# Banach 空間の強連続半群：Hille–吉田・Lumer–Phillips・Dyson 展開・Trotter–Kato・Chernoff の積公式

> Banach 空間の強連続半群について、Hille–吉田と Lumer–Phillips の生成定理、有界摂動の Dyson 展開、Trotter–Kato の近似定理、Chernoff と Trotter の積公式を証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/functional-analysis/banach-semigroups

## 0. この記事の要点

時間とともに状態が変わる現象（拡散する熱、確率分布の推移、量子系の時間発展など）は、「いまの状態から $t$ 秒後の状態を返す作用素 $T(t)$」の族で表せます。この記事は、そうした族がどんな条件で「微分方程式 $\dot x=Lx$ の解」として生まれるか、$L$ に小さな変更を加えると解がどう変わるか、近似した問題の解が本物の解に近づくか、という 3 つの素朴な問いに、Hilbert 空間より広い Banach 空間で答えます。読み終えると、これらを支える 3 つの定理（生成定理、摂動の展開、近似定理）を証明まで追えるようになります。

- 稠密に定義された[閉作用素](/mathematics/functional-analysis/unbounded-operators#def-closed-operator) $L$ が縮小半群を生成するのは、$(0,\infty)\subset\rho(L)$ かつ $\|(\lambda-L)^{-1}\|\le1/\lambda$ のときに限ります（**Hille–吉田**）。吉田近似（$L$ を有界作用素で近似したもの）$L_\lambda=\lambda L(\lambda-L)^{-1}$ の指数関数の極限として半群を作ります。一般の $\|T(t)\|\le Me^{\omega t}$ の場合も、ノルムを取り替えて同じ定理に帰着します（Feller–宮寺–Phillips）。
- Banach 空間では内積の代わりに双対写像を使って消散性を定義し、**Lumer–Phillips の定理**が成り立ちます。確率の保存する連続時間マルコフ連鎖が典型例です。
- 有界な摂動 $L+B$ の半群は **Dyson–Phillips 級数** $\sum_nS_n(t)$ で与えられ、Duhamel 公式 $S(t)=T(t)+\int_0^tT(t-s)BS(s)\,ds$ を満たします。時間に依存する摂動では**時間順序指数**（時刻の早い順に作用素を並べて積分した級数。Dyson 展開）になります。
- **Trotter–Kato の近似定理**: 半群の収束はレゾルベントの強収束と同値で、生成子が芯（グラフノルムで稠密な部分空間）の上で収束すれば半群も収束します。極限の生成子を前もって知らなくても、レゾルベントの極限から構成できます。
- **Chernoff の積公式** $F(t/n)^n\to e^{tL}$ を証明し、その系として Banach 空間の Trotter 積公式と、$A+B$ が[本質的自己共役](/mathematics/functional-analysis/self-adjointness-criteria#def-symmetric-essentially-self-adjoint)なだけの場合の Trotter 積公式を得ます。格子ゲージ理論で転送行列からハミルトニアンを得る議論はこの形の定理を使います。
- 共役半群 $T(t)^*$ は強連続とは限りません。強連続に動く部分 $X^{\odot}$（**⊙-双対**）は $D(L^*)$ のノルム閉包で、$X$ の点を分離します。回帰的な空間はどの半群についても **⊙-回帰的**です。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **レゾルベント**: $\lambda-L$ の逆作用素 $R(\lambda,L)=(\lambda-L)^{-1}$ のこと。これが有界作用素として存在する $\lambda$ の集合が $\rho(L)$ です。→ [1 径数ユニタリ群と強連続半群](/mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups)
- **消散的作用素**: Hilbert 空間では $\mathrm{Re}\langle\psi,L\psi\rangle\le0$ となる作用素。→ [消散作用素](/mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups#def-dissipative)
- **Bochner 積分**: Banach 空間に値をもつ関数の積分。→ [Bochner 積分](/mathematics/functional-analysis/vector-valued-analysis#def-bochner-integral)
- **閉作用素**: グラフが閉集合になる作用素。→ [閉作用素](/mathematics/functional-analysis/unbounded-operators#def-closed-operator)
- **一様有界性原理**: 各点で有界な有界作用素の族はノルムでも有界、という定理。→ [Banach 空間の基本定理](/mathematics/functional-analysis/banach-spaces#thm-uniform-boundedness)

</Aside>

## 1. 動機

[1 径数ユニタリ群と強連続半群](/mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups) では、Hilbert 空間のユニタリ群（Stone の定理）を中心に扱い、一般の Banach 空間の半群については Hille–吉田の定理を主張だけ述べ、Trotter 積公式も $A+B$ が $D(A)\cap D(B)$ 上で自己共役な場合に限って証明しました。

ところが、確率過程の推移半群（$L^1$ や連続関数の空間で働く）、輸送方程式や拡散方程式の解作用素は、Hilbert 空間の外で、しかも自己共役でない生成子をもちます。また場の理論の格子近似では、転送行列 $T_a$ の冪 $T_{t/n}^{\,n}$ が $e^{-tH}$ に収束することを示す必要があり、そこで使えるのは「1 ステップの作用素の微分が芯の上で $-H$ に収束する」という情報だけです。この記事では、Banach 空間上の半群の生成・摂動・近似の 3 つの基本定理を、仮定を省略せずに証明します。

## 2. 準備

$X$ は複素 Banach 空間です。強連続半群 $T(t)=e^{tL}$ とその生成子 $L$ の定義と基本性質（指数評価 $\|T(t)\|\le Me^{\omega t}$、$D(L)$ の稠密性と $L$ の閉性、微分公式、レゾルベントの Laplace 表示）は <Ref to="mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups#def-c0-semigroup" /> と <Ref to="mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups#prop-semigroup-basic" /> のとおりで、これらは Banach 空間で証明されています。$R(\lambda,L)=(\lambda-L)^{-1}$ と書きます。積分は [Bochner 積分](/mathematics/functional-analysis/vector-valued-analysis#def-bochner-integral)（連続関数ならリーマン積分）で、閉作用素との交換は Hille の定理（<Ref to="mathematics/functional-analysis/vector-valued-analysis#thm-hille-integral" />）、微積分の基本定理は <Ref to="mathematics/functional-analysis/vector-valued-analysis#thm-ftc-vector" /> を使います。

<Lemma id="lem-strong-product" title="強連続族の積">
$U,V:I\to\mathcal{B}(X)$（$I$ は区間）が強連続で、コンパクト部分区間上で一様有界とする。

1. 各 $x$ について $t\mapsto U(t)V(t)x$ は連続である。
2. $t_0\in I$ で $t\mapsto V(t)x$ が微分可能、$y=V(t_0)x$ について $t\mapsto U(t)y$ が微分可能なら、$t\mapsto U(t)V(t)x$ は $t_0$ で微分可能で、導関数は $U'(t_0)y+U(t_0)V'(t_0)x$（$U'(t_0)y$, $V'(t_0)x$ はそれぞれの導関数）である。
</Lemma>

<Proof of="lem-strong-product">
$U(t)V(t)x-U(t_0)V(t_0)x=U(t)\bigl(V(t)x-V(t_0)x\bigr)+\bigl(U(t)-U(t_0)\bigr)y$ です。1 は、第 1 項が $\sup\|U\|\cdot\|V(t)x-V(t_0)x\|\to0$、第 2 項が強連続性から $0$ に収束することから出ます。2 は $t-t_0$ で割り、第 1 項を $U(t)\bigl[(V(t)x-V(t_0)x)/(t-t_0)-V'(t_0)x\bigr]+U(t)V'(t_0)x$ と分ければ、一様有界性と強連続性から出ます。
</Proof>

<Lemma id="lem-generator-unique" title="生成子は半群を決める">
2 つの強連続半群 $T,S$ が同じ生成子 $L$ をもてば $T=S$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-generator-unique">
$x\in D(L)$, $t>0$ を固定し、$w(s)=T(t-s)S(s)x$（$0\le s\le t$）と置きます。<Ref to="mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups#prop-semigroup-basic" /> の 2 から $S(s)x\in D(L)$ で $\frac{d}{ds}S(s)x=LS(s)x$、$\frac{d}{ds}T(t-s)y=-T(t-s)Ly$（$y\in D(L)$）なので、<Ref to="lem-strong-product" /> から $w'(s)=-T(t-s)LS(s)x+T(t-s)LS(s)x=0$。<Ref to="mathematics/functional-analysis/vector-valued-analysis#thm-ftc-vector" /> の 3 から $w$ は定数で、$S(t)x=w(t)=w(0)=T(t)x$。$D(L)$ は稠密なので $S(t)=T(t)$ です。
</Proof>

<Lemma id="lem-gronwall" title="Volterra 型不等式の一意性">
$u:[s,S]\to[0,\infty)$ が連続で、定数 $c$ について $u(t)\le c\int_s^tu(r)\,dr$ なら $u\equiv0$。
</Lemma>

<Proof of="lem-gronwall">
$\phi(t)=\int_s^tu$ は $\phi'\le c\phi$ を満たすので $(e^{-c(t-s)}\phi(t))'\le0$、$\phi(s)=0$ から $\phi\le0$、よって $\phi=0$ で $u=\phi'=0$ です。
</Proof>

## 3. Hille–吉田の定理

次の定理は、条件を満たす $L$ から半群を実際に作り出すためのものです。$L$ は一般に非有界で指数関数 $e^{tL}$ を直接は定義できないので、証明では有界作用素 $L_\lambda$ で $L$ を近似し、$\lambda\to\infty$ で $e^{tL_\lambda}$ が収束することを示して、その極限を半群とします。

<Theorem id="thm-hille-yosida-proof" title="Hille–吉田の定理（証明つき）">
$L$ を $X$ における線形作用素とする。$L$ が縮小半群（全 $t$ で $\|T(t)\|\le1$）の生成子であるための必要十分条件は、$L$ が稠密に定義された閉作用素で、$(0,\infty)\subset\rho(L)$ かつ全 $\lambda>0$ で $\|R(\lambda,L)\|\le1/\lambda$ となることである。
</Theorem>

<Proof of="thm-hille-yosida-proof">
**必要性.** <Ref to="mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups#prop-semigroup-basic" /> の 2 と 3（$M=1$, $\omega=0$）です。

**十分性.** $\lambda>0$ について**吉田近似** $L_\lambda=\lambda LR(\lambda,L)=\lambda^2R(\lambda,L)-\lambda$ を考えます（2 つ目の等号は $LR(\lambda,L)=\lambda R(\lambda,L)-1$ から）。$L_\lambda$ は有界作用素です。

*ステップ 1.* $\lambda R(\lambda,L)x\to x$（$\lambda\to\infty$）が全 $x$ で成り立ちます。$x\in D(L)$ なら $\lambda R(\lambda,L)x-x=R(\lambda,L)Lx$ のノルムは $\|Lx\|/\lambda$ 以下で、$\|\lambda R(\lambda,L)\|\le1$ と $D(L)$ の稠密性から全 $x$ に及びます。とくに $x\in D(L)$ なら $L_\lambda x=\lambda R(\lambda,L)Lx\to Lx$ です。

*ステップ 2.* $e^{tL_\lambda}=e^{-\lambda t}e^{t\lambda^2R(\lambda,L)}$（可換な有界作用素の指数関数の積）なので $\|e^{tL_\lambda}\|\le e^{-\lambda t}e^{t\lambda^2/\lambda}=1$。レゾルベント恒等式から $L_\lambda$ と $L_\mu$ は可換で、
$$
e^{tL_\lambda}x-e^{tL_\mu}x=\int_0^1\frac{d}{ds}\Bigl[e^{tsL_\lambda}e^{t(1-s)L_\mu}x\Bigr]ds=\int_0^1e^{tsL_\lambda}e^{t(1-s)L_\mu}\,t\,(L_\lambda-L_\mu)x\,ds
$$
から $\|e^{tL_\lambda}x-e^{tL_\mu}x\|\le t\|L_\lambda x-L_\mu x\|$ です。

*ステップ 3.* $x\in D(L)$ なら、ステップ 1, 2 から $e^{tL_\lambda}x$ は $\lambda\to\infty$ で $t\in[0,S]$ について一様にコーシーです。$\|e^{tL_\lambda}\|\le1$ と $D(L)$ の稠密性から、全 $x$ で同じことが言えます（$\varepsilon/3$ 論法）。極限を $T(t)x$ と置くと、$T(t)$ は線形で $\|T(t)\|\le1$、$T(0)=1$、$T(t+s)=\lim e^{tL_\lambda}e^{sL_\lambda}=T(t)T(s)$（積の極限は一様有界性で分けて取れる）、$t\mapsto T(t)x$ は連続関数の一様極限なので連続です。

*ステップ 4（生成子は $L$）.* $T$ の生成子を $G$ とします。$x\in D(L)$ について、ステップ 1 と 3 から $e^{sL_\lambda}L_\lambda x\to T(s)Lx$ が $s\in[0,t]$ について一様に成り立つので
$$
T(t)x-x=\lim_{\lambda\to\infty}\int_0^te^{sL_\lambda}L_\lambda x\,ds=\int_0^tT(s)Lx\,ds .
$$
両辺を $t$ で割って $t\downarrow0$ とすれば（<Ref to="mathematics/functional-analysis/vector-valued-analysis#thm-ftc-vector" /> の 1）、$x\in D(G)$, $Gx=Lx$。すなわち $L\subset G$ です。$\lambda>0$ について $\lambda-L$ は $D(L)$ から $X$ への全単射、$\lambda-G$ は単射（$\lambda\in\rho(G)$）なので、$x\in D(G)$ に対し $(\lambda-G)x=(\lambda-L)y=(\lambda-G)y$ となる $y\in D(L)$ を取れば $x=y\in D(L)$。よって $G=L$ です。
</Proof>

これで <Ref to="mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups#thm-hille-yosida" /> の証明が完成しました。$T(t)$ を $e^{-\omega t}T(t)$ に取り替えれば、$\|T(t)\|\le e^{\omega t}$ となる半群の生成子は「$(\omega,\infty)\subset\rho(L)$ かつ $\|R(\lambda,L)\|\le(\lambda-\omega)^{-1}$」で特徴づけられます（生成子は $L-\omega$ に変わるだけです）。定数 $M>1$ がつく場合は、ノルムを取り替えて縮小の場合に帰着させます。もとのノルムと同値で、そのノルムで見ると縮小になるような新しいノルムを、レゾルベントの冪から作る、というのが次の定理の証明の考え方です。

<Theorem id="thm-feller-miyadera-phillips" title="Feller–宮寺–Phillips の定理">
稠密に定義された閉作用素 $L$ が $\|T(t)\|\le Me^{\omega t}$ を満たす強連続半群を生成するための必要十分条件は、$(\omega,\infty)\subset\rho(L)$ かつ全 $\lambda>\omega$, $n\ge1$ で $\|R(\lambda,L)^n\|\le M(\lambda-\omega)^{-n}$ となることである。
</Theorem>

<Proof of="thm-feller-miyadera-phillips">
$L-\omega$ に置き換えて $\omega=0$ とします。**必要性.** <Ref to="mathematics/functional-analysis/vector-valued-analysis#lem-closed-resolvent" /> の冪級数から $\frac{d^{n-1}}{d\lambda^{n-1}}R(\lambda,L)=(-1)^{n-1}(n-1)!R(\lambda,L)^n$ で、Laplace 表示を $\lambda$ で $n-1$ 回微分すると（優収束定理で微分と積分を交換）$R(\lambda,L)^n=\frac1{(n-1)!}\int_0^\infty t^{n-1}e^{-\lambda t}T(t)\,dt$、そのノルムは $M\lambda^{-n}$ 以下です。

**十分性.** $\mu>0$ について $\|x\|_\mu=\sup_{n\ge0}\|\mu^nR(\mu,L)^nx\|$ と置くと、$\|x\|\le\|x\|_\mu\le M\|x\|$、$\|\mu R(\mu,L)\|_\mu\le1$ です。$0<\lambda\le\mu$ なら、レゾルベント恒等式 $R(\lambda)=R(\mu)+(\mu-\lambda)R(\mu)R(\lambda)$ から
$$
\|R(\lambda)y\|_\mu\le\frac1\mu\|y\|_\mu+\frac{\mu-\lambda}{\mu}\|R(\lambda)y\|_\mu,\quad\text{すなわち}\quad\|\lambda R(\lambda)y\|_\mu\le\|y\|_\mu .
$$
これを使うと $\lambda\le\mu$ で $\|\lambda^nR(\lambda)^nx\|\le\|\lambda^nR(\lambda)^nx\|_\mu\le\|x\|_\mu$ なので、$\|x\|_\lambda\le\|x\|_\mu$ です。$|x|=\lim_{\mu\to\infty}\|x\|_\mu$ と置くと、$\|x\|\le|x|\le M\|x\|$ の同値なノルムで、$|\lambda R(\lambda)x|=\lim_\mu\|\lambda R(\lambda)x\|_\mu\le|x|$ です。ノルム $|\cdot|$ で <Ref to="thm-hille-yosida-proof" /> を使うと、$|T(t)|\le1$ の半群が得られ、もとのノルムで $\|T(t)x\|\le|T(t)x|\le|x|\le M\|x\|$ です。
</Proof>

## 4. Lumer–Phillips の定理（Banach 空間版）

Hilbert 空間では消散性を $\mathrm{Re}\langle\psi,L\psi\rangle\le0$ と定義しました（<Ref to="mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups#def-dissipative" />）。Banach 空間では内積の代わりに、ノルムを実現する汎関数を使います。

<Definition id="def-dissipative-banach" title="双対写像と消散作用素">
$x\in X$ に対し $J(x)=\{x^*\in X^*:x^*(x)=\|x\|^2=\|x^*\|^2\}$ を**双対集合**という（<Ref to="mathematics/functional-analysis/banach-spaces#cor-norming-functional" /> により空でない）。作用素 $L$ が**消散的**であるとは、各 $x\in D(L)$ について $\mathrm{Re}\,x^*(Lx)\le0$ となる $x^*\in J(x)$ があることをいう。
</Definition>

<Theorem id="thm-lumer-phillips-banach" title="Lumer–Phillips の定理">
1. $L$ が稠密に定義された消散作用素で、ある $\lambda_0>0$ について $\mathrm{Ran}(\lambda_0-L)=X$ なら、$L$ は閉で、縮小半群を生成する。
2. 逆に縮小半群の生成子 $L$ は、全 $x\in D(L)$、全 $x^*\in J(x)$ について $\mathrm{Re}\,x^*(Lx)\le0$ を満たす。
</Theorem>

<Proof of="thm-lumer-phillips-banach">
1: $\lambda>0$, $x\in D(L)$ と消散性の $x^*\in J(x)$ について
$$
\|x\|\,\|(\lambda-L)x\|\ge\mathrm{Re}\,x^*((\lambda-L)x)\ge\lambda\|x\|^2,
$$
すなわち $\|(\lambda-L)x\|\ge\lambda\|x\|$。あとは <Ref to="mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups#thm-lumer-phillips" /> の証明と一字一句同じで（内積を使ったのはこの評価の部分だけです）、$L$ は閉、$(0,\infty)\subset\rho(L)$、$\|R(\lambda,L)\|\le1/\lambda$ となり、<Ref to="thm-hille-yosida-proof" /> が使えます。

2: $x^*\in J(x)$ なら $\mathrm{Re}\,x^*(T(t)x-x)\le\|x^*\|\|T(t)x\|-\|x\|^2\le0$ で、$t$ で割って $t\downarrow0$ とすればよいです。
</Proof>

<Example id="ex-markov-chain" title="連続時間マルコフ連鎖">
$X=\ell^1$（状態 $j\in\mathbb{N}$ 上の符号付き測度）とし、行列 $Q=(Q_{ij})$ が $Q_{ij}\ge0$（$i\ne j$）、$\sum_iQ_{ij}=0$（各列の和が $0$）、$q=\sup_j|Q_{jj}|<\infty$ を満たすとします。$\|Qx\|_1\le\sum_j|x_j|\sum_i|Q_{ij}|=2\sum_j|Q_{jj}||x_j|\le2q\|x\|_1$ なので $Q$ は有界です。$x^*=\|x\|_1(\bar x_i/|x_i|)_i$（$x_i=0$ では $0$）は $J(x)$ の元で、
$$
\mathrm{Re}\,x^*(Qx)=\|x\|_1\sum_j\mathrm{Re}\Bigl[\sum_i\frac{\bar x_i}{|x_i|}Q_{ij}x_j\Bigr]\le\|x\|_1\sum_j\Bigl(Q_{jj}|x_j|+\sum_{i\ne j}Q_{ij}|x_j|\Bigr)=0
$$
なので $Q$ は消散的です。$Q$ は有界なので $\lambda>\|Q\|$ で $\lambda-Q$ は全射で、<Ref to="thm-lumer-phillips-banach" /> から $e^{tQ}$ は $\ell^1$ の縮小半群です。$e^{tQ}$ は正値性と全確率を保ち（<Ref to="exr-markov-positivity" />）、確率分布の時間発展（マスター方程式 $\dot p=Qp$）を与えます。$\ell^2$ ではこの消散性は一般に成り立たず、確率の保存は $\ell^1$ ノルムの構造だということがわかります。
</Example>

## 5. 有界摂動と Dyson 展開

$L$ に有界な作用素 $B$ を足したとき、$L+B$ の半群を $T$ から作る方法を与えます。考え方は、$T(t)$ をまず 0 次の近似とし、$B$ の影響を 1 回受ける項、2 回受ける項、…を順に足していくことです。各項の大きさは $t^n/n!$ で抑えられるので、級数は収束します。

<Theorem id="thm-bounded-perturbation" title="有界摂動と Dyson–Phillips 級数">
$L$ を $\|T(t)\|\le Me^{\omega t}$ を満たす強連続半群 $T$ の生成子、$B\in\mathcal{B}(X)$ とする。$S_0(t)=T(t)$、
$$
S_{n+1}(t)x=\int_0^tT(t-s)BS_n(s)x\,ds
$$
と置くと、$\|S_n(t)\|\le M^{n+1}\|B\|^nt^ne^{\omega t}/n!$ で、$S(t)=\sum_{n\ge0}S_n(t)$ はコンパクトな $t$ 区間上一様にノルム収束する。$S$ は $L+B$（定義域 $D(L)$）を生成子とする強連続半群で、$\|S(t)\|\le Me^{(\omega+M\|B\|)t}$ であり、**Duhamel 公式**
$$
S(t)x=T(t)x+\int_0^tT(t-s)BS(s)x\,ds
$$
を満たす強連続な作用素族は $S$ だけである。
</Theorem>

<Proof of="thm-bounded-perturbation">
**級数.** 被積分関数 $s\mapsto T(t-s)BS_n(s)x$ は <Ref to="lem-strong-product" /> の 1 から連続で、$S_{n+1}(t)x$ は $t$ について連続です（優収束定理）。帰納法で
$$
\|S_{n+1}(t)\|\le\int_0^tMe^{\omega(t-s)}\|B\|\frac{M^{n+1}\|B\|^ns^ne^{\omega s}}{n!}ds=\frac{M^{n+2}\|B\|^{n+1}t^{n+1}e^{\omega t}}{(n+1)!}.
$$
よって級数は $[0,\tau]$ 上一様に収束し、$S$ は強連続で $\|S(t)\|\le Me^{\omega t}\sum_n(M\|B\|t)^n/n!$ です。漸化式を $n$ について足せば（一様収束なので和と積分を交換できます）、Duhamel 公式が出ます。

**一意性.** 2 つの強連続な解の差 $D(t)$ は $D(t)x=\int_0^tT(t-s)BD(s)x\,ds$ を満たすので、$[0,\tau]$ 上で $\|D(t)x\|\le Me^{|\omega|\tau}\|B\|\int_0^t\|D(s)x\|ds$、<Ref to="lem-gronwall" /> から $D=0$ です。

**半群性.** $s\ge0$ を固定し、$V(t)=S(t+s)$ と $W(t)=S(t)S(s)$ を比べます。Duhamel 公式の積分を $[0,s]$ と $[s,t+s]$ に分けると
$$
S(t+s)x=T(t)\Bigl[T(s)x+\int_0^sT(s-r)BS(r)x\,dr\Bigr]+\int_0^tT(t-r)BS(r+s)x\,dr=T(t)S(s)x+\int_0^tT(t-r)BV(r)x\,dr,
$$
一方 $W(t)x=T(t)S(s)x+\int_0^tT(t-r)BW(r)x\,dr$ です。どちらも同じ方程式の強連続な解なので、一意性の議論から $V=W$ です。

**生成子.** $S$ の生成子を $G$ とします。$x\in D(L)$ なら
$$
\frac{S(t)x-x}t=\frac{T(t)x-x}t+\frac1t\int_0^tT(t-r)BS(r)x\,dr\longrightarrow Lx+Bx
$$
（$0\le r\le t\to0$ で $T(t-r)BS(r)x\to Bx$ が一様）なので $L+B\subset G$。$\lambda>\omega+M\|B\|$ なら $\|BR(\lambda,L)\|\le M\|B\|/(\lambda-\omega)<1$ なので、$\lambda-L-B=(1-BR(\lambda,L))(\lambda-L)$ は $D(L)$ から $X$ への全単射で、$\lambda-G$ は単射です（<Ref to="mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups#prop-semigroup-basic" /> の 3）。<Ref to="thm-hille-yosida-proof" /> の証明のステップ 4 と同じ議論で $G=L+B$ です。
</Proof>

時間に依存する摂動では、半群の代わりに 2 時刻の発展作用素が現れます。

<Theorem id="thm-dyson-expansion" title="時間順序指数（Dyson 展開）">
$L$, $T$, $M$, $\omega$ を上のとおりとし、$B:[0,\infty)\to\mathcal{B}(X)$ を強連続とする。$0\le s\le t$ について $U_0(t,s)=T(t-s)$、$U_{n+1}(t,s)x=\int_s^tT(t-r)B(r)U_n(r,s)x\,dr$ と置くと、
$$
U_n(t,s)=\int_{s\le r_1\le\cdots\le r_n\le t}T(t-r_n)B(r_n)T(r_n-r_{n-1})\cdots B(r_1)T(r_1-s)\,dr_1\cdots dr_n
$$
（強収束の意味の積分）で、$\|U_n(t,s)\|\le M^{n+1}b^n(t-s)^ne^{\omega(t-s)}/n!$（$b=\sup_{[s,t]}\|B\|<\infty$）。$U(t,s)=\sum_nU_n(t,s)$ は
$$
U(t,s)x=T(t-s)x+\int_s^tT(t-r)B(r)U(r,s)x\,dr
$$
のただ 1 つの強連続な解で、$U(t,r)U(r,s)=U(t,s)$（$s\le r\le t$）、$U(s,s)=1$ を満たす。$L=0$ で $B$ がノルム連続なら、$U(t,s)$ は $\partial_tU(t,s)=B(t)U(t,s)$ の解で
$$
U(t,s)=1+\sum_{n\ge1}\int_{s\le r_1\le\cdots\le r_n\le t}B(r_n)\cdots B(r_1)\,dr_1\cdots dr_n=:\mathcal{T}\exp\int_s^tB(r)\,dr .
$$
</Theorem>

<Proof of="thm-dyson-expansion">
$b<\infty$ は一様有界性原理（<Ref to="mathematics/functional-analysis/banach-spaces#thm-uniform-boundedness" />）から出ます（強連続なので各 $x$ で $\sup_{[s,t]}\|B(r)x\|<\infty$）。多重積分の表示は漸化式から帰納法で、評価・級数の収束・積分方程式・一意性は <Ref to="thm-bounded-perturbation" /> の証明と同じです。発展性: $V(t)=U(t,s)$ と $W(t)=U(t,r)U(r,s)$（$t\ge r$）はどちらも $X(t)x=T(t-r)U(r,s)x+\int_r^tT(t-q)B(q)X(q)x\,dq$ の強連続な解なので（前者は積分を $[s,r]$ と $[r,t]$ に分ける）、一致します。$L=0$ では $U(t,s)=1+\int_s^tB(r)U(r,s)\,dr$ の被積分関数がノルム連続なので、<Ref to="mathematics/functional-analysis/vector-valued-analysis#thm-ftc-vector" /> の 1 から微分方程式を得ます。
</Proof>

<Example id="ex-interaction-picture" title="相互作用表示と Dyson 級数">
$H_0$ を自己共役作用素、$V$ を有界な自己共役作用素とし、$H=H_0+V$（定義域 $D(H_0)$、Kato–Rellich により自己共役）とします。$V(t)=e^{itH_0}Ve^{-itH_0}$ は強連続です。$W(t)=e^{itH_0}e^{-itH}$ と置くと、$\psi\in D(H_0)=D(H)$ について <Ref to="lem-strong-product" /> の 2 から
$$
\frac{d}{dt}W(t)\psi=e^{itH_0}(iH_0-iH)e^{-itH}\psi=-iV(t)W(t)\psi,
$$
積分して $W(t)\psi=\psi-i\int_0^tV(r)W(r)\psi\,dr$。両辺は $\psi$ について有界なので全 $\psi$ に延び、これは <Ref to="thm-dyson-expansion" /> の $L=0$, $B(r)=-iV(r)$ の積分方程式です。一意性から
$$
e^{-itH}=e^{-itH_0}\Bigl[1+\sum_{n\ge1}(-i)^n\int_{0\le r_1\le\cdots\le r_n\le t}V(r_n)\cdots V(r_1)\,dr\Bigr]
$$
がノルム収束で成り立ちます。これが量子力学の時間依存摂動論の Dyson 級数で、有界な摂動については無条件に収束します。
</Example>

## 6. Trotter–Kato の近似定理

<Theorem id="thm-trotter-kato-banach" title="Trotter–Kato の近似定理">
$T_n$, $T$ を縮小半群、$L_n$, $L$ をその生成子とする。

1. 次は同値である。(a) ある $\lambda_0>0$ で、全 $x$ について $R(\lambda_0,L_n)x\to R(\lambda_0,L)x$。(b) 全 $\lambda>0$ で同じことが成り立つ。(c) 全 $x$ と全 $\tau>0$ について $\sup_{0\le t\le\tau}\|T_n(t)x-T(t)x\|\to0$。
2. $D$ が $L$ の芯で、全 $n$ で $D\subset D(L_n)$、全 $x\in D$ で $L_nx\to Lx$ なら、1 の条件が成り立つ。
</Theorem>

<Proof of="thm-trotter-kato-banach">
$R_n(\lambda)=R(\lambda,L_n)$, $R(\lambda)=R(\lambda,L)$ と書きます。ノルムはどれも $1/\lambda$ 以下です。

**(a)⇒(b).** <Ref to="mathematics/functional-analysis/vector-valued-analysis#lem-closed-resolvent" /> から $|\mu-\lambda_0|<\lambda_0$ で $R_n(\mu)=\sum_k(\lambda_0-\mu)^kR_n(\lambda_0)^{k+1}$ で、$k$ 番目の項のノルムは $(|\mu-\lambda_0|/\lambda_0)^k/\lambda_0$ 以下です。有限和は強収束し（一様有界な強収束列の積は強収束する）、裾は $n$ によらず小さいので、$R_n(\mu)x\to R(\mu)x$ が $\mu\in(0,2\lambda_0)$ で成り立ちます。これを繰り返せば全 $\lambda>0$ に及びます。

**(c)⇒(a).** Laplace 表示（<Ref to="mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups#prop-semigroup-basic" /> の 3）から $\|R_n(\lambda)x-R(\lambda)x\|\le\int_0^\infty e^{-\lambda t}\|T_n(t)x-T(t)x\|\,dt$ で、優収束定理（被積分関数は $2e^{-\lambda t}\|x\|$ 以下）から $0$ に収束します。

**(b)⇒(c).** $\lambda=1$ とし $R_n=R_n(1)$, $R=R(1)$ と書きます。$x\in D(L)$, $0\le s\le t$ について $w(s)=T_n(t-s)R_nT(s)x$ を考えます。$R_nT(s)x\in D(L_n)$ で $L_nR_n=R_n-1$ なので、<Ref to="lem-strong-product" /> の 2 から
$$
w'(s)=T_n(t-s)\bigl[-L_nR_nT(s)x+R_nLT(s)x\bigr]=T_n(t-s)\bigl[T(s)x-R_n(1-L)T(s)x\bigr]=T_n(t-s)(R-R_n)T(s)(1-L)x
$$
です（$T(s)x=R(1-L)T(s)x$ と $LT(s)x=T(s)Lx$ を使う）。積分して
$$
\|R_nT(t)x-T_n(t)R_nx\|\le\int_0^\tau\|(R-R_n)T(s)y\|\,ds,\qquad y=(1-L)x,
$$
右辺は優収束定理から $t\in[0,\tau]$ によらず $0$ に収束します。次に
$$
(T_n(t)-T(t))Rx=T_n(t)(R-R_n)x+\bigl[T_n(t)R_nx-R_nT(t)x\bigr]+(R_n-R)T(t)x
$$
と分けると、第 1 項は $\|(R-R_n)x\|$ 以下、第 2 項は上で示したとおり、第 3 項は $\{T(t)x:t\in[0,\tau]\}$ がコンパクトなので一様に $0$ に収束します（一様有界な強収束列はコンパクト集合上一様に収束する: <Ref to="mathematics/functional-analysis/banach-spaces#lem-strong-uniform-compact" />）。$R(D(L))$ は稠密なので（$R$ は有界で $R(X)=D(L)$ は稠密）、$\|T_n(t)\|,\|T(t)\|\le1$ から全ベクトルに及びます。

**2.** $x\in D$ と $y=(\lambda-L)x$ について $R_n(\lambda)y-R(\lambda)y=R_n(\lambda)\bigl[(\lambda-L)x-(\lambda-L_n)x\bigr]=R_n(\lambda)(L_nx-Lx)\to0$。$D$ が芯なので $(\lambda-L)D$ は稠密で、一様有界性から全 $y$ で $R_n(\lambda)y\to R(\lambda)y$ です。
</Proof>

極限の生成子を前もって知らない場合も、レゾルベントの極限から生成子を作れます。

<Theorem id="thm-trotter-kato-first" title="Trotter–Kato の定理（極限の構成）">
$T_n$ を縮小半群、$L_n$ をその生成子とし、ある $\lambda_0>0$ で全 $x$ について $R(\lambda_0,L_n)x$ が収束するとする。その極限 $\tilde R x$ が定める作用素 $\tilde R$ の値域が稠密なら、ある縮小半群 $T$ の生成子 $L$ があって $\tilde R=R(\lambda_0,L)$ で、全 $x$ について $T_n(t)x\to T(t)x$（$t$ についてコンパクト区間上一様）である。
</Theorem>

<Proof of="thm-trotter-kato-first">
<Ref to="thm-trotter-kato-banach" /> の (a)⇒(b) の議論から、全 $\mu>0$ で $R_n(\mu)x$ は収束し、極限 $\tilde R(\mu)$ はレゾルベント恒等式 $\tilde R(\lambda)-\tilde R(\mu)=(\mu-\lambda)\tilde R(\lambda)\tilde R(\mu)$ と可換性、$\|\tilde R(\mu)\|\le1/\mu$ を満たします。恒等式から $\mathrm{Ran}\,\tilde R(\mu)$ は $\mu$ によらず（$\tilde R(\lambda)=\tilde R(\mu)[1+(\mu-\lambda)\tilde R(\lambda)]$）、仮定から稠密です。$y=\tilde R(\lambda_0)z$ なら $\mu\tilde R(\mu)y=\mu(\tilde R(\lambda_0)z-\tilde R(\mu)z)/(\mu-\lambda_0)\to y$（$\mu\to\infty$）で、$\|\mu\tilde R(\mu)\|\le1$ から全 $y$ で $\mu\tilde R(\mu)y\to y$。とくに $\tilde R(\mu)$ は単射です。

$L=\lambda_0-\tilde R(\lambda_0)^{-1}$（定義域 $\mathrm{Ran}\,\tilde R(\lambda_0)$）と置くと、$L$ は稠密に定義された閉作用素（有界作用素の逆の平行移動）です。恒等式から $\tilde R(\lambda_0)^{-1}\tilde R(\mu)=1+(\lambda_0-\mu)\tilde R(\mu)$ なので $(\mu-L)\tilde R(\mu)=(\mu-\lambda_0)\tilde R(\mu)+1+(\lambda_0-\mu)\tilde R(\mu)=1$、同様に $\tilde R(\mu)(\mu-L)=1$ on $D(L)$。よって $\tilde R(\mu)=R(\mu,L)$, $\|R(\mu,L)\|\le1/\mu$ で、<Ref to="thm-hille-yosida-proof" /> から $L$ は縮小半群 $T$ を生成し、<Ref to="thm-trotter-kato-banach" /> から $T_n\to T$ です。
</Proof>

Hilbert 空間の自己共役作用素についての <Ref to="mathematics/functional-analysis/operator-convergence#thm-trotter-kato" /> は、ユニタリ群（$iA_n$ が縮小半群を生成する）にこの定理を適用したものと見ることもできます。

## 7. Chernoff の積公式と Trotter 積公式

この節の目標は、「1 ステップの作用素 $F(t/n)$ を $n$ 回かけたもの」が半群に収束することです。そのために、まず $C^n$ と $e^{n(C-1)}$ の差を $\sqrt n$ で評価する補題を示します。$e^{n(C-1)}$ は $C^k$ を Poisson 分布の重みで平均したものなので、$C^n$ との差を分布の標準偏差 $\sqrt n$ で測れる、という見方です。

<Lemma id="lem-chernoff-sqrt" title="Chernoff の √n 評価">
$C\in\mathcal{B}(X)$ が $\|C\|\le1$ を満たすなら、全 $n\in\mathbb{N}$, $x\in X$ について $\|(C^n-e^{n(C-1)})x\|\le\sqrt n\,\|(C-1)x\|$。
</Lemma>

<Proof of="lem-chernoff-sqrt">
$e^{n(C-1)}=e^{-n}\sum_kn^kC^k/k!$ と $e^{-n}\sum_kn^k/k!=1$ から $C^n-e^{n(C-1)}=e^{-n}\sum_k\frac{n^k}{k!}(C^n-C^k)$ です。$C^m-1=\sum_{j<m}C^j(C-1)$ と $\|C\|\le1$ から $\|(C^n-C^k)x\|\le|n-k|\,\|(C-1)x\|$。確率分布 $p_k=e^{-n}n^k/k!$（平均 $n$, 分散 $n$ の Poisson 分布）について Cauchy–Schwarz の不等式を使うと $\sum_kp_k|n-k|\le(\sum_kp_k(n-k)^2)^{1/2}=\sqrt n$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-chernoff" title="Chernoff の積公式">
$F:[0,\infty)\to\mathcal{B}(X)$ が $F(0)=1$, $\|F(s)\|\le1$ を満たし、$L$ を縮小半群 $T$ の生成子、$D$ を $L$ の芯とする。全 $x\in D$ で $\lim_{s\downarrow0}s^{-1}(F(s)x-x)=Lx$ ならば、全 $x\in X$, $t\ge0$ について
$$
\lim_{n\to\infty}F(t/n)^nx=T(t)x .
$$
</Theorem>

<Proof of="thm-chernoff">
$t>0$ を固定します。$h>0$ について $A_h=h^{-1}(F(h)-1)$ は有界で、$\|e^{sA_h}\|\le e^{-s/h}e^{s\|F(h)\|/h}\le1$ なので縮小半群を生成します。$x\in D$ では $A_hx\to Lx$（$h\downarrow0$）なので、<Ref to="thm-trotter-kato-banach" /> の 2 を列 $A_{t/n}$ に使うと $e^{tA_{t/n}}x\to T(t)x$ が全 $x$ で成り立ちます。一方 $e^{tA_{t/n}}=e^{n(F(t/n)-1)}$ なので、<Ref to="lem-chernoff-sqrt" /> から $x\in D$ について
$$
\bigl\|F(t/n)^nx-e^{tA_{t/n}}x\bigr\|\le\sqrt n\,\|(F(t/n)-1)x\|=\frac{t}{\sqrt n}\|A_{t/n}x\|\to0
$$
です（$A_{t/n}x$ は収束列なので有界）。$D$ は稠密で、すべての作用素のノルムは $1$ 以下なので、全 $x$ で $F(t/n)^nx\to T(t)x$ です。
</Proof>

<Corollary id="cor-trotter-banach" title="Trotter 積公式（Banach 空間版）">
$L_1,L_2$ を縮小半群の生成子とし、$(L_1+L_2)|_{D(L_1)\cap D(L_2)}$ の閉包 $G$ が縮小半群を生成するとする。このとき全 $x$, $t\ge0$ で $\bigl(e^{tL_1/n}e^{tL_2/n}\bigr)^nx\to e^{tG}x$。
</Corollary>

<Proof of="cor-trotter-banach">
$F(s)=e^{sL_1}e^{sL_2}$ は縮小で、$x\in D(L_1)\cap D(L_2)$ なら
$$
\frac{F(s)x-x}s=e^{sL_1}\Bigl[\frac{e^{sL_2}x-x}s-L_2x\Bigr]+e^{sL_1}L_2x+\frac{e^{sL_1}x-x}s\longrightarrow L_2x+L_1x .
$$
$D(L_1)\cap D(L_2)$ は閉包の定義から $G$ の芯なので、<Ref to="thm-chernoff" /> が使えます。
</Proof>

<Corollary id="cor-trotter-essentially-sa" title="本質的自己共役な和の Trotter 積公式">
$A,B$ を Hilbert 空間上の自己共役作用素とし、$A+B$ が $D(A)\cap D(B)$ 上で本質的自己共役で、その閉包を $C$ とする。全 $t\in\mathbb{R}$ と $\psi$ について $\bigl(e^{itA/n}e^{itB/n}\bigr)^n\psi\to e^{itC}\psi$。
</Corollary>

<Proof of="cor-trotter-essentially-sa">
$t\ge0$ とします。<Ref to="mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups#cor-self-adjoint-semigroup" /> から $iA$, $iB$, $iC$ はそれぞれ縮小半群 $e^{itA}$, $e^{itB}$, $e^{itC}$（$t\ge0$）を生成し、$iC$ は $i(A+B)|_{D(A)\cap D(B)}$ の閉包です。<Ref to="cor-trotter-banach" /> を使います。$t<0$ では $A,B,C$ を $-A,-B,-C$ に取り替えます。
</Proof>

これで <Ref to="mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups#rem-trotter-chernoff" /> で述べた主張が証明されました。格子模型で使う形を書いておきます。

<Corollary id="cor-chernoff-selfadjoint" title="Chernoff の積公式（下に有界な自己共役作用素）">
$H$ を下に有界な自己共役作用素、$D$ をその芯とし、$F(s)$（$s\ge0$）は $\|F(s)\|\le1$, $F(0)=1$ を満たし、全 $\psi\in D$ で $s^{-1}(F(s)\psi-\psi)\to-H\psi$ とする。このとき $H\ge0$ であり、全 $t\ge0$, $\psi$ について $F(t/n)^n\psi\to e^{-tH}\psi$。
</Corollary>

<Proof of="cor-chernoff-selfadjoint">
$\psi\in D$ について $\mathrm{Re}\langle\psi,F(s)\psi-\psi\rangle\le\|\psi\|\|F(s)\psi\|-\|\psi\|^2\le0$ を $s$ で割って $s\downarrow0$ とすると $\langle\psi,H\psi\rangle\ge0$。$D$ は芯なので、グラフノルムの極限で全 $\psi\in D(H)$ に及び $H\ge0$ です。<Ref to="mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups#cor-self-adjoint-semigroup" /> から $-H$ は縮小半群 $e^{-tH}$ を生成し、$D$ はその芯なので、<Ref to="thm-chernoff" /> が使えます。
</Proof>

## 8. 共役半群と ⊙-双対

$X$ 上の強連続半群 $T$ の共役 $T(t)^*$ は $X^*$ 上の半群ですが、強連続とは限りません。たとえば $L^1(\mathbb{R})$ の平行移動の共役は $L^\infty(\mathbb{R})$ の平行移動で、不連続な関数 $\mathbf{1}_{[0,\infty)}$ を動かすと $\|\mathbf{1}_{[t,\infty)}-\mathbf{1}_{[0,\infty)}\|_\infty=1$（$t>0$）のままです（下の <Ref to="ex-sun-dual-l1" />）。そこで $X^*$ のうち共役半群が強連続に動く部分を取り出します。この節を通して $T$ は $X$ 上の強連続半群、$L$ はその生成子で、$\|T(t)\|\le Me^{\omega t}$（<Ref to="mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups#prop-semigroup-basic" /> の 1）とします。$T(t)^*$ は $(T(t)^*x^*)(x)=x^*(T(t)x)$ で定まる $X^*$ 上の有界作用素で、$\|T(t)^*x^*\|\le\|T(t)\|\|x^*\|$、$T(t+s)^*=T(s)^*T(t)^*=T(t)^*T(s)^*$ です。

<Definition id="def-sun-dual" title="⊙-双対と共役生成子">
1. $X^{\odot}=\{x^*\in X^*:\lim_{t\downarrow0}\|T(t)^*x^*-x^*\|=0\}$ を $T$ に関する $X$ の **⊙-双対**（sun dual）という。
2. $L$ の**共役** $L^*$ を、$D(L^*)=\{x^*\in X^*:\text{ある }y^*\in X^*\text{ について全 }x\in D(L)\text{ で }x^*(Lx)=y^*(x)\}$、$L^*x^*=y^*$ で定める（$D(L)$ が稠密なので $y^*$ は一意）。
</Definition>

<Theorem id="thm-sun-dual" title="⊙-双対の構造">
1. $X^{\odot}$ は $X^*$ のノルム閉部分空間で、各 $T(t)^*$ で不変であり、$T^{\odot}(t)=T(t)^*|_{X^{\odot}}$ は $X^{\odot}$ 上の強連続半群である。
2. $X^{\odot}=\overline{D(L^*)}$（$X^*$ のノルムでの閉包）。
3. $T^{\odot}$ の生成子 $L^{\odot}$ は $L^*$ の $X^{\odot}$ の部分である: $D(L^{\odot})=\{x^*\in D(L^*):L^*x^*\in X^{\odot}\}$、$L^{\odot}x^*=L^*x^*$。
4. $X^{\odot}$ は $X$ の点を分離し、全 $x\in X$ で $\frac1M\|x\|\le\sup\{|x^{\odot}(x)|:x^{\odot}\in X^{\odot},\ \|x^{\odot}\|\le1\}\le\|x\|$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-sun-dual">
$0<t\le1$ では $\|T(t)^*\|\le Me^{|\omega|}=:K$ です。

**1.** $x^*_n\in X^{\odot}$ が $x^*$ にノルム収束するとき、$\|T(t)^*x^*-x^*\|\le K\|x^*-x^*_n\|+\|T(t)^*x^*_n-x^*_n\|+\|x^*_n-x^*\|$ で、まず $n$ を大きく、次に $t$ を小さく取れば右辺は小さくなるので $x^*\in X^{\odot}$ です。部分空間であることは明らかです。$x^*\in X^{\odot}$ なら $\|T(t)^*T(s)^*x^*-T(s)^*x^*\|\le\|T(s)\|\,\|T(t)^*x^*-x^*\|\to0$ なので $T(s)^*x^*\in X^{\odot}$ です。連続性: $s$ で右から $T(s+h)^*x^*-T(s)^*x^*=T(s)^*(T(h)^*x^*-x^*)$、左から（$0<h\le s$）$T(s-h)^*x^*-T(s)^*x^*=T(s-h)^*(x^*-T(h)^*x^*)$ で、どちらもノルムは $Me^{|\omega|s}\|T(h)^*x^*-x^*\|$ 以下なので $0$ に近づきます。

**2（$\supset$）.** $x^*\in D(L^*)$、$x\in D(L)$ とします。<Ref to="mathematics/functional-analysis/one-parameter-groups#prop-semigroup-basic" /> の 2 から $T(t)x-x=\int_0^tT(s)Lx\,ds$、$T(s)x\in D(L)$、$T(s)Lx=LT(s)x$ です。有界線形汎関数は積分と交換するので（<Ref to="mathematics/functional-analysis/vector-valued-analysis#prop-bochner-properties" /> の 2）
$$
(T(t)^*x^*-x^*)(x)=\int_0^tx^*\bigl(LT(s)x\bigr)ds=\int_0^t(L^*x^*)\bigl(T(s)x\bigr)ds,
$$
よって $|(T(t)^*x^*-x^*)(x)|\le tMe^{|\omega|t}\|L^*x^*\|\|x\|$ です。$D(L)$ は稠密なので、この評価は全 $x\in X$ に延び、$\|T(t)^*x^*-x^*\|\le tMe^{|\omega|t}\|L^*x^*\|\to0$。よって $D(L^*)\subset X^{\odot}$ で、1 の閉性から $\overline{D(L^*)}\subset X^{\odot}$ です。

**2（$\subset$）.** 任意の $x^*\in X^*$ と $t>0$ について、$x^*_t(x)=\frac1tx^*\bigl(\int_0^tT(s)x\,ds\bigr)$ と置きます。$|x^*_t(x)|\le Me^{|\omega|t}\|x^*\|\|x\|$ なので $x^*_t\in X^*$ です。$x\in D(L)$ なら $\int_0^tT(s)Lx\,ds=T(t)x-x$ なので
$$
x^*_t(Lx)=\frac1tx^*\bigl(T(t)x-x\bigr)=\Bigl(\frac{T(t)^*x^*-x^*}{t}\Bigr)(x),
$$
すなわち $x^*_t\in D(L^*)$、$L^*x^*_t=(T(t)^*x^*-x^*)/t$ です。$x^*\in X^{\odot}$ なら $|(x^*_t-x^*)(x)|=\bigl|\frac1t\int_0^t(T(s)^*x^*-x^*)(x)\,ds\bigr|\le\sup_{s\le t}\|T(s)^*x^*-x^*\|\,\|x\|$ なので $x^*_t\to x^*$（ノルム）で、$x^*\in\overline{D(L^*)}$ です。

**3.** $x^*\in D(L^{\odot})$ なら、$x\in D(L)$ について $(L^{\odot}x^*)(x)=\lim_{t\downarrow0}\frac1t(T(t)^*x^*-x^*)(x)=\lim_{t\downarrow0}x^*\bigl(\frac{T(t)x-x}{t}\bigr)=x^*(Lx)$ なので、$x^*\in D(L^*)$ で $L^*x^*=L^{\odot}x^*\in X^{\odot}$ です。逆に $x^*\in D(L^*)$、$y^*=L^*x^*\in X^{\odot}$ とします。1 から $s\mapsto T(s)^*y^*$ は $X^{\odot}$ への連続写像なので、$z^*_t=\int_0^tT(s)^*y^*\,ds\in X^{\odot}$（リーマン積分）が定まり、$x\in X$ での値は $\int_0^t(T(s)^*y^*)(x)\,ds$ です。2（$\supset$）の計算から $(T(t)^*x^*-x^*)(x)=\int_0^ty^*(T(s)x)\,ds=z^*_t(x)$（$x\in D(L)$、稠密性で全 $x$）なので $T(t)^*x^*-x^*=z^*_t$、<Ref to="mathematics/functional-analysis/vector-valued-analysis#thm-ftc-vector" /> の 1 から $\frac1t(T^{\odot}(t)x^*-x^*)\to y^*$ です。よって $x^*\in D(L^{\odot})$、$L^{\odot}x^*=y^*$ です。

**4.** 上界は $\|x^{\odot}\|\le1$ から明らかです。$x\in X$ と $\varepsilon>0$ に対し、<Ref to="mathematics/functional-analysis/banach-spaces#cor-norming-functional" /> から $\|x^*\|=1$、$x^*(x)=\|x\|$ となる $x^*$ を取ります。2 の $x^*_t$ は $X^{\odot}$ に属し、$\|x^*_t\|\le Me^{|\omega|t}$ で、$\frac1t\int_0^tT(s)x\,ds\to x$（<Ref to="mathematics/functional-analysis/vector-valued-analysis#thm-ftc-vector" /> の 1）から $x^*_t(x)\to\|x\|$ です。よって上限は $\|x\|/M$ 以上です。点の分離はこの不等式から出ます。
</Proof>

4 により、$j(x)(x^{\odot})=x^{\odot}(x)$ で定まる $j:X\to(X^{\odot})^*$ は、$\frac1M\|x\|\le\|j(x)\|\le\|x\|$ をみたす線形な埋め込みです。$(T^{\odot}(t)^*j(x))(x^{\odot})=x^{\odot}(T(t)x)$、すなわち $T^{\odot}(t)^*j(x)=j(T(t)x)$ なので $\|T^{\odot}(t)^*j(x)-j(x)\|\le\|T(t)x-x\|\to0$ で、$j(X)$ は $T^{\odot}$ に関する ⊙-双対 $X^{\odot\odot}=(X^{\odot})^{\odot}$ に含まれます。

<Definition id="def-sun-reflexive" title="⊙-回帰的">
$j(X)=X^{\odot\odot}$ となるとき、$X$ は $T$ に関して **⊙-回帰的**（sun-reflexive）であるという。
</Definition>

<Theorem id="thm-reflexive-sun" title="回帰的な空間は ⊙-回帰的">
$X$ が回帰的（標準埋め込み $X\to X^{**}$ が全射）ならば、すべての強連続半群 $T$ について $X^{\odot}=X^*$ であり、$X$ は $T$ に関して ⊙-回帰的である。
</Theorem>

<Proof of="thm-reflexive-sun">
$X^{\odot}\ne X^*$ と仮定します。$X^{\odot}$ は閉部分空間（<Ref to="thm-sun-dual" /> の 1）なので、$x_0^*\in X^*\setminus X^{\odot}$ と $\delta=\operatorname{dist}(x_0^*,X^{\odot})>0$ を取り、$X^{\odot}+\mathbb{C}x_0^*$ 上の線形汎関数 $\phi(y^*+cx_0^*)=c\delta$ を考えます。$|c|\delta\le|c|\,\|x_0^*+y^*/c\|=\|y^*+cx_0^*\|$（$c\ne0$）なのでノルムは $1$ 以下で、<Ref to="mathematics/functional-analysis/banach-spaces#thm-hahn-banach-complex" /> により $X^*$ 全体へノルムを保って延長できます。この $\phi\in X^{**}$ は $X^{\odot}$ 上で $0$、$\phi(x_0^*)=\delta\ne0$ です。回帰性から $\phi(x^*)=x^*(x)$ となる $x\in X$ があり、$x\ne0$ ですが、全 $x^{\odot}\in X^{\odot}$ で $x^{\odot}(x)=0$ となって <Ref to="thm-sun-dual" /> の 4 に反します。よって $X^{\odot}=X^*$ です。

このとき $T^{\odot}(t)=T(t)^*$ で、$X^{\odot\odot}\subset(X^{\odot})^*=X^{**}$ です。$X^{**}$ の元はすべて回帰性からある $x$ の $j(x)$（$X^{\odot}=X^*$ なので $j$ は標準埋め込み）なので $X^{\odot\odot}\subset j(X)$、逆の包含は上で見たとおりです。
</Proof>

<Example id="ex-sun-dual-l1" title="L¹ の平行移動：⊙-双対は一様連続関数">
$X=L^1(\mathbb{R})$、$(T(t)f)(x)=f(x+t)$ とします。$C_c(\mathbb{R})$ の稠密性と、連続関数の一様連続性から $T$ は強連続（等長）です。$X^*=L^\infty(\mathbb{R})$ で、$(T(t)^*g)(x)=g(x-t)$ です（変数変換）。$g$ が有界一様連続なら $\|T(t)^*g-g\|_\infty=\sup_x|g(x-t)-g(x)|\to0$ なので $g\in X^{\odot}$ です。逆に $g\in X^{\odot}$ なら、<Ref to="thm-sun-dual" /> の 2 の証明の $g_t=\frac1t\int_0^tT(s)^*g\,ds$ は $g_t(x)=\frac1t\int_{x-t}^{x}g$ という Lipschitz 関数（定数 $2\|g\|_\infty/t$）で、$\|g_t-g\|_\infty\to0$ です。一様連続関数の一様極限は一様連続なので、$g$ はほとんど至るところ有界一様連続な関数に等しくなります。したがって $X^{\odot}$ は有界一様連続関数の空間 $\mathrm{BUC}(\mathbb{R})$ で、$\mathbf{1}_{[0,\infty)}$ のような不連続関数は $X^{\odot}$ に入りません。$L^1$ は回帰的でないので <Ref to="thm-reflexive-sun" /> は使えず、実際 $X^{\odot}\ne X^*$ です。
</Example>

⊙-双対は、遅延微分方程式のように状態空間が連続関数の空間（回帰的でない）になる問題で、共役半群を強連続な対象として扱うために使われます。一般の $X$ では、$X$ が $T$ に関して ⊙-回帰的であることは、レゾルベント $R(\lambda,L)$ が弱コンパクト作用素であることと同値であることが知られています（de Pagter の定理。J. van Neerven, *The Adjoint of a Semigroup of Linear Operators*, Springer LNM 1529, 1992, 第 2 章）。この記事では証明しません。

## 9. 演習

<Exercise id="exr-dyson-second-order" difficulty="易">
<Ref to="thm-bounded-perturbation" /> の状況で、
$$
\Bigl\|S(t)-T(t)-\int_0^tT(t-s)BT(s)\,ds\Bigr\|\le\frac{M^3\|B\|^2t^2}{2}e^{(\omega+M\|B\|)t}
$$
を示してください（左辺の積分は強収束の意味）。
<Solution>
左辺の作用素は $\sum_{n\ge2}S_n(t)$ で、評価 $\|S_n(t)\|\le Me^{\omega t}(M\|B\|t)^n/n!$ と、$a\ge0$ についての $\sum_{n\ge2}a^n/n!\le\frac{a^2}2\sum_{m\ge0}a^m/m!=\frac{a^2}2e^a$（$n!\ge2\,(n-2)!$）から、$Me^{\omega t}\frac{(M\|B\|t)^2}{2}e^{M\|B\|t}$ 以下です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-markov-positivity" difficulty="標準">
<Ref to="ex-markov-chain" /> の $Q$ について、$x\ge0$（全成分が非負）なら $e^{tQ}x\ge0$ で、$\sum_i(e^{tQ}x)_i=\sum_ix_i$ であることを示してください。
<Solution>
$q=\sup_j|Q_{jj}|$ とすると $Q+q$ は成分がすべて非負の有界作用素なので、$e^{t(Q+q)}=\sum_nt^n(Q+q)^n/n!$ は正値性を保ち、$e^{tQ}=e^{-qt}e^{t(Q+q)}$ も保ちます。$\sigma(x)=\sum_ix_i$ は $\ell^1$ 上の有界線形汎関数で、$\sigma(Qx)=\sum_jx_j\sum_iQ_{ij}=0$（和の交換は絶対収束から。<Ref to="mathematics/calculus/series-and-convergence#thm-double-series" /> の 2）なので $\frac{d}{dt}\sigma(e^{tQ}x)=\sigma(Qe^{tQ}x)=0$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-euler-formula" difficulty="標準">
$L$ を縮小半群 $T$ の生成子とします。$F(s)=(1-sL)^{-1}$（$s>0$）、$F(0)=1$ と置き、<Ref to="thm-chernoff" /> を使って $T(t)x=\lim_{n\to\infty}(1-\tfrac tnL)^{-n}x$（Hille の指数公式、陰的 Euler 法の収束）を示してください。
<Solution>
$F(s)=s^{-1}R(s^{-1},L)$ なので Hille–吉田の評価から $\|F(s)\|\le1$ です。$x\in D(L)$ なら $F(s)x-x=F(s)(1-(1-sL))x=sF(s)Lx$ なので $s^{-1}(F(s)x-x)=F(s)Lx$。<Ref to="thm-hille-yosida-proof" /> の証明のステップ 1（$\lambda R(\lambda,L)y\to y$, $\lambda=1/s$）から $F(s)Lx\to Lx$ です。$D(L)$ 自身は $L$ の芯なので、Chernoff の積公式から主張が出ます。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- A. Pazy, *Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations*, Springer, 1983 — Chapter 1（Hille–吉田、Feller–宮寺–Phillips、Lumer–Phillips）、Chapter 3（摂動と近似）。
- K.-J. Engel, R. Nagel, *One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations*, Springer (GTM 194), 2000 — Chapter II（生成定理）、Chapter III（摂動、Trotter–Kato、Chernoff の積公式）。
- T. Kato, *Perturbation Theory for Linear Operators*, 2nd edition, Springer, 1976 — Chapter IX（半群と摂動）。
- P. R. Chernoff, "Note on product formulas for operator semigroups", *J. Funct. Anal.* 2 (1968) 238–242。
- 吉田耕作, *Functional Analysis*, 6th edition, Springer, 1980 — Chapter IX（半群の生成と吉田近似）。