# 誤差保証つきの求積と関数近似：Chebyshev 展開・Bernstein 楕円・区間 Taylor 法
> 解析関数の Chebyshev 係数が Bernstein 楕円の大きさで幾何級数的に減衰することを Laurent 展開から証明し、Gauss–Legendre 求積の誤差の上界を導く。さらに Taylor 係数の漸化式と区間演算で、積分を含む区間を四則だけから計算する。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/computer-assisted-proofs/rigorous-quadrature
## 0. この記事の要点
$e^{-x^2}$ の積分には初等関数で書ける原始関数がなく、値は数値計算で求めるしかありません。ふつうの数値計算は「だいたいこの値」を返すだけですが、定理の証明に使うには「真の値は必ずこの区間の中にある」と言い切れる必要があります。この記事は、積分の値を、誤差まで込みで確実に閉じ込める 2 つの方法を作ります。読み終えると、必要な点数の見積もりと、積分を含む区間の計算ができるようになります。
- $[-1,1]$ の近くで正則な関数は Chebyshev 多項式で展開でき、係数は $|a_k|\le2M_rr^{-k}$ と幾何級数的に減衰します。$r$ は関数が正則でいられる **Bernstein 楕円**の大きさ、$M_r$ はその楕円の上での $|f|$ の最大値です。
- 証明の鍵は Joukowski 変換 $x=\tfrac12(w+w^{-1})$ です。これで Chebyshev 展開は円環上の Laurent 展開になり、係数の評価は Cauchy の評価そのものになります。
- $n$ 点 Gauss–Legendre 求積は $2n-1$ 次まで厳密なので、誤差は $2n$ 次以上の Chebyshev 係数だけで決まり、$r^{-2n}$ の速さで小さくなります。上界は $M_r$ を区間演算で評価すれば計算できます。
- **区間 Taylor 法**は、Taylor 係数を漸化式で計算し、剰余項を区間全体で評価した係数で包みます。四則と単調性だけで $\int_0^1e^{-x^2}dx$ を幅 $10^{-14}$ 程度の区間に閉じ込められます。
## 1. 動機
積分の値が定理の一部になる場面は多くあります。固有値の評価で行列成分を積分で定めるとき、特殊関数の値で不等式を確かめるときなどです。数値積分の公式には誤差項がありますが、教科書にある $f^{(2n)}(\xi)$ の形の誤差項は、高階導関数の上界がわからないと使えません。
本章では、計算機で実際に評価できる上界を 2 通り作ります。1 つは関数を複素平面に延ばし、**楕円の上での $|f|$ の最大値**だけで誤差を抑える方法です（第 3・4 節）。高階導関数は要りません。もう 1 つは Taylor 係数を漸化式で計算し、その剰余を[前章](/mathematics/computer-assisted-proofs/floating-point-interval-arithmetic)の区間演算で包む方法です（第 5 節）。前者は**どれだけの点数で足りるか**の設計に、後者は**値を含む区間そのもの**の計算に向いています。
## 2. Chebyshev 多項式と Joukowski 変換
$T_0(x)=1$, $T_1(x)=x$, $T_{k+1}(x)=2xT_k(x)-T_{k-1}(x)$ で定まる多項式 $T_k$ を **Chebyshev 多項式**という。$J(w)=\tfrac12(w+w^{-1})$（$w\ne0$）を **Joukowski 変換**という。$r\gt1$ に対し、焦点 $\pm1$、長半径 $\tfrac12(r+r^{-1})$、短半径 $\tfrac12(r-r^{-1})$ の楕円 $\partial E_r$ と、その内部の開領域 $E_r$ を **Bernstein 楕円**という。
次の補題のねらいは、$w$ 平面の円を $J$ で写すと、$x$ 平面では $[-1,1]$ を焦点とする楕円や線分になる、と見ることです。半径 $r$ の円と半径 $r^{-1}$ の円は $J(w)=J(w^{-1})$ のため同じ楕円に重なり、単位円は $[-1,1]$ を往復します。この見方で Chebyshev 展開を円の上の展開として扱えるようになります。
$\rho\gt1$ とする。
1. すべての $k\ge0$ と $w\ne0$ について $T_k(J(w))=\tfrac12(w^k+w^{-k})$。とくに $T_k(\cos\theta)=\cos k\theta$ で、$[-1,1]$ 上 $|T_k|\le1$。
2. $1\lt r\lt\rho$ のとき、$J$ は円 $|w|=r$ と円 $|w|=r^{-1}$ をともに楕円 $\partial E_r$ の上へ写し、単位円を $[-1,1]$ の上へ写す。
3. $J$ は円環 $A_\rho=\{\rho^{-1}\lt|w|\lt\rho\}$ を $E_\rho$ の中へ写す。
1. $k=0,1$ では定義どおりです。$k$, $k-1$ で成り立てば
$$
2J(w)\,T_k(J(w))-T_{k-1}(J(w))=\tfrac12(w+w^{-1})(w^k+w^{-k})-\tfrac12(w^{k-1}+w^{1-k})=\tfrac12(w^{k+1}+w^{-k-1})
$$
です。$w=e^{i\theta}$ とおくと $J(w)=\cos\theta$ で、右辺は $\cos k\theta$ になります。
2. $w=se^{i\theta}$ とおくと $J(w)=\tfrac12(s+s^{-1})\cos\theta+\tfrac i2(s-s^{-1})\sin\theta$ です。$s=r$ なら長半径 $a_r=\tfrac12(r+r^{-1})$、短半径 $b_r=\tfrac12(r-r^{-1})$ の楕円を 1 周し、$a_r^2-b_r^2=1$ なので焦点は $\pm1$ です。$s=r^{-1}$ では $J(w)=J(w^{-1})$ から同じ楕円、$s=1$ では $[-1,1]$ です。
3. $a_r$, $b_r$ は $r\gt1$ で狭義増加です。$1\lt s\lt\rho$ のとき $J(w)=x+iy$ は $x^2/a_s^2+y^2/b_s^2=1$ を満たすので、$x^2/a_\rho^2+y^2/b_\rho^2\lt1$、すなわち $J(w)\in E_\rho$ です。$s=1$ なら $J(w)\in[-1,1]\subset E_\rho$、$s\lt1$ なら $J(w)=J(w^{-1})$ に帰着します。