# 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分

> 測地線を接バンドル上のベクトル場の積分曲線として構成し、指数写像と Gauss の補題から測地線の局所最短性を示す。Hopf–Rinow の定理を証明し、Jacobi 場・共役点・第二変分公式から Bonnet–Myers の直径評価を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/differential-geometry/geodesics

## 0. この記事の要点

地球儀の上で二つの都市に糸をぴんと張ると、糸は大円に沿います。この記事は、曲がった空間の上での「まっすぐな道」（測地線）を数学的に作り、近くの 2 点についてはそれが最短の道になること、空間がどこも途切れていなければどの 2 点も最短の道で結べることを示します。さらに、まっすぐな道が最短でなくなる場面（球面で反対側の点を越えたとき）を調べ、曲率から空間の大きさ（直径）の上限を導きます。

- **測地線**は加速度 $D_t\dot\gamma$ が $0$ の曲線です。[接バンドル](/mathematics/manifolds/tangent-spaces#def-tangent-bundle) $TM$ 上の**測地流ベクトル場**の[積分曲線](/mathematics/manifolds/flows-lie-derivative-frobenius#def-integral-curve)として構成でき、初速度ごとに極大な測地線がただ一つ存在します（<Ref to="prop-geodesic-existence" />）。$v\mapsto\gamma_v(1)$ が**指数写像** $\exp_p$ で、原点の近くで微分同相です（<Ref to="prop-exp" />）。
- **Jacobi 場**は測地線の族の変分ベクトル場で、$D_t^2J+R(J,\dot\gamma)\dot\gamma=0$ を満たします。指数写像の微分は Jacobi 場で書けます（<Ref to="prop-dexp-jacobi" />）。
- **Gauss の補題**（<Ref to="thm-gauss-lemma" />）：動径方向の測地線は測地球面と直交します。ここから、短い測地線は端点を結ぶ曲線の中で最短であること（<Ref to="thm-local-minimizing" />）、Riemann 距離が多様体の位相を与えること（<Ref to="prop-distance" />）が従います。
- **Hopf–Rinow の定理**（<Ref to="thm-hopf-rinow" />）：距離空間としての[完備性](/mathematics/real-analysis/metric-spaces#def-convergent-complete)、測地線がどこまでも延びること、有界閉集合の[コンパクト](/mathematics/real-analysis/metric-spaces#def-compactness-metric)性は同値で、このとき任意の 2 点は最短測地線で結べます。
- **第二変分公式**（<Ref to="thm-second-variation" />）により、共役点を越えた測地線は最短でなくなります（<Ref to="thm-jacobi-conjugate" />）。応用として、$\operatorname{Ric}\ge(n-1)/r^2$ の完備多様体の直径は $\pi r$ 以下です（**Bonnet–Myers**、<Ref to="thm-bonnet-myers" />）。ここで完備多様体とは、距離空間として完備な多様体のことです。
- 応用として、**双曲平面**の測地線（垂直な半直線と実軸に中心を持つ半円）と距離の公式を決定し（<Ref to="thm-hyperbolic-geodesics" />）、射影が長さを縮める **Riemann 沈め込み**（<Ref to="prop-riemannian-submersion" />）と、コンパクト距離空間の等長類の上の **Gromov–Hausdorff 距離**（<Ref to="thm-gh-metric" />）を扱います。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **接バンドル**: 各点の接ベクトル空間をすべて集めた空間。→ [接バンドル](/mathematics/manifolds/tangent-spaces#def-tangent-bundle)
- **積分曲線**: ベクトル場の向きにちょうど沿って進む曲線。→ [積分曲線](/mathematics/manifolds/flows-lie-derivative-frobenius#def-integral-curve)
- **Riemann 計量**: 各接空間に長さと角度を与える内積の滑らかな族。→ [Riemann 計量](/mathematics/differential-geometry/riemannian-metrics-connections#def-riemannian-metric)
- **断面曲率と Ricci 曲率**: 曲がり具合を、2 次元の平面ごとに測ったものと、方向ごとに平均したもの。→ [断面曲率・Ricci 曲率](/mathematics/differential-geometry/curvature#def-sectional-ricci)
- **完備性**: 距離空間で、Cauchy 列がかならず収束すること。→ [完備性](/mathematics/real-analysis/metric-spaces#def-convergent-complete)
- **コンパクト**: 距離空間では、点列がかならず収束部分列を持つこと。→ [コンパクト](/mathematics/real-analysis/metric-spaces#def-compactness-metric)

</Aside>

## 1. 動機

平面の直線には二つの特徴があります。「曲がらない（加速度が $0$）」ことと、「2 点を結ぶ最短の曲線である」ことです。曲がった空間では、前者を共変微分で定式化したものが測地線で、後者が成り立つかどうかが問題になります。球面の大円は曲がらない曲線ですが、北極から南極を越えて進むと最短ではなくなります。逆に、平面から原点を取り除いた $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ では、$(-1,0)$ と $(1,0)$ を結ぶ最短の曲線は存在しません。

一般相対論では、自由落下する粒子の世界線が時空の測地線です（[時空のテンソルと測地線](/physics/general-relativity/spacetime-tensors-geodesics)）。測地線がどこかで途切れること（測地的不完備性）は時空の特異点の定義そのものであり、Jacobi 場（測地偏差）が曲率で引き寄せられる現象は、潮汐力と特異点定理の基礎になっています。本記事では Riemann 計量（正定値）の場合に、これらの基本定理を証明します。

## 2. 測地線と指数写像

以下 $(M,g)$ は $n$ 次元 Riemann 多様体、$\nabla$ は Levi-Civita 接続、$D_t$ は曲線に沿った共変微分です（<Ref to="mathematics/differential-geometry/riemannian-metrics-connections#thm-covariant-along-curve" />）。

<Definition id="def-geodesic" title="測地線">
滑らかな曲線 $\gamma\colon I\to M$ が $D_t\dot\gamma=0$ を満たすとき**測地線**という。座標では
$$
\ddot\gamma^k+\sum_{i,j}\Gamma^k_{ij}(\gamma)\,\dot\gamma^i\dot\gamma^j=0\quad(k=1,\dots,n).
$$
</Definition>

測地線の速さは一定です。実際、$\frac{d}{dt}|\dot\gamma|^2=2\langle D_t\dot\gamma,\dot\gamma\rangle=0$（<Ref to="mathematics/differential-geometry/riemannian-metrics-connections#thm-parallel-isometry" />）。

<Proposition id="prop-geodesic-existence" title="測地線の存在と一意性">
1. $TM$ 上の滑らかなベクトル場 $G$（**測地流ベクトル場**）で、その積分曲線がちょうど $t\mapsto(\gamma(t),\dot\gamma(t))$（$\gamma$ は測地線）の形の曲線になるものが存在する。
2. 各 $v\in T_pM$ に対し、$\gamma(0)=p$、$\dot\gamma(0)=v$ となる測地線 $\gamma_v$ で、定義域 $I_v$（$0$ を含む開区間）が極大なものがただ一つ存在する。
3. $a\ne0$ なら $I_{av}=a^{-1}I_v$ で、$\gamma_{av}(t)=\gamma_v(at)$。
</Proposition>

証明の方針は次のとおりです。測地線の方程式は 2 階ですが、位置と速度の組を一つの点とみなすと 1 階の方程式（ベクトル場の積分曲線）になります。そこで常微分方程式の解の存在と一意性に帰着させます。

<Proof of="prop-geodesic-existence">
**1。** $TM$ のチャート $(x^1,\dots,x^n,v^1,\dots,v^n)$（$v=\sum v^i\partial_i$）で
$$
G=\sum_kv^k\frac{\partial}{\partial x^k}-\sum_{i,j,k}\Gamma^k_{ij}(x)v^iv^j\frac{\partial}{\partial v^k}
$$
と置きます。積分曲線 $(x(t),v(t))$ は $\dot x=v$、$\dot v^k=-\sum\Gamma^k_{ij}v^iv^j$ を満たし、これは $x(t)$ が測地線で $v=\dot x$ であることと同値です。二つのチャートの重なりでは、二つの $G$ の積分曲線はどちらも「測地線とその速度」で、測地線の定義（$D_t\dot\gamma=0$）は座標によりません。各点を通る積分曲線の初速度がベクトル場の値なので、二つの $G$ は一致し、$TM$ 上の大域的なベクトル場が定まります。

**2。** 流れの基本定理（<Ref to="mathematics/manifolds/flows-lie-derivative-frobenius#thm-flow" />）を $G$ に適用すると、$(p,v)$ を通る極大積分曲線がただ一つ存在し、その第 1 成分が求める測地線です。

**3。** $c(t)=\gamma_v(at)$ は $\dot c(t)=a\dot\gamma_v(at)$、$D_t\dot c=a^2(D_t\dot\gamma_v)(at)=0$ を満たす測地線で、$\dot c(0)=av$ です。一意性から $c=\gamma_{av}$ で、極大性から定義域も一致します。
</Proof>

<Definition id="def-exp" title="指数写像">
$\mathcal{E}=\{v\in TM:1\in I_v\}$ と置き、$\exp\colon\mathcal{E}\to M$、$\exp(v)=\gamma_v(1)$ を**指数写像**という。$\exp_p$ は $\mathcal{E}_p=\mathcal{E}\cap T_pM$ への制限である。
</Definition>

<Proposition id="prop-exp" title="指数写像の基本性質">
1. $\mathcal{E}$ は零切断を含む $TM$ の開集合で、$\exp$ は滑らかである。各 $\mathcal{E}_p$ は $0$ について星形である。
2. $\gamma_v(t)=\exp_p(tv)$（$t\in I_v$）。
3. $d(\exp_p)_0\colon T_0(T_pM)=T_pM\to T_pM$ は恒等写像である。したがって $0$ の近傍 $V\subset T_pM$ と $p$ の近傍 $U$ があって $\exp_p\colon V\to U$ は微分同相である。
</Proposition>

<Proof of="prop-exp">
**1。** $G$ の流れの定義域 $\mathcal{D}\subset\mathbb{R}\times TM$ は開集合で、流れ $\theta$ は滑らかです（<Ref to="mathematics/manifolds/flows-lie-derivative-frobenius#thm-flow" />）。$\mathcal{E}=\{v:(1,v)\in\mathcal{D}\}$ は開集合で、$\exp=\pi\circ\theta(1,\cdot)$（$\pi\colon TM\to M$ は射影）は滑らかです。零ベクトルの測地線は定値曲線で $\mathbb{R}$ 上定義されるので、零切断は $\mathcal{E}$ に含まれます。$v\in\mathcal{E}_p$、$0\le t\le1$ なら <Ref to="prop-geodesic-existence" /> (3) により $I_{tv}=t^{-1}I_v\ni1$（$t>0$）なので $tv\in\mathcal{E}_p$ です。

**2。** <Ref to="prop-geodesic-existence" /> (3) で $a=t$、時刻 $1$ とすれば $\exp_p(tv)=\gamma_{tv}(1)=\gamma_v(t)$ です。

**3。** 2 から $d(\exp_p)_0(v)=\frac{d}{dt}\big|_0\exp_p(tv)=\dot\gamma_v(0)=v$。後半は逆関数定理（<Ref to="mathematics/manifolds/submanifolds-regular-values#cor-inverse-manifold" />）です。
</Proof>

$\varepsilon>0$ を、$\exp_p$ が開球 $B_\varepsilon(0)=\{v\in T_pM:|v|<\varepsilon\}$ 上で像への微分同相となるように取ったとき、像 $\exp_p(B_\varepsilon(0))$ を**測地球**、$T_pM$ の正規直交基底で $B_\varepsilon(0)$ を $\mathbb{R}^n$ と同一視して得られる座標を**正規座標**と呼びます。正規座標では、原点を通る直線 $t\mapsto tv$ が測地線なので、測地線の方程式に代入して $\sum_{i,j}\Gamma^k_{ij}(0)v^iv^j=0$ が任意の $v$ について成り立ち、$\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$ と合わせて $\Gamma^k_{ij}(0)=0$、また $g_{ij}(0)=\delta_{ij}$ です。これは物理でいう局所慣性系の存在に当たります。

<Example id="ex-sphere-geodesics" title="球面の測地線">
単位球面 $S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ で、$p\in S^n$、単位ベクトル $v\in T_pS^n$（$v\perp p$）に対し $\gamma(t)=\cos t\,p+\sin t\,v$ は大円を描く。$\ddot\gamma=-\gamma$ は法線方向なので、<Ref to="mathematics/differential-geometry/riemannian-metrics-connections#prop-induced-connection" /> により $D_t\dot\gamma=\pi(\ddot\gamma)=0$ で測地線である。よって $\exp_p(tv)=\cos t\,p+\sin t\,v$ で、$\exp_p$ は $T_pS^n$ 全体で定義され、半径 $\pi$ の球面全体を対蹠点 $-p$ に潰す。$\exp_p$ は $B_\pi(0)$ 上では像 $S^n\setminus\{-p\}$ への微分同相である。
</Example>

## 3. 変分と Jacobi 場

測地線を少しずつずらした族を調べるために、2 変数の写像 $f\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\times[a,b]\to M$、$(s,t)\mapsto f(s,t)$ を考えます。$\partial_sf$、$\partial_tf$ は $f$ に沿ったベクトル場で、$s$ を固定した曲線に沿った共変微分を $D_t$、$t$ を固定した曲線に沿ったものを $D_s$ と書きます。このように曲線を少しずつずらした族を**変分**といい、ずれの向きと大きさを表すベクトル場 $\partial_sf$ を変分ベクトル場といいます。

<Lemma id="lem-symmetry" title="対称性補題と曲率">
$f$ を滑らかな 2 変数写像とし、$W$ を $f$ に沿ったベクトル場とする。

1. $D_s\partial_tf=D_t\partial_sf$。
2. $D_sD_tW-D_tD_sW=R(\partial_sf,\partial_tf)W$。
</Lemma>

<Proof of="lem-symmetry">
座標で計算します。<Ref to="mathematics/differential-geometry/riemannian-metrics-connections#thm-covariant-along-curve" /> の表示から
$$
D_s\partial_tf=\sum_k\Bigl(\partial_s\partial_tf^k+\sum_{i,j}\Gamma^k_{ij}(f)\,\partial_sf^i\,\partial_tf^j\Bigr)\partial_k
$$
で、$\partial_s\partial_tf^k=\partial_t\partial_sf^k$（<Ref to="mathematics/calculus/multivariable-differentiation#thm-schwarz" />）と $\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$（捩れなし）から $s,t$ について対称です。これが 1 です。

2 は $W=\sum_kW^k\partial_k$ と書くと、Leibniz 則で $W^k$ の微分を含む項は $\partial_s\partial_tW^k-\partial_t\partial_sW^k=0$ と、$s,t$ について対称な 1 階の項 $(\partial_sW^k)D_t\partial_k+(\partial_tW^k)D_s\partial_k$ に分かれて打ち消すので、$W=\partial_k$（座標ベクトル場を $f$ に沿って見たもの）について示せば十分です。$D_t\partial_k=\sum_i\partial_tf^i\,(\nabla_{\partial_i}\partial_k)\circ f$ なので
$$
D_sD_t\partial_k=\sum_i\partial_s\partial_tf^i\,(\nabla_{\partial_i}\partial_k)\circ f+\sum_{i,j}\partial_tf^i\,\partial_sf^j\,(\nabla_{\partial_j}\nabla_{\partial_i}\partial_k)\circ f.
$$
$s,t$ を入れ替えて引くと第 1 項は消え、$\sum_{i,j}\partial_sf^j\partial_tf^i\bigl(\nabla_{\partial_j}\nabla_{\partial_i}-\nabla_{\partial_i}\nabla_{\partial_j}\bigr)\partial_k=R(\partial_sf,\partial_tf)\partial_k$ が残ります。
</Proof>

<Definition id="def-jacobi" title="Jacobi 場">
測地線 $\gamma$ に沿ったベクトル場 $J$ が **Jacobi 方程式**
$$
D_t^2J+R(J,\dot\gamma)\dot\gamma=0
$$
を満たすとき、$J$ を **Jacobi 場**という。
</Definition>

<Proposition id="prop-jacobi-variation" title="Jacobi 場の基本性質">
$\gamma\colon[0,a]\to M$ を測地線とする。

1. 各 $s$ で $t\mapsto f(s,t)$ が測地線であるような変分 $f$（$f(0,t)=\gamma(t)$）の変分ベクトル場 $J(t)=\partial_sf(0,t)$ は Jacobi 場である。
2. 任意の $u,w\in T_{\gamma(0)}M$ に対し、$J(0)=u$、$D_tJ(0)=w$ となる Jacobi 場がただ一つ存在する。Jacobi 場の全体は $2n$ 次元の線形空間である。
</Proposition>

<Proof of="prop-jacobi-variation">
**1。** 各 $s$ で $D_t\partial_tf=0$ です。<Ref to="lem-symmetry" /> を使うと
$$
D_t^2\partial_sf=D_tD_s\partial_tf=D_sD_t\partial_tf-R(\partial_sf,\partial_tf)\partial_tf=-R(\partial_sf,\partial_tf)\partial_tf
$$
で、$s=0$ とすれば Jacobi 方程式です。

**2。** $T_{\gamma(0)}M$ の正規直交基底を平行移動して $\gamma$ に沿った平行な枠 $E_1,\dots,E_n$ を作ります（<Ref to="mathematics/differential-geometry/riemannian-metrics-connections#thm-parallel-existence" />）。$J=\sum_ia^iE_i$ と書くと $D_t^2J=\sum\ddot a^iE_i$ で、Jacobi 方程式は $\ddot a^i+\sum_ja^jR(E_j,\dot\gamma,\dot\gamma,E_i)=0$、すなわち係数が連続な 2 階線形常微分方程式です。$(a,\dot a)$ についての 1 階系に直せば <Ref to="mathematics/ode/linear-systems#thm-solution-space" /> により、初期値 $(a(0),\dot a(0))\in\mathbb{R}^{2n}$ に対し $[0,a]$ 全体で解がただ一つ存在し、解の空間は $2n$ 次元です。
</Proof>

<Proposition id="prop-dexp-jacobi" title="指数写像の微分と Jacobi 場">
$p\in M$、$v\in\mathcal{E}_p$、$\gamma(t)=\exp_p(tv)$ $(0\le t\le1)$ とする。$w\in T_pM$ に対し、$J(0)=0$、$D_tJ(0)=w$ となる $\gamma$ に沿った Jacobi 場は
$$
J(t)=d(\exp_p)_{tv}(tw)
$$
である（$T_{tv}(T_pM)\cong T_pM$ と同一視する）。
</Proposition>

<Proof of="prop-dexp-jacobi">
$\mathcal{E}_p$ は開で $[0,1]$ はコンパクトなので、$|s|$ が小さければ $t(v+sw)\in\mathcal{E}_p$ $(0\le t\le1)$ です。$f(s,t)=\exp_p(t(v+sw))$ は、<Ref to="prop-exp" /> (2) により各 $s$ で測地線なので、<Ref to="prop-jacobi-variation" /> (1) から $J(t)=\partial_sf(0,t)=d(\exp_p)_{tv}(tw)$ は Jacobi 場です。$J(0)=d(\exp_p)_0(0)=0$ です。また <Ref to="lem-symmetry" /> (1) から $D_tJ(0)=D_s\partial_tf(0,0)$ で、$\partial_tf(s,0)=v+sw$ は固定された空間 $T_pM$ 内の曲線なので $D_s$ は通常の微分になり、値は $w$ です。一意性（<Ref to="prop-jacobi-variation" /> (2)）から主張を得ます。
</Proof>

<Example id="ex-jacobi-constant" title="定曲率空間の Jacobi 場">
断面曲率が定数 $\kappa$ の空間で $\gamma$ を単位速さの測地線、$E$ を $\gamma$ に沿った平行な単位ベクトル場で $E\perp\dot\gamma$ とする。<Ref to="mathematics/differential-geometry/curvature#prop-sectional-determines" /> から $R(E,\dot\gamma)\dot\gamma=\kappa(\langle\dot\gamma,\dot\gamma\rangle E-\langle E,\dot\gamma\rangle\dot\gamma)=\kappa E$ なので、$J=u(t)E$ は $\ddot u+\kappa u=0$ のとき Jacobi 場である。$J(0)=0$、$D_tJ(0)=E(0)$ の解は
$$
J(t)=\operatorname{sn}_\kappa(t)E(t),\qquad\operatorname{sn}_\kappa(t)=\begin{cases}\sin(\sqrt\kappa t)/\sqrt\kappa&(\kappa>0)\\ t&(\kappa=0)\\ \sinh(\sqrt{-\kappa}t)/\sqrt{-\kappa}&(\kappa<0)\end{cases}
$$
である。正の曲率では近くの測地線が互いに引き寄せられ（球面では $t=\pi/\sqrt\kappa$ で再び交わる）、負の曲率では指数的に離れる。
</Example>

## 4. Gauss の補題と局所最短性

<Theorem id="thm-gauss-lemma" title="Gauss の補題">
$p\in M$、$v\in\mathcal{E}_p$、$w\in T_pM$ とすると
$$
\bigl\langle d(\exp_p)_v(v),\,d(\exp_p)_v(w)\bigr\rangle=\langle v,w\rangle.
$$
</Theorem>

<Proof of="thm-gauss-lemma">
$\gamma(t)=\exp_p(tv)$、$J$ を $J(0)=0$、$D_tJ(0)=w$ の Jacobi 場とします。<Ref to="prop-dexp-jacobi" /> により $J(1)=d(\exp_p)_v(w)$、また $\dot\gamma(1)=d(\exp_p)_v(v)$ です。$h(t)=\langle\dot\gamma,J\rangle$ を微分すると、$D_t\dot\gamma=0$ から
$$
\ddot h=\langle\dot\gamma,D_t^2J\rangle=-\langle R(J,\dot\gamma)\dot\gamma,\dot\gamma\rangle=-R(J,\dot\gamma,\dot\gamma,\dot\gamma)=0
$$
です（<Ref to="mathematics/differential-geometry/curvature#prop-symmetries" /> 2）。よって $h$ は 1 次関数で、$h(0)=0$、$\dot h(0)=\langle v,w\rangle$ から $h(1)=\langle v,w\rangle$ です。
</Proof>

$w=v$ とすれば $|d(\exp_p)_v(v)|=|v|$、$w\perp v$ とすれば $d(\exp_p)_v(w)\perp d(\exp_p)_v(v)$ です。$\exp_p$ は動径方向の長さを保ち、測地球面 $\exp_p(\{|v|=r\})$ は動径測地線と直交します（図）。接方向の長さは一般に保たれず、その伸び縮みを測るのが Jacobi 場です。

<Figure caption="Gauss の補題。正規座標の動径直線（測地線）は、測地球面と直交する。">
<svg viewBox="0 0 360 240" width="100%" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <circle cx="180" cy="120" r="3.5" fill="currentColor" />
  <text x="186" y="136" font-size="12" fill="currentColor">p</text>
  <path d="M 180 40 C 230 38 262 70 262 120 C 262 172 228 202 180 200 C 128 198 98 168 100 120 C 102 72 132 42 180 40 Z" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2" />
  <path d="M 180 120 Q 205 80 180 40" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.2" />
  <path d="M 180 120 Q 225 105 262 120" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.2" />
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  <path d="M 180 120 Q 170 80 125 62" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.2" />
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  <rect x="252" y="110" width="10" height="10" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="0.8" />
  <text x="270" y="60" font-size="12" fill="var(--sl-color-accent)">測地球面 S_r(p)</text>
  <text x="20" y="225" font-size="12" fill="currentColor">動径測地線 t ↦ exp_p(tv)</text>
</svg>
</Figure>

区分的に滑らかな曲線 $c\colon[a,b]\to M$ の長さを $L(c)=\int_a^b|\dot c|\,dt$ とし、$M$ が連結のとき $d(p,q)$ を $p,q$ を結ぶ区分的に滑らかな曲線の長さの下限とします（連結な多様体の 2 点は区分的に滑らかな曲線で結べるので有限です）。

<Theorem id="thm-local-minimizing" title="測地線の局所最短性">
$\exp_p$ が $B_\varepsilon(0)$ 上で像 $U$ への微分同相であるとし、$w\in B_\varepsilon(0)$、$q=\exp_p(w)$ とする。$p$ と $q$ を結ぶ任意の区分的に滑らかな曲線 $c$ について $L(c)\ge|w|$ であり、等号は $c$ が動径測地線 $t\mapsto\exp_p(tw)$ $(0\le t\le1)$ の単調なパラメータ変換であるときに限る。とくに $d(p,q)=|w|$ である。
</Theorem>

証明の方針は次のとおりです。$p$ を出る任意の曲線の動きを、中心からの距離が変わる動き（動径方向）と、球面に沿って動く動き（接方向）に分けます。Gauss の補題によりこの二つは直交するので、曲線の速さの二乗は動径方向の分以上になり、長さは $|w|$ 以上になります。

<Proof of="thm-local-minimizing">
$w\ne0$ としてよいです。$c$ が最後に $p$ を通る時刻以降だけを考えれば長さは増えないので、$t>a$ で $c(t)\ne p$ と仮定します。

**$c$ が $U$ に留まる場合。** $U\setminus\{p\}$ 上では $c(t)=\exp_p(r(t)u(t))$（$r>0$、$|u|=1$）と滑らかに書けます（$\exp_p^{-1}$ を極座標に分解）。$\dot c=d(\exp_p)_{ru}(\dot ru+r\dot u)$ で、$\langle u,\dot u\rangle=0$ なので、<Ref to="thm-gauss-lemma" /> から $d(\exp_p)_{ru}(u)$ は単位ベクトルで $d(\exp_p)_{ru}(r\dot u)$ と直交します。よって
$$
|\dot c|^2=\dot r^2+\bigl|d(\exp_p)_{ru}(r\dot u)\bigr|^2\ge\dot r^2,
$$
$L(c)\ge\int_a^b|\dot r|\,dt\ge r(b)-\lim_{t\to a}r(t)=|w|$ です。等号のためには $d(\exp_p)_{ru}(r\dot u)=0$、すなわち（$\exp_p$ は微分同相なので）$\dot u=0$ で、かつ $\dot r\ge0$ が必要です。これは $c$ が動径測地線の単調なパラメータ変換であることを意味します。

**$c$ が $U$ を出る場合。** $|w|<\rho<\varepsilon$ を取ります。$K_\rho=\exp_p(\{|v|\le\rho\})$ はコンパクト集合の連続像なのでコンパクトで、閉集合です。$c$ が初めて $U$ の外に出る時刻を $t^*$ とすると、$c(t^*)\notin K_\rho$ なので、$t^*$ の手前のある時刻で $c(t)\notin K_\rho$、すなわち $r(t)>\rho$ です。中間値の定理から $r(t_1)=\rho$ となる $t_1$ があり、上の評価を $[a,t_1]$ に適用して $L(c)\ge\rho>|w|$ です。等号は起こりません。
</Proof>

<Proposition id="prop-distance" title="Riemann 距離">
$M$ を連結な Riemann 多様体とする。$d$ は $M$ 上の距離関数で、それが定める位相は多様体の位相に一致する。さらに <Ref to="thm-local-minimizing" /> の状況で、$0<\rho\le\varepsilon$ に対し距離球 $\{q:d(p,q)<\rho\}$ は測地球 $\exp_p(B_\rho(0))$ に等しい。
</Proposition>

<Proof of="prop-distance">
$d(p,q)=d(q,p)$ と三角不等式は、曲線を逆にたどること・つなぐことから従います。$p\ne q$ のとき、<Ref to="prop-exp" /> (3) と Hausdorff 性から $q\notin\exp_p(B_\varepsilon(0))$ となる $\varepsilon$ が取れ、<Ref to="thm-local-minimizing" /> の後半の議論から $p,q$ を結ぶ曲線は長さ $\ge\varepsilon/2$ なので $d(p,q)>0$ です。

距離球について：$q=\exp_p(w)$、$|w|<\rho$ なら $d(p,q)=|w|<\rho$。逆に $q\notin\exp_p(B_\rho(0))$ なら、$q$ への曲線は $\exp_p(B_\rho(0))$ を出るので、<Ref to="thm-local-minimizing" /> の後半と同じ議論で長さが $\rho'$（任意の $\rho'<\rho$）以上、したがって $d(p,q)\ge\rho$ です。

位相の一致：測地球の族 $\{\exp_p(B_\rho(0))\}_{0<\rho\le\varepsilon}$ は、$\exp_p$ が $0$ の近傍で同相であることから、多様体の位相での $p$ の近傍基です。それがちょうど距離球なので、二つの位相は各点で同じ近傍基を持ち、一致します。
</Proof>

測地球の半径は中心ごとに変わりえますが、近くの中心については一様に取れます。

<Lemma id="lem-uniform-normal" title="一様な正規近傍">
各 $p\in M$ に対し、$p$ の開近傍 $W$ と $\delta>0$ が存在して、すべての $x\in W$ について $\exp_x$ は $B_\delta(0)\subset T_xM$ 上で像への微分同相であり、その像は $W$ を含む。
</Lemma>

<Proof of="lem-uniform-normal">
$F\colon\mathcal{E}\to M\times M$、$F(v)=(\pi(v),\exp v)$ と置きます。$p$ のまわりの座標で $TM$ の点を $(x,v)$ と書くと、零ベクトル $0_p$ での $F$ の微分は、<Ref to="prop-exp" /> (3) と $\exp(0_x)=x$ から
$$
dF_{0_p}=\begin{pmatrix}I&0\\ I&I\end{pmatrix}
$$
で可逆です。逆関数定理（<Ref to="mathematics/manifolds/submanifolds-regular-values#cor-inverse-manifold" />）により、$0_p$ の近傍 $\mathcal{V}$ 上で $F$ は開集合への微分同相です。$x$ が $p$ の近傍 $W'$ を動き $|v|<\delta$ となる集合 $\{(x,v)\}$ は（$g_{ij}$ の連続性により）$0_p$ の近傍基をなすので、$\mathcal{V}$ をこの形に取れます。$F(\mathcal{V})$ は $(p,p)$ の開近傍なので、$W\times W\subset F(\mathcal{V})$ となる $p$ の開近傍 $W\subset W'$ が取れます。$x\in W$ について、$\exp_x$ は $B_\delta(0)$ 上で単射（$F$ が単射）かつ微分が可逆（$dF$ がブロック三角で可逆）なので像への微分同相で、$\{x\}\times W\subset F(\mathcal{V})$ から像は $W$ を含みます。
</Proof>

<Corollary id="cor-minimizing-geodesic" title="最短曲線は測地線">
区分的に滑らかで速さが一定の曲線 $c\colon[a,b]\to M$ が $L(c)=d(c(a),c(b))$ を満たすならば、$c$ は（折れ曲がりのない）測地線である。
</Corollary>

<Proof of="cor-minimizing-geodesic">
最短曲線の部分弧も最短です（そうでなければ部分弧を短い曲線に取り替えて全体を短くできる）。$t_0\in[a,b]$ を任意に取り、$c(t_0)$ に対して <Ref to="lem-uniform-normal" /> の $W,\delta$ を取ります。$t_1\le t_0\le t_2$（$t_0$ が内点なら $t_1<t_0<t_2$）を、$c([t_1,t_2])\subset W$ かつ $L(c|_{[t_1,t_2]})<\delta$ となるように取ります。$c(t_2)\in W\subset\exp_{c(t_1)}(B_\delta(0))$ なので $c(t_2)=\exp_{c(t_1)}(w)$、$|w|<\delta$ と書け、<Ref to="thm-local-minimizing" /> から $|w|=d(c(t_1),c(t_2))=L(c|_{[t_1,t_2]})$ です。等号条件から $c|_{[t_1,t_2]}$ は $c(t_1)$ からの動径測地線の単調なパラメータ変換で、速さが一定なので測地線そのものです。$t_0$ の近傍で $c$ は滑らかな測地線なので、全体が測地線です。
</Proof>

## 5. Hopf–Rinow の定理

<Lemma id="lem-hopf-rinow-key" title="指数写像が全域で定義される点からの最短測地線">
$M$ を連結とし、ある $p$ で $\exp_p$ が $T_pM$ 全体で定義されているとする。このとき任意の $q\in M$ に対し、$p$ と $q$ を結ぶ測地線 $\gamma$ で $L(\gamma)=d(p,q)$ となるものが存在する。
</Lemma>

証明の方針は次のとおりです。$p$ から出る適切な向きの測地線 $\gamma$ を一本選び、$\gamma$ に沿って進むと $q$ までの距離がちょうど進んだ分だけ減っている時刻の集まりを $A$ とします。$A$ の上限が $r$ 未満だとさらに先まで進めてしまうことを示して矛盾させ、$\gamma$ が $q$ に着くことを導きます。

<Proof of="lem-hopf-rinow-key">
$r=d(p,q)>0$ とします。$\exp_p$ が $B_\varepsilon(0)$ 上で微分同相となる $\varepsilon$ を取り、$0<\delta<\min(\varepsilon,r)$ とします。測地球面 $S=\exp_p(\{|v|=\delta\})$ はコンパクトで、$x\mapsto d(x,q)$ は連続なので（<Ref to="prop-distance" />）、最小点 $x_0=\exp_p(\delta u)$（$|u|=1$）があります。$\gamma(t)=\exp_p(tu)$ は仮定により $t\in\mathbb{R}$ 全体で定義された単位速さの測地線です。
$$
A=\{t\in[0,r]:d(\gamma(t),q)=r-t\}
$$
と置き、$r\in A$ を示します。そうすれば $\gamma(r)=q$ で、$L(\gamma|_{[0,r]})=r=d(p,q)$ です。

**$\delta\in A$。** $p$ から $q$ への任意の曲線 $c$ は、$p\in\exp_p(B_\delta(0))$ から出発して、その外の $q$（<Ref to="prop-distance" /> により $d(p,q)=r>\delta$ なので外にある）に到達します。$\exp_p(\{|v|\le\delta\})$ は閉で、その中から出るには境界 $S$ を通るので、$c$ はある点 $x\in S$ を通ります。よって $L(c)\ge d(p,x)+d(x,q)\ge\delta+d(x_0,q)$（<Ref to="thm-local-minimizing" /> により $d(p,x)=\delta$）。$c$ について下限を取ると $r\ge\delta+d(x_0,q)$、三角不等式と合わせて $d(x_0,q)=r-\delta$ です。

**$A$ は閉で、$\sup A=r$。** $A$ は連続関数の等式で定まるので閉です。$T=\sup A\in A$ とし、$T<r$ と仮定します。$\gamma(T)$ を中心に同じ議論を半径 $\delta_1$（$\gamma(T)$ での測地球の半径未満かつ $d(\gamma(T),q)=r-T$ 未満）で行うと、測地球面上の点 $x_1$ で $d(\gamma(T),q)=\delta_1+d(x_1,q)$、すなわち $d(x_1,q)=r-T-\delta_1$ となるものがあります。すると
$$
d(p,x_1)\ge d(p,q)-d(x_1,q)=T+\delta_1.
$$
一方、$\gamma|_{[0,T]}$（長さ $T$）と、$\gamma(T)$ から $x_1$ への動径測地線（長さ $\delta_1$）をつないだ曲線の長さは $T+\delta_1$ です。よってこの曲線は最短で、<Ref to="cor-minimizing-geodesic" /> により折れ曲がりのない測地線です。測地線の一意性から、これは $\gamma|_{[0,T+\delta_1]}$ に一致し、$x_1=\gamma(T+\delta_1)$、したがって $T+\delta_1\in A$ となって $T=\sup A$ に反します。
</Proof>

<Theorem id="thm-hopf-rinow" title="Hopf–Rinow の定理">
$M$ を連結な Riemann 多様体とする。次は同値である。

1. $M$ の有界閉集合はコンパクトである。
2. $(M,d)$ は完備な距離空間である。
3. $M$ は**測地的に完備**である：すべての測地線が $\mathbb{R}$ 全体に延長できる（$\mathcal{E}=TM$）。
4. ある点 $p$ で $\exp_p$ が $T_pM$ 全体で定義される。

さらにこれらが成り立つとき、任意の 2 点は長さが距離に等しい測地線で結べる。
</Theorem>

証明は 4 ⇒ 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 と一周します。要は、一点から測地線がどこまでも延びるなら、その点から他の点へ最短の道があり、それらで有界な集合を覆える、ということです。

<Proof of="thm-hopf-rinow">
**4 ⇒ 1。** $K$ を有界閉集合とし、$K\subset\{q:d(p,q)\le r\}$ とします。<Ref to="lem-hopf-rinow-key" /> により、$d(p,q)\le r$ なら $q=\exp_p(w)$、$|w|=d(p,q)\le r$ と書けるので、$K\subset\exp_p(\{|w|\le r\})$ です。右辺は閉球（Heine–Borel の定理 <Ref to="mathematics/topology/compactness#thm-heine-borel" /> によりコンパクト）の連続像なのでコンパクトで（<Ref to="mathematics/topology/compactness#thm-continuous-image" />）、$K$ はその閉部分集合なのでコンパクトです（<Ref to="mathematics/topology/compactness#thm-closed-in-compact" />）。

**1 ⇒ 2。** Cauchy 列 $(x_k)$ は有界なので、その閉包はコンパクトです。コンパクト距離空間の点列は収束部分列を持ちます（収束部分列がなければ、各点に有限個の項しか含まない開近傍があり、有限部分被覆が取れて矛盾）。Cauchy 列が収束部分列を持てば全体が収束します。

**2 ⇒ 3。** 単位速さの測地線 $\gamma$ の極大定義域の右端 $b$ が有限だと仮定します。$d(\gamma(s),\gamma(t))\le|s-t|$ なので、$t\to b$ で $\gamma(t)$ は Cauchy 条件を満たし、完備性から極限 $q$ を持ちます。$q$ に対して <Ref to="lem-uniform-normal" /> の $W,\delta$ を取り、$t_0<b$ を $\gamma(t_0)\in W$、$b-t_0<\delta$ となるように選びます。$\exp_{\gamma(t_0)}$ は $B_\delta(0)$ 上で定義されているので、$\gamma(t_0)$ から速度 $\dot\gamma(t_0)$ で出る測地線は $|t|<\delta$ で定義されます（<Ref to="prop-geodesic-existence" /> (3)）。一意性からこれは $\gamma(t_0+\cdot)$ の延長であり、$\gamma$ は $t_0+\delta>b$ まで延びて、極大性に反します。左端も同様です。

**3 ⇒ 4** は自明です。最後の主張は、3 から 4 がすべての点 $p$ で成り立つので、<Ref to="lem-hopf-rinow-key" /> そのものです。
</Proof>

<Example id="ex-completeness" title="完備な例と完備でない例">
1. コンパクトな Riemann 多様体は 1 を満たすので完備である。
2. 双曲平面 $\mathbb{H}$ は完備である。$\mathbb{H}$ の等長変換群 $PSL(2,\mathbb{R})$ は推移的なので、ある $\varepsilon>0$ について、すべての点で長さ $\varepsilon$ までの測地線が存在する。すると <Ref to="thm-hopf-rinow" /> の 2 ⇒ 3 の証明と同じ議論（$\delta=\varepsilon$ が一様に取れる）で、すべての測地線が延長できる。
3. $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ は完備でない。$(-1,0)$ から $(1,0)$ への最短曲線は存在せず、線分 $t\mapsto(t,0)$ は原点で途切れる。$x_k=(1/k,0)$ は Cauchy 列だが収束しない。
</Example>

## 6. 共役点と第二変分公式

<Definition id="def-conjugate" title="共役点">
測地線 $\gamma\colon[0,a]\to M$ 上の点 $\gamma(t_0)$（$0<t_0\le a$）が $\gamma(0)$ に**共役**であるとは、$J(0)=0$、$J(t_0)=0$ となる $0$ でない Jacobi 場 $J$ が存在することをいう。
</Definition>

<Proposition id="prop-conjugate-critical" title="共役点と指数写像の臨界点">
$\gamma(t)=\exp_p(tv)$ とする。$\gamma(t_0)$ が $p$ に共役であることと、$t_0v$ が $\exp_p$ の臨界点（$d(\exp_p)_{t_0v}$ が単射でない）であることは同値である。
</Proposition>

<Proof of="prop-conjugate-critical">
$J(0)=0$ の Jacobi 場は <Ref to="prop-dexp-jacobi" /> により $J(t)=d(\exp_p)_{tv}(tw)$（$w=D_tJ(0)$）の形で、$J\ne0$ と $w\ne0$ は同値です（<Ref to="prop-jacobi-variation" /> (2)）。よって $J(t_0)=0$ となる $J\ne0$ の存在は、$d(\exp_p)_{t_0v}(t_0w)=0$ となる $w\ne0$ の存在と同値です。
</Proof>

単位球面では <Ref to="ex-jacobi-constant" /> の $J=\sin t\,E$ が $t=\pi$ で消えるので、$p$ の共役点は対蹠点 $-p$ で、<Ref to="ex-sphere-geodesics" /> で見たとおり $\exp_p$ は半径 $\pi$ の球面を一点に潰します。

区分的に滑らかな曲線 $c\colon[0,a]\to M$ の**エネルギー**を $E(c)=\frac12\int_0^a|\dot c|^2dt$ とします。Cauchy–Schwarz の不等式から $L(c)^2\le2aE(c)$ で、等号は速さが一定のときに限ります。

<Theorem id="thm-second-variation" title="第一・第二変分公式">
$\gamma\colon[0,a]\to M$ を測地線、$V$ を $\gamma$ に沿った区分的に滑らかなベクトル場で $V(0)=0$、$V(a)=0$ とする。$|s|$ が小さいとき $c_s(t)=\exp_{\gamma(t)}(sV(t))$ は $\gamma(0)$ と $\gamma(a)$ を結ぶ区分的に滑らかな曲線で、
$$
\frac{d}{ds}\Big|_{s=0}E(c_s)=0,\qquad\frac{d^2}{ds^2}\Big|_{s=0}E(c_s)=I(V,V):=\int_0^a\Bigl(|D_tV|^2-\langle R(V,\dot\gamma)\dot\gamma,V\rangle\Bigr)dt.
$$
</Theorem>

証明の方針は次のとおりです。$\gamma$ を少しずらした曲線の族 $c_s$ のエネルギーを $s$ で 2 回微分します。$s$ と $t$ の微分の順序を入れ替えるたびに対称性補題から曲率の項が出てくるので、それが第二変分の曲率の項になります。

<Proof of="thm-second-variation">
$\{sV(t)\}$ は $s$ が小さければ $\mathcal{E}$ のコンパクト部分集合に入るので（$\mathcal{E}$ は零切断を含む開集合）、$f(s,t)=\exp(sV(t))$ が定義されます。$V$ が滑らかな各区間 $[t_{i-1},t_i]$ 上で $f$ は滑らかです。$c_0=\gamma$、$\partial_sf(0,t)=V(t)$ で、端点では $V=0$ なので $c_s(0)=\gamma(0)$、$c_s(a)=\gamma(a)$ です。また $s\mapsto f(s,t)$ は測地線なので $D_s\partial_sf=0$ です。

各区間で、<Ref to="lem-symmetry" /> (1) と計量との両立から
$$
\frac{d}{ds}\frac12|\partial_tf|^2=\langle D_s\partial_tf,\partial_tf\rangle=\langle D_t\partial_sf,\partial_tf\rangle.
$$
$s=0$ で $D_t\dot\gamma=0$ なので被積分関数は $\frac{d}{dt}\langle V,\dot\gamma\rangle$ で、各区間の積分を足すと、$V$ と $\dot\gamma$ が連続であることから境界項が打ち消し合い、$\langle V,\dot\gamma\rangle\big|_0^a=0$ が残ります。これが第一変分です。

もう一度 $s$ で微分し、<Ref to="lem-symmetry" /> (2) を使うと
$$
\frac{d}{ds}\langle D_t\partial_sf,\partial_tf\rangle=\langle D_sD_t\partial_sf,\partial_tf\rangle+\langle D_t\partial_sf,D_s\partial_tf\rangle=\langle D_tD_s\partial_sf+R(\partial_sf,\partial_tf)\partial_sf,\partial_tf\rangle+|D_t\partial_sf|^2
$$
です。$D_s\partial_sf=0$ なので第 1 項は消えます。$s=0$ で $\langle R(V,\dot\gamma)V,\dot\gamma\rangle=-\langle R(V,\dot\gamma)\dot\gamma,V\rangle$（<Ref to="mathematics/differential-geometry/curvature#prop-symmetries" /> 2）を使い、区間ごとに積分して足せば第二変分公式を得ます。部分積分を使っていないので、区分的に滑らかな $V$ でも境界項は現れません。
</Proof>

<Lemma id="lem-negative-index" title="指数形式が負なら最短でない">
測地線 $\gamma\colon[0,a]\to M$ に沿って、$V(0)=V(a)=0$ の区分的に滑らかな $V$ で $I(V,V)<0$ となるものがあれば、$L(\gamma)>d(\gamma(0),\gamma(a))$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-negative-index">
<Ref to="thm-second-variation" /> から、小さな $s\ne0$ で $E(c_s)<E(\gamma)$ です。$\gamma$ は速さ一定なので $L(\gamma)^2=2aE(\gamma)$、よって $L(c_s)^2\le2aE(c_s)<2aE(\gamma)=L(\gamma)^2$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-jacobi-conjugate" title="共役点を越えた測地線は最短でない">
測地線 $\gamma\colon[0,a]\to M$ 上に $\gamma(0)$ の共役点 $\gamma(t_0)$、$0<t_0<a$ があれば、$L(\gamma)>d(\gamma(0),\gamma(a))$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-jacobi-conjugate">
$J\ne0$ を $J(0)=J(t_0)=0$ の Jacobi 場とし、$V=J$（$[0,t_0]$ 上）、$V=0$（$[t_0,a]$ 上）と置きます。$[0,t_0]$ で部分積分すると、Jacobi 方程式から
$$
I(V,V)=\int_0^{t_0}\bigl(|D_tJ|^2-\langle R(J,\dot\gamma)\dot\gamma,J\rangle\bigr)dt=\bigl[\langle D_tJ,J\rangle\bigr]_0^{t_0}-\int_0^{t_0}\langle D_t^2J+R(J,\dot\gamma)\dot\gamma,J\rangle dt=0.
$$
$J\ne0$ かつ $J(t_0)=0$ なので、一意性（<Ref to="prop-jacobi-variation" /> (2)）から $D_tJ(t_0)\ne0$ です。$W$ を $W(0)=W(a)=0$、$W(t_0)=-D_tJ(t_0)$ となる滑らかな場とします。$I$ は対称双線形形式で、
$$
I(V,W)=\int_0^{t_0}\bigl(\langle D_tJ,D_tW\rangle-\langle R(J,\dot\gamma)\dot\gamma,W\rangle\bigr)dt=\langle D_tJ(t_0),W(t_0)\rangle=-|D_tJ(t_0)|^2<0
$$
（同じく部分積分と Jacobi 方程式、$R$ の対称性 <Ref to="mathematics/differential-geometry/curvature#prop-symmetries" /> 4 による $\langle R(J,\dot\gamma)\dot\gamma,W\rangle=\langle R(W,\dot\gamma)\dot\gamma,J\rangle$）。よって $\eta>0$ が小さければ
$$
I(V+\eta W,V+\eta W)=2\eta I(V,W)+\eta^2I(W,W)<0
$$
で、<Ref to="lem-negative-index" /> から結論を得ます。
</Proof>

<Theorem id="thm-bonnet-myers" title="Bonnet–Myers の定理">
$M$ を $n$ 次元（$n\ge2$）の連結な完備 Riemann 多様体とし、ある $r>0$ に対し、すべての単位ベクトル $v$ で $\operatorname{Ric}(v,v)\ge(n-1)/r^2$ とする。このとき $M$ の直径は $\pi r$ 以下であり、$M$ はコンパクトである。
</Theorem>

<Proof of="thm-bonnet-myers">
$d(p,q)=L>\pi r$ となる $p,q$ があったとします。<Ref to="thm-hopf-rinow" /> により、$p,q$ を結ぶ長さ $L$ の単位速さの測地線 $\gamma\colon[0,L]\to M$ があります。$\dot\gamma(0)$ と直交する正規直交ベクトルを平行移動して $E_1,\dots,E_{n-1}$ を作り（$\dot\gamma$ も平行なので各点で $\dot\gamma$ と直交する正規直交系）、$V_i(t)=\sin(\pi t/L)E_i(t)$ と置きます。$D_tV_i=(\pi/L)\cos(\pi t/L)E_i$ なので
$$
\sum_{i=1}^{n-1}I(V_i,V_i)=\int_0^L\Bigl((n-1)\frac{\pi^2}{L^2}\cos^2\frac{\pi t}{L}-\sin^2\frac{\pi t}{L}\,\operatorname{Ric}(\dot\gamma,\dot\gamma)\Bigr)dt\le(n-1)\frac L2\Bigl(\frac{\pi^2}{L^2}-\frac1{r^2}\Bigr)<0.
$$
ここで $\sum_i\langle R(E_i,\dot\gamma)\dot\gamma,E_i\rangle=\operatorname{Ric}(\dot\gamma,\dot\gamma)$（$\dot\gamma$ 方向の項 $R(\dot\gamma,\dot\gamma,\dot\gamma,\dot\gamma)=0$ を補ってトレースにする）と $\int_0^L\cos^2=\int_0^L\sin^2=L/2$ を使いました。よってある $i$ で $I(V_i,V_i)<0$ で、<Ref to="lem-negative-index" /> により $\gamma$ は最短でなく、矛盾です。直径が有限なので $M$ 自身が有界閉集合で、<Ref to="thm-hopf-rinow" /> 1 によりコンパクトです。
</Proof>

単位球面（$r=1$）では直径はちょうど $\pi$ で、評価は最良です。完備性の仮定は外せません。たとえば単位球面から 1 点を除いたものは同じ曲率条件を満たし直径も $\pi$ 以下ですが、コンパクトではありません（Hopf–Rinow の 1 が成り立たない）。また条件を断面曲率 $K\ge0$ や $\operatorname{Ric}>0$（一様な下界なし）に弱めると結論は成り立ちません（放物面 $z=x^2+y^2$ は $K>0$ で完備だがコンパクトでない）。

## 7. 双曲平面の幾何

ここまでの道具で、曲率 $-1$ の双曲平面 $\mathbb{H}=\{z=x+iy\in\mathbb{C}:y>0\}$、$g=(dx^2+dy^2)/y^2$（<Ref to="mathematics/differential-geometry/curvature#ex-hyperbolic-plane" />）の測地線と距離を完全に決められます。Euclid 幾何の平行線の公理が成り立たない幾何（**双曲幾何**）の、最も具体的なモデルです。接ベクトルを複素数で表し、$z$ での $g$ のノルムは $|v|/\operatorname{Im}z$ です。

<Proposition id="prop-hyperbolic-isometries" title="双曲平面の等長変換">
1. $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in SL(2,\mathbb{R})$ に対し $T_A(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$ は $\mathbb{H}$ の等長変換（$g$ を保つ微分同相）であり、$T_AT_B=T_{AB}$ である。
2. 任意の $p\in\mathbb{H}$ と $p$ での単位接ベクトル $v$ に対し、$T_A(i)=p$、$d(T_A)_i(i)=v$ となる $A$ がある（$i\in T_i\mathbb{H}$ は虚軸方向の単位ベクトル）。
</Proposition>

<Proof of="prop-hyperbolic-isometries">
(1) $(az+b)(c\bar z+d)=ac|z|^2+adz+bc\bar z+bd$ の虚部は $(ad-bc)\operatorname{Im}z$ なので
$$
\operatorname{Im}T_A(z)=\frac{\operatorname{Im}z}{|cz+d|^2}>0
$$
です（$\operatorname{Im}z>0$ なら $cz+d\ne0$）。$T_AT_B=T_{AB}$ は分数の代入を整理する直接計算で、$T_{A^{-1}}$ が逆写像なので $T_A$ は $\mathbb{H}$ の微分同相です。$T_A$ は正則で $T_A'(z)=\frac{ad-bc}{(cz+d)^2}=\frac1{(cz+d)^2}$、微分 $d(T_A)_z$ は複素数 $T_A'(z)$ を掛ける写像なので、
$$
\frac{|T_A'(z)v|}{\operatorname{Im}T_A(z)}=\frac{|v|/|cz+d|^2}{\operatorname{Im}z/|cz+d|^2}=\frac{|v|}{\operatorname{Im}z}
$$
でノルムが保たれ、極化恒等式から $g$ も保たれます。

(2) $p=x+iy$ とし、$N(z)=yz+x$（$A=\begin{pmatrix}\sqrt y&x/\sqrt y\\0&1/\sqrt y\end{pmatrix}$）とすると $N(i)=p$、$dN_i$ は $y$ 倍です。$K_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ については $i(-i\sin\theta+\cos\theta)=\sin\theta+i\cos\theta$ から $T_{K_\theta}(i)=i$ で、$T_{K_\theta}'(i)=(\cos\theta-i\sin\theta)^{-2}=e^{2i\theta}$ です。$v=y\,e^{i\phi}\cdot i$（$\phi\in\mathbb{R}$。$p$ での単位ベクトルは Euclid の長さが $y$）と書き、$\theta=\phi/2$ とすれば $N\circ T_{K_\theta}=T_{AK_\theta}$ が求めるものです。
</Proof>

<Theorem id="thm-hyperbolic-geodesics" title="双曲平面の測地線と距離">
1. $\gamma(t)=ie^t$ は単位速さの測地線で、$d(i,iy)=|\log y|$ である。
2. $\mathbb{H}$ の極大な測地線は $\mathbb{R}$ 全体で定義され（$\mathbb{H}$ は完備）、その像は、実軸に垂直な半直線 $\{\operatorname{Re}z=a\}$ か、中心が実軸上にある半円 $\{|z-c|=r,\ \operatorname{Im}z>0\}$ である。逆にこれらはすべて測地線の像である。
3. 異なる 2 点を通る測地線はただ一つで、距離は
$$
\cosh d(z,w)=1+\frac{|z-w|^2}{2\operatorname{Im}z\,\operatorname{Im}w}
$$
で与えられる。
</Theorem>

<Proof of="thm-hyperbolic-geodesics">
(1) $iy_0$ から $iy_1$ への区分的に滑らかな曲線 $c=(x(t),y(t))$ について
$$
L(c)=\int\frac{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}}{y}dt\ge\int\frac{|\dot y|}{y}dt\ge\Bigl|\log\frac{y_1}{y_0}\Bigr|
$$
で、$\gamma$ の部分弧は等号を達成します。$|\dot\gamma|=|ie^t|/e^t=1$ なので、$\gamma$ は速さ一定で、どの部分弧でも長さが端点間の距離に等しく、<Ref to="cor-minimizing-geodesic" /> により測地線です。$d(i,iy)=|\log y|$ も示されました。

(2) 等長変換 $T$ は曲線の長さを保つので距離を保ち、$\gamma$ の像 $T\circ\gamma$ も同じ性質（速さ一定で部分弧が最短）を持つので、<Ref to="cor-minimizing-geodesic" /> により測地線です。単位接ベクトル $v\in T_p\mathbb{H}$ に対し、<Ref to="prop-hyperbolic-isometries" /> の 2 で $T(i)=p$、$dT_i(\dot\gamma(0))=v$ となる $T$ を取れば、$T\circ\gamma$ は初速度 $v$ の測地線で $\mathbb{R}$ 全体で定義されています。一意性（<Ref to="prop-geodesic-existence" />）から $\gamma_v=T\circ\gamma$ で、すべての測地線が $\mathbb{R}$ 上に延び、<Ref to="thm-hopf-rinow" /> から $\mathbb{H}$ は完備です。

像の形を調べます。$T=T_A$ による正の虚軸の像を求めます。$c=0$ なら $T(iy)=(aiy+b)/d$ の実部は $b/d$ で一定、$d=0$ なら $bc=-1$ から $T(iy)=a/c+i/(c^2y)$ の実部は $a/c$ で一定で、どちらも垂直な半直線の全体を動きます。$cd\ne0$ なら $p=b/d$、$q=a/c$（$p\ne q$）とおき、$w=T(z)$ について
$$
w-q=\frac{-1}{c(cz+d)},\qquad w-p=\frac{z}{d(cz+d)},\qquad\frac{w-p}{w-q}=-\frac{c}{d}z
$$
です。$z=iy$ ならこの比は純虚数です。一般に $w\ne p,q$ について比 $(w-p)/(w-q)$ が純虚数であることは、ベクトル $w-p$ と $w-q$ が直交すること、すなわち $\bigl|w-\frac{p+q}2\bigr|=\frac{|p-q|}2$（Thales の定理。内積 $\langle w-p,w-q\rangle=|w-\frac{p+q}2|^2-|\frac{p-q}2|^2$ を展開）と同値です。比を与える写像 $w\mapsto(w-p)/(w-q)$ は単射で、この円から $p,q$ を除いたものを $i\mathbb{R}\setminus\{0\}$ の上に写し、上半分の弧（連結）は一方の半直線 $i\mathbb{R}_{>0}$ または $i\mathbb{R}_{<0}$ に入ります。$y$ が $(0,\infty)$ を動くと比 $-ciy/d$ は一方の半直線全体を動き、$T(iy)\in\mathbb{H}$ なので、像は中心 $\frac{p+q}2\in\mathbb{R}$ の半円全体です。逆に、垂直な半直線 $\operatorname{Re}z=a$ は $N(z)=z+a$ による像、端点 $p<q$ の半円は $s=\sqrt{q-p}$、$A=\frac1s\begin{pmatrix}q&p\\1&1\end{pmatrix}$（$\det A=1$、$b/d=p$、$a/c=q$）による像です。

(3) 異なる 2 点 $z,w$ について、$\operatorname{Re}z=\operatorname{Re}w$ なら垂直な半直線が 1 本通り、半円は通りません（中心は垂直二等分線上にあるが、それは水平で実軸と交わらない）。$\operatorname{Re}z\ne\operatorname{Re}w$ なら垂直二等分線が実軸とただ 1 点 $c$ で交わり、$c$ を中心とする半円がただ一つ通り、垂直な半直線は通りません。よって (2) から 2 点を通る測地線（の像）はただ一つです。

距離の式の両辺は等長変換 $T_A$ で不変です。左辺は等長変換が距離を保つからで、右辺は $\operatorname{Im}T_A(z)=\operatorname{Im}z/|cz+d|^2$ と $T_A(z)-T_A(w)=\frac{z-w}{(cz+d)(cw+d)}$（通分して $ad-bc=1$ を使う）からです。<Ref to="prop-hyperbolic-isometries" /> の 2 により、$z$ を $i$ に、$z$ から $w$ への測地線の初速度を虚軸方向に写す等長変換があり、そのとき $w$ は正の虚軸上の点 $iy$ に移ります。(1) から $\cosh d(i,iy)=\frac{y+y^{-1}}2=1+\frac{(y-1)^2}{2y}$ で、右辺の $1+\frac{|i-iy|^2}{2\cdot1\cdot y}$ と一致します。
</Proof>

<Example id="ex-hyperbolic-parallel" title="平行線の公理が成り立たない">
測地線 $\ell=\{iy:y>0\}$ と、$\ell$ 上にない点 $p=1+i$ を考える。中心 $c\in\mathbb{R}$ で $p$ を通る半円の半径は $r=\sqrt{(1-c)^2+1}$ で、この半円が $\ell$ と交わるのは $c-r<0<c+r$ のときである。$c\ge1$ なら $c^2\ge(1-c)^2+1$、すなわち $c\ge r$ なので交わらない。したがって $p$ を通り $\ell$ と交わらない測地線は、垂直な半直線 $\operatorname{Re}z=1$ のほかに $c\ge1$ の半円が無数にあり、Euclid の平行線の公理（「交わらない直線はただ一本」）は成り立たない。
</Example>

<Figure caption="上半平面 H の測地線。点 p=1+i を通り、虚軸 ℓ と交わらない測地線（垂直な半直線 Re z=1 と、c=1, 2, 3 を中心とする半円）。">
<svg viewBox="0 0 320 220" width="100%" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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  <circle cx="100" cy="150" r="3.5" fill="currentColor" />
  <text x="106" y="146" font-size="12" fill="currentColor">p</text>
  <text x="66" y="34" font-size="12" fill="var(--sl-color-accent)">ℓ</text>
  <text x="290" y="206" font-size="12" fill="currentColor">実軸</text>
</svg>
</Figure>

<Example id="ex-poincare-disk" title="Poincaré 円板モデル">
Cayley 変換 $C(z)=\dfrac{z-i}{z+i}$ は $\mathbb{H}$ を単位円板 $\mathbb{D}$ に双正則に写す（[等角写像](/mathematics/complex-analysis/conformal-mapping)）。$w=C(z)$ とすると $dw=\frac{2i}{(z+i)^2}dz$、$1-|w|^2=\frac{|z+i|^2-|z-i|^2}{|z+i|^2}=\frac{4\operatorname{Im}z}{|z+i|^2}$ なので
$$
\frac{4|dw|^2}{(1-|w|^2)^2}=\frac{4\cdot4|dz|^2/|z+i|^4}{16(\operatorname{Im}z)^2/|z+i|^4}=\frac{|dz|^2}{(\operatorname{Im}z)^2}.
$$
すなわち $\mathbb{D}$ に計量 $4|dw|^2/(1-|w|^2)^2$ を入れると $C$ は等長写像で、測地線は境界の円に直交する円弧と直径になる（$C$ は円と直線を円と直線に、直交性を保って写すため）。
</Example>

## 8. Riemann 沈め込み

商空間や射影に計量を載せるときの基本的な形が Riemann 沈め込みです。

<Definition id="def-riemannian-submersion" title="Riemann 沈め込み">
$(M,g)$、$(B,h)$ を Riemann 多様体、$\pi:M\to B$ を全射な沈め込み（<Ref to="mathematics/manifolds/submanifolds-regular-values#def-immersion" />）とする。$p\in M$ で $\mathcal{V}_p=\ker d\pi_p$ を**垂直空間**、その直交補空間 $\mathcal{H}_p=\mathcal{V}_p^\perp$ を**水平空間**という。すべての $p$ で $d\pi_p|_{\mathcal{H}_p}:\mathcal{H}_p\to T_{\pi(p)}B$ が内積を保つ（等長な線形同型である）とき、$\pi$ を **Riemann 沈め込み**という。速度がつねに水平な曲線を**水平曲線**という。
</Definition>

<Proposition id="prop-riemannian-submersion" title="Riemann 沈め込みは長さを縮める">
$\pi:(M,g)\to(B,h)$ を Riemann 沈め込みとする。
1. $v\in T_pM$ について $|d\pi_pv|\le|v|$ で、等号は $v$ が水平のときに限る。
2. 区分的に滑らかな曲線 $c$ について $L(\pi\circ c)\le L(c)$ で、$c$ が水平なら等号が成り立つ。
3. $M$ が連結なら $B$ も連結で、$d_B(\pi(p),\pi(q))\le d_M(p,q)$ である。
</Proposition>

<Proof of="prop-riemannian-submersion">
(1) $v=v^{\mathcal{H}}+v^{\mathcal{V}}$ と直交分解すると $d\pi_pv=d\pi_pv^{\mathcal{H}}$ で、$|d\pi_pv|=|v^{\mathcal{H}}|\le|v|$、等号は $v^{\mathcal{V}}=0$ のときです。(2) (1) を速度に適用して積分します。(3) $B=\pi(M)$ は連結空間の連続像です。$p,q$ を結ぶ曲線 $c$ について $\pi\circ c$ は $\pi(p),\pi(q)$ を結び、(2) から $d_B(\pi p,\pi q)\le L(\pi\circ c)\le L(c)$。$c$ について下限を取ります。
</Proof>

<Proposition id="prop-submersion-quotient-metric" title="等長作用の商に誘導される計量">
Lie 群 $G$ が Riemann 多様体 $(M,g)$ に右から等長に作用し、全射な沈め込み $\pi:M\to B$ のファイバーがちょうど $G$ の軌道であるとする。このとき $B$ 上の Riemann 計量 $h$ で $\pi$ が Riemann 沈め込みになるものがただ一つ存在する。
</Proposition>

<Proof of="prop-submersion-quotient-metric">
*一意性と定義.* $\pi$ が Riemann 沈め込みなら、$u,w\in T_bB$ と $p\in\pi^{-1}(b)$ について、$\tilde u,\tilde w\in\mathcal{H}_p$ を $d\pi_p$ による逆像（水平持ち上げ）として $h(u,w)=g(\tilde u,\tilde w)$ でなければなりません。これを定義とします。

*$p$ によらないこと.* 同じファイバーの点は $p$ と $pa$（$a\in G$）の形です。作用 $R_a:x\mapsto xa$ は等長で $\pi\circ R_a=\pi$ なので、$dR_a$ は $\mathcal{V}_p=\ker d\pi_p$ を $\mathcal{V}_{pa}$ に、したがって直交補空間 $\mathcal{H}_p$ を $\mathcal{H}_{pa}$ に等長に写し、$d\pi_{pa}\circ dR_a=d\pi_p$ です。よって $p$ での水平持ち上げを $dR_a$ で送ったものが $pa$ での水平持ち上げで、内積は等しくなります。

*滑らかさ.* $b$ の近くで滑らかな局所切断 $s$（$\pi\circ s=\mathrm{id}$）が、沈め込みの局所標準形（<Ref to="mathematics/manifolds/submanifolds-regular-values#thm-submersion-form" />）から取れます。標準形の座標 $(x,y)$（$\pi(x,y)=x$）では $\mathcal{V}$ は $\partial_{y^k}$ で張られる滑らかな部分束なので、Gram–Schmidt で $\mathcal{V}$ の滑らかな正規直交枠 $E_k$ が取れ、水平成分への射影 $P(v)=v-\sum_kg(v,E_k)E_k$ は滑らかです。$d\pi(P\,ds(u))=d\pi(ds(u))=u$ なので $P\,ds(u)$ は $u$ の $s(b)$ での水平持ち上げで、$h(u,w)=g(P\,ds(u),P\,ds(w))$ は滑らかな対称テンソルです。正定値性は $d\pi|_{\mathcal{H}}$ が同型であることから従います。
</Proof>

<Example id="ex-riemannian-submersions" title="Riemann 沈め込みの例">
1. 積 $(M\times F,g_M+g_F)$ の射影 $M\times F\to M$。垂直空間は $T_qF$、水平空間は $T_pM$ で、$d\pi$ は水平空間上で恒等写像である。
2. 平坦トーラス：$\mathbb{R}^n\to T^n=\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$ は $\mathbb{Z}^n$ の平行移動（等長）による商で、垂直空間が $0$ の Riemann 沈め込み、すなわち局所等長写像である。
3. **Fubini–Study 計量**。$U(1)$ は $S^{2n+1}\subset\mathbb{C}^{n+1}$ にスカラー倍で等長に作用し、商 $S^{2n+1}\to\mathbb{C}P^n$ は全射な沈め込みでファイバーは軌道である（チャートは <Ref to="mathematics/manifolds/smooth-manifolds#ex-projective" /> と同様に斉次座標で作る）。<Ref to="prop-submersion-quotient-metric" /> で得られる $\mathbb{C}P^n$ の計量が Fubini–Study 計量である。$n=1$ は Hopf 写像（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#def-hopf" />）で、$\mathbb{C}P^1$ は半径 $1/2$ の球面と等長になる。
</Example>

<Remark id="rem-oneill">
Riemann 沈め込みでは、一点で水平な測地線は水平のままで、底空間の測地線に写ります。また水平な 2 平面の断面曲率について O'Neill の公式 $K_B(d\pi X,d\pi Y)=K_M(X,Y)+\frac34|[X,Y]^{\mathcal{V}}|^2\ge K_M(X,Y)$（$X,Y$ は正規直交な水平ベクトル場）が成り立ち、沈め込みで曲率は増えます。Fubini–Study 計量の断面曲率が $1$ と $4$ の間にあるのはこの公式からです。証明は接続の水平・垂直成分の計算で、本サイトではまだ扱っていません（B. O'Neill, "The fundamental equations of a submersion", *Michigan Math. J.* 13 (1966), 459–469）。
</Remark>

## 9. Gromov–Hausdorff 距離

Riemann 多様体は[距離空間](/mathematics/real-analysis/metric-spaces#def-metric-space)でもあります（<Ref to="prop-distance" />）。距離空間どうしの「近さ」を測る距離を入れると、計量の族の極限（たとえば円周方向がつぶれていくトーラスの極限）を考えられます。ここではコンパクト距離空間の間の Gromov–Hausdorff 距離を定義し、それが等長類の上の距離であることを証明します。

<Definition id="def-hausdorff-distance" title="Hausdorff 距離">
距離空間 $(Z,d)$ の部分集合 $A,B$ に対し、$U_r(A)=\{z\in Z:d(z,A)<r\}$ として
$$
d_H(A,B)=\inf\{r>0:A\subseteq U_r(B)\text{ かつ }B\subseteq U_r(A)\}
$$
を **Hausdorff 距離**という。
</Definition>

<Definition id="def-gh-distance" title="Gromov–Hausdorff 距離">
コンパクト距離空間 $(X,d_X)$、$(Y,d_Y)$ に対し、互いに素な合併 $X\sqcup Y$ 上の距離 $d$ で、$X$ と $Y$ への制限がそれぞれ $d_X,d_Y$ に一致するものを**許容距離**という。
$$
d_{GH}(X,Y)=\inf\{d_H(X,Y):d\text{ は }X\sqcup Y\text{ 上の許容距離}\}
$$
を $X$ と $Y$ の **Gromov–Hausdorff 距離**という（$d_H$ は $(X\sqcup Y,d)$ での Hausdorff 距離）。
</Definition>

考え方は、二つの空間を一つの大きな空間の中に並べて置き、その中でどれだけ重ねられるかで「近さ」を測る、というものです。許容距離は、そのような置き方を距離として表したものです。

<Lemma id="lem-gh-embeddings" title="等長埋め込みによる言い換え">
距離空間 $Z$ と等長埋め込み $\phi:X\to Z$、$\psi:Y\to Z$ について $d_{GH}(X,Y)\le d_H(\phi(X),\psi(Y))$ である。したがって $d_{GH}(X,Y)$ は、$X,Y$ を共通の距離空間に等長に埋め込んだときの Hausdorff 距離の下限に等しい。
</Lemma>

<Proof of="lem-gh-embeddings">
$d_H(\phi X,\psi Y)<r$ とし、$\eta>0$ とします。$X\sqcup Y$ 上で、$X$ と $Y$ の中では元の距離、$x\in X$、$y\in Y$ については $d(x,y)=d(y,x)=d_Z(\phi x,\psi y)+\eta$ と置きます。$d(x,y)\ge\eta>0$ で、三角不等式は $d_Z$ の三角不等式に $\eta$ の項を足し引きして確かめられます（例：$d(x,x')\le d_Z(\phi x,\psi y)+d_Z(\psi y,\phi x')<d(x,y)+d(y,x')$、$d(x,y)\le d_X(x,x')+d(x',y)$）。各 $x$ に対し $d_Z(\phi x,\psi y)<r$ となる $y$ があり $d(x,y)<r+\eta$、逆も同様なので $d_H(X,Y)\le r+\eta$ です。$r,\eta$ について下限を取ると主張の不等式を得ます。後半は、許容距離をもつ $X\sqcup Y$ そのものが $Z$ の一つであることと合わせて従います。
</Proof>

<Proposition id="prop-gh-basic" title="Gromov–Hausdorff 距離の基本性質">
$X,Y,W$ をコンパクト距離空間とする。
1. $d_{GH}(X,Y)=d_{GH}(Y,X)$ で、$\tfrac12|\operatorname{diam}X-\operatorname{diam}Y|\le d_{GH}(X,Y)\le\tfrac12\max(\operatorname{diam}X,\operatorname{diam}Y)$。
2. （三角不等式）$d_{GH}(X,W)\le d_{GH}(X,Y)+d_{GH}(Y,W)$。
3. 全射 $f:X\to Y$ がすべての $x,x'$ で $|d_Y(fx,fx')-d_X(x,x')|\le\varepsilon$ を満たすなら、$d_{GH}(X,Y)\le\varepsilon/2$。とくに $X$ と $Y$ が等長なら $d_{GH}(X,Y)=0$。
</Proposition>

<Proof of="prop-gh-basic">
(1) 対称性は定義から明らかです。下からの評価：許容距離 $d$ で $d_H(X,Y)<r$ とすると、$x,x'\in X$ に対し $d(x,y)<r$、$d(x',y')<r$ となる $y,y'\in Y$ があり、$d_X(x,x')\le d_Y(y,y')+2r\le\operatorname{diam}Y+2r$。よって $\operatorname{diam}X\le\operatorname{diam}Y+2r$ で、対称に入れ替えて下限を取ります。上からの評価：$D=\max(\operatorname{diam}X,\operatorname{diam}Y)$、$D'>D/2$（$D'>0$）とし、$d(x,y)=D'$ と置きます。$d_X(x,x')\le D\le2D'=d(x,y)+d(y,x')$、$d(x,y)=D'\le d_X(x,x')+d(x',y)$ などから許容距離で、すべての $x,y$ が距離 $D'$ にあるので $d_H(X,Y)\le D'$。$D'\downarrow D/2$ とします（$D=0$ なら $D'\downarrow0$）。

(2) 許容距離 $d_1$（$X\sqcup Y$ 上）、$d_2$（$Y\sqcup W$ 上）で $d_{1,H}(X,Y)<r_1$、$d_{2,H}(Y,W)<r_2$ とします。$X\sqcup W$ 上で、$x\in X$、$w\in W$ に対し
$$
d(x,w)=\min_{y\in Y}\bigl(d_1(x,y)+d_2(y,w)\bigr)
$$
と置きます（$Y$ はコンパクトで右辺は $y$ の連続関数なので最小値があり、$d_1(x,y)>0$ なので正）。三角不等式：$d(x,w)\le d_X(x,x')+d(x',w)$ は $d_1$ の三角不等式から、$d_X(x,x')\le d(x,w)+d(w,x')$ は、最小を与える $y,y'$ について $d_1(x,y)+d_2(y,w)+d_2(w,y')+d_1(y',x')\ge d_1(x,y)+d_Y(y,y')+d_1(y',x')\ge d_X(x,x')$（$d_1,d_2$ はともに $Y$ 上で $d_Y$）から従い、$W$ 側も同様です。$x$ に対し $d_1(x,y)<r_1$ となる $y$、さらに $d_2(y,w)<r_2$ となる $w$ を取れば $d(x,w)<r_1+r_2$、逆向きも同様なので $d_H(X,W)\le r_1+r_2$ です。下限を取ります。

(3) $\varepsilon'>\varepsilon$ を取り、$x\in X$、$y\in Y$ に対し
$$
d(x,y)=\frac{\varepsilon'}2+\inf_{x'\in X}\bigl(d_X(x,x')+d_Y(fx',y)\bigr)
$$
と置きます。$d(x,y)\ge\varepsilon'/2>0$ です。三角不等式のうち非自明なものを確かめます。$x_1,x_2\in X$、$y\in Y$ について、下限を近似する $a,b\in X$ を取ると
$$
d(x_1,y)+d(y,x_2)\ge\varepsilon'+d_X(x_1,a)+d_X(x_2,b)+d_Y(fa,fb)-\eta\ge d_X(x_1,a)+d_X(a,b)+d_X(b,x_2)-\eta+(\varepsilon'-\varepsilon)
$$
（$d_Y(fa,fb)\ge d_X(a,b)-\varepsilon$、$\eta>0$ は近似の誤差）で、右辺は $\eta$ が小さければ $d_X(x_1,x_2)$ 以上です。$y_1,y_2\in Y$、$x\in X$ についても同様に $d(y_1,x)+d(x,y_2)\ge\varepsilon'+d_X(a,b)+d_Y(fa,y_1)+d_Y(fb,y_2)-\eta\ge d_Y(y_1,y_2)$（$d_X(a,b)\ge d_Y(fa,fb)-\varepsilon$）。$d(x,y)\le d_X(x,x_2)+d(x_2,y)$ と $d(x,y)\le d(x,y_2)+d_Y(y_2,y)$ は定義の下限と三角不等式から直ちに従います。$d(x,fx)=\varepsilon'/2$（$x'=x$）で $f$ は全射なので、$d_H(X,Y)\le\varepsilon'/2$。$\varepsilon'\downarrow\varepsilon$ とします。等長写像は $\varepsilon=0$ の場合です。
</Proof>

<Theorem id="thm-gh-metric" title="Gromov–Hausdorff 距離は等長類の上の距離">
コンパクト距離空間 $X,Y$ について $d_{GH}(X,Y)=0$ ならば、$X$ と $Y$ は等長である。したがって $d_{GH}$ はコンパクト距離空間の等長類の上の距離である。
</Theorem>

<Proof of="thm-gh-metric">
コンパクト距離空間は点列コンパクトかつ完備です（<Ref to="mathematics/real-analysis/metric-spaces#thm-compact-equivalence" />）。すなわち点列は収束部分列を持ち、Cauchy 列は収束します。また各 $m$ について半径 $1/m$ の開球の有限個で覆えるので、その中心を集めた可算集合 $S\subseteq X$ は稠密です。

*等長埋め込みの構成.* 各 $k$ について許容距離 $d_k$ で $d_{k,H}(X,Y)<1/k$ となるものを取り、$f_k(x)\in Y$ を $d_k(x,f_k(x))<1/k$ となるように選びます。三角不等式から $|d_Y(f_kx,f_kx')-d_X(x,x')|<2/k$ です。$S=\{s_1,s_2,\dots\}$ について、$f_k(s_1)$ が収束する部分列、その中で $f_k(s_2)$ が収束する部分列、…と取り、対角線の部分列 $k_l$ を取れば、すべての $s\in S$ で $f_{k_l}(s)$ は収束します。極限を $f(s)$ とすると $d_Y(fs,fs')=d_X(s,s')$ です。$x\in X$ に対し $s_n\to x$（$s_n\in S$）を取ると $(f(s_n))$ は Cauchy 列なので収束し、その極限は $s_n$ の取り方によりません（二つの列を交互に並べても Cauchy 列）。これを $f(x)$ とすれば、距離の連続性から $f:X\to Y$ は距離を保ちます。対称に、距離を保つ $g:Y\to X$ があります。

*全射性.* 距離を保つ写像 $h:Y\to Y$ は全射です。実際 $y\notin h(Y)$ なら、$h(Y)$ はコンパクトで閉なので $\varepsilon=d(y,h(Y))>0$ で、$y_n=h^n(y)$ は $m<n$ について $d(y_m,y_n)=d(y,h^{n-m}y)\ge\varepsilon$ を満たし、収束部分列を持たないので矛盾です。$h=f\circ g$ に適用すると $f$ は全射で、距離を保つ全射なので等長写像です。

後半は、<Ref to="prop-gh-basic" /> の対称性・三角不等式・等長なら $0$ と合わせて従います。
</Proof>

<Example id="ex-gh-collapse" title="崩壊するトーラス">
$(M,g_M)$、$(F,g_F)$ をコンパクト連結 Riemann 多様体とし、$M\times F$ に積計量を入れる。曲線 $c=(c_1,c_2)$ について $|\dot c|^2=|\dot c_1|^2+|\dot c_2|^2$ なので $L(c_1)\le L(c)$、また $M$ の曲線と $F$ の曲線をつないだ曲線の長さは和になるので、
$$
d_M(x,x')\le d_{M\times F}\bigl((x,u),(x',u')\bigr)\le d_M(x,x')+d_F(u,u')\le d_M(x,x')+\operatorname{diam}F.
$$
射影は全射なので、<Ref to="prop-gh-basic" /> の 3 から $d_{GH}(M\times F,M)\le\frac12\operatorname{diam}F$ である。$F$ の計量を $\varepsilon^2g_F$ に替えると長さも直径も $\varepsilon$ 倍になるので、$\varepsilon\to0$ で $M\times F_\varepsilon$ は $M$ に Gromov–Hausdorff 収束する。たとえば平坦トーラス $S^1\times S^1_\varepsilon$ は、次元が 2 なのに 1 次元の円周に収束する（**崩壊**）。この例は射影 $M\times F\to M$ が Riemann 沈め込み（<Ref to="ex-riemannian-submersions" />）であることの距離版である。
</Example>

<Remark id="rem-gromov-compactness">
Gromov–Hausdorff 距離の重要な応用は、Ricci 曲率が下に有界で直径が上に有界な $n$ 次元 Riemann 多様体の族が Gromov–Hausdorff 距離について相対コンパクトである、という Gromov のプレコンパクト性定理です。証明には Bishop–Gromov の体積比較定理が要り、本サイトではまだ扱っていません。Gromov–Hausdorff 距離の一般論は D. Burago, Yu. Burago, S. Ivanov, *A Course in Metric Geometry*, AMS GSM 33, 2001 の第 7 章にあります。
</Remark>

## 10. 演習

<Exercise id="exr-hyperbolic-geodesic" difficulty="標準">
双曲平面 $(\mathbb{H},(dx^2+dy^2)/y^2)$ で、虚軸 $\gamma(t)=(0,e^t)$ が単位速さの測地線であることを示し、$d\bigl((0,1),(0,y_1)\bigr)=|\log y_1|$ を示せ。（ヒント：$\{x=0\}$ の外を通る曲線の長さを下から評価する。）
<Solution>
Christoffel 記号は $\Gamma^x_{xy}=\Gamma^x_{yx}=-1/y$、$\Gamma^y_{xx}=1/y$、$\Gamma^y_{yy}=-1/y$（<Ref to="mathematics/differential-geometry/riemannian-metrics-connections#ex-christoffel-examples" />）。$x=0$、$y=e^t$ を測地線の方程式に代入すると、$x$ 成分は $0$、$y$ 成分は $\ddot y-\dot y^2/y=e^t-e^{2t}/e^t=0$ です。速さは $|\dot\gamma|^2=e^{2t}/e^{2t}=1$ です。

任意の曲線 $c(t)=(x(t),y(t))$、$c(0)=(0,1)$、$c(1)=(0,y_1)$ に対し
$$
L(c)=\int_0^1\frac{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}}{y}dt\ge\int_0^1\frac{|\dot y|}{y}dt\ge\Bigl|\int_0^1\frac{\dot y}{y}dt\Bigr|=|\log y_1|
$$
で、等号は虚軸に沿うときに成り立ちます。よって $d=|\log y_1|$ です。境界 $y\to0$ までの距離は無限大で、$\mathbb{H}$ が完備であることと整合します。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-flat-torus" difficulty="易">
平坦トーラス $T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ で、点 $p=[0,0]$ と $q=[1/2,1/2]$ を結ぶ最短測地線はいくつあるか。また $T^2$ には共役点が存在しないことを示せ。
<Solution>
$\mathbb{R}^2$ の直線が射影されたものが測地線です。$q$ の持ち上げ $(1/2+m,1/2+n)$ のうち原点に最も近いものは $(\pm1/2,\pm1/2)$ の 4 つで、長さ $1/\sqrt2$ の最短測地線が 4 本あります。$R=0$ なので Jacobi 方程式は $D_t^2J=0$、平行な枠で $J=(a+bt)$ 型（成分が 1 次関数）で、$J(0)=0$ かつ $J(t_0)=0$ なら $J\equiv0$ です。よって共役点はありません。最短測地線が一意でないことと共役点の存在は別の現象であることがわかります。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-rp-myers" difficulty="難">
$\operatorname{Ric}\ge(n-1)/r^2$ を満たす完備多様体 $M$ の基本群は有限であることを、<Ref to="thm-bonnet-myers" /> を普遍被覆に適用して示せ。
<Solution>
普遍被覆 $\pi\colon\tilde M\to M$ に引き戻し計量 $\pi^*g$ を入れると、$\pi$ は局所等長なので $\tilde M$ も同じ Ricci 曲率の下界を持ちます。完備性：$M$ の測地線は $\tilde M$ に持ち上がり、$\tilde M$ の測地線は $M$ の測地線の持ち上げなので、$M$ の測地的完備性から $\tilde M$ の測地線もすべて $\mathbb{R}$ 上に延びます（<Ref to="thm-hopf-rinow" /> 3）。<Ref to="thm-bonnet-myers" /> により $\tilde M$ はコンパクトです。被覆写像のファイバー $\pi^{-1}(x)$ は $\tilde M$ の離散閉集合なので有限で、被覆変換群はファイバーに単純推移的に作用し、基本群と同型です（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/fundamental-group-coverings#thm-deck-group" />）。よって基本群の位数はファイバーの点の個数に等しく、有限です。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- M. P. do Carmo, *Riemannian Geometry*, Birkhäuser, 1992 — Chapter 3（測地線、Gauss の補題）、Chapter 5（Jacobi 場）、Chapter 7（Hopf–Rinow）、Chapter 9（変分公式、Bonnet–Myers）。
- J. Milnor, *Morse Theory*, Princeton University Press, 1963 — Part II（第一・第二変分、共役点、Hopf–Rinow の証明）。
- J. M. Lee, *Introduction to Riemannian Manifolds*, 2nd ed., Springer (GTM 176), 2018 — Chapter 6, 10, 12。
- 酒井隆『リーマン幾何学』裳華房、1992 — 第 II–III 章。
- S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, *Riemannian Geometry*, 3rd ed., Springer (Universitext), 2004 — Chapter 2, 3。