# Jensen の公式と劣調和関数：log|f| の円周平均から零点を数える

> 劣調和関数の定義・最大値原理・円周平均の単調性を整え、log|f| の劣調和性から Jensen の公式と Poisson–Jensen 公式を証明し、零点の個数評価・三円定理・Mahler 測度へ応用する。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/complex-analysis/jensen-subharmonic

## 0. この記事の要点

多項式なら、根の個数は次数で分かります。では、もっと複雑な関数が、ある円の中に零点をいくつ持つかは、どうやって知ればよいのでしょうか。この記事の答えは、円周上での関数の大きさを（対数をとって）平均すると、円の中の零点の個数と位置が見えてくる、というものです。読み終えると、円周上の値だけから零点の個数を見積もれるようになり、多項式の根の大きさも積分で捉えられるようになります。

- **劣調和関数**とは、上半連続（ジャンプする点では高い側の値をとる、という連続性の弱い形）で、各点での値が小さな円周上の平均以下になる関数です。$C^2$ 級なら $\Delta u\ge0$ と同値で、[調和関数](/mathematics/complex-analysis/harmonic-functions-poisson#def-harmonic)の「不等式版」にあたります。
- 劣調和関数に対しても**最大値原理**が成り立ちます。そこから、円周平均が半径について単調増加であること、また「調和関数との比較」で劣調和性を言い換えられることが出ます。
- [正則関数](/mathematics/complex-analysis/holomorphic-functions#def-holomorphic) $f$ に対して $\log|f|$ は（$-\infty$ の値を許せば）劣調和です。零点のないところでは調和で、零点では $-\infty$ だからです。
- **Jensen の公式**：$f(0)\ne0$ で零点が $a_k$ なら、半径 $R$ の円周上で $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}\log|f(Re^{i\theta})|\,d\theta=\log|f(0)|+\sum_k\log\dfrac{R}{|a_k|}$。劣平均値不等式の「不足分」が、零点の位置だけで厳密に書けます。
- 応用として、零点の個数の評価、有界正則関数の零点の Blaschke 条件（零点の位置が満たすべき和の制限）、Hadamard の三円定理、多項式の円周上の対数平均（Mahler 測度）$\log|a_n|+\sum\log\max(1,|z_k|)$ を導きます。最後に有理型関数（極をもってよい関数）へ広げ、**近接関数** $m(r,a)$（円周上で値 $a$ にどれだけ近いか）と個数関数 $N(r,a)$（値 $a$ をとる点の数）の和が $a$ によらない（**Nevanlinna の第一主要定理**）ことを示します。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **調和関数**: ラプラシアンが $0$ の関数で、円周上の平均が中心の値に等しい。→ [調和関数](/mathematics/complex-analysis/harmonic-functions-poisson#def-harmonic)
- **Poisson 核**: 円板の境界の値から、内部の調和関数を作る積分の重み。→ [Poisson 核](/mathematics/complex-analysis/harmonic-functions-poisson#def-poisson-kernel)
- **零点の位数**: $f(z)=(z-a)^kg(z)$（$g(a)\ne0$）と書けるときの $k$。→ [零点の位数](/mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#def-order-of-zero)
- **ほとんど至るところ**: 測度 $0$ の集合を除いて成り立つ、ということ。→ [ほとんど至るところ](/mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#def-ae)
- **単調収束定理・優収束定理**: 条件のもとで積分と極限を入れ替えてよい、という定理。→ [ルベーグ積分の定義と収束定理](/mathematics/real-analysis/lebesgue-integral)

</Aside>

## 1. 動機：正則関数の「大きさ」から零点の個数を読む

正則関数は、円周上の値で内部の値が決まります（コーシーの積分公式）。その値の「大きさ」から、内部の零点の個数が分かるでしょうか。偏角の原理は零点を数える公式ですが、$\arg f$ の変化量を追う必要があり、$|f|$ の大きさだけを知っているときには使いにくい道具です。

$|f|$ だけで零点を評価できると、次のような場面で便利です。[整関数](/mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#def-entire)の増大度（$|f(z)|\le e^{|z|^\rho}$ のような評価）から零点の個数の上限を出す。単位円板上の有界正則関数の零点の分布を制限する。多項式の根の大きさを、係数だけで書ける積分で捉える。

鍵は $\log|f|$ です。零点のない領域では $\log|f|=\operatorname{Re}\log f$ が調和関数になり、平均値の性質が使えます。零点では $-\infty$ に落ちるので、平均値の等式は不等式に弱まります。この「調和関数を不等式に弱めたクラス」が**劣調和関数**で、不等式の不足分を零点が数えるのが Jensen の公式です。

スペクトル理論や数理物理でも、同じ道具が独立に作られています。ほぼ周期的作用素の Lyapunov 指数の下からの評価では、位相を複素化して $\log|f|$ の円周平均を中心の値と比べます。また、静電ポテンシャルの比較では、連続な劣調和関数の最大値原理が使われます。この記事で一度、一般の形で証明しておきます。

## 2. 準備

| 事実 | 出典 |
|---|---|
| 調和関数は $C^\infty$ で、円周上の平均値の等式をもつ | <Ref to="mathematics/complex-analysis/harmonic-functions-poisson#cor-harmonic-smooth" /> |
| 正則関数の実部は調和 | <Ref to="mathematics/complex-analysis/holomorphic-functions#cor-harmonic" /> |
| 円板の Poisson 積分公式と Dirichlet 問題の解 | <Ref to="mathematics/complex-analysis/harmonic-functions-poisson#thm-poisson-formula" />、<Ref to="mathematics/complex-analysis/harmonic-functions-poisson#thm-dirichlet" /> |
| 円板上の零点を持たない正則関数は対数を持つ | <Ref to="mathematics/complex-analysis/conformal-mapping#def-simply-connected" /> の同値条件 |
| 零点の位数、孤立性、一致の定理、テイラー展開 | <Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#def-order-of-zero" />、<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-identity" />、<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-taylor" /> |
| 単調収束定理、優収束定理 | <Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-mct" />、<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-dct" /> |
| グリーンの定理 | <Ref to="mathematics/calculus/vector-analysis#thm-green" /> |

記号。$D(a,r)$ は開円板、$\overline{D}(a,r)$ は閉円板です。実数値関数 $u$ の円周平均を
$$
\mathcal{M}_u(a,r)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(a+re^{i\theta})\,d\theta
$$
と書きます。$\log 0=-\infty$ とし、$-\infty$ を値にとる関数を扱います。上に有界な関数の積分は $[-\infty,\infty)$ に値をとるものとして意味をもち、和・正の定数倍・不等式の積分は通常どおり成り立ちます（単調収束定理を $\sup u-u\ge0$ に使う）。

## 3. 劣調和関数

次の定義には 2 つの条件があります。上半連続は、値が急に上へ跳ぶことを許さない条件です。たとえば $x\ge0$ で $1$、$x<0$ で $0$ とする関数は、ジャンプの点で高い側の値 $1$ をとっているので上半連続で、$x>0$ で $1$、$x\le0$ で $0$ とする関数は上半連続ではありません。劣平均値性は、各点の値が、そのまわりの小さな円周上の平均値以下である、という条件です。調和関数なら等号になる部分が、不等号に弱まっています。

<Definition id="def-subharmonic" title="劣調和関数">
$\Omega\subset\mathbb{C}$ を開集合とする。関数 $u:\Omega\to[-\infty,\infty)$ が**劣調和**であるとは、次の 2 条件を満たすことをいう。

1. （上半連続）すべての実数 $t$ について $\{z\in\Omega:u(z)<t\}$ が開集合である。
2. （劣平均値性）各 $a\in\Omega$ に対して $r_a>0$ が存在し、$0<r<r_a$ なら $\overline{D}(a,r)\subset\Omega$ かつ
$$
u(a)\le\mathcal{M}_u(a,r)
$$
が成り立つ。
</Definition>

上半連続な関数は、コンパクト集合の上で上に有界で、最大値を達成します。そのため、円周上の積分は $[-\infty,\infty)$ に値をもって確定します。連続な関数は上半連続で、$-\infty$ を許した連続関数（$\log|f|$ など）も上半連続です。調和関数は、平均値の等式から劣調和です。

<Lemma id="lem-operations" title="劣調和関数の演算">
$u,v$ を $\Omega$ 上の劣調和関数とする。

1. $u+v$、$cu$（$c>0$）、$\max\{u,v\}$ は劣調和である。
2. $h$ を $\Omega$ 上の調和関数とすると、$u+h$ は劣調和である。
</Lemma>

<Proof of="lem-operations">
上半連続性：$\{u+v<t\}=\bigcup_{s\in\mathbb{Q}}\{u<s\}\cap\{v<t-s\}$ は開集合の和です。$\max\{u,v\}$ は $\{\max<t\}=\{u<t\}\cap\{v<t\}$ から従い、$cu$ は明らかです。$h$ は連続なので $u+h$ も上半連続です。

劣平均値性：$a\in\Omega$ に対し $r<\min\{r_a(u),r_a(v)\}$ とします。$u(a)+v(a)\le\mathcal{M}_u(a,r)+\mathcal{M}_v(a,r)=\mathcal{M}_{u+v}(a,r)$ です。$\max\{u,v\}(a)$ は $u(a)$ か $v(a)$ に等しく、たとえば $u(a)$ なら $u(a)\le\mathcal{M}_u(a,r)\le\mathcal{M}_{\max\{u,v\}}(a,r)$ です。$h$ については $h(a)=\mathcal{M}_h(a,r)$（<Ref to="mathematics/complex-analysis/harmonic-functions-poisson#cor-harmonic-smooth" />）なので、和の場合に帰着します。
</Proof>

$C^2$ 級の関数に対しては、劣調和性は微分の条件で言い換えられます。

<Theorem id="thm-c2-criterion" title="$C^2$ 級劣調和関数の特徴付け">
$u$ を開集合 $\Omega$ 上の実数値 $C^2$ 級関数とする。$u$ が劣調和であることと、$\Omega$ 上で $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}\ge0$ であることは同値である。さらに $\Delta u\ge0$ なら、$\overline{D}(a,R)\subset\Omega$ をみたす任意の $a,R$ について $u(a)\le\mathcal{M}_u(a,R)$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-c2-criterion">
$\overline{D}(a,R)\subset\Omega$ とし、$m(r)=\mathcal{M}_u(a,r)$（$0\le r\le R$、$m(0)=u(a)$）とおきます。$u\in C^1$ なので積分記号下で微分でき、
$$
m'(r)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\bigl(u_x\cos\theta+u_y\sin\theta\bigr)(a+re^{i\theta})\,d\theta .
$$
円周 $\gamma(\theta)=a+re^{i\theta}$ では $dx=-r\sin\theta\,d\theta$、$dy=r\cos\theta\,d\theta$ なので、$-u_y\,dx+u_x\,dy=r(u_x\cos\theta+u_y\sin\theta)\,d\theta$ です。グリーンの定理（<Ref to="mathematics/calculus/vector-analysis#thm-green" />、$P=-u_y$、$Q=u_x$）から
$$
m'(r)=\frac{1}{2\pi r}\oint_{\partial D(a,r)}(-u_y\,dx+u_x\,dy)=\frac{1}{2\pi r}\iint_{D(a,r)}\Delta u\,dx\,dy\qquad(0<r\le R)
$$
です。$m$ は $[0,R]$ で連続、$(0,R]$ で $C^1$ なので $m(r)-u(a)=\int_0^rm'(s)\,ds$ です。

$\Delta u\ge0$ なら $m'\ge0$ で、$m(r)\ge u(a)$ が $r\le R$ で成り立ちます。これは後半の主張で、特に劣調和性を与えます。逆に、ある点 $b$ で $\Delta u(b)<0$ とすると、連続性から $D(b,\rho)$ 上で $\Delta u<0$ となる $\rho>0$ があります。$0<s<\rho$ で $m'(s)<0$ なので、$0<r<\rho$ で $\mathcal{M}_u(b,r)<u(b)$ です。これは $b$ での劣平均値性に反します。
</Proof>

<Example id="ex-subharmonic-examples" title="劣調和関数の例">
- $|z|^2$ は $\Delta|z|^2=4>0$ で劣調和です。$e^{x}$ も $\Delta e^x=e^x>0$ で劣調和です。
- 調和関数 $\operatorname{Re}z$ と定数 $0$ に <Ref to="lem-operations" /> を使えば、$\max\{\operatorname{Re}z,0\}$ は劣調和です。これは $C^2$ 級ではなく、<Ref to="thm-c2-criterion" /> の対象外ですが、劣調和性は定義から確かめられます。
- $-|z|^2$ は $\Delta<0$ なので劣調和でありません。一般に、劣調和関数に $-1$ を掛けると優調和関数になり、調和関数だけが両方を満たします。
</Example>

## 4. 劣調和関数の最大値原理

調和関数の最大値原理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/harmonic-functions-poisson#thm-max-harmonic" />）は、平均値の等式だけを使って証明されました。不等式でも同じ議論が通ります。

<Theorem id="thm-max-subharmonic" title="劣調和関数の最大値原理">
1. $\Omega$ を領域、$u$ を $\Omega$ 上の劣調和関数とする。$u$ が $\Omega$ の点で $\Omega$ 全体での最大値 $M$ をとるならば、$u\equiv M$ である。
2. $\Omega$ を有界な開集合とし、$u:\overline{\Omega}\to[-\infty,\infty)$ が上半連続で、$\Omega$ 上で劣調和とする。このとき $\Omega$ 上で $u\le\max_{\partial\Omega}u$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-max-subharmonic">
**1.** $M=-\infty$ なら $u\equiv-\infty$ で主張は明らかです。$M$ が実数のとき、$A=\{u<M\}$ は上半連続性から開集合で、その補集合 $\{u=M\}$ は空でありません。$a\in\{u=M\}$ と $0<r<r_a$ を取ると、$M=u(a)\le\mathcal{M}_u(a,r)\le M$ なので $\mathcal{M}_{M-u}(a,r)=0$ です。$M-u\ge0$ ですから、円周上でほとんど至るところ $u=M$ です。これが $0<r<r_a$ のすべてで成り立つので、極座標で積分すると $A\cap D(a,r_a)$ のルベーグ測度は $0$ です。この集合は開集合なので空で、$D(a,r_a)\subset\{u=M\}$ です。よって $\{u=M\}$ は開かつ閉（上半連続性から閉）で、$\Omega$ が連結なので $\{u=M\}=\Omega$ です。

**2.** $\overline{\Omega}$ はコンパクトで $u$ は上半連続なので、最大値 $M=\max_{\overline\Omega}u$ を達成する点 $p$ があります。$p\in\partial\Omega$ なら終わりです。$p\in\Omega$ とし、$p$ を含む $\Omega$ の連結成分を $G$ とします。1 から $u\equiv M$ が $G$ 上で成り立ちます。$G$ は有界な空でない開集合なので境界点 $q\in\partial G$ をもち、$q\in\partial\Omega$ です（$\Omega$ の連結成分は開集合なので、$G$ の境界点は $\Omega$ に属さない）。上半連続性から $u(q)\ge\limsup_{z\to q,z\in G}u(z)=M$ で、$u(q)=M$ です。したがって $\max_{\partial\Omega}u=M$ です。
</Proof>

2 の形は、正則関数の最大値原理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/maximum-principle-normal-families#thm-max-boundary" />）を一般化したものです。$|f|$ や $\log|f|$ に適用できます。

## 5. 同値な特徴付けと円周平均の単調性

定義の劣平均値性は「小さな円周」でしか要求していません。大きな円周でも成り立つことを示すために、上半連続関数を連続関数で上から近似します。連続関数にしておけば、円周上の値を境界値とする Dirichlet 問題の解（調和関数）を作って比べられるので、次の補題はその準備です。構成では、各点 $y$ から「$-n\,d(x,y)$ で下がっていく山」を立て、その上側の包みを取っています。

<Lemma id="lem-usc-approx" title="上半連続関数の連続関数による近似">
$K$ を円周（コンパクト距離空間）、$u:K\to[-\infty,\infty)$ を上半連続とする。このとき、$K$ 上の実数値連続関数の列 $\varphi_1\ge\varphi_2\ge\cdots\ge u$ で、各点で $\varphi_n\downarrow u$ となるものが存在する。
</Lemma>

<Proof of="lem-usc-approx">
$S=\sup_Ku<\infty$ とおきます（上半連続性とコンパクト性）。$S=-\infty$ なら $\varphi_n\equiv-n$ とします。$S$ が実数のとき、
$$
\varphi_n(x)=\sup_{y\in K}\bigl[\max\{u(y),-n\}-n\,d(x,y)\bigr]
$$
とおきます。各項は $-n-n\,\mathrm{diam}K$ 以上 $\max\{S,0\}$ 以下なので、$\varphi_n$ は実数値です。各 $y$ について $x\mapsto\max\{u(y),-n\}-n\,d(x,y)$ は $n$-リプシッツなので、その上限 $\varphi_n$ も $n$-リプシッツで連続です。$y=x$ を取れば $\varphi_n(x)\ge\max\{u(x),-n\}\ge u(x)$、また項は $n$ について単調減少なので $\varphi_n$ も単調減少です。

収束：$x\in K$ と実数 $t>u(x)$ を取ります。上半連続性から、$d(x,y)<\delta$ なら $u(y)<t$ となる $\delta>0$ があります。$n\ge-t$ なら $d(x,y)<\delta$ の項は $\max\{u(y),-n\}\le t$ 以下です。$d(x,y)\ge\delta$ の項は $\max\{S,0\}-n\delta$ 以下で、$n$ が大きければ $t$ 以下です。ゆえに十分大きい $n$ で $\varphi_n(x)\le t$ です。$t$ は任意なので $\varphi_n(x)\to u(x)$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-equivalent" title="劣調和性の同値な特徴付け">
$\Omega$ を開集合、$u:\Omega\to[-\infty,\infty)$ を上半連続とする。次の 3 条件は同値である。

- (a) $u$ は劣調和である（<Ref to="def-subharmonic" />）。
- (b) $\overline{D}(a,r)\subset\Omega$ をみたすすべての $a,r$ について $u(a)\le\mathcal{M}_u(a,r)$。
- (c) $\overline{D}=\overline{D}(a,r)\subset\Omega$ とし、$h$ が $\overline{D}$ 上連続で $D(a,r)$ 上調和、かつ $\partial D$ 上で $u\le h$ ならば、$D(a,r)$ 上でも $u\le h$。
</Theorem>

<Proof of="thm-equivalent">
**(a)⇒(c)**：$w=u-h$ は $\overline{D}$ 上で上半連続で、開円板 $D=D(a,r)$ 上で劣調和です（<Ref to="lem-operations" /> の 2、$-h$ は調和）。$\partial D$ 上では $w\le0$ なので、<Ref to="thm-max-subharmonic" /> の 2 から $D$ 上で $w\le0$ です。

**(c)⇒(b)**：$\overline{D}(a,r)\subset\Omega$ とします。<Ref to="lem-usc-approx" /> で円周 $\{|z-a|=r\}$ 上の連続関数 $\varphi_n\downarrow u$ を取ります。$\theta\mapsto\varphi_n(a+re^{i\theta})$ の Dirichlet 問題の解（<Ref to="mathematics/complex-analysis/harmonic-functions-poisson#thm-dirichlet" />を $D(a,r)$ に移したもの）を $h_n$ とします。$h_n$ は $\overline{D}(a,r)$ 上連続、内部で調和、境界上で $\varphi_n\ge u$ です。(c) から $u(a)\le h_n(a)$ で、Poisson 核は $P_0\equiv1$ なので $h_n(a)=\mathcal{M}_{\varphi_n}(a,r)$ です。$\varphi_1-\varphi_n\ge0$ は単調増加で $\varphi_1-u$ に収束するので、単調収束定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-mct" />）から $\mathcal{M}_{\varphi_n}(a,r)\to\mathcal{M}_u(a,r)$（$-\infty$ になり得る）です。よって $u(a)\le\mathcal{M}_u(a,r)$ です。

**(b)⇒(a)**：定義の特別な場合です。
</Proof>

<Corollary id="cor-mean-monotone" title="円周平均の単調性">
$u$ を $\Omega$ 上の劣調和関数、$\overline{D}(a,R)\subset\Omega$ とする。このとき $r\mapsto\mathcal{M}_u(a,r)$ は $(0,R]$ 上で単調非減少であり、$u(a)\le\mathcal{M}_u(a,r)$ である。
</Corollary>

<Proof of="cor-mean-monotone">
$u(a)\le\mathcal{M}_u(a,r)$ は <Ref to="thm-equivalent" /> の (b) です。$0<r<s\le R$ とし、<Ref to="thm-equivalent" /> の証明と同じ $\varphi_n$、$h_n$ を円周 $|z-a|=s$ について取ります。(c) から $D(a,s)$ 上で $u\le h_n$ なので、半径 $r$ の円周で平均すれば
$$
\mathcal{M}_u(a,r)\le\mathcal{M}_{h_n}(a,r)=h_n(a)=\mathcal{M}_{\varphi_n}(a,s)
$$
です（途中は $h_n$ の平均値の等式）。$n\to\infty$ で右辺は $\mathcal{M}_u(a,s)$ に収束します。
</Proof>

## 6. $\log|f|$ の劣調和性

劣調和関数の主な供給源は、正則関数の対数 $\log|f|$ です。まず、零点がない場所で $\log|f|$ が調和であることを確かめます。

<Lemma id="lem-log-harmonic" title="零点のない正則関数の $\log|g|$">
$g$ を開円板 $D$ 上の正則関数で、$D$ 上に零点をもたないものとする。このとき $\log|g|$ は $D$ 上で調和である。
</Lemma>

<Proof of="lem-log-harmonic">
$g'/g$ は $D$ 上で正則です。円板は単連結なので原始関数 $L$ をもちます（<Ref to="mathematics/complex-analysis/conformal-mapping#def-simply-connected" />）。$(ge^{-L})'=(g'-gL')e^{-L}=0$ で、$D$ は連結なので $ge^{-L}$ は零でない定数 $e^{\kappa}$ に等しく、$g=e^{L+\kappa}$ です。ゆえに $\log|g|=\operatorname{Re}(L+\kappa)$ で、正則関数の実部ですから調和です（<Ref to="mathematics/complex-analysis/holomorphic-functions#cor-harmonic" />）。
</Proof>

<Theorem id="thm-log-subharmonic" title="$\log|f|$ の劣調和性">
$f$ を開集合 $\Omega$ 上の正則関数とする。$\log|f|:\Omega\to[-\infty,\infty)$（$\log0=-\infty$）は $\Omega$ 上で劣調和である。
</Theorem>

<Proof of="thm-log-subharmonic">
$|f|$ は連続で、$\log:[0,\infty)\to[-\infty,\infty)$ も連続なので、$\log|f|$ は上半連続です。$a\in\Omega$ とします。$f(a)=0$ なら $\log|f(a)|=-\infty$ で、劣平均値不等式は自明です。$f(a)\ne0$ なら、連続性から $a$ の近傍の円板 $D(a,\rho)$ 上で $f\ne0$ です。<Ref to="lem-log-harmonic" /> から $\log|f|$ はそこで調和で、平均値の等式（<Ref to="mathematics/complex-analysis/harmonic-functions-poisson#cor-harmonic-smooth" />）から $0<r<\rho$ で $\log|f(a)|=\mathcal{M}_{\log|f|}(a,r)$ です。
</Proof>

したがって <Ref to="thm-equivalent" /> と <Ref to="cor-mean-monotone" /> が $\log|f|$ に使えます。とくに、$\overline{D}(a,R)\subset\Omega$ なら
$$
\log|f(a)|\le\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(a+Re^{i\theta})|\,d\theta,
$$
円周平均は $R$ について単調増加です。残る問いは、この不等式の不足分が何で決まるかです。答えが Jensen の公式です。

## 7. Jensen の公式

最初に、一次式の対数の円周平均を計算します。これが Jensen の公式のすべての部品になります。零点が円の内側か外側にあるときは、調和関数の平均値の等式だけで済みます。零点が円周上にあるときだけ、積分と極限の入れ替えが必要になり、証明の後半で優収束定理を使います。

<Lemma id="lem-log-linear" title="一次式の対数の円周平均">
$a\in\mathbb{C}$、$R>0$ に対して
$$
\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\bigl|Re^{i\theta}-a\bigr|\,d\theta=\log\max\{R,|a|\}
$$
である。（積分は $|a|=R$ のとき $\theta$ の 1 点で $-\infty$ をとるが、可積分である。）
</Lemma>

<Proof of="lem-log-linear">
**$|a|>R$ のとき。** $z\mapsto\log|z-a|$ は $D(0,|a|)$ 上で調和（<Ref to="lem-log-harmonic" />）で、$\overline{D}(0,R)\subset D(0,|a|)$ なので、平均値の等式から平均は中心での値 $\log|0-a|=\log|a|$ です。

**$|a|<R$ のとき。** $a=0$ なら平均は $\log R$ で自明です。$a\ne0$ のとき、$|Re^{i\theta}-a|=R\,|1-(a/R)e^{-i\theta}|$ です。$\zeta\mapsto\log|1-\zeta|$ は $D(0,1)$ で調和（$1-\zeta$ が零点をもたない）で、$s=|a|/R<1$ です。$(a/R)e^{-i\theta}$ は $\theta$ が一周する間に円周 $|\zeta|=s$ を一周するので、$\log|1-\zeta|$ のその円周上の平均は中心の値 $0$ です。ゆえに平均は $\log R$ です。

**$|a|=R$ のとき。** $a=Re^{i\alpha}$ とすると $|Re^{i\theta}-a|=R\,|e^{i(\theta-\alpha)}-1|$ で、周期関数の平均は平行移動で変わらないので、$J=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\log|e^{i\theta}-1|\,d\theta$ を求めればよいです（平均 $=\log R+J$）。$\rho\in[\tfrac12,1)$ について、直前の場合（$R=1$、$a=\rho$）から $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\log|e^{i\theta}-\rho|\,d\theta=0$ です。優関数を作ります。$|e^{i\theta}-\rho|^2=(1-\rho)^2+2\rho(1-\cos\theta)\ge1-\cos\theta=2\sin^2(\theta/2)$ で、$|\theta|\le\pi$ では $|\sin(\theta/2)|\ge|\theta|/\pi$ ですから $|e^{i\theta}-\rho|\ge\sqrt2|\theta|/\pi$ です。また $|e^{i\theta}-\rho|\le2$ です。したがって
$$
\bigl|\log|e^{i\theta}-\rho|\bigr|\le\log2+\Bigl|\log\frac{\sqrt2|\theta|}{\pi}\Bigr|
$$
で、右辺は $[-\pi,\pi]$ で可積分です。$\rho\uparrow1$ で $\theta\ne0$ では $\log|e^{i\theta}-\rho|\to\log|e^{i\theta}-1|$ なので、優収束定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/lebesgue-integral#thm-dct" />）から $J=0$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-jensen" title="Jensen の公式">
$f$ を、閉円板 $\overline{D}(0,R)$ を含む円板 $D(0,R')$（$R'>R$）上の正則関数で、恒等的には $0$ でないものとする。$f$ の原点でのテイラー展開を $f(z)=cz^m+(\text{高次})$（$c\ne0$）とし、$\overline{D}(0,R)\setminus\{0\}$ にある $f$ の零点を、位数の分だけ重複させて $a_1,\dots,a_N$ とする。このとき
$$
\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\bigl|f(Re^{i\theta})\bigr|\,d\theta=\log|c|+m\log R+\sum_{k=1}^{N}\log\frac{R}{|a_k|}
$$
である。とくに $f(0)\ne0$ なら $m=0$、$c=f(0)$ で、右辺は $\log|f(0)|+\sum_k\log(R/|a_k|)$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-jensen">
$f\not\equiv0$ なので、<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-identity" /> により $f$ の零点は $D(0,R')$ の中で集積せず、コンパクト集合 $\overline{D}(0,(R+R')/2)$ には有限個しかありません。したがって $R<R_1<R'$ を、$R<|z|<R_1$ に零点がないように取れます。原点の位数 $m$ の零点と $a_k$ の位数の分だけ順に因子を割ると、$D(0,R_1)$ 上の正則関数 $g$ で
$$
f(z)=z^m\prod_{k=1}^{N}(z-a_k)\cdot g(z),\qquad g\ \text{は}\ D(0,R_1)\ \text{で零点をもたない}
$$
となるものがあります（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#def-order-of-zero" />）。$z\to0$ で $f(z)/z^m\to c$ なので $g(0)=c\big/\prod_k(-a_k)$、すなわち $\log|g(0)|=\log|c|-\sum_k\log|a_k|$ です。

<Ref to="lem-log-harmonic" /> から $\log|g|$ は $D(0,R_1)$ 上で調和で、平均値の等式から $\mathcal{M}_{\log|g|}(0,R)=\log|g(0)|$ です。一方、円周上（零点を除く）で
$$
\log|f(Re^{i\theta})|=m\log R+\sum_k\log|Re^{i\theta}-a_k|+\log|g(Re^{i\theta})|
$$
です。各項が可積分なので（<Ref to="lem-log-linear" />）、積分して <Ref to="lem-log-linear" /> を使います。$|a_k|\le R$ なので $\log\max\{R,|a_k|\}=\log R$ で、
$$
\mathcal{M}_{\log|f|}(0,R)=m\log R+N\log R+\log|c|-\sum_k\log|a_k|
$$
です。これは主張の式です。
</Proof>

Jensen の公式の右辺で、零点 $a_k$ の寄与 $\log(R/|a_k|)$ は $|a_k|\le R$ なので $0$ 以上です。これが <Ref to="cor-mean-monotone" /> の不等式の不足分にあたります。

<Corollary id="cor-jensen-inequality" title="Jensen の不等式">
Jensen の公式の仮定の下で
$$
\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(Re^{i\theta})|\,d\theta\ge\log|c|+m\log R .
$$
とくに $f(0)\ne0$ なら $\log|f(0)|$ 以上で、等号は $\overline{D}(0,R)$ に零点がない（または零点が円周上だけにある）ときに限る。
</Corollary>

<Proof of="cor-jensen-inequality">
<Ref to="thm-jensen" /> の右辺の和は非負項の和です。和が $0$ になるのは、すべての $k$ で $|a_k|=R$ のとき、すなわち零点が円周上にしかないときです。
</Proof>

零点の個数を使った形も有用です。$n(t)$ を、$0<|z|\le t$ にある $f$ の零点の数（位数の重複込み）とします。

<Corollary id="cor-jensen-counting" title="個数関数を用いた Jensen の公式">
<Ref to="thm-jensen" /> の仮定の下で
$$
\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(Re^{i\theta})|\,d\theta=\log|c|+m\log R+\int_0^R\frac{n(t)}{t}\,dt .
$$
</Corollary>

<Proof of="cor-jensen-counting">
$\log(R/|a|)=\int_{|a|}^{R}\dfrac{dt}{t}=\int_0^R\dfrac{\mathbf{1}[|a|\le t]}{t}\,dt$ なので、$k=1,\dots,N$ について足せば $\sum_k\log(R/|a_k|)=\int_0^R\dfrac{n(t)}{t}\,dt$ です。
</Proof>

<Figure caption="Jensen の公式。円周平均 I(r) から log|f(0)| を引いたものを log r に対して描く。折れ線は凸で、傾きは半径 r の内側にある零点の個数に等しい（零点の絶対値が 0.2、0.5、0.8 の場合）。">
<svg viewBox="0 0 560 230" width="100%" role="img" aria-label="Jensenの公式のグラフ">
  <g stroke="currentColor" opacity="0.35" stroke-width="1" fill="none">
    <line x1="40" y1="180" x2="530" y2="180" />
    <line x1="40" y1="20" x2="40" y2="190" />
  </g>
  <g stroke="currentColor" opacity="0.35" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 4" fill="none">
    <line x1="179" y1="180" x2="179" y2="40" />
    <line x1="362" y1="180" x2="362" y2="40" />
    <line x1="456" y1="180" x2="456" y2="40" />
  </g>
  <polyline points="40,170 179,170 362,124 456,77 500,44" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2.2" />
  <g fill="currentColor" font-size="12">
    <text x="146" y="198">log 0.2</text>
    <text x="329" y="198">log 0.5</text>
    <text x="423" y="198">log 0.8</text>
    <text x="478" y="198">log 1</text>
    <text x="52" y="164">傾き 0</text>
    <text x="236" y="136">傾き 1</text>
    <text x="400" y="140">傾き 2</text>
    <text x="506" y="60">傾き 3</text>
    <text x="44" y="34">I(r) − log|f(0)|</text>
    <text x="440" y="218">log r →</text>
  </g>
</svg>
</Figure>

<Remark id="rem-jensen-convex">
図のとおり、$s=\log r$ の関数として $I(r)=\mathcal{M}_{\log|f|}(0,r)$ は、半径 $r$ が零点の絶対値を越えるたびに傾きが $1$ ずつ増える折れ線です。<Ref to="thm-jensen" /> を各 $r$（$|a_k|$ と異なる）に使えば $I(r)=\log|c|+m\log r+\sum_{|a_k|\le r}\log(r/|a_k|)$ で、$s$ について傾きは $m+n(e^{s})$ です。傾きが単調非減少なので、$I$ は $\log r$ の凸関数になります。劣調和関数一般についても、円周平均が $\log r$ の凸関数になることが知られています。
</Remark>

## 8. Poisson–Jensen 公式

Jensen の公式は円の中心 $0$ での値と円周の平均の関係でした。中心を一般の点 $z$ に替えたものが Poisson–Jensen 公式です。中心以外の点では、零点があると $\log|f|$ が調和でなくなり、Poisson 積分がそのままでは使えません。そこで、零点ごとに、円周上では絶対値が $1$ で円の内側の零点だけを同じ位置にもつ因子で $f$ を割り、零点のない関数にしてから Poisson 積分を使います。この因子が円板の自己同型で零点を円周へ送る Blaschke 因子です。$|a|<R$ のとき
$$
b_a(z)=\frac{R(z-a)}{R^2-\bar{a}z}
$$
とおきます。$b_a$ は $D(0,R^2/|a|)\supset\overline{D}(0,R)$ 上で正則で、零点は $z=a$（単純）だけです。

<Lemma id="lem-blaschke" title="Blaschke 因子">
$|a|<R$ のとき、$|z|=R$ で $|b_a(z)|=1$ であり、$|z|<R$ で $|b_a(z)|<1$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-blaschke">
$|z|=R$ のとき $|R^2-\bar{a}z|=|z\bar{z}-\bar{a}z|=R\,|\bar{z}-\bar{a}|=R\,|z-a|$ なので $|b_a(z)|=1$ です。$|z|<R$ のとき、$|R^2-\bar{a}z|^2-R^2|z-a|^2=(R^2-|a|^2)(R^2-|z|^2)>0$ （展開すれば確かめられる）なので $|b_a(z)|<1$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-poisson-jensen" title="Poisson–Jensen 公式">
$f$ を、閉円板 $\overline{D}(0,R)$ を含む円板上の正則関数で、恒等的には $0$ でなく、円周 $|z|=R$ 上に零点をもたないものとする。$D(0,R)$ の中の $f$ の零点を、重複込みで $a_1,\dots,a_N$ とする。$z=re^{i\varphi}\in D(0,R)$ が $f$ の零点でないとき
$$
\log|f(z)|=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}P_{r/R}(\varphi-\theta)\,\log|f(Re^{i\theta})|\,d\theta+\sum_{k=1}^{N}\log\bigl|b_{a_k}(z)\bigr|
$$
である。ここで $P_s$ は Poisson 核（<Ref to="mathematics/complex-analysis/harmonic-functions-poisson#def-poisson-kernel" />）で、右辺の和の各項は $0$ 以下である。
</Theorem>

<Proof of="thm-poisson-jensen">
$B=\prod_kb_{a_k}$ とおきます。円周上に零点がなく、零点が有限個なので、$R_2>R$ を、$D(0,R_2)$ での $f$ の零点が $a_k$ だけで、かつ $R_2\le R^2/|a_k|$ となるように取れます。$f/B$ は $a_k$ で（位数が一致するので）除去でき、$D(0,R_2)$ 上の零点をもたない正則関数 $g$ を与えます。<Ref to="lem-log-harmonic" /> から $\log|g|$ は調和です。

<Ref to="mathematics/complex-analysis/harmonic-functions-poisson#thm-poisson-formula" /> を半径 $R$ にスケールしたもの（同じ箇所の直後の注意）を $\log|g|$ に使うと、
$$
\log|g(z)|=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}P_{r/R}(\varphi-\theta)\,\log|g(Re^{i\theta})|\,d\theta .
$$
<Ref to="lem-blaschke" /> から円周上で $|B|=1$ なので $\log|g|=\log|f|$ です。また $\log|f(z)|=\log|g(z)|+\log|B(z)|$ で、$\log|B|=\sum_k\log|b_{a_k}|$ です。各項が $0$ 以下であることは <Ref to="lem-blaschke" /> です。
</Proof>

<Remark id="rem-poisson-jensen-meaning">
$z=0$ では $P_0\equiv1$、$|b_a(0)|=|a|/R$ なので、公式は $f(0)\ne0$ のときの Jensen の公式に一致します。一般の $z$ では、$-\log|b_a(z)|$ は円板の $a$ を極とする Green 関数（円周上で $0$ になり、$a$ で $+\infty$ になる）で、公式は「$\log|f|$ は調和な部分（Poisson 積分）から零点ごとの Green 関数を引いたもの」と読めます。劣調和関数の一般の分解（Riesz 分解）の、正則関数の場合の姿です。また、右辺の和が $0$ 以下であることから、$\log|f(z)|$ は円周上の値の Poisson 積分以下です。
</Remark>

## 9. 応用

### 9.1. 零点の個数の評価

<Corollary id="cor-zero-count" title="零点の個数の評価">
$f$ を $\overline{D}(0,2R)$ を含む円板上の正則関数で $f(0)\ne0$ とし、$M=\max_{|z|=2R}|f(z)|$ とする。$\overline{D}(0,R)$ にある $f$ の零点の個数（重複込み）を $n$ とすると
$$
n\le\frac{1}{\log2}\,\log\frac{M}{|f(0)|}
$$
である。
</Corollary>

<Proof of="cor-zero-count">
<Ref to="thm-jensen" /> を半径 $2R$ で使います。$\overline{D}(0,2R)$ の零点を $a_1,\dots,a_N$ とすると、
$$
\log|f(0)|+\sum_{k=1}^{N}\log\frac{2R}{|a_k|}=\mathcal{M}_{\log|f|}(0,2R)\le\log M
$$
です。和の各項は $0$ 以上で、$|a_k|\le R$ の項は $\log(2R/|a_k|)\ge\log2$ です。そのような項が $n$ 個あるので $n\log2\le\log M-\log|f(0)|$ です。
</Proof>

<Example id="ex-sinc-zeros" title="$\sin\pi z/(\pi z)$ の零点">
$f(z)=\dfrac{\sin\pi z}{\pi z}$ は整関数で $f(0)=1$、零点は $\pm1,\pm2,\dots$ です。$|\sin\pi z|\le\cosh(\pi\operatorname{Im}z)\le e^{\pi|z|}$ ですから、$|z|=2R$ で $|f|\le e^{2\pi R}/(2\pi R)$ です。<Ref to="cor-zero-count" /> から $\overline{D}(0,R)$ の零点の数 $2\lfloor R\rfloor$ は
$$
2\lfloor R\rfloor\le\frac{2\pi R-\log(2\pi R)}{\log2}
$$
を満たします。実際の値 $2R$ に対して右辺は約 $9.1R$ で、増大度が指数型（一次）の整関数の零点は $R$ に比例する程度しか増えない、という大きさの感覚を与えます。一般に $|f(z)|\le Ce^{B|z|^\rho}$ の整関数では、同じ議論で $\overline{D}(0,R)$ の零点の数は $O(R^\rho)$ と評価できます。
</Example>

### 9.2. 有界正則関数の零点

<Corollary id="cor-blaschke" title="有界正則関数の零点の Blaschke 条件">
$f$ を単位円板 $\mathbb{D}$ 上の正則関数で、$|f|\le M$ かつ $f(0)\ne0$ とする。$f$ の零点を重複込みで $a_1,a_2,\dots$ とすると
$$
\sum_k\log\frac{1}{|a_k|}\le\log\frac{M}{|f(0)|},\qquad\text{したがって}\quad\sum_k(1-|a_k|)\le\log\frac{M}{|f(0)|}<\infty
$$
である。
</Corollary>

<Proof of="cor-blaschke">
$0<r<1$ に <Ref to="thm-jensen" /> を使うと、$\sum_{|a_k|\le r}\log(r/|a_k|)=\mathcal{M}_{\log|f|}(0,r)-\log|f(0)|\le\log M-\log|f(0)|$ です。零点の有限部分集合 $F$ を固定し、$r$ を $F\subset\overline{D}(0,r)$ となるように取れば、$\sum_{k\in F}\log(r/|a_k|)\le\log(M/|f(0)|)$ で、$r\uparrow1$ として $\sum_{k\in F}\log(1/|a_k|)\le\log(M/|f(0)|)$ を得ます。$F$ は任意なので、非負項の級数 $\sum_k\log(1/|a_k|)$ の部分和が上から押さえられ、級数は収束して主張の不等式を与えます。$0<t\le1$ で $1-t\le\log(1/t)$ なので、後半も従います。
</Proof>

これは、有界な正則関数が $\mathbb{D}$ の内部に零点を無制限には持てないことを示します。たとえば $a_k=1-\dfrac{1}{k+1}$（$k\ge1$）は $\sum(1-|a_k|)=\sum\dfrac{1}{k+1}=\infty$ なので、これらすべてを零点にもつ有界な正則関数で $f(0)\ne0$ となるものは存在しません。逆に、$\sum(1-|a_k|)<\infty$ なら、これらを零点にもつ有界正則関数（Blaschke 積）が存在することが知られています。

### 9.3. Hadamard の三円定理

最大値原理の記事（<Ref to="mathematics/complex-analysis/maximum-principle-normal-families#cor-three-circles" />）では、三線定理から三円定理を導きました。ここでは、$\log|f|$ の劣調和性だけから直接証明します。

<Theorem id="thm-three-circles" title="Hadamard の三円定理">
$0<r_1<r_2$ とし、$f$ を閉円環 $\{r_1\le|z|\le r_2\}$ を含む円環領域上の正則関数で、恒等的には $0$ でないものとする。$M(r)=\max_{|z|=r}|f(z)|$ とすると、$r_1\le r\le r_2$ で
$$
\log M(r)\le\frac{\log(r_2/r)}{\log(r_2/r_1)}\log M(r_1)+\frac{\log(r/r_1)}{\log(r_2/r_1)}\log M(r_2)
$$
である。すなわち $\log M(e^{t})$ は $t=\log r$ の凸関数である。
</Theorem>

<Proof of="thm-three-circles">
円周は無限集合でコンパクトなので、$f\not\equiv0$ なら（一致の定理 <Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-identity" /> により）$f$ は円周上に零点を無限個もてず、$M(r)>0$ です。$\ell=\log(r_2/r_1)$ とし、
$$
L(z)=\log M(r_1)+\frac{\log M(r_2)-\log M(r_1)}{\ell}\,\bigl(\log|z|-\log r_1\bigr)
$$
とおきます。$\log|z|=\tfrac12\log(x^2+y^2)$ は $z\ne0$ で $\Delta\log|z|=0$ です（$\partial_{xx}\log|z|=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2$、$\partial_{yy}$ は $x,y$ を入れ替えたもの）。ゆえに $L$ は調和で、$|z|=r_j$ で $L=\log M(r_j)$（$j=1,2$）です。

$w=\log|f|-L$ は閉円環上で上半連続、開円環上で劣調和です（<Ref to="thm-log-subharmonic" /> と <Ref to="lem-operations" />）。境界の 2 つの円周で $w\le0$ なので、<Ref to="thm-max-subharmonic" /> の 2 から $w\le0$ が円環の内部で成り立ちます。ゆえに $|z|=r$ で $\log|f(z)|\le L(z)=\log M(r_1)+\dfrac{\log M(r_2)-\log M(r_1)}{\ell}\log\dfrac{r}{r_1}$ で、$\max$ を取れば主張の不等式です。
</Proof>

等号が成り立つ例は $f(z)=cz^k$（$k$ は整数）です。このとき $\log M(e^t)=\log|c|+kt$ は $t$ の一次式です。

### 9.4. 多項式の円周上の対数平均：Mahler 測度

<Theorem id="thm-mahler" title="多項式の円周上の対数平均">
$P(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)$（$a_n\ne0$、$z_k\in\mathbb{C}$）とする。このとき
$$
\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\bigl|P(e^{i\theta})\bigr|\,d\theta=\log|a_n|+\sum_{k=1}^{n}\log\max\{1,|z_k|\}
$$
である。（円周上に根があってもよい。）
</Theorem>

<Proof of="thm-mahler">
$\log|P(e^{i\theta})|=\log|a_n|+\sum_k\log|e^{i\theta}-z_k|$ です（根と一致する $\theta$ は有限個で、積分に影響しない）。各項は <Ref to="lem-log-linear" />（$R=1$）で可積分で、平均が $\log\max\{1,|z_k|\}$ です。足し合わせれば主張です。
</Proof>

左辺の指数を取った $M(P)=\exp\bigl(\frac{1}{2\pi}\int\log|P(e^{i\theta})|\,d\theta\bigr)=|a_n|\prod_k\max\{1,|z_k|\}$ を $P$ の **Mahler 測度**といいます。$|P|$ の円周上の幾何平均で、円の外側にある根だけを大きさで数えます。$M(PQ)=M(P)M(Q)$ もすぐ従います。

<Example id="ex-golden-mahler" title="$z^2-z-1$ の Mahler 測度">
$P(z)=z^2-z-1$ の根は $\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1.618$ と $-1/\varphi\approx-0.618$ です。<Ref to="thm-mahler" /> から $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|e^{2i\theta}-e^{i\theta}-1|\,d\theta=\log\varphi$ で、Mahler 測度は黄金比 $\varphi$ です。一方 $P(0)=-1$ で、Jensen の不等式（<Ref to="cor-jensen-inequality" />）の下界は $\log|P(0)|=0$ です。不足分 $\log\varphi$ は、円内にある根 $-1/\varphi$ の寄与 $\log(1/|{-1/\varphi}|)=\log\varphi$ に等しく、<Ref to="thm-jensen" /> と合っています。
</Example>

<Remark id="rem-jensen-polynomial">
$f(0)\ne0$ の多項式 $f$ について $\int_0^1\log|f(e^{2\pi i\theta})|\,d\theta\ge\log|f(0)|$ が成り立つ、という形（<Ref to="cor-jensen-inequality" /> の多項式版）は、位相を複素化した Lyapunov 指数の下からの評価に使われます。<Ref to="thm-mahler" /> はその等式版で、不足分は円の内側にある根 $z_k$ の $\log(1/|z_k|)$ の総和です。
</Remark>

### 9.5. 有理型関数への拡張：近接関数と Nevanlinna の第一主要定理

Jensen の公式を有理型関数（<Ref to="mathematics/complex-analysis/argument-principle-rouche#def-meromorphic" />）に広げると、零点と極が対称な役割を演じます。さらに「値 $a$ を何回取るか」と「値 $a$ にどれだけ近づくか」を足したものが $a$ によらない、という値分布論の出発点が得られます。以下の 3 つの定義は、前者を個数関数 $N$、後者を近接関数 $m$ で測り、その和を特性関数 $T$ とするためのものです。零点の個数を $\log$ の積分で測る Jensen の公式と同じ形で、極の個数も測ります。$x\ge0$ について $\log^+x=\max\{\log x,0\}$（$\log^+0=0$）と書くと、$x>0$ で $\log x=\log^+x-\log^+(1/x)$ です。

<Definition id="def-nevanlinna-functions" title="近接関数・個数関数・特性関数">
$f$ を $\overline{D}(0,R)$ を含む円板上の有理型関数で、恒等的に $0$ でなく、$0$ が零点でも極でもないものとする。$0<r\le R$ について

- **近接関数** $m(r,f)=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}\log^+\bigl|f(re^{i\theta})\bigr|\,d\theta$（極は円周上に有限個なので、その点は積分から除く）、
- **個数関数** $N(r,f)=\displaystyle\int_0^r\frac{n(t,f)}{t}\,dt$（$n(t,f)$ は $|z|\le t$ にある $f$ の極の個数、位数の重複込み）、
- **特性関数** $T(r,f)=m(r,f)+N(r,f)$

と置く。$a\in\mathbb{C}$ で $f(0)\ne a$ のとき、$m(r,a)=m\bigl(r,1/(f-a)\bigr)$、$N(r,a)=N\bigl(r,1/(f-a)\bigr)$ と書く。$N(r,a)$ は $f=a$ となる点（$a$-点）の個数を、$m(r,a)$ は円周上で $f$ が $a$ にどれだけ近いかを測る。
</Definition>

<Theorem id="thm-jensen-meromorphic" title="有理型関数の Jensen の公式">
<Ref to="def-nevanlinna-functions" /> の $f$ について
$$
\log|f(0)|=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\bigl|f(Re^{i\theta})\bigr|\,d\theta-N(R,1/f)+N(R,f)
$$
が成り立つ。言い換えると $T(R,f)=T(R,1/f)+\log|f(0)|$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-jensen-meromorphic">
極は孤立しているので（<Ref to="mathematics/complex-analysis/argument-principle-rouche#lem-finite" />）、$\overline{D}(0,R)$ にある極は有限個で、重複込みで $b_1,\dots,b_P$ とします。$Q(z)=\prod_j(z-b_j)$ と置くと、$g=Qf$ は各 $b_j$ で除去可能特異点をもち（位数 $k$ の極に位数 $k$ の零点を掛けている）、$\overline{D}(0,R')$（$R'>R$ を極が増えないように選ぶ）上の正則関数で、$\overline{D}(0,R)$ での零点は $f$ の零点と重複込みで一致し、$g(b_j)\ne0$ です。$g(0)=f(0)\prod_j(-b_j)\ne0$ です。

$g$ に <Ref to="cor-jensen-counting" />（$m=0$）を使うと、$\frac1{2\pi}\int\log|g(Re^{i\theta})|\,d\theta=\log|g(0)|+N(R,1/f)$ です。$Q$ には <Ref to="lem-log-linear" /> を各因子に使い、$|b_j|\le R$ から $\frac1{2\pi}\int\log|Q(Re^{i\theta})|\,d\theta=P\log R$ です。円周上（有限個の点を除く）で $\log|f|=\log|g|-\log|Q|$ なので
$$
\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(Re^{i\theta})|\,d\theta=\log|f(0)|+\sum_j\log|b_j|+N(R,1/f)-P\log R=\log|f(0)|+N(R,1/f)-\sum_j\log\frac{R}{|b_j|}.
$$
<Ref to="cor-jensen-counting" /> の証明と同じ計算で $\sum_j\log(R/|b_j|)=\int_0^R\frac{n(t,f)}{t}dt=N(R,f)$ なので、第 1 の式が出ます。$\log|f|=\log^+|f|-\log^+|1/f|$ から左辺の積分は $m(R,f)-m(R,1/f)$ で、代入して整理すれば $T(R,f)=T(R,1/f)+\log|f(0)|$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-nevanlinna-first" title="Nevanlinna の第一主要定理">
<Ref to="def-nevanlinna-functions" /> の $f$ と、$f(0)\ne a$ をみたす $a\in\mathbb{C}$ について
$$
m(R,a)+N(R,a)=T(R,f)-\log|f(0)-a|+\varepsilon(R,a),\qquad|\varepsilon(R,a)|\le\log^+|a|+\log2
$$
が成り立つ。
</Theorem>

<Proof of="thm-nevanlinna-first">
$f-a$ に <Ref to="thm-jensen-meromorphic" /> を使うと $T(R,1/(f-a))=T(R,f-a)-\log|f(0)-a|$ で、左辺は $m(R,a)+N(R,a)$ です。$f-a$ と $f$ は極が同じなので $N(R,f-a)=N(R,f)$ です。$x,y\ge0$ について $x+y\le2\max\{x,y\}$ から $\log^+(x+y)\le\log^+x+\log^+y+\log2$ なので、$\log^+|f-a|\le\log^+|f|+\log^+|a|+\log2$、$\log^+|f|\le\log^+|f-a|+\log^+|a|+\log2$ です。円周上で平均すると $|m(R,f-a)-m(R,f)|\le\log^+|a|+\log2$、すなわち $\varepsilon(R,a)=T(R,f-a)-T(R,f)$ が主張の評価をみたします。
</Proof>

<Example id="ex-nevanlinna-exp" title="指数関数の特性関数">
$f(z)=e^z$ は極も零点ももたないので $N(r,f)=N(r,1/f)=0$ です。$\log^+|e^{re^{i\theta}}|=\max\{r\cos\theta,0\}$ なので
$$
T(r,e^z)=m(r,e^z)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r\cos\theta\,d\theta=\frac r\pi .
$$
値 $0$ は一度も取らないので $N(r,0)=0$ ですが、第一主要定理から $m(r,0)=m(r,e^{-z})=r/\pi$ で、取らない代わりに円周の左半分で $0$ に指数的に近づいています。値 $a\ne0$ については $e^z=a$ の解が $\log|a|+i(\arg a+2\pi k)$ なので $n(t,a)\approx t/\pi$、$N(r,a)\approx r/\pi$ で、こちらは主に個数で $T(r,f)$ を使い切ります。
</Example>

Nevanlinna 理論の深い部分は、$N(r,a)$ が $T(r,f)$ に比べて小さくなりうる値 $a$ がほとんどないことを主張する**第二主要定理**と、そこから出る**欠如関係** $\sum_a\delta(a)\le2$（$\delta(a)=\liminf_{r\to\infty}m(r,a)/T(r,f)$）です。$\mathbb{C}$ 上の定数でない有理型関数が取らない値は高々 $2$ 個である、という Picard の定理の定量化にあたります。この記事では扱いません（W. K. Hayman, *Meromorphic Functions*, Oxford, 1964, 第 1–2 章）。

## 10. 演習

<Exercise id="exr-mahler-compute" difficulty="易">
$\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}\log\bigl|e^{2i\theta}-3e^{i\theta}+2\bigr|\,d\theta$ を求めよ。
<Solution>
$z^2-3z+2=(z-1)(z-2)$ なので、<Ref to="thm-mahler" /> から $\log|1|+\log\max\{1,1\}+\log\max\{1,2\}=\log2$ です。根 $1$ は円周上にあり、寄与は $0$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-subharmonic-power" difficulty="標準">
$u$ を $\Omega$ 上の劣調和関数、$p>0$ とする（$e^{-\infty}=0$ とする）。$e^{pu}$ が劣調和であることを示せ。これを用いて、$f$ が正則なら $|f|^p$ が劣調和であり、$r\mapsto\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^p\,d\theta$ が単調非減少であることを導け。
<Solution>
$e^{pu}$ は上半連続です（$e^{pt}$ が単調増加で連続なので $\{e^{pu}<s\}=\{u<\log s/p\}$、$s>0$ は開で、$s\le 0$ のときは空）。$\phi(t)=e^{pt}$ は凸なので、Jensen の不等式（平均に関する凸関数の不等式）から $\phi(\mathcal{M}_u(a,r))\le\mathcal{M}_{\phi\circ u}(a,r)$ です。$\phi$ は単調増加で、$u(a)\le\mathcal{M}_u(a,r)$ から $e^{pu(a)}\le e^{p\mathcal{M}_u(a,r)}\le\mathcal{M}_{e^{pu}}(a,r)$ を得ます（$\mathcal{M}_u=-\infty$ のとき $\phi(-\infty)=0$ として自明）。ゆえに $e^{pu}$ は劣調和です。$u=\log|f|$（<Ref to="thm-log-subharmonic" />）とすれば $e^{pu}=|f|^p$ は劣調和で、<Ref to="cor-mean-monotone" /> から円周平均は単調非減少です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-zeros-sharp" difficulty="難">
$f$ を $\mathbb{D}$ 上の正則関数で $|f|\le1$、$f(0)=\frac12$ とする。$f$ の $\overline{D}(0,\tfrac12)$ にある零点（重複込み）は高々 $1$ 個であることを示せ。またこの評価が最良であることを、例で示せ。
<Solution>
<Ref to="cor-blaschke" /> から $\sum_k\log(1/|a_k|)\le\log(1/|f(0)|)=\log2$ です。$|a_k|\le\frac12$ の零点は各々 $\log(1/|a_k|)\ge\log2$ を寄与するので、2 個以上あれば和が $2\log2>\log2$ となり矛盾します。最良性：$f(z)=\dfrac{\frac12-z}{1-\frac12z}$ は $\mathbb{D}$ で $|f|\le1$（<Ref to="lem-blaschke" /> で $R=1$、$a=\tfrac12$ の $-b_a$）で、$f(0)=\tfrac12$、零点 $z=\tfrac12$（単純）を $\overline{D}(0,\tfrac12)$ にもちます。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- L. V. Ahlfors, *Complex Analysis*, 3rd ed., McGraw-Hill, 1979 — 第 5 章 §3（Jensen の公式）。
- W. Rudin, *Real and Complex Analysis*, 3rd ed., McGraw-Hill, 1987 — 第 15 章（Jensen の公式、Blaschke 積）。
- T. Ransford, *Potential Theory in the Complex Plane*, Cambridge University Press, 1995 — 第 2 章（劣調和関数）。
- G. Everest and T. Ward, *Heights of Polynomials and Entropy in Algebraic Dynamics*, Springer, 1999 — 第 1 章（Mahler 測度と Jensen の公式）。