# 整関数とガンマ関数：Weierstrass の無限積から ζ 関数の関数等式まで > 整関数を零点で因数分解する Weierstrass の定理と Mittag-Leffler の定理を証明し、sin の無限積・Γ 関数の相反公式と Stirling の公式・ζ 関数の関数等式を導く。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma ## 0. この記事の要点 多項式は、零点がわかれば $(z-a_1)(z-a_2)\cdots$ という積に分けられます。この記事は、零点が無限個ある関数でも同じように「零点の積」に分けられるか、という素朴な疑問から始まります。その答えを使って、$\sin$ を無限個の因子の積で書き、階乗 $n!$ を複素数に拡げたガンマ関数をつくり、素数の研究に現れるゼータ関数の対称性までを証明します。読み終えると、これらの公式がどの道具からどう出てくるかを自分で追えるようになります。 - **無限積** $\prod(1+a_n)$ は $\sum|a_n|<\infty$ のとき収束し、零点は因子の零点だけです。正則関数の無限積は[局所一様収束](/mathematics/complex-analysis/argument-principle-rouche#def-locally-uniform)（コンパクトな範囲ごとに一様に収束すること）で正則になります。 - **Weierstrass の因数分解定理**：複素平面上に（無限遠でだけ集積する）点列が与えられれば、その点列をちょうど零点にもつ[整関数](/mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#def-entire)が、素因子 $E_p(z)=(1-z)\exp\bigl(z+\tfrac{z^2}{2}+\cdots+\tfrac{z^p}{p}\bigr)$（収束を助けるための補正つきの因子）の無限積で作れます。任意の整関数は、零点から作った無限積と $e^{g}$ の積に書けます。 - **Mittag-Leffler の定理**：極と主要部（極の近くでの発散の部分）を勝手に指定した有理型関数が存在します。例として $\pi\cot\pi z=\dfrac1z+\sum_{n\ge1}\dfrac{2z}{z^2-n^2}$ を留数定理で証明し、そこから $\sin\pi z=\pi z\prod(1-z^2/n^2)$ と $\zeta(2)=\pi^2/6$ を導きます。 - **ガンマ関数** $\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt$ は、全平面の有理型関数に延びます。Gauss の極限公式、$1/\Gamma$ の無限積、相反公式 $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi/\sin\pi z$、実軸上の Stirling の公式（誤差 $\le1/(12x)$ つき）を証明します。 - **ζ 関数**は、テータ関数の変換則（Poisson 積分を使って示す）から全平面へ[解析接続](/mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#def-continuation)（定義域を拡げること）され、$\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$ が $s\leftrightarrow1-s$ で不変（関数等式）になります。 ## 1. 動機：多項式の因数分解を整関数へ 多項式 $p(z)$ は零点 $a_1,\dots,a_n$ を使って $c\prod(z-a_k)$ と因数分解されます（代数学の基本定理、）。整関数 $f$ に対して、同じことは起こるでしょうか。零点は無限個あってよく、たとえば $\sin\pi z$ は整数全体に零点をもちます。「$\prod(z-n)$」は発散しますから、収束するように因子を調整する必要があります。この調整が素因子 $E_p$ で、Weierstrass はこれで「零点の分布は任意に指定できる」ことを示しました。 同じ発想は極にも使えます。零点が与えられた整関数が作れるなら、極と主要部を与えた有理型関数も作れます（Mittag-Leffler）。この 2 つの定理が、整関数と有理型関数を「零点と極で決まるもの」と見る視点の出発点です。 その応用が特殊関数です。階乗 $n!$ を複素数へ補間する $\Gamma(z)$ は、極が $0,-1,-2,\dots$ にあるので、$1/\Gamma$ が零点が負の整数だけの整関数として Weierstrass の積で書けます。さらに素数の分布を支配するリーマンの ζ 関数の関数等式が、$\Gamma$ とテータ関数から出てきます。 ## 2. 準備 | 事実 | 出典 | |---|---| | 局所一様収束極限の正則性と導関数の収束 | | | リウヴィルの定理、テイラー展開、除去可能特異点定理 | 、、 | | 留数定理 | | | 指数関数・三角関数・対数の主枝 | 、 | | 円板の Dirichlet 問題と Poisson 核（Fourier 級数の収束に使う） | 、 | | 優収束定理・単調収束定理 | 、 | | ガウス積分 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$ | | 広義積分はルベーグ積分として扱います。 ## 3. 無限積 $|w|\le\tfrac12$ ならば $\operatorname{Log}(1+w)=\sum_{k\ge1}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}w^k$ であり、$|\operatorname{Log}(1+w)|\le2|w|$ である。 $\operatorname{Log}(1+w)$ は $D(0,1)$ 上正則で（）、$\operatorname{Log}1=0$、導関数は $\dfrac1{1+w}=\sum_{k\ge0}(-w)^k$ です。テイラー展開の係数は導関数の係数を積分したものなので上の級数を得ます。$|w|\le\tfrac12$ で $\bigl|\sum\frac{(-1)^{k+1}}{k}w^k\bigr|\le\sum_{k\ge1}|w|^k=\dfrac{|w|}{1-|w|}\le2|w|$ です。 $\Omega$ を開集合、$a_n$ を $\Omega$ 上の正則関数とし、任意のコンパクト集合 $K\subset\Omega$ に対して $\sum_n\sup_K|a_n|<\infty$ とする。このとき部分積 $P_N=\prod_{n=1}^{N}(1+a_n)$ は $\Omega$ 上で局所一様収束し、極限 $P$ は正則である。$P(z)=0$ となるのは、ある $n$ で $1+a_n(z)=0$ のとき、かつそのときに限る。さらに $P(z)\ne0$ の点で $$ \frac{P'(z)}{P(z)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n'(z)}{1+a_n(z)} $$ で、右辺は局所一様収束する。 $\overline{D}\subset\Omega$ を閉円板とします。$\sum\sup_{\overline{D}}|a_n|<\infty$ から項は $0$ に収束するので、$n>N$ で $\sup_{\overline{D}}|a_n|\le\tfrac12$ となる $N$ が取れます。$n>N$ では により $\ell_n=\operatorname{Log}(1+a_n)$ は $\overline{D}$ 上連続（内部で正則）で $|\ell_n|\le2|a_n|$ です。ワイエルシュトラスの $M$ 判定法（ と同じ論法）で $\sum_{n>N}\ell_n$ は $\overline{D}$ 上一様収束し、極限 $L$ は内部で正則です（）。$\prod_{NN}\ell_n'=\sum_{n>N}\frac{a_n'}{1+a_n}$（導関数の収束）から従います。 ## 4. Weierstrass の因数分解定理 $\prod(1-z/a_n)$ は、$\sum1/|a_n|<\infty$ でなければ収束しません。収束を保証するために、各因子に「$\exp$ の多項式」を掛けて、$z\to0$ での振る舞いを $1$ に近づけます。 整数 $p\ge0$ に対して $$ E_p(z)=(1-z)\exp\!\Bigl(z+\frac{z^2}{2}+\cdots+\frac{z^p}{p}\Bigr)\qquad(E_0(z)=1-z) $$ を**素因子**という。$E_p$ は整関数で、零点は $z=1$ だけ（単純）である。 $|z|\le1$ ならば $|1-E_p(z)|\le|z|^{p+1}$ である。 $p=0$ は自明（$1-E_0=z$）です。$p\ge1$ とし $g(z)=\sum_{k=1}^{p}z^k/k$ とおきます。$g'=1+z+\cdots+z^{p-1}$ と $(1-z)g'=1-z^p$ から $$ E_p'(z)=e^{g}\bigl(-1+(1-z)g'\bigr)=-z^{p}e^{g(z)} . $$ $g$ のテイラー係数は非負なので $e^{g}=\sum_{j\ge0}d_jz^j$ の $d_j\ge0$ です。$E_p(0)=1$ ですから項別積分して $$ 1-E_p(z)=\sum_{j\ge0}\frac{d_j}{j+p+1}z^{j+p+1}=z^{p+1}\sum_{j\ge0}\alpha_jz^j\qquad(\alpha_j\ge0). $$ $|z|\le1$ で $\bigl|\sum\alpha_jz^j\bigr|\le\sum\alpha_j$ で、$z=1$ を代入すると $\sum\alpha_j=1-E_p(1)=1$ です。 次の定理で $n$ 番目の因子に $E_{n-1}$ を使うのは、$n$ が大きいほど $|z/a_n|$ が小さい範囲で $E_{n-1}$ が $1$ に近づく速さを上げ、$\sum 2^{-n}$ のような収束する級数で抑えるためです。次数を $n-1$ と選ぶのは、補題で出る $|z/a_n|^{n}$ の形に合わせるための最も単純な選び方です。 $(a_n)_{n\ge1}$ を $0$ でない複素数の列で、重複を許し、有限個か、または $|a_n|\to\infty$ とする。このとき $$ P(z)=\prod_{n}E_{n-1}\!\left(\frac{z}{a_n}\right) $$ は $\mathbb{C}$ 上で局所一様収束して整関数となり、その零点は $a_n$ の各値を、列に現れる回数だけの位数でとる。 有限個なら自明なので無限列とします。$R>0$ を取ります。$|a_n|\ge2R$ となる $n\ge n_0$ では、$|z|\le R$ で $|z/a_n|\le\tfrac12$ ですから で $$ \bigl|1-E_{n-1}(z/a_n)\bigr|\le\Bigl(\frac{R}{|a_n|}\Bigr)^{n}\le2^{-n} $$ です。$\sum2^{-n}<\infty$ なので （$a_n(z)=E_{n-1}(z/a_n)-1$）が使え、$|z| $f\not\equiv0$ を整関数とし、$0$ での零点の位数を $m\ge0$、$0$ 以外の零点を重複度の回数だけ並べて $a_1,a_2,\dots$ とする。このとき整関数 $g$ が存在して $$ f(z)=z^{m}e^{g(z)}\prod_{n}E_{n-1}\!\left(\frac{z}{a_n}\right) $$ が成り立つ。 $f$ の零点は集積点をもたない（一致の定理、）ので、各有界集合に高々有限個です。よって零点は $|a_1|\le|a_2|\le\cdots$ と並べられ、無限個なら $|a_n|\to\infty$ です。 の $P$ を取ります。$h=f/(z^mP)$ は零点を除いて正則で、各零点で分子・分母の位数が一致するため、除去可能特異点定理（）により整関数に延び、どこでも零になりません。$h'/h$ は整関数なので、冪級数を項別積分して原始関数 $g$ をもちます（）。$(he^{-g})'=e^{-g}(h'-g'h)=0$ から $he^{-g}$ は定数 $e^{c}$、すなわち $h=e^{g+c}$ です。 ## 5. Mittag-Leffler の定理と cot の部分分数展開 $b_1,b_2,\dots$ を相異なる $0$ でない複素数の列で、有限個か、または $|b_n|\to\infty$ とする。各 $n$ について $P_n(z)=\sum_{k=1}^{m_n}c_{n,k}(z-b_n)^{-k}$ を与える。このとき $\mathbb{C}$ 上の有理型関数 $F$ で、極の集合がちょうど $\{b_n:P_n\ne0\}$ であり、各 $b_n$ で $F-P_n$ が正則となるものが存在する。 $P_n$ は $D(0,|b_n|)$ で正則なので、そのテイラー展開は $|z|\le|b_n|/2$ で一様収束し、テイラー多項式 $T_n$ を、$\sup_{|z|\le|b_n|/2}|P_n(z)-T_n(z)|<2^{-n}$ となるように選べます。$F=\sum_n(P_n-T_n)$ とします。$R>0$ を取ると、$|b_n|\ge2R$ の項は $|z|\le R$ で絶対値が $2^{-n}$ 未満なので、その和は $|z|）です。残りの有限個の項は有理型で、極は $b_n$ のみです。したがって $F$ は有理型で、$b_n$ における主要部は $P_n$ です。 同じ主要部をもつ有理型関数どうしの差は極をもたないので整関数です。ゆえに $F$ の一意性は「整関数の分だけ」の自由度です。零点の指定（）と、極の指定（）は、どちらも「局所では多項式の因数分解・部分分数分解、全体ではそれを収束させる補正」という形をしています。 具体的な極の指定として、$\sin\pi z$ の零点（整数）に対応する $\pi\cot\pi z$ を調べます。$\cot\pi z=\cos\pi z/\sin\pi z$ は、$\sin\pi z=0\iff e^{2\pi iz}=1\iff z\in\mathbb{Z}$ より整数に単純極をもち、$\zeta=n$ での留数は $\dfrac{\pi\cos\pi n}{\pi\cos\pi n}=1$ です。 次の命題の証明の方針は、整数に極をもつ $\pi\cot\pi\zeta$ に $\dfrac{z}{\zeta(\zeta-z)}$ を掛けた関数を正方形の周に沿って積分することです。掛ける因子は、$\zeta=z$ に極をつくって求める $\pi\cot\pi z$ を留数として取り出し、かつ $\zeta$ が大きいところで $1/\zeta^2$ のように小さくなって周回積分を $0$ に行かせるために置きます。正方形を大きくすれば、整数の極の留数が部分分数の各項になります。 $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ について $$ \pi\cot\pi z=\frac1z+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2z}{z^2-n^2}, $$ 右辺の級数は $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ の任意のコンパクト集合上で一様収束する。 **cot の評価。** $\sin(a+ib)=\sin a\cosh b+i\cos a\sinh b$ なので $|\sin(a+ib)|^2=\sin^2a+\sinh^2b$、同様に $|\cos(a+ib)|^2=\cos^2a+\sinh^2b$ です。$N$ を自然数、$C_N$ を頂点 $\pm(N+\tfrac12)\pm i(N+\tfrac12)$ の正方形の周（反時計回り）とします。縦の辺 $\operatorname{Re}\zeta=\pm(N+\tfrac12)$ では $\sin^2(\pi\operatorname{Re}\zeta)=1$、$\cos^2=0$ なので $|\cot\pi\zeta|^2=\dfrac{\sinh^2}{1+\sinh^2}\le1$。横の辺 $|\operatorname{Im}\zeta|=N+\tfrac12$ では $s=\sinh^2(\pi\operatorname{Im}\zeta)\ge\sinh^2(\pi/2)$ として $|\cot\pi\zeta|^2=\dfrac{\cos^2+s}{\sin^2+s}\le\dfrac{1+s}{s}=\coth^2(\pi\operatorname{Im}\zeta)\le\coth^2(\tfrac\pi2)<4$ です。よって $C_N$ 上で $|\pi\cot\pi\zeta|\le2\pi$。 **留数計算。** $z\notin\mathbb{Z}$ を固定し、$N>|z|$ を取ります。 $$ G(\zeta)=\frac{z\,\pi\cot\pi\zeta}{\zeta(\zeta-z)} $$ を、凸な（したがって単連結な）領域 $D=\{|\operatorname{Re}\zeta|）により $$ \pi\cot\pi z-\frac1z+\sum_{0<|n|\le N}\Bigl(\frac1{n-z}-\frac1n\Bigr)=\frac1{2\pi i}\oint_{C_N}G(\zeta)\,d\zeta=:I_N . $$ $n$ と $-n$ の項をまとめると $\dfrac1{n-z}-\dfrac1{n+z}=\dfrac{2z}{n^2-z^2}$ ですから、$\pi\cot\pi z=\dfrac1z+\sum_{n=1}^N\dfrac{2z}{z^2-n^2}+I_N$ です。 **$I_N\to0$。** $C_N$ 上で $|\zeta|\ge N+\tfrac12$、$|\zeta-z|\ge N+\tfrac12-|z|$、周の長さは $8(N+\tfrac12)$ なので、ML 不等式で $$ |I_N|\le\frac1{2\pi}\cdot8\bigl(N+\tfrac12\bigr)\cdot\frac{|z|\cdot2\pi}{(N+\tfrac12)(N+\tfrac12-|z|)}=\frac{8|z|}{N+\tfrac12-|z|}\to0 . $$ 一様収束は、コンパクト集合 $K\subset\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ で $|2z/(z^2-n^2)|\le c_K/n^2$（$n$ 大）から $M$ 判定法で従います。 すべての $z\in\mathbb{C}$ で $$ \sin\pi z=\pi z\prod_{n=1}^{\infty}\Bigl(1-\frac{z^2}{n^2}\Bigr) . $$ $P(z)=\pi z\prod_{n\ge1}(1-z^2/n^2)$ とします。$a_n(z)=-z^2/n^2$ はコンパクト集合上で $\sum\sup|a_n|<\infty$ なので が使え、$P$ は整関数で、零点はちょうど整数（各々単純）です。$z\notin\mathbb{Z}$ で $$ \frac{P'(z)}{P(z)}=\frac1z+\sum_{n\ge1}\frac{-2z/n^2}{1-z^2/n^2}=\frac1z+\sum_{n\ge1}\frac{2z}{z^2-n^2}=\pi\cot\pi z=\frac{(\sin\pi z)'}{\sin\pi z} $$ です（）。したがって $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ 上で $\bigl(\sin\pi z/P(z)\bigr)'=\dfrac{\sin\pi z}{P(z)}\Bigl(\pi\cot\pi z-\dfrac{P'}{P}\Bigr)=0$ です。$\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ は連結なので $\sin\pi z/P(z)$ は定数で、$z\to0$ で $\dfrac{\sin\pi z}{\pi z}\to1$ と $\prod(1-z^2/n^2)\to1$ から定数は $1$ です。両辺は整関数で、整数でも連続性から等号が成り立ちます。 $|z|<1$ で $\dfrac{2z}{z^2-n^2}=-\dfrac{2z}{n^2}\cdot\dfrac1{1-z^2/n^2}=-2\sum_{k\ge1}\dfrac{z^{2k-1}}{n^{2k}}$ であり、$n,k$ について絶対収束するので和の順序を入れ替えられ（）、 から $$ \pi z\cot\pi z=1-2\sum_{k\ge1}\zeta(2k)\,z^{2k},\qquad\zeta(s)=\sum_{n\ge1}n^{-s} . $$ 他方、$w\cot w=\dfrac{1-w^2/2+w^4/24-\cdots}{1-w^2/6+w^4/120-\cdots}=1-\dfrac{w^2}{3}-\dfrac{w^4}{45}-\cdots$ （分母を払って係数を比べる）。$w=\pi z$ とおいて $z^2,z^4$ の係数を比較すると $2\zeta(2)=\pi^2/3$、$2\zeta(4)=\pi^4/45$、すなわち $$ \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6},\qquad\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90} . $$ ## 6. ガンマ関数 $\operatorname{Re}z>0$ に対して $$ \Gamma(z)=\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\,dt $$ と定める（$t^{z-1}=e^{(z-1)\ln t}$）。 $\Gamma$ は $\operatorname{Re}z>0$ で正則で、$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$、$\Gamma(n+1)=n!$ が成り立つ。$\Gamma$ は $\mathbb{C}$ 全体の有理型関数に延び、極は $z=0,-1,-2,\dots$ のみで、すべて単純極である。$z=-k$ での留数は $\dfrac{(-1)^k}{k!}$ である。 **正則性。** $n\ge2$ に対し $\Gamma_n(z)=\int_{1/n}^{n}t^{z-1}e^{-t}dt$ とします。$t^{z-1}=\sum_{k\ge0}\dfrac{((z-1)\ln t)^k}{k!}$ は $t\in[1/n,n]$ と $|z|\le\rho$ について一様収束するので項別積分でき、$\Gamma_n(z)=\sum_k\dfrac{(z-1)^k}{k!}\int_{1/n}^n(\ln t)^ke^{-t}dt$ は係数が $|\cdot|\le n(\ln n)^k$ で抑えられた、収束半径 $\infty$ の冪級数、すなわち整関数です。$0 により $\Gamma$ は $\operatorname{Re}z>0$ で正則です。 **関数等式。** 部分積分 $\int_\varepsilon^Mt^ze^{-t}dt=\bigl[-t^ze^{-t}\bigr]_\varepsilon^M+z\int_\varepsilon^Mt^{z-1}e^{-t}dt$ で、$\operatorname{Re}z>0$ なら境界項は $\varepsilon\to0$、$M\to\infty$ で $0$ に行きます。$\Gamma(1)=1$ と合わせて $\Gamma(n+1)=n!$ です。 **解析接続。** $k\ge1$ に対し $\operatorname{Re}z>-k$、$z\notin\{0,-1,\dots,-k+1\}$ で $\Gamma_{(k)}(z)=\dfrac{\Gamma(z+k)}{z(z+1)\cdots(z+k-1)}$ と定めると、関数等式から $\operatorname{Re}z>0$ で $\Gamma$ に一致し、共通領域で $\Gamma_{(k+1)}=\Gamma_{(k)}$ です。これらを貼り合わせて有理型関数を得ます。$z=-k$ は $\Gamma_{(k+1)}(z)=\dfrac{\Gamma(z+k+1)}{z(z+1)\cdots(z+k)}$ の定義域 $\operatorname{Re}z>-k-1$ に入り、そこでは分母の因子 $(z+k)$ だけが零になるので、$\Gamma(1)=1$ から留数は $\dfrac{1}{(-k)(-k+1)\cdots(-1)}=\dfrac{(-1)^k}{k!}$ です。 $z\notin\{0,-1,-2,\dots\}$ について $$ \Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}g_n(z),\qquad g_n(z)=\frac{n!\,n^z}{z(z+1)\cdots(z+n)} . $$ **$\operatorname{Re}z>0$。** $J(n,z)=\int_0^1(1-s)^ns^{z-1}ds$ とおくと、部分積分で $J(n,z)=\dfrac nzJ(n-1,z+1)$、$J(0,z)=\dfrac1z$ なので $J(n,z)=\dfrac{n!}{z(z+1)\cdots(z+n)}$ です。$t=ns$ と置換して $$ g_n(z)=n^zJ(n,z)=\int_0^n\Bigl(1-\frac tn\Bigr)^nt^{z-1}dt . $$ $0\le(1-t/n)^n\le e^{-t}$（$1-x\le e^{-x}$）、かつ $(1-t/n)^n\to e^{-t}$ で、優関数 $t^{\operatorname{Re}z-1}e^{-t}$ は可積分なので、優収束定理（）から $g_n(z)\to\Gamma(z)$ です。 **一般の $z$。** 定義から $zg_n(z)=\dfrac{n!n^z}{(z+1)\cdots(z+n)}=g_n(z+1)\dfrac{z+n+1}{n}$ です。$g_n(z+1)\to\Gamma(z+1)$ なら $g_n(z)\to\Gamma(z+1)/z=\Gamma(z)$ です（）。$\operatorname{Re}z>0$ から出発して $\operatorname{Re}z>-1,-2,\dots$ と帰納すれば、すべての $z$ で成り立ちます。 Euler 定数 $\gamma=\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac12+\cdots+\tfrac1n-\ln n\bigr)$ について $$ \frac1{\Gamma(z)}=z\,e^{\gamma z}\prod_{n=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac zn\Bigr)e^{-z/n} $$ であり、右辺は整関数である。特に $\Gamma$ は零点をもたない。 $d_n=\sum_{k\le n}\frac1k-\ln n$ とおくと、$d_{n+1}-d_n=\frac1{n+1}-\ln(1+\frac1n)<0$（$\ln(1+\frac1n)=\int_n^{n+1}\frac{dx}x>\frac1{n+1}$）、また $\ln n=\int_1^n\frac{dx}x<\sum_{k0$ で、$d_n$ は単調減少かつ有界なので収束します（$\gamma$ の存在）。 $\dfrac1{g_n(z)}=zn^{-z}\prod_{k=1}^n\Bigl(1+\dfrac zk\Bigr)=z\,e^{zd_n}\prod_{k=1}^n\Bigl(1+\dfrac zk\Bigr)e^{-z/k}$ です。$(1+w)e^{-w}=E_1(-w)$ なので から $|1-(1+\tfrac zk)e^{-z/k}|\le|z/k|^2$（$|z|\le k$）、コンパクト集合上で $\sum_k\sup|z|^2/k^2<\infty$ です。 から積は局所一様収束して整関数となり、$n\to\infty$ で $1/g_n$ は整関数 $\Phi(z)=ze^{\gamma z}\prod(\cdots)$ に収束します。 により極でない $z$ では $\Phi(z)=1/\Gamma(z)$、極 $z=-k$ では $n\ge k$ で $1/g_n(-k)=0$ なので $\Phi(-k)=0$ です。以上で、極でない $z$ について $\Phi(z)\Gamma(z)=1$ が成り立ちます。 $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ について $$ \Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z} . $$ 特に $\Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi$。 の積を $z$ と $-z$ で掛けると、指数部分 $e^{\gamma z}e^{-\gamma z}=1$ と $e^{-z/n}e^{z/n}=1$ が消えて $$ \frac1{\Gamma(z)\Gamma(-z)}=-z^2\prod_{n\ge1}\Bigl(1-\frac{z^2}{n^2}\Bigr)=-\frac{z\sin\pi z}{\pi} $$ です（）。よって $\Gamma(z)\Gamma(-z)=-\dfrac{\pi}{z\sin\pi z}$ で、$\Gamma(1-z)=-z\Gamma(-z)$ を使えば主張です。$z=\tfrac12$ で $\Gamma(\tfrac12)^2=\pi$、積分の定義から $\Gamma(\tfrac12)>0$ なので $\Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi$ です。 Stirling の公式は、$\Gamma(x)$ が $x$ の大きいところで $\sqrt{2\pi}\,x^{x-1/2}e^{-x}$ にほぼ等しいという主張です。証明は、この主要部を引いた残り $\mu(x)$ を調べます。$\mu(x)-\mu(x+1)$ が小さく計算できるのでその和が収束すること、収束先が定数であること、その定数が Wallis 型の積から $\ln\sqrt{2\pi}$ と決まることの順に進みます。 $x>0$ に対して、$0<\vartheta(x)<1$ をみたす $\vartheta(x)$ が存在して $$ \Gamma(x)=\sqrt{2\pi}\,x^{x-\frac12}e^{-x}\,e^{\vartheta(x)/(12x)} $$ が成り立つ。特に $n!\sim\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n$（$n\to\infty$）である。 $\mu(x)=\ln\Gamma(x)-(x-\tfrac12)\ln x+x$ とおきます。 **(1) 漸化式。** $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ から $g(x):=\mu(x)-\mu(x+1)=(x+\tfrac12)\ln\bigl(1+\tfrac1x\bigr)-1$。 **(2) 評価。** $t=\dfrac1{2x+1}\in(0,1)$ とすると $x+\tfrac12=\dfrac1{2t}$、$1+\dfrac1x=\dfrac{1+t}{1-t}$ で、$\ln\dfrac{1+t}{1-t}=2\sum_{j\ge0}\dfrac{t^{2j+1}}{2j+1}$ から $$ g(x)=\frac{t^2}3+\frac{t^4}5+\cdots,\qquad0（$n=N-1$）から $\dfrac{x(x+1)\cdots(x+N-1)}{(N-1)!\,(N-1)^x}\to\dfrac1{\Gamma(x)}$ なので、$\dfrac{\Gamma(x+N)}{\Gamma(N)N^x}\to1$ です。したがって $\ln\Gamma(x+N)-\ln\Gamma(N)=x\ln N+o(1)$。一方 $$ (x+N-\tfrac12)\ln(x+N)-(N-\tfrac12)\ln N=x\ln N+(x+N-\tfrac12)\ln\bigl(1+\tfrac xN\bigr)=x\ln N+x+o(1) $$ なので $\mu(x+N)-\mu(N)\to0$、すなわち $\lambda(x)=\lim_N\mu(N)=:\lambda_0$ はすべての $x>0$ で同じです。 **(5) $\lambda_0=\ln\sqrt{2\pi}$。** $c_n=e^{\mu(n)}\to C=e^{\lambda_0}$ とすると、$n!=n\Gamma(n)=c_nn^{n+\frac12}e^{-n}$ です。 で $z=\tfrac12$ とすると $1=\dfrac\pi2\prod_{k\ge1}\Bigl(1-\dfrac1{4k^2}\Bigr)$、つまり $$ W_n:=\prod_{k=1}^{n}\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}\to\frac\pi2 . $$ $\prod_{k\le n}(2k)^2=(2^nn!)^2$、$\prod_{k\le n}(2k-1)=\dfrac{(2n)!}{2^nn!}$ から $W_n=\dfrac{2^{4n}(n!)^4}{((2n)!)^2(2n+1)}$ で、$n!=c_nn^{n+\frac12}e^{-n}$ と $(2n)!=c_{2n}(2n)^{2n+\frac12}e^{-2n}$ を代入すると $W_n=\dfrac{c_n^4\,n}{2c_{2n}^2(2n+1)}\to\dfrac{C^2}{4}$ です。よって $C^2=2\pi$。 (3) と (4)、(5) を合わせると $\mu(x)=\ln\sqrt{2\pi}+\bigl(\mu(x)-\lambda(x)\bigr)$ で主張が従います。 Stirling の公式は、$|\arg z|\le\pi-\delta$ の扇形で $\ln\Gamma(z)=(z-\tfrac12)\ln z-z+\tfrac12\ln2\pi+O(1/|z|)$ と複素数へも拡張されます。この記事では実軸上の場合だけを証明しました。複素版は、 と Euler–Maclaurin の公式から、誤差の定数まで明示した形で で証明します。複素版は、$\Gamma$ の零点がなく $1/\Gamma$ が位数 $1$ の整関数であること（）と合わせて、特殊関数の漸近評価の入口になります。 $\Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi$ と関数等式から $\Gamma(\tfrac52)=\tfrac32\cdot\tfrac12\sqrt\pi=\tfrac34\sqrt\pi$、$\Gamma(-\tfrac12)=\dfrac{\Gamma(1/2)}{-1/2}=-2\sqrt\pi$ です。$z=-2$ での留数は で $\dfrac{(-1)^2}{2!}=\tfrac12$。また相反公式で $z=\tfrac14$ とすると $\Gamma(\tfrac14)\Gamma(\tfrac34)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi/4)}=\pi\sqrt2$ です。 ## 7. ζ 関数の解析接続と関数等式 $t>0$、$k\in\mathbb{R}$ について $$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi tx^2}e^{-2\pi ikx}\,dx=t^{-1/2}e^{-\pi k^2/t} . $$ まず $t=1$ とします。$f(z)=e^{-\pi z^2}$ は整関数で、長方形 $[-M,M]\times[0,\xi]$ の周上の積分は $0$ です（コーシーの積分定理）。縦の辺では $|f(\pm M+iy)|=e^{-\pi(M^2-y^2)}\le e^{-\pi(M^2-\xi^2)}$ なので、ML 不等式で寄与は $M\to\infty$ で $0$ に行き、$\int_{\mathbb{R}}e^{-\pi(x+i\xi)^2}dx=\int_{\mathbb{R}}e^{-\pi x^2}dx=1$ です（最後の等号は と置換）。$e^{-\pi(x+i\xi)^2}=e^{\pi\xi^2}e^{-\pi x^2}e^{-2\pi i\xi x}$ ですから $\int e^{-\pi x^2}e^{-2\pi i\xi x}dx=e^{-\pi\xi^2}$。一般の $t$ は $x=y/\sqrt t$ の置換で $\xi=k/\sqrt t$ とすれば得られます。 $F:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ を周期 $1$ の連続関数とし、$\hat F(k)=\int_0^1F(x)e^{-2\pi ikx}dx$ が $\sum_k|\hat F(k)|<\infty$ をみたすとする。このとき すべての $x$ で $F(x)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\hat F(k)e^{2\pi ikx}$ である。 $F$ が実数値のとき示せば、実部と虚部に分けて一般の場合が従います（それぞれの Fourier 係数は $\hat F(\pm k)$ の組合せで、同じく絶対総和可能）。$\varphi(\theta)=F(\theta/2\pi)$ は周期 $2\pi$ の連続関数で、その Fourier 係数 $\frac1{2\pi}\int\varphi e^{-ik\theta}d\theta$ は $\hat F(k)$ です。 の Poisson 積分 $u_r(\psi)=\frac1{2\pi}\int P_r(\psi-\theta)\varphi(\theta)d\theta$ は、 の 1 の級数（一様収束）を使うと $\sum_k\hat F(k)r^{|k|}e^{ik\psi}$ に等しく、$r\to1$ で $\varphi(\psi)$ に収束します（境界での連続性）。$\sum|\hat F(k)|<\infty$ なので $M$ 判定法から $\sum_k\hat F(k)r^{|k|}e^{ik\psi}\to\sum_k\hat F(k)e^{ik\psi}$ で、極限が一致して主張を得ます。 $\theta(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi n^2t}$（$t>0$）は $\theta(1/t)=\sqrt t\,\theta(t)$ をみたす。 $F_t(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi t(x+n)^2}$ は、$x$ が有界集合を動くとき一様収束する級数なので連続で、周期 $1$ です。Fourier 係数は、$[0,1]$ で項別積分して $y=x+n$ と置換すると $e^{-2\pi ikx}=e^{-2\pi iky}$ なので $$ \hat F_t(k)=\sum_n\int_n^{n+1}e^{-\pi ty^2}e^{-2\pi iky}dy=\int_{\mathbb{R}}e^{-\pi ty^2}e^{-2\pi iky}dy=t^{-1/2}e^{-\pi k^2/t} $$ （）で、絶対総和可能です。 を $x=0$ で使えば $\sum_ne^{-\pi tn^2}=t^{-1/2}\sum_ke^{-\pi k^2/t}$、つまり $\theta(t)=t^{-1/2}\theta(1/t)$ です。 ここまでの準備で、ζ 関数の関数等式を示します。方針は、ζ を $\Gamma$ を使った積分 $\int_0^\infty\psi(t)t^{s/2-1}dt$ で表し、積分区間を $t<1$ と $t>1$ に分けて、テータ関数の変換則で $t<1$ の側を $t>1$ の側へ移すことです。移した結果が $s$ と $1-s$ について対称になるので、関数等式と解析接続が同時に出ます。 $\zeta(s)=\sum_{n\ge1}n^{-s}$（$\operatorname{Re}s>1$）は $\mathbb{C}$ 全体の有理型関数に延び、極は $s=1$ のみで、単純極、留数 $1$ である。$\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$ は $$ \xi(s)=\xi(1-s) $$ をみたす。また $\zeta(0)=-\tfrac12$、$\zeta(-2k)=0$（$k\ge1$）である。 $\psi(t)=\sum_{n\ge1}e^{-\pi n^2t}=\tfrac12(\theta(t)-1)$ とおきます。 から $$ \psi(1/t)=\sqrt t\,\psi(t)+\frac{\sqrt t-1}{2}\qquad(t>0). $$ **$\operatorname{Re}s>1$ での積分表示。** $u=\pi n^2t$ と置換して $\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)n^{-s}=\int_0^\infty e^{-\pi n^2t}t^{s/2-1}dt$ です。$n$ について和を取り（正の項の和で、$\operatorname{Re}s>1$ なら絶対収束、優収束定理）、 $$ \xi(s)=\int_0^\infty\psi(t)\,t^{s/2-1}dt=\int_1^\infty\psi(t)t^{s/2-1}dt+\int_0^1\psi(t)t^{s/2-1}dt . $$ 後半に $t=1/u$ を代入し、上の変換則を使うと $$ \int_0^1\psi(t)t^{\frac s2-1}dt=\int_1^\infty\psi(u)\,u^{\frac{1-s}2-1}du+\frac12\int_1^\infty\bigl(u^{-\frac s2-\frac12}-u^{-\frac s2-1}\bigr)du, $$ 最後の積分は $\dfrac12\Bigl(\dfrac2{s-1}-\dfrac2s\Bigr)=\dfrac1{s-1}-\dfrac1s$ です。よって $$ \xi(s)=\frac1{s-1}-\frac1s+J(s),\qquad J(s)=\int_1^\infty\psi(t)\bigl(t^{\frac s2-1}+t^{\frac{1-s}2-1}\bigr)dt . $$ **$J$ は整関数。** $\psi(t)\le\dfrac{e^{-\pi t}}{1-e^{-\pi}}$（$t\ge1$）なので、$J$ は $\int_1^M$ の部分の $M\to\infty$ での極限で、各 $\int_1^M$ は $\Gamma_n$ と同様に $s$ の冪級数（整関数）、収束は局所一様なので から $J$ は整関数です。 **接続と対称性。** 右辺 $\dfrac1{s-1}-\dfrac1s+J(s)$ は $\mathbb{C}$ 上有理型で、極は $s=0,1$ の単純極のみです。$s\mapsto1-s$ で $\dfrac1{s-1}-\dfrac1s\mapsto-\dfrac1s+\dfrac1{s-1}$、$J(1-s)=J(s)$ で不変なので、$\xi(s)=\xi(1-s)$ です。$\zeta(s)=\pi^{s/2}\xi(s)/\Gamma(s/2)$ は $1/\Gamma$ が整関数（）なので $\mathbb{C}$ 上有理型で、$\operatorname{Re}s>1$ で級数に一致するので（一致の定理）接続です。 **極と特殊値。** $s=1$ で $\xi\sim\dfrac1{s-1}$、$\pi^{1/2}/\Gamma(\tfrac12)=1$ から留数 $1$。$s=0$ では $\xi\sim-\dfrac1s$、$\Gamma(s/2)\sim\dfrac2s$ から $\zeta(0)=-\dfrac12$ で極ではありません。$s=-2k$ では $\xi$ は正則（極は $0,1$ のみ）、$\Gamma(s/2)$ は極ですから $1/\Gamma(s/2)=0$ で $\zeta(-2k)=0$ です。 $\operatorname{Re}s>1$ では Euler 積により $\zeta(s)\ne0$ で、関数等式から $\operatorname{Re}s<0$ では $s=-2,-4,\dots$ のほかに零点がありません。残りの零点（臨界帯 $0\le\operatorname{Re}s\le1$）の位置が[リーマン予想](/mathematics/number-theory/riemann-hypothesis)の主題です。$\xi(s)$ の極は $s=0,1$ だけなので、$s(s-1)\xi(s)/2$ は整関数で、その零点は $\zeta$ の臨界帯の零点に対応します。整関数の零点の分布を因数分解（）で調べるのが、ζ 関数の零点の研究の出発点でした。 ## 8. 演習 $\cos\pi z=\prod_{n\ge1}\Bigl(1-\dfrac{4z^2}{(2n-1)^2}\Bigr)$ を示せ。 $\sin2\pi z=2\sin\pi z\cos\pi z$ と から、$\cos\pi z=\dfrac{\sin 2\pi z}{2\sin\pi z}=\dfrac{2\pi z\prod_{n\ge1}(1-4z^2/n^2)}{2\pi z\prod_{n\ge1}(1-z^2/n^2)}$ です（$z\notin\mathbb{Z}$）。分子の積を $n=2m$（偶数）と $n=2m-1$（奇数）に分けると、絶対収束する積なので順序を入れ替えられ、偶数の因子は $1-\dfrac{4z^2}{4m^2}=1-\dfrac{z^2}{m^2}$ で分母とちょうど打ち消し合います。残る奇数の因子が求める積です。整関数どうしの等式は連続性で整数点にも延びます。 Stirling の公式（）を使って、中心二項係数について $\dbinom{2n}{n}\sim\dfrac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$（$n\to\infty$）を示せ。 $\dbinom{2n}{n}=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}\sim\dfrac{\sqrt{4\pi n}\,(2n/e)^{2n}}{2\pi n\,(n/e)^{2n}}=\dfrac{2\sqrt{\pi n}\,4^n}{2\pi n}=\dfrac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ です。 実数 $y$ について $\bigl|\Gamma(\tfrac12+iy)\bigr|^2=\dfrac{\pi}{\cosh\pi y}$ を示せ。 定義から $\operatorname{Re}z>0$ で $\Gamma(\bar z)=\overline{\Gamma(z)}$ です（$t^{\bar z-1}=\overline{t^{z-1}}$）。よって $\Gamma(\tfrac12+iy)\Gamma(\tfrac12-iy)=|\Gamma(\tfrac12+iy)|^2$ です。 で $z=\tfrac12+iy$ とすると $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\Gamma(\tfrac12+iy)\Gamma(\tfrac12-iy)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi/2+i\pi y)}=\dfrac{\pi}{\cos(i\pi y)}=\dfrac{\pi}{\cosh\pi y}$ です。 関数等式と $\zeta(2)=\pi^2/6$ を使って $\zeta(-1)=-\dfrac1{12}$ を示せ。 $\xi(-1)=\xi(2)$ です。左辺は $\pi^{1/2}\Gamma(-\tfrac12)\zeta(-1)=\pi^{1/2}\cdot(-2\sqrt\pi)\zeta(-1)=-2\pi\zeta(-1)$ （）、右辺は $\pi^{-1}\Gamma(1)\zeta(2)=\pi^{-1}\cdot\dfrac{\pi^2}{6}=\dfrac\pi6$ です。したがって $\zeta(-1)=-\dfrac1{12}$。ここで級数 $1+2+3+\cdots$ が収束するのではなく、$\zeta(s)$ を解析接続した値であることに注意してください。 ## 参考文献 - L. V. Ahlfors, *Complex Analysis*, 3rd ed., McGraw-Hill, 1979 — 第 5 章 §2（無限積）と §3（Weierstrass の定理、Mittag-Leffler の定理）、第 5 章 §2.4（Γ 関数）。 - W. Rudin, *Real and Complex Analysis*, 3rd ed., McGraw-Hill, 1987 — 第 15 章（無限積と Weierstrass の因数分解）、第 8 章（Γ 関数と Stirling の公式）。 - E. M. Stein and R. Shakarchi, *Complex Analysis*, Princeton University Press, 2003 — 第 5 章（整関数）と第 6 章（Γ 関数と ζ 関数）。 - E. T. Whittaker and G. N. Watson, *A Course of Modern Analysis*, 4th ed., Cambridge University Press, 1927 — 第 12 章（Γ 関数）。 - H. M. Edwards, *Riemann's Zeta Function*, Academic Press, 1974 — 第 1 章（関数等式のテータ関数による証明）。