\Gamma_2}(z)=2\pi i\,g(z)$、2 番目の括弧は（$z\mapsto f(z)/(w-z)$ が $V$ 上正則なので）$0$ です。よって $f(A)g(A)=(fg)(A)$。$1(A)$ と $\mathrm{id}(A)$ は、1 により $\Gamma$ を半径 $r>\|A\|$ の円周に取り、そこで一様収束する展開 $R(z)=\sum_nA^nz^{-n-1}$（<Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#prop-resolvent-analytic" />）を項別に積分すれば $1$ と $A$ です（ここでは $U=\mathbb{C}$ として計算し、1 の後半を使います）。

**3.** $\|f_n(A)-f(A)\|\le\frac{\mathrm{長さ}(\Gamma)}{2\pi}\max_{\Gamma^*}\|R\|\max_{\Gamma^*}|f_n-f|$ です。

**4.** $\lambda\in\sigma(A)$ とし、$g(z)=(f(z)-f(\lambda))/(z-\lambda)$（$g(\lambda)=f'(\lambda)$）と置くと $g\in\mathcal{O}(U)$ で、2 から $f(A)-f(\lambda)=(A-\lambda)g(A)=g(A)(A-\lambda)$。$f(A)-f(\lambda)$ が逆 $B$ をもてば、$A-\lambda$ は右逆 $g(A)B$ と左逆 $Bg(A)$ をもち、可逆になって矛盾します。よって $f(\sigma(A))\subset\sigma(f(A))$。逆に $\mu\notin f(\sigma(A))$ なら $h=1/(f-\mu)$ は $\sigma(A)$ を含む開集合 $\{z\in U:f(z)\ne\mu\}$ 上で正則で、2 と 1 から $h(A)(f(A)-\mu)=(f(A)-\mu)h(A)=1$、すなわち $\mu\in\rho(f(A))$ です。

**5.** $B$ は $(z-A)^{-1}$ と可換なので、<Ref to="prop-bochner-properties" /> の 2 で積分と交換できます。
</Proof>

<Example id="ex-exp-sqrt" title="指数関数と平方根">
(1) $e^z$ の Taylor 多項式は $\mathbb{C}$ 上で広義一様に収束するので、<Ref to="thm-riesz-dunford" /> の 2, 3 から $e^A=\sum_nA^n/n!$（ノルム収束）で、スペクトル写像定理から $\sigma(e^A)=e^{\sigma(A)}$。

(2) $\sigma(A)\cap(-\infty,0]=\emptyset$ なら、主枝の平方根 $s(z)=\sqrt z$ は $\sigma(A)$ を含む開集合 $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ 上で正則で、乗法性から $s(A)^2=(s^2)(A)=A$、かつ $\sigma(s(A))\subset\{\mathrm{Re}\,z>0\}$ です。自己共役性や正値性を仮定しなくても、スペクトルが負の実軸を避けていれば平方根が作れます。

(3) [有界作用素](/mathematics/functional-analysis/bounded-operators) の Volterra 作用素 $V$（<Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#ex-volterra" />）は $\sigma(V)=\{0\}$ なので $\sigma(e^V)=\{1\}$ ですが、$e^V\ne1$ です（<Ref to="exr-volterra-exp" />）。スペクトルが 1 点でも作用素は決まりません。
</Example>

<Remark id="rem-rd-vs-borel">
$X$ が Hilbert 空間で $A$ が有界な自己共役作用素なら、Riesz–Dunford の $f(A)$ はスペクトル定理による関数計算の $f(A)$ と一致します。証明は <Ref to="mathematics/functional-analysis/operator-convergence#prop-riesz-spectral-projection" /> と同じで、$\langle\varphi,f(A)\varphi\rangle$ に Fubini の定理を使い、スペクトル測度で積分する前に Cauchy の積分公式（ここでは <Ref to="thm-global-cauchy" />）を使います。Riesz–Dunford は正則関数にしか使えない代わりに、自己共役性も Hilbert 構造もいりません。
</Remark>

## 7. 閉作用素の Riesz 射影とスペクトル分解

$X$ における**閉作用素** $T:D(T)\to X$（グラフが閉）について、$T-z:D(T)\to X$ が全単射で逆が有界になる $z$ の集合を $\rho(T)$、$\sigma(T)=\mathbb{C}\setminus\rho(T)$、$R(z)=(T-z)^{-1}$ とします。これは Hilbert 空間での <Ref to="mathematics/functional-analysis/unbounded-operators#def-resolvent-spectrum" /> と同じ定義です。

<Lemma id="lem-closed-resolvent" title="閉作用素のレゾルベント">
$T$ を閉作用素とする。$z\in\rho(T)$, $|w-z|<\|R(z)\|^{-1}$ なら $w\in\rho(T)$ で $R(w)=\sum_{n\ge0}(w-z)^nR(z)^{n+1}$。したがって $\rho(T)$ は開で、$R$ は $\rho(T)$ 上ノルムで正則である。さらに $R(z)-R(w)=(z-w)R(z)R(w)$、$R(z)R(w)=R(w)R(z)$、$TR(z)=1+zR(z)$ が成り立つ。
</Lemma>

<Proof of="lem-closed-resolvent">
$D(T)$ 上で $T-w=\bigl(1-(w-z)R(z)\bigr)(T-z)$ で、$\|(w-z)R(z)\|<1$ なので括弧はノイマン級数（<Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#thm-neumann-series" />）で可逆です。よって $T-w$ は全単射で逆は $R(z)\bigl(1-(w-z)R(z)\bigr)^{-1}=\sum_n(w-z)^nR(z)^{n+1}$。レゾルベント恒等式は $R(z)\bigl[(T-w)-(T-z)\bigr]R(w)$ を 2 通りに計算すれば出て、$z,w$ を入れ替えて比べれば可換性が出ます。$TR(z)=(T-z)R(z)+zR(z)=1+zR(z)$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-riesz-decomposition" title="Riesz 射影によるスペクトル分解">
$T$ を $X$ における閉作用素とし、$\sigma(T)=\sigma_1\cup\sigma_2$（交わらない）で $\sigma_1$ はコンパクト、$\sigma_2$ は閉とする。$U$ を $\sigma_1\subset U$, $U\cap\sigma_2=\emptyset$ となる開集合、$\Gamma$ を $U$ の中で $\sigma_1$ を囲むサイクルとし、
$$
P=-\frac1{2\pi i}\oint_\Gamma R(z)\,dz
$$
と置く。このとき次が成り立つ。

1. $P$ は $U$, $\Gamma$ の取り方によらない有界な射影（$P^2=P$）である。
2. $\mathrm{Ran}\,P\subset D(T)$、$TP\in\mathcal{B}(X)$、$x\in D(T)$ なら $PTx=TPx$。したがって $X=\mathrm{Ran}\,P\oplus\mathrm{Ker}\,P$ は $T$ を約し、$T_1=T|_{\mathrm{Ran}P}$（有界）と $T_2=T|_{D(T)\cap\mathrm{Ker}P}$ に分かれる。
3. $\sigma(T_1)=\sigma_1$、$\sigma(T_2)=\sigma_2$。とくに $P=0$ と $\sigma_1=\emptyset$ は同値である。
</Theorem>

<Proof of="thm-riesz-decomposition">
**1.** 独立性は <Ref to="thm-riesz-dunford" /> の 1 と同じで、$\Gamma-\Gamma'$ の回転数は $\sigma_1$ 上で $0$、$\sigma_2$ 上で（$\sigma_2\cap U=\emptyset$ なので）$0$ です。射影性: $\Gamma'$ を $U$ の中で $\sigma_1$ を囲むサイクル、$V=\{z\notin\Gamma'^*:\mathrm{Ind}_{\Gamma'}(z)=1\}$、$\Gamma$ を $V$ の中で $\sigma_1$ を囲むサイクルとします。$\Gamma^*$ 上で $\mathrm{Ind}_{\Gamma'}=1$、$\Gamma'^*$ 上で $\mathrm{Ind}_\Gamma=0$ です。<Ref to="lem-closed-resolvent" /> の $R(z)R(w)=(R(z)-R(w))/(z-w)$ を使うと
$$
P^2=\frac1{(2\pi i)^2}\oint_\Gamma R(z)\Bigl[\oint_{\Gamma'}\frac{dw}{z-w}\Bigr]dz-\frac1{(2\pi i)^2}\oint_{\Gamma'}R(w)\Bigl[\oint_\Gamma\frac{dz}{z-w}\Bigr]dw .
$$
最初の括弧は $-2\pi i\,\mathrm{Ind}_{\Gamma'}(z)=-2\pi i$、2 番目は $2\pi i\,\mathrm{Ind}_\Gamma(w)=0$ なので、$P^2=-\frac1{2\pi i}\oint_\Gamma R=P$ です。

**2.** $TR(z)=1+zR(z)$ は $\Gamma^*$ 上で連続な有界作用素値関数なので、<Ref to="thm-hille-integral" /> から $Px\in D(T)$、$TPx=-\frac1{2\pi i}\oint_\Gamma(1+zR(z))x\,dz=-\frac1{2\pi i}\oint_\Gamma zR(z)x\,dz$（$\oint_\Gamma dz=0$）で、$TP$ は有界です。$x\in D(T)$ なら $R(z)Tx=TR(z)x$ なので、同じく Hille の定理から $PTx=TPx$。$R(z)$ と $P$ は可換です（$P$ はレゾルベントの積分で、レゾルベントどうしは可換）。

**3.** $\lambda\notin\Gamma^*$ について $S_\lambda=-\frac1{2\pi i}\oint_\Gamma(\lambda-z)^{-1}R(z)\,dz$ と置きます。$(T-\lambda)R(z)=1+(z-\lambda)R(z)$ と Hille の定理から
$$
(T-\lambda)S_\lambda=-\frac1{2\pi i}\oint_\Gamma\frac{dz}{\lambda-z}+\frac1{2\pi i}\oint_\Gamma R(z)\,dz=\mathrm{Ind}_\Gamma(\lambda)-P,
$$
同様に $D(T)$ 上で $S_\lambda(T-\lambda)=\mathrm{Ind}_\Gamma(\lambda)-P$ で、$S_\lambda$ は $P$ と可換です。

- $\lambda\in\sigma_2$ なら $\lambda\notin U$ なので $\mathrm{Ind}_\Gamma(\lambda)=0$ で、$-S_\lambda$ は $\mathrm{Ran}\,P$ 上で $T_1-\lambda$ の逆です。よって $\sigma(T_1)\cap\sigma_2=\emptyset$。
- $\lambda\in\sigma_1$ なら $\mathrm{Ind}_\Gamma(\lambda)=1$ で、$S_\lambda$ は $\mathrm{Ker}\,P$ 上で $T_2-\lambda$ の逆です。よって $\sigma(T_2)\cap\sigma_1=\emptyset$。
- $\lambda\in\rho(T)$ なら $R(\lambda)$ は $P$ と可換なので $\mathrm{Ran}\,P$ と $\mathrm{Ker}\,P$ を保ち、それぞれで $T_j-\lambda$ の逆を与えます。よって $\sigma(T_j)\subset\sigma(T)$。

以上で $\sigma(T_1)\subset\sigma_1$、$\sigma(T_2)\subset\sigma_2$。逆に $\lambda\in\rho(T_1)\cap\rho(T_2)$ なら $(T_1-\lambda)^{-1}P+(T_2-\lambda)^{-1}(1-P)$ が $T-\lambda$ の逆なので、$\sigma(T)\subset\sigma(T_1)\cup\sigma(T_2)$ で、両方の包含は等号です。$P=0$ なら $\mathrm{Ran}\,P=\{0\}$ 上の作用素のスペクトルは空なので $\sigma_1=\emptyset$、逆に $\sigma_1=\emptyset$ なら $\Gamma$ として空のサイクルが取れて $P=0$ です。
</Proof>

$\Gamma$ が 1 つの円周の場合が <Ref to="mathematics/functional-analysis/operator-convergence#def-riesz-projection" /> のリース射影です。自己共役作用素なら $P$ は直交射影ですが（<Ref to="mathematics/functional-analysis/operator-convergence#prop-riesz-spectral-projection" />）、一般には直交射影ではなく、ノルムが $1$ を超えることもあります（<Ref to="exr-riesz-projection-matrix" />）。

<Proposition id="prop-finite-rank-pole" title="有限ランクの Riesz 射影と極">
$T$ を閉作用素、$\lambda_0$ を $\sigma(T)$ の孤立点とし、$\sigma_1=\{\lambda_0\}$ に対する Riesz 射影 $P$ の階数が有限 $m$ であるとする。このとき $N=(T-\lambda_0)P$ は冪零で、$N^k=0$ となる最小の $k$ は $1\le k\le m$ を満たし、$\lambda_0$ の近くで
$$
R(z)=-\sum_{j=0}^{k-1}\frac{N^j}{(z-\lambda_0)^{j+1}}P+(T_2-z)^{-1}(1-P)
$$
（第 2 項は $\lambda_0$ の近傍で正則）が成り立つ。とくに $(z-\lambda_0)^kR(z)\to-N^{k-1}P\ne0$（$z\to\lambda_0$）であり、$\mathrm{Ran}\,P=\mathrm{Ker}\,(T-\lambda_0)^k$ である。
</Proposition>

<Proof of="prop-finite-rank-pole">
<Ref to="thm-riesz-decomposition" /> から $T_1$ は $m$ 次元空間 $\mathrm{Ran}\,P$ 上の線形写像で $\sigma(T_1)=\{\lambda_0\}$ なので、特性多項式は $(z-\lambda_0)^m$ で、Cayley–Hamilton の定理から $(T_1-\lambda_0)^m=0$。$P\ne0$ なので $k\ge1$ です。$w=z-\lambda_0\ne0$ について $(N_1-w)\bigl(-\sum_{j<k}N_1^jw^{-j-1}\bigr)=1$（$N_1=T_1-\lambda_0$、望遠鏡和）なので、$\mathrm{Ran}\,P$ 上の $(T_1-z)^{-1}$ が第 1 項です。$\lambda_0\in\rho(T_2)$ なので第 2 項は $\lambda_0$ の近傍で正則で、$R(z)=(T_1-z)^{-1}P\oplus(T_2-z)^{-1}(1-P)$ です。$k$ の最小性から $N^{k-1}P\ne0$。最後に $\mathrm{Ran}\,P\subset\mathrm{Ker}(T-\lambda_0)^k$ は $N^k=0$ から、逆の包含は $T_2-\lambda_0$ が単射であることから出ます。
</Proof>

## 8. Helffer–Sjöstrand 公式

自己共役作用素の関数計算はスペクトル定理で済みますが、$f(A)$ をレゾルベントだけで書く公式があると、レゾルベントの評価（たとえば摂動論の評価）をそのまま $f(A)$ の評価に移せます。$\bar\partial=\frac12(\partial_x+i\partial_y)$（$z=x+iy$）と書きます。$\bar\partial g=0$ となるのが正則関数（Cauchy–Riemann の関係式）です。実軸上の関数 $f$ を複素平面へ、正則に近い形で（$\bar\partial$ が実軸の近くで小さくなるように）滑らかに延ばしたものを使うと、実軸上の値を平面上の積分で復元できる、というのが次の節の考え方です。

<Lemma id="lem-cauchy-pompeiu" title="Cauchy–Pompeiu の公式">
$g:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ が（実 2 変数の意味で）$C^1$ 級でコンパクトな台をもつなら、全 $\lambda\in\mathbb{C}$ で
$$
g(\lambda)=-\frac1\pi\iint_{\mathbb{C}}\frac{\bar\partial g(z)}{z-\lambda}\,dx\,dy .
$$
</Lemma>

<Proof of="lem-cauchy-pompeiu">
$F=u+iv$ について $2\bar\partial F=(u_x-v_y)+i(v_x+u_y)$ なので、<Ref to="mathematics/complex-analysis/cauchy-integral-theorem#lem-green-complex" /> は $\oint_{\partial\Omega}F\,dz=2i\iint_\Omega\bar\partial F\,dx\,dy$ と書けます。台を含む円板 $\{|z-\lambda|<R\}$ から $\{|z-\lambda|\le\varepsilon\}$ を除いた円環 $\Omega_\varepsilon$ で $F=g/(z-\lambda)$ に使います。$1/(z-\lambda)$ は $\Omega_\varepsilon$ で正則なので $\bar\partial F=\bar\partial g/(z-\lambda)$ で、外側の円周上では $g=0$、内側の円周は負の向きなので
$$
2i\iint_{\Omega_\varepsilon}\frac{\bar\partial g}{z-\lambda}\,dx\,dy=-\oint_{|z-\lambda|=\varepsilon}\frac{g(z)}{z-\lambda}\,dz\longrightarrow-2\pi i\,g(\lambda)\quad(\varepsilon\to0)
$$
です（$g$ の連続性）。$1/|z-\lambda|$ は平面上で局所可積分なので左辺は $2i\iint_{\mathbb{C}}$ に収束し、主張を得ます。
</Proof>

<Definition id="def-almost-analytic" title="概解析的拡張">
$f\in C_c^\infty(\mathbb{R})$ とする。$C^1$ 級でコンパクトな台をもつ $\tilde f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ が、$\mathbb{R}$ 上で $\tilde f=f$ を満たし、定数 $C$ で $|\bar\partial\tilde f(x+iy)|\le C|y|$ となるとき、$f$ の**概解析的拡張**という。
</Definition>

$\chi\in C_c^\infty(\mathbb{R})$ を $[-1,1]$ 上で $1$ となる関数とし、$\tilde f(x+iy)=\bigl(f(x)+iyf'(x)\bigr)\chi(y)$ と置くと、
$$
\bar\partial\tilde f=\tfrac12\bigl[iyf''(x)\chi(y)+i\bigl(f(x)+iyf'(x)\bigr)\chi'(y)\bigr]
$$
で、$|y|\le1$ では第 2 項が消えるので、これは概解析的拡張です。$\tilde f_2=(f+iyf'-\frac{y^2}2f'')\chi(y)$ とすれば同様に $|\bar\partial\tilde f_2|\le C_2y^2$ です。

<Theorem id="thm-helffer-sjostrand" title="Helffer–Sjöstrand 公式">
$A$ を Hilbert 空間 $\mathcal{H}$ 上の（非有界でもよい）自己共役作用素、$f\in C_c^\infty(\mathbb{R})$、$\tilde f$ をその概解析的拡張とする。このとき
$$
f(A)=\frac1\pi\iint_{\mathbb{C}}\bar\partial\tilde f(z)\,(A-z)^{-1}\,dx\,dy
$$
が成り立つ。右辺は $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ 値の Bochner 積分（$\mathbb{R}$ は零集合）として収束する。
</Theorem>

<Proof of="thm-helffer-sjostrand">
$z\notin\mathbb{R}$ で $\|(A-z)^{-1}\|\le1/|y|$（<Ref to="mathematics/functional-analysis/spectral-theorem-unbounded#thm-exp-resolvent" /> の 3）なので、被積分関数のノルムは $C$ 以下で台はコンパクト、$\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ 上ノルム連続なので強可測で、<Ref to="thm-bochner" /> により Bochner 可積分です。$\varphi\in\mathcal{H}$ と $\mu_\varphi=\langle\varphi,E_A(\cdot)\varphi\rangle$ について、$\langle\varphi,(A-z)^{-1}\varphi\rangle=\int(\lambda-z)^{-1}d\mu_\varphi(\lambda)$ です。$|\bar\partial\tilde f(z)||\lambda-z|^{-1}\le C|y|/|y|=C$ は（台の上で）有限測度 $dx\,dy\otimes\mu_\varphi$ について可積分なので Fubini の定理が使えて
$$
\Bigl\langle\varphi,\frac1\pi\iint\bar\partial\tilde f(z)(A-z)^{-1}dx\,dy\,\varphi\Bigr\rangle=\int_{\mathbb{R}}\Bigl[-\frac1\pi\iint\frac{\bar\partial\tilde f(z)}{z-\lambda}dx\,dy\Bigr]d\mu_\varphi(\lambda)=\int f\,d\mu_\varphi=\langle\varphi,f(A)\varphi\rangle .
$$
2 つ目の等号は <Ref to="lem-cauchy-pompeiu" />（$\lambda\in\mathbb{R}$ で $\tilde f(\lambda)=f(\lambda)$）です。偏極恒等式で作用素の等式になります。
</Proof>

<Corollary id="cor-hs-lipschitz" title="滑らかな関数の作用素リプシッツ性">
$A,B$ を自己共役作用素で $D(A)=D(B)$、$V=B-A$ が $D(A)$ 上有界（有界作用素に拡張される）とする。$f\in C_c^\infty(\mathbb{R})$ に対し、$c_f=\frac1\pi\iint|\bar\partial\tilde f_2(z)|\,y^{-2}\,dx\,dy<\infty$ と置くと $\|f(A)-f(B)\|\le c_f\|V\|$。
</Corollary>

<Proof of="cor-hs-lipschitz">
$\tilde f_2$ も概解析的拡張なので <Ref to="thm-helffer-sjostrand" /> が使えます。$(B-z)^{-1}u\in D(B)=D(A)$ なので $(A-z)^{-1}-(B-z)^{-1}=(A-z)^{-1}V(B-z)^{-1}$ で、ノルムは $\|V\|/y^2$ 以下です。$|\bar\partial\tilde f_2|\le C_2y^2$ なので $c_f$ は有限で、差を積分すれば主張を得ます。
</Proof>

$f(\lambda)=|\lambda|$ のような滑らかでない関数では、作用素ノルムでのリプシッツ評価は一般に成り立ちません。どの程度の滑らかさで十分かは二重作用素積分の理論の主題で、[作用素不等式と積分作用素](/mathematics/functional-analysis/operator-inequalities) で扱います。

## 9. 閉作用素の極分解

この節では $\mathcal{H}$ を Hilbert 空間、$T$ を $\mathcal{H}$ における稠密に定義された閉作用素とします。有界作用素の極分解（<Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#thm-polar-decomposition" />）を非有界に広げるには、まず $T^*T$ が自己共役であることが必要です。なお「芯（コア）」とは、グラフノルムで見て $D(T)$ の中で稠密な部分集合のことで、$T$ の働きを芯の上だけで見れば足りる、という意味です。また「部分等長作用素」とは、ある閉部分空間の上では長さを変えず、その直交補空間の上では $0$ にする作用素のことです。

<Theorem id="thm-tstar-t" title="von Neumann の定理">
$T^*T$（定義域 $\{x\in D(T):Tx\in D(T^*)\}$）は正の自己共役作用素であり、$D(T^*T)$ は $T$ の芯（グラフノルムで $D(T)$ に稠密）である。
</Theorem>

<Proof of="thm-tstar-t">
$\mathcal{H}\oplus\mathcal{H}$ で $(u,v)\perp G(T)$ とは全 $x\in D(T)$ で $\langle u,x\rangle+\langle v,Tx\rangle=0$ のことで、共役作用素の定義からこれは $v\in D(T^*)$, $T^*v=-u$ と同値です。$h\in\mathcal{H}$ に対し、$G(T)$ は閉なので $(h,0)=(x,Tx)+(-T^*v,v)$ と直交分解でき、第 2 成分から $v=-Tx\in D(T^*)$、第 1 成分から $h=x+T^*Tx$。よって $1+T^*T$ は全射です。$x\in D(T^*T)$ について $\langle x,T^*Tx\rangle=\|Tx\|^2\ge0$ なので $T^*T$ は対称（偏極）かつ正で、$1+T^*T$ は単射です。$B=(1+T^*T)^{-1}$ は有界（$\|Bh\|^2\le\langle Bh,(1+T^*T)Bh\rangle\le\|Bh\|\|h\|$）で対称、単射なので $\mathrm{Ran}\,B=D(T^*T)$ は稠密です（$\mathrm{Ran}\,B^\perp=\mathrm{Ker}\,B=\{0\}$）。

自己共役性: $y\in D((T^*T)^*)$ に対し $(1+T^*T)x=(1+(T^*T)^*)y$ となる $x\in D(T^*T)$ を取ると、$T^*T\subset(T^*T)^*$ から $(1+(T^*T)^*)(y-x)=0$。$\mathrm{Ker}(1+(T^*T)^*)=\mathrm{Ran}(1+T^*T)^\perp=\{0\}$（<Ref to="mathematics/functional-analysis/unbounded-operators#prop-adjoint-basic" /> の 2）なので $y=x\in D(T^*T)$ です。

芯であること: $z\in D(T)$ がグラフ内積で $D(T^*T)$ と直交すれば、全 $x\in D(T^*T)$ で $0=\langle z,x\rangle+\langle Tz,Tx\rangle=\langle z,(1+T^*T)x\rangle$ で、$1+T^*T$ は全射なので $z=0$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-polar-closed" title="閉作用素の極分解">
$|T|=(T^*T)^{1/2}$（正の自己共役作用素 $T^*T$ のスペクトル定理による平方根）と置く。このとき $D(|T|)=D(T)$ で全 $x\in D(T)$ について $\||T|x\|=\|Tx\|$ であり、部分等長作用素 $U$ で
$$
T=U|T|,\qquad\mathrm{Ker}\,U=\mathrm{Ker}\,T,\qquad\overline{\mathrm{Ran}\,U}=\overline{\mathrm{Ran}\,T}
$$
となるものが存在する。
</Theorem>

<Proof of="thm-polar-closed">
スペクトル積分の性質（<Ref to="mathematics/functional-analysis/spectral-theorem-unbounded#thm-spectral-integral-unbounded" />）から $|T|$ は正の自己共役で $|T|^2=T^*T$ です。$x\in D(T^*T)$ について $\||T|x\|^2=\langle x,T^*Tx\rangle=\|Tx\|^2$。$D(T^*T)=D(|T|^2)$ は $|T|$ の芯です（$x\in D(|T|)$ に対し $x_n=E_{|T|}([0,n])x\in D(|T|^2)$ は $x_n\to x$, $|T|x_n\to|T|x$ を満たす）。$D(T^*T)$ は <Ref to="thm-tstar-t" /> により $T$ の芯でもあります。

$x\in D(T)$ を取り、$x_n\in D(T^*T)$ で $x_n\to x$, $Tx_n\to Tx$ とすると、$\||T|(x_n-x_m)\|=\|T(x_n-x_m)\|$ から $|T|x_n$ はコーシーで、$|T|$ が閉なので $x\in D(|T|)$、$\||T|x\|=\|Tx\|$ です。対称な議論で $D(|T|)\subset D(T)$ も出ます。

$U(|T|x)=Tx$（$x\in D(T)$）は $\mathrm{Ran}\,|T|$ 上の等長写像として矛盾なく定まり、閉包 $\overline{\mathrm{Ran}\,|T|}$ に連続に拡張し、$(\mathrm{Ran}\,|T|)^\perp=\mathrm{Ker}\,|T|$ 上で $0$ と置きます。$\mathrm{Ker}\,|T|=\mathrm{Ker}\,T$（ノルムの等式から）なので主張が成り立ちます。
</Proof>

<Example id="ex-polar-multiplication" title="掛け算作用素の極分解">
$\mathcal{H}=L^2(\mathbb{R})$、$g$ を可測関数とし、$T$ を $g$ による掛け算作用素（最大の定義域）とします（<Ref to="mathematics/functional-analysis/unbounded-operators#def-multiplication-operator" />）。$T^*$ は $\bar g$ の掛け算なので $T^*T$ は $|g|^2$、$|T|$ は $|g|$ の掛け算で、$U$ は $g/|g|$（$g=0$ では $0$）の掛け算です。$g(x)=ix$ なら $|T|$ は位置作用素の絶対値、$U$ は $i\,\mathrm{sgn}(x)$ の掛け算です。
</Example>

## 10. 演習

<Exercise id="exr-semigroup-integral" difficulty="標準">
$T(t)$ を Banach 空間 $X$ 上の強連続半群、$L$ をその生成子とします。任意の $x\in X$ と $t>0$ について $y=\int_0^tT(s)x\,ds\in D(L)$ かつ $Ly=T(t)x-x$ を示してください。
<Solution>
<Ref to="prop-bochner-properties" /> の 2 で $T(h)$ を積分の中に入れると $T(h)y=\int_0^tT(s+h)x\,ds=\int_h^{t+h}T(s)x\,ds$ なので
$$
\frac{T(h)y-y}h=\frac1h\int_t^{t+h}T(s)x\,ds-\frac1h\int_0^hT(s)x\,ds\longrightarrow T(t)x-x\quad(h\downarrow0)
$$
です（<Ref to="thm-ftc-vector" /> の 1）。生成子の定義から $y\in D(L)$, $Ly=T(t)x-x$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-riesz-projection-matrix" difficulty="易">
$\mathbb{C}^2$ 上の $T=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ について、$\sigma_1=\{1\}$ に対する Riesz 射影 $P$ を留数計算で求め、$P$ が直交射影でなく $\|P\|>1$ であることを確かめてください。
<Solution>
$(T-z)^{-1}=\begin{pmatrix}\frac1{1-z}&\frac{-1}{(1-z)(2-z)}\\0&\frac1{2-z}\end{pmatrix}$ です。$P=-\frac1{2\pi i}\oint_{|z-1|=1/2}(T-z)^{-1}dz$ は $-1$ 倍の $z=1$ での留数で、$\frac1{1-z}$ の留数は $-1$、$\frac{-1}{(1-z)(2-z)}=\frac{1}{(z-1)(2-z)}$ の留数は $1$ なので
$$
P=\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}.
$$
$P^2=P$ で、$P$ は固有ベクトル $(1,0)$ の張る直線への、もう一つの固有ベクトル $(1,1)$ の方向に沿った射影です。$P^*\ne P$ なので直交射影ではなく、$P(1,-1)/\sqrt2=(2,0)/\sqrt2$ から $\|P\|\ge\sqrt2>1$ です（実際 $\|P\|=\sqrt2$）。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-sqrt-series" difficulty="標準">
$A\in\mathcal{B}(X)$ が $\|1-A\|<1$ を満たすとします。<Ref to="thm-riesz-dunford" /> を使って、$B=\sum_{n\ge0}\binom{1/2}{n}(A-1)^n$ がノルム収束し、$B^2=A$、$\sigma(B)\subset\{\mathrm{Re}\,z>0\}$ を満たすことを示してください。
<Solution>
$r=\|1-A\|<1$ とすると $\sigma(A)\subset\{|z-1|\le r\}$ です（<Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#prop-resolvent-analytic" /> を $A-1$ に）。$U=\{|z-1|<1\}$ 上の主枝 $s(z)=\sqrt z$ の Taylor 級数 $\sum\binom{1/2}{n}(z-1)^n$ は $U$ のコンパクト集合上で一様収束するので、<Ref to="thm-riesz-dunford" /> の 2, 3 から $s(A)=B$（ノルム収束）。乗法性から $B^2=(s^2)(A)=A$、スペクトル写像定理から $\sigma(B)=s(\sigma(A))\subset s(U)\subset\{\mathrm{Re}\,z>0\}$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-volterra-exp" difficulty="標準">
Volterra 作用素 $V$（$\sigma(V)=\{0\}$, $V\ne0$）について、$\sigma(e^V)=\{1\}$ かつ $e^V\ne1$ を示してください。
<Solution>
スペクトル写像定理から $\sigma(e^V)=e^{\{0\}}=\{1\}$。$g(z)=(e^z-1)/z$（$g(0)=1$）は整関数で $e^z-1=zg(z)$ なので $e^V-1=Vg(V)$。$\sigma(g(V))=g(\{0\})=\{1\}$ なので $g(V)$ は可逆で、$V\ne0$ から $e^V-1\ne0$ です。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- J. Diestel, J. J. Uhl, Jr., *Vector Measures*, American Mathematical Society (Mathematical Surveys 15), 1977 — Chapter II（Bochner 積分、Pettis の可測性定理）。
- E. Hille, R. S. Phillips, *Functional Analysis and Semi-Groups*, revised edition, American Mathematical Society (Colloquium Publications 31), 1957 — Chapter III（ベクトル値積分と正則関数）。
- N. Dunford, J. T. Schwartz, *Linear Operators, Part I: General Theory*, Interscience, 1958 — Chapter VII（Riesz–Dunford の関数計算）。
- T. Kato, *Perturbation Theory for Linear Operators*, 2nd edition, Springer, 1976 — Chapter III §6（閉作用素の Riesz 射影とスペクトル分解）、Chapter VI §2（閉作用素の極分解）。
- E. B. Davies, *Spectral Theory and Differential Operators*, Cambridge University Press, 1995 — Chapter 2（Helffer–Sjöstrand 公式）。
- W. Rudin, *Real and Complex Analysis*, 3rd edition, McGraw-Hill, 1987 — Chapter 10（大域的 Cauchy の定理、Dixon の証明）、Chapter 13（囲むサイクルの存在）。