# コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス：特異値で測る作用素の大きさ

> コンパクト作用素を有限ランク作用素のノルム極限として特徴づけ、Hilbert–Schmidt の定理と Fredholm の択一定理を述べる。さらに積分核による Hilbert–Schmidt 作用素の特徴づけ、トレースクラスとトレース、特異値と Schatten クラスを扱う。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/functional-analysis/compact-operators

## 0. この記事の要点

無限次元の空間では、行列なら当たり前に成り立つ性質の多くが崩れます。たとえば連立一次方程式で「解が一意なら、どんな右辺にも解が存在する」というのは有限次元では常に正しいのに、無限次元では一般に成り立ちません。この記事で扱うコンパクト作用素は、無限次元の空間の上にありながら、ほとんど有限次元の行列のように振る舞う変換のクラスです。読み終えると、行列の対角化や「一意なら存在」という性質がこのクラスでは無限次元でも使えること、そして行列の対角成分の和（トレース）を無限次元に持ち上げる方法が分かります。

- コンパクト作用素は「有界集合を相対コンパクト集合に写す」作用素です。Hilbert 空間では、**有限ランク作用素のノルム極限**（値域が有限次元の作用素で、いくらでも近く近似できる）として特徴づけられ、[弱収束](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-weak-convergence)列をノルム収束列に写す作用素とも言い換えられます。
- コンパクト自己共役作用素は、0 に収束する実固有値と正規直交固有ベクトルで $K = \sum_n\lambda_n|e_n\rangle\langle e_n|$ と対角化されます（Hilbert–Schmidt の定理）。有限次元の対角化が、ほぼそのまま無限次元に持ち上がる場面です。
- コンパクト作用素 $K$ と $\lambda\ne0$ について、$K - \lambda$ は単射なら全射です（Fredholm の択一定理）。非零スペクトルはすべて有限重複度の固有値で、[集積点](/mathematics/calculus/limits-and-continuity#def-neighborhood)は高々 $0$ だけです（Riesz–Schauder 理論）。
- 任意のコンパクト作用素は特異値分解 $K = \sum_ns_n|f_n\rangle\langle e_n|$ をもちます。特異値の $p$ 乗和が有限なものを Schatten クラス $\mathcal{S}_p$ と呼び、$\mathcal{S}_2$ が Hilbert–Schmidt 作用素（$L^2$ 積分核をもつ積分作用素）、$\mathcal{S}_1$ がトレースクラスです。
- トレースクラスではトレースが基底によらず定まり、$\mathrm{tr}(AT) = \mathrm{tr}(TA)$ が成り立ちます。トレースクラスの[双対空間](/mathematics/functional-analysis/banach-spaces#def-dual-space)は $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ で、量子統計力学の密度作用素と観測量の対はこの双対性そのものです。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **相対コンパクト**: 閉包がコンパクトになる集合のこと。
- **弱収束**: 任意のベクトルとの内積が収束する、という意味の収束。ノルム収束より弱い。→ [弱収束](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-weak-convergence)
- **正規直交基底**: 長さ 1 で互いに直交し、どんなベクトルもその一次結合の極限で書ける系。→ [正規直交基底](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-orthonormal-system)
- **直交射影**: ベクトルを閉部分空間の上に垂直に落とす作用素。→ [直交射影](/mathematics/functional-analysis/bounded-operators#def-orthogonal-projection)
- **極分解**: 作用素 $K$ を、部分等長作用素 $V$ と正の作用素 $|K|$ の積 $K = V|K|$ に分けること。→ [有界作用素と共役作用素](/mathematics/functional-analysis/bounded-operators#thm-polar-decomposition)

</Aside>

## 1. 動機

積分方程式

$$
f(x) - \int_0^1k(x,y)f(y)\,dy = g(x)
$$

は、19 世紀末に Fredholm が有限次元の連立一次方程式の極限として扱い、「斉次方程式が自明な解しかもたなければ、非斉次方程式はつねにただ 1 つの解をもつ」ことを示しました。有限次元では当たり前の「単射 ⇔ 全射」が、この種の作用素には無限次元でも生き残るのです。その理由を抽象化したのがコンパクト作用素の概念で、Hilbert・Riesz・Schauder によって整備されました。

前章 [有界作用素と共役作用素](/mathematics/functional-analysis/bounded-operators) で見たように、一般の有界作用素では等長なのに全射でない（片側シフト）、固有値がないのにスペクトルが円板全体（同じくシフト）といった、有限次元にない現象が起こります。コンパクト作用素はこうした病理を 0 の近傍に押し込めた、「ほとんど有限次元」の作用素です。

数理物理では次の場面で現れます。

- 有界領域上の Laplacian のレゾルベント（$(H - z)^{-1}$ の形の逆作用素）はコンパクトで、だから固有値が離散的に並びます。
- 量子統計力学の状態は密度作用素 $\rho\ge0$, $\mathrm{tr}\,\rho = 1$ で表され、期待値は $\mathrm{tr}(\rho A)$ です。これはトレースクラスの話です。
- 摂動論で「本質スペクトル（大まかには、孤立した有限重複度の固有値を除いたスペクトルの部分）はコンパクトな摂動で変わらない」（Weyl の定理）という形で使われます。

## 2. 準備

$\mathcal{H}$ は複素 [Hilbert 空間](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-hilbert-space)で、内積は第 1 変数について共役線形です。§6 以降では $\mathcal{H}$ は可分（可算な稠密部分集合をもつ）とし、[正規直交基底](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-orthonormal-system)は可算とします。$x, y\in\mathcal{H}$ に対し、階数 1 の作用素を

$$
|y\rangle\langle x|\,z = \langle x, z\rangle\,y
$$

と書きます。$\bigl(|y\rangle\langle x|\bigr)^* = |x\rangle\langle y|$、$\bigl\||y\rangle\langle x|\bigr\| = \|x\|\|y\|$ です。値域が有限次元の有界作用素を**有限ランク作用素**といい、これは有限和 $\sum_{j=1}^{N}|w_j\rangle\langle u_j|$ の形に書けます（値域の正規直交基底 $w_j$ をとり $u_j = F^*w_j$ とおけば $F = \sum_j|w_j\rangle\langle w_j|F$）。

前章の結果のうち、共役の性質（<Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#prop-adjoint-properties" />）、自己共役作用素のスペクトルとノルム（<Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#thm-selfadjoint-spectrum" />）、極分解（<Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#thm-polar-decomposition" />）、強極限の有界性（<Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#prop-strong-limit-bounded" />）を使います。

ノルム空間についての次の事実（Riesz の定理）も使います: **閉単位球がコンパクトであるノルム空間は有限次元である。** また Hilbert 空間の有界列は弱収束する部分列をもちます（[Hilbert 空間の基礎](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces) を参照してください）。

## 3. コンパクト作用素

<Definition id="def-compact-operator" title="コンパクト作用素">
$X, Y$ を [Banach 空間](/mathematics/functional-analysis/banach-spaces#def-normed-space)とする。線形写像 $K: X\to Y$ が**コンパクト**であるとは、$X$ の閉単位球の像 $K(\{\|x\|\le1\})$ が $Y$ で相対コンパクト（閉包がコンパクト）であることをいう。同値な言い換えとして、$X$ の任意の有界列 $(x_n)$ に対し、$(Kx_n)$ が $Y$ で収束する部分列をもつ。コンパクト作用素の全体を $\mathcal{K}(X,Y)$、$\mathcal{K}(X) = \mathcal{K}(X,X)$ と書く。
</Definition>

相対コンパクト集合は有界なので、コンパクト作用素は有界です。有限ランク作用素は、有界な有限次元集合を写すので（Bolzano–Weierstrass）コンパクトです。

次の命題は、コンパクト作用素の和や極限、有界作用素との積がまた同じクラスに入ることを述べるもので、以降の証明で何度も使います。(1) の閉性の証明では、収束部分列を取る操作を $K_1, K_2, \dots$ に対して順に行い、その対角線上の項を取って、すべての $m$ で同時に収束する部分列を作ります。

<Proposition id="prop-compact-ideal" title="コンパクト作用素は閉じた両側イデアル">
$X, Y, Z$ を Banach 空間とする。

1. $\mathcal{K}(X,Y)$ は $\mathcal{B}(X,Y)$ のノルム閉部分空間である。
2. $K\in\mathcal{K}(X,Y)$、$A\in\mathcal{B}(Y,Z)$、$B\in\mathcal{B}(Z,X)$ なら $AK$ と $KB$ はコンパクトである。
3. $\mathcal{H}$ が Hilbert 空間で $K\in\mathcal{K}(\mathcal{H})$ なら $K^*\in\mathcal{K}(\mathcal{H})$。
</Proposition>

<Proof of="prop-compact-ideal">
(1) 部分空間であることは、2 つの列から順に部分列をとれば分かります。閉性を示します。$K_m\in\mathcal{K}(X,Y)$, $\|K_m - K\|\to0$ とし、$(x_n)$ を $\|x_n\|\le1$ の列とします。$(K_1x_n)$ が収束する部分列をとり、その中から $(K_2x_n)$ が収束する部分列をとり、と続けて対角線列をとれば、すべての $m$ で $(K_mx_{n})_n$ が収束する部分列（記号は同じ $x_n$）が得られます。

$$
\|Kx_n - Kx_{n'}\|\le2\|K - K_m\| + \|K_mx_n - K_mx_{n'}\|
$$

なので、$\varepsilon > 0$ に対し $\|K - K_m\| < \varepsilon/3$ となる $m$ を固定し、$n, n'$ を大きくとれば右辺は $\varepsilon$ 未満です。$Y$ は完備なので $(Kx_n)$ は収束します。

(2) $(x_n)$ が有界なら $(Kx_n)$ の収束部分列を $A$ で写しても収束します。$(Bx_n)$ も有界なので $(KBx_n)$ は収束部分列をもちます。

(3) (2) より $KK^*$ はコンパクトです。$\|x_n\|\le1$ とし、$(KK^*x_n)$ が収束する部分列をとります。

$$
\|K^*(x_n - x_m)\|^2 = \langle x_n - x_m, KK^*(x_n - x_m)\rangle\le2\|KK^*x_n - KK^*x_m\|
$$

なので $(K^*x_n)$ は Cauchy 列であり、収束します。
</Proof>

<Proposition id="prop-compact-weak-to-norm" title="弱収束をノルム収束に変える">
$K\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ について、$K$ がコンパクトであるための必要十分条件は、$x_n\to x$（弱収束）ならば $Kx_n\to Kx$（ノルム収束）となることである。
</Proposition>

<Proof of="prop-compact-weak-to-norm">
($\Rightarrow$) 弱収束列は一様有界性原理により有界です。また $\langle y, Kx_n\rangle = \langle K^*y, x_n\rangle\to\langle K^*y, x\rangle = \langle y, Kx\rangle$ なので $Kx_n\to Kx$（弱）。ノルム収束しないと仮定すると、ある $\varepsilon > 0$ と部分列で $\|Kx_{n_k} - Kx\|\ge\varepsilon$。コンパクト性からさらに部分列をとって $Kx_{n_k}\to z$（ノルム）とできますが、弱極限の一意性から $z = Kx$ で、矛盾します。

($\Leftarrow$) 有界列は弱収束する部分列をもつので、その像はノルム収束します。
</Proof>

<Theorem id="thm-finite-rank-approximation" title="有限ランク近似">
$K\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ について次は同値である。

1. $K$ はコンパクト。
2. 有限ランク作用素の列 $F_N$ で $\|K - F_N\|\to0$ となるものがある。
</Theorem>

<Proof of="thm-finite-rank-approximation">
(2 ⇒ 1) 有限ランク作用素はコンパクトで、<Ref to="prop-compact-ideal" /> の (1) よりそのノルム極限もコンパクトです。

(1 ⇒ 2) $\varepsilon > 0$ とします。$\overline{K(\{\|x\|\le1\})}$ はコンパクトなので全有界で、有限個の $y_1,\dots,y_N$ で、各 $\|x\|\le1$ に対して $\|Kx - y_j\| < \varepsilon$ となる $j$ があるようにできます。$P$ を $\mathrm{span}\{y_1,\dots,y_N\}$ への直交射影とすると、$PK$ は有限ランクで、$\|(1 - P)Kx\| = \mathrm{dist}(Kx, \mathrm{Ran}(P))\le\|Kx - y_j\| < \varepsilon$。よって $\|K - PK\|\le\varepsilon$。
</Proof>

<Remark id="rem-approximation-property" title="Banach 空間では一般に成り立たない">
(2 ⇒ 1) は任意の Banach 空間で成り立ちますが、(1 ⇒ 2) は直交射影を使っているので Hilbert 空間特有です。実際、有限ランク作用素で近似できないコンパクト作用素をもつ可分 Banach 空間が存在します（P. Enflo, Acta Math. 130 (1973) による近似性質の反例）。
</Remark>

<Proposition id="prop-diagonal-compact" title="対角作用素のコンパクト性">
$(e_n)_{n\ge1}$ を $\mathcal{H}$ の正規直交基底、$(\lambda_n)$ を有界な複素数列とし、$Dx = \sum_n\lambda_n\langle e_n, x\rangle e_n$（すなわち $De_n = \lambda_ne_n$）と置く。$D$ がコンパクトであることと $\lambda_n\to0$ は同値である。とくに $\mathcal{H}$ が無限次元なら、恒等作用素はコンパクトでない。
</Proposition>

<Proof of="prop-diagonal-compact">
$\lambda_n\to0$ なら、$D_N = \sum_{n\le N}\lambda_n|e_n\rangle\langle e_n|$ は有限ランクで、$\|(D - D_N)x\|^2 = \sum_{n > N}|\lambda_n|^2|\langle e_n, x\rangle|^2\le\sup_{n > N}|\lambda_n|^2\,\|x\|^2$ より $\|D - D_N\|\le\sup_{n > N}|\lambda_n|\to0$ なので、<Ref to="thm-finite-rank-approximation" /> よりコンパクトです。逆に $\lambda_n\not\to0$ なら $|\lambda_{n_k}|\ge\delta > 0$ となる部分列があり、$k\ne l$ で $\|De_{n_k} - De_{n_l}\|^2 = |\lambda_{n_k}|^2 + |\lambda_{n_l}|^2\ge2\delta^2$ なので、有界列 $(e_{n_k})$ の像 $(De_{n_k})$ は収束部分列をもたず、$D$ はコンパクトではありません。恒等作用素は $\lambda_n = 1$ の場合です（$\mathcal{H}$ が可分でなくても、可算な正規直交系 $(e_n)$ を 1 つ取れば同じ議論で $(e_n)$ の像が収束部分列をもたないことがわかります）。
</Proof>

<Example id="ex-diagonal-compact" title="対角作用素">
$(e_n)_{n\ge1}$ を $\mathcal{H}$ の正規直交基底、$(\lambda_n)$ を有界な複素数列とし、$De_n = \lambda_ne_n$（すなわち $Dx = \sum_n\lambda_n\langle e_n, x\rangle e_n$）と置きます。<Ref to="prop-diagonal-compact" /> により **$D$ がコンパクト ⇔ $\lambda_n\to0$** です。たとえば $\lambda_n = 1/n$ ならコンパクト、$\lambda_n = (-1)^n$ ならコンパクトではありません。

とくに $\lambda_n = 1$ の場合、**無限次元 Hilbert 空間の恒等作用素はコンパクトではありません**。これが Riesz の定理の Hilbert 空間版です。
</Example>

## 4. コンパクト自己共役作用素のスペクトル定理

<Lemma id="lem-compact-selfadjoint-eigenvalue" title="ノルムは固有値として達成される">
$\mathcal{H}\ne\{0\}$、$K\in\mathcal{K}(\mathcal{H})$ を自己共役とする。このとき $\|K\|$ と $-\|K\|$ の少なくとも一方は $K$ の固有値である。
</Lemma>

<Proof of="lem-compact-selfadjoint-eigenvalue">
$K = 0$ なら $0$ が固有値です（$\mathcal{H}\ne\{0\}$）。$K\ne0$ とします。<Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#thm-selfadjoint-spectrum" /> より $\|K\| = \max(|m|, |M|)$ なので、$\lambda\in\{m, M\}$ で $|\lambda| = \|K\|$ となるものと、$\|x_n\| = 1$, $\langle x_n, Kx_n\rangle\to\lambda$ となる列がとれます。$\lambda$ は実数で、

$$
\|(K - \lambda)x_n\|^2 = \|Kx_n\|^2 - 2\lambda\langle x_n, Kx_n\rangle + \lambda^2\le2\lambda^2 - 2\lambda\langle x_n, Kx_n\rangle\to0
$$

です（$\|Kx_n\|\le\|K\| = |\lambda|$ を使いました）。コンパクト性から部分列で $Kx_n\to y$。すると $\lambda x_n = Kx_n - (K - \lambda)x_n\to y$ で、$\lambda\ne0$ なので $x_n\to y/\lambda$、$\|y\| = |\lambda|\ne0$。$K$ の連続性から $Ky/\lambda = \lim Kx_n = y$、すなわち $Ky = \lambda y$。
</Proof>

次の定理は、有限次元の対角化を無限次元に持ち上げるものです。証明の方針は、いちばん絶対値の大きい固有値の固有ベクトルを 1 本取り出し、その直交補空間に制限しても作用素はコンパクト自己共役のままなので、同じ操作を繰り返して固有ベクトルを 1 本ずつ取り出す、というものです。

<Theorem id="thm-hilbert-schmidt-spectral" title="Hilbert–Schmidt の定理">
$K\in\mathcal{K}(\mathcal{H})$ を自己共役とする。有限または可算な正規直交系 $(e_n)_{n\in N}$（$N = \{1,\dots,n_0\}$ または $N = \mathbb{N}$）と、$|\lambda_1|\ge|\lambda_2|\ge\cdots$ を満たす $0$ でない実数 $\lambda_n$ が存在して、次が成り立つ。

1. $Ke_n = \lambda_ne_n$。$N = \mathbb{N}$ なら $\lambda_n\to0$。
2. すべての $x\in\mathcal{H}$ で $Kx = \sum_{n\in N}\lambda_n\langle e_n, x\rangle e_n$。さらに $\bigl\|K - \sum_{n\le M}\lambda_n|e_n\rangle\langle e_n|\bigr\|\to0$（$M\to\infty$）。
3. $\mathcal{H} = \mathrm{Ker}(K)\oplus\overline{\mathrm{span}}\{e_n : n\in N\}$（直交直和）。
4. $\sigma(K)\setminus\{0\} = \{\lambda_n : n\in N\}$ で、各 $\lambda\ne0$ の固有空間は有限次元であり、$\{e_n : \lambda_n = \lambda\}$ がその正規直交基底である。$\dim\mathcal{H} = \infty$ なら $0\in\sigma(K)$。
</Theorem>

<Proof of="thm-hilbert-schmidt-spectral">
**構成。** $\mathcal{H}_1 = \mathcal{H}$、$K_1 = K$ とします。$K_1\ne0$ なら <Ref to="lem-compact-selfadjoint-eigenvalue" /> により $|\lambda_1| = \|K_1\|$ の固有値 $\lambda_1$ と単位固有ベクトル $e_1$ がとれます。$\mathcal{H}_2 = \{e_1\}^\perp$ と置くと、$x\perp e_1$ なら $\langle e_1, Kx\rangle = \langle Ke_1, x\rangle = \lambda_1\langle e_1, x\rangle = 0$ なので $K\mathcal{H}_2\subset\mathcal{H}_2$ で、制限 $K_2 = K|_{\mathcal{H}_2}$ はコンパクト自己共役です。以下、$\mathcal{H}_{n+1} = \{e_1,\dots,e_n\}^\perp$ 上の制限 $K_{n+1}$ に同じ操作を繰り返します。$\mathcal{H}_{n+1}\subset\mathcal{H}_n$ なので $|\lambda_{n+1}| = \|K_{n+1}\|\le\|K_n\| = |\lambda_n|$。ある段で $K_{n_0+1} = 0$ となれば停止して $N = \{1,\dots,n_0\}$、そうでなければ $N = \mathbb{N}$ です。

**(1) $\lambda_n\to0$。** $|\lambda_n|\ge\delta > 0$ が全 $n$ で成り立つなら、$\|Ke_n - Ke_m\|^2 = \lambda_n^2 + \lambda_m^2\ge2\delta^2$ で $(Ke_n)$ が収束部分列をもたず、コンパクト性に反します。$|\lambda_n|$ は単調なので $\lambda_n\to0$。

**(2) 展開。** $x\in\mathcal{H}$ に対し $x_M = x - \sum_{n\le M}\langle e_n, x\rangle e_n\in\mathcal{H}_{M+1}$ なので

$$
\Bigl\|Kx - \sum_{n\le M}\lambda_n\langle e_n, x\rangle e_n\Bigr\| = \|Kx_M\| = \|K_{M+1}x_M\|\le|\lambda_{M+1}|\|x\|.
$$

$N$ が有限なら $M = n_0$ で右辺は $\|K_{n_0+1}\| = 0$、無限なら $|\lambda_{M+1}|\to0$ です。この評価は作用素ノルムの評価でもあります。

**(3) 直和分解。** $L = \overline{\mathrm{span}}\{e_n\}$ とします。$x\perp L$ なら (2) から $Kx = \sum\lambda_n\langle e_n, x\rangle e_n = 0$、逆に $Kx = 0$ なら $\lambda_n\langle e_n, x\rangle = \langle Ke_n, x\rangle = \langle e_n, Kx\rangle = 0$ で $\lambda_n\ne0$ より $x\perp L$。よって $L^\perp = \mathrm{Ker}(K)$。

**(4) スペクトル。** $\lambda_n$ は固有値なので $\sigma(K)$ に属します。$z\ne0$ が $\{\lambda_n\}$ に属さないとします。$\lambda_n\to0$（または有限個）より $\delta = \inf_n|\lambda_n - z| > 0$ で、$P_0$ を $\mathrm{Ker}(K)$ への射影として

$$
R_zx = \sum_{n\in N}\frac{\langle e_n, x\rangle}{\lambda_n - z}e_n - \frac1zP_0x
$$

と置くと、(3) の分解に沿って成分ごとに計算して $(K - z)R_z = R_z(K - z) = 1$、$\|R_z\|\le\max(\delta^{-1}, |z|^{-1})$ となるので $z\in\rho(K)$。固有空間: $Kx = \lambda x$（$\lambda\ne0$）なら (2) の展開と比べて $\langle e_n, x\rangle(\lambda_n - \lambda) = 0$、かつ (3) から $x\in L$ なので、$x$ は $\lambda_n = \lambda$ となる $e_n$ の線形結合です。$\lambda_n\to0$ よりそのような $n$ は有限個です。最後に $\dim\mathcal{H} = \infty$ で $0\in\rho(K)$ なら、$1 = KK^{-1}$ が <Ref to="prop-compact-ideal" /> の (2) でコンパクトとなり、<Ref to="prop-diagonal-compact" /> に反します。
</Proof>

この定理は、有限次元のエルミート行列の対角化（[スペクトル定理](/mathematics/linear-algebra/spectral-theorem)）を、固有値が $0$ に集積することだけを除いてそのまま再現します。非有界な自己共役作用素 $H$ でも、レゾルベント $(H - z)^{-1}$ がコンパクトなら、この定理をレゾルベントに適用して $H$ の固有ベクトル展開が得られます。

<Example id="ex-green-kernel" title="Dirichlet 境界条件の Green 関数">
$L^2([0,1])$ 上で、核 $k(x,y) = \min(x,y) - xy$ による積分作用素

$$
(Kf)(x) = \int_0^1k(x,y)f(y)\,dy = (1 - x)\int_0^xyf(y)\,dy + x\int_x^1(1 - y)f(y)\,dy
$$

を考えます。$k$ は実対称で $L^2([0,1]^2)$ に属するので、$K$ は自己共役なコンパクト作用素です（<Ref to="thm-hs-integral-kernel" /> と <Ref to="prop-hs-properties" /> から）。$f$ が連続なら $u = Kf$ を 2 回微分して $-u'' = f$、$u(0) = u(1) = 0$ が確かめられます。$f(x) = \sin(n\pi x)$ に対しては $v(x) = \sin(n\pi x)/(n\pi)^2$ も同じ境界値問題を満たし、差は $w'' = 0$, $w(0) = w(1) = 0$ から $0$ なので

$$
K\bigl(\sqrt2\sin(n\pi\,\cdot)\bigr) = \frac{1}{n^2\pi^2}\sqrt2\sin(n\pi\,\cdot)\qquad(n\ge1).
$$

$\{\sqrt2\sin(n\pi x)\}_{n\ge1}$ は $L^2([0,1])$ の正規直交基底なので、これが <Ref to="thm-hilbert-schmidt-spectral" /> の展開そのもので、$\mathrm{Ker}(K) = \{0\}$ です。$K$ は $-d^2/dx^2$（Dirichlet 境界条件）の逆作用素であり、非有界作用素の固有値問題をコンパクト作用素の問題に移す典型例です。
</Example>

## 5. Riesz–Schauder 理論と Fredholm の択一定理

自己共役性を外しても、コンパクト作用素の非零スペクトルは固有値だけからなります。

<Theorem id="thm-riesz-schauder" title="Riesz–Schauder の定理">
$X$ を複素 Banach 空間、$K\in\mathcal{K}(X)$ とする。

1. $\lambda\ne0$ なら $\mathrm{Ker}(K - \lambda)$ は有限次元で、$\mathrm{Ran}(K - \lambda)$ は閉である。
2. $\lambda\ne0$ について、$K - \lambda$ が単射であることと全射であることは同値である。したがって $\sigma(K)\setminus\{0\}$ はすべて固有値からなる。
3. $\sigma(K)$ は高々可算で、集積点は高々 $0$ だけである。
4. $\dim X = \infty$ なら $0\in\sigma(K)$。
</Theorem>

<Proof of="thm-riesz-schauder">
[Fredholm 理論](/mathematics/functional-analysis/fredholm-theory) の <Ref to="mathematics/functional-analysis/fredholm-theory#thm-riesz-schauder-banach" /> が同じ仮定（複素 Banach 空間上のコンパクト作用素）で証明されています。対応は次のとおりです。本定理の 1 は同定理の 1、2 の前半は同定理の 3 です。2 の後半「$\sigma(K)\setminus\{0\}$ は固有値だけからなる」と 3・4 は同定理の 4 に含まれます（2 の後半は 3 からも直接出ます。$\lambda\ne0$ が固有値でなければ $K-\lambda$ は単射なので全射で、開写像定理により有界な逆をもちます）。
</Proof>

<Remark id="rem-riesz-schauder-proof" title="Riesz–Schauder の定理の証明の筋道">
(1) の前半と (4) はすぐ示せます。$E = \mathrm{Ker}(K - \lambda)$ 上で $K = \lambda$ なので、$E$ の閉単位球は $\lambda^{-1}K$ の像としてコンパクトであり、Riesz の定理から $E$ は有限次元です。(4) は $0\in\rho(K)$ なら $1 = KK^{-1}$ がコンパクトになることから出ます。残りは Reed–Simon I の第 VI 章や Conway の第 VII 章にあります。筋道は次のとおりです。$\mathrm{Ran}(K - \lambda)$ の閉性は、$\mathrm{Ker}(K - \lambda)$ の補空間上で $\|(K - \lambda)x\|\ge c\|x\|$ を背理法とコンパクト性で示して得ます。(2) は、単射だが全射でないと仮定すると $X_n = \mathrm{Ran}((K - \lambda)^n)$ が真に減少する閉部分空間の列になり、Riesz の補題で $X_n$ から $X_{n+1}$ に距離 $1/2$ 以上離れた単位ベクトルを選ぶと、その $K$ による像が収束部分列をもたず矛盾する、という議論です。(3) も同様に、異なる固有値に対する固有ベクトルの張る空間の増大列に Riesz の補題を適用します。完全な証明は <Ref to="mathematics/functional-analysis/fredholm-theory#thm-riesz-schauder-banach" /> にあります。
</Remark>

<Theorem id="thm-fredholm-alternative" title="Fredholm の択一定理">
$K\in\mathcal{K}(\mathcal{H})$、$\lambda\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ とする。次のいずれか一方だけが成り立つ。

- (a) 任意の $y\in\mathcal{H}$ に対し、$(K - \lambda)x = y$ はただ 1 つの解 $x$ をもつ。
- (b) 斉次方程式 $(K - \lambda)x = 0$ が $0$ でない解をもつ。

(b) の場合、$\dim\mathrm{Ker}(K - \lambda) = \dim\mathrm{Ker}(K^* - \bar\lambda) < \infty$ であり、$(K - \lambda)x = y$ が解をもつための必要十分条件は $y\perp\mathrm{Ker}(K^* - \bar\lambda)$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-fredholm-alternative">
**「いずれか一方だけ」。** (a) と (b) は明らかに両立しません（(b) なら $(K-\lambda)x=0$ の解が $0$ 以外にもあり、$y=0$ で一意性が崩れる）。(b) が成り立たないとき $K-\lambda$ は単射なので、<Ref to="thm-riesz-schauder" /> の 2 により全射でもあり、(a) が成り立ちます。

**(b) の場合の主張。** これは [Fredholm 理論](/mathematics/functional-analysis/fredholm-theory) の <Ref to="mathematics/functional-analysis/fredholm-theory#thm-fredholm-alternative-banach" /> の Hilbert 空間版の読み替えそのものです。その 1 から $\dim\mathrm{Ker}(K-\lambda)=\dim\mathrm{Ker}(K^*-\bar\lambda)<\infty$、その 2 から可解条件 $y\perp\mathrm{Ker}(K^*-\bar\lambda)$ が出ます。
</Proof>

<Remark id="rem-fredholm-proof" title="択一定理の証明の筋道">
「いずれか一方」は <Ref to="thm-riesz-schauder" /> の (2) そのものです。可解性の条件は、(1) の値域の閉性と <Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#prop-adjoint-properties" /> の (3) から $\mathrm{Ran}(K - \lambda) = \mathrm{Ker}(K^* - \bar\lambda)^\perp$ として出ます。次元の等式は Hilbert 空間なら次のように示せます。<Ref to="thm-finite-rank-approximation" /> で $\|K - F\| < |\lambda|$ となる有限ランク $F$ をとると、$K - \lambda = (K - F - \lambda) + F$ で、$G = K - F - \lambda$ はノイマン級数により可逆です。$K - \lambda = G(1 + G^{-1}F)$ と書けば、問題は有限ランク作用素 $G^{-1}F$ について $1 + G^{-1}F$ の核と余核の次元を比べることになり、これは $F$ の値域を含む有限次元部分空間上の行列の階数の議論（行列の核と転置の核の次元が等しい）に帰着します。詳細は Reed–Simon I 第 VI 章（解析的 Fredholm 定理）や Kato 第 IV 章にあります。Banach 空間版の完全な証明は <Ref to="mathematics/functional-analysis/fredholm-theory#thm-fredholm-alternative-banach" /> にあります。
</Remark>

<Example id="ex-fredholm-fails" title="コンパクト性を外すと択一が崩れる">
片側シフト $S$（<Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#ex-shift-topologies" />）を使い、$A = 1 - S$ と置きます。方程式 $x - Ax = y$ は $Sx = y$ と同じで、斉次方程式 $Sx = 0$ は $x = 0$ しか解をもちませんが、$y = e_1$ に対しては解がありません（$\mathrm{Ran}(S) = \{e_1\}^\perp$）。$A$ は有界ですがコンパクトではありません。もしコンパクトなら、<Ref to="thm-fredholm-alternative" /> を $\lambda = 1$ に適用して、単射な $A - 1 = -S$ は全射になるはずだからです。こうしてコンパクト性がないと「一意性 ⇒ 存在」が成り立ちません。有限次元の常識が無限次元で生き残るのは、摂動がコンパクトなときに限られるわけです。
</Example>

## 6. Hilbert–Schmidt 作用素

以下 $\mathcal{H}$ は可分とします。

<Proposition id="prop-hs-basis-independent" title="Hilbert–Schmidt ノルムの基底によらなさ">
$A\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ と正規直交基底 $(e_n)$, $(f_m)$ について

$$
\sum_n\|Ae_n\|^2 = \sum_m\|A^*f_m\|^2\quad(\in[0,\infty])
$$

が成り立つ。とくに左辺は基底 $(e_n)$ のとり方によらない。
</Proposition>

<Proof of="prop-hs-basis-independent">
Parseval の等式から $\|Ae_n\|^2 = \sum_m|\langle f_m, Ae_n\rangle|^2$、$\|A^*f_m\|^2 = \sum_n|\langle e_n, A^*f_m\rangle|^2 = \sum_n|\langle f_m, Ae_n\rangle|^2$。非負項の二重級数は（値が $+\infty$ の場合も含めて）順序を入れ替えてよいので（<Ref to="mathematics/calculus/series-and-convergence#thm-double-series" /> の 1）、両辺は等しくなります。右辺は $(e_n)$ を含まないので、左辺は $(e_n)$ によりません。
</Proof>

<Definition id="def-hilbert-schmidt" title="Hilbert–Schmidt 作用素">
$A\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ が **Hilbert–Schmidt 作用素**であるとは、ある（したがって任意の）正規直交基底 $(e_n)$ で $\|A\|_2^2 = \sum_n\|Ae_n\|^2 < \infty$ となることをいう。その全体を $\mathcal{S}_2(\mathcal{H})$ と書き、$\|A\|_2$ を Hilbert–Schmidt ノルムという。
</Definition>

<Proposition id="prop-hs-properties" title="Hilbert–Schmidt 作用素の性質">
1. $\|A\|\le\|A\|_2$、$\|A^*\|_2 = \|A\|_2$。
2. $A\in\mathcal{S}_2$、$B\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ なら $\|BA\|_2\le\|B\|\|A\|_2$、$\|AB\|_2\le\|B\|\|A\|_2$。
3. $\mathcal{S}_2\subset\mathcal{K}(\mathcal{H})$。
4. $\langle A, B\rangle_2 = \sum_n\langle Ae_n, Be_n\rangle$ は基底によらず、$\mathcal{S}_2$ はこの内積で Hilbert 空間になる。
</Proposition>

<Proof of="prop-hs-properties">
(1) 単位ベクトル $x$ を第 1 基底ベクトルとする正規直交基底をとれば $\|Ax\|^2\le\|A\|_2^2$。後半は <Ref to="prop-hs-basis-independent" /> で $(f_m) = (e_n)$ とした式です。

(2) $\|BAe_n\|\le\|B\|\|Ae_n\|$ を 2 乗して足せば前半、後半は (1) と前半から $\|AB\|_2 = \|B^*A^*\|_2\le\|B^*\|\|A^*\|_2 = \|B\|\|A\|_2$。

(3) $P_N$ を $\mathrm{span}\{e_1,\dots,e_N\}$ への射影とすると $AP_N$ は有限ランクで、(1) から $\|A - AP_N\|^2\le\|A(1 - P_N)\|_2^2 = \sum_{n > N}\|Ae_n\|^2\to0$。<Ref to="thm-finite-rank-approximation" /> よりコンパクトです。

(4) 基底によらないことは、偏極 $\langle A, B\rangle_2 = \frac14\sum_{k=0}^3i^{k}\|B + i^kA\|_2^2$ と <Ref to="prop-hs-basis-independent" /> から出ます。写像 $A\mapsto(\langle e_m, Ae_n\rangle)_{m,n}$ は $\mathcal{S}_2$ から $\ell^2(\mathbb{N}\times\mathbb{N})$ への等長写像で、逆に任意の $\ell^2$ 行列 $(a_{mn})$ は $\sum_{m,n}a_{mn}|e_m\rangle\langle e_n|$ として（(1) の評価から作用素ノルムでも収束して）$\mathcal{S}_2$ の元を定めるので全射です。$\ell^2$ が完備なので $\mathcal{S}_2$ も完備です。
</Proof>

<Theorem id="thm-hs-integral-kernel" title="Hilbert–Schmidt 作用素と L² 積分核">
$(X, \mu)$ を $\sigma$-有限な測度空間で $L^2(X,\mu)$ が可分なものとする。$A\in\mathcal{B}(L^2(X,\mu))$ が Hilbert–Schmidt 作用素であるための必要十分条件は、ある $k\in L^2(X\times X, \mu\otimes\mu)$ によって

$$
(Af)(x) = \int_Xk(x,y)f(y)\,d\mu(y)\qquad(\mu\text{-a.e. } x)
$$

と表されることである。このとき $\|A\|_2 = \|k\|_{L^2(X\times X)}$ であり、$k$ は $A$ から $\mu\otimes\mu$-a.e. で一意に定まる。
</Theorem>

<Proof of="thm-hs-integral-kernel">
**積分作用素の有界性。** $k\in L^2(X\times X)$ なら Fubini の定理より a.e. $x$ で $k(x,\cdot)\in L^2(X)$ で、Cauchy–Schwarz から $|(Af)(x)|^2\le\int|k(x,y)|^2d\mu(y)\,\|f\|^2$。$x$ で積分して $\|Af\|\le\|k\|_{L^2}\|f\|$。これを $A_k$ と書きます。

**基底。** $(\varphi_n)$ を $L^2(X)$ の正規直交基底とすると、$\Phi_{mn}(x,y) = \varphi_m(x)\overline{\varphi_n(y)}$ は $L^2(X\times X)$ の正規直交基底です（これは Fubini の定理を使う標準的な事実で、Reed–Simon I 第 II 章にあります）。

**(⇐)** $\langle\varphi_m, A_k\varphi_n\rangle = \iint\overline{\varphi_m(x)}k(x,y)\varphi_n(y)\,d\mu(x)d\mu(y) = \langle\Phi_{mn}, k\rangle_{L^2(X\times X)}$ なので、Parseval の等式を 2 回使って

$$
\|A_k\|_2^2 = \sum_n\|A_k\varphi_n\|^2 = \sum_{m,n}|\langle\varphi_m, A_k\varphi_n\rangle|^2 = \sum_{m,n}|\langle\Phi_{mn}, k\rangle|^2 = \|k\|_{L^2}^2.
$$

**(⇒)** $A\in\mathcal{S}_2$ なら $a_{mn} = \langle\varphi_m, A\varphi_n\rangle$ は $\sum|a_{mn}|^2 = \|A\|_2^2 < \infty$ を満たすので、$k = \sum_{m,n}a_{mn}\Phi_{mn}$ は $L^2(X\times X)$ で収束します。(⇐) の計算から $\langle\varphi_m, A_k\varphi_n\rangle = a_{mn} = \langle\varphi_m, A\varphi_n\rangle$ が全 $m, n$ で成り立つので、$A_k\varphi_n = A\varphi_n$、有界性と線形性から $A_k = A$。一意性は、$A_k = 0$ なら $\|k\|_{L^2} = \|A_k\|_2 = 0$ によります。
</Proof>

<Example id="ex-compact-not-hs" title="コンパクトだが Hilbert–Schmidt でない作用素">
<Ref to="ex-diagonal-compact" /> の対角作用素で $\lambda_n = n^{-1/2}$ とすると、$\lambda_n\to0$ なのでコンパクトですが、$\|D\|_2^2 = \sum_n1/n = \infty$ なので Hilbert–Schmidt ではありません。<Ref to="prop-hs-properties" /> の (3) の包含は真です。積分作用素でいえば、核が $L^2$ に入らなくてもコンパクトになりうるということです。
</Example>

## 7. 特異値・Schatten クラス・トレースクラス

<Definition id="def-singular-values" title="特異値">
$K\in\mathcal{K}(\mathcal{H})$ とし、$|K| = (K^*K)^{1/2}$ と置く。$|K|$ の $0$ でない固有値を重複度を込めて大きい順に並べたもの $s_1(K)\ge s_2(K)\ge\cdots > 0$ を $K$ の**特異値**という（個数が有限のときは以降を $0$ とおく）。
</Definition>

$|K|$ がコンパクトであることは、極分解 $K = V|K|$ から $|K| = V^*K$（<Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#thm-polar-decomposition" />）となり、<Ref to="prop-compact-ideal" /> の (2) から出ます。$|K|\ge0$ なので固有値は正で、<Ref to="thm-hilbert-schmidt-spectral" /> がそのまま使えます。

次の定理は、自己共役とは限らないコンパクト作用素に対しても、行列の特異値分解と同じ形の展開ができることを述べます。方針は、$|K|$ に Hilbert–Schmidt の定理を使って固有ベクトル $e_n$ を得て、極分解の部分等長作用素 $V$ でそれらを $f_n = Ve_n$ に移す、というものです。$V$ は $|K|$ の値域の上で内積を保つので、$f_n$ も正規直交系になります。

<Theorem id="thm-singular-value-decomposition" title="特異値分解（Schmidt 展開）">
$K\in\mathcal{K}(\mathcal{H})$ とする。正規直交系 $(e_n)_{n\in N}$, $(f_n)_{n\in N}$ が存在して

$$
K = \sum_{n\in N}s_n(K)\,|f_n\rangle\langle e_n|
$$

が作用素ノルムで収束する形で成り立つ。ここで $e_n$ は $|K|$ の、$f_n$ は $|K^*|$ の固有値 $s_n(K)$ に対する固有ベクトルである。
</Theorem>

<Proof of="thm-singular-value-decomposition">
<Ref to="thm-hilbert-schmidt-spectral" /> を $|K|$ に適用して $|K| = \sum_ns_n|e_n\rangle\langle e_n|$（$s_n = s_n(K)$）とします。極分解 $K = V|K|$ を使い、$f_n = Ve_n$ と置きます。$e_n\in\mathrm{Ran}(|K|)$ は $V$ の始空間 $\overline{\mathrm{Ran}(|K|)}$ に属し、$V$ はそこで等長なので内積を保ち（偏極恒等式）、$(f_n)$ は正規直交系です。$V$ を左から掛けると $K = \sum_ns_nV|e_n\rangle\langle e_n| = \sum_ns_n|f_n\rangle\langle e_n|$ で、ノルム収束は $\|V\|\le1$ から保たれます。最後に $KK^* = \sum_ns_n^2|f_n\rangle\langle f_n|$（$\langle e_n, e_m\rangle = \delta_{nm}$ を使って展開）なので、$|K^*| = (KK^*)^{1/2} = \sum_ns_n|f_n\rangle\langle f_n|$ です（右辺が正でその 2 乗が $KK^*$ になるので、平方根の一意性による）。
</Proof>

<Definition id="def-schatten-class" title="Schatten クラスとトレースクラス">
$1\le p < \infty$ とする。$K\in\mathcal{K}(\mathcal{H})$ で $\sum_ns_n(K)^p < \infty$ となるものの全体を **Schatten クラス** $\mathcal{S}_p(\mathcal{H})$ といい、$\|K\|_p = \bigl(\sum_ns_n(K)^p\bigr)^{1/p}$ と置く。$\mathcal{S}_1(\mathcal{H})$ の元を**トレースクラス作用素**、$\|T\|_1$ をトレースノルムという。
</Definition>

$p = 2$ の場合は <Ref to="def-hilbert-schmidt" /> と一致します。実際、$|K|$ の固有ベクトル $(e_n)$ を $\mathrm{Ker}(K)$ の正規直交基底で補って基底をつくると、$\|Ke_n\| = \||K|e_n\| = s_n$ なので $\sum_n\|Ke_n\|^2 = \sum_ns_n^2$ です。また $s_n$ は単調減少なので、$p < q$ なら $\mathcal{S}_p\subset\mathcal{S}_q$、$\|K\|\le\|K\|_q\le\|K\|_p$（$\|K\| = s_1$）です。

<Theorem id="thm-schatten-ideal" title="Schatten クラスの基本性質">
$1\le p < \infty$ とする。$\|\cdot\|_p$ は $\mathcal{S}_p$ 上のノルムで、$\mathcal{S}_p$ はこのノルムで Banach 空間である。$A, B\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$、$K\in\mathcal{S}_p$ なら $AKB\in\mathcal{S}_p$ かつ $\|AKB\|_p\le\|A\|\|K\|_p\|B\|$、$\|K^*\|_p = \|K\|_p$。さらに $\frac1p + \frac1q = 1$ のとき、$K\in\mathcal{S}_p$, $L\in\mathcal{S}_q$ なら $KL\in\mathcal{S}_1$ で $\|KL\|_1\le\|K\|_p\|L\|_q$（Hölder の不等式）。
</Theorem>

<Proof of="thm-schatten-ideal">
[作用素不等式と積分作用素](/mathematics/functional-analysis/operator-inequalities) で証明した二つの定理の組み合わせです。ノルムであること・完備性・$\|K^*\|_p=\|K\|_p$・$\|AKB\|_p\le\|A\|\|K\|_p\|B\|$ は <Ref to="mathematics/functional-analysis/operator-inequalities#thm-schatten-variational" /> の後半そのものです（$AKB$ はコンパクトなので特異値が定義され、評価から $AKB\in\mathcal{S}_p$ も従います）。Hölder の不等式は <Ref to="mathematics/functional-analysis/operator-inequalities#thm-schatten-holder" /> で $1<p,q<\infty$ とした場合です（$p=1$ のときは $q=\infty$ で、本定理の主張には含まれません）。
</Proof>

<Remark id="rem-schatten-proof" title="Schatten クラスの性質の証明の所在">
証明は B. Simon, *Trace Ideals and Their Applications* の第 1・2 章、Reed–Simon I の第 VI 章（$p = 1, 2$）にあります。要点は特異値の変分的な特徴づけ $s_{n+1}(K) = \min\{\|K - F\| : \mathrm{rank}\,F\le n\}$ で、ここから $s_{n+1}(AKB)\le\|A\|s_{n+1}(K)\|B\|$ がすぐに従います。三角不等式は、$\|K\|_1 = \sup\{|\sum_n\langle g_n, Kh_n\rangle|\}$（上限は正規直交系の組 $(g_n), (h_n)$ にわたる）という表示から $p = 1$ で直ちに出て、一般の $p$ は Ky Fan の不等式を使います。$p = 2$ の場合は <Ref to="prop-hs-properties" /> で示しました。$p = q = 2$ の Hölder の不等式は <Ref to="exr-hs-product-trace-class" /> で示します。一般の $p$ を含む完全な証明は <Ref to="mathematics/functional-analysis/operator-inequalities#thm-schatten-variational" /> と <Ref to="mathematics/functional-analysis/operator-inequalities#thm-schatten-holder" /> にあります。
</Remark>

<Lemma id="lem-trace-formula" title="階数 1 の和のトレース">
$u_k, w_k\in\mathcal{H}$（$k\in\mathbb{N}$）が $\sum_k\|u_k\|\|w_k\| < \infty$ を満たすとし、$T = \sum_k|w_k\rangle\langle u_k|$（作用素ノルムで絶対収束）と置く。このとき任意の正規直交基底 $(e_n)$ について $\sum_n\langle e_n, Te_n\rangle$ は絶対収束し、

$$
\sum_n\langle e_n, Te_n\rangle = \sum_k\langle u_k, w_k\rangle.
$$
</Lemma>

<Proof of="lem-trace-formula">
$\langle e_n, Te_n\rangle = \sum_k\langle u_k, e_n\rangle\langle e_n, w_k\rangle$ です。Cauchy–Schwarz と Parseval から

$$
\sum_k\sum_n|\langle u_k, e_n\rangle||\langle e_n, w_k\rangle|\le\sum_k\Bigl(\sum_n|\langle u_k, e_n\rangle|^2\Bigr)^{1/2}\Bigl(\sum_n|\langle e_n, w_k\rangle|^2\Bigr)^{1/2} = \sum_k\|u_k\|\|w_k\| < \infty
$$

なので二重級数は絶対収束し、<Ref to="mathematics/calculus/series-and-convergence#thm-double-series" /> の 2 により和の順序を入れ替えられます。$\sum_n\langle u_k, e_n\rangle\langle e_n, w_k\rangle = \langle u_k, w_k\rangle$（Parseval の等式の偏極形）から結論を得ます。
</Proof>

<Theorem id="thm-trace" title="トレースの定義と基本性質">
$T\in\mathcal{S}_1(\mathcal{H})$ とする。

1. 任意の正規直交基底 $(e_n)$ について $\sum_n\langle e_n, Te_n\rangle$ は絶対収束し、その値 $\mathrm{tr}\,T$ は基底によらない。
2. $|\mathrm{tr}\,T|\le\|T\|_1$。$T\ge0$ なら $\mathrm{tr}\,T = \|T\|_1$。
3. $\mathrm{tr}$ は $\mathcal{S}_1$ 上で線形である。
4. $A\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ なら $\mathrm{tr}(AT) = \mathrm{tr}(TA)$。
</Theorem>

<Proof of="thm-trace">
<Ref to="thm-singular-value-decomposition" /> から $T = \sum_ks_k|f_k\rangle\langle e_k|$ で、$u_k = e_k$, $w_k = s_kf_k$ とすると $\sum_k\|u_k\|\|w_k\| = \|T\|_1 < \infty$。

(1) <Ref to="lem-trace-formula" /> より、どの基底でも和は $\sum_ks_k\langle e_k, f_k\rangle$ に等しくなります。

(2) $|\sum_ks_k\langle e_k, f_k\rangle|\le\sum_ks_k$。$T\ge0$ なら $|T| = T$ で、$T$ の固有ベクトルからなる基底で計算すれば $\mathrm{tr}\,T = \sum_ks_k$。

(3) 基底を 1 つ固定すれば、和の線形性から明らかです（$S + T\in\mathcal{S}_1$ は <Ref to="thm-schatten-ideal" /> によります）。

(4) $AT = \sum_ks_k|Af_k\rangle\langle e_k|$、$TA = \sum_ks_k|f_k\rangle\langle A^*e_k|$ で、どちらも <Ref to="lem-trace-formula" /> の仮定を $\sum_ks_k\|A\|$ で満たします。よって

$$
\mathrm{tr}(AT) = \sum_ks_k\langle e_k, Af_k\rangle = \sum_ks_k\langle A^*e_k, f_k\rangle = \mathrm{tr}(TA).
$$
</Proof>

次の定理が言うのは、$\mathcal{B}(\mathcal{H})$ の元 $A$ を、トレースクラス上の汎関数 $T\mapsto\mathrm{tr}(AT)$ と同一視でき、トレースクラス上の連続な線形汎関数はすべてこの形に書ける、ということです。証明は、有界性と等長性（ノルムが保たれること）、全射性（どの汎関数も $A$ から来ること）の順に確かめます。全射性では、階数 1 の作用素の上で汎関数の値を読み取って $A$ を作り、有限ランク作用素が稠密なことで全体に広げます。

<Theorem id="thm-trace-duality" title="トレースによる双対性">
$A\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ に対し $\ell_A(T) = \mathrm{tr}(AT)$ と置くと、$A\mapsto\ell_A$ は $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ から $\mathcal{S}_1(\mathcal{H})$ の双対空間 $\mathcal{S}_1(\mathcal{H})^*$ への等長な線形同型である。同様に、$T\mapsto(K\mapsto\mathrm{tr}(TK))$ は $\mathcal{S}_1(\mathcal{H})$ から $\mathcal{K}(\mathcal{H})^*$ への等長な線形同型である。
</Theorem>

<Proof of="thm-trace-duality">
記号 $|y\rangle\langle x|$ は $z\mapsto\langle x,z\rangle y$ を表します。その特異値は $\|x\|\|y\|$ ただ 1 つなので $\||y\rangle\langle x|\|_1=\||y\rangle\langle x|\|=\|x\|\|y\|$、また <Ref to="lem-trace-formula" /> から任意の $A\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ について $\mathrm{tr}(A|y\rangle\langle x|)=\mathrm{tr}(|Ay\rangle\langle x|)=\langle x,Ay\rangle$ です。

**有限ランク作用素の稠密性。** $T\in\mathcal{S}_1$ を <Ref to="thm-singular-value-decomposition" /> で $T=\sum_ks_k|f_k\rangle\langle e_k|$ と書き、$T_N$ を第 $N$ 項までの部分和とします。$T-T_N=\sum_{k>N}s_k|f_k\rangle\langle e_k|$ はそれ自身が特異値分解の形なので、特異値は $(s_k)_{k>N}$ で $\|T-T_N\|_1=\sum_{k>N}s_k\to0$ です。

**一つ目の主張。** *有界性*: <Ref to="thm-trace" /> の 2 と <Ref to="thm-schatten-ideal" /> から $|\ell_A(T)|\le\|AT\|_1\le\|A\|\|T\|_1$、よって $\|\ell_A\|\le\|A\|$。$A\mapsto\ell_A$ の線形性は <Ref to="thm-trace" /> の 3 から明らかです。*等長性*: $T=|y\rangle\langle x|$（$\|x\|=\|y\|=1$）とすると $|\ell_A(T)|=|\langle x,Ay\rangle|$ で、$\sup_{x,y}|\langle x,Ay\rangle|=\|A\|$ なので $\|\ell_A\|\ge\|A\|$。*全射性*: $\ell\in\mathcal{S}_1^*$ に対し $b(x,y)=\ell(|y\rangle\langle x|)$ は $x$ について共役線形、$y$ について線形で、$|b(x,y)|\le\|\ell\|\|x\|\|y\|$ です。$y$ を固定すると $x\mapsto\overline{b(x,y)}$ は有界な線形汎関数なので、<Ref to="mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#thm-riesz-representation" /> により $\overline{b(x,y)}=\langle Ay,x\rangle$ となる $Ay\in\mathcal{H}$ がただ一つあります。一意性から $y\mapsto Ay$ は線形で、$\|Ay\|\le\|\ell\|\|y\|$ です。こうして $\ell(|y\rangle\langle x|)=\langle x,Ay\rangle=\ell_A(|y\rangle\langle x|)$ となり、線形性から $\ell$ と $\ell_A$ は有限ランク作用素の上で一致します。両者は $\mathcal{S}_1$ 上で連続で、有限ランク作用素は稠密なので $\ell=\ell_A$ です。

**二つ目の主張。** $T\in\mathcal{S}_1$ について $m_T(K)=\mathrm{tr}(TK)$ とおきます。*有界性*: <Ref to="thm-schatten-ideal" /> から $|m_T(K)|\le\|TK\|_1\le\|T\|_1\|K\|$。*等長性*: 上の特異値分解について $K_N=\sum_{k\le N}|e_k\rangle\langle f_k|$ は $\|K_N\|\le1$ の有限ランク作用素で、$TK_N=\sum_{k\le N}s_k|f_k\rangle\langle f_k|$ なので $m_T(K_N)=\sum_{k\le N}s_k\to\|T\|_1$。よって $\|m_T\|=\|T\|_1$ です。*全射性*: $m\in\mathcal{K}^*$ に対し、一つ目と同じ議論で $m(|y\rangle\langle x|)=\langle x,Ty\rangle$ となる $T\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ が得られ、$m(F)=\mathrm{tr}(TF)$ がすべての有限ランク $F$ で成り立ちます。$T\in\mathcal{S}_1$ を示します。極分解 $T=V|T|$（<Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#thm-polar-decomposition" />）から $|T|=V^*T$ です。有限個の正規直交ベクトル $u_1,\ldots,u_N$ に対し $F=\sum_{k\le N}|u_k\rangle\langle Vu_k|$ とおくと、$F=PV^*$（$P$ は $u_k$ の張る空間への射影）なので $\|F\|\le1$ で、
$$
\sum_{k\le N}\langle u_k,|T|u_k\rangle=\sum_{k\le N}\langle Vu_k,Tu_k\rangle=\mathrm{tr}(TF)=m(F)\le\|m\|
$$
です。左辺は $\sum_k\||T|^{1/2}u_k\|^2$ なので、任意の正規直交基底についてこの和は $\|m\|$ 以下、すなわち $|T|^{1/2}$ は Hilbert–Schmidt で、<Ref to="prop-hs-properties" /> の 3 からコンパクトです。よって $|T|$ と $T=V|T|$ もコンパクトです（<Ref to="prop-compact-ideal" />）。$u_k$ として $|T|$ の固有値 $s_k(T)$ に対する固有ベクトルを取れば $\sum_{k\le N}s_k(T)\le\|m\|$ なので $T\in\mathcal{S}_1$ です。$m$ と $m_T$ は有限ランク作用素の上で一致し、それは $\mathcal{K}$ でノルム稠密（<Ref to="thm-finite-rank-approximation" />）なので $m=m_T$ です。
</Proof>

<Remark id="rem-trace-duality-proof" title="双対性の証明の筋道">
1 つ目の主張の証明の要点を繰り返します（同じ議論は Reed–Simon I 第 VI 章、Conway 第 IX 章にもあります）。**有界性**: <Ref to="thm-trace" /> の (2) と <Ref to="thm-schatten-ideal" /> から $|\ell_A(T)|\le\|AT\|_1\le\|A\|\|T\|_1$。**等長性**: 階数 1 の $T = |y\rangle\langle x|$ は $\|T\|_1 = \|x\|\|y\|$ で $\ell_A(T) = \langle x, Ay\rangle$（<Ref to="lem-trace-formula" />）なので、単位ベクトル $x, y$ の上限をとって $\|\ell_A\|\ge\|A\|$。**全射性**: $\ell\in\mathcal{S}_1^*$ に対し $(x, y)\mapsto\ell(|y\rangle\langle x|)$ は $x$ について共役線形・$y$ について線形で $|\cdot|\le\|\ell\|\|x\|\|y\|$ を満たすので、Riesz の表現定理から $\ell(|y\rangle\langle x|) = \langle x, Ay\rangle$ となる $A\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ が定まります。$\ell$ と $\ell_A$ は有限ランク作用素上で一致し、有限ランク作用素は特異値分解の打ち切りにより $\mathcal{S}_1$ で稠密なので $\ell = \ell_A$。2 つ目の主張も同じ型の議論で、$\mathcal{K}$ では有限ランク作用素がノルム稠密であること（<Ref to="thm-finite-rank-approximation" />）を使います。
</Remark>

こうして $\mathcal{K}(\mathcal{H})^* = \mathcal{S}_1(\mathcal{H})$、$\mathcal{S}_1(\mathcal{H})^* = \mathcal{B}(\mathcal{H})$ という、数列空間の $c_0^* = \ell^1$, $(\ell^1)^* = \ell^\infty$ と完全に平行な関係が得られます。対角作用素に制限すると、まさにこの数列空間の双対関係になります。$\mathcal{B}(\mathcal{H})$ 上の[弱\*位相](/mathematics/functional-analysis/banach-spaces#def-weak-topology)（$\sigma$-弱位相）は、この双対性から定まる位相です。

<Example id="ex-density-operator" title="密度作用素">
量子統計力学では、状態を $\rho\ge0$, $\rho\in\mathcal{S}_1$, $\mathrm{tr}\,\rho = 1$ を満たす**密度作用素**で表し、有界な観測量 $A$ の期待値を $\mathrm{tr}(\rho A)$ と定めます。<Ref to="thm-singular-value-decomposition" /> より $\rho = \sum_kp_k|e_k\rangle\langle e_k|$（$p_k\ge0$, $\sum p_k = 1$）と書け、$\mathrm{tr}(\rho A) = \sum_kp_k\langle e_k, Ae_k\rangle$ は純粋状態 $e_k$ の確率 $p_k$ による混合です。たとえば有限次元で $\rho = e^{-\beta H}/\mathrm{tr}\,e^{-\beta H}$ が Gibbs 状態です。<Ref to="thm-trace-duality" /> は、「状態（密度作用素）と観測量の対」が双対の対であることを述べています。
</Example>

<Example id="ex-trace-basis-dependence" title="トレースクラスでないとトレースは基底に依存する">
$Te_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}e_n$ という対角作用素を考えます。$s_n(T) = 1/n$ なので $T\in\mathcal{S}_2\setminus\mathcal{S}_1$ です。基底 $(e_n)$ では $\sum_n\langle e_n, Te_n\rangle = 1 - \frac12 + \frac13 - \cdots = \log2$ と収束しますが、基底の番号を付け替えるのも正規直交基底の取り替えなので、Riemann の再配列定理により、適当な並べ替え $(e_{\pi(n)})$ で和を任意の実数にできます。<Ref to="thm-trace" /> の基底によらなさには、絶対収束、すなわち $T\in\mathcal{S}_1$ が欠かせません。
</Example>

## 8. 演習

<Exercise id="exr-green-kernel-norms" difficulty="標準">
<Ref to="ex-green-kernel" /> の作用素 $K$ について、$\|K\|_2^2$ と $\mathrm{tr}\,K$ を (i) 固有値から、(ii) 核 $k(x,y)$ から計算し、一致することを確かめよ。$\sum_n n^{-2} = \pi^2/6$, $\sum_n n^{-4} = \pi^4/90$ を使ってよい。
<Solution>
(i) 固有値は $\lambda_n = 1/(n\pi)^2 > 0$ で、$K\ge0$ なので特異値も同じです。$\|K\|_2^2 = \sum_n\lambda_n^2 = \pi^{-4}\cdot\pi^4/90 = 1/90$、$\mathrm{tr}\,K = \|K\|_1 = \sum_n\lambda_n = \pi^{-2}\cdot\pi^2/6 = 1/6$。

(ii) <Ref to="thm-hs-integral-kernel" /> より $\|K\|_2^2 = \iint k^2$。対称性から $y < x$ の部分の 2 倍で、そこでは $k = y(1 - x)$ なので

$$
\iint k^2 = 2\int_0^1(1 - x)^2\int_0^xy^2\,dy\,dx = \frac23\int_0^1x^3(1 - x)^2\,dx = \frac23\cdot\frac{3!\,2!}{6!} = \frac{1}{90}.
$$

トレースは対角線上の積分 $\int_0^1k(x,x)\,dx = \int_0^1x(1 - x)\,dx = 1/6$ で、一致します。後者は $\sum_n\lambda_n\cdot2\sin^2(n\pi x) = k(x,x)$ という核の展開（Mercer の定理、連続な正定値核で成り立つ）を積分したものに当たります。一般の $L^2$ 核では対角線 $\{x = y\}$ は測度 $0$ なので、$\int k(x,x)\,dx$ でトレースを定義することはできない点に注意してください。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-strong-times-compact" difficulty="標準">
$K\in\mathcal{K}(\mathcal{H})$、$A_n, A\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ で $A_n\to A$（強収束、列）とする。$\|A_nK - AK\|\to0$ を示せ。また、$K$ のコンパクト性を外すと成り立たない例を挙げよ。
<Solution>
<Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#prop-strong-limit-bounded" /> より $C = \sup_n\|A_n\| < \infty$。$\varepsilon > 0$ に対し <Ref to="thm-finite-rank-approximation" /> で $\|K - F\| < \varepsilon$ となる $F = \sum_{j=1}^{N}|w_j\rangle\langle u_j|$ をとると、

$$
\|(A_n - A)K\|\le(C + \|A\|)\varepsilon + \|(A_n - A)F\|,\qquad\|(A_n - A)F\|\le\sum_{j=1}^{N}\|u_j\|\|(A_n - A)w_j\|\to0.
$$

よって $\limsup_n\|(A_n - A)K\|\le(C + \|A\|)\varepsilon$ で、$\varepsilon$ は任意です。反例: $P_n$ を $\mathrm{span}\{e_1,\dots,e_n\}$ への射影とすると $P_n\to1$（強）ですが、$K = 1$（コンパクトでない）では $\|P_n - 1\| = 1$ です。コンパクト作用素は「強収束をノルム収束に格上げする」働きをし、これが近似の議論で繰り返し使われます。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-volterra-compact" difficulty="易">
$L^2([0,1])$ 上の Volterra 作用素 $(Jf)(x) = \int_0^xf(t)\,dt$ が Hilbert–Schmidt 作用素であることを示し、$\|J\|_2$ を求めよ。前章 <Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#ex-volterra" /> で見た $\sigma(J) = \{0\}$ と <Ref to="thm-riesz-schauder" /> の関係を述べ、<Ref to="thm-hilbert-schmidt-spectral" /> で自己共役性が外せない理由を説明せよ。
<Solution>
$J$ の核は $k(x,t) = \chi_{\{t < x\}}$ で、$\iint|k|^2 = \int_0^1x\,dx = 1/2$。<Ref to="thm-hs-integral-kernel" /> より $J\in\mathcal{S}_2$, $\|J\|_2 = 1/\sqrt2$ で、とくにコンパクトです。<Ref to="thm-riesz-schauder" /> の (4) から $0\in\sigma(J)$ ですが、$Jf = 0$ なら $\int_0^xf = 0$ が全 $x$ で成り立ち、微分して $f = 0$（a.e.）なので $0$ は固有値ではありません。つまり $J$ には固有値が 1 つもありません。もし <Ref to="thm-hilbert-schmidt-spectral" /> が自己共役性なしで成り立てば、$J\ne0$ なので $0$ でない固有値をもつはずで、矛盾します。コンパクト性だけでは対角化は保証されず、それを補うのが自己共役性（より一般には正規性）です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-hs-product-trace-class" difficulty="難">
$A, B\in\mathcal{S}_2(\mathcal{H})$ なら $AB\in\mathcal{S}_1(\mathcal{H})$ で $\|AB\|_1\le\|A\|_2\|B\|_2$ であることを示せ。
<Solution>
$AB$ はコンパクトです（<Ref to="prop-hs-properties" /> の (3) と <Ref to="prop-compact-ideal" /> の (2)）。極分解 $AB = W|AB|$ をとると $|AB| = W^*AB$（<Ref to="mathematics/functional-analysis/bounded-operators#thm-polar-decomposition" />）。$|AB|$ の固有値 $s_n$ に対する正規直交固有ベクトル $(e_n)$ について

$$
\sum_ns_n = \sum_n\langle e_n, |AB|e_n\rangle = \sum_n\langle A^*We_n, Be_n\rangle\le\Bigl(\sum_n\|A^*We_n\|^2\Bigr)^{1/2}\Bigl(\sum_n\|Be_n\|^2\Bigr)^{1/2}.
$$

$(e_n)$ を正規直交基底に補えば、右辺の和はそれぞれ $\|A^*W\|_2^2$ と $\|B\|_2^2$ 以下です。<Ref to="prop-hs-properties" /> の (1)(2) から $\|A^*W\|_2 = \|W^*A\|_2\le\|W^*\|\|A\|_2\le\|A\|_2$（$W$ は部分等長なので $\|W\|\le1$）。よって $\|AB\|_1 = \sum_ns_n\le\|A\|_2\|B\|_2 < \infty$。逆に任意の $T\in\mathcal{S}_1$ は $T = (V|T|^{1/2})(|T|^{1/2})$ と 2 つの Hilbert–Schmidt 作用素の積に書けるので（$\||T|^{1/2}\|_2^2 = \sum_ns_n$）、$\mathcal{S}_1 = \mathcal{S}_2\cdot\mathcal{S}_2$ です。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- M. Reed and B. Simon, *Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis*, revised and enlarged edition, Academic Press, 1980 — 第 VI 章（コンパクト作用素、Hilbert–Schmidt の定理、Fredholm の択一定理、トレースクラスと Hilbert–Schmidt 作用素）。
- B. Simon, *Trace Ideals and Their Applications*, 2nd ed., American Mathematical Society (Mathematical Surveys and Monographs 120), 2005 — 第 1・2 章（特異値と Schatten クラス）。
- J. B. Conway, *A Course in Functional Analysis*, 2nd ed., Springer (GTM 96), 1990 — 第 II 章（コンパクト作用素）、第 VII 章（Riesz–Schauder 理論）。
- T. Kato, *Perturbation Theory for Linear Operators*, Springer, 1966（再版 1995） — 第 III・IV 章（コンパクト作用素、Fredholm 作用素と指数）。
- P. Enflo, "A counterexample to the approximation problem in Banach spaces", *Acta Mathematica* 130 (1973), 309–317.
- 黒田成俊『関数解析』共立出版、1980 — コンパクト作用素の章。