# 格子ゲージ理論で使う群積分の公式：SU(N) のモーメント・Weingarten 関数・指標展開と 2 次元の厳密解
> SU(N) の Haar 積分の 1・2・3 次モーメントを不変ベクトルへの射影として導き、Weingarten 関数を述べる。Wilson 重みの指標展開と係数の強結合での振る舞い、2 次元格子ゲージ理論の厳密解と面積則、強結合展開の図形的な数え方を示す。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/compact-groups/group-integration-lattice
## 0. この記事の要点
格子ゲージ理論の計算では、行列を値にとる変数について「すべての可能性を平均する」積分が何度も出てきます。この記事は、そうした積分の値を、その場で場当たり的に計算せずに公式として手際よく求める方法をまとめたものです。鍵になるのは、群全体で平均を取ると、平均しても変わらない成分だけが残るという見方です。読み終えると、行列の成分の積の平均値を書き下せるようになり、2 次元の模型では Wilson ループ（粒子が描く閉じた経路の効果）の厳密な値が、囲む面積のべき乗で小さくなることを示せます。
- コンパクト群 $G$ の[ユニタリ表現](/mathematics/compact-groups/peter-weyl#def-unitary-representation) $\rho$ について、$\int_G\rho(g)\,dg$ は不変ベクトルの空間への**[直交射影](/mathematics/functional-analysis/bounded-operators#def-orthogonal-projection)**です。リンク変数の多項式の Haar 積分はすべて、この射影の行列成分として計算できます。
- $SU(N)$ では、1 次モーメントは $\int U_{ij}\,dU=0$、2 次は $\int U_{ij}(U^*)_{kl}\,dU=\delta_{il}\delta_{jk}/N$（一般の既約表現では Schur の直交関係）、$N$ 次は $\int U_{i_1j_1}\cdots U_{i_Nj_N}\,dU=\varepsilon_{i_1\cdots i_N}\varepsilon_{j_1\cdots j_N}/N!$ です。$N=3$ の最後の式がバリオン型の積分で、$U(3)$ では $0$ になります。
- $U$ と $\bar U$ を同数含む一般の多項式の積分は、**Weingarten 関数** $\mathrm{Wg}(\sigma,N)$（置換の Gram 行列 $N^{\#(\sigma^{-1}\tau)}$ の逆行列）で書けます。$SU(N)$ でも $U(N)$ と同じ値になります。
- Wilson 作用の Boltzmann 重みは $e^{(\beta/N)\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}\,U}=\sum_rd_rc_r(\beta)\chi_r(U)$ と指標展開でき、$c_r(\beta)\ge0$、$\sum_rd_r^2c_r=e^\beta$ です。正規化した係数 $u_r=c_r/c_0$ は $0\le u_r\lt1$ を満たし、$\beta\to0$ で $\beta^{k_r}$（$k_r$ は $r$ が $(F\oplus\bar F)^{\otimes k}$ に初めて現れる $k$）に比例して消えます。
- 2 次元では、プラケットの張り合わせが指標係数の積 $c_r\mapsto c_r^{A}$ になり（Migdal の再帰式）、任意の $\beta$ と任意の既約表現 $r$ について Wilson ループが厳密に $\langle\chi_r(U(\mathcal{C}))\rangle=d_ru_r(\beta)^{A}$（$A$ は囲む面積）に従います。
- 高次元の強結合展開は、指標を割り当てたプラケットの集合を「面」として数える組合せ論になります。各リンクの積分が $1/d_r$、各頂点が $d_r$、各プラケットが $d_ru_r$ を与え、閉曲面は $d_r^{\chi(S)}u_r^{|S|}$（$\chi$ は Euler 標数）で寄与します。
## 1. 動機
格子ゲージ理論の計算は、最後にはいつもリンク変数の Haar 積分に行き着きます。Euclid 形式の分配関数 $Z=\int\prod_bdU_b\,e^{-S[U]}$ は文字どおり積分で、強結合展開はその被積分関数を $\beta$ で展開して各項を積分します。ハミルトニアン形式（Kogut–Susskind）では、状態空間が各リンクの $L^2(G)$ のテンソル積で、ゲージ不変な状態への射影は頂点ごとの Haar 平均です。どちらの形式でも、必要なのは「行列成分の積を積分するといくつになるか」という公式の一覧と、それを組み合わせて格子全体の積分を数える方法です。
格子場の理論の章では、2 つの補題だけを使って強結合の面積則を最低次で示しました（