# 曲率テンソル：Riemann・Ricci・スカラー曲率と Bianchi 恒等式 > 共変微分の非可換性として Riemann 曲率テンソルを定義し、その対称性・断面曲率による決定・Bianchi 恒等式を証明する。縮約 Bianchi 恒等式から Einstein テンソルの発散ゼロを導き、Cartan の構造方程式で球面と双曲平面の曲率を計算する。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/differential-geometry/curvature ## 0. この記事の要点 球面の上で矢印を持って小さな輪を一周歩くと、矢印は出発点で少し回って戻ってきます。平らな紙の上ではこのずれは起きません。この記事は、「曲がっている」ことをこのずれの大きさとして数で表す道具（曲率）を作り、その基本的な性質を証明します。読み終えると、球面や双曲平面の曲がり具合を計算でき、重力の理論で出てくる式がなぜ矛盾なく成り立つかの数学的な理由が分かります。 - **Riemann 曲率テンソル** $R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z$ は共変微分の非可換性を測るテンソル場です（）。$R\equiv0$ であることと、局所的に Euclid 空間と等長であることは同値です（）。 - $R(X,Y,Z,W)=\langle R(X,Y)Z,W\rangle$ は 4 つの対称性（反対称性 2 つ、第 1 Bianchi 恒等式、対の対称性）を持ちます（）。 - 2 次元平面ごとの**断面曲率** $K(\sigma)$ だけで $R$ は完全に決まります（）。**Ricci 曲率** $\operatorname{Ric}$ と**スカラー曲率** $s$ は $R$ のトレース（添字を 1 組選んで対角成分を足し合わせる操作）です。 - **第 2 Bianchi 恒等式**（）を縮約すると $\operatorname{div}\operatorname{Ric}=\tfrac12ds$ となり、**Einstein テンソル** $\operatorname{Ric}-\tfrac12sg$ の発散は $0$ です（）。これが Einstein 方程式とエネルギー運動量保存の整合性を保証します。 - 正規直交枠を使うと、接続は反対称行列値の [1 形式](/mathematics/manifolds/differential-forms#def-cotangent) $\omega$、曲率は 2 形式 $\Omega=d\omega+\omega\wedge\omega$ で表されます（**Cartan の構造方程式**、）。曲面 $dr^2+f(r)^2d\theta^2$ の [Gauss 曲率](/mathematics/differential-geometry/curves-and-surfaces#def-shape-operator)は $-f''/f$ です。 ## 1. 動機 [前章](/mathematics/differential-geometry/riemannian-metrics-connections) の では、球面の緯線を一周する平行移動が、囲む球帽の面積と同じ角度の回転になりました。小さな閉曲線を一周したときの平行移動のずれを、囲む面積で割って極限を取ったもの、それが曲率です。この量は座標微分の可換性 $\partial_i\partial_j=\partial_j\partial_i$ が共変微分では崩れることとして現れます。 下の動画で、緯線を一周するあいだにベクトル（赤）が緯線の向きに対して少しずつ回り、戻ったときに出発時のベクトル（灰）からずれる様子を見てください。
球面上の緯線に沿ってベクトルを平行移動すると、緯線の向きに対して一定の割合で回り続け、一周して戻ったときに出発時のベクトルから約 153 度ずれる。右のグラフは緯線の向きに対する角が経度に比例して減る様子
曲率はさまざまな場面で中心的な役割を担います。 - **一般相対論**：Einstein 方程式 $\operatorname{Ric}-\tfrac12sg=8\pi GT$ の左辺は曲率のトレースから作られます。右辺のエネルギー運動量テンソルは保存則 $\operatorname{div}T=0$ を満たさねばならないので、左辺も発散ゼロでなければなりません。これを保証するのが縮約 Bianchi 恒等式です。 - **ゲージ理論**：ゲージ場の強さ $F$ は[主束](/mathematics/differential-geometry/principal-bundles-connections#def-principal-bundle)の接続の曲率で、Bianchi 恒等式 $DF=0$ は Maxwell 方程式の半分（$dF=0$）の一般化です。U(1) 格子ゲージ理論で、立方体の表面をなす 6 枚のプラケット角の向き付きの和が（各リンクが逆向きに 2 回現れるので）恒等的に $0$ になることは、$dF=0$ の離散版です（[格子ゲージ場](/physics/lattice-field-theory/lattice-gauge-fields)）。 ## 2. 曲率テンソル 以下、$(M,g)$ を $n$ 次元 Riemann 多様体、$\nabla$ をその Levi-Civita 接続とします（）。 $X,Y,Z\in\mathfrak{X}(M)$ に対し $$ R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z $$ と定める。また $R(X,Y,Z,W)=\langle R(X,Y)Z,W\rangle$ と書く。座標では $R(\partial_i,\partial_j)\partial_k=\sum_lR_{ijk}{}^l\partial_l$ と成分を定める。 符号の規約は文献によって異なります。本記事の規約では、半径 $r$ の球面で $R(X,Y,Y,X)=r^{-2}(|X|^2|Y|^2-\langle X,Y\rangle^2)>0$ となります（）。 $R$ は $X,Y,Z$ のそれぞれについて $C^\infty(M)$ 線形であり、したがって $(1,3)$ 型テンソル場である。成分は $$ R_{ijk}{}^l=\partial_i\Gamma^l_{jk}-\partial_j\Gamma^l_{ik}+\sum_m\bigl(\Gamma^m_{jk}\Gamma^l_{im}-\Gamma^m_{ik}\Gamma^l_{jm}\bigr). $$ $X$ について：$\nabla_{fX}=f\nabla_X$ と $[fX,Y]=f[X,Y]-(Yf)X$（ (3)）から $$ R(fX,Y)Z=f\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y(f\nabla_XZ)-f\nabla_{[X,Y]}Z+(Yf)\nabla_XZ=fR(X,Y)Z. $$ ここで $\nabla_Y(f\nabla_XZ)=(Yf)\nabla_XZ+f\nabla_Y\nabla_XZ$ を使いました。$Y$ については $R(X,Y)=-R(Y,X)$ から従います。$Z$ について： $$ \begin{aligned} \nabla_X\nabla_Y(fZ)&=(XYf)Z+(Yf)\nabla_XZ+(Xf)\nabla_YZ+f\nabla_X\nabla_YZ, \end{aligned} $$ で、$X,Y$ を入れ替えて引き、$\nabla_{[X,Y]}(fZ)=([X,Y]f)Z+f\nabla_{[X,Y]}Z$ を引くと、$f$ の微分を含む項は $(XYf-YXf-[X,Y]f)Z=0$ と対称な 1 階の項に分かれて消えます。 によりテンソル場です。成分は $[\partial_i,\partial_j]=0$ から $R(\partial_i,\partial_j)\partial_k=\nabla_{\partial_i}(\sum_m\Gamma^m_{jk}\partial_m)-(i\leftrightarrow j)$ を展開すれば得られます。 テンソルであることから、$R(X,Y)Z$ の点 $p$ での値は $X_p,Y_p,Z_p$ だけで決まります。これは、$\nabla_X\nabla_YZ$ 自体は $Y,Z$ の 2 階微分を含むのに、交換子を取ると微分がすべて消えるという、ある種の奇跡です。 $M\subset\mathbb{R}^N$ を部分多様体とし、$\bar\nabla$ を平坦接続とする。$X,Y\in\mathfrak{X}(M)$ に対し $\bar\nabla_XY$ の法成分を $\mathrm{II}(X,Y)$（**第 2 基本形式**）と書くと、 により $\bar\nabla_XY=\nabla_XY+\mathrm{II}(X,Y)$。$\mathrm{II}$ は対称で（$\bar\nabla_XY-\bar\nabla_YX=[X,Y]$ が接ベクトル）、 $$ R(X,Y,Z,W)=\langle\mathrm{II}(Y,Z),\mathrm{II}(X,W)\rangle-\langle\mathrm{II}(X,Z),\mathrm{II}(Y,W)\rangle\quad\text{(Gauss 方程式)} $$ が成り立つ。実際、平坦接続の曲率は $0$ なので $\langle\bar\nabla_X\bar\nabla_YZ-\bar\nabla_Y\bar\nabla_XZ-\bar\nabla_{[X,Y]}Z,W\rangle=0$。法ベクトル場 $N$ と接ベクトル場 $W$ について $\langle\bar\nabla_XN,W\rangle=-\langle N,\bar\nabla_XW\rangle=-\langle N,\mathrm{II}(X,W)\rangle$ だから $\langle\bar\nabla_X\bar\nabla_YZ,W\rangle=\langle\nabla_X\nabla_YZ,W\rangle-\langle\mathrm{II}(Y,Z),\mathrm{II}(X,W)\rangle$ で、これを代入すれば Gauss 方程式を得る。 半径 $r$ の球面 $S^n(r)\subset\mathbb{R}^{n+1}$ では、外向き単位法線 $\nu=x/r$ について $\langle\bar\nabla_XY,\nu\rangle=-\langle Y,\bar\nabla_X\nu\rangle=-\langle Y,X\rangle/r$ なので $\mathrm{II}(X,Y)=-r^{-1}\langle X,Y\rangle\nu$。Gauss 方程式から $$ R(X,Y)Z=\frac1{r^2}\bigl(\langle Y,Z\rangle X-\langle X,Z\rangle Y\bigr). $$ 曲率が消えることの幾何学的な意味が次の定理です。証明の方針は、曲率が $0$ なら平行移動が経路によらないことを使って、各点で互いに平行な正規直交枠を作り、その双対形式が閉であることから Poincaré の補題で座標を取り出す、というものです。 $(M,g)$ について次は同値である。 1. $R\equiv0$。 2. 各点 $p$ に、ある開近傍 $U$ と、$\mathbb{R}^n$ の開集合への等長写像（$g=\sum_i(dx^i)^2$ となる座標）が存在する。 **2 ⇒ 1。** 座標で $g_{ij}=\delta_{ij}$ なら Christoffel 記号は $0$ で、 の成分表示から $R=0$ です。 **1 ⇒ 2。** 3 段階に分けます。 *(a) 平行な正規直交枠の構成。* $p$ を中心とする立方体チャート $C=(-\varepsilon,\varepsilon)^n$ を取ります。$v\in T_pM$ を、まず $x^1$ 軸に沿って平行移動し、次に $x^1$ 軸上の各点から $x^2$ 方向の直線に沿って平行移動し、…と、$k$ 段目では $\{x^{k+1}=\dots=x^n=0\}$ 上の各点から $x^k$ 方向に平行移動します。各段の方程式は $\partial_kV=-\Gamma_k(x)V$（$\Gamma_k$ は行列 $(\Gamma^l_{kj})_{l,j}$）という線形方程式なので、解は区間全体で存在し（）、初期値と残りの座標に滑らかに依存します（$(x,V)$ 空間のベクトル場 $\partial_k-\sum\Gamma_k(x)V\cdot\partial_V$ の流れとみて を適用）。こうして $C$ 上の滑らかなベクトル場 $V$ を得ます。 $k$ 段目の後、スライス $S_k=\{x^{k+1}=\dots=x^n=0\}$ 上で $i\le k$ に対し $\nabla_{\partial_i}V=0$ であることを $k$ についての帰納法で示します。$i=k$ は構成そのものです。$i）から $S_k$ 上で $\nabla_{\partial_i}V=0$ です。$k=n$ で $C$ 上 $\nabla V=0$ を得ます。 $T_pM$ の正規直交基底からこうして作った $E_1,\dots,E_n$ は平行で、平行移動は等長（）なので、各点で正規直交基底です。 *(b) 双対形式は閉。* 双対な 1 形式 $\theta^i$（$\theta^i(E_j)=\delta^i_j$）を取ります。捩れがないので $[E_i,E_j]=\nabla_{E_i}E_j-\nabla_{E_j}E_i=0$ で、外微分の公式（）から $$ d\theta^i(E_j,E_k)=E_j\bigl(\theta^i(E_k)\bigr)-E_k\bigl(\theta^i(E_j)\bigr)-\theta^i([E_j,E_k])=0. $$ *(c) 座標の構成。* 立方体は星形なので、Poincaré の補題（）により $\theta^i=dy^i$ となる関数 $y^i$ が存在します。$dy^1,\dots,dy^n$ は各点で一次独立なので、逆関数定理（）により $(y^i)$ は $p$ の近傍で座標で、$g=\sum_i(\theta^i)^2=\sum_i(dy^i)^2$ です。 たとえば円柱 $S^1\times\mathbb{R}$ や平坦トーラス $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ は $R=0$ で、局所的には平面と区別できません。一方、球面は $R\ne0$ なので、どんな小さな部分も歪めずに平面へ写せません（地図の歪みが避けられない理由です）。 ## 3. 曲率テンソルの対称性 任意の $X,Y,Z,W$ について次が成り立つ。 1. $R(X,Y,Z,W)=-R(Y,X,Z,W)$。 2. $R(X,Y,Z,W)=-R(X,Y,W,Z)$。 3. （第 1 Bianchi 恒等式）$R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0$。 4. $R(X,Y,Z,W)=R(Z,W,X,Y)$。 $R$ はテンソルなので、点ごとの主張は座標ベクトル場（互いの括弧が $0$）で示せば十分です。以下 $X,Y,Z,W$ は座標ベクトル場とし、$R(X,Y)=\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X$ です。 **1** は定義から明らかです。 **2。** 計量との両立から $Y\langle Z,Z\rangle=2\langle\nabla_YZ,Z\rangle$、さらに $X$ で微分すると $$ \tfrac12XY\langle Z,Z\rangle=\langle\nabla_X\nabla_YZ,Z\rangle+\langle\nabla_YZ,\nabla_XZ\rangle. $$ $X,Y$ を入れ替えて引くと、左辺は $\tfrac12[X,Y]\langle Z,Z\rangle=0$、右辺の第 2 項は対称なので消え、$\langle R(X,Y)Z,Z\rangle=0$ です。$Z$ を $Z+W$ に置き換えて展開すれば 2 を得ます。 **3。** 捩れがないので $\nabla_YZ=\nabla_ZY$ などが成り立ち、 $$ \begin{aligned} &R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y\\ &=\nabla_X(\nabla_YZ-\nabla_ZY)+\nabla_Y(\nabla_ZX-\nabla_XZ)+\nabla_Z(\nabla_XY-\nabla_YX)=0. \end{aligned} $$ **4。** 3 を $(X,Y,Z;W)$、$(Y,Z,W;X)$、$(Z,W,X;Y)$、$(W,X,Y;Z)$ の 4 通りに書いて $\langle\cdot,\text{最後の文字}\rangle$ を取り、すべて足します。1、2 を使うと 12 項のうち 8 項が対ごとに打ち消し合い、 $$ R(Z,X,Y,W)+R(W,Y,Z,X)+R(X,Z,W,Y)+R(Y,W,X,Z)=0 $$ が残ります。1、2 により第 3 項は第 1 項に、第 4 項は第 2 項に等しいので、$R(Z,X,Y,W)=-R(W,Y,Z,X)=R(Y,W,Z,X)$ です。文字を付け替えれば 4 になります。 対称性の数え上げから、$n$ 次元での曲率テンソルの独立成分の数は $n^2(n^2-1)/12$ です（1、2、4 から $\Lambda^2$ 上の対称形式で $N(N+1)/2$ 個、$N=n(n-1)/2$、そこから 3 が課す $\binom n4$ 個の条件を引く）。$n=2$ で $1$、$n=3$ で $6$、$n=4$ で $20$ です。2 次元では曲率はただ一つの関数（Gauss 曲率）で決まり、3 次元では Ricci 曲率（6 成分）で決まります。 ## 4. 断面曲率・Ricci 曲率・スカラー曲率 1. $\sigma\subset T_pM$ を 2 次元部分空間、$X,Y$ をその基底とする。$K(\sigma)=\dfrac{R(X,Y,Y,X)}{|X|^2|Y|^2-\langle X,Y\rangle^2}$ を $\sigma$ の**断面曲率**という（ 1、2 により基底の取り方によらない）。 2. **Ricci 曲率** $\operatorname{Ric}(Y,Z)=\operatorname{tr}\bigl(X\mapsto R(X,Y)Z\bigr)=\sum_iR(E_i,Y,Z,E_i)$（$E_i$ は正規直交基底）。 4 により対称な $(0,2)$ テンソル場である。 3. **スカラー曲率** $s=\operatorname{tr}_g\operatorname{Ric}=\sum_i\operatorname{Ric}(E_i,E_i)$。 基底の取り方によらないことを確かめておきます。$X'=aX+bY$、$Y'=cX+dY$ とすると、1、2 から $R(X',Y',Y',X')=(ad-bc)^2R(X,Y,Y,X)$ で、分母も Gram 行列式なので $(ad-bc)^2$ 倍になります。 単位ベクトル $v$ に対して $\operatorname{Ric}(v,v)=\sum_{i\ge2}K(v,E_i)$（$E_1=v$ と補った正規直交基底）なので、Ricci 曲率は「$v$ を含む平面の断面曲率の和」、スカラー曲率は「すべての座標平面の断面曲率の和の 2 倍」です。 $R,R'$ がともに の 1〜4 を満たす $T_pM$ 上の 4 重線形形式で、すべての $X,Y$ について $R(X,Y,Y,X)=R'(X,Y,Y,X)$ ならば $R=R'$ である。とくに、断面曲率がすべての平面で定数 $\kappa$ なら $$ R(X,Y)Z=\kappa\bigl(\langle Y,Z\rangle X-\langle X,Z\rangle Y\bigr). $$ $D=R-R'$ は 1〜4 を満たし、$D(X,Y,Y,X)=0$ です。$X$ を $X+Z$ に置き換えて展開すると $D(X,Y,Y,Z)+D(Z,Y,Y,X)=0$ で、4 から 2 項は等しいので $D(X,Y,Y,Z)=0$ がすべての $X,Y,Z$ について成り立ちます。次に $Y$ を $Y+W$ に置き換えて展開すると $D(X,Y,W,Z)+D(X,W,Y,Z)=0$、すなわち $$ D(X,Y,W,Z)=-D(X,W,Y,Z)=D(W,X,Y,Z) $$ です。これは最初の 3 つの引数の巡回置換で $D$ が不変であることを意味します。第 1 Bianchi 恒等式から $D(X,Y,W,Z)+D(Y,W,X,Z)+D(W,X,Y,Z)=0$ で、3 項はすべて等しいので $3D(X,Y,W,Z)=0$ です。 後半は、右辺 $R_0(X,Y)Z=\kappa(\langle Y,Z\rangle X-\langle X,Z\rangle Y)$ が 1〜4 を満たし（直接確かめられる）、$R_0(X,Y,Y,X)=\kappa(|X|^2|Y|^2-\langle X,Y\rangle^2)$ となることから、前半を適用すれば従います。 断面曲率が定数 $\kappa$ の空間では $\operatorname{Ric}=(n-1)\kappa g$、$s=n(n-1)\kappa$ です（ の式でトレースを取る）。 の球面 $S^n(r)$ は $\kappa=1/r^2$、平坦な $\mathbb{R}^n$ は $\kappa=0$、そして §6 で計算する双曲平面は $\kappa=-1$ です。 ## 5. 第 2 Bianchi 恒等式と Einstein テンソル 接続はテンソル場にも作用するので（ の前の段落）、曲率テンソル自身を共変微分できます。$(1,3)$ テンソル場としての $R$ の共変微分は $$ (\nabla_XR)(Y,Z)W=\nabla_X\bigl(R(Y,Z)W\bigr)-R(\nabla_XY,Z)W-R(Y,\nabla_XZ)W-R(Y,Z)\nabla_XW $$ です。 任意の $X,Y,Z$ について $$ (\nabla_XR)(Y,Z)+(\nabla_YR)(Z,X)+(\nabla_ZR)(X,Y)=0. $$ 左辺は $X,Y,Z$（と作用させる $W$）についてテンソルなので、互いに可換な座標ベクトル場で示せば十分です。このとき $R(Y,Z)=[\nabla_Y,\nabla_Z]$（作用素の交換子）で、上の定義式は $$ (\nabla_XR)(Y,Z)=\bigl[\nabla_X,[\nabla_Y,\nabla_Z]\bigr]-R(\nabla_XY,Z)-R(Y,\nabla_XZ) $$ と書けます（$\nabla_X(R(Y,Z)W)-R(Y,Z)\nabla_XW=[\nabla_X,R(Y,Z)]W$）。巡回和を取ると、交換子の部分は作用素の Jacobi 恒等式 $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$ により消えます。残りは $$ -\sum_{\text{巡回}}\bigl(R(\nabla_XY,Z)-R(\nabla_XZ,Y)\bigr) $$ で、6 項を並べ替えると $-R(\nabla_XY-\nabla_YX,Z)-R(\nabla_YZ-\nabla_ZY,X)-R(\nabla_ZX-\nabla_XZ,Y)$ になります。捩れがなく括弧が $0$ なので $\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]=0$ などで、これも $0$ です。 次の系の狙いは、第 2 Bianchi 恒等式の添字を 2 回縮約して、Ricci 曲率の発散とスカラー曲率の微分を結びつけることです。縮約とは、同じ添字を上下で揃えて和を取る操作で、テンソルの階数を 2 つ下げます。 縮約するために、正規直交枠 $E_1,\dots,E_n$ での成分 $R_{abcd}=R(E_a,E_b,E_c,E_d)$、$R_{abcd;e}=(\nabla_{E_e}R)(E_a,E_b,E_c,E_d)$ を使います。$\nabla g=0$ なので、共変微分は計量によるトレース（縮約）と可換です（トレースは $g^{-1}$ との縮約で、Leibniz 則により $\nabla$ は $g^{-1}$ を素通りする）。とくに $\operatorname{Ric}_{bc;e}=\sum_aR_{abca;e}$、$s_{;e}=\sum_b\operatorname{Ric}_{bb;e}=E_es$ です。発散を $(\operatorname{div}h)_c=\sum_ah_{ac;a}$ と書きます。 $\operatorname{div}\operatorname{Ric}=\tfrac12ds$。したがって **Einstein テンソル** $G=\operatorname{Ric}-\tfrac12sg$ は $\operatorname{div}G=0$ を満たす。 を $W=E_j$ に作用させ $E_i$ との内積を取ると $R_{klji;m}+R_{lmji;k}+R_{mkji;l}=0$ です。$k=i$ として $i$ について和を取ります。第 1 項は $\sum_iR_{ilji;m}=\operatorname{Ric}_{lj;m}$、第 3 項は 1 により $\sum_iR_{miji;l}=-\operatorname{Ric}_{mj;l}$ です。よって $$ \operatorname{Ric}_{lj;m}-\operatorname{Ric}_{mj;l}+\sum_iR_{lmji;i}=0. $$ さらに $l=j$ として $j$ について和を取ります。第 1 項は $s_{;m}$、第 2 項は $-(\operatorname{div}\operatorname{Ric})_m$ です（Ric は対称）。第 3 項は 4、2 により $\sum_jR_{jmji}=\sum_jR_{jijm}=-\sum_jR_{jimj}=-\operatorname{Ric}_{im}$ なので $-\sum_i\operatorname{Ric}_{im;i}=-(\operatorname{div}\operatorname{Ric})_m$ です。合わせて $s_{;m}=2(\operatorname{div}\operatorname{Ric})_m$ です。 後半は $\operatorname{div}(sg)=ds$（$\nabla g=0$ より $(sg)_{ac;a}=s_{;a}\delta_{ac}$）から $\operatorname{div}G=\tfrac12ds-\tfrac12ds=0$ です。 一般相対論の Einstein 方程式 $G=8\pi G_{\mathrm N}T$（$G$ は Einstein テンソル、$G_{\mathrm N}$ は Newton 定数）では、左辺が恒等的に発散ゼロなので、方程式が解を持つためには物質のエネルギー運動量テンソルが $\operatorname{div}T=0$ を満たす必要があります。つまり局所的なエネルギー運動量保存は、場の方程式の「積分可能条件」として自動的に組み込まれています。逆に、$\operatorname{Ric}=8\pi GT$ という一見自然な方程式は、$\operatorname{div}T=0$ と合わせると $ds=0$、さらにトレースから $s=8\pi G\operatorname{tr}T$ が一定であることを要求してしまい、物質分布に不自然な制約を課します。$-\tfrac12sg$ の項はこれを避けるために必要です。Einstein 方程式の物理的な導入とニュートン極限は [曲がった時空](/physics/relativity/curved-spacetime) で扱っています。 縮約 Bianchi 恒等式のもう一つの帰結が、次の剛性定理です。 $M$ は連結で $n\ge3$ とする。各点 $p$ で断面曲率が平面 $\sigma\subset T_pM$ によらず $K(p)$ であるならば、$K$ は $M$ 上の定数である。同様に、$n\ge3$ で $\operatorname{Ric}=fg$（$f$ は関数）ならば $f$ は定数である。 後半から示します。$\operatorname{Ric}=fg$ なら $s=nf$ です。$\operatorname{div}(fg)=df$ と から $df=\tfrac n2df$、すなわち $(1-\tfrac n2)df=0$ です。$n\ge3$ なら $df=0$ で、$M$ は連結なので $f$ は定数です。前半は、 から $\operatorname{Ric}=(n-1)Kg$ なので後半に帰着します。 $n=2$ では結論が成り立ちません。2 次元ではどの点でも平面は $T_pM$ そのもの一つだけなので仮定は空虚で、Gauss 曲率は一般に変化します（たとえば回転楕円面）。 ## 6. Cartan の構造方程式 座標の代わりに正規直交枠を使うと、計算が大幅に簡単になります。開集合 $U$ 上の正規直交枠 $E_1,\dots,E_n$ と双対な 1 形式 $\theta^1,\dots,\theta^n$ を取ります。 $\nabla_XE_j=\sum_i\omega^i{}_j(X)E_i$ で定まる 1 形式 $\omega^i{}_j$ を**接続形式**、$R(X,Y)E_j=\sum_i\Omega^i{}_j(X,Y)E_i$ で定まる 2 形式 $\Omega^i{}_j$ を**曲率形式**という。行列値の形式 $\omega=(\omega^i{}_j)$、$\Omega=(\Omega^i{}_j)$、ベクトル値の形式 $\theta=(\theta^i)$ にまとめて書く。 Levi-Civita 接続について、次が成り立つ。 1. $\omega^i{}_j=-\omega^j{}_i$（$\omega$ は $\mathfrak{so}(n)$ 値）。 2. （第 1 構造方程式）$d\theta^i=-\sum_j\omega^i{}_j\wedge\theta^j$。 3. （第 2 構造方程式）$\Omega^i{}_j=d\omega^i{}_j+\sum_k\omega^i{}_k\wedge\omega^k{}_j$。行列記法で $\Omega=d\omega+\omega\wedge\omega$。 さらに、1 と 2 を満たす行列値 1 形式 $\omega$ はただ一つである。 ウェッジ積と外微分の規約は [ベクトル場と微分形式](/mathematics/manifolds/differential-forms) に従い、2 形式では $(\alpha\wedge\beta)(X,Y)=\alpha(X)\beta(Y)-\alpha(Y)\beta(X)$、$d\alpha(X,Y)=X\alpha(Y)-Y\alpha(X)-\alpha([X,Y])$ です（）。 **1。** $\langle E_i,E_j\rangle=\delta_{ij}$ を $X$ で微分すると、計量との両立から $0=\langle\nabla_XE_i,E_j\rangle+\langle E_i,\nabla_XE_j\rangle=\omega^j{}_i(X)+\omega^i{}_j(X)$ です。 **2。** $Y=\sum_j\theta^j(Y)E_j$ を共変微分すると $\nabla_XY=\sum_jX(\theta^j(Y))E_j+\sum_{i,j}\theta^j(Y)\omega^i{}_j(X)E_i$、すなわち $\theta^i(\nabla_XY)=X\theta^i(Y)+\sum_j\omega^i{}_j(X)\theta^j(Y)$ です。捩れなしの条件 $[X,Y]=\nabla_XY-\nabla_YX$ に $\theta^i$ を作用させて $$ \theta^i([X,Y])=X\theta^i(Y)-Y\theta^i(X)+\sum_j\bigl(\omega^i{}_j(X)\theta^j(Y)-\omega^i{}_j(Y)\theta^j(X)\bigr), $$ すなわち $d\theta^i(X,Y)=-\sum_j(\omega^i{}_j\wedge\theta^j)(X,Y)$ です。 **3。** $\nabla_X\nabla_YE_j=\sum_kX(\omega^k{}_j(Y))E_k+\sum_{i,k}\omega^k{}_j(Y)\omega^i{}_k(X)E_i$ です。$X,Y$ を入れ替えて引き、$\nabla_{[X,Y]}E_j=\sum_i\omega^i{}_j([X,Y])E_i$ を引くと、$E_i$ の係数は $$ X\omega^i{}_j(Y)-Y\omega^i{}_j(X)-\omega^i{}_j([X,Y])+\sum_k\bigl(\omega^i{}_k(X)\omega^k{}_j(Y)-\omega^i{}_k(Y)\omega^k{}_j(X)\bigr)=\Bigl(d\omega^i{}_j+\sum_k\omega^i{}_k\wedge\omega^k{}_j\Bigr)(X,Y) $$ です。 **一意性。** $\omega,\omega'$ がともに 1、2 を満たすとし、$\eta=\omega-\omega'$、$\eta^i{}_j=\sum_k a^i{}_{jk}\theta^k$ と書きます。2 から $\sum_j\eta^i{}_j\wedge\theta^j=0$、すなわち $a^i{}_{jk}=a^i{}_{kj}$（$j,k$ について対称）、1 から $a^i{}_{jk}=-a^j{}_{ik}$（$i,j$ について反対称）です。対称と反対称を交互に使うと $$ a_{ijk}=a_{ikj}=-a_{kij}=-a_{kji}=a_{jki}=a_{jik}=-a_{ijk} $$ （添字の位置は計量 $\delta$ で上下させた）なので $a=0$ です。 なお、$\mathfrak{so}(n)$ は $n\times n$ の反対称行列全体のことで、1 は「接続形式を並べた行列が反対称である」という意味です。 一意性の主張が実用上重要です。$d\theta$ を計算し、2 を満たす反対称な $\omega$ を一つ見つけられれば、それが Levi-Civita 接続の接続形式です。Christoffel 記号を $n^3$ 個計算するより、ずっと手早く曲率に到達できます。 2 次元では $\omega=\begin{pmatrix}0&\omega^1{}_2\\-\omega^1{}_2&0\end{pmatrix}$ で、$\omega\wedge\omega$ の $(1,2)$ 成分は $\omega^1{}_1\wedge\omega^1{}_2+\omega^1{}_2\wedge\omega^2{}_2=0$ です。よって $\Omega^1{}_2=d\omega^1{}_2$ で、Gauss 曲率 $K=R(E_1,E_2,E_2,E_1)=\Omega^1{}_2(E_1,E_2)$ について $$ d\omega^1{}_2=K\,\theta^1\wedge\theta^2 $$ が成り立ちます。この式を領域上で積分し Stokes の定理を使うと、Gauss–Bonnet の定理（[曲線と曲面](/mathematics/differential-geometry/curves-and-surfaces)）の局所版になります。$\omega^1{}_2$ は $U(1)$ ゲージ場、$K\,\theta^1\wedge\theta^2$ はその場の強さの役を演じており、Chern–Weil 理論への入口になっています。 $g=dr^2+f(r)^2d\theta^2$（$f>0$）とする。$\theta^1=dr$、$\theta^2=f\,d\theta$ と置くと $d\theta^1=0$、$d\theta^2=f'\,dr\wedge d\theta$ である。$\omega^1{}_2=-f'\,d\theta$ と置けば、 $$ -\omega^1{}_2\wedge\theta^2=f'f\,d\theta\wedge d\theta=0=d\theta^1,\qquad-\omega^2{}_1\wedge\theta^1=\omega^1{}_2\wedge dr=f'\,dr\wedge d\theta=d\theta^2 $$ で、構造方程式 2 を満たす。一意性から、これが接続形式である。$d\omega^1{}_2=-f''\,dr\wedge d\theta=-(f''/f)\,\theta^1\wedge\theta^2$ なので $$ K=-\frac{f''(r)}{f(r)}. $$ $f=r$（平面の極座標）で $K=0$、$f=\sin r$（単位球面、$r$ は北極からの距離）で $K=1$、$f=\sinh r$ で $K=-1$（双曲平面の測地極座標）。 $\mathbb{H}$ の $g=(dx^2+dy^2)/y^2$ で $\theta^1=dx/y$、$\theta^2=dy/y$ とする。$d\theta^1=-y^{-2}dy\wedge dx=\theta^1\wedge\theta^2$、$d\theta^2=0$。$\omega^1{}_2=-\theta^1=-dx/y$ と置くと $-\omega^1{}_2\wedge\theta^2=\theta^1\wedge\theta^2=d\theta^1$、$\omega^1{}_2\wedge\theta^1=0=d\theta^2$ で構造方程式を満たす。$d\omega^1{}_2=y^{-2}dy\wedge dx=-\theta^1\wedge\theta^2$ なので $K=-1$ である。 ## 7. 演習 $M=S^2\times S^2$（各因子は単位球面、積計量）の点 $p$ で、断面曲率が取りうる値の範囲を求めよ。また Ricci 曲率とスカラー曲率を求めよ。 積計量では Levi-Civita 接続も成分ごとに分かれ（各因子の接続の直和が捩れなしで計量と両立するので、一意性から）、$R=R_1\oplus R_2$ です。$T_pM=V_1\oplus V_2$ の正規直交基底 $e_1,e_2\in V_1$、$e_3,e_4\in V_2$ で、平面 $\sigma$ を単位ベクトル $X=a_1+a_2$、$Y=b_1+b_2$（$a_i,b_i\in V_i$、$X\perp Y$）で張ると、$R(X,Y,Y,X)=R_1(a_1,b_1,b_1,a_1)+R_2(a_2,b_2,b_2,a_2)=|a_1\wedge b_1|^2+|a_2\wedge b_2|^2$ です。これは $0$（$\sigma=\mathrm{span}(e_1,e_3)$）から $1$（$\sigma=V_1$）までの値を取り、$|a_1\wedge b_1|^2+|a_2\wedge b_2|^2\le|a_1|^2|b_1|^2+|a_2|^2|b_2|^2\le(|a_1|^2+|a_2|^2)(|b_1|^2+|b_2|^2)=1$ なので範囲は $[0,1]$ です。Ricci 曲率は各因子の Ricci 曲率の和で $\operatorname{Ric}=g$、$s=4$ です。 $\dim M=2$ のとき、$R(X,Y)Z=K(\langle Y,Z\rangle X-\langle X,Z\rangle Y)$、$\operatorname{Ric}=Kg$、$s=2K$ を示せ（$K$ は Gauss 曲率）。また $G=\operatorname{Ric}-\tfrac12sg$ が恒等的に $0$ であることを確かめ、2 次元では Einstein 方程式が意味を持たないことを説明せよ。 各点で平面は $T_pM$ ただ一つなので、 を $\kappa=K(p)$ として各点で適用でき、最初の式を得ます。トレースを取ると $\operatorname{Ric}(Y,Z)=K(2\langle Y,Z\rangle-\langle Y,Z\rangle)=K\langle Y,Z\rangle$、$s=2K$ です。よって $G=Kg-Kg=0$ です。Einstein 方程式 $G=8\pi G_{\mathrm N}T$ は $T=0$ を強制し、計量に何の制約も課さないので、2 次元の重力は（この形では）力学を持ちません。 第 2 構造方程式 $\Omega=d\omega+\omega\wedge\omega$ を外微分して、$d\Omega=\Omega\wedge\omega-\omega\wedge\Omega$ を示せ（行列値形式の積は行列の積とウェッジ積を組み合わせたもの）。また第 1 構造方程式を外微分して $\Omega\wedge\theta=0$（成分で $\sum_j\Omega^i{}_j\wedge\theta^j=0$）を示し、これが第 1 Bianchi 恒等式であることを説明せよ。 $d(\omega\wedge\omega)=d\omega\wedge\omega-\omega\wedge d\omega$（1 形式なので符号 $-1$）なので $$ d\Omega=d\omega\wedge\omega-\omega\wedge d\omega=(\Omega-\omega\wedge\omega)\wedge\omega-\omega\wedge(\Omega-\omega\wedge\omega)=\Omega\wedge\omega-\omega\wedge\Omega $$ です（行列値形式の積は結合的なので $(\omega\wedge\omega)\wedge\omega=\omega\wedge(\omega\wedge\omega)$）。これが第 2 Bianchi 恒等式の形式版で、ゲージ理論の $D\Omega=0$ と同じ形です。 第 1 構造方程式 $d\theta=-\omega\wedge\theta$ を外微分すると、$0=-d\omega\wedge\theta+\omega\wedge d\theta=-d\omega\wedge\theta-\omega\wedge\omega\wedge\theta=-\Omega\wedge\theta$ です。成分で $\sum_j\Omega^i{}_j\wedge\theta^j$ を $(X,Y,Z)$ に代入すると、$\theta^j(Z)\Omega^i{}_j(X,Y)$ の巡回和、すなわち $\theta^i\bigl(R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y\bigr)$ になります。これが $0$ であることが第 1 Bianchi 恒等式です。 ## 参考文献 - M. P. do Carmo, *Riemannian Geometry*, Birkhäuser, 1992 — Chapter 4（曲率、断面曲率、Ricci 曲率）、Chapter 6（Gauss 方程式）。 - J. M. Lee, *Introduction to Riemannian Manifolds*, 2nd ed., Springer (GTM 176), 2018 — Chapter 7（曲率、平坦性の判定）、Chapter 8。 - S. Kobayashi, K. Nomizu, *Foundations of Differential Geometry*, Vol. I, Wiley, 1963 — Chapter III（構造方程式と Bianchi 恒等式）。 - C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler, *Gravitation*, W. H. Freeman, 1973 — Chapter 14–15（曲率形式の計算と Bianchi 恒等式）。 - 小林昭七『曲線と曲面の微分幾何（改訂版）』裳華房、1995 — 第 4 章（構造方程式による Gauss 曲率）。