## 2. 準備：記号とすでに証明した道具
**記号**：領域とは連結開集合のことです。$D(a,r) = \{z \in \mathbb{C} : |z-a| < r\}$、$D'(a,r) = \{z : 0 < |z-a| < r\}$（中心を抜いた円板、除外近傍）と書きます。曲線はすべて区分的に $C^1$ 級とし、$\int_\gamma f(z)\,dz = \int_\alpha^\beta f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt$ で定義します。円周 $|z-a| = r$ には断らない限り正の向き（反時計回り）を与え、閉曲線に沿う積分は $\oint$ と書きます。
**長さと最大値による評価（ML 不等式）**：曲線 $\gamma$ の長さを $L(\gamma)$ とすると
$$
\left|\int_\gamma f(z)\,dz\right| \le \int_\gamma |f(z)|\,|dz| \le L(\gamma)\cdot\max_{z \in \gamma}|f(z)|
$$
が成り立ちます（
）。この章の評価はほとんどすべてこの不等式に帰着します。
**ローラン展開**：[正則関数の強力な性質](/mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions) の
で示したとおり、$f$ が円環 $r < |z-a| < R$ で正則ならば、そこで
$$
f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n (z-a)^n,
\qquad
c_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta-a|=\rho}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\,d\zeta
\quad (r < \rho < R)
$$
と一意的に展開でき、この級数は円環の任意のコンパクト部分集合上で一様収束します。係数 $c_n$ は $\rho$ の取り方によりません。
**多重連結領域に対するコーシーの積分定理**：$C$ を正の向きの単純閉曲線、$\gamma_1,\dots,\gamma_n$ を $C$ の内部にあり互いに他の外部にある正の向きの単純閉曲線とします。$f$ が「$C$ の内側かつすべての $\gamma_j$ の外側」という閉領域を含むある開集合で正則ならば
$$
\oint_C f(z)\,dz = \sum_{j=1}^{n}\oint_{\gamma_j} f(z)\,dz
$$
が成り立ちます。証明は前章の
と同じ要領で、$C$ と各 $\gamma_j$ を細い「橋」（切断線）でつないで単連結な部分に分け、各橋を往復する積分が符号違いで相殺することを使います。留数定理はこの定理の言い換えにすぎません。
## 3. 孤立特異点の分類
$a \in \mathbb{C}$ とする。ある $R > 0$ が存在して $f$ が除外近傍 $D'(a,R) = \{z : 0 < |z-a| < R\}$ で正則であるとき、$a$ を $f$ の**孤立特異点**と呼ぶ。$f$ は $a$ 自身では定義されていなくてもよいし、定義されていても正則でなくてよい。
孤立特異点のまわりでは $f$ は円環 $0 < |z-a| < R$ で正則ですから、§2 のローラン展開が使えます。展開の負べきの部分が特異点の「悪さ」を測る量です。
$a$ を $f$ の孤立特異点とし、$D'(a,R)$ でのローラン展開を $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n$ とする。負べきの部分
$$
P_a(z) = \sum_{n \le -1} c_n (z-a)^n
$$
を $a$ における $f$ の**主要部**と呼ぶ。主要部の形により、$a$ を次のように分類する。
- $c_n = 0$（すべての $n \le -1$）、すなわち主要部が $0$ のとき、$a$ を**除去可能特異点**という。
- ある正の整数 $m$ について $c_{-m} \ne 0$ かつ $c_n = 0$（すべての $n < -m$）のとき、$a$ を **$m$ 位の極**という。$m = 1$ のときは**単純極**ともいう。
- $c_n \ne 0$ となる $n \le -1$ が無限個あるとき、$a$ を**真性特異点**という。
ローラン展開は一意なので、この分類は展開の取り方によらず定まる。
B["主要部（負べきの項の全体）を見る"]
B --> C["負べきの項が無い"]
B --> D["負べきが有限個で、最低次が -m"]
B --> E["負べきが無限個ある"]
C --> C2["除去可能特異点：a まで正則に延長できる。近くでの有界性で判定できる"]
D --> D2["m 位の極：z が a に近づくと絶対値が無限大に発散する"]
E --> E2["真性特異点：どんな近傍の像も複素平面で稠密になる"]`} />
分類の定義はローラン係数を全部調べよと言っているように見えますが、実際にはもっと安上がりな判定法があります。まず除去可能特異点です。
$a$ を $f$ の孤立特異点とし、$f$ は $D'(a,R)$ で正則とする。次の 4 条件は同値である。
- **(i)** $a$ は $f$ の除去可能特異点である。
- **(ii)** $f(a)$ の値を適当に定めると、$f$ は $D(a,R)$ 全体で正則になる。
- **(iii)** ある $0 < r \le R$ と $M > 0$ があって、$0 < |z-a| < r$ で $|f(z)| \le M$ が成り立つ。
- **(iv)** $\lim_{z \to a}(z-a)f(z) = 0$。
**(i) $\Rightarrow$ (ii)**：主要部が $0$ なので $D'(a,R)$ で $f(z) = \sum_{n \ge 0}c_n(z-a)^n$ です。右辺のべき級数は $D'(a,R)$ で収束するので収束半径は $R$ 以上であり、$D(a,R)$ 全体で正則関数を定めます。$f(a) := c_0$ と定めれば、$f$ はこのべき級数と $D(a,R)$ 全体で一致し、正則になります。
**(ii) $\Rightarrow$ (iii)**：正則関数は連続なので、$r = R/2$ とすればコンパクト集合 $\overline{D(a,r)}$ 上で $|f|$ は最大値 $M$ を取ります。
**(iii) $\Rightarrow$ (iv)**：$|(z-a)f(z)| \le M|z-a| \to 0$（$z \to a$）です。
**(iv) $\Rightarrow$ (i)**：$0 < \rho < R$ に対し $\eta(\rho) := \max_{|z-a| = \rho}|(z-a)f(z)|$ とおくと、仮定より $\eta(\rho) \to 0$（$\rho \to 0$）です。§2 のローラン係数の式と ML 不等式から、$n \le -1$ に対して
$$
|c_n| \le \frac{1}{2\pi}\cdot 2\pi\rho \cdot \frac{\max_{|z-a|=\rho}|f(z)|}{\rho^{\,n+1}}
= \rho^{-n}\max_{|z-a|=\rho}|f(z)|
= \rho^{-n-1}\,\eta(\rho)
$$
が成り立ちます。ここで $n \le -1$ より $-n-1 \ge 0$ なので、$\rho < 1$ のとき $\rho^{-n-1} \le 1$ です。よって $|c_n| \le \eta(\rho) \to 0$ となり、$c_n$ は $\rho$ によらない定数ですから $c_n = 0$ です。これがすべての $n \le -1$ で成り立つので主要部は $0$ です。
条件 (iii) が重要です。「近くで有界」という、ローラン係数を一つも計算しなくてよい条件だけで、特異点が消せると分かります。次は極です。
$a$ を $f$ の孤立特異点、$m$ を正の整数とする。
**(1)** 次の 3 条件は同値である。
- **(i)** $a$ は $f$ の $m$ 位の極である。
- **(ii)** 極限 $\lim_{z \to a}(z-a)^m f(z)$ が存在し、その値は $0$ でない。
- **(iii)** ある $r > 0$ と $D(a,r)$ で正則な関数 $g$ で $g(a) \ne 0$ を満たすものがあり、$0 < |z-a| < r$ で $f(z) = \dfrac{g(z)}{(z-a)^m}$ と書ける。
**(2)** $a$ が（何らかの位数の）極であるための必要十分条件は $\lim_{z \to a}|f(z)| = \infty$ である。
**(1) (i) $\Rightarrow$ (iii)**：$m$ 位の極なら $D'(a,R)$ で $f(z) = \sum_{n \ge -m}c_n(z-a)^n$ かつ $c_{-m} \ne 0$ です。両辺に $(z-a)^m$ を掛けると
$$
(z-a)^m f(z) = \sum_{n \ge -m} c_n (z-a)^{n+m} = \sum_{k \ge 0} c_{k-m}(z-a)^k
$$
となり、右辺は $D'(a,R)$ で収束するべき級数ですから収束半径は $R$ 以上で、$D(a,R)$ で正則関数 $g$ を定めます。$g(a) = c_{-m} \ne 0$ であり、$0 < |z-a| < R$ で $f(z) = g(z)/(z-a)^m$ です。
**(iii) $\Rightarrow$ (ii)**：$(z-a)^m f(z) = g(z) \to g(a) \ne 0$（$z \to a$、$g$ の連続性）です。
**(ii) $\Rightarrow$ (i)**：$h(z) := (z-a)^m f(z)$ とおくと、$h$ は $D'(a,R)$ で正則で $z \to a$ のとき有限の極限 $L \ne 0$ を持つので、$a$ の近くで有界です。
残るのが真性特異点です。
と
により、$a$ が真性特異点であることは「$z \to a$ で $f(z)$ が有限の極限も持たず、$|f(z)| \to \infty$ でもない」ことと同値です。極限が存在しないだけでなく、値の散らばり方は極端です。
$a$ を $f$ の真性特異点とし、$f$ は $D'(a,R)$ で正則とする。このとき任意の $0 < r \le R$ に対して像 $f(D'(a,r))$ は $\mathbb{C}$ で稠密である。すなわち、任意の $w \in \mathbb{C}$ と任意の $\varepsilon > 0$ に対し、$0 < |z-a| < r$ かつ $|f(z) - w| < \varepsilon$ を満たす $z$ が存在する。
稠密でないと仮定します。すると、ある $w \in \mathbb{C}$ と $\delta > 0$ があって、$0 < |z-a| < r$ のすべての $z$ で $|f(z) - w| \ge \delta$ となります。そこで
$$
g(z) := \frac{1}{f(z) - w} \qquad (0 < |z-a| < r)
$$
とおくと、分母は $0$ にならないので $g$ は $D'(a,r)$ で正則で、$|g| \le 1/\delta$ と有界です。
## 4. 留数とその計算法
$a$ を $f$ の孤立特異点とし、$D'(a,R)$ でのローラン展開を $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n$ とする。係数 $c_{-1}$ を $f$ の $a$ における**留数**と呼び、
$$
\operatorname{Res}(f, a) := c_{-1}
$$
と書く。ローラン係数の積分表示（§2）で $n = -1$ とすれば、$0 < \rho < R$ に対して
$$
\operatorname{Res}(f,a) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-a| = \rho} f(z)\,dz
$$
でもある。
定義そのものは「ローラン展開せよ」と言っていますが、極の場合には展開せずに留数を取り出す公式があります。実用上はこの公式だけで九割方の計算が片付きます。
$a$ を $f$ の孤立特異点とする。
**(1)** $a$ が $f$ の高々 $m$ 位の極である（すなわちローラン展開で $n < -m$ の係数がすべて $0$ である）とき、$\varphi(z) := (z-a)^m f(z)$ は $a$ で正則に延長され、
$$
\operatorname{Res}(f,a) = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z \to a}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\Bigl[(z-a)^m f(z)\Bigr].
$$
**(2)** 特に $a$ が単純極（$m=1$）のとき $\operatorname{Res}(f,a) = \lim_{z \to a}(z-a)f(z)$。
**(3)** $f = g/h$ とし、$g,h$ は $a$ の近傍で正則、$g(a) \ne 0$、$h(a) = 0$、$h'(a) \ne 0$ とする。このとき $a$ は $f$ の単純極で
$$
\operatorname{Res}(f,a) = \frac{g(a)}{h'(a)}.
$$
**(1)**：仮定より $D'(a,R)$ で $f(z) = \sum_{n \ge -m}c_n(z-a)^n$ なので、
$$
\varphi(z) = (z-a)^m f(z) = \sum_{k \ge 0}c_{k-m}(z-a)^k
$$
であり、右辺は $D'(a,R)$ で収束するべき級数、したがって収束半径は $R$ 以上で $D(a,R)$ で正則関数を定めます（
## 5. 留数定理
$D \subset \mathbb{C}$ を単連結領域とする。$C$ を $D$ に含まれる区分的に $C^1$ 級の単純閉曲線とし、正の向き（内部を左に見る向き）を与える。$C$ の内部（ジョルダンの曲線定理でいう有界成分）を $\operatorname{int}C$ と書く。相異なる有限個の点 $a_1,\dots,a_n \in \operatorname{int}C$ を取り、$f$ は $D \setminus \{a_1,\dots,a_n\}$ で正則とする。このとき
$$
\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{j=1}^{n}\operatorname{Res}(f,a_j).
$$
$D$ は単連結なので $\operatorname{int}C \subset D$ です（単連結領域内の閉曲線の内部は領域に含まれます）。したがって各 $a_j$ は $f$ の孤立特異点で、留数が定義されています。
**小円を取る**。$\varepsilon > 0$ を
$$
\varepsilon < \tfrac{1}{2}\min_{j \ne k}|a_j - a_k|,
\qquad
\varepsilon < \min_{j}\operatorname{dist}(a_j, \partial(\operatorname{int}C))
$$
を満たすように取ります（$a_j$ は有限個で、$\operatorname{int}C$ は開集合なので、このような $\varepsilon$ が存在します）。$\gamma_j$ を正の向きの円周 $|z - a_j| = \varepsilon$ とすると、閉円板 $\overline{D(a_j,\varepsilon)}$ は互いに交わらず、すべて $\operatorname{int}C$ に含まれます。
**積分路を分解する**。$f$ は「$C$ の内側かつすべての $\gamma_j$ の外側」の閉領域を含む開集合 $D \setminus \{a_1,\dots,a_n\}$ で正則です。§2 の多重連結領域に対するコーシーの積分定理より
$$
\oint_C f(z)\,dz = \sum_{j=1}^{n}\oint_{\gamma_j}f(z)\,dz .
$$
**小円上で項別積分する**。$j$ を固定します。$f$ は $D'(a_j, R_j)$ でローラン展開 $f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c^{(j)}_k(z-a_j)^k$ を持ちます。必要なら $\varepsilon$ をさらに小さくして $\varepsilon < R_j$ としておきます。円周 $\gamma_j$ は円環 $D'(a_j,R_j)$ のコンパクト部分集合なので、この級数は $\gamma_j$ 上で一様収束します。一様収束する連続関数列は長さ有限の曲線上で項別積分できる（
ここから先は応用です。実積分を計算するときの手順はいつも同じで、次の三つに分かれます。
| 実積分の型 | 使う輪郭 | 余分な部分を消す道具 |
|---|---|---|
| $\int_{-\infty}^{\infty}P(x)/Q(x)\,dx$（$\deg Q \ge \deg P + 2$） | 上半平面の半円 |
(i) |
| $\int_0^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)\,d\theta$ | 単位円 $\lvert z\rvert = 1$ | 不要（輪郭が最初から閉じている） |
| $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{i\lambda x}dx$（$\lambda > 0$） | 上半平面の半円 |
(ii)（ジョルダンの補題） |
| 実軸上に単純極があるとき | 極を小円でくぼませた輪郭 |
と主値 |
| $\int_0^{\infty}x^{a-1}g(x)\,dx$（$a$ は非整数） | 鍵穴（Appendix） | 分枝の指定と大小円の評価 |
## 6. 有理関数の広義積分
輪郭を閉じるために付け足した半円弧の寄与は、半径を大きくすると消えてほしいわけです。それを保証するのが次の補題です。(i) と (ii) の仮定の違いに注意してください。(ii) のほうが $f$ に対する要求がゆるく、そのぶん $e^{i\lambda z}$ という因子が必要です。
$R_0 > 0$ とし、$\Gamma_R$ を上半平面の半円弧 $z = Re^{i\theta}$（$0 \le \theta \le \pi$）とする。$f$ は $\{z : |z| \ge R_0,\ \operatorname{Im}z \ge 0\}$ で連続とし、$M(R) := \max_{0 \le \theta \le \pi}|f(Re^{i\theta})|$ とおく。
**(i)** $\lim_{R\to\infty} R\,M(R) = 0$ ならば $\displaystyle\lim_{R\to\infty}\int_{\Gamma_R}f(z)\,dz = 0$。
**(ii)（ジョルダンの補題）** $\lambda > 0$ とする。$R > R_0$ のとき
$$
\left|\int_{\Gamma_R}f(z)e^{i\lambda z}\,dz\right| \le \frac{\pi}{\lambda}M(R)
$$
が成り立つ。特に $\lim_{R\to\infty}M(R) = 0$ ならば $\displaystyle\lim_{R\to\infty}\int_{\Gamma_R}f(z)e^{i\lambda z}dz = 0$。
**(i)**：$\Gamma_R$ の長さは $\pi R$ なので、§2 の ML 不等式より
$$
\left|\int_{\Gamma_R}f(z)\,dz\right| \le \pi R \cdot M(R) \longrightarrow 0 .
$$
**(ii)**：$z = Re^{i\theta} = R\cos\theta + iR\sin\theta$ に対し
$$
|e^{i\lambda z}| = |e^{i\lambda R\cos\theta}|\cdot|e^{-\lambda R\sin\theta}| = e^{-\lambda R\sin\theta}
$$
です（第一の因子は絶対値 $1$）。$|dz| = R\,d\theta$ に注意して
$$
\left|\int_{\Gamma_R}f(z)e^{i\lambda z}dz\right|
\le \int_0^{\pi}M(R)\,e^{-\lambda R \sin\theta}\,R\,d\theta
= 2RM(R)\int_0^{\pi/2}e^{-\lambda R\sin\theta}\,d\theta
$$
となります（$\sin(\pi-\theta) = \sin\theta$ による対称性で $[0,\pi/2]$ の積分の 2 倍にしました）。
ここでジョルダンの不等式 $\sin\theta \ge \dfrac{2\theta}{\pi}$（$0 \le \theta \le \pi/2$）を使います。証明しておきます。$\psi(\theta) = \sin\theta/\theta$（$\theta > 0$）とおくと $\psi'(\theta) = \dfrac{\theta\cos\theta - \sin\theta}{\theta^2}$ です。分子を $u(\theta) = \theta\cos\theta - \sin\theta$ とすると $u(0) = 0$、$u'(\theta) = \cos\theta - \theta\sin\theta - \cos\theta = -\theta\sin\theta < 0$（$0 < \theta \le \pi/2$）なので $u < 0$、したがって $\psi$ は $(0,\pi/2]$ で狭義単調減少です。よって $\psi(\theta) \ge \psi(\pi/2) = \dfrac{1}{\pi/2} = \dfrac{2}{\pi}$、すなわち $\sin\theta \ge 2\theta/\pi$ です。
これを使うと $e^{-\lambda R\sin\theta} \le e^{-2\lambda R\theta/\pi}$ なので
$$
\int_0^{\pi/2}e^{-\lambda R\sin\theta}d\theta
\le \int_0^{\pi/2}e^{-2\lambda R\theta/\pi}d\theta
= \frac{\pi}{2\lambda R}\left(1 - e^{-\lambda R}\right)
\le \frac{\pi}{2\lambda R}
$$
となり、これを代入して $2RM(R)\cdot\dfrac{\pi}{2\lambda R} = \dfrac{\pi}{\lambda}M(R)$ を得ます。
$P, Q$ を複素係数の多項式とし、次を仮定する。
- $\deg Q \ge \deg P + 2$。
- $Q$ は実軸上に零点を持たない。
このとき $f = P/Q$ に対し $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx$ は絶対収束し、
$$
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}\,dx = 2\pi i \sum_{\operatorname{Im}a > 0}\operatorname{Res}(f, a)
$$
が成り立つ。和は上半平面にある $Q$ のすべての零点 $a$ にわたる。
$p = \deg P$、$q = \deg Q$、最高次係数を $\alpha, \beta$ とします。$|z|\to\infty$ のとき $z^{\,q-p}P(z)/Q(z) \to \alpha/\beta$ なので、ある $R_1 \ge 1$ と $K > 0$ があって
$$
|z| \ge R_1 \implies |f(z)| \le K|z|^{\,p-q} \le K|z|^{-2}
$$
です（最後の不等号に $q - p \ge 2$ と $|z| \ge R_1 \ge 1$ を使いました）。したがって $\int_{|x| \ge R_1}|f(x)|dx \le 2\int_{R_1}^{\infty}Kx^{-2}dx < \infty$ であり、$[-R_1,R_1]$ 上では $f$ が連続（$Q$ は実軸上で $0$ にならない）なので、広義積分は絶対収束します。また $R \ge R_1$ に対し $R\,M(R) \le K/R \to 0$ なので
## 7. 三角関数の周期積分：単位円を回る
$\theta$ について周期 $2\pi$ の三角有理式の積分 $\int_0^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)\,d\theta$ は、実積分が最初から閉じた区間を一周しているので、輪郭を付け足す必要すらありません。$z = e^{i\theta}$ と置けば、これはそのまま単位円周に沿う複素積分になります。オイラーの公式から
$$
\cos\theta = \frac{z + z^{-1}}{2},\qquad
\sin\theta = \frac{z - z^{-1}}{2i},\qquad
d\theta = \frac{dz}{iz}
$$
です。最後の関係は、単位円周を $\gamma(\theta) = e^{i\theta}$（$0 \le \theta \le 2\pi$）で径数付けると $\gamma'(\theta) = ie^{i\theta} = iz$ なので、任意の連続関数 $F$ に対し
$$
\oint_{|z|=1}\frac{F(z)}{iz}\,dz = \int_0^{2\pi}\frac{F(e^{i\theta})}{ie^{i\theta}}\,ie^{i\theta}\,d\theta = \int_0^{2\pi}F(e^{i\theta})\,d\theta
$$
が成り立つ、という意味です。
$a, b$ を実数とし $a > |b| \ge 0$ とする。このとき $a + b\cos\theta \ge a - |b| > 0$ で被積分関数は連続であり、
$$
\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a + b\cos\theta} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}} .
$$
$b = 0$ のときは左辺 $= 2\pi/a$、右辺 $= 2\pi/\sqrt{a^2} = 2\pi/a$（$a > 0$）で成立します。$b < 0$ のときは $\theta \mapsto \theta + \pi$ と置換すると $\cos(\theta+\pi) = -\cos\theta$ で、被積分関数は周期 $2\pi$ なので積分区間は $[0,2\pi]$ のままでよく、$b$ を $-b$ に取り替えた式に帰着します。右辺は $b$ の符号によらないので、以下 $b > 0$ とします。
$z = e^{i\theta}$ と置く上の対応により
$$
I = \oint_{|z|=1}\frac{1}{a + \frac{b}{2}\left(z + \frac1z\right)}\cdot\frac{dz}{iz}
= \oint_{|z|=1}\frac{2\,dz}{i\left(bz^2 + 2az + b\right)} .
$$
分母の 2 次式 $bz^2+2az+b$ の零点は
$$
z_{\pm} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2-b^2}}{b}
$$
で、$a > b > 0$ より $a^2 - b^2 > 0$ なのでどちらも実数、かつ相異なります。解と係数の関係から $z_+z_- = b/b = 1$ です。
$|z_+| < 1$ を確かめます。$z_+ = \dfrac{-a+\sqrt{a^2-b^2}}{b}$ は $\sqrt{a^2-b^2} < a$ より負で、$|z_+| = \dfrac{a - \sqrt{a^2-b^2}}{b}$ です。$|z_+| < 1 \iff a - b < \sqrt{a^2-b^2}$ であり、両辺とも正（$a>b$）なので 2 乗して $\ (a-b)^2 < (a-b)(a+b) \iff a-b < a+b \iff b > 0$。これは仮定です。よって $|z_+|<1$、そして $|z_-| = 1/|z_+| > 1$ です。特に単位円周上に零点はありません。
したがって単位円の内部にある特異点は単純極 $z_+$ だけです。$g(z) = \dfrac{2}{i(bz^2+2az+b)}$ とすると、
たとえば $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{5+4\cos\theta} = \frac{2\pi}{\sqrt{25-16}} = \frac{2\pi}{3}$ です。次は分子に $\cos 2\theta$ が入る場合で、$0$ に多重極が現れます。
$\displaystyle I = \int_0^{2\pi}\frac{\cos2\theta}{5-4\cos\theta}\,d\theta$ を計算します。$5 - 4\cos\theta \ge 1 > 0$ なので被積分関数は連続です。$z = e^{i\theta}$ とすると $\cos2\theta = \frac{z^2+z^{-2}}{2}$、$5-4\cos\theta = 5 - 2(z+z^{-1}) = \dfrac{-2z^2+5z-2}{z}$ なので
$$
I = \oint_{|z|=1}\frac{(z^2+z^{-2})/2}{(-2z^2+5z-2)/z}\cdot\frac{dz}{iz}
= \oint_{|z|=1}\frac{z^4+1}{2z^2\,i\,(-2z^2+5z-2)}\,dz
= \frac{i}{2}\oint_{|z|=1}\frac{z^4+1}{z^2(2z-1)(z-2)}\,dz
$$
です（$-2z^2+5z-2 = -(2z-1)(z-2)$ と $\frac{1}{-2i} = \frac{i}{2}$ を使いました）。被積分関数を $g$ とすると、単位円の内部の特異点は $z=0$（$2$ 位の極）と $z=1/2$（単純極）で、$z=2$ は外部です。
$z = 1/2$：
## 8. 指数因子と実軸上の極
### 8.1. フーリエ型の積分
$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cos\lambda x\,dx$ のような積分では、$\cos\lambda z$ をそのまま複素平面に延長してはいけません。上半平面では $\cos(iy) = \cosh y$ が $y \to \infty$ で指数的に発散するからです。代わりに $e^{i\lambda z}$ を使います。これは上半平面で $|e^{i\lambda z}| = e^{-\lambda\operatorname{Im}z} \le 1$（$\lambda>0$）と抑えられ、しかも実軸上では $\cos\lambda x + i\sin\lambda x$ なので、最後に実部と虚部を取れば目的の積分が得られます。
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x^2+1}\,dx$ を求めます。$f(z) = \dfrac{1}{z^2+1}$、$\lambda = 1$ として $F(z) = f(z)e^{iz}$ を
### 8.2. 実軸上の単純極と主値
被積分関数が実軸上に極を持つと、広義積分は普通の意味では発散します。それでも「対称に切り取れば」極限が存在することがあります。
$c \in \mathbb{R}$ とし、$f$ は $\mathbb{R}\setminus\{c\}$ で連続とする。極限
$$
\mathrm{p.v.}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx
:= \lim_{\substack{R \to \infty \\ \varepsilon \to +0}}
\left(\int_{-R}^{c-\varepsilon}f(x)\,dx + \int_{c+\varepsilon}^{R}f(x)\,dx\right)
$$
が存在するとき、その値を $f$ の**コーシーの主値**と呼ぶ。左右を同じ $\varepsilon$ で切り落とすのが要点である。通常の広義積分が存在するときは、主値も存在して同じ値になる。
輪郭のほうは、実軸上の極を半径 $\varepsilon$ の小円弧で迂回して避けます。その小円弧の寄与を測るのが次の補題です。「一周すれば $2\pi i \times$ 留数」だったものが、「角度 $\beta-\alpha$ だけ回れば $i(\beta-\alpha)\times$ 留数」になる、と憶えると自然です。
$c$ を $f$ の単純極とし、$\rho = \operatorname{Res}(f,c)$ とおく。実数 $\alpha, \beta$ に対し、$\gamma_\varepsilon$ を $z = c + \varepsilon e^{i\theta}$（$\theta$ が $\alpha$ から $\beta$ まで動く）で定まる円弧とする。このとき
$$
\lim_{\varepsilon \to +0}\int_{\gamma_\varepsilon}f(z)\,dz = i(\beta - \alpha)\rho .
$$
（$\beta > \alpha$ なら反時計回り、$\beta < \alpha$ なら時計回りである。）
$c$ は単純極なので、ローラン展開は $f(z) = \dfrac{\rho}{z-c} + \sum_{n \ge 0}c_n(z-c)^n$ の形です。第 2 項を $g(z)$ とおくと、$g$ は $D(c,R)$ で正則なべき級数の和ですから、ある $r>0$ と $M>0$ に対し $|z-c| \le r$ で $|g(z)| \le M$ です（連続関数のコンパクト集合上の有界性）。
主要部の寄与は $\varepsilon$ によらず計算できます。$z = c+\varepsilon e^{i\theta}$、$dz = i\varepsilon e^{i\theta}d\theta$ より
$$
\int_{\gamma_\varepsilon}\frac{\rho}{z-c}\,dz
= \rho\int_\alpha^\beta \frac{i\varepsilon e^{i\theta}}{\varepsilon e^{i\theta}}\,d\theta
= i\rho(\beta-\alpha).
$$
残りは ML 不等式で消えます。$\gamma_\varepsilon$ の長さは $|\beta-\alpha|\varepsilon$ なので、$\varepsilon \le r$ のとき
$$
\left|\int_{\gamma_\varepsilon}g(z)\,dz\right| \le |\beta-\alpha|\,\varepsilon\, M \longrightarrow 0
\qquad (\varepsilon \to +0).
$$
両者を足して結論を得ます。
$\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}$ を示します。$f(z) = \dfrac{e^{iz}}{z}$ とし、$0 < \varepsilon < R$ に対して次の四つをつないだ輪郭 $C$ を考えます。線分 $[\varepsilon, R]$、大円弧 $\Gamma_R$（反時計回りに $0$ から $\pi$ へ）、線分 $[-R,-\varepsilon]$、小円弧 $\gamma_\varepsilon$（$\theta$ が $\pi$ から $0$ へ、すなわち時計回り）。
$C$ とその内部は、複素平面から半直線 $\{iy : y \le 0\}$ を除いた単連結領域 $D$ に含まれ、$f$ は $D$ で正則です（$0$ は $D$ に属しません）。よって
## 9. 演習
$f(z) = \dfrac{e^z}{z^2(z-1)}$ のすべての孤立特異点を求め、それぞれの位数と留数を求めてください。
特異点は分母の零点 $z=0$（$2$ 位）と $z=1$（$1$ 位）です。$e^z$ はこれらの点で $0$ にならないので、位数は分母のとおりです。実際 $z^2f(z) = \frac{e^z}{z-1} \to -1 \ne 0$、$(z-1)f(z) = \frac{e^z}{z^2}\to e \ne 0$ なので
## 参考文献
- L. V. Ahlfors, *Complex Analysis*, 3rd ed., McGraw-Hill, 1979 — 第 4 章に留数計算と定積分への応用がまとまっています。真性特異点の値の分布（ピカールの定理）は第 8 章です。
- E. M. Stein and R. Shakarchi, *Complex Analysis* (Princeton Lectures in Analysis II), Princeton University Press, 2003 — 第 3 章「Meromorphic Functions and the Logarithm」が留数公式と本記事で扱った型の実積分を扱っています。
- W. Rudin, *Real and Complex Analysis*, 3rd ed., McGraw-Hill, 1987 — 第 10 章に孤立特異点の分類と、巻き数を使った一般形の留数定理があります。
- 神保道夫『複素関数入門』岩波書店、2003 — 日本語で読める入門書。留数と実積分への応用を丁寧に扱っています。
- A.-L. Cauchy, *Exercices de mathématiques*, 1826 — 「résidu（留数）」という語と計算法が導入された原典です。
## Appendix: 分数べきを含む積分と鍵穴輪郭
**扱う積分**。$0 < a < 1$ に対して
$$
\int_0^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1+x}\,dx = \frac{\pi}{\sin \pi a}
$$
を示します。$x^{a-1}$ は $a$ が整数でないと一価な複素関数に延長できないので、これまでの輪郭は使えません。切断（分枝の切れ目）を正の実軸に置き、その両岸を往復する「鍵穴輪郭」を使います。
**分枝を決める**。$\operatorname{Log}z = \log|z| + i\arg z$、$\arg z \in (0, 2\pi)$ と定め、$z^{a-1} := e^{(a-1)\operatorname{Log}z}$ とします。これは $\mathbb{C}$ から非負実軸を除いた領域で正則です。$f(z) = \dfrac{z^{a-1}}{1+z}$ の特異点は $z = -1 = e^{i\pi}$ の単純極だけです。
**輪郭**。$0 < \varepsilon < 1 < R$ とし、切断の上岸を $\varepsilon$ から $R$ まで進み、大円 $|z|=R$ を反時計回りに一周し、下岸を $R$ から $\varepsilon$ まで戻り、小円 $|z|=\varepsilon$ を時計回りに一周して閉じます。厳密には上岸・下岸を実軸から $\delta$ だけずらした線分に取り、最後に $\delta \to 0$ とします。この閉曲線の内部にある特異点は $z=-1$ だけです。
**円周上の評価**。大円上では $|z^{a-1}| = R^{a-1}$、$|1+z| \ge R-1$ なので、ML 不等式より寄与は $2\pi R\cdot\dfrac{R^{a-1}}{R-1} \sim 2\pi R^{a-1} \to 0$（$a<1$）です。小円上では $2\pi\varepsilon\cdot\dfrac{\varepsilon^{a-1}}{1-\varepsilon} \sim 2\pi\varepsilon^{a}\to 0$（$a>0$）です。$0 < a < 1$ という仮定は、この二つの評価を同時に成立させるためにあります。
**両岸の差**。上岸では $\arg z \to 0$ なので $z^{a-1} \to x^{a-1}$、下岸では $\arg z \to 2\pi$ なので $z^{a-1}\to x^{a-1}e^{2\pi i(a-1)} = x^{a-1}e^{2\pi ia}$ です。下岸は逆向きに進むので、二つの線分の寄与の和は $I := \int_0^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1+x}dx$ を使って $\left(1 - e^{2\pi i a}\right)I$ と書けます。切断があるおかげで両岸が相殺せず、求めたい積分が残るのがこの輪郭の要点です。
**留数と結論**。$\operatorname{Res}(f,-1) = (-1)^{a-1} = e^{(a-1)i\pi} = -e^{i\pi a}$ なので、
より $\left(1-e^{2\pi ia}\right)I = 2\pi i\left(-e^{i\pi a}\right)$、すなわち
$$
I = \frac{-2\pi i\,e^{i\pi a}}{1 - e^{2\pi i a}}
= \frac{-2\pi i}{e^{-i\pi a} - e^{i\pi a}}
= \frac{-2\pi i}{-2i\sin\pi a}
= \frac{\pi}{\sin\pi a}.
$$
**検算**。$a = 1/2$ とすると $I = \pi/\sin(\pi/2) = \pi$ です。一方 $x = t^2$ と置換すれば
$$
\int_0^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)} = \int_0^{\infty}\frac{2t\,dt}{t(1+t^2)} = 2\bigl[\arctan t\bigr]_0^{\infty} = \pi
$$
で一致します。この積分はベータ関数・ガンマ関数の相反公式 $\Gamma(a)\Gamma(1-a) = \pi/\sin\pi a$ の複素解析による証明にもなっています。