## 2. 準備：記号と、前章から持ち込む道具
記号を確認します。$a \in \mathbb{C}$、$r > 0$ に対し
$$
D(a,r) = \{z \in \mathbb{C} : |z-a| < r\}, \qquad \overline{D}(a,r) = \{z \in \mathbb{C} : |z-a| \le r\}
$$
と書き、$C(a,r)$ で円周 $|z-a| = r$ を正の向き（反時計回り）に一周する曲線、すなわち $\zeta(\theta) = a + re^{i\theta}$（$0 \le \theta \le 2\pi$）を表します。**領域**とは空でない連結開集合のことです。関数 $f$ が開集合 $\Omega$ 上で**正則**であるとは、各点 $z \in \Omega$ で複素微分係数
$$
f'(z) = \lim_{h \to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}
$$
が存在することでした。この記事では次の呼び名も使います。
$\mathbb{C}$ 全体で正則な関数を**整関数**という。多項式、$e^{z}$、$\sin z$、$\cos z$ は整関数である。
以下、前章までに得た次の 4 つを自由に使います。
**(A) 積分の基本評価（ML 不等式）.** 区分的に滑らかな曲線 $\gamma$ とその像 $\gamma^{*}$ 上の連続関数 $g$ に対し
$$
\left|\int_{\gamma} g(\zeta)\,d\zeta\right| \le \Big(\max_{\zeta \in \gamma^{*}}|g(\zeta)|\Big)\cdot L(\gamma)
$$
が成り立ちます。ここで $L(\gamma)$ は $\gamma$ の長さです（
）。
**(B) 円周上のべきの積分.** 整数 $k$ に対し $\zeta = a + re^{i\theta}$、$d\zeta = ire^{i\theta}d\theta$ を代入すると
$$
\int_{C(a,r)}(\zeta-a)^{k}\,d\zeta = \int_{0}^{2\pi} r^{k}e^{ik\theta}\cdot ire^{i\theta}\,d\theta = ir^{k+1}\int_{0}^{2\pi}e^{i(k+1)\theta}\,d\theta = \begin{cases} 2\pi i & (k=-1)\\ 0 & (k \ne -1)\end{cases}
$$
です。$k \ne -1$ のとき $\int_{0}^{2\pi}e^{i(k+1)\theta}d\theta = \left[\frac{e^{i(k+1)\theta}}{i(k+1)}\right]_{0}^{2\pi} = 0$（$e^{2\pi i(k+1)} = 1$ より）、$k = -1$ のとき被積分関数は $1$ なので $2\pi$ になります。
**(C) コーシーの積分公式.** $f$ が開集合 $\Omega$ 上で正則、$\overline{D}(a,r) \subset \Omega$ のとき、$z \in D(a,r)$ に対して
$$
f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_{C(a,r)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta .
$$
詳しくは [コーシーの積分定理と積分公式](/mathematics/complex-analysis/cauchy-integral-theorem) の
を参照してください。同じ記事で、円環領域における積分路の変形（同心円上の積分が一致すること）も扱っています。
**(D) 収束するべき級数は正則.** べき級数 $\sum_{n\ge0}c_n(z-a)^n$ の収束半径を $\rho > 0$ とすると、和は $D(a,\rho)$ 上で正則で、項別微分してよく、導関数の級数の収束半径も $\rho$ です。実級数の場合と同じ証明が通ります（[級数と収束判定](/mathematics/calculus/series-and-convergence) を参照してください）。
最後に、これから何度も使う小さな補題を独立に立てておきます。
$\gamma$ を長さ $L < \infty$ の区分的に滑らかな曲線、$g_n$（$n = 0,1,2,\ldots$）を $\gamma^{*}$ 上の連続関数とする。級数 $\sum_{n=0}^{\infty} g_n(\zeta)$ が $\gamma^{*}$ 上で一様収束し、和を $g(\zeta)$ とすると、$g$ は $\gamma^{*}$ 上連続で
$$
\int_{\gamma} g(\zeta)\,d\zeta = \sum_{n=0}^{\infty}\int_{\gamma} g_n(\zeta)\,d\zeta
$$
が成り立つ（右辺は収束する）。
一様収束極限として $g$ が連続であることは実関数の場合と同じです。部分和を $S_N = \sum_{n=0}^{N}g_n$ とおくと、一様収束の定義から $\varepsilon_N := \max_{\zeta \in \gamma^{*}}|g(\zeta)-S_N(\zeta)| \to 0$（$N \to \infty$）です。積分の線形性より
$$
\left|\int_{\gamma}g\,d\zeta - \sum_{n=0}^{N}\int_{\gamma}g_n\,d\zeta\right| = \left|\int_{\gamma}\big(g - S_N\big)d\zeta\right| \le \varepsilon_N L
$$
となります。ここで最後の不等号は準備の (A) です。$N \to \infty$ とすれば右辺は $0$ に収束するので、主張が従います。
## 3. 正則関数は何回でも微分できる
### 3.1. 積分記号の下での微分
コーシーの積分公式の右辺に現れるのは、次の形の積分です。この形の積分が変数 $z$ について正則であること、しかも微分が「核を素朴に微分した形」になることを、まず一般的に示します。$f$ の正則性はここではまったく使わず、単に**連続関数を核 $1/(\zeta-z)^n$ で積分した**という形だけから結論が出る点に注意してください。
$\gamma$ を長さ $L < \infty$ の区分的に滑らかな曲線、$\varphi$ を像 $\gamma^{*}$ 上の連続関数とする。各 $n \in \mathbb{N} = \{1,2,\ldots\}$ に対し
$$
F_n(z) = \int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z)^{n}}\,d\zeta \qquad (z \in \mathbb{C}\setminus\gamma^{*})
$$
と定める。このとき $F_n$ は開集合 $\mathbb{C}\setminus\gamma^{*}$ 上で正則であり、
$$
F_n'(z) = n\,F_{n+1}(z)
$$
が成り立つ。
$\gamma^{*}$ はコンパクトなので $M := \max_{\gamma^{*}}|\varphi| < \infty$ であり、$z_0 \notin \gamma^{*}$ を固定すると $d := \operatorname{dist}(z_0, \gamma^{*}) > 0$ です（コンパクト集合と、そこに属さない点との距離は正）。以下 $|z - z_0| < d/2$ とします。このとき $\zeta \in \gamma^{*}$ に対し三角不等式から
$$
|\zeta - z| \ge |\zeta - z_0| - |z - z_0| > d - \frac{d}{2} = \frac{d}{2}
$$
です。
**第 1 段（$F_n$ の連続性）.** $a = \dfrac{1}{\zeta-z}$、$b = \dfrac{1}{\zeta-z_0}$ とおくと
$$
a - b = \frac{(\zeta-z_0)-(\zeta-z)}{(\zeta-z)(\zeta-z_0)} = \frac{z-z_0}{(\zeta-z)(\zeta-z_0)}
$$
であり、恒等式 $a^{n}-b^{n} = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}b^{\,n-1-k}$ と合わせて
$$
\frac{1}{(\zeta-z)^{n}}-\frac{1}{(\zeta-z_0)^{n}} = (z-z_0)\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(\zeta-z)^{k+1}(\zeta-z_0)^{\,n-k}}
$$
を得ます。$|\zeta-z| > d/2$、$|\zeta-z_0|\ge d$ より、和の各項の絶対値は $(2/d)^{k+1}(1/d)^{n-k} = 2^{k+1}/d^{n+1} \le 2^{n}/d^{n+1}$ で押さえられ、項は $n$ 個なので、和の絶対値は $n2^{n}/d^{n+1}$ 以下です。したがって準備の (A) より
$$
|F_n(z)-F_n(z_0)| \le |z-z_0|\cdot M \cdot \frac{n2^{n}}{d^{n+1}} \cdot L
$$
となり、$z \to z_0$ で右辺は $0$ に収束します。よって $F_n$ は $z_0$ で連続です。この評価で $\varphi$ に課したのは「$\gamma^{*}$ 上連続」だけである点を覚えておいてください。第 2 段で別の $\varphi$ に使い回します。
**第 2 段（微分）.** 上の恒等式を $z-z_0 \ne 0$ で割ると
$$
\frac{F_n(z)-F_n(z_0)}{z-z_0} = \sum_{k=0}^{n-1}\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}(\zeta-z_0)^{\,n-k}}\,d\zeta = \sum_{k=0}^{n-1}G_k(z)
$$
です。ここで $\varphi_k(\zeta) := \dfrac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{\,n-k}}$ とおきました（$\gamma^{*}$ 上で連続です。分母は $|\zeta - z_0|\ge d > 0$ より $0$ になりません）。$G_k(z) = \int_{\gamma}\dfrac{\varphi_k(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}d\zeta$ は、$\varphi$ を $\varphi_k$ に、$n$ を $k+1$ に取り替えた形の積分ですから、第 1 段より $z_0$ で連続です。ゆえに $z \to z_0$ のとき
$$
G_k(z) \longrightarrow G_k(z_0) = \int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{k+1}(\zeta-z_0)^{\,n-k}}\,d\zeta = \int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{\,n+1}}\,d\zeta = F_{n+1}(z_0)
$$
となります。$k = 0,1,\ldots,n-1$ の $n$ 個すべてが同じ極限 $F_{n+1}(z_0)$ をもつので、差商の極限は $nF_{n+1}(z_0)$ です。すなわち $F_n$ は $z_0$ で複素微分可能で $F_n'(z_0) = nF_{n+1}(z_0)$ が成り立ちます。$z_0 \in \mathbb{C}\setminus\gamma^{*}$ は任意でした。
### 3.2. 導関数の積分表示
$f$ を開集合 $\Omega \subset \mathbb{C}$ 上の正則関数とし、$\overline{D}(a,r)\subset\Omega$ とする。このとき $f$ は $D(a,r)$ の各点で何回でも複素微分可能であり、すべての $n = 0,1,2,\ldots$ と $z \in D(a,r)$ に対して
$$
f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{C(a,r)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{\,n+1}}\,d\zeta
$$
が成り立つ。
$\varphi := f|_{C(a,r)^{*}}$ は連続（正則関数は連続）なので、
### 3.3. 逆向きの定理 —— モレラの定理
は「正則ならば $C^{\infty}$」という主張でしたが、これを使うと逆向きの判定法が手に入ります。次のモレラの定理は、微分の存在を直接確かめる代わりに、積分が消えることだけを確かめれば正則性が言える、という道具です。この節はあとの議論では使いませんが、無限回微分可能性がどれほど効くかを示す好例なので、ここで済ませておきます。
$\Omega$ を開集合、$f$ を $\Omega$ 上の連続関数とする。$\Omega$ に含まれるすべての閉三角形 $\Delta$ について
$$
\int_{\partial\Delta}f(z)\,dz = 0
$$
が成り立つならば、$f$ は $\Omega$ 上で正則である。
正則性は局所的な性質なので、$D = D(a,r)\subset\Omega$ を任意に取り、$D$ 上で示せば十分です。$z\in D$ に対し、$a$ から $z$ への線分を $[a,z]$ と書いて
$$
F(z) := \int_{[a,z]}f(\zeta)\,d\zeta
$$
と定めます（$D$ は凸なので $[a,z]\subset D$ です）。$z, z+h \in D$ とすると、頂点 $a, z, z+h$ の三角形は凸性より $D$ に含まれるので、仮定よりその周に沿う積分は $0$ です。周を 3 本の線分に分けて向きを整理すると
$$
F(z+h)-F(z) = \int_{[z,z+h]}f(\zeta)\,d\zeta
$$
を得ます。$\int_{[z,z+h]}d\zeta = h$ なので、$h \ne 0$ に対し
$$
\left|\frac{F(z+h)-F(z)}{h}-f(z)\right| = \left|\frac{1}{h}\int_{[z,z+h]}\big(f(\zeta)-f(z)\big)d\zeta\right| \le \frac{1}{|h|}\Big(\max_{\zeta\in[z,z+h]}|f(\zeta)-f(z)|\Big)|h|
$$
となります（準備の (A) を長さ $|h|$ の線分に使いました）。$f$ は連続なので $h\to0$ で右辺は $0$ に収束し、$F$ は $z$ で複素微分可能で $F'(z)=f(z)$ です。よって $F$ は $D$ 上で正則であり、
モレラの定理の典型的な使い道は、極限関数の正則性です。$f_k$ が $\Omega$ 上の正則関数列で、$\Omega$ のコンパクト部分集合上で $f$ に一様収束するとします。まず一様収束極限として $f$ は連続です。次に $\Delta\subset\Omega$ を閉三角形とすると、$\partial\Delta$ はコンパクトなのでそこで一様収束が使え、前章のコーシーの積分定理（三角形の周に対する形は
）により $\int_{\partial\Delta}f_k = 0$ ですから
$$
\int_{\partial\Delta}f(z)\,dz = \lim_{k\to\infty}\int_{\partial\Delta}f_k(z)\,dz = 0
$$
です。
より $f$ は正則です。これはワイエルシュトラスの定理と呼ばれます。
実関数論では、この主張は絶望的なほど成り立ちません。ワイエルシュトラスの近似定理により、$[0,1]$ 上の任意の連続関数は多項式列の一様極限として書けます。したがって「至るところ微分不可能な連続関数」も、無限回微分可能な関数（多項式）の一様極限です。正則関数の一様収束は、微分可能性を保つどころか、導関数の収束まで導きます（
の積分表示に一様収束を代入すれば $f_k^{(n)} \to f^{(n)}$ が局所一様に従います）。正則性の硬さの、もうひとつの現れ方です。
## 4. コーシーの評価式・リューヴィルの定理・代数学の基本定理
導関数が積分で書けたということは、導関数の**大きさ**が積分路上の $|f|$ の大きさで押さえられるということです。これが次の評価で、以降のすべての鍵になります。
$f$ を開集合 $\Omega$ 上の正則関数、$\overline{D}(a,r)\subset\Omega$ とし、$M(r) := \max_{|\zeta-a|=r}|f(\zeta)|$ とおく。このとき任意の $n = 0,1,2,\ldots$ に対して
$$
\big|f^{(n)}(a)\big| \le \frac{n!\,M(r)}{r^{n}}
$$
が成り立つ。
$C(a,r)^{*}$ 上では $|\zeta-a| = r$ なので、被積分関数は
$$
\left|\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{\,n+1}}\right| \le \frac{M(r)}{r^{\,n+1}}
$$
を満たします（$M(r)$ は連続関数 $|f|$ のコンパクト集合上の最大値として存在します）。
コーシーの評価式は $n=1$ の場合だけでも強力です。$f$ が平面全体で正則で有界なら、$r$ をいくらでも大きく取ることで $f'$ が消えてしまいます。
$f$ を整関数とする。ある定数 $M \ge 0$ が存在してすべての $z \in \mathbb{C}$ で $|f(z)| \le M$ が成り立つならば、$f$ は定数関数である。
任意の $a \in \mathbb{C}$ と任意の $r > 0$ を取ります。$f$ は整関数なので $\overline{D}(a,r)\subset\mathbb{C}$ で
## 5. テイラー展開：正則関数は解析的である
開集合 $\Omega$ 上の関数 $f$ が**解析的**であるとは、各点 $a \in \Omega$ に対してある $r>0$ とべき級数 $\sum_{n\ge0}c_n(z-a)^{n}$ が存在し、$D(a,r)\subset\Omega$ かつ $D(a,r)$ 上で級数が収束して $f$ に一致することをいう。
$f$ を円板 $D(a,R)$（$0 < R \le \infty$）上の正則関数とする。このとき
$$
c_n := \frac{1}{2\pi i}\int_{C(a,r)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{\,n+1}}\,d\zeta = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \qquad (0 < r < R)
$$
とおくと（$r$ は $0
$z \in D(a,R)$ を固定し、$|z-a| \le \rho < r < R$ となる $\rho, r$ を取ります。$\overline{D}(a,r)\subset D(a,R)$ なので準備の (C) が使えて
$$
f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_{C(a,r)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta
$$
です。核を変形します。$|\zeta-a| = r$ 上では $\left|\dfrac{z-a}{\zeta-a}\right| \le \dfrac{\rho}{r} =: q < 1$ なので、幾何級数が使えて
$$
\frac{1}{\zeta-z} = \frac{1}{(\zeta-a)-(z-a)} = \frac{1}{\zeta-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-a}{\zeta-a}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-a)^{n}}{(\zeta-a)^{\,n+1}}
$$
が成り立ちます。両辺に $\dfrac{f(\zeta)}{2\pi i}$ を掛けると、第 $n$ 項の絶対値は
$$
\left|\frac{f(\zeta)(z-a)^{n}}{2\pi i\,(\zeta-a)^{\,n+1}}\right| \le \frac{M(r)}{2\pi r}q^{n}, \qquad M(r) = \max_{|\zeta-a|=r}|f(\zeta)|
$$
で押さえられ、$\sum_n q^{n} < \infty$ ですからワイエルシュトラスの $M$ 判定法により、$\zeta$ についての級数は $C(a,r)^{*}$ 上で一様収束します。よって